Introdução aos Circuitos Elétricos Séries e Transformadas de Fourier Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia Sinais: conjunto de dados ou informação Sinal de telefone ou televisão Registro de vendas de uma corporação Índice BOVESPA Tensão ou corrente em um circuito Temperatura de uma sala Eletrocardiograma, etc /47 3/47 Séries e Transformadas de Fourier História Jean-Baptiste Joseph Fourier (768 83), foi um matemático e físico francês conhecido principalmente pela elaboração das famosas, cujo impacto no desenvolvimento da matemática é ainda de grande importância nas várias áreas da engenharia. Além disso, realizou notáveis contribuições no campo da egiptologia e teve uma vida política muito ativa durante a revolução francesa, ao lado de Napoleão Bonaparte. Sinais /47 4/47
Sistemas: entidades que processam os sinais, modificando-os ou extraindo informação Transmissores Válvulas Sistema auditivo Circuitos eletrônicos, etc Sistemas: Para obter a saída de um sistema no tempo discreto: utiliza-se a convolução: y[n] = + k= x[k] h[n k], ou y[n] =x[n] h[n], em que h é a resposta ao impulso do sistema. Em Laplace vimos que a convolução no tempo contínuo é igual a uma multiplicação em s: x(t) h(t) L X(s) H(s) 5/47 7/47 Sistemas: Sistemas: Convolução tempo discreto 6/47 8/47
Sistemas: Convolução tempo discreto Sistemas: Convolução tempo contínuo 9/47 / 47 Sistemas: Convolução tempo contínuo A convolução no tempo contínuo é dada por: y(t) = + x(τ) h(t τ) dτ Exemplo: considere x(t) =e at e h(t) =, portanto: y(t) = t e a τ dτ = t a e a τ = a ( e at ) Em Laplace: Y(s) = s + a s = /a s /a s + a L a ( e at ) Classificação de Sinais: Contínuos e Discretos Analógicos e Digitais Periódicos e Não-periódicos x(t) =x(t + T), para todo t, sendo T uma constante positiva Determinísticos e Aleatórios / 47 / 47
Classificação de Sistemas: Contínuos e Discretos Analógicos e Digitais Lineares e Não-Lineares Causais e Não-Causais Estáveis e Instáveis Variantes ou Invariantes no tempo Considerando que a onda total é periódica (período T = π), os períodos de cada uma das ondas componentes é uma fração de T, ou seja, Ti = T/ni em que ni é um número inteiro. Ou em frequência, ωi = ni ω 3 / 47 5 / 47 Análise de Fourier Sinal contínuo e periódico: Série de Fourier Sinal discreto e periódico: Série de Fourier Discreta Sinal contínuo e não-periódico: Transformada de Fourier Sinal discreto e não-periódico: Transformada de Fourier Discreta 4 / 47 Considere um sinal periódico com frequência fundamental π, expresso na seguinte forma: x(t)= +3 k= 3 ak e jkπt, com a =, a =a = 4, a =a =, a 3 =a 3 = 3 Assim, reescrevendo a equação anterior: x(t) = + 4 (ejπt + e jπt )+ (ej4πt + e j4πt )+ 3 (ej6πt + e j6πt ) Lembrando das relações de Euler, cos θ = (ejθ + e jθ ) e senθ = (ejθ e jθ ) j, x(t) = + cos πt + cos 4πt + 3 cos 6πt 6 / 47
Quando x(t) for real, a série trigonométrica de Fourier pode ser expressa em uma forma compacta: x(t) =C + Cn cos (nωt + θn) em que Cn e θn são relacionados com an e bn por: C = a, Cn = a n + b n, θn = tan ( b n an ) 7 / 47 9 / 47 As funções que reproduzem eventos periódicos no tempo podem ser representadas por uma somatória de senóides (cossenóides) por meio da série trigonométrica de Fourier: x(t) =a + an cos nωt + bn sen nωt sendo ω a frequência fundamental, os coeficientes an e bn podem ser calculados por (T = π): a = π an = π bn = π x(t) dt, x(t) cos nωt dt, x(t) sen nωtdt Condições de existência: sinal limitado e com número finito de máximos, de mínimos e de descontinuidades em um período Exemplo: Onda quadrada x(t) = { k se <t < k se < t <π Nesse caso, o período é T = π e ω = π/t = a = π a = π [ x(t) dt, k dt+ kdt ] = π kt + kt π, a = π [ k π + k π ] = 8 / 47 / 47
Exemplo: Onda quadrada an = π an = π bn = π bn = π [ [ x(t) cos nt dt, k cos nt dt + x(t) sen nt dt, k sen nt dt + k cos nt dt k sen nt dt ] ] = π = π sen nt k n cos nt k n + k k sen nt n cos nt n π π, bn = k n π k [cos cos ( nπ) cos nπ + cos ] = nπ ( cos nπ) cos nπ =, sen for ímpar e cos nπ =, sen for par b = 4k π, b =, b3 = 4k 3π, b 4 =, b5 = 4k 5π,... N=3 N=5 N= = / 47 3 / 47 Exemplo: Onda quadrada x(t) = 4k π 4k sen (t)+ sen (t)+ 3π 4k sen (3t)+ sen (4t)+ 5π sen (5t)+... 4 4 π sen (t) 3π sen (3t) Exemplo: Onda quadrada (k = ) x(t) = 4 π 4 sen (t)+ sen (t)+ 3π 4 sen (3t)+ sen (4t)+ 5π sen (5t)+... Forma compacta: x(t) =C + Cn cos (nωt + θn) em que Cn e θn são relacionados com an e bn por: C = a =, a n + b n, C = 4 π, C 3 = 4 3π, C 5 = 4 5π ( ) b θn = tan n Cn = an, θ = π, θ 3 = π, θ 5 = π / 47 4 / 47
Exemplo: Onda quadrada (k = ) x(t) = 4 π cos (t 9 )+ cos (t 9 )+ 4 3π cos (3t 9 )+... + cos (4t 9 )+ 4 5π cos (5t 9 )+... Representação gráfica da forma compacta: Passando para a forma compacta: C = a =, 54 Cn =, 54 a n + b n =, 54 ( θn = tan ( b n + 6n an x(t) =, 54 +, 54 ) ) 4 ( + 6n ) + 64n = tan ( 4n) = tan 4n ( + 6n ) = cos (nt + 6n tan 4n) 5 / 47 7 / 47 Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periódico: Nesse caso, o período é T = π e ω = π T = rad/s. Portanto, x(t) =a + a = π an = π bn = π + an cos nt + bn sen nt x(t) dt = π e t/ cos nt dt =.54 e t/ sen nt dt =, 54 e t/ dt =, 54 ( ( ) + 6n ) 8n + 6n 6 / 47 Na forma compacta: x(t) =, 54 +, 44 cos (t 75, 96 )+, 5 cos (4t 8, 87 ) +, 84 cos (6t 85, 4 )+, 63 cos (8t 86, 4 )+... Representação gráfica da forma compacta: 8 / 47
Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periódico: Nesse caso, o período é T = eω = π T = πrad/s. Portanto, x(t) =a + + an cos nπt + bn sen nπt x(t) = { At se / < t < / A( t) se / < t < 3/ a = 3/ / x(t) dt = Na forma compacta, como sen kt = cos (kt 9 ) e sen kt = cos (kt + 9 ): x(t) = 8A [ π cos (πt 9 )+ 9 cos (3πt + 9 )+ 5 cos (5πt 9 ) + ] 49 cos (7πt + 9 )+... Representação gráfica da forma compacta: 9 / 47 3 / 47 Exemplo: Onda triangular: an = bn = 3/ / / / bn = 8A ( nπ n π sen x(t) cos nπtdt= At sen nπtdt+ ) 3/ / / / At cos nπtdt+ A( t) sen nπtdt 3/ / A( t) cos nπtdt= bn = n par 8A n π n =, 5, 9, 3,... 8A n π n = 3, 7,, 5,... Assim, x(t) = 8A π [ sen πt 9 sen 3πt + 5 sen 5πt 49 sen 7πt +... ] Exemplo: Expresse a seguinte série como uma série trigonométrica de Fourier e trace o espectro de amplitude e fase de x(t): x(t) = + 3 cos t + 4 sen t + sen (3t + 3 ) cos (7t + 5 ) Na série trigonométrica compacta de Fourier, os termos em seno e cosseno de mesma frequência são combinados em um único termo e os termos são descritos em cossenos com amplitudes positivas. Assim, 3 cos t + 4 sen t = 5 cos (t 53, 3 ) sen (3t + 3 )= cos (3t + 3 9) = cos (3t 6 ) cos (7t + 5 )= cos (7t + 5 8 )= 7t 3 Portanto, x(t) = + 5 cos (t 53, 3 )+ cos (3t 6 )+cos (7t 3 ) 3 / 47 3 / 47
Na forma compacta, x(t) = + 5 cos (t 53, 3 )+ cos (3t 6 )+cos (7t 3 ) Representação gráfica da forma compacta: na Forma Exponencial Continuando: x(t) =a + x(t) =a + x(t) = n= an jbn an jbn an jbn e jnωt + e jnωt + e jnωt = n= n= an + jbn an jbn Cn e jnωt e jnωt e jnωt em que, Cn = a n jbn ou Cn = T T x(t) e jnωt dt 33 / 47 35 / 47 na Forma Exponencial Até agora foi estudada a forma trigonométrica da série de Fourier: x(t) =a + an cos nωt + bn sen nωt Usando as equações de Euler, cos θ = ( e jθ + e jθ) / sen θ = ( e jθ e jθ) /j podemos reescrever a forma trigonométrica na forma exponencial: x(t) =a + an ( e jnωt + e jnωt) + jbn ( e jnωt e jnωt) na Forma Exponencial Exemplo: Determine a série exponencial de Fourier do sinal periódico: Nesse caso, o período é T = π e ω = π T = rad/s. Portanto, x(t) = n= Cn e jnt Cn = x(t) e jnt dt = T T π π π ( + jn ) e (/+jn)t Cn = = e t/ e jnt dt = π, 54 + j4n e (/+jnt)t dt, 34 / 47 36 / 47
x(t) =, 54 x(t) =, 54 n= [ + j4n ejnt, + + j4 ejt + + j8 ej4t + + j ej6t +... + j4 e jt + j8 e j4t + j e j6t +... ] Representação gráfica da forma compacta: Uma vez que xt (t) =x(t) no intervalo ( T/, T/) e x(t) = fora desse intervalo: Cn = T T / T / x(t) e jnω t dt = T x(t) e jnω t dt Define-se uma função contínua de ω por, X(jω) = x(t) e jωt dt, e, portanto, Cn = T X(jnω) Assim, xt (t) = n= T X(jnω)e jnω t = π n= X(jnω)e jnω t ω Como T, xt (t) aproxima x(t), no limite, a equação anterior representa também x(t). Além disso, como ω quando T, o lado direito da equação passa a ser uma integral e o espectro passa a ser contínuo. 37 / 47 39 / 47 Até agora, apenas sinais periódicos foram abordados, o que fazer com sinais não-periódicos? (t) formado pela repetição de um sinal não-periódico x(t) em intervalos de T segundos. O Considere um sinal periódico xt (t) pode ser representado por um série exponencial de Fourier. sinal periódico xt Se fizermos T : lim x T T (t) =x(t) A série de Fourier que representa (t) também irá representar xt x(t) no limite de T. A série exponencial de Fourier para (t) é dada por: xt xt (t) = n= Cne jnω t e Cn = T T / T/ xt (t)e jnω t dt Dessa forma, chega-se na Transformada de Fourier e sua inversa: F{x(t)} = X(jω) = F {X(jω)} = x(t) = π x(t)e jωt dt X(jω)e jωt dω Relembrado a Transformada bilateral de Laplace: L{x(t)} = X(s) = x(t)e st dt conclui-se que a transforma de Fourier é um caso especial da transformada de Laplace quando s = jω, ou seja, σ = (s = σ + jω) no caso em que o eixo imaginário do plano s está inserido na região de convergência da transformada de Laplace. 38 / 47 4 / 47
Determine a transformada de Fourier de x(t) =e at. F{x(t)} = X(jω) = X(jω) = x(t)e jωt dt = e (a+jω)t dt = a + jω e (a+jω)t e at e jωt dt X(jω) = a + jω, a > Expressando a + jω na forma polar como a + ω e jtan (ω/a), X(jω) = a + ω e jtan (ω/a) Portanto, X(jω) = a + ω, e X(jω) = tan ω a Determine a transformada de Fourier de x(t) =δ(t). F{x(t)} = X(jω) = δ(t)e jωt dt = Qual a importância disso? 4 / 47 43 / 47 A forma gráfica de X(jω) = a + ω, e X(jω) = tan ω a é mostrada abaixo. Determine a transformada de Fourier de um pulso retangular: x(t) = { se T < t < T se t > T O pulso retangular é absolutamente integrável (T < ): F{x(t)} = X(jω) = X(jω) = jω e jωt T T = ω x(t)e jωt dt = T T sen(ωt), ω e jωt dt Para ω =, a integral se simplifica para T. O espectro de magnitude é: sen ωt X(jω) = ω 4 / 47 44 / 47
O espectro de fase é dado por: X(jω) = se π se sen (ωt) ω > sen (ωt) ω < Simulações Computacionais Convolução no tempo discreto Convolução no tempo contínuo Transformada Rápida de Fourier (ex. função soma de senóides e a série Sunspots) Simulação que ilustra a relação entre entrada e saída de filtros 45 / 47 47 / 47 A Transformada Discreta de Fourier A versão discreta da Transformada de Fourier é dada por: X(e jω )= x[n] = π n= x[n] e jωn X(e jω )e jωn dω A Transformada Rápida de Fourier (FFT) reduz drasticamente o número de cálculos necessários para calcular a transformada discreta de Fourier, da ordem de N para N log N 46 / 47