Matrial Tórico - Módulo Equaçõs Sistmas d Equaçõs Fracionárias Sistmas d Equaçõs Fracionárias Oitavo Ano Autor: Prof Ulisss Lima Parnt Rvisor: Prof Antonio Caminha M Nto
Sistmas d quaçõs fracionárias Nssa aula, discutirmos alguns mplos d sistmas d quaçõs fracionárias Na maioria das vzs, rduzirmos a solução dsss sistmas à solução d sistmas linars, já discutida m aulas antriors Val frisar qu não há stratégia gral qu nos prmita, uma vz aprsntados a um crto sistma d quaçõs fracionárias, sabr d imdiato qual o mlhor caminho a sguir para rsolvê-lo Aí rsid, portanto, a importância d rcitar rptidas vzs a solução d tais sistmas, a fim d adquirir uma rlativa intuição matmática qu prmita scolhr uma abordagm com boas chancs d sucsso Nss sntido, chamamos a atnção do litor para a stratégia d mudança d variávis, qu srá utilizada várias vzs a sguir qu, por vzs, imdiatamnt transforma um sistma dado aparntmnt complicado num sistma linar bastant simpls Emplo Rsolva o sistma d quaçõs abaio: + = y = y 6 Solução Fazndo a mudança d variávis a = b = y, () é imdiato vrificar qu transformamos o sistma d quaçõs dado no sistma linar com duas quaçõs duas incógnitas abaio: a + b = a b = () 6 Para rsolvr o último sistma acima, comçamos multiplicando a primira quação por, a sgunda por 6 adicionando os rsultados: 4a + 6b = 4 6a 6b = 0a = 5, dond sgu qu a = 5 0 = Em sguida, substituímos o valor d a na primira das quaçõs d (), obtndo: +b = = b = = b = Finalmnt, rtornando a (), obtmos = a = = = y = b = = y = Emplo Rsolva o sistma d quaçõs: = y 5 = +y Solução Primiramnt, obsrv qu dvmos ncssariamnt tr y y, a fim d qu os dnominadors y +y das quaçõs do sistma não s anulm Sob tais condiçõs, tmos as quivalências abaio: y = 5 = y 4+y = 0 5 = = y +y = +y Portanto, o sistma dado é quivalnt ao sistma linar 4 + y = 0 + y = () Para rsolvê-lo, comçamos multiplicando a primira quação por, a sgunda por, m sguida, adicionando os rsultados: 8 + y = 0 y = 6 = Daí, obtmos = 6 = Agora, substituímos o valor d na primira quação do sistma () para obtr 4 +y = 0 = +y = 0 = y = Emplo Encontr a(s) solução(õs) do sistma d quaçõs abaio: + = 4 +y = +y Solução Fazndo z =, o sistma do nunciado é +y transformado m: z + = 4 (4) z = http://matmaticaobmporgbr/ matmatica@obmporgbr
Adicionando-s suas duas quaçõs, obtmos: z + = 4 z = z =, d sort qu z = Portanto, a primira quação d (4) fornc + = 4 = = Finalmnt, substituindo os valors já conhcidos d z m z = +y, obtmos: = = +y = = y = +y Emplo 4 Encontr, s houvr, todos os númros rais y qu rsolvm o sistma d quaçõs: 0 = y 4y = Solução Comçamos obsrvando qu dvmos tr y Por sua vz, assim sndo, tmos: = 0 (y ) = 0( ) y 0 0 = y 6 0 y = 4 5 y = 7 O sistma do nunciado é, pois, quivalnt ao sistma: 5 y = 7 4y = Para rsolvr o último sistma acima podmos, por mplo, multiplicar a primira quação por a sgunda por 5, adicionando os rsultados m sguida: 5 y = 5 + 0y = 55 7y = 4 A partir daí, sgu facilmnt qu y = Agora, substituímos o valor y = na quação 4y = para, finalmnt, obtr: 4 ( ) = = +8 = = = = = Em rlação ao próimo mplo, obsrv como uma mudança d variávis fica implícita na primira solução Emplo 5 Rsolva o sistma d quaçõs fracionárias abaio: +y = 9 y 0 y = y 0 Solução Comçamos rscrvndo as quaçõs do sistma conform abaio: +y = 9 y 0 = y + y y = 9 0 = y + = 9 0 y = y 0 = y y y = 0 = y = 0 Dssa forma, o sistma dado quival a y + = 9 0 y = 0 Para rsolvê-lo, somamos suas duas quaçõs, obtndo: y = 0 0 = Portanto, y = 4, substituindo ss valor na primira quação do último sistma, sgu qu 4 + = 9 0 = = 9 0 4 = = 9 0 5 0 = = 4 0 = 5 = = 5 Solução Obsrv primiramnt qu, y 0 Então, dsnvolvndo as quaçõs do sistma original, obtmos +y = 9 = 0(+y) = 9y y 0 y = = 0( y) = y y 0 Dssa forma, o sistma original é quivalnt a 0+0y = 9y 0 0y = y http://matmaticaobmporgbr/ matmatica@obmporgbr
Somando mmbro a mmbro as duas quaçõs acima, obtmos 40 = 0y Mas, como 0, sgu daí qu 40 = 0y, logo, y = 4 Analogamnt, subtraindo mmbro a mmbro as duas quaçõs utilizando o fato d qu y 0, obtmos sucssivamnt 40y = 8y = 5 Nss ponto, como rcício sugrimos ao litor rsolvr novamnt o Emplo, utilizando uma técnica similar à aprsntada na sgunda solução do mplo acima Nosso último mplo também é discutido na vído-aula Emplo 6 Numa fsta, cada criança convidada dvria rcbr uma msma quantidad d brigadiros Entrtanto, três dlas s antciparam à distribuição: a primira comu, a sgunda comu a trcira comu 4 brigadiros além dos qu tinha dirito, o qu rsultou no consumo da mtad dos brigadiros O rstant dos brigadiros foi dividido igualmnt ntr as dmais crianças, dss modo, cada uma dlas rcbu brigadiro a mnos do qu lhs ra dvido Quantos brigadiros havia no início da fsta? Solução Dnotando por a quantidad total d brigadiros no início da fsta por y a quantidad d crianças prsnts à fsta, concluímos qu a quantidad d brigadiros qu dvria tr sido dada a cada criança ra y Entrtanto, é dito no nunciado qu três das crianças antciparam-s à distribuição, comndo, 4 brigadiros a mais do qu dvriam; dssa forma, ssas três crianças comram, ants da distribuição, um total d y ++ y ++ y +4 = y +9 brigadiros É também comntado qu ss consumo antcipado d brigadiros por part dssas três crianças rsultou no consumo d mtad do total d brigadiros, situação qu podmos rprsntar pla sguint quação: y +9 = Por outro lado, os brigadiros rstants, num total d =, foram igualmnt divididos ntr as dmais crianças, qu d acordo com a nossa notação ram y Dssa forma, cada uma dlas rcbu y = (y ) brigadiros, é dito também qu isso corrspondu a brigadiro a mnos do qu dvria Então, obtmos a quação: (y ) = y Tndo m vista os argumntos acima, dvmos rsolvr o sguint sistma d quaçõs fracionárias: y +9 = = (5) (y ) y Para tanto, not qu y +9 = 6+8y = y y y 6+8y = y (y ) = y (y ) = y y y = (y )( y) y = y 6 y +6y y = y +6 6y Portanto, obtmos o sistma abaio, quivalnt a (5): y = 6 + 8y y = y + 6 6y Igualando as duas quaçõs do último sistma acima, obtmos: y + 6 6y = 6+8y y = 4y y = 4 y = Por fim, substituímos y = na primira quação d (5), obtmos: +9 = = 4 = 9 = 4 = 9 = = 6, ou sja, havia 6 brigadiros no início da fsta Dicas para o Profssor Rcomndamos qu sjam utilizadas duas sssõs d 50 minutos cada para discutir todo o contúdo prsnt nss matrial Rssalt qu o procsso para obtr as soluçõs da maioria dos mplos aprsntados pod sr rsumido a obtr um modo d transformá-los m sistmas linars, cujas técnicas d rsolução já foram studadas antriormnt Por sua vz, nfatiz qu introduzir novas variávis é frquntmnt uma boa stratégia para oprar uma tal transformação As rfrências colcionadas a sguir contém muitos problmas mplos rlacionados ao contúdo do prsnt matrial http://matmaticaobmporgbr/ matmatica@obmporgbr
Sugstõs d Litura Complmntar A Caminha Tópicos d Matmática Elmntar Volum : Númros Rais, a Edição Rio d Janiro, SBM, 0 G Izzi Os Fundamntos da Matmática Elmntar, Volum 6: Complos, Polinômios Equaçõs São Paulo, Atual Editora, 0 http://matmaticaobmporgbr/ 4 matmatica@obmporgbr