Funções - Aula 06 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 11 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
O principal objetivo do cálculo é o estudo das funções. As funções surgem para expressar uma quantidade em termos de outra. Por exemplo, a área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que relaciona r com A é dada por A = πr 2, neste caso dizemos que A é uma função de r. Outros exemplos são, a população P de uma determinada espécie que depende do tempo t, o custo C de envio de um pacote pelo correio que depende de seu peso w.
Definição Dados dois conjuntos A,B, uma função f de A em B (escrevemos f : A B) é uma lei ou regra que a cada x A, associa um único elemento f(x) B. Temos A é chamado domínio de f ; B é chamado contra-domínio de f ; o conjunto Im(f) = {y B ; y = f(x), x A}. é chamado imagem de f.
Notações alternativas. Seja f : A B uma função. Podemos denotar D f = D(f) = A para o domínio de f; f(d f ) := Im(f) para a imagem de f. Também podemos descrever a ação de f ponto a ponto como A x f(x) B. Convenção: Se o domínio da função não é dado explicitamente, então, por convenção, adotamos como domínio o conjunto de todos os números reais x para os quais a regra f(x) esteja definida.
Definição Sejam f : A B uma função e A,B R. O conjunto é chamado gráfico de f. G(f) = G f = {(x,f(x)) : x A} Decorre da definição acima que G(f) é o lugar geométrico descrito pelo ponto (x,f(x)) R R, quando x percorre o domínio D f. Observe que, por exemplo, uma circunferência não representa o gráfico de uma função.
Exemplo Seja f : R R. Temos (a) função constante: f(x) = k; (b) função identidade: f(x) = x; (c) função linear: f(x) = ax; (d) função afim: f(x) = ax +b; (e) função polinomial: f(x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a n x n = n a i x i ; em particular, se n = 2, f(x) = ax 2 +bx +c é uma função quadrática, se n = 3, f(x) = ax 3 +bx 2 +cx +d é uma função cúbica; i=0
(f) função potência: f(x) = x a, onde a é uma constante; em particular, se a = 1 n,f(x) = x1/n = n x, onde n é um inteiro positivo, é uma função raiz; temos que D f = [0,+ ) se n é par e D f = R se n é ímpar; (g) função racional: f(x) = p(x), onde p(x) e q(x) são funções q(x) polinomiais. Note que D f = {x R; q(x) 0}; (h) função algébrica: função construída usando operações algébricas começando com polinômios; por exemplo, f(x) = x 2 (x 4) +1, D f = R, g(x) = x 4 + 3 x +1, Dg = (0,+ ). 2x
Definição Sejam f : A B e D A. Denotamos por f D a restrição de f ao subconjunto D de A. Então f D (x) = f(x), para todo x D. Observação: Seja D R. Denotaremos por I D : D D a função identidade definida por I D (x) = x para todo x D.
Exemplo Função definida por partes: definida por regras diferentes em distintas partes de seu domínio; por exemplo, (a) f(x)= { 1 x se x 1, x 2 se x > 1; (b) g(x)= x = { x se x 0, x se x < 0.
Exemplo Esboce o gráfico de f(x) = x 1 +3. Eliminando o módulo, temos f(x) = Desenhar o gráfico. { x +2 se x 1, 4 x se x < 1.
Um fabricante de refrigerante quer produzir latas ciĺındricas para seu produto. A lata dever ter um volume de 360 ml. Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função. Seja r o raio da lata e h a altura. A área superficial total (topo, fundo e área lateral) é dada por S = 2πr 2 +2πrh. Sabemos que o volume V = πr 2 h deve ser de 360 ml, temos πr 2 h = 360, ou seja h = 360/πr 2. Portanto, S(r) = 2πr 2 +2πr360/πr 2 = 2πr 2 +720/r. Como r só pode assumir valores positivos, D S = (0,+ ).
Exemplo Esboce os gráficos de f(x) = x 2 1 e g(x) = x 2 +1. Fórmulas de translação: f(x)+k translada o gráfico de f, k unidades para cima se k > 0 e k unidades para baixo se k < 0, f(x +k) translada o gráfico de f, k unidades para a esquerda se k > 0 e k unidades para a direita se k < 0.
Exemplo Esboce os gráficos de f(x) = (x 1) 2 e g(x) = (x +1) 2. Exemplo Esboce o gráficos de f(x) = x 2 +6x +10. Completando o quadrado, escrevemos f(x) = (x +3) 2 +1. Logo, o gráfico é a parábola y = x 2 deslocada 3 unidades para esquerda e então uma unidade para cima.
Definição Dadas funções f : D f R e g : D g R e dado x D f D g, podemos definir algumas operações com funções: soma: (f +g)(x) = f(x)+g(x); produto: (fg)(x) = f(x)g(x); ( ) f quociente: (x) = f(x), se g(x) 0. g g(x)
Exemplo Se f(x) = 7 x e g(x) = x 2, então D f = (,7], D g = [2,+ ) e D f D g = [2,7]. Temos que, (a) (f +g)(x) = 7 x + x 2 2 x 7, (b) (fg)(x) = 7 x x 2 = (7 x)(x 2) 2 x 7, (c) ( f 7 x 7 x (x) = = g) x 2 x 2 2 < x 7.
Definição Dadas funções f : D f R e g : D g R, com Imf D g, definimos a função composta por h : D f R h(x) = g(f(x)), para todo x D f. Neste caso, escrevemos h = g f.
Exemplo Se f(x) = 2x +1 e g(x) = x 2 +3x, então (a) g f(x) = g(2x+1) = (2x+1) 2 +3(2x +1) = 4x 2 +10x+4, (b) f g(x) = f(x 2 +3x) = 2(x 2 +3x)+1 = 2x 2 +6x +1. Observação: Em geral, f g g f. Exemplo Encontre f g h se f(x) = x x +1, g(x) = x10 e h(x) = x +3. Solução: f g h(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+3)) = f((x+3) 10 ) = (x +3)10 (x +3) 10 +1.
Exercício: Se f(x) = x e g(x) = 2 x, encontre e determine o domínio das funções: (a) f g(x) = 4 2 x, D f g = (,2] (b) g f(x) = 2 x, D g f = [0,4] (c) f f(x) = 4 x, D f f = [0,+ ) (d) g g(x) = 2 2 x, D g g = [ 2,2].
No que segue, consideraremos f : D f R uma função. Definição Diremos que f é par se, e somente se, f( x) = f(x), para todo x D f ; f é ímpar se, e somente se, f( x) = f(x), para todo x D f. Observação: O significado geométrico de uma função par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y e de uma função ímpar é que seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Exemplo f(x) = x 2 é par; a função identidade I(x) = x é ímpar; f(x) = 2x x 2 não é nem par nem ímpar. Exercício: Determine se a função é par, ímpar ou nenhum desses dois. (a) f(x) = x 5 +x, (b) f(x) = 1 x 4, (c) f(x) = 3x 2 +2x 2 +1.
Definição Seja ω 0. Então f será dita periódica de período ω ou ω-periódica se, e somente se, tivermos f(x) = f(x +ω), para todo x D f. Em particular, se existir um menor ω 0 positivo tal que f seja ω 0 -periódica, então diremos que ω 0 será o período mínimo de f.
Proposição Sejam c 0 ω. Se f : R R for ω-periódica, então serão válidas as afirmações: (a) f é nω-periódica para todo inteiro não nulo n. (b) g : R R definida por g(x) = f(cx) é ω/c-periódica.
Exemplo (a) f(x) = x [x], onde [x] = max{n Z : n x} é a função maior inteiro, é 1-periódica e o período mínimo de f é 1. Note que [x +1] = [x]+1. { 1, se x Q (b) f(x) = é r-periódica para cada 0, se x R\Q r Q\{0}. Então f não tem período mínimo.
Definição Diremos que f : D f B f é sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B. f é injetora se, e somente se, f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2, para quaisquer x 1,x 2 D f. f é bijetora se, e somente se, f for injetora e sobrejetora.
Observação: Note que f será injetora se, e somente se, x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), para quaisquer x 1,x 2 D f. Exemplo A função módulo f(x) = x não é injetora pois, por exemplo, 1 = 1 e 1 1. f não é sobrejetora pois Im(f) = R + R. Agora, considerando f R + : R + R + a função será bijetora. Observação: Se tomamos B = Im(f) então f sempre será sobrejetora.