17º iósio do Pogaa de Pós-gaduação e Engenhaia Mecânica Univesidade Fedeal de Ubelândia Faculdade de Engenhaia Mecânica IMUAÇÃO E MOEO MATEMATICO PAA O COMPOTAMENTO E CÉUA IMOBIIZAA EM GE Mácio de Andade Batista 1 ; ouiel Oliveia Vilainho Univesidade Fedeal de Ubelândia Av. João Naves de Ávila, 160 - Caus anta Mônica - Bloco 1M - Ubelândia/MG CEP: 38400-90 - Fone: (34) 339 4148/419/4150 - Fax: (34) 339 406 Eail:engandade10@gail.co; vilainho@ecanica.ufu.b 1- outoando do ogaa de Pós-gaduação e Engenhaia Mecânica - Pofesso outo do ogaa de Pós-gaduação e Engenhaia Mecânica esuo: Este tabalho te coo objetivo cental oo ua contibuição aa o desenvolviento de ua coeensão aa o ocesso e cootaento de iobilização de células. Nessa dieção, aesenta-se ua oosta de odelo que visa desceve as condições de iobilização da acchaoyces ceevisiae e alginato de cálcio. Aboda-se asectos ateáticos e de siulação aa u elho entendiento de u sistea co a finalidade de investiga fatoes iotantes no cootaento de iobilização. essalta-se ainda que essa etodologia é fundaental aa cia-se ua analogia co a foação de biofiles envolvidos no ocesso de coosão induzida o icoganisos. Palavas-chave: Biofile, Iobilização, Modelos Mateáticos.
1-INTOUÇÃO Asectos intodutóios aa a odelage A cinética de tansfoação aa u sistea co células iobilizadas é difeente daquela esultante de células live. Existe váios efeitos que contibue aa essas difeenças sendo a odificação de ação etabólica e a existência de efeitos de esistência à tansfeência de assa os fatoes ais iotantes dessa difeença. O balanço de assa aa o substato dento de ua atícula esféica ode se escito na foa unidiensional confoe: 1 d d d d (1) Onde é a taxa de tansfoação do substato o unidade de volue na atícula. As condições de contono aa o oblea são dadas o: E: d 0, 0 d d d k ( o ) () Onde: 0 k ubstato consuido ubstato inicial Posição adial no ellet aio do ellet (uefície da atícula) Constantes de inibição (Monod) Coeficiente de difusividade Escevendo o odelo co vaiáveis adiensionalizadas: ϕ (3) o ξ (4) Te-se o odelo adiensional e co constante, 1 d dϕ ξ ξ o ϕ (5) As condições de contono na foa adiensional são,
dϕ 0 E ξ 0, dϕ k E ξ 1, ( 1 ϕ) h(1 ϕ) (6) (7) A siulação coutacional desse odelo é siles e ode se feita utilizando ua etodologia de discetização acolada a u algoito aa solução de sisteas de equações não lineaes. Nesse tabalho utilizou-se a técnica de colocação otogonal co olinôios de Jacobi (VIAEN e MICHEEN, 1978) e u abiente cilab. A investigação eliina utilizouse ua cinética do tio Michaelis-Menten dada ela exessão de taxa: kcx K + (8) A dificuldade de se edi a concentação de glicose () dento da atícula fez co que se escolhesse ua abodage aaética de investigação eliina onde investiga-se o efeito dos aâetos que desceve o odelo. Nesse asecto, busca-se valoes que ossibilite coeende o efeito a se veificado exeientalente e tabalhos futuos. O sistea o investigado, co γ KC e váios valoes de ódulo de Thiele, φ, aesenta o K K cootaento descito na Figua 1. Meece destaque o fato de que coo a concentação de células auenta co o teo, a exloação do cootaento desse sistea aa ua faixa de valoes do ódulo de Thiele eite esboça o cootaento que esse odelo desceve aa o cootaento do sistea. e foa análoga, o aio da atícula ossui influência quadática nesse cootaento. 3
Figua 1 - Cootaento estacionáio de ua atícula co 5 ontos de colocação intenos, olinôio de Jacobi co α 1, β 1, h100, γ 0, e φ [1(+), 10(x), 100(o)]. O ódulo de Thiele aesenta exlicitaente, aa ua atícula esféica co aio fixo, ua oocionalidade dieta co a concentação de células, indicando assi que duante a oeação do sistea o cootaento qualitativo que se esea no teo seja algo siila ao esultado ostado na Figua 1, consideando cootaento estacionáio co tês níveis de concentação de células na atícula. O sistea oeando co células iobilizadas aesenta enoes obleas e elação à inibição elo substato. Meso assi, estudos do etaboliso das células iobilizadas e avaliação dos ecanisos difusivos no inteio de ua atícula nu ocesso de feentação co células iobilizadas eece ainda a atenção futua. Pocuando exloa os efeitos que tal descição de odelo ode aesenta, faz-se na Figua ua análise co ua cinética co inibição elo substato e exessão de taxa dada o: ( K + )( 1+ / K ) kc (9) i 4
Figua - Cootaento estacionáio de ua atícula co 5 ontos de colocação intenos, olinôio de Jacobi co α 1, β 1. h100, γ 0,, φ 100 e γ [0(+), 10(x), 5( ),100( ))]. A siulação aa elevados níveis de ódulos de Thiele faz co que o efeito de inibição o elo substato seja entendido à edida que o aâeto de inibição γ auenta, ou seja, co K i o auento da inibição tê-se a eseada edução na queda de concentação do substato dento da atícula. É fato tabé que co o cesciento celula, os ecanisos difusivos se altea e considea que o coeficiente de difusividade inteno é constante ode não eesenta be a ealidade. e acodo co FEEIA (1986), os coeficientes de atição e atículas de gel contendo acchaoyces ceevisiae são funções da concentação celula, e ossue a tendência de edução co o auento da concentação de células no inteio da atícula. A consideação de ua cinética co inibição elo oduto segue esos adões da inibição elo substato e fonece ua exessão do tio das Equações 10 e 11 aa inibição não coetitiva e coetitiva, esectivaente. ( K + )( 1 + P/ K ) kcx i (10) kcx K + + K K P ( / ) I (11) No caso da inibição elo substato, exige-se que o balanço de assa aa o oduto tabé seja feito na atícula. Assi, o odelo descevendo o sistea te a foa: 5
1 d d d d e 1 d d dp d (1) Onde co: é a difusividade do etanol na atícula. Escevendo o sistea na foa adiensionalizada, θ P o eδ, tê-se: 1 d dϕ ξ ξ o ϕθ e 1 d dθ 1 ξ ξ o δ ϕθ (13) As condições de contono na foa adiensional são, dϕ E ξ 0 0, dϕ dθ 0 e k E ξ 1, ( 1 ϕ) h(1 ϕ) dθ k δ h δ e ( θo θ ) ( θo θ ) (14) (15) (16) Po onde θ o. o oando-se as equações dos odelos ode-se osta que: 1 ϕ θ θ o + (17) δ Isso eite que odelo seja esolvido aenas substituindo θ na exessão da taxa e esolve-se o balanço de assa aa o substato. A esolução desse sistea aa o caso e que a o concentação do oduto na fase líquida é nula, γ 3 é investigada nua faixa inibitóia de 0 a K I 100 e δ 1. A Figua 3 aesenta o cootaento aa o substato. 6
Figua 3- Cootaento estacionáio de ua atícula co inibição elo oduto de foa não coetitiva utilizando 5 ontos de colocação intenos, olinôios de Jacobi co α 1, β 1, γ 0,, h100, φ 100 e γ 3 [0(+), 10(x), 5( ),100( )]. A análise aesentada não considea casos e que a difusividade é função da concentação. Entetanto, essa consideação ode se facilente ileentada nos sisteas investigados nessa seção se tal cootaento constitutivo fo conhecido. a avaliação eliina do cootaento estacionáio da concentação de substato dento de ua atícula esféica ode-se infei que o cootaento quando o núeo de células ecisa tabé se consideado não é de todo siles aa ua descição tansiente. Abodando-se o eato de istua investigado (e consideado e istua efeita), ode-se esceve o balanço de células, etanol e glicose confoe segue: Balanço de células lives no feentado: dc, ef dt C (0) ε (18) onde ef é a taxa efetiva de cesciento celula no exteio da atícula co células iobilizadas eε a concentação inicial de células lives (<<1 g/). Ua exessão aa ef aa ua cinética tio Monod ode se dada o: μ ax C ef C + K K + C C n cd, (19) Assi, te-se: 7
dc dt μ ax K C + C C + K C n cd (0) Onde; C Concentação de glicose no fluido C cd Concentação de células C Concentação celula no leito K, K, n. Constantes de ocesso ef Concentação de etanol no inteio da atícula V Volue do eato Velocidade esecífica áxia μ ax Na Equação 1, a ieia acela é esultante do cesciento celula das células lives e a segunda acela oigina-se do desendiento da óia atícula, sendo K e n constantes que deende fundaentalente do ocesso utilizado aa a confecção da atícula e da oeação do feentado (esistência a estesse, etc.). Pelos esultados exeientais aesentados nesse estudo, que não eutilizou atículas e feentações subseqüentes, a contibuição do núeo de células o desagegação de atículas ode se negligenciada, antidos os níveis oeacionais confoe investigado. A avaliação do cootaento do substato e oduto aa o sistea ode se descita elos balanços: Balanço de Etanol: VdC ef μ C. Y dt ax P / c CV + K + C ef ; C ( 0) 0 (1) ef onde ṁef é a quantidade de etanol, geada no inteio da atícula, e que foi tansfeido aa a fase bulk do feentado. Esse teo ode se descito confoe couente feito na liteatua de tansfeência de assa, nesse caso, Balanço de Glicose: VdC μ C. Y dt ax / c CV K + C ṁ ef é oocional a o ; C ef 0) C go (P P ), ou seja ef α ' (P P ). ( (). o onde ṁ é a quantidade de glicose consuida no inteio da atícula, e que foi etiada da fase bulk do feentado, nesse caso. α ' ( C ), C o. Evidenteente o odelo ode se facilente ajustado aa considea exessões cinéticas de feentação de glicose co acchaoyces ceevisiae ais colexas. Os balanços dento da atícula ode se exessos o: 8
Balanço dento da Patícula t 1 P t 1 d d d d d d dp + d (3) (4) Onde e P são as concentações de glicose e etanol no inteio da atícula. As condições de contono aa caso de coeficientes de tansfeência de assa nas vizinhanças extenas à atícula dadas o k, são descitas o: d d dp dt E 0, 0 (5) d d E, k ( o ) dp e k ( Po P) d (6) O conjunto de equações descevendo o odelo desse sistea, eboa não seja siles, ainda é tatável de u onto de vista nuéico, necessitando, entetanto, de aâetos cinéticos, de oeação e intenos à atícula. A siulação e validação do odelo oosto, be coo a avaliação dos esultados exeientais, seão deixadas coo sugestão de continuidade desse tabalho e ua ossível analogia co a foação de biofile seá ealizada.. AGAECIMENTO Os autoes agadece ao CNPq ela concessão de bolsa de esquisa 3. EFEÊNCIA BATITA, M.A. Estudo da iobilização de células de sacchaoyces ceevisiae e gel de alginato de cálcio no ocesso de feentação alcoólica, Ubelândia, 005. 115. issetação (Mestado e Engenhaia Quíica)- Faculdade de Engenhaia Quíica, Univesidade Fedeal de Ubelândia. VIAEN, J.V. E MICHEEN, M.. olution of iffeential Equation Models by Polynoial Aoxiation, Pentice Hall. (1978). FEEIA,.. Coeficientes de atição de solutos e gel contendo icoganisos iobilizados, ão Calos, 1986. 69. issetação (Mestado e Engenhaia Quíica)- Faculdade de Engenhaia Quíica, Univesidade Fedeal de ão Calos. 9
IMUATION OF MATHEMATICA MOE FO THE BEHAVIO OF IMMOBIIZE CE IN GE Mácio de Andade Batista 1 ; ouiel Oliveia Vilainho Univesidade Fedeal de Ubelândia Av. João Naves de Ávila, 160 - Caus anta Mônica - Bloco 1M - Ubelândia/MG CEP: 38400-90 - Fone: (34) 339 4148/419/4150 - Fax: (34) 339 406 Eail:engandade10@gail.co; vilainho@ecanica.ufu.b 3- outoando do ogaa de Pós-gaduação e Engenhaia Mecânica 4- Pofesso outo do ogaa de Pós-gaduação e Engenhaia Mecânica Abstact: The cental objective of this wok is to oose a contibution fo the develoent of altenative technologies fo the ocess and behavio of iobilization of cells. In this diection, a odel oosal with the uose to descibe the conditions of iobilization of the acchaoyces ceevisiae in alginate of calciu is esented. Matheatical asects as well as asects of siulation fo a bette coehension of a syste with the uose to investigate iotant factos in the iobilization behavio ae consideed. It is still ehasized that this ethodology is basic to ceate an analogy with the foation of biofouling involved in the ocess of induced coosion fo icooganiss. Keywods: Biofouling, Iobilization, Matheatical Model. 10