Modelagem matemática: a estimativa da taxa de mortalidade infantil no estado de São Paulo Brasil

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1 Faculdades Itegradas de Itararé FAFIT-FACIC Itararé SP Brasil v. 05,. 0, ja./ju. 204, p REVISTA ELETRÔNICA FAFIT/FACIC Modelagem matemática: a estimativa da taxa de mortalidade ifatil o estado de São Paulo Brasil Mathematical modelig: the estimate of ifat mortality rate i the state of São Paulo - Brazil Rudolph dos Satos Gomes Pereira Uiversidade Estadual do Norte do Paraá UENP Corélio Procópio Brasil rudolph.matematica@gmail.com Willia Dami Uiversidade Tecológica Federal do Paraá UTFPR Pota Grossa Brasil damimatematica@hotmail.com Guataçara dos Satos Juior Uiversidade Tecológica Federal do Paraá UTFPR Pota Grossa Brasil guatajr@uol.com.br Resumo No presete trabalho apreseta-se uma atividade de Modelagem Matemática desevolvida em um miicurso para formados de liceciatura em Matemática. Pretedese com esta atividade apresetar a Modelagem Matemática de modo a auxiliar o processo de esio e apredizagem de coceitos matemáticos e assim propiciar a compreesão de cohecimetos já adquiridos pelos aluos a aálise de problemas cotidiaos. Acredita-se que os coceitos matemáticos utilizados podem ser aplicados em diversas situações reais de modo a cotribuir para a assimilação e resolução questões cotidiaas. Os coceitos mobilizados para a obteção do modelo matemático foram as propriedades dos logaritmos, o método dos míimos quadrados, o ajuste liear e o ajuste expoecial. O problema aalisado a atividade possibilitou apresetar a aplicação da Matemática em outras áreas do cohecimeto bem como mais uma estratégia pedagógica para auxiliar os professores em sua prática diária. Palavras-chave: modelagem matemática, esio, apredizagem. Abstract I this paper preset a mathematical modellig activity developed i a short course for udergraduate studets i mathematics. The itetio of this activity preset mathematical modellig as a teachig strategy ad learig ivolvig everyday situatios. The itetio of this activity preset mathematical modelig i order to assist the teachig ad learig of mathematical cocepts ad thus provide a uderstadig kowledge already acquired by the studets i aalyzig daily problems. The cocepts used to obtai the mathematical model were the properties of logarithms, the method of least squares liear fit ad the expoetial fit. The problem aalyzed i activity permitted to preset the applicatio of mathematics i other subject areas as well as aother pedagogical strategy to assist teachers i their daily practice. Keywords: mathematical modellig, teachig, learig.

2 . Itrodução Os evetos acioais e iteracioais da área de Educação Matemática têm apotado a ecessidade da elaboração e aplicação de atividades educacioais que possibilitem ao aluo iteressar-se pela apredizagem de forma a valorizar o raciocíio, o trabalho em equipe e a solução de problemas de ordem prática, ou seja, situações viveciadas em seu cotidiao, e, assim, cotribuir para com a melhoria do processo de esio e apredizagem da disciplia de Matemática. Segudo Chevallard (200) pode-se afirmar que as dificuldades ecotradas a disciplia de Matemática referem-se à ausêcia de articulação etre as atividades matemáticas presetes a vida das pessoas e àquelas apresetadas em sala de aula. Nesse setido, corrobora-se com Buriasco, Ferreira e Ciai (2009, p. 82) que a perspectiva de Educação Matemática aqui adotada, a proposta é a de trabalhar com tarefas que possam propiciar mais fortemete aos estudates produzir cohecimeto a partir de situações já cohecidas, familiares, imagiáveis, com as quais possam produzir sigificado e, etão, apreder matemática. Desse modo, a tetativa de despertar o iteresse dos aluos, valorizar o desevolvimeto da capacidade de raciocíio e de trabalhar em equipe, optou-se pela utilização da Modelagem Matemática como estratégia de esio e apredizagem de Matemática que em termos de processo, tem como fialidade, a obteção de modelos matemáticos que permitam solucioar problemas e propor sugestões de soluções em liguagem matemáticas ou ão, etede-se, etão, que tal estratégia refere-se à busca de uma represetação matemática para um objeto ou um feômeo, que pode ser matemático ou ão. Neste setido, trata-se de um procedimeto criativo e iterpretativo que estabelece uma estrutura matemática que deve icorporar as características esseciais do objeto ou feômeo que pretede represetar (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009, p. 20). Já de acordo com Miguel (2005) a Modelagem Matemática é um processo cotíuo de abordagem e descrição do problema, proposta de uma solução e teste de solução (verificação) de eorme valor pedagógico porque icorpora etapas do procedimeto cietífico; através dele é que se viabilizam [...] os limites e as possibilidades de formular coceitos pela aálise dos seus próprios erros (p. 389). Nesse setido, pode-se dizer que a modelagem busca apresetar a aplicação e o desevolvimeto de coteúdos matemáticos evolvidos a ivestigação de um determiado feômeo a tetatica de obter um modelo matemático que o represeta. De acordo com Bea (200, p. 55), a essêcia de modelagem matemática, defiida como um processo de criar um modelo matemático baseado em hipóteses e aproximações simplificadoras [...] focaliza o processo matemático equato, as propostas para o esio tratam questões metodológicas para coectar a Matemática aos iteresses dos aluos. Embora distitos, os dois efoques são importates para o esio e apredizagem da matemática. A partir desse mometo utilizar-se-á o termo modelagem em substituição a Modelagem Matemática para evitar repetições. 3

3 O processo de realização da modelagem é composto de etapas que devem ser seguidas o qual se formula um modelo matemático que represeta uma situação real por meio da abstração (ANASTÁCIO, 2007). Desso modo, etede-se que a mediação da modelagem o processo de esio e apredizagem pode possibilitar a criação de relações com outras áreas do cohecimeto e com feômeos pertecetes ao cotidiao dos aluos como uma forma de se difereciar do esio tradicioal e, assim, cotribuir para uma melhor compreesão e assimilação dos coceitos matemáticos evolvidos a situação estudada. 2. Metodologia A atividade aqui apresetada foi desevolvida para um miicurso com quize aluos formados do curso de liceciatura em Matemática de uma uiversidade pública do orte do estado do Paraá - Brasil. Vale ressaltar que apesar de ter sido desevolvida por aluos de um curso de graduação, efatiza-se que a mesma pode ser utilizada em cursos de pós-graduação cujo objetivo da atividade seja o de itroduzir, retomar ou aida cotextualizar os coceitos matemáticos. Pois, acredita-se que O oposto à matemática prota é a matemática em status ascete. Isto é o que Sócrates esiou. Hoje, desejamos que isso seja um começo real ao ivés de ser estilizado; o educado deve, por ele mesmo, reivetar matemáticas... O processo de apredizagem tem que icluir fases de iveções dirigidas, isto é, de iveções ão o setido objetivo, mas o seso subjetivo, visto da perspectiva do estudate (FREUDENTHAL, 973, p.4, apud STEINBRING, 2005, p.5, grifo do autor). A aálise utilizada esta pesquisa foi a qualitativa livre que permitiu a iterpretação dos resultados com base o desevolvimeto e participação dos aluos durate o miicurso. Uma vez que a pesquisa qualitativa pode ser etedida como a tetativa de compreesão de sigificados e características de situações apresetadas por etrevistados ou pesquisados, para se aprofudar os feômeos, levado-se em cota a sua complexidade e particularidades, de maeira a ão almejar geeralizações e sim a compreesão das sigularidades (BOGDAN; BIKLEN, 994). Acredita-se que a pesquisa qualitativa provoca o esclarecimeto de uma situação para tomada de cosciêcia dos seus problemas e das codições que o geram pelos próprios pesquisados, a fim de elaborar os meios e estratégias de resolvê-los (CHIZZOTTI, 998, p. 04). O tema escolhido para realização da atividade foi a taxa de mortalidade ifatil 2 (TMI) o Estado de São Paulo. Verifica-se que desde o ao de 2002 este Estado tem realizado ações que visam à dimiuição desta taxa de modo a alcaçar o ídice de dez mortes para cada mil ascidos vivos determiados o ao de 2000, pela Orgaização das Nações Uidas (ONU) e pela Orgaização Mudial de Saúde (OMS). A escolha do tema se deu por tratar de um problema social que pode ser miimizado com a realização de ações educativas, a saber, campahas de imuização para o bebê, aleitameto matero, acompahameto pré-atal, estimular a amametação até o sexto mês e acompahameto médico mesal do bebê que se resumem em assistêcia oportua a saúde, bem como a melhoria do ível educacioal da população e desevolvimeto de redes de assistêcia básica. A atividade foi realizada em duas etapas para possibilitar aos aluos refletirem sobre os aspectos sociais e matemáticos evolvidos o tema escolhido, pois ão é suficiete cohecer os passos a costrução, aálise e iterpretação de um modelo matemático e suas diferetes aplicações. Faz-se ecessário desevolver os aluos a 2 O coeficiete de mortalidade ifatil é a relação etre o úmero de óbitos de criaças meores de um ao e o úmero de ascidos vivos em determiado local e período (geralmete de um ao) e calculado a base de mil ascidos vivos. 4

4 capacidade de avaliar o processo de costrução de modelo e os diferetes cotextos de aplicação dos mesmos (ANASTÁCIO, 990, p. 97). Para o desevolvimeto da atividade de modelagem baseou-se em Ferruzzi (202) que relata que os sujeitos evolvidos a atividade realizam um cojuto de ações, como a compreesão da situação-problema, a busca de iformações sobre o feômeo a ser estudado, [...] idetificado a sua aceitabilidade ou ão e a comuicação dos resultados (p. 8). Assim, buscou-se o desevolvimeto da atividade possibilitar aos aluos a compreesão do problema, a aálise e iterpretação dos dados forecidos bem como a sua iterpretação a liguagem matemática com ituito de obter o modelo matemático que represeta a situação estudada. Pois, de modo geral, a modelagem refere-se à busca de uma represetação matemática para um objeto ou um feômeo, que pode ser matemático ou ão. Neste setido, trata-se de um procedimeto criativo e iterpretativo que estabelece uma estrutura matemática que deve icorporar as características esseciais do objeto ou feômeo que pretede represetar (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009, p. 20). Portato, procurou-se apresetar a atividade como uma forma de aálise de um problema social que permitisse discutir suas causa e efeitos além de possibilitar a articulação da matematica escolar e a realiadade por meio de cohecimetos matemáticos já cohecidos pelos participates do referido miicurso. A seguir apreseta-se o texto que serviu de base para etedimeto da situação a ser modelada e o desevolvimeto da atividade tomado-se como referêcia as etapas do processo de modelagem apresetado por Alemida (2002a). 3. A atividade de modelagem matemática Segudo a Secretaria Estadual de Saúde de São Paulo (SESSP) a mortalidade ifatil o Brasil possui taxas elevadas pricipalmete as regiões com meos recursos. No estado de São Paulo, a década de 990, a TMI chegou a registrar 3,43 para cada mil ascidos, tedo as doeças ifecciosas e parasitárias (registradas etre 28 dias até ao de vida) como as pricipais causadoras das mortes. Causas estas que estavam diretamete ligadas a fatores ambietais e sociais, como saeameto básico e alimetação iadequada. De acordo com o mesmo órgão estadual, desde o ao de 988 a taxa de criaças mortas tem dimiuído por cota de um programa iiciado em 2002 pela Secretaria Estadual de Saúde. Tal fato se deve por cota do ivestimeto realizado em assistêcia obstétrica e eoatal, a melhoria de ifraestrutura, a humaização, a orgaização e a itegração da rede de ateção e de educação permaete. Verifica-se que o ídice o ao de 2002 era de 5,05 mortes a cada mil ascidos vivos e em 20 passou a ser de, Defiição do problema Para iiciar a atividade defiiu-se jutamete com os aluos o problema a ser ivestigado, levado-se em cosideração que a mortalidade ifatil tem sido um dos problemas cosiderado de grade importâcia pelas secretarias de saúde em âmbito acioal. Diate desta costatação, decidiu-se ivestigar: qual o modelo matemático que descreve o comportameto da TMI o estado de São Paulo? 5

5 4.2 Formulação do problema matemático Determiar um modelo matemático que descreva o comportameto da TMI o estado de São Paulo o decorrer do tempo. 4.3 Defiição das variáveis Uma vez defiido e formulado o problema a ser ivestigado, determiou-se as variáveis evolvidas o problema como sedo: - C: a Taxa de Mortalidade Ifatil (TMI), caracterizada como variável depedete; - x: o ao, que é a variável idepedete. 4.4 Apresetação dos dados coletados Com base a defiição das variáveis ordearam-se os dados coforme Tabela a qual são apresetados a TMI o estado de São Paulo para cada mil ascidos vivos o respectivo ao. 4.5 Visualização dos dados Tabela Relação do ao com a TMI Ao TMI , , , , , , , ,48 200,86 20,55 Fote: Fudação Sistema Estadual de Aálise de Dados SEADE (202) De posse dos dados apresetados a Tabela os aluos fizeram a relação dos potos e plotaram o gráfico coforme Figura. Figura Relação aual da TMI o Estado de São Paulo Fote: Autoria própria (203) 6

6 Ao visualizar os dados sugere-se que o modelo matemático que represeta a situação estudada se aproxima de um modelo expoecial devido a forma com que os potos se apresetam o plao cartesiao. Esta aálise foi realizada pelos aluos e coube a ele idetificar e relacioar o coteúdo de fução expoecial a estratégia a ser utilizada a iterpretação dos dados. 4.6 Determiação das hipóteses Na etapa de levatameto de hipóteses a maioria dos aluos idetificou apeas duas possibilidades: a) Cosidera-se o modelo de represetação da situação como uma fução expoecial, pois tedo em vista que a iteção é reduzir aida mais a taxa e as ações de combate à mortalidade ifatil cotiuarão, e que, dificilmete esta taxa será ula; b) Com base a primeira hipótese tem-se que o modelo será do tipo. 4.7 Desevolvimeto do modelo expoecial Ce x Diate das hipóstese levatadas, o problema cosistia em determiar os valores das costates α e β do modelo expoecial. Para isso utilizou-se o ajuste expoecial ode a fução expoecial foi ajustada por meio da seguite trasformação: Equação Liearização da fução expoecial C e x l( C) l l e l( C) l x y l( C) a l b y a bx x Fote: Autoria própria (203) Após a liearização da fução expoecial, ou seja, a trasformação da fução expoecial para fução liear tem-se que ajustar os potos referetes à situação estudada ao modelo matemático do tipo y = a + bx. Para tato, utilizou-se do Método dos Míimos Quadrados. Este método foi utilizado para ajustar uma reta a um determiado cojuto de potos o qual a reta resultate tem uma característica particular: a soma dos quadrados das difereças etre as ordeadas (do poto experimetal e do poto sobre a reta) é míima, isto é: Equação 2 Método dos míimos quadrados S y 2 i c i Fote: Autoria própria (203) y ode, yi é o valor observado de y e yc é o valor calculado de y. Os valores de a e b para a reta yc = a + bx que miimiza a soma dos quadrados dos desvios são as soluções das chamadas equações ormais que podem ser assim ecotradas: 7

7 Equação 3 Substituição do valor calculado S yi a bx i Fote: Autoria própria (203) Miimizado S em relação ao coeficiete a e b, tem-se: i 2 ds db ds da Equação 4 Obteção das equações ormais 2y a bx 0 i i y => i a b x 0 i i 2xi yi a bxi 0 xi yi a x b xi i i i Fote: Autoria própria (203) i i 2 0 que forece o sistema de equações abaixo deomiado de equações ormais. Equação 5 Equações ormais y i a b x i i 2 xi yi a x b xi i i i Fote: Autoria própria (203) Para determiar os valores de a e b o sistema utilizou-se os seguites dados coforme Tabela 2. Tabela 2 Ajuste Liear. Ídice Ao Taxa (Ao) 2 y i = L (Taxa) (Ao).L (Taxa) xi C (xi) 2 yi = L C xi.yi , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Total , , , Em seguida substituíram-se os valores da Tabela 2 o sistema de equações, Equação 6 Determiação de a e b y a b x i i i 2 x i y i a x b x i i i i 0a20065b25, a b5763, b 0, a 6, Fote: Autoria própria (203) 8

8 E como a l e b C e x, etão 5, e 0, Em seguida substituiu-se em, ecotrado-se o seguite modelo para situação estudada: C 5, e 0, x. 4.8 Validação do modelo A validação do modelo cosistiu em comparar os dados observados (obtidos juto à SEADE) com os dados estimados pelo modelo ecotrado coforme apresetado a Tabela Resultados Tabela 3 Validação do modelo Ao Taxa Modelo Erro (%) ,04 5,5 3, ,85 4,6 -, ,25 3,77-3, ,50 2,97-3, ,28 3,39 0, ,07 3,00-0, ,56 2,62 0, ,48 2,26 -,76 200,86,90 0,33 20,55,56 0,08 Fote: Autoria própria (203) Como se pode observar a Tabela 3, o percetual de erro varia de -3,92% a 3,2%, porém, por se tratar de um modelo educacioal cujo ituito é refletir sobre o tema e compreeder a apropriação dos coceitos matemáticos pelo aluo a obteção do modelo matemático, o erro pode ser cosiderado pequeo. Na aula de matemática mediada por atividades de Modelagem Matemática, a aálise do modelo ecotrado costitui um processo aalítico e avaliativo que sitetiza as diferetes ações desevolvidas durate a atividade ao validar procedimetos matemáticos e a adequação do modelo à situação, [...]. Compete ao professor desempehar o papel de especialista que assegura a validade dos resultados ecotrados. [...] Trata-se de torar legítimo o ambiete da sala de aula a solução apresetada para o problema (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009, p. 24). Observa-se também que o modelo ecotrado permite estimar a TMI em qualquer ao, o que permitiu verificar que a meta determiada pela OMS será alcaçada pelo Estado de São Paulo o ao de 206, desde que a primeira hipótese seja tomada como verdadeira. A determiação do modelo matemático para a estimativa da TMI possibilitou refletir acerca da situação estudada de modo a aalisar os fatores políticos, ecoômicos e/ou sociais que iterferem as variáveis evolvidas o problema o que reafirmou a preseça da matemática o cotidiao dos aluos além de cotribuir para a atribuição de sigificado aos cohecimetos matemáticos apredidos o ambiete escolar. 9

9 Acredita-se que determiação do modelo permitiu tal atribuição aos aluos quado da cotextualização do coceito de Míimos Quadrados, pois muitas vezes esse é estudado o curso de graduação de modo a propiciar apeas o desevolvimeto de habilidades algébricas sem coexão com o cotexto educacioal ou social em que o aluo se isere. Assim, pode-se dizer que a Modelagem Matemática, possibilitou aos aluos, equato processo ivestigativo [...] seguir os vestígios, fazer diligêcias para achar, pesquisar ; ações como buscar iformações, [...] costituem, portato, elemetos desse processo e requerem uma iterpretação adequada e certo grau de ituição para superar a falta de compreesão [...]; (FERRUZZI, 202, p. 9). A atividade também propriciou a utilização do Excel a comparação e aplicação do modelo matemático ecotrado pelos aluos e assim permitiu a articulação etre a tedêcia metodológica da Modelagem Matemática e da Tecologia de Iformação e Comuicação a aquisição de cohecimetos matemáticos. Assim, ota-se que a utilização de tedêcias metodológicas da Educação Matemática, bem como a articulação etre elas, cotribui para assimilação e aquisição de coceitos por meio da cotextualização de problemas cotidiaos. 5 Cosiderações fiais Apresetou-se este artigo uma atividade de modelagem desevolvida com formados do curso de liceciatura em Matemática que permite discutir problemas sociais de modo a possibilitar a compreesão e o apredizado de coceitos matemáticos presetes em situações-problema cotidiaas. Observou-se que o decorrer da atividade os aluos se evolveram com o processo ivestigativo, por meio da discussão de alterativas de solução, da pesquisa de coceitos aida ão apredidos e/ou a revisão de outros já apredidos. Percurso este que foi realizado o ituito de solucioar o problema em questão. No desevolvimeto da atividade discutiu-se que mesmo com todo o esforço realizado pelo Estado de São Paulo desde o ao de 2002 a TMI tem sido timidamete reduzida. Assim, os aluos puderam verificar que as ações públicas, já descritas ateriormete, ecessitam ser itesificadas para que essa taxa cotiue decaido para que a meta defiida pela ONU seja alcaçada rapidamete. No que se refere aos coceitos matemáticos evolvidos o problema pôde-se perceber que é ecessário desevolver atividades práticas que evolvam tais coceitos de modo a torar o esio e a apredizagem da Matemática um processo articulado etre teoria e prática e assim permitir que os aluos teham um olhar difereciado para essa disciplia, rompedo os pré-coceitos existetes etre matemática escolar e as suas aplicações o cotidiao. Espera-se que esta atividade de Modelagem Matemática possa ser utilizada pelos professores como um exemplar que evolve um cotexto da realidade dos aluos de forma a auxiliar sua prática diária e assim cotribuir com o processo de esio e de apredizagem da disciplia de Matemática. Referêcias ALMEIDA, L. M. W. (2002a) Itrodução à Modelagem Matemática. Notas de aula. Mestrado em Esio de Ciêcias e Educação Matemática. UEL. Lodria- Pr. 20

10 ; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexadria, v. 2, p. 7-34, ANASTÁCIO, M. Q. A. Cocepções de realidade e de matemática o processo de modelagem matemática: algus apotametos. I: Coferêcia Nacioal Sobre Modelagem Na Educação Matemática. Aais... Ouro Preto, CD-ROM, BEAN, D. O que é modelagem matemática?. Educação Matemática em Revista, ao 8,. 9/0, p , 200. BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Ivestigações qualitativas em educação: uma itrodução à teoria e aos métodos. Porto: Ed. Porto, 994. FERRUZZI, E. C.; ALMEIDA, L. M. W. Socioepistemologia: Uma aproximação teórica para a Modelagem Matemática. I: Simpósio Iteracioal de Pesquisa em Educação Matemática. Aais... Recife, CD-ROM, Iterações discursivas e apredizagem em Modelagem Matemática. Tese. (Doutorado em Esio de Ciêcias e Educação Matemática), Uiversidade Estadual de Lodria, 202. FREUDENTHAL, H. Mathematics as a educatioal task. Dordrecht: D. Reidel Publishig Compay, 973. MIGUEL, J. C. O esio de Matemática a perspectiva da formação de coceitos: implicações teórico-metodológicas. I: Sheila Zambello de Piho; José Roberto Corrêa Saglietti. (Org.). Núcleos de Esio - PROGRAD - UNESP. I ed. São Paulo - SP: Editora UNESP, v. I, p , STEINBRING, H. The costructio of ew mathematical kowledge i classroom iteractio: a epistemological perspective. Dordrecht: Spriger, 236 p. (Mathematics Educatio Library, 38),