Par de Variáveis Aleatórias

Par de Variáveis Aleatórias Luis Henrique Assumpção Lolis 7 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 1

Conteúdo 1 Introdução 2 Par de Variáveis Aleatórias Discretas 3 Distribuição Conjunta 4 Momentos conjuntos e Esperança matemática de variáveis aleatórias Covariância e Correlação 5 Variância de variáveis aleatórias 6 Distribuição Condicional e independência 7 Esperança e variância condicionais 8 A distribuição normal bivariada 9 Funcções de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 2

Sumário 1 Introdução 2 Par de Variáveis Aleatórias Discretas 3 Distribuição Conjunta 4 Momentos conjuntos e Esperança matemática de variáveis aleatórias Covariância e Correlação 5 Variância de variáveis aleatórias 6 Distribuição Condicional e independência 7 Esperança e variância condicionais 8 A distribuição normal bivariada 9 Funcções de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 3

Introdução Um vetor de N coordenadas. Cada coordenada pode representar uma variável aleatória. Variável aleatória vetor aleatório. Considere X e Y variáveis aleatórias. O par (X, Y ) é chamado de vetor aleatório (bidimensional) Probabilidades conjuntas: Para (X, Y ) estamos interessados em eventos do tipo {X A} {Y B}. De maneira que para facilitar notação: P (X A, Y B) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 4

Introdução fmp conjunta. fdp conjunta. Momentos conjuntos. Grau de independência / grau de correlação. Exemplo. Um experimento aleatório consiste em retirar aleatoriamente o nome de uma pessoa de uma urna. Com a saída, anotamos as seguintes funções: H(ξ) altura da pessoa em centímetros. W (ξ) peso da pessoa em kilogramas. Estamos interessados no evento envolvendo o par (H,W). Por exemplo B = {H 183, W 82}. Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 5

Vetores aleatórios discretos Se X e Y são variáveis discretas, então (X, Y ) é um vetor aleatório discreto. p(x j, y k ) = P (X = x j, Y = y k ) = f.m.p. conjunta Ex1 - Jogar um dado duas vezes. X a primeira e Y a segunda vez. Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 7

Vetores aleatórios discretos Variáveis aleatórias não independentes: p(j, k) = P (X = j Y = k)p (Y = k) Ex: O numero de chamadas telefônicas por minuto seque uma distribuição de Poisson com média 4. Uma dada pessoa que efetuou o telefonema é uma mulher com probabilidade 0,5, independentemente das outras pessoas. Sendo X o número de mulheres que efetuam as chamadas e Y o número total de chamadas. Encontre a f.m.p conjunta de (X, Y ). Agora X é dependente de Y. Dado o número de chamadas (Y = k): P (Y = k) = e 4 4k k! Sendo k o número de chamadas, a combinação do número de mulheres chamando é uma distribuição binomial com parâmetro k e 0,5: P (X = j Y = k) = ( k j ) 0, 5 j 0, 5 k j Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 8

Vetores aleatórios discretos A distribuição conjunta fica: ( ) k p(j, k) = 0, 5 j j 0, 5 k j e 4 4k k! = 2 k e 4 j!(k j)!, 0 j k, k = 0, 1, 2,... Qual a probabilidade de haver 5 ligações e ser 3 mulheres ligando em um minuto? Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 9

f.m.p marginais Se (X, Y ) tem f.m.p conjunta p x,y, então as f.m.p. marginais de X e Y são: p X (x j ) = p Y (y k ) = p X,Y (x j, y k ), j = 1, 2,... k=1 p X,Y (x j, y k ), k = 1, 2,... j=1 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 10

Ex: Evento conjunto de jogar dois dados viciados Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 11

Distribuição conjunta A função de distribuição acumulada conjunta (f.d.a conjunta) de (X, Y ) é definida como: F X,Y (x 1, y 1 ) = P (X x 1, Y y 1 ), para X, Y R Ex: Distribuição uniforme: 1 0.8 p x,y (X,Y) 0.6 0.4 0.2 1 0 0.5 y 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 13

Probabilidade de um intervalo conjunto e probabilidade marginal P (a < X b, c < Y d) = F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c) P (X x, Y < ) = F (x, ) Se (X, Y ) têm uma f.d.a conjunta F x,y, então X e Y têm f.d.a s marginais quando se remove a condição em uma das variáveis e se aplica a seguinte probabilidade definida como: F x (X) = F x,y (X, ) e F y (Y ) = F x,y (, y), para x, y R As f.d.a s de X e Y são chamadas f.d.a s marignais de X, Y Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 14

Exemplos de regiões no plano para probabilidade conjunta A = {X + Y 10} B = {min(x, Y ) 5} C = {X 2 + Y 2 100} Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 15

Exs: F.D.A. conjunta e marginal A F.D.A conjunta das variáveis V = (X, Y ) é dada por: F X,Y (x, y) = 0 x < 0 ou y < 0 xy 0 x 1, 0 y 1 x 0, x 1, y > 1 y 0 y 1, x > 1 1 x 1, y 1 Encontre F X (x) e F Y (y) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 16

Exs: F.D.A. conjunta e marginal A F.D.A conjunta das variáveis V = (X, Y ) é dada por: { (1 e F X,Y (x, y) = αx )(1 e βy ) x 0, y 0 0 fora Encontre as F.D.A s marginais. Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 17

Vetores aleatórios juntamente contínuos Se existe uma função f x,y tal que: P ((X, Y ) B) = B f X,Y (x, y)dxdy para qualquer sub conjunto B R 2, então X e Y são juntamente contínuos. A função f X,Y é chamada de f.d.p conjunta. F X,Y (x, y) = f X,Y (x, y) = y x f X,Y (s, t)dsdt 2 x y F X,Y (x, y), x, y R Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 18

Função de densidade de probabilidade conjunta Uma função f x,y é uma provável f.d.p conjunta para as variáveis X e Y se e somente se: 1 f X,Y (x, y) 0, para todos X, Y R 2 f X,Y (x, y)dxdy = 1 Suponha que X e Y são juntamente contínuas com f.d.p conjunta f X,Y (x, y), então as f.d.p s marginais são: 1 f X (x) = 2 f Y (y) = f X,Y (x, y)dy, x R f X,Y (x, y)dx, y R Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 19

Exs: fdp conjunta Ex: Considere X e Y tal que f X,Y = c(x + 2y), 0 x 1, 0 y 1. Encontre (a) a constante c e (b) a F.D.A conjunta F X,Y (x, y). Considere o par de variáveis aleatórias com f.d.p dada por: { ce f X,Y (x, y) = x e y 0 y x < 0 fora encontre: c, f X (x), f Y (y), F X,Y (x, y), F X (x) e F Y (y). Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 20

Funções de vetores aleatórias E [g(x, Y )] = g(x j, y k )p(x j, y k ) j=1 k=1 g(x, y)f X,Y (x, y)dxdy se (X, Y ) é discreto se (X, Y ) é contínuo Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 22

A esperança da soma E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] E[aX + by ] = ae[x] + b[y ] Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 23

Valor esperado conjunto V.A. contínua E[XY ] = xyf X,Y (x, y) dxdy V.A. discreta E[XY ] = i x i y n p X,Y (x i, y n ) n Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 24

Momentos conjuntos V.A. contínua E[X j Y k ] = x j y k f X,Y (x, y) dxdy V.A. discreta E[X j Y k ] = i x j i yk np X,Y (x i, y n ) n Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 25

Covariância e Correlação - Introdução Entre as variáveis completamente dependentes (Y = g(x)) e completamente independentes, existe uma gama intermediária. A idéia é calcular o quão dependente uma v.a. é da outra. É momento central de X e Y Covariância COV[X, Y ] = E [(X E[X])(Y E[Y ])] COV[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] COV[X, Y ] = 0 para variáveis independentes. Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 26

Propriedades da covariância 1 COV[X, X] = VAR[X] 2 COV[aX, by ] = ab COV[X, Y ] 3 COV[X + Y, Z] = COV[X, Z] + COV[Y, Z] Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 27

O coeficiente de correlação Covariância é um valor em absoluto. A correlação divide a covariância pelas variâncias individuais, tornando o coeficiente de correlação sem dimensão. Coeficiente de correlação ρ = COV[X, Y ] VAR[X] VAR[Y ] Propriedades de ρ 1 1 ρ(x, Y ) 1 2 Se X e Y são independentes, ρ(x, Y ) = 0 3 ρ(x, Y ) = 1 se e somente se Y = ax + b, para a > 0 4 ρ(x, Y ) = 1 se e somente se Y = ax + b, para a < 0 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 28

O coeficiente de correlação Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 29

Ex: covariância e correlação Encontre E[XY ], COV(X, Y ) e ρ X,Y para a f.d.p conjunta abaixo: { 2e f X,Y (x, y) = x e y 0 y x < 0 fora As V.A.s X e Y são o número anotado quando se joga um dado não viesado. E definimos Z = X + Y. Calcule COV[X, Z] e ρ(x, Z). Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 30

A variância da soma de duas variáveis VAR[X + Y ] = E [ (X + Y E[X + Y ]) 2] = E [ (X E[X] + Y E[Y ]]) 2] = E [ (X E[X]) 2 + (Y E[Y ]) 2 + 2(X E[X])(Y E[Y ])]) 2] = VAR[X] + VAR[Y ] + 2 COV[X, Y ] Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 32

Variância de variáveis aleatórias Se X e Y são independentes: E[XY ] = E[X]E[Y ] VAR[X + Y ] = VAR[X] + VAR[Y ] VAR[aX + by ] = a 2 VAR[X] + b 2 VAR[Y ], (fazer a prova) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 33

Distribuição Condicional Discreta p y (y k x j ) = p(x j, y k ) p x (x j ), para y k na gama de Y. Usando a lei da probabilidade total: p y (y k ) = p y (y k x j )p x (x j ) j=1 F y (y x j ) = k:y k y p y (y k x j ) Exemplo: usando o gráfico de p X,Y (x, y) do exemplo do par de dados viesados, encontre p Y (y 5) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 35

Distribuição Condicional Contínua f Y (y x) = f X,Y (x, y), para Y R. p X (x) P (Y y, X = x) F Y (y x) = P (Y y X = x) = P (X = x) y f Y (t x)dt Usando a lei da probabilidade total: f Y (y) = f Y (y x)f X (x)dx, Y R = Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 36

Ex: Canal binário simétrico A entrada X assume valores +1 e -1 com probabilidades 1/3 e 2/3. Na saída do canal de comunicação temos Y = X + N, onde N é um ruído branco gaussiano de média zero e variância unitária. Encontre a fdpcondicional de Y dado X = +1 e de Y dado X = 1. Encontre a probabilidade de P [X = +1 Y > 0] e P [X = 1 Y < 0]. Qual a probabilidade de erro nesse sistema? Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 37

Distribuição conjunta com variáveis independentes P (X A, Y B) = P (X A)P (Y B), para todos A, B R F X,Y (x, y) = F X (x)f Y (y), para todos X, Y R f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y), para todos X, Y R Testar a independência de X e Y da seguinte fdp conjunta: { 2e f X,Y (x, y) = x e y 0 y x < 0 fora Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 38

Exemplo de teste de independêcia de variáveis Nós vamos testar a distribuição conjunta de um disco de raio 1, onde a probabilidade de ocorrência de qualquer coordenada (X, Y ) é igual: {(x, y) : x 2 + y 2 1}. A probabilidade é constante dentro do disco e zero fora. Qual o valor da constante c para que f X,Y (x, y) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta. Primeiro pegamos a definição: f X,Y (x, y)dxdy = 1 Depois, sabendo que a área de um círculo unitário é π e que o volume deve ser 1, então c = 1 π Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 39

Exemplo de teste de independêcia de variáveis f X,Y (x, y) = 1 π Agora vamos testar a probabilidade marginal f X (x): f X (x) = f X,Y (x, y)dy Sabendo que x varia de [ 1, +1] e que x 2 + y 2 1, então y varia de 1 x 2 a 1 x 2 : f X (x) = 1 π 1 x 2 1 x 2 dy = 2 π 1 x 2, 1 x 1 E agora a marginal em Y, f Y (y): 1 y 2 f y (Y ) = 1 π dx 1 y 2 = 2 1 y π 2, 1 y 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 40

Exemplo de teste de independência de variáveis f X (x)f Y (y) = 2 π 2 1 x 2 1 y 2 Portanto f X (x)f Y (y) f X,Y (x, y), ou seja, as variáveis X e Y NÃO são independentes. Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 41

Esperança condicional Valor esperado da distribuição condicional: y k P (Y = y k B)) se (Y ) é discreto E[Y B] = k=1 yf Y (y b)dy se (Y ) é contínuo Esperança à partir das esperanças parciais: E[Y ] = E[Y B k ]P (B k ) k=1 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 43

Variáveis juntamente contínuas E[Y X = x] = E[Y ] = yf Y (y x)dy E[Y X = x]f X (x)dx E[Y X] é uma variável aleatória que é a esperança de Y dado X para cada x. E[Y ] = E [E[Y X]] E[XY X] = XE[Y X] Para X e Y independentes, E[Y X] = E[Y ] Para qualquer função g, E[g(X) X] = g(x) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 44

Variância condicional [ ] VAR[Y X] = E (Y E[Y X]) 2 X VAR[Y X] continua uma variável aleatória. VAR[Y X] = E [ Y 2 X ] (E[Y X]) 2 Lei da variância total: VAR[Y ] = VAR [E [Y X]] + E [VAR [Y X]] Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 45

Definição Se (X, Y ) tem uma f.d.p. conjunta de f X,Y (x, y) = 1 { ( 1 (x µ1 ) 2 exp 2(1 ρ 2 X,Y ) σ1 2 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 X,Y + (y µ 2) 2 σ 2 2 2ρ X,Y (x µ 1 )(y µ 2 ) σ 1 σ 2 ) } para X, Y R, então X, Y têm uma distribuição normal bivariada Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 47

Distribuição Normal Bivariada Sendo (X, Y ) v.a s com a uma f.d.p conjunta normal bivariada, com parâmetros µ 1, µ 2, σ 1, σ 2, ρ então: X N(µ 1, σ 2 1 ) e Y N(µ 2, σ 2 2 ) ρ é o coeficiente de correlação de X e Y Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 48

Propriedades da Normal Bivariada A distribuição é centralizada no ponto (µ 1, µ 2 ) Têm um formato de sino cuja abertura (espalhamento), depende de σ 1 e σ 2 Para { o argumento ( 1 (x µ1 ) 2 2(1 ρ 2 X,Y ) σ1 2 + (y µ 2) 2 σ2 2 2ρ ) X,Y (x µ 1 )(y µ 2 ) } =cte. σ 1 σ 2 a distribuição é um valor constante (vista de cima a distribuição pode ser considerada como uma sequência de círculos) A correlação ρ torna esses círculos da distribuição em forma eĺıptica rotacionada (ρ X,Y < 0 sentido anti-horário) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 49

Propriedades da Normal Bivariada Integrando em y, sobra a probabilidade marginal em x, que nada mais é que a própria distribuição gaussiana em x: 1 f X (x) = exp ( (x µ 1) 2 ) σ 1 2π 2σ 2 1 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 50

fdp condicional da normal bivariada f X (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) = { exp 1 2(1 ρ 2 X,Y )σ2 1 [ x ρ X,Y σ 1 σ 2 (y m 2 ) m 1 ] 2 } 2πσ 2 1 (1 ρ2 X,Y ) Ex: A quantidade de chuva na cidade 1 e cidade 2 é modelado por um pair de variáveis gaussianas conjuntas. Encontre o valor mais provável de X quando conhecemos Y = y, ou seja, a mais provável quantidade de chuva na cidade 2 quando conhecemos a chuva na cidade 1. Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 51

Propriedades da Normal Bivariada Para cada ponto em x, têm-se uma distribuição em y, de maneira que a distribuição condicional é: ( ) σ Y X = N µ 2 + ρ 2 X,Y σ 1 (x µ 1 ), σ2 2(1 ρ2 X,Y ) De tal maneira que o valor esperado da distribuição condicional fica: E[Y X] = µ 2 + ρ X,Y σ 2 σ 1 (X µ 1 ) Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 52

Combinação linear das variáveis X, Y ax + by N ( aµ 1 + bµ 2, a 2 σ 2 1 + b2 σ 2 2 + 2abρ X,Y σ 1 σ 2 ) Então, se X e Y são independentes: ax + by N ( aµ 1 + bµ 2, a 2 σ1 2 + b2 σ2 2 ) Se X 1,..., X n são independentes com X k N(µ k, σk 2) e a 1,..., a n são constantes, então: ( n n ) n a k N a k µ k, k=1 k=1 k=1 a 2 k µ2 k Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 53

Combinação linear das variáveis X, Y Quando Z é definida como uma função de duas variáveis. Z = g(x, Y ). O evento equivalente {Z z}, a região de x, y onde R Z = {X = (X, Y ), tal que g(x) z} F Z (z) = P [X R z ] = f X,Y (x, y )dx dy (x,y) R z A fdp é obtida tirando a derivada da F DA Ex: soma de duas variáveis. Z = X + Y Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 55

Transformação de duas V.A.s Z 1 = g 1 (X) e Z 2 = g 2 (X) F Z1,Z 2 (z 1, z 2 ) = P [g 1 (X) z 1, g 2 (X) z 2 ] F Z1,Z 2 (z 1, z 2 ) = f X,Y (x, y )dx dy x :g k (x ) z q Ex: Raio e angulo de par de variáveis aleatórias independentes Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 56