LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 04 Transformações de gráficos de funções, função raiz quadrada, funções potência [01] Determine o domínio natural (efetivo) de cada uma das funções indicadas abaixo. (a) f(x) = 2 x 3, (b) f(x) = x 1, (c) f(x) = x, (d) f(x) = x, (e) f(x) = x/(x 2 1), (f) f(x) = x/ x 2 1. [02] Considere a sentença a = b a = b 2. (a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. (b) Escreva a recíproca da sentença. A recíproca é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [03] (Resolvendo equações com raízes quadradas) Ao se resolver uma equação envolvendo raízes quadradas, é comum elevarmos cada lado da equação ao quadrado. Por exemplo, para resolver a equação x + 3 = x + 1, é comum considerar a equação isto é, ( x + 3) 2 = (x + 1) 2, x + 3 = (x + 1) 2. Contudo, pelo exercício anterior, vale que toda solução de x + 3 = x + 1 é solução de x + 3 = (x + 1) 2, mas nem toda solução de x + 3 = (x + 1) 2 é solução de x + 3 = x + 1. Neste exemplo, x = 2 é solução da equação x + 3 = (x + 1) 2, mas x = 2 não é solução da equação x + 3 = x + 1. Assim, cuidado! Como o processo de elevar cada lado de uma equação ao quadrado gera uma implicação e não uma equivalência, nem toda solução da equação final é solução da equação inicial! É preciso tirar a prova real das soluções calculadas no final! Resolva as equações indicadas a seguir. (a) x 1 = x 3, (b) x 2 3 = x 3, (c) x + x 2 = 4. [04] Considere a sentença a b a 2 b. (a) A sentença é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. (b) Escreva a recíproca da sentença. A recíproca é verdadeira ou falsa? Apresente uma demonstração caso ela seja verdadeira e um contraexemplo caso ela seja falsa. [05] Resolva a desigualdade x 3 x 2. 1
[06] Considere a função f(x) = (a) Determine o domínio natural (efetivo) de f. (b) Mostre que x 2 2 x x + 1 2 x + 1. x + 1 f(x) = para todo x no domínio natural (efetivo) de f. x (3 x + 4) 2 (x + 1) x + 1 (c) Determine (caso existam) os valores de x para os quais f(x) > 0. [07] Desenhe os gráficos das funções f(x) = 1 x 2, g(x) = 1 x 2 e h(x) = 7 x 2. [08] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = x 2, (b) y = x 5, (c) y = x 8. [09] (Sugerido por Maurício Quintanilha da Silva) Considere uma função f : R R ímpar. (a) Mostre que se f é crescente no intervalo [0, + ), então f também é crescente no intervalo (, 0]. (b) Usando a identidade x n 2 x n 1 = (x 2 x 1 )(x n 1 2 + x n 2 2 x 1 + + x 2 x n 2 1 + x n 1 1 ) mostre que f(x) = x n é crescente no intervalo [0, + ), com n N ímpar. (c) Usando os itens (a) e (b), mostre que f(x) = x n é crescente em R, com n N ímpar. [10] Qual número é maior? 2 3000 ou 3 2000? Justifique sua resposta! 2
[11] Considere a função y = f(x) = x 2 e dois números reais a e b positivos. Mostre que a ordenada do ponto de interseção da reta que passa pelos pontos ( a, f( a)) e (b, f(b)) com o eixo y é igual ao produto a b dos números a e b. y y = x 2 ab { a b x Usando esta propriedade, é possível criar uma máquina de multiplicar números. A figura abaixo ilustra tal máquina elaborada pelo Laboratório de Ensino de Ensino de Matemática da UFPE (a foto foi tirada na V Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, na UFPB, em outubro de 2010). [12] Por que 4 1 = 1? [13] Por que 4 16 é diferente de 2, apesar de ( 2) 4 ser igual a 16? E por que 5 243 = 3? [14] Um aluno deu o seguinte argumento para provar que 4 a 4 = a, para todo a R: 4 a 4 (1) = (a 4 ) 1 4 (2) = a 4 1 4 (3) = a 1 (4) = a. O argumento do aluno está correto? Em caso negativo, especifique quais igualdades estão erradas. [15] Mostre que se n N e n é par, então f(x) = n x = x 1/n é uma função crescente em [0, + ). 3
[16] Mostre que se n N e n é ímpar, então f(x) = n x = x 1/n é uma função crescente em R. [17] Sejam x 1,..., x n números reais não negativos. As médias aritmética e geométrica destes n números são definidas, respectivamente, por M A = x 1 + + x n = 1 n x i e M G = n n n x 1 x n = n n x i. i=1 (a) Calcule as médias aritmética e geométrica dos números x 1 = 1, x 2 = 1/2 e x 3 = 1/4. Qual média é maior? (b) Considere um bloco retangular B cujas arestas medem a, b e c. Qual é a medida da aresta do cubo cujo volume é igual ao volume do bloco retangular B? (c) Mostre que se x 1 = = x n = α 0, então as médias aritmética e geométrica são ambas iguais a α: M A = M G = α. Observação: é possível demonstrar (usando, por exemplo, indução) que a média geométrica de n números não negativos é sempre menor do que ou igual a média aritmética destes n números. Mais ainda: as duas médias são iguais se, e somente se, os n números são todos iguais. [18] A notação n x m, com n, m N, n ímpar e x R, pode ser lida da seguinte maneira: i=1 n xm denota o único número real que elevado a n é igual a x m. Como podem ser lidas as notações indicadas abaixo? (a) n xm, com n, m N, n par e x 0. (b) ( n x) m, com n, m N, n par e x 0. n (c) m x, com n, m N, m e n ímpares e x R. (d) n m x, com n, m N, m e n ímpares e x R. [19] Mostre que para todo a, b 0, vale que 3 a + b 3 a + 3 b. Dica: use a identidade (x 1 + x 2 ) 3 = x 3 1 + 3 x 2 1x 2 + 3 x 1 x 2 2 + x 3 2, com x 1 = n a e x 2 = n b. [20] Demonstre todas as propriedades das raízes n-ésimas apresentadas em sala de aula. [21] Seja f(x) = 1/x n, com n N. Mostre que f é uma função decrescente no intervalo (0, + ). Mostre também que se n é par, então f é crescente no intervalo (, 0) e que se n é ímpar, então f é decrescente no intervalo (, 0). [22] Sabemos que se a e b são números naturais, então (x a ) b = x a b = (x b ) a para todo x R. Mostre que esta identidade é falsa se a e b são números racionais. [23] Na análise forense de incidentes envolvendo explosivos, muitas vezes é necessário estimar a quantidade de explosivo usada a partir dos danos observados à infraestrutura. Certamente esta não é uma tarefa simples. No entanto, a base de cálculos práticos é a lei de Hopkinson, que afirma que a distância de perturbação do centro de uma explosão é proporcional à raiz cúbica da energia dissipada na explosão. No caso de explosivos químicos, em vez da energia, podemos considerar a massa total dos explosivos. Além disso, como resultado de medidas empíricas (Kinney e Graham, Explosive Shocks in Air, Springer-Verlag, 1985), essa lei pode ser estendida para uma 4
fórmula simples, que dá o diâmetro D da cratera (em metros) que resulta de uma carga explosiva colocada ao nível do solo em função da massa M dos explosivos (em quilogramas de TNT): D = 0.8 M 1/3. Para explosões subterrâneas, uma análise mais complexa é necessária. (a) Calcular o diâmetro aproximado da cratera resultante de uma carga explosiva equivalente a 60 kg de TNT. (b) Determine a massa aproximada de TNT responsável por uma explosão que resulta em uma cratera de 4 m de diâmetro. (c) Qual deve ser o aumento percentual na massa de um explosivo a fim de dobrar o tamanho da cratera resultante? Observação: este exercício foi extraído do livro Essential Mathematics and Statistics for Forensic Science de Craig Adam, publicado pela John Wiley & Sons em 2010. [24] Funções da forma f(x) = c x α são muito usadas em Biologia no estudo do tamanho e da forma dos seres vivos. De fato, os biólogos têm um nome especial para funções deste tipo: funções alométricas. Por exemplo, y = 12.03 x 0.127 é uma função alométrica que modela o tempo y de incubação (medido em dias) de um ovo em função de sua massa x (medida em gramas). Sabendo que um ovo de um beija-flor tem em média massa igual a 0.2 g, use a fórmula acima (e uma calculadora) para estimar o tempo de incubação deste tipo de ovo. [25] Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. Não use o computador ou uma calculadora gráfica. (a) y = 3 x, (b) y = 3 x, (c) y = x 3, (d) y = 3 x. [26] Suponha dado o gráfico de uma função f. Escreva equações para os gráficos obtidos a partir do gráfico de f da forma descrita nos itens abaixo. 5
(a) Desloque 3 unidades para cima. (b) Desloque 3 unidades para baixo. (c) Desloque 3 unidades para direita. (d) Desloque 3 unidades para esquerda. (e) Faça uma reflexão em torno do eixo x. (f) Faça uma reflexão em torno do eixo y. (g) Estique verticalmente por um fator de 3. (h) Encolha verticalmente por um fator de 3. [27] O gráfico de y = f(x) é dado na figura a seguir. Associe cada equação com seu gráfico e dê razões para suas escolhas. (a) y = f(x 4), (b) y = f(x) + 3, (c) y = f(x)/3, (d) y = f(x + 4), (e) y = 2 f(x + 6). [28] O gráfico de uma função f é dado a seguir. Use-o para fazer o gráfico das funções dos itens abaixo. (a) y = f(2 x), (b) y = f(x/2), (c) y = f( x), (d) y = f( x). [29] Faça um esboço do gráfico de y = h(x) = 2 + 2 x 3 a partir do gráfico da função y = f(x) = 1/x usando alongamentos, compressões, translações e reflexões. Em cada etapa, especifique qual transformação você empregou e faça um esboço do gráfico da função intermediária correspondente, indicando explicitamente as interseções com os eixos coordenados, caso existam. [30] Faça um esboço do gráfico de y = h(x) = 3 x 2 a partir do gráfico da função y = f(x) = x usando alongamentos, compressões, translações e reflexões. Em cada etapa, especifique qual transformação você empregou e faça um esboço do gráfico da função intermediária correspondente, indicando explicitamente as interseções com os eixos coordenados, caso existam. 6
Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [01] (a) D = [3/2, + ), (b) D = (, 1] [1, + ), (c) D = (, 0], (d) D = R, (e) D = ( 1, 0] (1, + ), (f) D = (1, + ). [02] (a) A sentença é verdadeira, pois a = ( a) 2 = b 2. (b) Recíproca da sentença: a = b 2 a = b. A recíproca é falsa, pois possui um contraexemplo: a = 1 e b = 1. Note que a = 1 e b 2 = 1, de modo que a = b 2 (a = 1 e b = 1 satisfazem a hipótese da recíproca) mas a = 1 1 = b (a = 1 e b = 1 não satisfazem a tese da recíproca). [03] (a) S = {5}, (b) S =, (c) S = {3}. [04] (a) A sentença é falsa, pois possui um contraexemplo: a = 2 e b = 1. Note que a 2 = 4 e b = 1, de modo que a b (a = 2 e b = 1 satisfazem a hipótese da sentença) mas a 2 > b (a = 2 e b = 1 não satisfazem a tese da sentença). (b) Recíproca da sentença: a 2 b a b. A recíproca é verdadeira. De fato: sejam a e b dois números reais tais que a 2 b. Como a 2 0, segue-se que b 0. Como a função raiz quadrada é crescente, segue-se que a 2 b. Mas a 2 = a e a a para todo a R. Assim, a b. [05] Se x é uma solução da desigualdade, então 3 x 2 0, isto é, x 2/3. Em particular, x 0. Como a função x x 2 e x x são crescentes no intervalo [0, + ), segue-se que Mas 2/3 x 3 x 2 2/3 x e x 2 ( 3 x 2) 2. 2/3 x e x 2 ( 3 x 2) 2 2/3 x e x 2 3 x 2 2/3 x e x 2 3 x + 2 0 x [1, 2]. Desta maneira, S = {x R x 3 x 2} = [1, 2]. [06] (a) D = ( 1, + ). (b) Observe que 2 x x 2 x + 1 2 x + 1 f(x) = x + 1 x (3 x + 4) = 2 (x + 1) x + 1. = 4 x ( x + 1) 2 x 2 2 x + 1 x + 1 = 4 x (x + 1) x2 2 (x + 1) x + 1 (c) f(x) > 0 se, e somente se, x (0, + ). [08] (a) h, (b) f, (c) g. [09] (a) Sejam x 1, x 2 (, 0], com x 1 < x 2. Mas se x 1 < x 2, então x 1 > x 2 e, se x 1, x 2 (, 0], então x 1, x 2 [0, + ). Como, por hipótese, f é crescente no intervalo [0, + ), segue-se que f( x 1 ) > f( x 2 ). 7
Sabemos que, por hipótese, f é uma função ímpar. Logo, f( x 1 ) = f(x 1 ) e f( x 2 ) = f(x 2 ). Assim, f( x 1 ) > f( x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) f(x 1 ) < f(x 2 ). Mostramos então que, para todo x 1, x 2 (, 0], com x 1 < x 2, tem-se f(x 1 ) < f(x 2 ). Logo, f é crescente no intervalo (, 0]. (b) Sejam x 1, x 2 [0, + ), com x 1 < x 2. Temos então que x 1 0, x 2 > 0 e x 2 x 1 > 0. Mas se x 1 > 0 e x 2 0, então x n 1 2 > 0, x n 2 2 x 1 0,, x 2 x n 2 1 0, x n 1 1 0. Em particular, x n 1 2 + x n 2 2 x 1 + + x 2 x n 2 1 + x n 1 1 > 0. Portanto, x n 2 x n 1 = (x 2 x 1 ) }{{} >0 (x2 n 1 + x2 n 2 x 1 + + x 2 x1 n 2 + x1 n 1 ) }{{} >0 Mas, se x n 2 x n 1 > 0, então x n 1 < x n 2. Isto mostra que f é crescente no intervalo [0, + ). (c) Pelos itens (a) e (b), sabemos que f é crescente em [0, + ) e em (, 0]. Se n N é impar, então f(x) > 0 para todo x (0, + ) e f(x) < 0 para todo x (, 0). Sejam agora x 1, x 2 R com x 1 < x 2. Temos três possibilidades: (1) x 1, x 2 [0, + ), (2) x 1, x 2 (, 0] e (3) x 1 (, 0) e x 2 (0, + ). Nos três casos x n 1 < x n 2. Logo f é crescente em R. [10] 3 2000 é maior do que 2 3000, pois 3 2000 = (3 2 ) 1000 = 9 1000 > 8 1000 = (2 3 ) 1000 = 2 3000. > 0 [12] 4 1 = 1 porque 1 é um número não negativo e 1 4 = 1. [13] Apesar de 2 elevado a 4 ser igual a 16, 2 é um número negativo e, por definição, 4 16 é o único número real não negativo que elevado a 4 é igual a 16 (uma raiz n-ésima, com n par, é sempre não negativa). Desta maneira, 4 16 é igual a 2 e não 2. Agora, 5 243 = 3 porque 3 é o (único) número real que elevado a 5 é igual a 243. [14] Apenas a igualdade (2) está errada. Se a = 1, então (a 4 ) 1 4 = (( 1) 4 ) 1 4 = 1 1 4 = 1 e a 4 1 4 = a 1 = a = 1. Logo, para a = 1, (a 4 ) 1 4 a 4 1 4. [15] Sugestão: use o Exercício [19] da Lista 9. [16] Sugestão: use o Exercício [19] da Lista 9. [22] De fato: sejam a = 2, b = 1/2 e x = 1. Temos que (x a ) b = (( 1) 2 ) 1 2 = 1 1/2 = 1 e x a b = ( 1) 2 1 2 = ( 1) 1 = 1, enquanto que (x b ) a = (( 1) 1/2 ) 2 não está definido, pois a função x x 1/2 está definida para x 0 e 1 é menor do que 0. [23] (a) Aproximadamente 3.1 m. (b) 125 kg. (c) 800%. [24] Pelo modelo, o tempo de incubação de um ovo de um beija-flor é igual a 12.03 (0.2) 0.127 10 dias. [25] (a) G, (b) f, (c) F, (d) g. [26] (a) y = f(x) + 3, (b) y = f(x) 3, (c) y = f(x 3), (d) y = f(x + 3), (e) y = f(x), (f) y = f( x), ](g) y = 3 f(x), (h) y = f(x)/3. [27] (a) 3, (b) 1, (c) 4, (d) 5, (e) 2. 8
(a) (b) (c) (d) Figura 1: Resposta do Exercício [08]. [28] Os gráficos são apresentados na Figura 1. [29] Seja y = f(x) = 1/x, cujo gráfico é apresentado na Figura 2. Etapa 1. y = g 1 (x) = f( x ) = 1/ x : para x > 0, o gráfico de g 1 coincide com o gráfico de f e, para x < 0, o gráfico de g 1 é a reflexão do gráfico de f com relação ao eixo y (Figura 3). Etapa 2. y = g 2 (x) = g 1 (x 3) = 1/ x 3 : o gráfico de g 2 é obtido fazendo-se uma translação horizontal de 3 unidades para a direita do gráfico de g 1 (Figura 4). Etapa 3. y = g 3 (x) = 2 g 2 (x) = 2/ x 3 : o gráfico de g 3 é obtido fazendo-se um alongamento vertical de fator 2 do gráfico de g 2 (Figura 5). Etapa 4. y = g 4 (x) = 2 + g 3 (x) = 2 + 2/ x 3 : o gráfico de g 4 é obtido fazendo-se uma translação vertical de 2 unidades para baixo do gráfico de g 3 (Figura 6). Etapa 5. y = h(x) = g 4 (x) = 2 + 2/ x 2 : para os valores de x onde g 4 (x) 0, o gráfico de h coincide com o gráfico de g 4 e, para valores de x onde g 4 < 0, o gráfico de h é a reflexão do gráfico de g 4 com relação ao eixo x (Figura 7). 9
Figura 2: Gráfico de f(x) = 1/x. Figura 3: Gráfico de y = g 1 (x) = f( x ) = 1/ x. 10
Figura 4: Gráfico de y = g 2 (x) = g 1 (x 3) = 1/ x 3. Figura 5: Gráfico de y = g 3 (x) = 2 g 2 (x) = 2/ x 3. 11
Figura 6: Gráfico de y = g 4 (x) = 2 + g 3 (x) = 2 + 2/ x 3. Figura 7: Gráfico de y = h(x) = g 4 (x) = 2 + 2/ x 3. 12
[30] Seja y = f(x) = x, cujo gráfico é apresentado na Figura 8. Etapa 1. y = g 1 (x) = f( x) = x: o gráfico de g 1 é obtido fazendo-se uma reflexão com relação ao eixo y do gráfico de f (Figura 9). Etapa 2. y = g 2 (x) = g 1 (x) 2 = x 2: o gráfico de g 2 é obtido fazendo-se uma translação vertical 2 unidades para baixo do gráfico de g 1 (Figura 10). Etapa 3. y = g 3 (x) = g 2 (x) = x 2 : o gráfico de g 3 é obtido fazendo-se um reflexão com relação ao eixo x dos pontos do gráfico de g 2 com ordenada negativa (Figura 11). Etapa 4. y = h(x) = 3 g 3 (x) = 3 x 2 : o gráfico de h é obtido fazendo-se um alongamento vertical de fator 2 do gráfico de g 3 (Figura 12). Figura 8: Gráfico de f(x) = x. 13
Figura 9: Gráfico de y = g 1 (x) = f( x) = x. Figura 10: Gráfico de y = g 2 (x) = g 1 (x) 2 = x 2. 14
Figura 11: Gráfico de y = g 3 (x) = g 2 (x) = x 2. Figura 12: Gráfico de y = h(x) = 3 g 3 (x) = 3 x 2. Texto composto em L A TEX2e, HJB, 04/07/2016. 15