Módulo 3 JUROS SIMPLES 1. Conceitos Iniciais 1.1. Juros Juro é a remuneração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela diferença entre dois pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem equivalentes. Ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido de remuneração obtida durante o período da aplicação. Existe uma diferença entre o montante (S) e a aplicação (P) que é denominada de remuneração, rendimento ou juros ganhos. Ex: Juros Ganhos = Montante Aplicação Os juros ganhos em uma aplicação financeira são o produto da taxa de juros vezes o principal: J ( jurosganho s ) i = J = Pxi P ( aplicação ) Igualando as duas expressões para calculo de juros, pode se obter uma relação para o montante: S P = Pxi S = P ( 1 + ) i Para realização dos cálculos financeiros é necessário colocar as taxas de juros em forma fracionária, mesmo que o mercado financeiro trabalhe com base na taxa de juros percentual. Ex: Forma Percentual Forma Fracionária 10% 10/100 = 0,10 1% 1/100 = 0,01 40% 40/100 = 0,40 0,4% 0,4/100 = 0,004
1.2. Taxa de Juros Ë a unidade de medida dos juros, ou seja, o custo ou remuneração percentual paga pelo uso do capital durante um determinado tempo. Exemplo: 12% ao ano, sua representação poderá ser feito na forma decimal, isto é, 0,12 1.3. Diagrama de Fluxo de Caixa A representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas monetárias, identificadas temporalmente, é chamada de Diagrama de Fluxo de Caixa. É essencial no entendimento de operações de matemática financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital. Entradas de Caixa (+) 0 1 2 3 4 5 6 7 tempo Saídas de Caixa ( ) A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o instante inicial, e os demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas). 1.4. Regras Básicas Nas fórmulas da matemática financeira, o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos necessariamente na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo ou da taxa para a mesma unidade de tempo dependem do regime de capitalização definido para a operação. Para juros simples temos: 24% a. a. = 24/12 = 2% ao mês 24% a. a. = 24/6 = 4% ao bimestre 24% a. a. = 24/4 = 6% ao trimestre 24% a. a. = 24/2 = 2% ao semestre
2. Critérios de Capitalização 2.1. Regime de Capitalização Simples Consiste na apuração de juros aplicando se a taxa contratada sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo várias adições consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas têm a mesma dimensão, significando isto que as parcelas de juros geradas anteriormente não se incorporam ao capital como base para a geração de novos juros. O montante de capital e juros se comporta como uma progressão aritmética. ANO JUROS SIMPLES SALDO DO INICIO 1 1.000,00 2 1. 3 1.200,00 4 1.300,00 * Crescimento de 40% em 4 períodos i = 10% AO PERÍODO JUROS APURADOS A CADA PERÍODO SALDO AO FINAL 1. 1.200,00 1.300,00 1.400,00 2.2. Regime de Capitalização Composta Consiste na apuração periódica de juros com sua imediata incorporação ao capital gerador de novos juros. Dessa forma, o montante ao final do período x passa a ser o capital inicial para o período x+1. Os juros abonados em cada período tornam se geradores de novos juros, e o montante de capital e juros se comporta como uma progressão geométrica. ANO JUROS COMPOSTOS SALDO DO INICIO 1 1.000,00 2 1. 3 1.210,00 4 1.331,00 * Crescimento de 46,41% em 4 períodos i = 10% AO PERÍODO JUROS APURADOS A CADA PERÍODO 0,10 x 1. = 110,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 SALDO AO FINAL 1. 1.210,00 1.3331,00 1.464,00
3. Juros Simples 3.1. Introdução Os juros simples diante de suas restrições técnicas têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O uso de juros simples restringe se principalmente às operações praticadas no âmbito de curto prazo. No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por este regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação, mas não para apuração do efetivo resultado percentual (taxa interna de retorno). Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas do sistema financeiro estão referenciadas a juros simples, porém a formação dos montantes das operações, processa se exponencialmente. Um exemplo disto é a caderneta de poupança com juros de 6% ao ano, juros mensais de 0,5% ao mês, com capitalizações mensais a juros compostos. 3.2. Fórmulas de Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = C. i. n Onde: J = juros C = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) M = C ( 1 + i n )
3.3. Aplicações 1) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Solução: C = $80.000,00 i = 2,5% a. m. 0,025 a. m. e n = 3 meses J =? J = C i n J = 80.000,00. 0,025. 3 J = $ 6.000,00 Nas fórmulas as taxas de juros deve sempre estar expressa na forma decimal! 2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 18% ao trimestre durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Solução: i = 18% a.t. = 18% a.t. 3 = 6% ao mês 0,06 a..m. n = 9 meses e J = $270.000,00 C =? J = C i n 270000,00 = C 0,06. 9 270000,00 = C 0,54 C = 500000,00 O valor do empréstimo é $ 500.000,00 Nos juros simples para a obtenção da taxa mensal conhecendo a taxa trimestral, basta dividir a taxa trimestral por três, pois o prazo e a taxa, devem estar na mesma unidade de tempo! 3) Uma pessoa aplicação de $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final do período. Solução: C = $18.000,00 i = 1,5% a. m. 0,015 a. m. n = 8 meses M =? M = C (1 + i n) M = 18000,00 (1 + 0,015. 8) M = 18000,00. 1,12 M = 20160,00
O montante acumulado é de $ 20160,00 4) Uma dívida de $ 90.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. Solução: M = $90.000,00 i = 7% a. m. 0,07 a. m. n = 4 meses C=? M = C (1 + i n) 90.000,00 = C (1 + 0,07. 4) 90.000,00 = C 1,28 C = 70312,50 O valor que deveria ser pago na antecipação é de $ 70.312,50.