Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 04 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Fernando Brito Soares Graça Silva Pedro Chaves Exame ª Época Data: de Junho de 007, 8:0 Duração: :0 horas Nota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset Atenção: Responda a cada grupo numa folha separada Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas I (0%) Foi realizado um estudo sobre os minutos em que os golos são marcados num jogo de futebol (contando com os descontos) em Portugal Para isso, recolheu se uma amostra de golos e dos minutos de jogo em que ocorreram As observações foram divididas em 4 classes, compreendidas entre 0 e 00 minutos e tratadas estatisticamente Conhece se o seguinte histograma de área incompleto: 0,0 f j /h j Histograma de Área 0,0 0,008 0,006 0,004?? 0,00 0 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 x j Pelo histograma, podemos ver que todas as classes têm a mesma densidade de frequência Sabe se que as duas primeiras classes estão compreendidas entre 0 e 60 minutos e outras duas entre 60 e 00 minutos No entanto, não se conhece o limite superior da ª e ª classes (conforme demonstrado pelos pontos de interrogação)
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Exame ª Época a) (5%) Comente a seguinte informação: Dado que todas as classes têm a mesma densidade de frequência, estamos perante uma distribuição igualitária e, portanto, o índice de Gini é 0 b) (0%) Sabe se ainda que a frequência relativa da ª classe é 0, e que o ponto médio da ª classe é 75 Construa a tabela de frequências relativas, indicando, para cada classe, o intervalo, o ponto médio, a amplitude e a frequência relativa simples e acumulada c) (5%) (Se não resolveu a alínea b, ignore o seu enunciado e considere x =]0,0], x =]60,80], f =0,, f =0,5 e f =0,) Calcule a média da subamostra que inclui as duas primeiras classes e a média da subamostra que inclui as restantes A partir destas duas medidas, calcule a média da amostra total d) (0%) O mesmo estudo foi feito em Espanha Recolheram se informações sobre 50 golos e a amostra resultante apresentou uma média igual à da amostra dos golos portugueses e uma variância de 500 minutos As informações dos dois países foram reunidas e a amostra geral que daqui resultou apresentou uma variância de 700 minutos Indique o número de observações da amostra portuguesa Quantos golos foram marcados antes de uma hora de jogo, em Portugal? II (0%) Um assistente de Análise de Dados e Probabilidade, que se encosta ao quadro durante as aulas, decidiu passar a comprar todos os anos o seu próprio giz, apagador e detergente Como sabia que o seu irmão ia começar a vender estes produtos, comprometeu se a comprar lhos e este, por sua vez, a não vender a mais ninguém Acordaram que, no primeiro ano (t=0), os três produtos teriam o mesmo preço unitário, p Depois, todos os anos, o preço do giz cresceria a uma taxa c, o preço do apagador decresceria à mesma taxa e o preço do detergente não se alteraria Sabe se que o assistente reserva um montante (constante) todos os anos para a despesa total com os bens Sabe se ainda que a sua procura, para cada um dos bens, é dada por q i = p i, pelo que, todos os anos, é despendido na sua totalidade a) (0%) Qual o índice elo de preços para cada um dos bens, em qualquer ano? E o índice elo de quantidades? Que relação existe entre eles? b) (5%) Assuma os seguintes valores: p=, =0 e c=0,5 Calcule os índices de Laspeyres de preços e de quantidades do ano, com base no ano 0 Sem os calcular directamente, indique o valor dos índices de despesa, Paasche de preços e Paasche de quantidades referentes ao mesmo período c) (5%) Agora, para valores gerais de p, e c, encontre o valor do índice de Laspeyres de preços e uma expressão para o índice de Laspeyres de quantidades que dependa apenas de c, ambos para um ano t, com base no ano anterior (sugestão: pense no que este tipo de procura implica sobre a percentagem de despesa em cada um dos bens)
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Exame ª Época III (0%) Sabe se que, entre os habitantes de uma dada cidade, que têm um animal de estimação, 50% têm um cão, 0% têm um gato e os restantes têm outro animal A probabilidade de um animal de estimação ser abandonado durante as férias de Verão é 60% para os cães, 40% para os gatos e 0% para os restantes animais a) (0%) Escolhendo um animal ao acaso, qual a probabilidade de este ser abandonado durante as férias de Verão? b) (0%) Sabendo que um animal foi abandonado, qual a probabilidade de este não ser um cão? IV (0%) Um estudo efectuado pelo Ministério das Finanças permitiu concluir que o tempo que os contribuintes demoram a preencher uma declaração do tipo A via Internet segue uma distribuição Normal com média 00 minutos e desvio padrão 0 minutos a) (5%) Qual a probabilidade de um contribuinte, que preenche uma declaração tipo A via Internet, demorar mais do que horas a preencher a sua declaração? b) (0%) Qual a probabilidade de em, 0 contribuintes que preenchem declarações do tipo A via Internet, no máximo demorarem menos do que 00 minutos a preencher a sua declaração? Considere a variável aleatória R que designa o número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam por hora à seguradora TOTALSEGUR Sabe se que R segue uma distribuição de Poisson com variância igual a 5 a) (5%) Qual a probabilidade de, numa hora, chegarem menos do que 7 reclamações? b) (5%) Qual a probabilidade de, numa hora e meia, serem recebidas mais do que 8 reclamações? c) (5%) Sabendo que chegaram 5 reclamações na primeira hora, qual a probabilidade de chegarem exactamente 0 nas três horas seguintes?
Distribuições de probabilidade de v a discretas Distribuição Função de probabilidade Função de distribuição X ~ DU( i, j) j i + { i, i +,, j j} x x 0 i + j i + x < i i x j 0 { i, i +,, j j} x, x > j q = p x = 0 0 x < 0 X ~ Bernoulli( p) p x = q = p 0 x < 0 outros casos x X ~ Bin( n, p) n x n x ( ) p ( p) x 0 x { 0,,,, n} { 0,, n} x,, 0 x < 0 x i p i= 0 n i ( p) 0 x < n x n λ x e λ 0 x < 0 x {,, } X ~ Poisson( λ) x! x i λ λ e x 0 x,, i 0 { } i= 0! Análise de Dados e Probabilidade Fernando Brito Soares
Distribuições de probabilidade de v a contínuas Distribuição Função densidade de probabilidade Função de distribuição X ~ U ( a, b) b a [ a b] x, 0 x [ a, b] 0 x < a x a x a, b b a x > b [ ] X ~ N( µ, σ ) Z ~ N(0,) x µ σ t µ x σ e e πσ πσ z e π π z t e dt dt 0 x < 0 0 x < 0 X ~ Exp( β ) β β e x x 0 x β e x 0 0 x 0 0 x 0 X ~ Gama( α, β ) α β Γ ( α ) x α e x β x > 0 x α β i= 0 i! x e x > 0 β i 0 x 0 0 x 0 X ~ χ ( ν ) ν x ν Γ ν e x x > 0 e ν x i= 0 x i! i x > 0 ν ν + ν + Γ X ~ T ( ν ) + x ν ν πν Γ Análise de Dados e Probabilidade x R Não existe expressão Fernando Brito Soares
TABELA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (Continuação) A Função probabilidade B Função de distribuição θ θ n x 05 0 5 0 5 0 5 40 45 50 n x 05 0 5 0 5 0 5 40 45 50 7 4 000 006 009 087 0577 097 44 95 88 74 7 4 0000 9998 9988 995 987 97 9444 907 847 774 5 0000 000 00 004 05 050 0466 0774 7 64 5 0000 0000 9999 9996 9987 996 990 98 964 975 6 0000 0000 000 0004 00 006 0084 07 00 0547 6 0000 0000 0000 0000 9999 9998 9994 9984 996 99 7 0000 0000 0000 0000 000 000 0006 006 007 0078 7 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 8 0 664 405 75 678 00 0576 09 068 0084 009 8 0 664 405 75 678 00 0576 09 068 0084 009 79 86 847 55 670 977 7 0896 0548 0 948 8 657 50 67 55 69 064 06 05 055 488 76 96 5 965 587 090 569 094 994 969 8948 7969 6785 558 478 54 0 445 0054 0 089 468 076 54 786 787 568 88 9996 9950 9786 947 886 8059 7064 594 4770 6 4 0004 0046 085 0459 0865 6 875 67 74 4 0000 9996 997 9896 977 940 899 86 796 667 5 0000 0004 006 009 0 0467 0808 9 79 88 5 0000 0000 9998 9988 9958 9887 9747 950 95 8555 6 0000 0000 000 00 008 000 07 04 070 094 6 0000 0000 0000 9999 9996 9987 9964 995 989 9648 7 0000 0000 0000 000 0004 00 00 0079 064 0 7 0000 0000 0000 0000 0000 9999 9998 999 998 996 8 0000 0000 0000 0000 0000 000 000 0007 007 009 8 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 9 0 60 874 6 4 075 0404 007 00 0046 000 9 0 60 874 6 4 075 0404 007 00 0046 000 985 874 679 00 5 556 004 0605 09 076 988 7748 5995 46 00 960 0705 085 095 069 7 597 00 00 668 6 6 0 070 996 9470 859 78 6007 468 7 8 495 0898 0077 0446 069 76 6 668 76 508 9 64 9994 997 966 944 84 797 6089 486 64 59 4 0006 0074 08 066 68 75 94 508 600 46 4 0000 999 9944 9804 95 90 88 74 64 5000 5 0000 0008 0050 065 089 075 8 67 8 46 5 0000 9999 9994 9969 9900 9747 9464 9006 84 746 6 0000 000 0006 008 0087 00 044 074 60 64 6 0000 0000 0000 9997 9987 9957 9888 9750 950 90 7 0000 0000 0000 000 00 009 0098 0 0407 070 7 0000 0000 0000 0000 9999 9996 9986 996 9909 9805 8 0000 0000 0000 0000 000 0004 00 005 008 076 8 0000 0000 0000 0000 0000 0000 9999 9997 999 9980 9 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 000 0008 000 9 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0 0 5987 487 969 074 056 08 05 0060 005 000 0 0 5987 487 969 074 056 08 05 0060 005 000 5 874 474 684 877 075 040 007 0098 99 76 544 758 440 49 0860 0464 0 007 0746 97 759 00 86 5 757 09 076 049 9885 998 80 6778 556 88 66 67 0996 0547 005 0574 98 0 50 668 5 50 665 7 9990 987 9500 879 7759 6496 58 8 660 79 4 000 0 040 088 460 00 77 508 84 05 4 9999 9984 990 967 99 8497 755 6 5044 770 5 000 005 0085 064 0584 09 56 007 40 46 5 0000 9999 9986 996 980 957 905 88 784 60 6 0000 000 00 0055 06 068 0689 5 596 05 6 0000 0000 9999 999 9965 9894 9740 945 8980 88 7 0000 0000 000 0008 00 0090 0 045 0746 7 7 0000 0000 0000 9999 9996 9984 995 9877 976 945 8 0000 0000 0000 000 0004 004 004 006 09 049 8 0000 0000 0000 0000 0000 9999 9995 998 9955 989 9 0000 0000 0000 0000 0000 000 0005 006 004 0098 9 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 9999 9997 9990 0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 000 000 0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
TABELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (Continuação) A Função probabilidade B Função de distribuição x 4 5 6 7 8 9 40 x 4 5 6 7 8 9 40 0 0450 0408 069 04 00 07 047 04 00 08 0 0450 0408 069 04 00 07 047 04 00 08 97 04 7 5 057 0984 095 0850 0789 07 847 7 586 468 59 57 6 074 099 096 65 087 008 99 850 77 69 65 59 465 40 799 594 97 08 07 854 689 5 8 7 6 09 86 58 5 087 046 00 954 648 605 580 5584 566 55 494 475 45 45 4 7 78 8 858 888 9 9 944 95 954 4 798 7806 766 744 754 7064 687 6678 6484 688 5 075 40 0 64 77 49 477 5 56 5 9057 8946 889 8705 8576 844 80 856 8006 785 6 0555 0608 066 076 077 086 088 096 0989 04 6 96 9554 9490 94 947 967 98 909 8995 889 7 046 078 0 048 085 045 0466 0508 055 0595 7 9858 98 980 9769 97 969 9648 9599 9546 9489 8 0095 0 09 048 069 09 05 04 069 098 8 995 994 99 997 990 988 986 9840 985 9786 9 00 0040 0047 0056 0066 0076 0089 00 06 0 9 9986 998 9978 997 9967 9960 995 994 99 999 0 000 00 006 009 00 008 00 009 0045 005 0 9996 9995 9994 999 9990 9987 9984 998 9977 997 000 0004 0005 0006 0007 0009 00 00 006 009 9999 9999 9998 9998 9997 9996 9995 9994 999 999 000 000 000 000 000 000 000 0004 0005 0006 0000 0000 0000 9999 9999 9999 9999 9998 9998 9997 0000 0000 0000 0000 000 000 000 000 000 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 9999 9999 4 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 4 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 x 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 x 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 0 066 050 06 0 0 00 009 008 0074 0067 0 066 050 06 0 0 00 009 008 0074 0067 0679 060 058 0540 0500 046 047 095 065 07 0845 0780 079 066 06 056 058 0477 049 0404 9 54 88 5 06 005 0948 0894 084 8 0 974 85 76 66 5 45 47 904 85 798 74 687 6 574 57 460 404 44 954 77 594 4 57 097 94 79 650 4 95 944 9 97 898 875 849 80 789 755 4 609 5898 5704 55 5 5 4946 476 458 4405 5 600 6 66 687 708 75 78 747 75 755 5 769 75 767 799 709 6858 6684 650 65 660 6 09 4 9 7 8 6 98 4 46 6 8786 8675 8558 846 8 880 8046 7908 7767 76 7 0640 0686 07 0778 084 0869 094 0959 00 044 7 947 96 990 94 94 9049 8960 8867 8769 8666 8 08 060 09 048 046 0500 057 0575 064 065 8 9755 97 968 964 9597 9549 9497 944 98 99 9 050 068 088 009 0 055 08 007 04 06 9 9905 9889 987 985 989 9805 9778 9749 977 968 0 006 007 008 009 004 08 0 047 064 08 0 9966 9959 995 994 99 99 990 9896 9880 986 00 007 00 007 004 0049 0056 0064 007 008 9989 9986 998 9980 9976 997 9966 9960 995 9945 0008 0009 00 00 006 009 00 006 000 004 9997 9996 9995 999 999 9990 9988 9986 998 9980 000 000 0004 0005 0006 0007 0008 0009 00 00 9999 9999 9998 9998 9997 9997 9996 9995 9994 999 4 000 000 000 000 000 000 000 000 0004 0005 4 0000 0000 0000 9999 9999 9999 9999 9999 9998 9998 5 0000 0000 0000 0000 000 000 000 000 000 000 5 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 x 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 x 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 0 006 0055 0050 0045 004 007 00 000 007 005 0 006 0055 0050 0045 004 007 00 000 007 005 0 087 065 044 05 007 09 076 06 049 07 04 04 089 066 044 04 006 089 074 079 0746 070 0659 068 0580 0544 0509 0477 0446 65 088 06 0948 0884 084 0768 075 0666 060 48 9 9 85 08 0 0985 098 089 5 8 54 07 906 800 700 604 5 4 79 68 64 600 558 55 47 48 8 9 4 4 406 895 7 575 4 7 7 987 85
TABELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (Continuação) A Função probabilidade B Função de distribuição x 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 x 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 049 0464 048 04 089 066 045 04 005 086 0767 079 0674 06 059 0554 058 0485 045 044 4 0874 086 0799 0764 079 0696 066 06 060 057 4 64 555 47 95 49 8 7 055 0996 5 4 04 67 0 094 057 0 0986 095 096 5 88 759 640 56 44 07 0 0 006 9 6 468 445 40 94 67 9 8 5 6 449 404 4060 90 78 646 54 84 57 4 7 489 486 48 474 465 454 44 48 4 96 7 588 5689 554 59 546 500 4956 48 4670 450 8 7 5 6 7 8 88 9 95 96 8 760 707 689 6757 660 648 64 604 6065 595 9 04 070 096 44 67 87 07 4 4 9 80 8096 7988 7877 7764 7649 75 74 790 766 0 0740 0770 0800 089 0858 0887 094 094 0967 099 0 894 8867 8788 8707 86 855 8445 85 857 859 0478 0504 05 0558 0585 06 0640 0667 0695 07 940 97 99 965 908 948 9085 900 895 888 08 00 0 044 066 088 04 044 0457 048 970 967 964 9609 957 956 9496 9454 9409 96 054 068 08 096 0 07 04 060 078 096 9857 984 984 9805 9784 976 979 974 9687 9658 4 0078 0086 0095 004 0 0 04 045 057 069 4 995 997 998 9908 9897 9886 987 9859 9844 987 5 007 004 0046 005 0057 006 0069 0075 008 0090 5 997 9969 9964 9959 9954 9948 994 994 996 998 6 006 009 00 004 006 000 00 007 004 0045 6 9989 9987 9985 998 9980 9978 9974 997 9967 996 7 0007 0008 0009 000 00 00 005 007 009 00 7 9996 9995 9994 999 999 999 9989 9988 9986 9984 8 000 000 0004 0004 0005 0006 0006 0007 0008 0009 8 9998 9998 9998 9997 9997 9996 9996 9995 9994 999 9 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0004 9 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9998 9998 9998 9997 0 0000 0000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 9999 9999 9999 9999 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 x 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 x 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 005 00 00 009 007 006 004 00 00 00 008 005 00 00 009 008 006 005 004 00 000 009 0086 0079 0074 0068 006 0058 0054 0050 07 08 009 000 009 0086 0079 007 0068 006 069 05 07 0 008 095 08 07 060 050 096 070 046 0 00 08 06 044 08 0 4 0544 057 049 0466 044 040 098 077 057 07 4 0940 0887 087 0789 0744 070 0660 06 0584 0550 5 088 0849 086 0784 075 07 069 066 065 0607 5 8 76 65 57 496 4 5 84 9 57 6 9 60 8 097 066 04 00 097 094 09 6 0 896 78 670 56 457 55 56 60 068 7 78 58 8 7 94 7 47 97 7 7 49 454 49 987 856 78 60 478 57 9 8 95 9 88 8 75 66 56 44 8 8 5786 5647 5507 569 5 5094 4958 48 4689 4557 9 56 69 80 90 99 06 5 7 8 9 704 695 6788 6659 650 6400 669 67 6006 5874 0 07 040 06 084 04 40 57 7 86 0 8058 7955 7850 774 764 75 7409 794 778 7060 0749 0776 080 088 085 0878 090 095 0948 0970 8807 87 865 857 8487 8400 8 80 86 800 0505 050 0555 0579 0604 069 0654 0679 070 078 9 96 907 950 909 909 8965 8898 889 8758 05 04 054 074 095 046 048 0459 048 0504 968 9595 956 954 9486 9445 940 958 9 96 4 08 096 00 05 040 056 07 089 006 04 4 980 979 977 9749 976 970 9675 9647 967 9585 5 0098 007 06 06 06 047 058 069 08 094 5 9908 9898 9887 9875 986 9848 98 986 9798 9780 6 0050 0055 0060 0066 007 0079 0086 009 00 009 6 9958 995 9947 994 994 996 998 9909 9899 9889 7 004 006 009 00 006 0040 0044 0048 005 0058 7 998 9979 9977 997 9970 9966 996 9957 995 9947 8 00 00 004 005 007 009 00 004 006 009 8 999 999 9990 9989 9987 9985 998 998 9978 9976 9 0005 0005 0006 0007 0008 0009 000 00 00 004 9 9997 9997 9996 9995 9995 9994 999 999 999 9989
Tabela : Probabilidades acumuladas da distribuição Normal estandardizada Z~ N ( µ = 0, σ = ) : φ() z = F() z = P( Z z) = e dt (fd) π z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,59 0,579 0,59 0,559 0, 0,598 0,548 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,566 0,5675 0,574 0,575 0, 0,579 0,58 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,60 0,64 0, 0,679 0,67 0,655 0,69 0,6 0,668 0,6406 0,644 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,676 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,7 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,74 0,757 0,789 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,767 0,7704 0,774 0,7764 0,7794 0,78 0,785 0,8 0,788 0,790 0,799 0,7967 0,7995 0,80 0,805 0,8078 0,806 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,88 0,864 0,889 0,85 0,840 0,865 0,889,0 0,84 0,848 0,846 0,8485 0,8508 0,85 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,864 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,880, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905, 0,90 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,9 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,96 0,95 0,965 0,979 0,99 0,906 0,99,5 0,9 0,945 0,957 0,970 0,98 0,994 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,946 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,955 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,957 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,96,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,969 0,9699 0,9706,9 0,97 0,979 0,976 0,97 0,978 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,978 0,9788 0,979 0,9798 0,980 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,980 0,984 0,988 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890, 0,989 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,99 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,99 0,99 0,994 0,996,5 0,998 0,9940 0,994 0,994 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,995 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,996 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,997 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999, 0,999 0,999 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995, 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 z t Alguns valores críticos z z,8,645,960,6,576,090,9,89 4,47 φ ( z) 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,99995 0,999995 [ φ( z)] 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 0,00 0,000 0,0000 9
Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 04 Análise de Dados e Probabilidades º Semestre 006/007 Fernando Brito Soares Graça Silva Pedro Chaves Correcção Exame ª Época I (0%) a) (5%) A afirmação é falsa, porque confunde distribuição das observações com distribuição do atributo O facto de todas as classes apresentarem a mesma densidade de frequência apenas nos indica que o número de observações de cada classe é proporcional à sua amplitude O conceito de concentração refere se à forma como o atributo (neste caso, medido em minutos) é distribuído pelas classes com maior e menor número de minutos Através da visualização do histograma de área um, não conseguimos concluir sobre a concentração da amostra b) (0%) x j x j h j f j F j d j f j h j ]0,a] c f 0, 0, 0,0 ]a,60] d g j n 0,0 [60,b] 75 h l o 0,0 ]b,00] e i m 0,0 - - - - 0, 0,0 f0 f a0f000 c 0a 00 0 d a60 060 40 g60 a60 040 j j 0,0 0,0 j0,4 g 40 n0,k0,0,40,6 60b 75 b90 hb 6090 600 l l 0,0 0,0 l0, h 0 onl0,60,0,9 e b00 9000 95 i00 b00 900 m i 0,0 m 0,0 m0, 0
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época x j x j h j f j F j d j f j h j ]0,0] 0 0 0, 0, 0,0 ]0,60] 40 40 0,4 0,6 0,0 [60,90] 75 0 0, 0,9 0,0 ]90,00] 95 0 0, 0,0 - - - - c) (5%) Designe se a subamostra das primeiras classes por A e a da subamostra das classes restantes por B x A f A x x B f B x B f f x f x f f f f x f f f x f x f f 0, 0,6 00,4 0,6 400 f x f f 0, 0,4 750, 95 80 0,4 xf x f x f f x A f f x B 0,60 0,480 50 A B A d) (0%) Designe se Portugal por P, Espanha por E e Península Ibérica por I N E 50; x E x P 50; s E 500 x P 50; s P f x x 0,0 50 0,440 50 0,75 50 0, 95 50 750 x I N Px P N E x E N P50N E 50 50 N P N E 50 N I 50 N I N I N I N I s I 700 N Ps P N E s E N P x P x I N E x E x I N I N P 750 50500 N P 50 50 50 50 50 N P 50 750N P 5000 700N P 5000 N P 00 700 700 750N P 5000 N P 50 700 Número de golos marcados antes de uma hora de jogo, em Portugal S F N P 0,600 0
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época II (0%) a) (0%) Designe se o giz por G, o apagador por A e o detergente por D Preços: G G p p c I G c p p c A A p p c I A c p p c D D p I D p p p Quantidades: G G q I G q A A q I A q D D q I D q p c c c c p c p c p c p p Relação entre índices: i G, A, D,I I c c c P L L V I b) (5%) L P p q 0,5 p q 0,50 0 0,5 0,5 0 0 0 0 p q 0,5 0 0,5 0 0,5 0,5 p q 0 0 0 0 q p p q I V P V I 9 L 9 9
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época L P P I V P V P L I c) (5%) No cálculo de cada um dos índices, podemos utilizar o facto de serem o quociente de totais ponderados de preços ou quantidades ou, alternativamente, o facto de serem uma média ponderada de índices de preços ou de quantidades Os índices são calculados segundo as duas perspectivas: L p q p q p c p c p c p c p p p c p c p c p c p p c L c % Despesa p p I cc I p I q I I p p cc I L p q p q p c p c p c p c p p p c p c p c p c p p c c c c c c 4
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época L % Despesa p p I I p I q I I p p c c I III (0%) a) (0%) Designe se cão por C, gato por G, outro animal por OA e abandonado por Ab PC 0,5; PG 0,; POA 0, PAb\C 0,6; PAb\G 0,4; PAb\OA 0, PAb PAb C PAb G PAb OA PAb\CPC PAb\GPG PAb\OAPOA 0,60,5 0,40, 0,0, 0,46 b) (0%) PC\Ab PC\Ab PC Ab PAb 0,50,6 0,46 0,65 0,478 IV (0%) a) (5%) X: Tempo que um contribuinte demora a preencher uma declaração do tipo A via Internet X~Nµ 00; σ 0 PX 0 PZ 0 00 PZ PZ 0,84 0,587 0 b) (0%) PX 00 PZ 00 00 PZ 0 0,5p 0 5
Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 006/007 Correcção Exame ª Época Y: Número de contribuintes, em 0, que demoram menos do que 00 minutos a preencher a sua declaração do tipo A via Internet Y~Binn 0; p 0,5 PY 0,0547 a) (5%) R: Número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam durante uma hora à TOTALSEGUR R~Pλ 5 PR 7 PR 6 0,76 b) (5%) T: Número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam durante uma hora e meia à TOTALSEGUR T~Pλ 5,5 7,5 PT 8PT 8 0,660 0,80 c) (5%) K: Número de reclamações, relativas a acidentes de viação, que chegam durante três horas à TOTALSEGUR K~Pλ 5 5 A distribuição de Poisson, tal como a Exponencial, à qual está ligada, não tem memória de acontecimentos passados Por isso, a probabilidade de chegarem exactamente 0 reclamações em horas não depende do que aconteceu antes PK 0 e 5 0,0486 0! 6