Normas sociomatemáticas nas aulas do ensino superior

Transcrição

1 Normas sociomatemáticas as aulas do esio superior Atóio Domigos Departameto de Matemática da FCT/UNL Uidade de Ivestigação Educação e Desevolvimeto (UIED) Itrodução A compreesão do esio e apredizagem da Matemática pode ser aalisada com base a forma como os idivíduos participam uma dada cultura. A iterpretação do que acotece a aula de Matemática permite-os compreeder de que modo é que os aluos desevolvem as suas creças e valores matemáticos, torado-os itelectualmete mais autóomos e capazes de explicitar os sigificados etretato costruídos. Estas aulas são regidas por ormas, ormas sociomatemáticas, que assetam os aspectos ormativos de discussões matemáticas que são específicos da actividade matemática dos aluos (Yackel e Cobb, 1996). Neste texto pretede-se fazer uma aálise de algumas aulas de Aálise Matemática leccioadas para aluos do 1º ao do esio superior, procurado idetificar ormas sociais e sociomatemáticas presetes estas aulas. O tipo de ormas ecotradas tem características específicas destas aulas e permite iferir algumas das formas assumidas pelos coceitos imagem que os aluos maifestam a compreesão dos coceitos matemáticos estudados (Domigos, 2003). Normas sociais e ormas sociomatemáticas Nas últimas duas décadas tem-se destacado uma liha de ivestigação em Educação Matemática que procura explicar a apredizagem dos coceitos com base as iteracções que têm lugar a sala de aula. Embora a perspectiva costrutivista possa ser tomada como pao de fudo desta abordagem, parece ser ecessário recorrer a uma aálise mais detalhada quado se procura compreeder e dar setido às experiêcias que vão acotecedo a aula. Desta forma é preciso desevolver uma visão iterpretativa mais ampla que cotemple uma perspectiva sociológica da actividade matemática. Os sigificados dos coceitos matemáticos podem assim ser vistos como sedo costruídos de um modo iteractivo, resultado de uma egociação das ormas que regem a sala de aula. Como poderemos costatar em Yackel e Cobb (1996) ou Herbel-Eisema (2003) esta abordagem tem como pressupostos teorias como o iteraccioismo simbólico e a etometodologia, dado um papel de relevo à costrução iteractiva dos sigificados e à reflexividade. Os processos sociais e culturais são assim vistos como itegrates da actividade matemática, sedo o esio e a apredizagem vistos como uma forma de participação uma cultura e ão com base um modelo de trasmissão de cohecimetos. 1

2 As ormas sociais e as ormas sociomatemáticas são iferidas pela idetificação de regularidades os padrões de iteracção social que se desevolve a sala de aula. A distição etre ambas em sempre é clara apresetado por vazes difereças bastate subtis. As ormas sociais têm um carácter mais geral, podedo cosiderar-se como exemplo de uma destas ormas a compreesão de que se espera que os aluos expliquem as suas soluções e os seus modos de pesameto a resolução de um dado problema ou de que quado se discute o problema os aluos devem apresetar soluções diferetes das já apresetadas. Estas ormas cetram-se assim as explicações e justificações que os aluos dão das suas soluções. No que se refere às ormas sociomatemáticas, elas reflectem situações de iteracção da aula de matemática, caracterizadas pela compreesão ormativa do que é cosiderado matematicamete diferete, matematicamete sofisticado, matematicamete eficaz ou matematicamete elegate (Yackel e Cobb, 1996). Podemos tomar como exemplo deste tipo de ormas a compreesão do que é cosiderado como uma explicação matemática aceitável a resolução de um problema ou o que pode ser cosiderado como difereça matemática durate a sua discussão. Com base este costructo teórico pretede-se aalisar algumas das iteracções que foi possível observar em salas de aula com aluos do Esio Superior, procurado idetificar algumas das ormas aí presetes e caracterizado sempre que possível o seu papel o esio e a apredizagem dos coceitos estudados. O cotexto educativo As aulas que a seguir são objecto de aálise dizem respeito à disciplia de Aálise Matemática I, leccioadas uma istituição pública de esio superior situada a região da Grade Lisboa e eram destiadas a aluos de Matemática, Egeharia Electrotécica e de Esio das Ciêcias da Natureza, que frequetavam a disciplia pela primeira vez. Apreseta-se de seguida uma descrição sucita da forma como decorreu o processo de esio ode podemos distiguir dois tipos de aulas. Os aluos da liceciatura em Egeharia Electrotécica e de Computadores e do Esio das Ciêcias da Natureza foram alvo de uma metodologia de esio baseada em aulas teórico-práticas leccioadas sempre pelo mesmo professor, equato que os aluos da liceciatura em Matemática tiveram dois tipos de aulas: as aulas teóricas que fucioavam em simultâeo para todos os aluos da liceciatura iscritos a disciplia e as aulas práticas que eram leccioadas por outro professor, em grupos mais pequeos desigados por turos práticos. Estas aulas da liceciatura em Matemática seguem um modelo que podemos desigar por tradicioal a sua orgaização temporal, por ser o mais usual para a maior parte das disciplias propedêuticas miistradas as istituições de Esio Superior. Em ambos os casos a disposição dos aluos a aula segue um modelo magistral 2

3 ecotrado-se os aluos setados em mesas de dois, com todas as mesas dispostas em filas, viradas para o quadro e para a secretária do professor que se ecotra juto deste. Na abordagem em que os aluos tiham aulas teórico-práticas o tempo dispoível para a leccioação dos temas era o mesmo que dispuham os aluos das restates liceciaturas sujeitas à orgaização temporal tradicioal. Esta metodologia de esio baseada em aulas teórico-práticas teve como objectivo pricipal o de proporcioar uma ova experiêcia pedagógica, tedo sido aplicada as liceciaturas Egeharia Electrotécica e de Esio das Ciêcias da Natureza. A abordagem feita privilegiou a itrodução dos coceitos com base em exemplos cocretos, apresetado-se posteriormete a sua defiição formal. Pelo seu carácter idutivo foi possível observar uma maior iteracção etre o professor e os aluos, sedo estes bastate solicitados a participar as actividades propostas ao logo das aulas. Este processo foi sedo meos participado à medida que os coceitos se vão torado mais abstractos, ou quado a sua escrita evolve uma tradução simbólica. Para os aluos da liceciatura em Matemática a orgaização dos tempos lectivos segue um método ode as aulas estão separadas em teóricas e práticas, sedo leccioadas por professores diferetes. Na aula teórica, que fucioa para todos os aluos da liceciatura iscritos a disciplia, os coceitos são quase sempre itroduzidos a partir da sua defiição formal e propriedades, sedo posteriormete referidos algus exemplos cocretos e cotra-exemplos para ajudar a sua compreesão. Da mesma forma, os teoremas são euciados e demostrados, sempre que a demostração é cosiderada relevate para a compreesão dos coceitos e posteriormete são dados algus exemplos cocretos reveladores da sua aplicabilidade. Os aluos são solicitados pelo professor a participar quer as demostrações, quer a aplicação das propriedades e teoremas, mas acabam por ter uma participação muito fraca, limitado-se sobretudo a trascrever tudo o que o professor escreve o quadro. As aulas práticas fucioam em grupos mais pequeos, cerca de 27 aluos, e têm como pricipal objectivo aplicar os coceitos, suas propriedades e teoremas associados, abordados a aula teórica. Para tal é utilizado um cojuto de exercícios que têm essecialmete por base o recurso ao cálculo e às suas técicas, procurado-se desta forma dar sigificado aos coceitos teóricos apredidos ateriormete. A metodologia utilizada estas aulas passa por dispoibilizar um curto espaço de tempo em que os aluos podem pesar sobre o exercício, acabado o professor por esquematizar a sua resolução o quadro. Nesta fase há por vezes uma grade iteractividade etre o professor e os aluos que coduz essecialmete ao esclarecimeto dos procedimetos utilizados a resolução do problema. Neste cotexto foi feita a observação de aulas em cada uma das turmas, sedo os tópicos estudados referetes ao estudo das sucessões, das fuções e do cálculo diferecial. Apreseta-se de 3

4 seguida algus episódios que traduzem iteracções observadas ao logo das aulas, procurado idetificar as ormas que regem essas iteracções. Os dados empíricos Nesta secção procura-se descrever algumas das situações de sala de aula observadas durate o processo de esio e apredizagem dos coceitos leccioados o âmbito da disciplia de Aálise Matemática I, procurado ilustrar ambas as metodologias de esio descritas ateriormete. Serão apresetadas duas situações distitas em cada um dos cotextos de esio. A primeira situação diz respeito à itrodução do coceito de sucessão e a seguda refere-se ao estudo do coceito de sucessão covergete. Apreseta-se de seguida a descrição e aálise da itrodução de cada um dos coceitos em ambas as salas de aula. Coceito de sucessão No que se refere às aulas teórico-práticas para os aluos de egeharia a itrodução do coceito é feita com base um problema da vida real que propõe estudar o crescimeto de uma população de coelhos (sedo apresetado um pictograma em acetato), crescimeto este que é traduzido pela sucessão de Fiboacci. A adesão dos aluos ao problema é grade, começado estes por efectuar algus cálculos para estabelecer o que acotece os primeiros meses que os coelhos se vão reproduzir. Algus aluos começam por respoder a questões iiciais, tais como, quatos coelhos existiriam ao fim de 6 e de 12 meses, referido em voz alta algus úmeros e esperado que a professora valide as suas respostas. Outros aluos procuram determiar uma lei geral que permita ecotrar o úmero de coelhos que há um determiado mês. Os aluos recorrem a uma diversidade de modelos, referido sobretudo modelos lieares, quadráticos e expoeciais. Quado os aluos tetam que a professora valide os modelos que vão euciado ela respode que ão há uma lei geral, pelo que algus aluos voltam a tetar esquematizar o que se passa com a reprodução os primeiros meses. Posteriormete a professora vai mostrado uma sequêcia de úmeros que correspode aos casais de coelhos que vão existir em cada mês que passa, mas ehum aluo cosegue idetificar uma lei que possa traduzir essa sequêcia, acabado a professora por cocluir que o úmero de casais em cada mês é igual à soma dos que existiam os dois meses ateriores. Com a descoberta desta lei os aluos voltam a mostrar uma grade participação, cotiuado a sequêcia que a professora tiha começado a mostrar. Com base esta sequêcia a professora teta que os aluos explicitem o seu coceito de sucessão. Ao questioá-los sobre o que é uma sucessão as respostas obtidas vão o setido de reproduzir elemetos da actividade desevolvida ateriormete, isto é, a sucessão é idetificada com sedo uma sequêcia de elemetos. Perate as 4

5 respostas dos aluos a professora escreveu a defiição formal o quadro, uma sucessão de úmeros reais é uma aplicação de em, e procurou que estes idetificassem os objectos e as images como sedo os termos e as ordes, idetificação esta que os aluos ão coseguiram cocretizar. Foi preciso recorrer a termos gerais de sucessões, como por exemplo a sucessão dos úmeros pares ou dos úmeros ímpares, para que através do cálculo de seus primeiros termos os aluos coseguissem estabelecer essas omeclaturas. Nesta situação parece ser possível idetificar mometos de iteracção etre os aluos e o professor que são regidos por ormas. Um destes mometos prede-se com o facto de os aluos o iício procurarem que o professor valide algus dos valores que vão ecotrado para que possam prosseguir com o desevolvimeto da sua estratégia de resolução do problema. Por vezes uma ão resposta por parte do professor faz com que o aluo ão prossiga a estratégia iiciada, procurado outro processo de abordar o problema ou aguardado que surja um mometo em que possa fazer essa validação com base as iteracções que se possam estabelecer com outros colegas. Esta é uma orma sociomatemática, que pode ser desigada como uma tedêcia para a legitimação, que ocorre em várias outras situações a sala de aula. O aluo procura validar a cada mometo resultados itermédios para apoiar as suas cojecturas e soluções do problema em vez de desevolver um esquema de raciocíio que lhe permita validar todo o processo realizado até chegar à solução ecotrada, tedo depois a capacidade de produzir uma argumetação que explicite esse raciocíio. Esta orma parece derivar de uma orma social, também possível de observar o cotexto aterior, que tem por base o papel do professor equato autoridade que decide se os argumetos apresetados estão ou ão coforme os sigificados istitucioais, isto é, os sigificados partilhados pela comuidade matemática. Esta orma pode ser desigada de coformação, tedo como papel pricipal o de verificar se um dado sigificado está coforme com aquilo que é cosiderado matematicamete válido. Outra orma que é possível iferir da situação de sala de aula aterior está relacioada com a abordagem que os aluos fazem da situação, procurado ecotrar uma expressão aalítica que possa descrever todos os termos da sucessão. Esta orma parece ser usada como forma de itroduzir uma maior sofisticação e elegâcia ao coteúdo matemático, aproximado-se assim das estruturas matemáticas que os aluos são solicitados a maipular a sua actividade matemática. Esta orma pode ser desigada de algebrização, e surge em várias situações em que os aluos são solicitados a desevolver raciocíios que evolvem problemas descritos por palavras. O facto de o aluo realizar uma diversidade de maipulações algébricas parece coferir-lhe um maior poder matemático relevado outro tipo de represetações para segudo plao. Esta abordagem torou-se evidete quado a professora represetou a sucessão de Fiboacci por recorrêcia, fazedo com que esta 5

6 fosse aceite por todos, mesmo aqueles que até etão cotiuavam a procurar uma expressão aalítica que traduzisse a sucessão. No caso das aulas para os aluos de Matemática o coceito de sucessão foi itroduzido as aulas teóricas a partir da defiição formal, apresetada em acetato. De seguida os aluos foram questioados acerca da otação a utilizar mas acabaram por aguardar pela resposta do professor que deu exemplos de termos gerais de algumas sucessões, u = e v 1 = ( 1) *, solicitado de seguida o cálculo de algus termos destas. Os aluos ão itervêm espotaeamete, tedo o professor idicado algus termos de ambas as sucessões. De seguida apresetou o termo geral de uma sucessão defiida por recorrêcia, u = 1 + u com + 1 u 1 = 2, calculado de seguida algus dos seus termos. Um aluo itervém pergutado se ão está a faltar a represetação da sucessão o termo geral u. O aluo procura estabelecer uma comparação com as sucessões represetadas ateriormete, pressupodo que ates de idicar a expressão do termo geral deve aparecer o u a ateceder o sial de igual. O professor respoder que a sucessão estava correctamete defiida desta forma e foi idicado algus dos seus termos. Posteriormete foram dados mais algus exemplos de termos gerais de sucessões pedido aos aluos para calcularem os seus primeiros termos. Os aluos foram realizado os cálculos o lugar e em silêcio participado apeas quado solicitados a idicar os termos que tiham calculado. Na parte fial da aula foram forecidos aos aluos os primeiros termos de algumas sucessões, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1 e 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, pedido para que ecotrassem os respectivos termos gerais. No primeiro caso houve um aluo que coseguiu idicar o termo geral pretedido mas o segudo ehum aluo mostrou ser capaz de o ecotrar tedo o mesmo sido forecido pelo professor. Do poto de vista das iteracções estas aulas apresetam características bastate difereciadas das descritas ateriormete, aida que o tema em estudo seja comum. Parece ser possível idetificar uma orma social que é trasversal a toda a aula, ode o professor é recohecido como o detetor do saber e os aluos apeas devem mostrar uma predisposição para apreeder os coceitos que lhe são trasmitidos. Esta orma social parece determiar uma outra orma sociomatemática, ode os aluos devem apreder o coceito a partir da defiição criado um coceito imagem desta e só posteriormete devem alargar esse coceito imagem com recurso aos vários exemplos trabalhados. Esta orma pode ser desigada de particularização, precoizado que os coceitos podem ser itroduzidos com base a sua defiição formal, sedo a sua compreesão desevolvida com base a maipulação de algus exemplos e cotra exemplos. 6

7 Sucessão covergete Descreve-se de seguida uma situação de sala de aula que acotece aquado da itrodução do coceito de sucessão covergete. No que se refere às aulas teórico-práticas para os aluos de egeharia a itrodução do coceito é feita a sequêcia do estudo do coceito de ifiitamete grade. Ateriormete os aluos estudaram este coceito partido de exemplos cocretos que lhe permitiram deduzir a sua tradução simbólica. No caso da sucessão covergete a professora + 3 começou por forecer aos aluos a sucessão u = pedido para que estes calculem o seu limite. Não surge ehuma resposta espotâea e algus aluos itervêm referido que têm dificuldade o cálculo do mesmo. Um aluo questioa a professora pergutado para ode vai teder o e depois coclui que se trata de uma idetermiação. Posteriormete algus aluos coseguem respoder à questão dizedo que o limite é 1, com o ituito de que a sua resposta seja validada, mas quado se pede para que eles explicitem o modo como coseguiram chegar a esse valor algus dos procedimetos realizados partem de pressupostos falsos, omeadamete eles argumetam que dividem ambos os membros da fracção por mas executam os cálculos de forma icorrecta. A professora pede para que os aluos idiquem os primeiros termos da sucessão e vai fazedo a sua represetação esquemática a recta real com o objectivo que os aluos visualizem o comportameto dos primeiros termos, estabelecedo assim o modo como estes se estão a aproximar do valor 1. Com base este esquema são estabelecidas algumas vizihaças do poto 1 com raios cada vez meores, como por exemplo para > 15 u V (1). Com base estes exemplos a professora escreveu por exteso a defiição o quadro, fazedo de seguida a sua tradução simbólica. Iicialmete fez a escrita simbólica utilizado a oção de vizihaça e posteriormete traduziu essa oção em termos de módulos como se mostra a seguir: 0,2 ε > 0 p : > p u 1 < ε. Esta escrita suscitou algumas dúvidas, sobretudo a relação que há etre a otação de vizihaça e o módulo da difereça etre os termos da sucessão e o limite, levado os aluos a questioar como se poderia passar de uma represetação para a outra. Com base a defiição simbólica aterior foi escrita a defiição para o caso geral tedo de seguida a professora proposto o cálculo do limite da sucessão aterior com base esta defiição. Para ajudar os aluos a desevolver a prova a professora + 3 começou par escrever a defiição simbólica para o caso cocreto, ε > 0 p : > p 1 < ε. Algus aluos começam a procurar resolver o problema, mas todos eles se cetram a resolução algébrica da desigualdade presete o segudo membro da implicação. Embora este processo já teha sido abordado para provar por defiição que uma dada sucessão era um ifiitamete grade, os aluos cotiuam a cetrar-se os procedimetos algébricos sem dar qualquer relevo ao papel dos quatificadores. Para ultrapassar esta situação a professora acabou por ter que esquematizar a resolução o quadro, apresetado-a passo a passo e recorredo ao questioameto permaete 7

8 para justificar cada um dos passos. A participação dos aluos vai pouco além dos cálculos que já tiham efectuado ateriormete e quado se procura que eles dêem sigificado ao papel desempehado pelos quatificadores apeas coseguem recorrer aos exemplos abordados aquado do estudo do coceito de ifiitamete grade atribuido aos parâmetros o mesmo sigificado que estes tiham essa defiição. Depois de a prova ter sido completada pela professora os aluos foram solicitados a provar por defiição que a sucessão de termo geral 1 tedia para 0. Nesta tarefa a participação dos aluos é maior, tedo a maioria começado a resolver o seu lugar e trocado algumas ideias com os colegas de carteira. O processo que a maioria destes aluos seguiu foi e de estabelecer uma comparação com a resolução aterior, feita pela professora, idicado todos os passos a mesma sequêcia. Quado algus aluos foram questioados para explicar o modo como fizeram a resolução, surgiram muitas dificuldades a explicitação do papel desempehado pelos quatificadores, sedo dado mais relevo aos processos algébricos que foram desevolvidos. Também o desevolvimeto desta aula foi possível observar a existêcia de algumas ormas que parecem reger as iteracções observadas. Uma dessas ormas, tem um carácter mais geral, e revela-se como uma ecessidade para a realização de cálculos em vez de fazer uma discussão do problema com base outros argumetos mais teóricos. Esta pode ser desigada como uma orma sociomatemática de validação por cálculo, ode o problema apreseta um carácter matemático desde que evolva um cojuto de cálculos mais ou meos complexos. Esta orma vem fazer com que a ateção dos aluos ão se cetre o papel desempehado pelos quatificadores mas sim os procedimetos de cálculo ecessários para que se possa cosiderar que o problema foi resolvido. Esta orma parece iduzir uma outra, ode o papel dos quatificadores ão é cosiderado como relevate. Na resolução de um problema de covergêcia usado a defiição o papel dos quatificadores é estabelecido por comparação com resoluções de exemplos semelhates sem que daí resulte uma compreesão efectiva da dimesão que a defiição precoiza. Esta orma surge quado é preciso maipular expressões simbólicas mais ou meos complexas e pode ser desigada como orma de comparação simbólica. O estudo da oção de sucessão covergete para os aluos de Matemática seguiu um processo semelhate à implemetação do coceito de sucessão. Foi apresetada a defiição a partir de um acetato, com a seguite formulação: sejam u uma sucessão e a. Diz-se que u coverge para a (ou tede para a ou, aida, que o limite da sucessão é a), e represeta-se por u a ε > 0 p N : > p u a < ε. Os aluos limitaram-se a copiar a mesma para os seus apotametos. Posteriormete o professor escrever o quadro a defiição simbólica usado a oção de vizihaça, fazedo uma represetação esquemática a recta real do papel do ε, e estabelecedo, se 8

9 uma comparação desta defiição com a euciada ateriormete. Os aluos trascrevem a defiição sem colocar qualquer questão. De seguida foi proposto que se provasse por defiição que a sucessão 1 de termo geral 2 tedia para 0. Os aluos permaeceram passivos aguardado que o professor desevolvesse a prova pretedida. À medida que o professor foi realizado a demostração os aluos limitaram-se a trascreve-la para o cadero aceitado todos os passos apresetados sem colocar qualquer dúvida ou questão. Pela atureza da abordagem feita o esio deste coceito os padrões de iteracção que é possível observar são em tudo semelhates aos já descritos ateriormete, aquado do esio do coceito de sucessão. Cotiua a ser possível idetificar a orma social que traduz a autoridade do professor assim como a orma sociomatemática da particularização. Coclusão O estudo das iteracções que se estabelecem a sala de aula e a observação dos padrões que regem essas mesmas iteracções pode revelar-se uma ferrameta poderosa para o desevolvimeto do processo de esio e apredizagem da Matemática. O recurso ao quadro coceptual que aalisa estes padrões do poto de vista das ormas sociais e sociomatemáticas (Yackel e Cobb, 1996; Herbel-Eisema, 2003) dá-os a possibilidade de fazer uma aálise dessas práticas que permite idetificar outros tipos de ormas que lhe são características. As aulas acima descritas apresetam características bastate difereciadas o que faz com que seja possível idetificar ormas diferetes em ambas as situações. As ormas observadas em sempre são favoráveis ao desevolvimeto de uma compreesão relacioal dos coceitos estudados. Embora ão seja o objectivo deste texto explicitar a compreesão que os aluos maifestam sobre os coceitos é possível ecotrar em Domigos (2003) uma aálise bastate completa dos sigificados que os aluos costruíram. Referêcias Domigos, A. (2003). Compreesão de coceitos matemáticos avaçados - a matemática o iício do superior (tese de doutorameto ão publicada, Faculdade Ciêcias e Tecologia da Uiversidade Nova de Lisboa). Lisboa. Herbel-Eisema, B. (2003). Examiig orms i mathematics educatio literature: refiig the les. Em NCTM 2003: Beliefs, values, & orms symposium. [Acesso electróico]. Dispoível: Yackel, E., e Cobb, P. (1996). Sociomathematical orms, argumetatio, ad autoomy i mathematics. Joural for Research i Mathematics Educatio, 27(4),