MODELAGEM MATEMÁTICA E PENSAMENTO MATEMÁTICO: ALGUMAS RELAÇÕES

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática MODELAGEM MATEMÁTICA E PENSAMENTO MATEMÁTICO: ALGUMAS RELAÇÕES Bárbara Nivalda Palharii Alvim Sousa Uiversidade Estadual de Lodria babipalharii@hotmail.com Lourdes Maria Werle de Almeida Uiversidade Estadual de Lodria lourdes@uel.br Resumo: Neste trabalho estabelecemos relações etre a teoria do pesameto matemático e Modelagem Matemática. O pesameto matemático pode ser, teoricamete, dividido em pesameto matemático elemetar e pesameto matemático avaçado. A atividade de Modelagem Matemática evolve um cojuto de ações que requerem dos aluos diferetes processos de pesameto. Para observar estes processos descrevemos uma atividade de Modelagem Matemática desevolvida por um grupo de aluos e elecamos características de seu pesameto matemático durate o desevolvimeto da atividade. A aálise que apresetamos descreve cosiderações acerca do que a atividade de Modelagem Matemática proporcioou aos aluos o setido do desevolvimeto do pesameto matemático. Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Pesameto Matemático. INTRODUÇÃO Neste artigo apresetamos um estudo dos processos de pesameto matemático que podem ser associados ao desevolvimeto de uma atividade de Modelagem Matemática. Iicialmete abordamos um quadro teórico que trata do desevolvimeto do pesameto matemático, caracterizado o pesameto matemático elemetar e o pesameto matemático avaçado. Na sequêcia tratamos da Modelagem Matemática a Educação Matemática. Em seguida descrevemos uma atividade de Modelagem Matemática desevolvida por aluos de um curso de Liceciatura em Matemática e fazemos uma aálise com a fialidade de idetificar processos de pesameto dos aluos. As aálises que fazemos os permitem cojecturar que a Modelagem Matemática equato alterativa pedagógica proporcioa a utilização de processos do 1

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática pesameto matemático e pode colaborar para o desevolvimeto do pesameto matemático avaçado. DO PENSAMENTO MATEMÁTICO ELEMENTAR AO PENSAMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO Segudo Tall (2002) o desevolvimeto do pesameto matemático se dá do pesameto matemático elemetar ao pesameto matemático avaçado. O pesameto matemático elemetar, segudo Domigos (2003), foca-se essecialmete a descrição dos objetos feita apeas com base as suas propriedades cocretas e a sua maipulação experiecial. Também parte dos processos de represetação e abstração que, para o ível de esio cosiderado, apresetam um grau de complexidade baixo. (p. 79). A partir do desevolvimeto do pesameto matemático elemetar o idividuo pode vir a desevolver o pesameto matemático avaçado. Segudo Tall (2002), para que o pesameto trasite do elemetar para o avaçado faz-se ecessária a itrodução e assimilação de métodos axiomáticos, teoremas, defiições, e coceitos relacioados à Matemática. A partir desta mudaça de pesameto os objetos passam a ter ovas iterpretações e passam a ser melhor assimilados por parte dos estudates. Neste setido, Dreyfus (1991) cosidera que o pesameto matemático avaçado caracteriza-se por meio de uma série de processos que iteragem etre si. Represetar, visualizar, geeralizar, ou aida, classificar, cojecturar, iduzir, aalisar, sitetizar, abstrair ou formalizar são processos idetificados pelo autor o pesameto matemático avaçado. Tais processos são desevolvidos a iteração etre sujeito e objeto e permitem o desevolvimeto do pesameto matemático avaçado que, segudo Domigos (2003), foca-se essecialmete as abstrações de defiições e deduções (p 79). Segudo Dreyfus (1991), os pricipais processos do pesameto matemático são a represetação e a abstração. Tais processos permitem ao idivíduo trabalhar com um maior grau de complexidade. Segudo o autor, a complexidade associada a estes 2

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática processos e o modo como os idivíduos lidam com essa complexidade é o que realmete diferecia o pesameto matemático elemetar do pesameto matemático avaçado. O processo de represetação, segudo Dreyfus (1991), está associado com o processo de visualização, as mudaças de represetações e tradução e a modelagem. A visualização, as mudaças de represetações, a tradução e a modelagem são processos que podem ser desevolvidos pelos idivíduos por meio de sua iteração com os objetos matemáticos. O processo de visualização está ligado à visualização de artefatos cocretos, como, por exemplo, gráficos, diagramas e tabelas. O processo de mudar de uma represetação para outra está associado à ecessidade das pessoas utilizarem represetações mais eficietes em determiadas situações. E, por fim, o processo de modelagem é descrito por Dreyfus (1991) como: Na modelagem a situação ou o sistema é físico e o modelo é matemático; a represetação o objeto a ser represetado é a estrutura matemática e o modelo é a estrutura metal. Etão, a represetação metal está relacioada ao modelo matemático como o modelo matemático está relacioado ao sistema físico. Cada um deles é uma iterpretação parcial do outro. Cada um deles reflete algumas (mas ão todas) as propriedades da outra. E cada um deles realça sua capacidade de propiciar a maipulação metal do sistema em cosideração(p. 34). O processo de abstração, por sua vez, segudo Dreyfus (1991), se dá a medida em que os idivíduos desevolvem suas experiêcias com a matemática e a medida em que os coteúdos matemáticos se toram mais avaçados. Para o autor, o processo de abstração evolve outros dois processos relacioados ao pesameto matemático: a geeralização e a sítese. A geeralização, segudo Dreyfus (1991), é caracterizada pelo autor como a capacidade de derivar ou iduzir a partir de particularidades a fim de idetificar aspectos comus e expadir domíios de validade. Já o processo de sitetizar sigifica combiar ou compor diversas partes de maeira que forme uma etidade. Ao lidar com a complexidade dos processos relacioados à represetação e à abstração, segudo Dreyfus (1991), é possível desevolver o pesameto matemático avaçado. Atividades que evolvem cohecimetos matemáticos permitem aos idivíduos etrar em cotato com represetações dos objetos matemáticos, bem como com artefatos cocretos que podem ser visualizados, como gráficos e tabelas, com a 3

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática mudaça de represetações e com o processo de modelagem citado por Dreyfus (1991). Uma alterativa que oportuiza o evolvimeto dos idivíduos com objetos matemáticos é a Modelagem Matemática. O processo de modelagem citado por Dreyfus (1991) ocorre a partir das ações dos aluos com objetos matemáticos, e este setido, abordamos a Modelagem Matemática como alterativa pedagógica que pode desecadear estas ações. MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ALTERNATIVA PEDAGÓGICA O etedimeto d e Modelagem Matemática deste texto é aquele apresetado em Almeida e Ferruzzi (2009) que tratam da Modelagem Matemática como alterativa pedagógica a qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação-problema ão essecialmete Matemática. Almeida e Ferruzzi (2009) argumetam que a atividade de Modelagem Matemática evolve um cojuto de ações como a busca de iformações, a idetificação e seleção de variáveis, a elaboração de hipóteses, a simplificação, a obteção de uma represetação matemática (modelo matemático), a resolução do problema por meio de procedimetos adequados e a aálise da solução que implica uma validação, idetificado a sua aceitabilidade ou ão (p. 121). Segudo as autoras, ao desevolver atividades de modelagem o aluo se evolvem com: a formulação de um problema, um processo ivestigativo, a busca por uma represetação matemática (ou modelo matemático), a aálise de uma resposta para o problema e a comuicação dos resultados obtidos para outros (p 121). Bea (2003) aborda a Modelagem Matemática como uma atividade expressiva que exige a utilização do pesameto iterpretativo e criativo a formulação de uma represetação matemática para um feômeo através de hipóteses e aproximações simplificadoras (p. 2). O autor salieta que uma atividade de Modelagem exige um pesameto iterpretativo e criativo e os meios de expressão são as represetações matemáticas. De acordo com Bea (2003) a perspectiva do pesameto oferece um poto de partida para aalisar tato as habilidades exigidas o processo de modelagem quato a 4

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática subjetividade embutida o mesmo (p. 1). Assim, a abordagem da Modelagem Matemática em termos de pesameto destaca a Modelagem equato processo, em cotraposição ao seu produto, o modelo. A partir destas caracterizações de Modelagem Matemática aalisamos uma atividade desevolvida por aluos de um curso de Liceciatura em Matemática com a fialidade de idetificar as ações dos aluos processos de pesameto. A ATIVIDADE DESENVOLVIDA A atividade apresetada este texto foi desevolvida por um grupo de aluos o âmbito de uma disciplia de Itrodução a Modelagem Matemática e visa um estudo sobre a crise de eergia elétrica o Brasil. Os aluos, a partir da busca por iformações sobre o tema, ecotraram dados relativos ao cosumo de eergia elétrica o Brasil coforme mostra a Tabela 1. A partir destes dados foi elaborada a questão: De acordo com os dados, o cosumo de eergia elétrica o Brasil está aumetado com o passar dos aos, com média de crescimeto de 4% ao ao. Se ão houver mais ivestimetos o setor, será que o cosumo de eergia elétrica ultrapassará a produção atual, que segudo a mesma fote, é de 106 gigawatts (gw)? Tabela 1. Cosumo de eergia elétrica o Brasil Ao GW Médio Ao Taxa Ao GW Médio Ao Taxa 1985 20,92 1997 36,76 6,03% 1986 22,55 7,79% 1998 38,15 3,77% 1987 23,36 3,60% 1999 39,18 2,71% 1988 24,73 5,85% 2000 41,12 4,93% 1989 25,98 5,06% 2001 37,72-8,26% 1990 26,26 1,08% 2002 39,67 5,17% 1991 27,71 5,55% 2003 41,77 5,29% 1992 28,19 1,71% 2004 43,83 4,93% 1993 29,64 5,15% 2005 45,71 4,29% 1994 30,99 4,55% 2006 47,47 3,86% 1995 32,98 6,41% 2007 50,10 5,54% 1996 34,67 5,14% Fote: Agêcia Nacioal de Eergia Elétrica (ANEEL), 2007. 5

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática A partir dos dados desta tabela, os aluos escolheram algus valores a partir do ao de 1991 e tomaram-os cosiderado de três em três aos. Esta escolha está fudametada em dois aspectos: a aálise do cosumo para aos futuros ão requer que se use cosumos desde a década de 1980; usariam a hipótese de que o cosumo é crescete o período aalisado. Para iiciar o seu estudo os aluos defiiram a hipótese de que o cosumo de eergia o decorrer dos aos costitui uma sequêcia limitada (de fato, o cosumo ão iria ser ifiitamete grade). Observado os dados selecioados é possível perceber que a sequêcia é também moótoa crescete. A partir disso utilizam o teorema de que toda seqüêcia moótoa limitada é covergete (Lima, 2006, p. 111). Assim, cosiderado que a sequêcia de cosumos é covergete, foi determiado que o limite do cosumo de eergia elétrica existe, ou seja, existe um valor tal que lim y y *. Para determiar que costitui o poto de estabilidade, foi utilizado o método de Ford Walford o que implica em cosiderar que a estabilidade y * acotece quado o cosumo de um ao permaecer próximo do cosumo do ao aterior, ou seja, y 1 y. Do poto de vista matemático esta ideia de estabilidade correspode ao fato de que, como se trata de uma seqüêcia covergete há garatia de que toda seqüêcia covergete é de Cauchy (Lima, 2006, p. 126). Assim, como é uma seqüêcia de Cauchy temos que dado arbitrariamete um tal que, pode-se obter tal que se temos o que a prática correspode a relação y 1 y. Tabela 2 Sequêcias e y y +1 27.71 30.99 30.99 36.76 36.76 41.12 41.12 41.77 41.77 47.47 6

Y*-Y X Ecotro Nacioal de Educação Matemática e O método de Ford-Walford para obter y * implica em cosiderar as seqüêcias como a tabela 2, sedo moótoas, crescetes e limitadas e a partir daí usar que. Para obter y * etão fazemos y * 1 y y. Com essa fialidade os aluos tomaram as sequêcias da tabela 2 e, para estabelecer uma relação etre elas usaram o software Curve Expert e obtiveram: (1) Segudo o método de Ford Walford, temos que, logo:, o que implica em (2) A partir deste valor, os aluos cocluíram que o cosumo de eergia elétrica o Brasil ão ultrapassará a produção de eergia elétrica uma vez que o valor de estabilidade do cosumo de eergia é meor do que o limite já estabelecido pela ANEEL para a produção que é de aproximadamete 106 gw. Para obter um modelo matemático que descreve o cosumo de eergia o decorrer do tempo e permite fazer previsões para o futuro, faz-se ecessário, iicialmete, aalisar a difereça etre e coforme mostrar a tabela 3. Tabela 3. Aálise de y*- y 0 68,28 1 65,00 2 59,23 3 54,87 4 54,22 e o valor de Y* - Y o decorrer do tempo 69.4 66.6 63.8 61.0 58.2 55.4 52.601 1 2 3 4 4 Figura 1: a represetação gráfica da difereça y*- y Neste mometo é preciso ecotrar uma expressão que descreva a difereça y*- y o decorrer do tempo. Neste caso as hipóteses para a costrução dessa expressão são: i) trata-se de uma sequêcia decrescete; ii) lim ( Y * Y ) 0 ; iii) a curva de tedêcia é como a figura 1. Cosiderado estas características, os aluos decidem que trata-se de uma fução expoecial e, utilizado o software Curve Expert, obtém-se: (3) 7

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Como, por (2) y*= 95,99, usado (3) podemos escrever: como sedo modelo que represeta o cosumo de eergia elétrica o Brasil. (4) OS PROCESSOS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO NA ATIVIDADE Para iferir sobre processos de pesameto dos aluos que podem se observar durate o desevolvimeto desta atividade usamos os registros etregues pelos aluos e as aotações do diário de campo que fizemos durate as aulas em que a atividade foi desevolvida. Por meio da filmagem e dos registros observados em diário de campo observamos o trabalho dos aluos, durate a atividade, a utilização dos processos do pesameto matemático relacioados à represetação, como, o processo de visualização, o processo de tradução etre represetações e o processo de Modelagem, tais processos são caracterizados em Dreyfus (1991). Segudo um dos aluos durate a apresetação tedo em vista, etão, que existe um limite máximo para a produção de eergia elétrica, que seria a produção atual, a gete vai usar o método de Ford Walford e verificar se é ecessário um aumeto a produção de eergia elétrica, vai ver se o cosumo vai chegar a produção [...] Para isso ós elaboramos essa tabela que tem o y e o y+1, para poder utilizar o método plotamos o curve e obtivemos este gráfico de dispersão... (Aluos durate a apresetação do trabalho). Neste mometo foi observado o uso do processo de visualização, pois os aluos utilizam de tabelas e gráficos para sustetar o trabalho com a Matemática utilizada por meio do método de resolução. Os aluos se apóiam em um artefato cocreto (a represetação gráfica dos potos da tabela 3), para determiar uma reta que melhor se ajuste aos potos da tabela 3. O processo de tradução é utilizado quado os aluos efetuam mudaças de represetações matemáticas para o mesmo objeto matemático. É feita uma tradução do registro tabular (tabela 3), para o registro gráfico (figura 1) e do registro gráfico para o registro algébrico (equação 4). A tradução do registro gráfico para o registro algébrico 8

Y*-Y X Ecotro Nacioal de Educação Matemática foi feita com base a aplicação do método de Ford Walford utilizado as hipóteses: hipóteses para a costrução dessa expressão são: i) trata-se de uma sequêcia decrescete; ii) lim ( Y * Y ) 0 ; iii) a curva de tedêcia é como a figura 1. Tabela 3. Aálise de y*- y 0 68,28 1 65,00 2 59,23 3 54,87 4 54,22 e o valor de Y* - Y o decorrer do tempo 69.4 66.6 63.8 61.0 58.2 55.4 Tradução da represetação tabular para a represetação gráfica 52.601 1 2 3 4 4 Figura 1: a represetação gráfica da difereça y*- y Tradução da represetação gráfica (4) para a represetação algébrica Além da utilização do processo de tradução, durate a realização da atividade podemos observar que são utilizados objetos matemáticos relacioados à Matemática formal ou avaçada, pois são objetos derivados de teoremas ou coceitos mais sofisticados e que, portato, carregam cosigo uma grade complexidade que pode estar ierete ao processo de represetação e de abstração citados por Dreyfus (1991). As represetações utilizadas dos coceitos matemáticos deotam a utilização do processo de represetação com a utilização de represetações simbólicas dos coceitos matemáticos. Segudo Dreyfus (1991) uma represetação simbólica é exteramete escrita e falada, geralmete com o objetivo de se comuicar facilmete sobre um coceito (p. 31). A utilização de tais represetações tem o objetivo de comuicar o desevolvimeto do método de resolução utilizado, bem como de explicar o desevolvimeto matemático efetuado pelos aluos, aliado, assim, coceitos relacioados à Matemática (como as sequêcias covergetes e de Cauchy) com a situação-problema em estudo. O processo de represetação, caracterizado por Dreyfus (1991) foi utilizado ao logo da atividade, bem como os processos subjacetes a ele como a visualização, a mudaça de represetações e a modelagem. 9

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Observamos por meio dos registros dos aluos e da trascrição da atividade apresetada que o processo de Modelagem foi utilizado, o setido de uma prática ivestigativa. Para tal afirmação os apoiamos as ações citadas por Almeida e Ferruzzi (2009), e observamos que os aluos formularam um problema, desevolveram um processo ivestigativo, o qual foi ecessária a obteção de dados, a formulação de hipóteses que ajustassem melhor o trabalho com estes dados. Durate a atividade foi utilizado por parte dos aluos o processo de represetação ligado à visualização, à mudaça de represetações e à modelagem. Já o processo de abstração evolvedo a geeralização e a sítese ão foi utilizado explicitamete durate o desevolvimeto da atividade e, portato, ão houve a iteração etre o processo de abstração e o processo de represetação. Nesta atividade o maior grau de complexidade está associado justamete com o etedimeto do método de Ford-Walford. Neste caso estabelecer as relações etre sequêcias, sequêcias covergetes, sequêcias de Cauchy com um problema ão essecialmete matemático diz respeito a um processo de abstração e de geeralização. Todavia, a dificuldade dos aluos este mometo foi superada pela iterveção do professor e este setido, estes processos de pesameto ão se desevolveram os aluos a partir de uma ecessidade, mas a partir de um estímulo do professor. Assim, embora a atividade, por suas características e pela matemática que requer, poderia desecadear processos de pesameto mais próximos de um pesameto matemático avaçado, o etato, estes processos tiveram que ser estimulados pelo professor. CONSIDERAÇÕES FINAIS A atividade de Modelagem Matemática desevolvida proporcioou aos aluos o cotato com o processo de represetação, evolvedo a visualização, a mudaça de represetações e o processo de modelagem. O cotato com objetos da Matemática avaçada acoteceu, porém os aluos ão o utilizaram em todo o processo. Tal característica deota dificuldade em lidar com a complexidade ierete a estes objetos matemáticos, o que pode sializar a falta do processo de abstração e de geeralização. 10

X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Assim, podemos cosiderar que, aida, que as atividades desevolvidas a sala da aula proporcioem o cotato e o uso com objetos matemáticos que podem ou ão ser complexos, e podem ão desecadear de forma direta processos de pesameto avaçado os estudates. Aspectos como dificuldades ieretes à atividade e a falta de algus cohecimetos prévios os estudates podem requerer a iterveção do professor para coduzir aos processos de pesameto matemático avaçado. REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. Uma aproximação socioepistemologica para a Modelagem Matemática. Alexadria Revista de Educação em Ciêcia e Tecologia, v.2,. 2, p. 117-134, jul 2009. BEAN, D. Modelagem a perspectiva do pesameto. I: III Coferêcia Nacioal sobre Modelagem e Educação Matemática, 2003, Piracicaba SP. Aais da III Coferêcia Nacioal sobre Modelagem e Educação Matemática, 2003. DREYFUS, T. Advaced mathematical thikig processes. I David Tall (Org.), Advaced mathematical thikig (pp. 25 41). Dordrecht: Kluwer, 1991. DOMINGOS, A. Compreesão de coceitos matemáticos avaçados a matemática o esio superior. (tese de doutorado, Faculdade de Ciêcias e Tecologias da Uiversidade Nova Lisboa). Lisboa, 2003. LIMA, E. L. Curso de Aálise; v. 1. Rio de Jaeiro, Associação Nacioal de Matemática Pura e Aplicada, 2006. TALL, D. Advaced Mathematical Thikig. Mathematics Educatio Library. Kluwer Academic Publishers. A. J. Bishop, Cambridge, U. K, 2002. 11