Estabilidade Dinâmica

Estabilidade Dinâmica João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão de 26 de Novembro de 2010 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 1 / 62

Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 2 / 62

Introdução Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 3 / 62

Introdução Objectivo Neste capítulo pretende-se: estudar os métodos de resolução das equações para pequenas perturbações (sem controlo); João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 4 / 62

Introdução Objectivo Neste capítulo pretende-se: estudar os métodos de resolução das equações para pequenas perturbações (sem controlo); estudar as características habituais das soluções (e definir os «modos») João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 4 / 62

Introdução Objectivo Neste capítulo pretende-se: estudar os métodos de resolução das equações para pequenas perturbações (sem controlo); estudar as características habituais das soluções (e definir os «modos») encontrar expressões aproximadas para os modos longitudinais e laterais João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 4 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 Ângulo de rumo nulo: ψ = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 Ângulo de rumo nulo: ψ = 0 Eixos de estabilidade: Eixo Cx V. Logo: w 0 = 0 α x = 0 θ 0 coincide com o ângulo de subida João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62

Introdução Forma geral das equações para pequenas perturbações Como se viu anteriormente, a forma geral das equações do movimento para pequenas perturbações é: ẋ = A x + f c x é o vector de estado (vector das variáveis de estado) A é a matriz do sistema f c é o vector dos incrementos das forças e momentos de controlo relativamente ao estado estacionário (não vai ser usado neste capítulo) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 6 / 62

Introdução Movimento longitudinal Vector de estado: u x = w q θ Matriz do sistema: A = 1 I y ( X u m X wm 0 g cos θ 0 Z u m Zẇ ) M u + M ẇ Z u m Zẇ ( 1 I y Z w m Zẇ ) M w + M ẇ Z w m Zẇ ( 1 I y (mu 0 +Z q) m Zẇ M q + M ) ẇ (mu 0 +Z q) m Zẇ mg sin θ 0 m Zẇ Mẇ mg sin θ 0 I y (m Zẇ ) 0 0 1 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 7 / 62

Introdução Movimento Lateral Vector de estado: v x = p r φ Matriz do sistema: ( ) Y v Y p Yp m m m u 0 g cos θ 0 ( ) ( ) ( ) Lv I + x A = I zx N Lp v I + x I zx N Lr p I + x I zx N r 0 ( ) ( ) ( ) I zx L v + N v I I z zx L p + N p I I z zx L r + N r 0 I z 0 1 tan θ 0 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 8 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 9 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equação diferencial ordinária de 1ª ordem Uma equação diferencial de primeira ordem: ẋ = ax dx x = a João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 10 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equação diferencial ordinária de 1ª ordem Uma equação diferencial de primeira ordem: ẋ = ax dx x = a tem soluções da forma: x(t) = x 0 e λt desde que λ = a. Note-se que x 0 é o valor para t = 0. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 10 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais O sistema de equações é: Supomos soluções da forma ẋ = A x x(t) = x 0 e λt João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 11 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais O sistema de equações é: ẋ = A x Supomos soluções da forma x(t) = x 0 e λt Logo ẋ = λx 0 e λt λx 0 e λt = A x 0 e λt λx 0 = A x 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 11 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais O sistema de equações é: ẋ = A x Supomos soluções da forma x(t) = x 0 e λt Logo ẋ = λx 0 e λt λx 0 e λt = A x 0 e λt λx 0 = A x 0 (A λi)x 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 11 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Equação aos valores próprios A equação (A λi)x 0 = 0 é a equação aos valores próprios da matriz A. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 12 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Equação aos valores próprios A equação (A λi)x 0 = 0 é a equação aos valores próprios da matriz A. Só tem soluções não triviais se det(a λi) = 0 (equação característica do sistema) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 12 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Equação aos valores próprios A equação (A λi)x 0 = 0 é a equação aos valores próprios da matriz A. Só tem soluções não triviais se det(a λi) = 0 (equação característica do sistema) λ é um valor próprio de A x 0 é um vector próprio correspondente a λ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 12 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N (que supomos todos diferentes, para simplificar a exposição). João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N (que supomos todos diferentes, para simplificar a exposição). Logo, a solução geral será uma sobreposição dos modos correspondentes a cada valor/vector próprio: x(t) = N x 0k e λ kt k=1 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N (que supomos todos diferentes, para simplificar a exposição). Logo, a solução geral será uma sobreposição dos modos correspondentes a cada valor/vector próprio: Para uma matriz 4 4: x(t) = N x 0k e λ kt k=1 x(t) = x 01 e λ 1t + x 02 e λ 2t + x 03 e λ 3t + x 04 e λ 4t João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Valores próprios de uma matriz real A matriz do sistema, A, é uma matriz real. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 14 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Valores próprios de uma matriz real A matriz do sistema, A, é uma matriz real. Os valores próprios de uma matriz real são: reais ou pares de valores próprios complexos conjugados João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 14 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Valores próprios de uma matriz real A matriz do sistema, A, é uma matriz real. Os valores próprios de uma matriz real são: reais ou pares de valores próprios complexos conjugados Para uma matriz 4 4 temos: 4 valores próprios reais ou 2 valores próprios reais e um par de complexos conjugados ou 2 pares de valores próprios complexos conjugados João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 14 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Pares de valores próprios complexos conjugados Podemos escrever os valores próprios λ 1 e λ 2 como: λ 1 = n + iω x 1 = a 1 e λ 1t λ 2 = n iω x 2 = a 2 e λ 2t a 1 e a 2 são constantes complexas conjugadas (porque dependem de vectores próprios correspondentes a valores próprios complexos conjugados). Pretendemos determinar o resultado da soma dos modos correspondentes a este par de valores próprios. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 15 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Pares de valores próprios c. c. (2) x 1 + x 2 = a 1 e λ1t + a 2 e λ 2t = a 1 e (n+iω)t + a 2 e (n iω)t ( = e nt a 1 e iωt + a 2 e iωt) = e nt ((a 1 + a 2 ) cos(ωt) + i(a 1 a 2 ) sin(ωt)) = e nt (A 1 cos(ωt) + A 2 sin(ωt)) Sendo a 1 e a 2 complexos conjugados, e fazendo a 1,2 = α ± iβ, vem A 1 = a 1 + a 2 = 2α A 2 = i(a 1 a 2 ) = 2β (real!) (real!) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 16 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente aumenta se n > 0 diminui se n < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente aumenta se n > 0 diminui se n < 0 se um valor próprio é real, obtemos um modo ae λt cuja «amplitude»: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente aumenta se n > 0 diminui se n < 0 se um valor próprio é real, obtemos um modo ae λt cuja «amplitude»: aumenta se λ > 0 diminui se λ < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis (2) Modos estáveis: Re(λ) < 0 Parâmetros importantes: Período (quando há) t 1/2 ou t dobro correspondente número de ciclos (quando há) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 18 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Parâmetros importantes Tempo necessário para a amplitude passar a metade/dobro: t 1/2 ou t 2 Número de ciclos necessário para a amplitude passar a metade/dobro: N 1/2 ou N 2 e n t 1/2 = 1 2 t 1/2 = log 1/2 n = log 2 n e n t 2 = 2 t 2 = log 2 n = log 2 n N 1/2 = t 1/2 T N 2 = t 2 T João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 19 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Parâmetros importantes (2) Frequência natural: ω n = ω 2 + n 2 Factor de amortecimento: ζ = n ω n t 1/2 = log 2 ζ ω n N 1/2 = ω 2π log 2 = log 2 ζ ω n 2π 1 ζ 2 ζ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 20 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Critério de estabilidade de Routh (1) Equação característica do sistema: det(a λi) = 0 Para sistemas de 4ª ordem é polinómio de grau 4: Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Critério de Routh-Hurwitz: é c.n.s. para que todas as raízes tenham parte real negativa (logo: que o sistema seja estável) que: B > 0 D > 0 E > 0 R = D(BC AD) B 2 E > 0 (discriminante de Routh) Notas: Supomos que A > 0; as condições anteriores implicam C > 0. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 21 / 62

Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Critério de estabilidade de Routh (2) Normalmente E > 0 e R > 0 representam casos críticos significativos. Se uma configuração de uma aeronave é estável e um parâmetro de projecto é alterado de forma que passa a haver uma instabilidade, então: se apenas E passa a negativo: uma raiz real passa de negativa a positiva; se apenas R passa a negativo: a parte real de um par de raízes complexas conjugadas passa de negativa a positiva. E = 0 e R = 0 definem fronteiras entre regiões de estabilidade e instabilidade. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 22 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 23 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Descrição do exemplo Neste exemplo vamos determinar os modos longitudinais de um 747. Passos a seguir: Cálculo das derivadas dimensionais (conhecidas as adimensionais) Cálculo dos elementos da matriz A Determinação das soluções da equação característica (valores próprios de A) Para cada valor próprio determinar o respectivo vector próprio (a menos de uma constante multiplicativa) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 24 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Características da aeronave Voo horizontal a 40000 ft e com Ma = 0.8 I x = 0.247 10 8 kg m 2 S = 511.0 m 2 c = 8.324m I y = 0.449 10 8 kg m 2 W = 2.83176 10 6 N u 0 = 235.9m/s I z = 0.673 10 8 kg m 2 ρ = 0.3045 kg/m 3 θ 0 = 0 I xz = 0.212 10 7 kg m 2 C L0 = 0.654 C D0 = 0.0430 Derivadas adimensionais: C x C z C m û -0.1080-0.1060-0.1043 α 0.2193-4.920-1.023 ˆq 0-5.921-23.92 ˆ α 0 5.896-6.314 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 25 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Derivadas dimensionais Derivadas dimensionais: X (N) Z (N) M (Nm) u (m/s) 1.982 10 3 2.595 10 4 1.593 10 4 w (m/s) 4.025 10 3 9.030 10 4 1.563 10 4 q (rad/s) 0 4.524 10 5 1.521 10 7 ẇ (m/s 2 ) 0 1.909 10 3 1.702 10 4 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 26 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Matriz do sistema Usando as derivadas acima, determinam-se todos os termos da matriz do sistema: 0.006868 0.01395 0 32.2 0.09055 0.3151 773.98 0 A = 0.0001187 0.001026 0.4285 0 0 0 1 0 Nota: não está calculada em SI João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 27 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Equação característica det(a λi) = 0 λ 4 +0.750468λ 3 +0.935494λ 2 +0.0094630λ+0.0041959 = 0 Critérios de estabilidade: E = 0.0041959 > 0 R = D(BC AD) B 2 E = 0.004191 > 0 Logo todos os modos vão ser estáveis. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 28 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Zeros da equação característica Zeros (valores próprio de A): λ 1,2 = 0.003289 ± 0.06723i (modo fugóide) λ 3,4 = 0.3719 ± 0.8875i (modo de período curto) Características de cada modo Modo Período (s) t 1/2 (s) N 1/2 Fugóide 93.4 211 22.5 Período curto 7.08 1.86 0.26 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 29 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Determinação dos vectores próprios Os vectores próprios x 0 são as soluções da equação (A λi)x 0 = 0. São determinados a menos de uma constante multiplicativa. Vectores próprios obtidos para o 747 Fugóide Período curto Módulo Fase Módulo Fase û 0.62 92.4º 0.029 57.4º α = ŵ 0.036 82.8º 1.08 19.2º ˆq 0.0012 92.8º 0.017 112.7º θ 1.0 0º 1.0 0º João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 30 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Oscilações do modo fugóide 1.0 Θ u 0.5 Α 100 200 300 400 500 600 0.5 1.0 Variações grandes de vel. longitudinal u ângulo de picada θ Variações desprezáveis de ângulo de ataque α vel. angular de picada q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 31 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Oscilações do modo de período curto 1.0 0.5 Θ u Α q 2 4 6 8 10 12 0.5 1.0 Variações grandes de ângulo de ataque α ângulo de picada θ Variações desprezáveis de vel. longitudinal u vel. angular de picada q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 32 / 62

Exemplo: Modos longitudinais Resumo dos modos fugóide e de período curto Fugóide: oscilações da velocidade longitudinal a ângulo de ataque constante longo período pouco amortecido Período curto: variações do ângulo de ataque a velocidade constante período curto muito amortecido João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 33 / 62

Modos longitudinais aproximados Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 34 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo fugóide aproximado Modo fugóide: oscilações de u θ com pequena variação de α q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 35 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (1) Hipóteses: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 36 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (1) Hipóteses: α T = 0 α = 0 T = D (eixos de estabilidade) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 36 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (1) Hipóteses: α T = 0 α = 0 T = D (eixos de estabilidade) Tendo em conta que: L V não realiza trabalho T = D não há forças tangenciais (excepto peso) a única força que produz trabalho (peso) é conservativa conclui-se que há conservação da energia. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 36 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 Conservação de energia: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 Conservação de energia: E = 1 2 mv 2 mgz E = cte = 1 2 mu2 0 V 2 = u 2 0 + 2gz E João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 Conservação de energia: E = 1 2 mv 2 mgz E = cte = 1 2 mu2 0 V 2 = u 2 0 + 2gz E Mas α = 0 C L = C L0 = C W0 (q é pequeno não afecta C L ) L = 1 2 ρv 2 SC W0 = 1 2 ρu2 0 SC W 0 + 1 2 ρ2gz ESC W0 = = W + kz E com k = (ρsgc W0 ) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (3) Equação do movimento segundo z: W L cos θ = m z E θ 1 W L = m z E W (W + kz E ) = m z E Obtém-se equação de movimento harmónico simples: m z E + kz E = 0 k Oscilações verticais de frequência: ω = m. Por conservação de energia, há também oscilações em V = u 0 + u. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 38 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (4) Período das oscilações T = 2π ω = 2π m k = 2π Usando C W0 = mg/( 1 2 ρu2 0S), vem m ρsgc W0 T = π 2 u 0 g O período depende apenas de u 0! (Não depende da aeronave, nem de ρ). João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 39 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (5) Comparação com o resultado obtido para o 747: T exacto = 93s T aprox = 107s João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 40 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (5) Comparação com o resultado obtido para o 747: T exacto = 93s T aprox = 107s Conclusão: obtém-se valores aproximados para o período, mas João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 40 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (5) Comparação com o resultado obtido para o 747: T exacto = 93s T aprox = 107s Conclusão: obtém-se valores aproximados para o período, mas não há amortecimento das oscilações João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 40 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo fugóide: outra aproximação Outra abordagem: usar as aproximações directamente nas equações do movimento para obter sistemas de ordem inferior à inicial. Aproximações: { q pequeno ẇ pequeno q pequeno M 0 θ 0 = 0 { Z Zu u + Z w w M M u u + M w w João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 41 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações do movimento para o modo fugóide aproximado (1) Omitindo os termos de controlo, as equações para o movimento longitudinal são: u = X u m u + X w m w + g cos θ 0 θ }{{} ẇ = Z u m u + Z w m w + Z ẇ m ẇ + Z q }{{} m q g sin θ 0 θ + u }{{} 0 q }{{} 0 0 0 q = M 1 (M }{{} u u + M w w) I y I y 0 θ = q 1 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 42 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações do movimento para o modo fugóide aproximado (2) Com as aproximações indicadas anteriormente obtemos: u = X u m u + X w m w + g θ ẇ = Z u m u + Z w m w + u 0q 0 = M u u + M w w θ = q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 43 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações do movimento para o modo fugóide aproximado (3) Na forma matricial: u ẇ 0 θ = X u m X w m 0 g Z u m Z w m u 0 0 M u M w 0 0 0 0 1 0 u w q θ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 44 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações para o modo fugóide aproximado (3) Admitindo soluções na forma x = x 0 e λt ẋ = λx, obtém-se u = λ u ẇ = λw θ = λ θ Substituindo nas equações anteriores: X λ u u X wm X m 0 g u u X m λ wm 0 g u λw Z um Z wm u 0 0 w Z um Z wm λ u 0 0 w = = 0 0 M u M w 0 0 q M u M w 0 0 q λ θ 0 0 1 0 θ 0 0 1 λ θ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 45 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equação característica para o modo fugóide aproximado ( u 0 M w ) }{{} A [ λ 2 + X u X m λ wm 0 g Z um Z wm λ u 0 0 = 0 M u M w 0 0 0 0 1 λ gm u + u ] 0 m (M wx u M u X w ) }{{} B ] m (M wz u M u Z w ) = 0 }{{} C [ g λ + Aλ 2 + Bλ + C = 0 λ 2 + B A λ + C A = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 46 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Frequência natural e factor de amortecimento Supondo que: λ 1 = n + iω e λ 1 são soluções de λ 2 + (B/A)λ + (C/A) = 0, obtemos: (λ λ 1 )(λ λ 1 ) = 0 (λ (n + iω)) (λ (n iω)) = 0 Nota: n = ζω n e ω n = (n 2 + ω 2 ) λ 2 2nλ + (n 2 + ω 2 ) = 0 λ 2 + 2ζω n λ + ω 2 n = 0 ω 2 n = C A 2ζω = B A João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 47 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Frequência natural e factor de amortecimento para o modo fugóide aproximado Usando ω 2 n = C A e 2ζω = B e os valores de A, B e C, A obtém-se ω 2 n = g ( Z u Z ) w M u mu 0 M w ζ = 1 2 [ g mu 0 ( )] 1/2 [ Zw gmu M u Z u + 1 ( X u M )] u X w M w u 0 M w m X u João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 48 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação para M u = 0 Fazendo M u = 0 (aproximação razoável) obtém-se: ζ = 1 2 ω 2 n = gz u mu 0 [ gz ] 1/2 u X u mu 0 m = X u 2 u 0 mgz u João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 49 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação para M u = 0 (2) Note-se que, se C zu 0, e com θ 0 = 0, Z u = ρu 0 SC W0 cos θ 0 + 1 2 ρu 0SC zu = ρu 0 SC W0 ω 2 n = g( ρu 0SC W0 ) mu 0 = 2g2 u 2 0 ω n = 2 g u 0 Neste caso recuperamos a aproximação de Lanchester para o período: T n = 2π = 2π u 0 ω n g João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 50 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação para M u = 0 (3) Desprezando as derivadas em ordem a u: Para jactos com propulsão constante: C Tu = 2C T0. Por outro lado, C T0 C D0 C xu C Tu = 2C T0 = 2C D0 Supondo θ 0 = 0, X u = 1/2 ρu 0 SC xu = ρu 0 SC D0 Z u = ρu 0 SC W0 = ρu 0 SC L0 ζ = X u u 0 = 1 C D0 2 mgz u 2 C L0 ζ 1 L/D João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 51 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Factor de amortecimento: comparação para o caso do 747 Factor de amortecimento: obtido com a aproximação acima: ζ exacto = 0.049 obtido com a matriz do sistema exacta: ζ aprox = 0.046 Verifica-se que a aproximação obtida é bastante boa nesta caso. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 52 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Aproximações O modo de período curto caracteriza-se por u 0. Por isto: ignoramos a equação em x. Outras aproximações: θ 0 = 0 Zẇ m (m Zẇ) m Z q mu 0 (Z q + mu 0 ) mu 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 53 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equações do movimento para o modo de período curto Equações para o movimento longitudinal (omitindo os termos de controlo): u = Xu m u + Xw m w + g cos θ 0 θ equação ignorada ) Z u (mu ẇ = u + Zw 0 + Z q w + q mg sin θ 0 θ m Zẇ }{{} m Zẇ m Zẇ m Zẇ 0 }{{}}{{}}{{} q = 1 [( M u + I y θ = q Zw /m ) M ẇ Z u m Zẇ ( u 0 u + M }{{} w + 0 M ẇ Z w m Zẇ }{{} Mẇ Zw /m ) w + 0 ( M q + M ẇ (mu 0 + Z q) m Zẇ }{{} Mẇ u 0 ) q M ẇ mg sin θ 0 θ m Zẇ }{{} 0 ] Com as aproximações indicadas a 2ª e a 3ª equações dependem apenas de w e q e suas derivadas. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 54 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equações do modo de período curto aproximado Com as aproximações feitas acima, obtém-se o sistema de equações: ẇ = q [ 1 I y Z w m u 0 ] M w + M ẇz w m [ 1 I y ] w M q + Mẇu 0 q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 55 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equação característica [ 1 I y Z w m λ u 0 ] ] = 0 M w + M ẇz w M q + Mẇu 0 λ m [ 1 I y João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 56 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equação característica [ 1 I y Z w m λ u 0 ] ] = 0 M w + M ẇz w M q + Mẇu 0 λ m [ 1 I y Desenvolvendo o determinante, obtém-se: [ λ 2 Zw m + 1 ( ) ] M q + Mẇu 0 λ 1 [ M w u 0 Z ] w I y I y m M q = 0 }{{}}{{} B C João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 56 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equação característica [ 1 I y Z w m λ u 0 ] ] = 0 M w + M ẇz w M q + Mẇu 0 λ m [ 1 I y Desenvolvendo o determinante, obtém-se: [ λ 2 Zw m + 1 ( ) ] M q + Mẇu 0 λ 1 [ M w u 0 Z ] w I y I y m M q = 0 }{{}}{{} B C Frequência natural: ω n = C Factor de amortecimento: ζ = B/(2 C) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 56 / 62

Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Comparação com caso do 747 λ exacto = 0.3719 ± 0.8875i λ aprox = 0.371 ± 0.889i A aproximação de período curto dá resultados muito aproximados do valor real para uma grande gama de aeronaves e de condições de voo. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 57 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 58 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Pretendemos usar os critérios de estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Pretendemos usar os critérios de estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática: C mα < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Pretendemos usar os critérios de estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática: C mα < 0 (dδ etrim /dˆv ) δp > 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Condição de estabilidade: E > 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Condição de estabilidade: E > 0 Mas E obtém-se do polinómio característico fazendo λ = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Condição de estabilidade: E > 0 Mas E obtém-se do polinómio característico fazendo λ = 0 Logo, E = det A João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica (2) Simplificações: Zẇ e Z q desprezáveis θ 0 = 0 X u X wm m 0 g Z um Z wm u 0 0 E = det A = ( ) ( ) ( ) = 1 I y M u + M ẇ Z u 1 m I y M w + M ẇ Z w 1 m I y M q + Mẇu0 0 0 0 1 0 = g [Z u M w Z w M u ] mi y João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 61 / 62

Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Estabilidade dinâmica estabilidade estática E = g mi y [Z u M w Z w M u ] > 0 Z u M w Z w M u > 0 Z u = ρu 0 SC W0 + (1/2)ρu 0 SC zu Z w = (1/2)ρu 0 SC zα M u = (1/2)ρu 0 csc mu M w = (1/2)ρu 0 csc mα (C zu 2C W0 )C mα C mu C zα > 0 Se C zu 0 C mu, 2C W0 C mα > 0 C mα < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 62 / 62