MATEMÁTICA RIMITIVAS E INTEGRAIS MANUEL ALBERTO M. FERREIRA ISABEL AMARAL 7ª Edição Coleção Matemática EDIÇÕES SÍLABO
COLEÇÃO MATEMÁTICA
COLEÇÃO MATEMÁTICA INTEGRAIS MÚLTILOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR n RIMITIVAS E INTEGRAIS 4 FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA 5 ÁLGEBRA LINEAR Vol. Matrizes e Determinantes 6 ÁLGEBRA LINEAR Vol. Espaços Vectoriais e Geometria Analítica 7 ROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA 8 CÁLCULO INTEGRAL EM IR RIMITIVAS 9 RIMITIVAS E INTEGRAIS EXERCÍCIOS 0 SUCESSÕES E SÉRIES ÁLGEBRA LINEAR Eercícios Vol. Matrizes e Determinantes CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERCÍCIOS 4 ÁLGEBRA LINEAR Eercícios Vol. Espaços Vectoriais e Geometria Analítica 5 SUCESSÕES E SÉRIES EXERCÍCIOS 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES 7 INTEGRAIS MÚLTILOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXERCÍCIOS 8 INTEGRAIS DULOS, TRILOS, DE LINHA E DE SUERFÍCIE 9 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA 0 MÉTODOS NUMÉRICOS Introdução, Aplicação e rogramação CÁLCULO INTEGRAL Teoria e Aplicações RIMITIVAS E INTEGRAIS Eercícios Resolvidos TÓICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IR n 4 EXERCÍCIOS SOBRE RIMITIVAS E INTEGRAIS 5 RIMITIVAS E INTEGRAIS Com Aplicações às Ciências Empresariais 6 ÁLGEBRA LINEAR Teoria e rática
MANUEL ALBERTO M. FERREIRA ISABEL AMARAL RIMITIVAS E INTEGRAIS EDIÇÕES SÍLABO
É epressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio gráfico, eletrónico ou mecânico, inclusive fotocópia, este livro. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor. Não participe ou encoraje a pirataria eletrónica de materiais protegidos. O seu apoio aos direitos dos autores será apreciado. Visite a Sílabo na rede www.silabo.pt FICHA TÉCNICA: Título: rimitivas e Integrais Autores: Manuel Alberto M. Ferreira, Isabel Amaral Edições Sílabo, Lda. Capa: edro Mota ª Edição Lisboa, 986 7ª Edição Lisboa, setembro de 08 Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito Legal: 44599/8 ISBN: 978-97-68-97-5 Editor: Manuel Robalo R. Cidade de Manchester, 70-00 Lisboa Telf.: 8045 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt
Dedicamos este livro ao Senhor rofessor J. J. Laginha, agradecendo assim o incentivo que nos tem dado ao longo de anos de trabalho em comum. Manuel Alberto, Isabel Amaral
ÍNDICE RIMITIVAS. Definição. Generalidades. rimitivas imediatas e quase-imediatas. Métodos de primitivação.. Método de primitivação por decomposição.. Método de primitivação por partes 9.. Método de primitivação por substituição 5 4. rimitivação de funções racionais 60 4.. Algumas questões preliminares 60 4.. Decomposição de funções racionais próprias 60 4.. rimitivação de funções racionais 6 4.4. Alguns eemplos de funções cuja primitivação se pode reduzir à de funções racionais 7 INTEGRAIS. Integral de Riemann 97.. Soma integral de uma função 97.. Definição de integral de Riemann 97.. Uma condição necessária de integrabilidade 98. Somas de Darbou 99.. Somas de Darbou 99.. Uma condição necessária e suficiente de integrabilidade 0
. Classes de funções integráveis 05 4. Interpretação geométrica do conceito de integral 08 5. ropriedades dos integrais 6. Teorema da média do cálculo integral 7. Desigualdade de Schwartz 8. Integral indefinido 4 9. Fórmula de Barrow 0. Métodos de integração 8 0.. Método de integração por decomposição 8 0.. Método de integração por partes 40 0.. Método de integração por substituição 44. Integrais paramétricos 47. Etensão da noção de integral 5.. Integrais impróprios 5.. Integrais de limite infinito 57. Aplicações dos integrais 65.. Cálculo de áreas planas 65.. Cálculo de volumes de sólidos de revolução 78.. Cálculo de volumes de sólidos que não sejam de revolução 8.4. Cálculo de comprimento de linhas 8.5. Cálculo de áreas laterais de sólidos de revolução 9 Eercícios propostos 95
RIMITIVAS
RIMITIVAS. Definição. Generalidades Diz-se que F ( )é uma primitiva de f ( ), num certo intervalo, se em qualquer ponto desse intervalo F ( ) f ( ). Designando uma primitiva de f ( ) por f ( ), teremos f ( ) F ( ) F ( ) f ( ), em qualquer intervalo em que F ( ) seja primitiva de f ( ). Sendo C uma contante, [ F ( ) C ] F ( ), ortanto, há uma infinidade de primitivas de uma certa função. Basta, após se ter determinado uma, juntar-lhe constantes diferentes, parra se obter uma colecção infinita de primitivas. O problema de rimitivação é um problema indeterminado. õe-se, então, a questão de saber se, sendo F ( )uma primitiva de f ( ), todas as primitivas de f ( ) são da forma F ( ) C, sendo C uma constante. Suponhamos, então, que G( ), diferente de F ( ), é também uma primitiva de f ( ) (ambas no mesmo intervalo). Então, F ( ) G( ). ortanto, segundo um dos corolários do teorema de Langrange, tem-se G( ) F ( ) C pelo que G( ) F ( ) C. Em conclusão: duas primitivas de uma mesma função, num certo intervalo, diferem sempre de uma constante. Assim, sendo F ( ) uma primitiva de f ( ), num certo intervalo pode dizer-se que, f ( ) F ( ) C
RIMITIVAS E INTEGRAIS é a epressão geral das primitivas de f ( ) nesse intervalo, sendo C uma constante. Eercício resolvido a) Mostre que é uma primitiva de em IR. b) Escreva a epressão geral das primitivas de em IR. c) Determine a primitiva de que passa pelo ponto (, 0. ) Resolução a), IR pelo que é, de facto, uma primitiva de em IR. b) Em face da alínea a), podemos escrever C c) Recorrendo a b), podemos pôr y a esta função, obtemos 0 C, vindoc. Então y primitiva de que passa por (, 0. ) C. Obrigando (, 0) a pertencer éa Eercício resolvido Considere a função f ( ) 5, se 0 0, se 0 Mostre que: a) 5 é uma primitiva de f ( ) em ] 0, [, b) 8 é uma primitiva de f ( ) em ], 0 [, c) f ( ) não tem primitiva em IR.
RIMITIVAS Resolução a) 5 é uma primitiva de f ( ), em ] 0, [ porque, nesse intervalo, ( 5 ) 5 f ( ). b) 8 é uma primitiva de f ( ), em ], 0 [, porque, nesse intervalo, 8 0 f ( ). c) Se eistisse uma primitiva de f ( ) em IR, designando-a por F ( ), teríamos sendo c F ( ) F ( 0 ) F( c), 0, ] ; 0 [ (Teorema de Lagrange). Mas F ( c ) f ( c ) 0 visto que c 0. Então, F ( ) F ( 0 ) Fe ( 0 ) lim lim 0 0. 0 0 Não se pode, portanto, ter F( 0) f ( 0) 5 pelo que não eiste f ( ) em IR, embora eistam primitivas de f ( ) em ] 0, [ e ], 0 [.. rimitivas imediatas e quase-imediatas Como resulta da definição dada atrás, a operação de primitivação é inversa da de derivação. ortanto, obtêm-se regras de primitivação invertendo as de derivação. As primitivas que se determinam aplicando apenas essas regras, chamam-se rimitivas imediatas. Àquelas cuja determinação eige algumas operações preliminares, antes da aplicação das regras, chama-se rimitivas quase-imediatas. Vamos então, analisar essas regras e ver eemplos da sua aplicação:. ( K ) KX K desde que K seja uma constante. Então, K K C sendo K e C constantes. or eemplo, C, 5 5 C, etc.
4 RIMITIVAS E INTEGRAIS. Sendo u uma função de, temos Ku K u C com K e C constantes, visto que ( K u) K ( u) Ku. Esta regra, embora simples, é bastante útil. Mostra que as constantes multiplicativas podem transitar através do sinal de primitivação. or eemplo, 5 sen 5 sen, tg tg, etc.. Sendo u uma função de e uma constante temos (supondo que u u u ) ( ) u u. Então, u u u C, Vejamos alguns eemplos: C, u, e u. ( ) ( ) C, u, e u. 5 ( ) 6 ( ) C, 6 u, 5 e u. ( ) ( ) ( ) C. u, e u.
RIMITIVAS 5 5 5 0 5 0 ( 5 0) ( ) 5 ( 5 0) C, C u 5 0, e u 5. 4 4 4 ( ) ( 4 ) 4 ( ) C ( 4 ) C. 4 u, e u 4. ln ln (ln ) C, u ln, e u. arc tg arc tg arc tg C. u arc tg, e u sen sen cos C. u. sen, e u cos. tg sec 4 tg C. 4 u tg, e u sec.
6 RIMITIVAS E INTEGRAIS ( e ) e ( e ) 4 u 4 C. e, e u e. ( ln ) ( ln ) ( ln ) C. ( ln ) C u ln, e u. Vamos ver agora, eemplos de casos em que aplicando ), é necessário recorrer a constantes multiplicativas para se obter u: 4 ( ) ( ) ( ) C 4 4 ( ) 8 C. 5 5 ( 6 9) ( ) ( 6 9) ( 6 6) 6 6 6 ( 6 9) 6 C 6 ( 6 9) 6 C. ( ) ( ) ( ) ( ) C 4 ( ) C.
RIMITIVAS 7 5 5 5 ( 5 ) 5 5 ( ) 5 5 5 6 ( 5 ) 5 6 5 C 5 ( 5 ) 6 C. 8 e ( e ) ( e ) e e ( ) e ( e ) C 4 ( e ) C. 5 5 ( cos ) sen ( cos ) ( sen ) ( cos ) 6 6 C. 4. Em ) está ecluída a situação. Neste caso teremos u u u. u u u u Recordemos que (log u ) e [ln ( u )]. u u u No primeiro caso tem de ser u 0 e, no segundo u 0. Será então, u u ln u C fórmula válida desde que u 0.
8 RIMITIVAS E INTEGRAIS Esta fórmula contempla as situações em que ) falha. Vejamos alguns eemplos: ln C. ln ( ) C. Repare-se que 0para qualquer valor de. ln ln ln ln C. ln C. e e ln ( e ) C (e 0, qualquer que seja ). ln ln ln ln C. ( ) arc tg arc tg ln arc tg C. Repare-se na aplicação desta fórmula na primitivação de algumas funções trigonométricas: sen tg cos sen cos ln cos C. cos cotg ln sen C. sen sec sec tg sec sec tg ( sec tg ) sec tg ln sec tg C.
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