Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC o Sem. 9/ 9 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. Integrais Impróprios. ) Quais dos seguintes integrais são impróprios? Porquê? (ii) sen + ) Determine se cada um dos seguintes integrais é convergente ou divergente, e calcule os que forem convergentes. (vii) () 4 (ii) (v) (3 + ) (viii) ( v 4 ) dv (i) 3 π 5 dw w sen θ dθ II. Eponenciais, logaritmos e funções hiperbólicas. (vi) (ii) 9 π 3 9 sec + ) Determine o domínio das funções definidas pelas epressões log(log ) (ii) log ( ) + 3 log ( ) 3 ( ) log (v) log ( + + ) (vi) argcosh( 3) + ) Calcule os limites quando +,, + e das seguintes funções definidas em R \ {}. (a) e / (b) senh(/) (c) cosh(/) (d) e / (e) senh(/ ) (f) cosh(/ ) 3) Calcule os limites quando + e + das funções definidas pelas seguintes epressões. ( ) ( ) (a) log (b) log (c) log ( log( + ) ) + + 4) Calcule os limites quando + e + das funções definidas pelas seguintes epressões. (a) e (b) e (f) e + (g) e (c) e + (d) e (e) e + (h) e + e + (j) e + 3
CDI I - LEIC FICHA 9 5) Calcule f (), sempre que eista, nos casos em que a função f é definida pela epressão: f() = log( + ) (ii) f() = ( + log ) f() = log(log ) f() = log( + ) (v) f() = log( + sen ) (vi) f() = log( + cos ) (vii) f() = e log () f() = e / (viii) f() = e (i) f() = e sen f() = e / (ii) f() = e cos (iii) f() = e (iv) f() = e (v) f() = senh() cosh() 6) Calcule, usando a fórmula a derivada das seguintes funções: f () = ( log f() ) f() f() = e ( + ) (ii) f() = sen tan 4 f() = 4 + ( + ) 7) Calcule f (), sempre que eista, nos casos em que a função f é definida pela epressão: f() = log (ii) f() = 3 f() = 5 / f() = / (v) f() = (vi) f() = log (vii) f() = (log ) (viii) f() = / f() = sen () f() = (sen ) (i) f() = e (ii) f() = (log ) cos 8) Calcule, se eistirem, as derivadas laterais no ponto da função f : R R definida por + e /, f() =, =. 9) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. + (ii) e +3 (v) 3e + (vi) [ 3 ] (vii) e (viii) 3 + ) Calcule () a b (i) 3 a a + (ii) senh() + 3 cosh() a a +
CDI I - LEIC FICHA 9 3 ) Usando uma substituição adequada, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: e 5 (ii) e + e + e 3 e 4 4 5 (v) e (vii) (viii) + + 4 () log (iii) ( + ) (i) (iv) e/ cos(log ) e + 3 7 (vi) e + 3 (ii) e (v) e e e e (vi) (vii) (viii) + e + e + e (i) e sen(e e e ) () (i) e + e III. Primitivação por partes. Usando primitivação por partes, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. Sugestão: Nalguns eercícios, após primitivar por partes é conveniente dividir os dois polinómios. () sen () cos (3) e (4) senh (5) cosh (6) sen (7) cos (8) e (9) senh () cosh () log () (log ) (3) log( + ) (4) arcsen (5) arctan (6) arctan (7) arctan(/ ) (8) arctan( ) (9) (log ) 3 log(log ) () () log () (log ) (3) log log( + ) (4) + (5) cos() log( + cos ) (6) sen() log( + sen ) (7) e a sen(b) (8) cosh() cos() (9) senh() sen() (3) sen() cos(3) e
4 CDI I - LEIC FICHA 9 IV. Funções trigonométricas e hiperbólicas. ) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. sen () (ii) cos () sen 3 () cos 3 () sen () (v) e sen () sen() (vi) tan() (vii) cotan(5 7) (viii) tan() sen (3) () tan sec (i) senh( + ) cosh( + ) (ii) senh () (iii) cosh () (iv) sen 4 (3) (v) sen 3 cos (vi) cos sen() (vii) senh 3 () cosh () (viii) senh 3 cosh ) Usando uma das seguintes substituições u = tan du = sec = ( + tan ) determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. ou u = sec du = sec tan tan 3 (ii) sec tan tan 4 sec 6 (v) tan 5 sec 4 (vi) tan 3 sec V. Primitivação de funções racionais. Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. () ( + )( ) (4) 5 (7) + 4 + + () ( )( + ) 3 (3) ( )( + ) + 3 (6) ( + ) ( 3) (9) () (5) (8) () (5) + + (8) ( )( + ) () 3 + 3 + (4) ( 4)( + ) (7) 4 (3) (6) + + 6 + (9) (4 )( + ) + () ( ) (5) 4 + 6 ( + )( ) (8) + + () + () ( + 3)( ) 4 ( + )( + 3) 3 + 4 ( )( + ) + 7 3 + (3) (6) (9) + (4 )( + ) ( )( + ) + 3 3 + 3 (4) (7) (3) + 3 + 3 + 3 + ( )( + + ) ( + )( + ) + ( + )( + 3) + 4 + 3 ( + )( + + ) 3 + 3 + 3 + + +
CDI I - LEIC FICHA 9 5 Tabela de primitivas. α = α+, (α ) = log α + e = e a = a log a cos = sen sen = cos cosh = senh senh = cosh sec = tan cosec = cotan sec tan = sec cosec cotan = cosec = arctan = arcsen + = argcosh, ( ) = argsenh + = argcosh( ), ( )