Eletrotécnca UL Nº Introdução INTRODUÇÃO PRODUÇÃO DE ENERGI ELÉTRIC GERDOR ESTÇÃO ELEVDOR Lnha de Transmssão ESTÇÃO IXDOR Equpamentos Elétrcos Crcuto Elétrco: camnho percorrdo por uma corrente elétrca graças a uma dferença de potencal. V = Edl. V : dferença de potencal elétrco entre os pontos e. E : Campo elétrco
Dagrama ásco de um Crcuto + e _ Dspostvo Elétrco Convenção de snas e v v= v v
ELEMENTOS IDEIS DE CIRCUITOS RESISTOR IDEL Relação v x em um Resstor Ideal Convenção de Carga Convenção de Gerador + _ v v R = R + _ + _ v v R = R _ + Resstênca CC de um fo clíndrco, macço e homogêneo RCC α R = RCC = ρ [ ρ ] = Ω.m 3
Fontes de Tensão Ideal + e f _ v Tem-se sempre: v = e f Real (possu uma resstênca nterna R) R e f + + _ v v= e R f 4
Fontes de Corrente Ideal j I R Fornece uma corrente = j ndependentemente das tensão aos seus termnas. Real (possu uma resstênca nterna R) j j R = j - Fornece uma corrente = j - ndependentemente das tensão aos seus termnas. Possu uma resstênca t 5
Le de Krchoff das tensões (LKT) Em qualquer malha fechada de um crcuto que seja percorrda em um sentdo, a soma algébrca das tensões é nula. R R v R v R v v 4 v v v v R R + 4 = 0 Le dos nós de Krchoff (LKC) soma algébrca das correntes que entram em (ou que saem de) um nó é gual a zero. 3 + + 3 = 0 6
Exemplo: Determnar a tensão nos termnas da fonte de corrente do crcuto elétrco abaxo. R =0 Ω v R 3 0 V V V R =5 Ω Sabe-se pela LKC que, no nó, tem-se + + 3 = 0 Mas, pelas relações v x no resstor e pela propredade das fontes de corrente, tem-se que ssm Mas V V vr = R = 0 = V V = 0 3 = ( fonte de corrente) 0 V vr = R = 5 = 0 V = 5 V V 0 V + + = 0 0 5 C (Ref) V = 0 V 7
Então 0 V V + = 0 ( 0 V) V+ 0= 0 0 5 Ou anda 0 3V = 0 3V = 0 V = 6,67 V ssocação de resstores SÉRIE R R e R n onde e= R. + R. + R. = ( ) = R + R + R = R n n eq R = R + R + R = R eq n j j= n 8
Paralelo e n R R R n onde e e e = + + n = + + = R R R = + + e= e R R R R n eq n = + + = R R R R R eq n j= j n Potênca dw. v dq p = = = v = v dt dt 9
nálse CC de malhas e nós Defnções R 7 R 4 R 5 R 6 C D R R R 3 e e e 3 GRFO conjunto de segmentos chamados ELEMENTOS e pontos chamados NÓS, os quas são termnas dos ELEMENTOS, lgados de manera tal que os ELEMENTOS são ncdentes somente aos NÓS. E NÓ componente termnal de um elemento. ELEMENTO componente entre dos nós adjacentes. tvo possu fonte de tensão ou de corrente. Passvo não possu fonte de tensão ou de corrente. 4 C D 5 6 E GRFO GRFO 7 3 0
SU-GRFO qualquer conjunto de elementos e nós de um grafo. 7 4 C D 5 6 3 C D 5 7 3 E GRFO GRFO E SU-GRFO CMINHO sub-grafo com não mas de dos elementos lgados a cada nó. 7 4 C D C D 5 6 5 6 3 3 E GRFO E E CMINHOS
MLH ou LÇO camnho no qual os dos nós termnas concdem e os nós nterores são dstntos. 7 4 C D 5 6 4 D 7 3 3 E E GRFO MLH OU LÇO ÁRVORE (de um grafo) é um sub-grafo que contém todos os vértces e nenhuma malha ou laço. 7 7 4 C D 4 C D 5 6 5 6 3 3 E GRFO E ÁRVORE RMOS (de uma árvore) elementos que pertencem à árvore. CORDS (de uma árvore) elementos que não pertencem à árvore.
TEOREM: Para uma dada árvore T de um grafo G com n nós e e elementos, exstem exatamente r = n - ramos e c = e n + cordas. COROLÁRIO: Num crcuto elétrco exstem r equações lnearmente ndependentes relatvas à LKC e c equações lnearmente ndependentes relatvas à LKT. NÁLISE Crcuto elétrco com e elementos; O crcuto possu então e ncógntas a determnar ( e tensões e e correntes); São necessáras e equações para se determnar as e ncógntas; Cada elemento possu uma relação v x, logo já se dspõe de e equações; Pelo coroláro acma exstem r=n- expressões relatvas à LKC; nda pelo coroláro acma exstem c=e-n+ expressões relatvas à LKT; Total das equações dsponíves para resolver o crcuto elétrco é de: t = e + r + c = e + (n ) + (e n + ) = e Correntes de malhas x Correntes nos elementos R 3 e a b I a R 3 I b R,, 3 I, I Correntes de malha Correntes nos elementos 3
Exemplo: Calcular as correntes e tensões em todos os elementos do crcuto abaxo. 5 Ω Ω 3 Grafo Orentado 0 V v 0 Ω v v 3 8 V 3 Número de nós: n = Número de elementos: e = 3 Número de ramos: r = -= Número de cordas: c = 3-= Relações v x (e = 3) v = 0 5 v = 0 v3 = 8 3 Relações LKC (r = ) Relações LKT (c = ) + + 3 = 0 v v v = 0 v = 0 3 s relações v x, juntamente com as relações LKC e as relações LKT perfazem as 6 relações necessáras para se resolver o crcuto acma. Desta forma 3 v = 0 5 () v = 0 () v3 = 8 3 (3) + + 3 = 0 (4) v v = 0 (5) v v3 = 0 (6) 4
Fazendo () () e () (3) e substtundo respectvamente em (5) e (6), consegue-se elmnar as varáves relatvas às tensões. ssm procedendo 0 5+ 0= 0 (7) 8 0 + 3 = 0 (8) + + 3 = 0 (9) Rearranjando estas equações, fca 5 0 = 0 (7) 0 + 3 = 8 (8) + + = 0 (9) 3 Pela equação (9) vê-se que a corrente é função das correntes e 3. ssm = 3 (0) Substtundo (0) nas equações (7) e (8) vem que ( ) 5 0 = 0 () 3 0 + = 8 () 3 Rearranjando estas equações, fca 5 53 = 0 () 0 + 3 = 8 () Ou anda, dvdndo por 5 a prmera e por a segunda, vem que 3 3 = 4 () 5 + 3 = 4 () 5
Somando () com () vem que 8 = 8 = (3) Substtundo (3) na equação () vem que 3 ( ) = 4+ 5 = 4+ 5 = 4 5 3 = (4) Substtundo (3) e (4) na equação (0) vem que ( ) ( ) = 3 = = (5) Substtundo os valores encontrados para as correntes nas equações () a (3) vem que v = 0 5 = 0 5() = 0 V v = 0 = 0( ) = 0 V v3 = 8 3 = 8 ( ) = 0V Este exemplo mostra que apenas as relações v x, acrescdas das expressões relatvas às les de Krchoff (LKC e LKT) são sufcentes para se resolver um crcuto elétrco. De posse das tensões e correntes em todos os elementos o analsta pode, por exemplo, calcular as potêncas fornecdas por cada elemento. Por exemplo, as potêncas fornecdas pelas fontes de tensão do crcuto vão ser guas a p = v = 0 = 0 W p = v = 0 ( ) = 0 W 3 3 3 6
O letor pode perceber que a fonte presente no elemento fornece potênca (ela é postva, de valor 0 W), enquanto a fonte presente no elemento 3 consome potênca (a potênca fornecda é negatva, de valor -0 W). O elemento, resstor puro, obvamente consome potênca, ou seja, fornece potênca negatva. Esta afrmatva pode ser comprovada calculando a sua potênca fornecda, ou seja p = v = 0 ( ) = 0 W O letor pode perceber também que a soma das potêncas fornecdas em todos os elementos do crcuto é nula, ou seja p+ p + p3 = 0 0 0 = 0 W Este tpo de resultado ajuda ao analsta ncante a verfcar se sua análse está ou não correta, uma vez que permte uma prova smples de que os resultados obtdos estão corretos ou não. Métodos de Solução de Crcutos Elétrcos Embora as relações v x, adconadas às expressões relatvas às LKC e LKT sejam sufcentes para resolver crcutos elétrcos, o letor percebe que a solução de um crcuto smples como o anteror pode ser longa e trabalhosa quando se utlza estas equações. solução pode ser anda mas trabalhosa em crcutos reas (Sstemas Elétrcos de Potênca, crcutos ndustras, placas de crcuto mpresso com crcutos eletrôncos analógcos, crcutos motrzes que envolvam motores elétrcos, etc). Desta forma, foram desenvolvdos métodos adconas, que conseguem promover a solução de crcutos elétrcos de forma mas fácl e com menos trabalho, denomnados métodos de solução de crcutos elétrcos. Neste tem serão apresentados dos métodos de solução que vsam facltar o trabalho de resolver crcutos elétrcos. 7
Métodos das Correntes de Malhas O método das correntes de malha utlza as denomnadas correntes de malhas báscas. Malhas báscas são malhas que contém apenas uma corda. ssm, no crcuto anteror, o letor pode perceber que exstem duas cordas e, por consegunte, vão exstr apenas duas malhas báscas, conforme fgura abaxo. 5 Ω Ω 3 Árvore 0 V 3 0 Ω 8 V I I I I Número de nós: n = Número de elementos: e = 3 Número de ramos: r = -= Número de cordas: c = 3-= Utlzando a LKT para as duas malhas báscas, vem que 0 5I 0I+ 0I = 0 () 0I I 8 + 0I = 0 () Rearranjando as equações, fca 5I 0I = 0 () 0I + I = 8 () Smplfcando vem que 3I I = 4 () 5I + 6I = 4 () 8
Multplcando () por 3 e somando com () vem que 4I = 8 I = O valor de I pode ser calculado a partr de () ou de (). ssm I 4+ 5I 4+ 5() 6 6 = = I = Os valores das correntes nos elementos pode ser calculado smplesmente verfcando que: = I = = I I = = 3 = I = O letor deve perceber que a solução deste crcuto passou pela solução de um sstema de equações e ncógntas, enquanto para o método geral, fo necessáro a solução de um sstema de 6 equações e 6 ncógntas. dferença fca anda maor para crcutos elétrcos assocados a sstemas reas antes menconados com a presença de centenas a mlhares de elementos. s equações () e () podem ser colocadas na forma matrcal, resultando 5 0 I 0 = 0 I 8 Estas equações podem ser escrtas da forma R R I E ou R I E R R I = = E Laço Laço Laço 9
O letor pode perceber que a matrz das resstêncas de laço é formada da segunte manera: R é a soma das resstêncas na malha ou laço ; R j é o valor da soma das resstêncas presentes nas malhas e j tomada com snal negatvo; Por outro lado, o vetor das tensões de laço é formado da segunte manera: E é a soma das fontes de tensões na malha ou laço ; Métodos das Tensões dos Nós O método das tensões dos nós utlza as denomnadas tensões de nó. Tensões de nó são dferenças de potencal de todos os nós do crcuto elétrco em relação a um nó eleto como referênca. Desta forma, como no crcuto exemplo exstem apenas dos nós, elegendo o nó como referênca, va exstr apenas uma tensão de nó. Desta forma, haverá apenas uma equação a ser resolvda para se chegar à solução do crcuto. 5 Ω Ω 3 Árvore 0 V 0 Ω V 8 V V 3 Número de nós: n = Número de elementos: e = 3 Número de ramos: r = -= Número de cordas: c = 3-= Utlzando a LKC para o nó vem que + + 3 = 0 0
Expressando as correntes dos elementos em função da tensão do nó em relação à tensão do nó, denomnada V, vem que V 0 V 0 V 8 + + = 0 5 0 Rearranjando os termos vem que Ou anda 0,( V 0) + 0,( V 0) + 0,5( V 8) = 0 0, V 4 + 0,V + 0,5V 4 = 0 Ou fnalmente V = V = 0 0,8 8 V O método pode ser mas bem lustrado se aplcado em um crcuto com mas de dos nós, como o crcuto a segur: R R 5 R Árvore 5 V V e V R 3 R V 4 e 3 4 C Número de nós: n = 3 Número de elementos: e = 5 Número de ramos: r = 3-= Número de cordas: c = 5-=3 C Soma de correntes que saem dos nós é gual a zero. V e V 0 V V + + = 0 R R3 R5 V e V 0 V V + + = 0 R R4 R5
Rearranjando os termos vem e + + V V = R R3 R5 R5 R e V + + + V = R R R R R 5 4 5 Na forma matrcal tem-se que e + + R R3 R5 R 5 V R. = V e + + R5 R R4 R 5 R Estas equações podem ser escrtas da forma G G V I G V I arra arra G G V = = I ou arra O letor pode perceber que a matrz das condutâncas de barra é formada da segunte manera: G é a soma das condutâncas lgadas ao nó ; G j é o valor da soma das condutâncas entre os nós e j tomada com snal negatvo; Por outro lado, o vetor das correntes de barra é formado da segunte manera: I é a soma das correntes equvalentes njetadas no nó ;
Exemplo: Determnar a tensão V e a potênca consumda pela resstênca de 47 Ω utlzando os métodos das tensões nodas e das correntes de malhas. 3 7 Ω 47 Ω 7 Ω I I V V C Número de nós: n = Número de elementos: e = 3 r = -=eq LKC(MTN) c = 3-=eq LKT (MCM): Método das correntes de malhas plcando o método vem que 7I 47I 00 + 47I = 0 00 47I 7I 460 + 47I = 0 Rearranjando 74I 47I = 00 47I + 74I = 60 3
Resolvendo 47 00 I I = 74 74 74 60 I + I = 47 47 74 47 00 60 I = + 47 74 74 47 ( 74 47 ) I = ( 00 47 + 60 74) 367I = 8640 I = 8,766 I = 47 I 00 = 47 ( 8,766) 00 I = 8, 7 74 74 74 74 tensão V va ser dada por V ( ) = 460 + 7I = 460 + 7 8,766 V = 3,306 V potênca dsspada no resstor de 47 Ω va ser dada por p v R R R I I ( ) ( ) = = = = = 47 8, 7+ 8,766 Ou seja p =,557 W 4
Método das tensões dos nós plcando o método vem que V V 00 V 460 + + = 0 7 47 7 Rearranjando + + V 00 460 = + 7 47 7 47 7 Resolvendo 0,09535 V =,9 V = V = 3,306 V potênca dsspada no resstor de 47 Ω va ser dada por Ou anda V 460 = R 3 = 3 3 = 3 = 47 p v R R 7 p V 460 3,306 00 = 47 = 47 = 47 0, 496 = 7 7 Ou seja p =,557 W 5