PARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia

PARTE 5 LIMITE 5.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar, vamos recordar que dados dois vetores v = (v 1,v 2,..., v n ) e u = (u 1,u 2,..., u n ) em R n, a distância entre v e u é dada por v u = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 +... + (v n u n ) 2, onde a função. : R n R é chamada de norma. Observe ainda que v = v1 2 + v2 2 +... + vn 2 = v. v. Desta forma, uma bola aberta em R n de raio r com centro em X 0 = ( 10, 20,..., n0 ), que denotaremos por B r (X 0 ), é definida por B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) 2 +... + ( n n0 ) 2 < r 2 } e, uma bola fechada em R n de raio r com centro em X 0 = ( 10, 20,..., n0 ), que denotaremos por B r (X 0 ), é definida por B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) 2 +... + ( n n0 ) 2 r 2 }. Desta forma, no plano (R 2 ), temos que uma bola aberta de raio r com centro em ( 0, 0 ) é o conjunto de pontos que estão dentro da circunferência de raio r com centro em ( 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = r 2. E, no espaço (R 3 ), temos que uma bola aberta de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ) é o conjunto de pontos que estão dentro da esfera de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = r 2. Vamos definir agora pontos interiores, conjuntos abertos, viinhança, pontos de acumulação, pontos de fronteira e conjuntos fechados. 63

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 64 DEFINIÇÃO 5.1.1: (Ponto Interior) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que X 0 A é um ponto interior de A se eiste uma bola aberta com centro em X 0 inteiramente contida em A. DEFINIÇÃO 5.1.2: (Conjunto Aberto) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Eemplo 5.1.1: Toda bola aberta B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) 2 +... + ( n n0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R n. Em particular, a bola aberta B r ( 0, 0 ) = {(,) R 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R 2. Eemplo 5.1.2: O conjunto A = {(,) R 2 0 < < 1 e 0 < < 1} é um conjunto aberto em R 2. DEFINIÇÃO 5.1.3: (Viinhança) Uma viinhança de X 0 R n é um conjunto aberto que contém X 0. Eemplo 5.1.3: Toda bola aberta B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) 2 +... + ( n n0 ) 2 < r 2 } é uma viinhança de X 0. DEFINIÇÃO 5.1.4: (Ponto de Acumulação) Diemos que X 0 R n é um ponto de acumulação do conjunto A R n se toda bola aberta com centro em X 0 contém pelo menos um ponto X A, X X 0. Eemplo 5.1.4: O conjunto dos pontos de acumulação da bola aberta B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (,) 2 + 2 < 1} é o conjunto {(,) R 2 (,) 2 + 2 1}. Eemplo 5.1.5: O conjunto dos pontos de acumulação da bola fechada B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (,) 2 + 2 1} é o conjunto {(,) R 2 (,) 2 + 2 1}. Eemplo 5.1.6: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto R \{(0, 0)} é todo o plano. Eemplo 5.1.7: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto B 1 (0, 0) {(2, 0)} é o conjunto {(,) R 2 (,) 2 + 2 1}.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 65 Observação 5.1.1: Se X 0 R n é um ponto de acumulação do conjunto A, podemos nos aproimar de X 0, o quanto quisermos, por uma sequência de pontos onde todos os pontos pertencem a A. Esta definição será necessária para apresentar o conceito de ite de funções de várias variáveis reais, pois a possibilidade de aproimação de um ponto em R n é bem mais ampla do que simplesmente se aproimar pela direita ou pela esquerda, ou através de uma combinação pela direita e pela esquerda, que eram os casos possíveis de aproimação em se tratando de pontos na reta. DEFINIÇÃO 5.1.5: (Ponto de Fronteira e Fronteira) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que X 0 R n é um ponto de fronteira de A, se toda bola aberta com centro em X 0 possuir pelo menos um ponto que pertence a A e um ponto que não pertence a A. O conjunto dos pontos de fronteira de um conjunto A é chamado de fronteira de A. A fronteira de A é denotada por A. Eemplo 5.1.8: A fronteira da bola aberta B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (, ) 2 + 2 < 1} é a circunferência 2 + 2 = 1. Eemplo 5.1.9: A fronteira da bola fechada B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (,) 2 + 2 1} é a circunferência 2 + 2 = 1. Eemplo 5.1.10: A fronteira do conjunto B 1 (0, 0) {(2, 0)} é a circunferência 2 + 2 = 1 e o ponto (2, 0). DEFINIÇÃO 5.1.6: (Conjunto Fechado) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Eemplo 5.1.11: Toda bola fechada B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) 2 +... + ( n n0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R n. Em particular, a bola fechada B r ( 0, 0 ) = {(,) R 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R 2. Eemplo 5.1.12: O conjunto B 1 (0, 0) {(2, 0)} é um conjunto fechado. Eemplo 5.1.13: O conjunto A = {(,) R 2 0 1 e 0 1} é um conjunto fechado em R 2. Vamos definir agora conjuntos itados e conjuntos compactos.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 66 DEFINIÇÃO 5.1.7: (Conjunto Limitado) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto itado se eiste M > 0 tal que A R, onde R é o retângulo em R n dado por R = {( 1, 2,..., n ) R n M 1 M, M 2 M,..., M n M, }. Eemplo 5.1.14: Toda bola aberta, em R n, de raio r e centro em X 0 é um conjunto itado em R n e toda bola fechada, em R n, de raio r e centro em X 0 também é um conjunto itado em R n. Eemplo 5.1.15: O conjunto A = {(,) R 2 2 4} é um conjunto itado em R 2. Eemplo 5.1.16: O conjunto A = {(,) R 2 0 e 0} itado em R 2. NÃO é um conjunto DEFINIÇÃO 5.1.8: (Conjunto Compacto) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto compacto se ele é fechado e itado. Eemplo 5.1.17: Toda bola fechada, em R n, de raio r e centro em X 0 é um conjunto compacto em R n. Eemplo 5.1.18: O conjunto A = {(,) R 2 2 4} é um conjunto compacto em R 2. Eemplo 5.1.19: O conjunto A = {(,) R 2 0 e 0} NÃO é um conjunto compacto em R 2, pois, apesar de ser um conjunto fechado, ele não é um conjunto itado. Vamos agora passar à definição de ite. 5.2 Limite A essência do conceito de ite continua sendo a que vimos em Cálculo 1A. Vamos portanto recordá-la.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 67 Recordação de ite de funções reais de uma variável real: Seja f : Dom(f) R R uma função real de uma variável real. Suponha que f está definida no intervalo aberto I contendo 0 (eceto possivelmente no próprio 0 ). Diemos que f() tende a l, l R, quando tende a 0, cuja notação é f() = l, se para todo ε > 0 dado, 0 eiste δ > 0 tal que, 0 < 0 < δ f() l < ε. Tradução: Dada uma função f : Dom(f) R R definida no intervalo aberto I contendo 0 (eceto possivelmente no próprio 0 ), diemos que f possui ite l quando tente a 0 se, dado uma distância máima que permitimos que f() se afaste de l (uma dada distância ε), sempre é possível encontrar uma outra distância (uma distância δ), tal que se não se afastar de 0 uma distância maior do que esta distância encontrada (a distância δ), o valor da função f, para pontos nesta viinhança itada, estará próimo de l o quanto queremos (a distância dada ε). Observação 5.2.1: Note que um ponto 0 pertencente a um intervalo aberto I é trivialmente um ponto de acumulação de I. O que devemos faer então para definir ite de funções reais de n variáveis reais é simplesmente adaptar o conceito de distância, que antes, em Cálculo 1A, era dado pelo módulo, uma ve que o domínio da função era um subconjunto da reta, para o conceito de distância em R n, que é onde os novos pontos do domínio estão. DEFINIÇÃO 5.2.1: (Limite) Seja f a função real de várias variáveis f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f). Diemos que f(x) tende a l, l R, quando X = ( 1, 2,..., n ) tende a X 0, cuja notação é f(x) = l, se para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, para todo X Dom(f), 0 < X X 0 = ( 1 10 ) 2 +... + ( n n0 ) 2 < δ f(x) l < ε. Desta forma, para a função real de duas variáveis f : Dom(f) R 2 R (, ) f(,), temos que f(,) = l se, para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, para (,) ( 0, 0 ) todo (,) Dom(f), 0 < ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ f(,) l < ε.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 68 Eemplo 5.2.1: Mostre que 2 + 2 = 0. Solução: Aplicando a definição de ite, temos que ε > 0, eiste δ > 0 tal que, 0 < 2 + 2 < δ 2 + 2 < ε. = 0, se dado 2 + 2 Observando que 2 + 2 = 5 2 2 + 2 5 5 2 + 2, (1) para ε > 0 dado, basta faer δ = ε 5. De fato, se δ = ε, segue que 5 0 < 2 + 2 < δ = ε 5 5 2 + 2 < ε, portanto, de (1), temos que 0 < 2 + 2 < ε 5 2 + 2 < ε, conforme desejado. Eplicações das desigualdades: ( ) 0 2 + 2 + 2 2 2 + = 1 2 e ( ) = 2 2 + 2 ). Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 52 sob diferentes ângulos, para facilitar a visualiação. 2 + 2 2 Vejamos agora as propriedades de ite. Cabe ressaltar que vimos todas as versões destas propriedades para funções da reta na reta em Cálculo 1A. TEOREMA 5.2.1: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 69 do Dom(f), então f(x) = l f(x) l = 0. TEOREMA 5.2.2: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f), então f(x) = l f(y + X 0 ) = l. Y 0 TEOREMA 5.2.3: (Propriedades de Limite) Considere as funções f, g : D R n R, tais que X X0 f(x) = l, X X0 g(x) = m e seja k R. Neste caso, temos que a) X X0 (f ± g)(x) = l ± m; b) X X0 (kf)(x) ( ) = kl; f c) X X0 (X) = l, se m 0; g m d) X X0 f(x) = l. TEOREMA 5.2.4: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f), então f(x) = 0 f(x) = 0. Observação 5.2.1: Note que é fundamental no Teorema 5.2.4 que o valor do ite seja 0, pois caso contrário, é possível ter X X0 f(x) = l 0, sem que sequer eista X X0 f(x). Por eemplo, para a função { 1, se 0 f(,) = 1, se > 0, temos que f(,) = 1 = 1 0, enquanto que não eiste f(,). 1 1 TEOREMA 5.2.5: Seja f : Dom(f) R n R uma função polinomial, então X X0 f(x) = f(x 0 ).

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 70 Eemplo 5.2.2: Calcule 52 + 2. Solução: Como a função f(,) = + 2 é polinomial, temos pelo Teorema 5.2.5 acima que f(,) = 52 + 2 = f(0, 0) = 0. TEOREMA 5.2.6: Seja f : Dom(f) R n R uma função racional, e seja X 0 um ponto do Dom(f), então X X0 f(x) = f(x 0 ). Eemplo 5.2.3: Calcule (,) (1,2) 2 + 2. Solução: Observe que o domínio da função racional f(,) = 52 é dado por 2 + 2 Dom(f) = R\{(0, 0)}. Portanto, o ponto ( 0, 0 ) = (1, 2) Dom(f). Desta forma, pelo Teorema 5.2.6 acima que (,) (1,2) f(,) = (,) (1,2) 2 + 2 = f(1, 2) = 5.12.2 1 2 + 2 2 = 2. TEOREMA 5.2.7: (Teorema do Confronto (ou do Sanduiche)) Sejam f, g, h : D R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de D. Suponha que eiste uma viinhança V X0 de X 0 tal que f(x) g(x) h(x) para todo X V X0 D, eceto possivelmente no próprio ponto X 0. Desta forma, se f(x) = l e h(x) = l então, g(x) também eiste e g(x) = l. TEOREMA 5.2.8: (Teorema do Anulamento) Sejam f,g : D R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de D. Se f(x) = 0 e eiste uma viinhança V X0 de X 0 tal que g é itada em V X0 D, então f(x)g(x) também eiste e f(x)g(x) = 0.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 71 Eemplo 5.2.4: Calcule, caso eista, Solução: Observe que a função g(, ) = 0 2 2 + 2. 2 2 + 2 é itada, uma ve que 2 + 2 = 1. Além disso, a função f(,) = 5 é tal que 2 + 2 2 + 2 f(,) = 5 = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que (Esta função é a mesma do Eemplo 5.2.1.) = 2 + 5. 2 2 2 + = 0. 2 Eemplo 5.2.5: Calcule, caso eista, 3 2 2 +. 2 Solução: Observe que a função g(,) = 2 2 é itada, uma ve que 2 + 2 0 2 2 2 + 2 2 + 2 2 + = 1. 2 Além disso, a função f(,) = é tal que f(,) = = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que 3 2 =. 2 2 2 + 2 2 + = 0. 2 Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 3 2 2 + 2.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 72 TEOREMA 5.2.9: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g), suponha que X X0 g(x) = a e suponha ainda que a é um ponto de acumulação de Dom(f). Se f não está definida em a ou se f é contínua em a, então f(g(x)) = u a f(u). Observação 5.2.2: Utiliamos a versão deste teorema dada em Cálculo 1A (g : sen (tan()) Dom(g) R R) para calcular ites do tipo. Neste caso, 0 tan g() = tan, f(u) = senu u, 0 = 0, a = g() = tan = 0 e f(u) = senu não 0 0 u está definida em a = 0, de modo que sen (tan()) f(g(x)) = 0 0 tan = u a f(u) = u 0 senu u = 1. Eemplo 5.2.6: Verifique se 1 cos( 2) (,) (1,2) 2 ( 2) 2 eiste. Solução: Neste caso, observe que desejamos saber X X0 f(g(x)), onde g(,) = ( 2), f(u) = 1 cos u, X u 2 0 = (1, 2), a = g(, ) = ( 2) = 0 e (,) (1,2) 0 f(u) = 1 cos u não está definida em a = 0. Portanto, pelo Teorema 5.2.9, temos que u 2 1 cos( 2) f(g(x)) = (,) (1,2) 2 ( 2) 2 = u a f(u) = u 0 1 cos u u 2 = 1 2. Observe que também podemos aplicar este mesmo raciocínio para determinar 1 cos( 2) 1 cos( 2) e. (,) ( 0,2) 2 ( 2) 2 (,) (0, 0 ) 2 ( 2) 2 Desta forma, também obteremos que 1 cos( 2) = 1 (,) ( 0,2) 2 ( 2) 2 2 = 1 cos( 2). (,) (0, 0 ) 2 ( 2) 2

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 73 Abaio temos um esboço do gráfico de f sob diferentes ângulos para facilitar a visualiação. Observe que o domínio da função f(,) = é dado por 1 cos( 2) 2 ( 2) 2 Dom(f) = {(,) R 2 0 e 2}, de modo que os pontos correspondentes às duas retas = 0 e = 2, encontram-se tracejados. Observação 5.2.3: Caso f esteja definida em a e não seja contínua neste ponto, as funções reais de variáveis reais abaio servem para eemplificar (conforme visto em Cálculo 1A) que a igualdade f(g(x)) = f(u) pode falhar. Considere as { u a u + 1, u 1 funções f(u) = 5, u = 1 e g() = 1 para todo real. Escolhendo 0 = 3, observe que g() = 1 = 1, de modo que a = 1. Além disso, temos que f(u) = 2 3 3 u 1 mas, f(g()) = 5 = 5 2 = f(u). 3 3 u 1 Observação 5.2.4: Sabendo que X X0 g(x) = a, se eistir uma viinhança V X0 de X 0 tal que g(x) a para todo X V X0 Dom(g), X X0 g(x) = a, a igualdade X X0 f(g(x)) = u a f(u) do Teorema 5.2.9 também irá valer, independente do comportamento de f em a. O enunciado do teorma para este caso seria assim: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g) e suponha que X X0 g(x) = a. Se a é um ponto de acumulação de Dom(f) e se eiste uma viinhança V X0 de X 0 tal que g(x) a para todo X V X0 Dom(g), então X X0 f(g(x)) = u a f(u). Observe que, pelo o Teorema 5.2.9 acima, se X X0 g(x) = a e f é uma função contínua em a, então, ( ) f(g(x)) = f(u) = f(a) = f g(x). u a Em outras palavras, temos que se f é uma função contínua, podemos passar o ite para dentro, de modo que: o ite da f é igual a f do ite. Pela importância deste resultado, que é a própria caracteriação de funções contínuas (conforme visto em Cálculo 1A), vamos enunciá-lo abaio.

Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 2011-2 74 COROLÁRIO 5.2.1: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g) e suponha que X X0 g(x) = a. Se a é um ponto de acumulação de Dom(f) e f é contínua em a, então ( ) f(g(x)) = f g(x). Agora vamos ver um teorema que será bastante útil para demonstrar que uma dada função NÃO possui ite. TEOREMA 5.2.10: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f). Suponha que f(x) = l. Considere agora a curva C parametriada pela função contínua γ : [a,b] R n, tal que γ(t 0 ) = X 0, t 0 [a,b]. Suponha que, para todo t t 0, tem-se que γ(t) X 0, e que, γ(t) Dom(f), t [a,b], t t 0. Neste caso, segue que f(γ(t)) = l, t t 0 ou um ite lateral apropriado. Observe que se for possível encontrar uma curva C 1 Dom(f) {X 0 }, parametriada pela função γ 1, e uma curva C 2 Dom(f) {X 0 }, parametriada pela função γ 2, de modo que γ 1 (u 0 ) = X 0 = γ 2 (v 0 ) e tal que f(γ 1 (u)) f(γ 2 (v)) (ou um ite lateral apropriado), podemos concluir pelo Teorema 5.2.10 acima, que NÃO eiste u u0 v v0 f(x). Eemplo 5.2.7: Verifique se 2 2 2 + eiste. 2 Solução: Considere f(,) = 2 2 2 + 2. Vamos mostrar que o ite acima não eiste apresentando dois caminhos distintos de aproimação, de modo que o ite ao longo destes caminhos não sejam iguais. Para isto, considere a curva C 1 parametriada por γ 1 (t) = (t, 0), t 0 e a curva C 2 parametriada por γ 2 (t) = (0,t), t 0. Desta forma, 2 2 calculando separadamente, 2 + ao longo das curvas C 2 1 e C 2, temos que e 2 2 2 + = f(γ t 2 0 1(t)) = 2 t 0 + t 0 + t 2 + 0 = 1 = 1, t 0 + ao longo de C 1 = f(γ 0 t 2 2(t)) = t 0 + t 0 + 0 + t = 1 = 1. 2 t 0 + ao longo de C 2