ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 6 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - 3 pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.. Uma escada de pedreiro tem 3 metros de comprimento e está encostada a uma parede. O ângulo da escada com o chão é de 70º. A distância da base da escada à parede é, em metros com aproimação ao cm: A.,03 m B.,89 m C.,3 m D.,8 m. Qual das seguintes representações gráficas se refere a uma função com derivada no ponto de abcissa? A. B. C. D. PROFESSORA: Rosa Canelas
3. Duas amplitudes de ângulos cujo seno é simétrico do seno de π 8 são: A. π 7π, B. 7π 7π, C. 9π 7π, D. π 9π,. Na figura está o gráfico de uma função f racional do tipo y f( ) a +, a,c IR\ {} 0 e as rectas de equação c y e 3 que são assímptotas do gráfico de f. Uma epressão analítica para representar f() será: -6-3 3 6 A. + f() 3 B. + f() 3 - C. + + f() 3 D. + + f() 3-5. Na figura está representada uma função polinomial f. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função derivada de f? A. B. C. D. PROFESSORA: Rosa Canelas
Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto.. No referencial da figura estão representados um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face z V superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial. R S M U T O vértice N pertence ao semieio O. O P y O vértice P pertence ao semieio Oy. O vértice S pertence ao semieio Oz. N Q A altura da pirâmide, VM, é igual ao comprimento da aresta do cubo. O vértice V tem coordenadas V (3,3,)... Mostre que as coordenadas de T são (0,6,6) e as de U são (6,6,6).. Calcule uma equação do plano UVT..3. Escreva a condição que define a recta RT.. Uma fábrica produz dois tipos de peças. O custo por peça de cada tipo é dado, em função do número de peças produzidas por: Custo por peça do tipo P ( ) Custo por peça do tipo P ( ) 5 + 0 + 8 + +.. Calcule o preço de produção de uma única peça de cada tipo... Peças de tipos diferentes têm custos de produção diferentes. Defina a função que, para o mesmo número de peças produzidas dos dois tipos, traduz a diferença de custo por peça..3. Quantas peças do tipo deverão ser produzidas para que o custo por peça não eceda,5?.. A fábrica naturalmente aspira a produzir um grande número de peças dos dois tipos. Qual será, aproimadamente, o preço por peça de cada tipo. PROFESSORA: Rosa Canelas 3
3. A altura h em milímetros de água num vaso, em função do tempo, em segundos, de enchimento é dada pela função: ( ) + h t 0t 0,t 3.. Se o vaso tem 0 cm de altura, quanto tempo leva a encher o vaso? 3.. Determine a velocidade média de enchimento do vaso entre os e os segundos. 3.3. Determine a velocidade com que a água sobe no vaso: segundos depois de se iniciar o enchimento; segundos depois de se iniciar o enchimento. 3.. Comente, numa pequena composição, a grandeza relativa dos valores que encontrou em 3.3.. COTAÇÕES Grupo I... 5 Cada resposta certa... + 9 Cada resposta errada... - 3 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II...55.... 50..... 0..... 0.3.... 0.... 50..... 0..... 5.3.... 5..... 0 3.... 55 3..... 0 3..... 0 3.3.... 5 3..... 0 TOTAL... 00 PROFESSORA: Rosa Canelas
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 6 proposta de resolução Grupo I. A.,03 m Uma escada de pedreiro tem 3 metros de comprimento e está encostada a uma parede. Sendo o ângulo da escada com o chão é 70º vamos representar a distância da base da escada à parede por. Por representar o cateto adjacente e sabermos a hipotenusa vamos usar o cos 70. cos70 3cos70 3,03m 3 m 70º. C. Das seguintes representações gráficas a que se refere a uma função com derivada no ponto de abcissa é aquela em que as duas semitangentes estão na continuação uma da outra. Pelo que o único gráfico que verifica isso é o C. A. B. C. D. 3. D. Duas amplitudes de ângulos cujo seno é simétrico do seno de π 8 são π 9π, π 8 9π 8 - - π 8 PROFESSORA: Rosa Canelas 5
. D. Na figura está o gráfico de uma função f racional do y c tipo f( ) a +, a,c IR\ {} 0 e as rectas de equação y e 3 que são assímptotas do gráfico de f. Uma epressão analítica para representar f() será f() +. + 3-6 -3 3 6 Para confirmar podia desenhar todas as funções na sua - calculadora, mas devia saber que numa função deste tipo a assímptota vertical tem equação c e a - horizontal tem equação y a. 5. C. Na figura está representada uma função polinomial f. - -0,6.5 + f() M m M m f '() + 0-0 + 0-0 + Dos gráficos dados o que pode ser o da função derivada de f é aquele em que o quadro de variação do sinal é de acordo com a monotonia da função e só o gráfico C tem essa variação de sinal. Grupo II. No referencial da figura estão representados um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. z V A base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O vértice O coincide com a origem do referencial. R S M U T O vértice N pertence ao semieio O. O P y O vértice P pertence ao semieio Oy. O vértice S pertence ao semieio Oz. N Q A altura da pirâmide, VM, é igual ao comprimento da aresta do cubo. O vértice V tem coordenadas V (3,3,). PROFESSORA: Rosa Canelas 6
.. As coordenadas de T são (0,6,6) porque se T pertence ao plano yoz tem abcissa zero e como a distância dele ao plano Oz é igual à distância dele ao plano Oy e essa distância é igual à aresta do cubo que mede metade da cota de V, podemos concluir que T tem ordenada e cota iguais a 6. As coordenadas de U são (6,6,6) por a distância de U a cada um dos planos coordenados ser igual à aresta do cubo que mede 6... Sendo U(6,6,6); V(3,3,) e T(0,6,6) concluímos serem as coordenadas dos vectores concorrentes do plano UVT, UV ( 3, 3,6) e UT ( 6,0,0). Vamos agora determinar as coordenadas (,y,z) de um vector normal ao plano por ser perpendicular aos dois vectores concorrentes do plano: ( ) ( ) ( ) (,y,z) 3, 3,6 0 3 3y + 6z 0 3y + 6z 0 y z, y,z. 6,0,0 0 6 0 0 0 n 0,,. obtemos um vector normal com coordenadas ( ) Fazendo z A equação do plano será da família y + z D e como passa em T(0,6,6) teremos: 6 + 6 D D 8 e finalmente a equação do plano UVT é y + z 8..3. A recta RT tem a direcção do vector RT ( 6,6,0) e passa pelo ponto T(0,6,6) e dela podemos escrever as equações: Vectorial: (, y,z) ( 0,6,6 ) + k ( 6,6,0 ), k IR Cartesianas: y 6 z 6. 6 6. Uma fábrica produz dois tipos de peças. O custo por peça de cada tipo é dado, em função do número de peças produzidas por: Custo por peça do tipo P ( ) Custo por peça do tipo P ( ) 5 + 0 + 8 + +.. O preço de produção de uma única peça de cada tipo será dada por: 5 + 0 P () 3 + e () 8 + P 3. +.. Peças de tipos diferentes têm custos de produção diferentes. A função que, para o mesmo número de peças produzidas dos dois tipos, traduz a diferença de custo por peça é dada por: ( 5 + 0)( + ) ( 8 + )( + ) ( )( ) 5 + 0 8 + P( ) P( ) + + + + 5 + 0 + 0 + 0 8 3 3 3 + 6, definida em IN 0 por ( + )( + ) ( + )( + ) representar o número de peças produzidas que é um número inteiro não negativo. PROFESSORA: Rosa Canelas 7
.3. O número de peças do tipo que deverão ser produzidas para que o custo por peça não eceda,5 é dado pela solução da condição: 5 + 0 5 + 0 5 + 0,5 8 0,5 8 P ( ),5,5,5 0 0 0, + + + + como + > 0 em todo o domínio terá de ser 0,5 8 0 6. Concluímos que teriam de ser produzidas no máimo 6 peças do tipo, para que o custo de cada peça fosse inferior a,5... A fábrica naturalmente aspira a produzir um grande número de peças dos dois tipos. Nessas condições o preço por peça do tipo tende a aproimar-se de 5 por o gráfico da função P ter uma assímptota horizontal de equação y 5. Também as peças do tipo tendem a custar 8 por o gráfico de P tem uma assímptota horizontal de equação y 8. 3. A altura h em milímetros de água num vaso, em função do tempo, em segundos, de enchimento é dada pela função: ( ) + h t 0t 0,t 3.. Se o vaso tem 0 cm de altura, o tempo que ele leva a encher é dado pela solução positiva da equação: 0 ± 00 + 80 h() t 00 0t + 0,t 00 0,t + 0t 00 0 t 0, A solução positiva desta equação é t 8,5s, tempo que o vaso leva a encher. 3.. A velocidade média de enchimento do vaso entre os e os segundos é dada pela taa média de variação da função no intervalo [,]. Tmv [,] ( ) ( ) h h 3, 0,8,mm / s 3.3. A velocidade com que a água sobe no vaso: segundos depois de se iniciar o enchimento, é dada por : h ( ) Comecemos por calcular h(t) 0+ 0,t, então h () 0 + 0,8 0,8mm / s segundos depois de se iniciar o enchimento, é dada por h ( ) 0 +, 6, 6mm / s 3.. Dada a forma do vaso que se torna mais estreito à medida que a água sobe, podemos deduzir ser a velocidade de enchimento cada vez maior. Essa variação não é muito acentuada por a diminuição da largura do vaso ser pequena. PROFESSORA: Rosa Canelas 8