FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 3.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato, na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
. Considere o polinómio 5 4 3 B x x 6x 0x 4x 4x 6. (0).. Sabendo que é uma raiz de B x, indique, justificando, qual é a sua multiplicidade. (A) (B) (C) 3 (D) 4 Como é um zero de B x, para sabermos a sua multiplicidade, vamos aplicar a Regra de Ruffini até obtermos resto zero. Simultaneamente, baixamos o grau do polinómio inicial. -6 0 4-4 6-8 4 6-6 -4 8-8 0-4 -4 8 - - 4 0 0-4 0-0 4 0 Como obtivemos três restos iguais a zero, o polinómio uma raiz de multiplicidade 3, opção C B x é divisível por x 3 (5).. Decomponha o polinómio B x em fatores do menor grau possível. Da questão anterior, já sabemos que Bx x 3 x Vejamos se x tem zeros: Portanto, a fatorização de x 0 x x B x é x 3 x x, ou seja, é (5).3. Resolva, em, a inequação Bx 0. Da questão anterior ficamos a saber que Bx x 3 x x Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada um dos fatores que compõem como do seu produto: x x 3 0 + x 0 + + + x 0 + + + + + B x 0 + 0 0 + Assim, Bx 0 x,, B x, assim Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão
. No referencial ortonormado xoy da figura do lado, ABCD é um quadrado inscrito na circunferência de diâmetro [BD]. Os vértices B e C pertencem ao eixo Oy e B e D têm coordenadas B 0, e 4 D,. (0).. Escreva a equação reduzida da circunferência representada. A circunferência tem centro no ponto médio, M, de [BD] e raio BD MB (ou MD ou ). 0 4 Assim, o centro tem coordenadas M, 0, e raio r MB 0 0 4 4 8 A equação da circunferência é x y 0 8 x y 8 (0).. Diga, justificando, qual das condições seguintes define a região sombreada. (A) x y 8 x 0 x 4 (B) x y 8 x 0 x 4 (C) x y 8 x 0 x 4 (D) x y 8 x 0 x 4 A região sombreada pertence ao círculo x y 8 e está à direita da reta x = 4 ou à esquerda da reta x = 0, incluindo as linhas. Portanto, é definida pela opção B. (0).3. Diga, justificando, qual das opções seguintes representa a área da região sombreada. (A) 8 6 (B) 3 64 (C) 4 8 A A. A área sombreada corresponde a um A 8 8 8 e A Temos: Assim, A S (D) CD 4 6 8 4 A A 8 6 4 8 u. a., Opção C (0).4. Determine a equação reduzida da mediatriz de [BD]. A mediatriz de [BD] é definida pela equação x 0 y x 4 y Simplificando, 4 4 8 6 4 4 4y 8x 6 4y y x y 8y 8x 6 yx Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 3/7 Versão
(5).5. Determine as coordenadas de um vetor v com sentido contrário a BD e de norma 4. Um vetor v com sentido contrário a BD é da forma BD D B 4, 0, 4, 4 Temos Portanto, v k 4, 4 4k, 4k Como 4 Assim, v temos k k k 4 4 4 Portanto, v 4, 4, v kbd com k 0. 6k 6k 4 3k 6 6 k 3 3. A figura do lado representa uma elipse inscrita num retângulo de dimensões 0 cm por 30 cm e focos F e F. (0) 3.. Determine o valor de FF e as coordenadas dos focos da elipse. Elipse de eixo maior vertical, em que: Assim, de Portanto, a 0 a 0 e b 30 b 5 b a c vem 5 0 c 3 c 5 5 5 e FF c 0 5 cm Os focos têm coordenadas F 0, 5 5 e 0 5 5 c 5 c 5 F,. (0) 3.. Diga, justificando, qual das seguintes é a equação reduzida da elipse. (A) (B) 5 0 30 5 0 (C) (D) 00 5 5 00 Sendo o eixo maior vertical, com a 0 e b 5, a equação da elipse é, ou seja,, opção C 0 5 00 5 (5) 3.3. Seja P o ponto da elipse, localizado no primeiro quadrante, que tem ordenada 9. Calcule a área do triângulo F F P, apresentando todos os cálculos efetuados. FF h Temos, ÁreaFF P, com h xp abcissa de P, pois é positiva. Já sabemos que FF 0 5 Para calcular a abcissa de P vamos recorrer à equação da elipse: x 9 x 8 x 44 4400 Para y 9 temos x x 64 00 5 00 5 00 5 5 Sendo xp 0, pois P.º Q, temos xp 8. Portanto, ÁreaF F P 0 5 8 40 5 cm. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/7 Versão
4. Na figura seguinte está representado um paralelogramo [ABCD]. (0) 4.. Usando cálculo vetorial, mostre que AC DB AB. Ad9p07 Temos: AC DB AB BC DA AB = AB AB BC DA = AB BC CB pois DA CB = AB 0 pois BC CB 0 = AB c.q.m. (0) 4.. Suponha que, num referencial ortonormado xoy, três dos vértices do paralelogramo têm coordenadas 3,,, 3 e 03,. Dos pontos seguintes, indique, justificando, o que não pode representar as coordenadas do outro vértice do paralelogramo. (A) 4 (C), (B) 3, 44, (D), 8 Um esboço da representação geométrica ajuda a perceber a situação, para vermos as possíveis localizações do vértice em falta. Como os lados opostos de um paralelogramo são paralelos temos três possibilidades para a localização do vértice D, sendo A 3, B, 3 e 03 C, : D é o vértice oposto a A: D B AC D é o vértice oposto a C: D A CB D é o vértice oposto a B: D A BC Portanto, só a opção B não serve., = B C A, 3 0, 3 3, 4, opção A = A B C 3,, 3 0, 3, 8 opção D = A C B 3, 0, 3, 3 4, 4 opção C 5. Considere os polinómios: Ad9p4CA 3 A x x x x x B x 4 C x x x Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão
(5) 5.. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições seguintes: p : O quociente da divisão de A x por q : é raiz do polinómio C x r : x : x é raiz de B x p é FALSA, pois A x tem grau 4 e dos graus, logo é um polinómio do.º grau. 0 q é VERDADEIRA, pois C C = 4 = = 3 3 = 0 r é FALSA, pois B x x B x é um polinómio do.º grau. B x tem grau e o grau do quociente é igual à diferença não tem raízes reais, = x 0 x eq. impossível (0) 5.. De acordo com o valor lógico encontrado para cada uma das proposições anteriores, Como indique, apresentando os raciocínios efetuados, o valor lógico da proposição: p q ~ p ~ r p F, q V e r F, temos F V ~ F ~ F F ~ F V F ~ V F F V (0) 5.3. Escreva um polinómio P x, de grau 3, tal que: QT Polinómios6 Como - 0 e 3 são as suas únicas raízes; - o resto da divisão de P x por x seja 4. P x é do 3.º grau e só tem dois zeros, um deles tem de ser duplo. Seja x 0 a raiz dupla (também pode ser a outra). Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o nosso polinómio é da forma: 0 3 P x a x x Como o resto da divisão de Assim, a 3 4 5 Portanto, Px x x 3 P x por x é 4, pelo Teorema do Resto, sabemos que a4 5 4 5 4a 4 a 5 P 4 Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão
(5) 6. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 6.A. Prove que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento. Exp0 e 9.3p Seja [ABC] um triângulo qualquer e M e N os pontos médios de dois dos seus lados, [AC] e [BC], por exemplo. Como M é o ponto médio de [AC] temos MC Como N é o ponto médio de [BC] temos CN CB AC MN MC CN AC CB AC CB AB Assim, Logo MN é colinear com AB e MN é paralelo a AB Temos ainda, MN AB AB, isto é, MN AB 6.B. Dividindo um polinómio Se os restos das divisões de C, calcule AB C. P x por x x x 3 P x por obtém-se resto x. Ad5p46 x, x e 3 Do algoritmo da divisão resulta que Px x x x 3 Qx x Pelo Teorema do Resto, temos: x são, respetivamente, A, B e. A P 3 Q 0 3 3 B P 3 Q 0 4 4 C P 3 3 3 33 Q 3 3 0 5 5 Assim, A BC 345 60. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão