8 Exercício Calcular os polinómios R,S,T de um controlador discreto com acção integral para um sistema do tipo integrador duplo. Faça o período de amostragem igual a 0.5 s. Coloque os polos desejados para o sistema em malha fechada nas localizações z 0.50.5j e z 0.5-0.5j. Coloque todos os polos de um eventual observador em z 0.
Resolução É pedido que os polos da FT desejada sejam colocados em: ± 9 Portanto: Esta colocação de pólos discretos corresponde às seguintes especificações contínuas (mostre!): ξ ω A relação entre a frequência dos pólos dominantes e a frequência de amostragem é de: ω ω π Atenção: A frequência de amostragem é apenas de 7x superior à frequência dos pólos (deveria ser entre 10 a 30 x superior). Não poderemos esperar uma boa aproximação entre as respostas discretas e contínuas! Vamos no entanto continuar com o projecto.
10 Integrador duplo discreto: ( ) ( ) Fazendo h 0.5, obtemos: ( ) Não devemos cancelar nenhum zero de G(q), uma vez que não são suficientemente amortecidos. Factoriza-se BB B - da seguinte forma:
11 O termo que não é cancelado terá que ser factor no numerador da FT desejada: Não se pretendendo impôr mais nenhums zeros à FT desejada, faz-se: β O escalar β é calculado de modo a definir o ganho estático da FT desejada. Por exemplo, se se pretende ganho estático unitário, faz-se: β
12 Polinómio observador O polinómio observador tem que satisfazer a condição de grau: Portanto: É pedido que todos os polos do observador sejam colocados na origem, logo: Notar que em termos de desempenho, a colocação de todos os pólos do observador na origem poderá não ser a melhor solução!
13 Cálculo do controlador Temos que resolver a equação: ( )( ) ( ) Para o numerador, a solução é simples: Para o denominador temos que resolver a equação Diofantina. ( )( ) ( ) Faz-se: ( )( ),, ( )
14 1. Resolver A XB YG, pelo algoritmo de Euclides expandido, sendo G o máximo divisor comum entre A e B. Obtêm-se soluções particulares deste problema (X, Y), e as soluções do espaço nulo (U,V). 2. Calcular soluções particulares de através de R 0 XC div G, S 0 YC div G 3. As soluções gerais são: R 0 QU, S S 0 QV. A solução mínima relativamente a S é obtida fazendo Q -S 0 div V. Divisão polinomial de A por B :
15 Algoritmo de Euclides Expandido: Multiplicar segunda linha por 8q 2-32q56 e subtrair na primeira:
16 Trocar as duas linhas: ( ) Multiplicar segunda linha por -(q1)/64 e subtrair na primeira. ( ) ( ) ( ) Trocar as duas linhas. ( ) ( ) ( ) Obtêm-se um zero no canto inferior esquerdo da matriz. Pára-se o algoritmo.
17 G -8, X 1, Y, U ( ), V ( ) 2. Soluções particulares R 0 XC div G ( ) ( ) S 0 YC div G ( )( ) 3. Solução de ordem mínima para S Q -S 0 div V R 0 QU S S 0 QV
18 Solução da Equação Diofantina com a polbox (toolbox matlab) % conversão dos polinómios para o formato da polbox % CUIDADO! Os coeficientes dos polinómios são dados por ordem inversa Apppck(fliplr([1-3 3-1]), 3); Bpppck(fliplr([1 1]), 1); Cpppck(fliplr([1-1 0.5 0 0], 4)); % Resolução da Eq. Diofantina [R1, S] axbyc(ap,bp,cp); Finalização dos cálculos: ( ) ( )( ) ( )