PAULO ROBERTO LOPES DE OLIVEIRA ANALISE NÃO LINEAR DE DEFORMAÇÃO LENTA UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

PAULO ROBERTO LOPES DE OLIVEIRA ANALISE NÃO LINEAR DE DEFORMAÇÃO LENTA UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dssrtação aprsntada como rqusto parcal à obtnção do grau d Mstr m Cêncas, Programa d Pós Graduação m Métodos Numércos m Engnhara, Stor d Cêncas Eatas Tcnologa, Unvr sdad Fdral do Paraná. Orntador: Prof. Robrto Dalldon Machado Co orntadora: Profª. Mldrd Balln Hck Curtba 004

1 TERMO DE APROVAÇÃO PAULO ROBERTO LOPES DE OLIVEIRA ANÁLISE NÃO LINEAR DE DEFORMAÇÃO LENTA UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS. Dssrtação aprovada como rqusto parcal para obtnção do grau d Mstr m Cêncas, com ára d concntração m Mcânca Computaconal, no Programa d Pós Graduação m Métodos Numércos m Engnhara da Unvrsdad Fdral do Paraná, plos profssors: Orntador: Prof. Robrto Dalldon Machado, D.Eng. Cntro d Estudos d Engnhara Cvl CESEC / UFPR Co orntadora: Mldrd Balln Hck, D.Sc. Cntro d Estudos d Engnhara Cvl CESEC / UFPR Prof. Raul Rosas Slva, Ph.D. Pontfíca Unvrsdad Católca do Ro d Janro PUC / RIO Prof. Pablo Andrés Muñoz Rojas, D. Eng. UDESC Jonvll Curtba, 17 d dzmbro d 004.

Ddco st trabalho a mnha qurda sposa Lslan, plo apoo, as palavras d ncntvo amor dmonstrado m todos os momntos. E a mnha flha Ana Paula, qu é uma bnção m mnha vda.

3 AGRADECIMENTOS Agradço prmramnt a Dus, pla vda, pla bondad, fdldad plas bênçãos qu m tm concddo. Aos mus pas José Carlos Mara mus rmãos, plo apoo amor. Ao Profssor Robrto Dalldon Machado, pla ddcação, orntação o apoo dspnddo a st trabalho. A Profssora Mldrd Balln Hck, pla orntação apoo qu tm m dado. Aos profssors, funconáros colgas do CESEC.

4 SUMÁRIO AGRADECIMENTOS... 3 SUMÁRIO... 4 LISTA DE FIGURAS... 6 LISTA DE GRÁFICOS... 7 LISTA DE TABELAS... 8 LISTA DE SÍMBOLOS... 9 RESUMO... 1 ABSTRACT... 13 1 INTRODUÇÃO... 14 1.1 DEFINIÇÃO DO TEMA E OBJETIVOS... 14 1. REVISÃO DA LITERATURA...17 14.3 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS... 3 REVISÃO TEÓRICA DO FENÔMENO DE CREEP... 4.1.1 COMPORTAMENTO DE UM SÓLIDO ELÁSTICO... 7.1. COMPORTAMENTO DE UM FLUIDO VISCOSO... 9.1.4 MODELO DE MAXWELL... 31.1.5 MODELO DE KELVIN... 34.1.6 MODELOS COMPOSTOS... 36.1.7 MODELOS GENERALIZADOS... 39.1.7.1 Modlo d Mawll Gnralzado... 39.1.7. Modlo d Klvn Gnralzado... 40

5 3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O FENÔMENO DE CREEP... 43 3.1 CREEP SOB ESTADO UNIAXIAL DE TENSÃO... 43 3.1.1 Tora d Endurcmnto por Tmpo Transcorrdo (Tm Hardnng Thor)... 46 3.1. Tora d Endurcmnto por Dformação (Stran Hardnng Thor) 48 3. CREEP SOB ESTADO MULTIAXIAL DE TENSÃO... 50 4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA PARA SOLUÇÃO DO FENÔMENO DE CREEP... 55 4.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS... 55 4. FOMULAÇÃO DO ELEMENTO BIDIMENSIONAL... 56 4.3 PRINCIPIOS VARIACIONAIS DE CREEP ESTACIONÁRIO... 60 4.4 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADOS AO CREEP ESTACIONÁRIO... 68 4.5 ESTADO PLANO DE TENSÃO... 7 4.6 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO... 76 4.6 ESTADO AXISSIMÉTRICO DE TENSÃO... 77 4.7 PROCESSO DE SOLUÇÃO NÃO LINEAR... 79 5 VERIFICAÇÕES NUMÉRICAS... 84 5.1 VIGA SOB FLEXÃO PURA... 84 5. VIGA SOB FLEXÃO COMPOSTA... 90 5.3 PROBLEMA AXISSIMÉTRICO... 93 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE CONTINUIDADE... 99 REFERÊNCIAS... 10

6 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 ESQUEMA DE DEFORMAÇÃO DE UMA VIGA SOB FLEXÃO... 16 FIGURA CURVA DE CREEP... 4 FIGURA 3 CURVAS DE CREEP PARA VARIAÇÕES DE TENSÃO A TEMPERATURA CONSTANTE 6 FIGURA 4 MODELO DE MOLA... 8 FIGURA 5 GRÁFICO TENSÃO E DEFORMAÇÃO POR TEMPO, MATERIAL SÓLIDO ELÁSTICO... 9 FIGURA 6 MODELO AMORTECEDOR... 30 FIGURA 7 GRÁFICOS TENSÃO, DEFORMAÇÃO E TAXA DE DEFORMAÇÃO PELO TEMPO, MATERIAL VISCOSO... 30 FIGURA 8 MODELO DE MAXWELL... 3 FIGURA 9 MODELO DE KELVIN... 34 FIGURA 10 MODELO COMPOSTO MAXWELL KELVIN EM SÉRIE... 36 FIGURA 11 MODELO DE MAXWELL GENERALIZADO EM SÉRIE... 39 FIGURA 1 MODELO DE MAXWELL GENERALIZADO EM PARALELO... 40 FIGURA 13 MODELO DE KELVIN GENERALIZADO EM PARALELO... 41 FIGURA 14 MODELO DE KELVIN GENERALIZADO EM SÉRIE... 41 FIGURA 15 TEORIAS DE ENDURECIMENTO POR TEMPO TRANSCORRIDO OU POR DEFORMAÇÃO... 46 FIGURA 16 CONVERGÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON RAPHSON... 81 FIGURA 17 CONVERGÊNCIA PELO MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO... 8 FIGURA 18 VIGA SOB FLEXÃO PURA... 85 FIGURA 19 VIGA SOB FLEXÃO COMPOSTA... 91 FIGURA 0 GEOMETRIA E MALHA DO TUBO ESPESSO PROBLEMA AXISSIMÉTRICO... 94

7 LISTA DE GRÁFICOS GRÁFICO 1 COMPARAÇÃO ENTRE AS TENSÕES ELASTCIAS E ATENSÃO DE CREEP PARA A LEI DE NORTON... 86 GRÁFICO COMPARAÇÃO ENTRE AS TENSÕES OBTIDAS PELAS DIVERSAS LEIS DE CREEP E A SOLUÇÃO ANALÍTICA... 87 GRÁFICO 3 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI NORTON, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 88 GRÁFICO 4 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA DE LEI PRANDTL, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 88 GRÁFICO 5 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI DE DORN, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 89 GRÁFICO 6 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI DE GAROFALO, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 89 GRÁFICO 7 COMPARAÇÃO ENTRE AS TENSÕES OBTIDAS PELAS LEIS CREEP, OBTENÇÃO DA TENSÃO EFETIVA... 91 GRÁFICO 8 COMPARAÇÃO ENTRE AS TENSÕES OBTIDAS PELAS LEI DE NORTON, PARA DIVERSOS VALORES DE N OBTENÇÃO DA TENSÃO EFETIVA... 9 GRÁFICO 9 SOBREPOSIÇÃO DOS RESULTADOS... 93 GRÁFICO 10 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI NORTON, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 96 GRÁFICO 11 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI PRANDTL, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 97 GRÁFICO 1 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI DORN, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 97 GRÁFICO 13 COMPARAÇÃO ENTRE A TENSÃO OBTIDA PELA LEI GAROFALO, A SOLUÇÃO ANALÍTICA E O RESULTADO DE XUE E WANG... 98

8 LISTA DE TABELAS TABELA 1 PARÂMETROS PARA O AÇO 304SS (HEAT 9T496) 593ºC [XUE E WANG (1995)]. 84 TABELA RESULTADOS OBTIDOS PARA O PROBLEMA DE FLEXÃO PURA... 86 TABELA 3 RESULTADOS OBTIDOS PARA O PROBLEMA AXISSIMÉTRICO... 96

9 LISTA DE SÍMBOLOS A, C, R Constants d crp do matral. B Matrz dos opradors dfrncas. D Matrz das proprdads lástcas do matral. D, D T Matrz das proprdads não lnars dvdo ao fnômno d crp. E Modulo d lastcdad. F Força aplcada. F Vtor d forças trnas global. ( ), G ( t ), H ( T ) F σ Funçõs da tnsão, tmpo tmpratura rspctvamnt. I Sgundo Invarant do tnsor taa d dformação. J Sgundo Invarant do tnsor dsvador d tnsõs. J Matrz jacobana. K Matrz d rgdz. K Matrz d rgdz do lmnto. N Funçõs d ntrpolação. R Constant d Boltzmann. S Contorno do corpo m studo. S j Componnts do tnsor dsvatóro d tnsõs, j varando d 1 a 3. T Tmpratura. T Vtor d forças prscrtas no contorno S. L T Força d suprfíc no nstant L (subscrto). U Dslocamntos nodas. U Taa d dslocamntos nodas. b, c, d, m, n, nn Constants d crp do matral. b Vtor d forças d corpo. ( ), g ( t ), h ( T ) f σ Funçõs da tnsão, tmpo tmpratura rspctvamnt. l, l o Comprmnto fnal comprmnto ncal. k Constant d rgdz da mola.

10 r Espssura. t Tmpo. t 0 Tmpo ncal. u Vtor dslocamnto num ponto gnérco. α, β, γ, ϕ, φ, σ Constants d crp do matral. Dformação. 0 Dformação ncal lástca Dformação ftva. c Dformação d crp. j Componnts do tnsor d dformação, j varando d 1 a 3. Taa d dformação. c Taa d dformação d crp. Taa d dformação ftva. j Componnts do tnsor taa d dformação, j varando d 1 a 3. Componnts do tnsor taa d dformação lástca, j varando d 1 a 3. j δ j Dlta d Kronckr, j varando d 1 a 3. δ Dslocamnto. μ Cofcnt d vscosdad σ Tnsão. σ 0 Tnsão ncal. σ Tnsão quvalnt. σ k Tnsão na mola. σ µ Tnsão no amortcdor. σ Taa d varação d tnsão σ j Componnts do tnsor d tnsõs d Cauch, j varando d 1 a 3. ν Cofcnt d Posson. H Enrga d atvação.

11 λ Fator d pnaldad. ζ Fator d proporconaldad. Δ Oprador dfrncal. ξ η Varávl ntrínsca no lmnto cuja varação é [ 1,1] Π p Funconal qu nvolv o crp.

1 RESUMO Est trabalho tm como objtvo studar o comportamnto aprsntar a modlagm d matras sujtos à dformação lnta ou crp. Dsnvolvu s uma formulação para a solução d problmas bdmnsonas no stágo scundáro, também dnomnado crp staconáro. A solução computaconal do problma fo dtrmnada plo Método dos Elmntos Fntos. Foram ncorporadas no modlo dvrsas ls da vscolastcdad ncontradas na ltratura, ntr as quas, as d Norton, Prandtl, Dorn Garofalo. A análs é não lnar o procsso tratvo é ralzado através do Método d Nwton Raphson. Alguns mplos são aprsntados os rsultados obtdos são comparados com os da ltratura. Dscut s nst trabalho a fcênca do procsso as caractrístcas d prcsão convrgênca. Palavras chav: Crp, Análs Não lnar, Método dos Elmntos Fntos, Vscolastcdad.

13 ABSTRACT Th objctv of th prsnt stud s to valuat th bhavor and to prsnt thorcal modls to modl of matrals subjct to th crp. A formulaton was dvlopd for th soluton of problms n two dmnsons n stad crp. Th computatonal soluton of th problm was dtrmnd b th Fnt Elmnts Mthod. Svral laws of vscolastct found n th ltratur such as Norton, Prandtl, Dorn and Garofalo wr ncorporatd n th modl. Th analss s non lnar and th convrgnc of rsults s obtand through th Nwton Raphson Mthod. Som ampls ar prsntd and th obtand rsults ar compard wth th ons n ltratur. In ths work th ffcnc of th procss, th charactrstcs of prcson and convrgnc ar dscussd. K words: Crp, Non lnar Analss, Fnt Elmnts Mthod, Vscolastc.

14 1 INTRODUÇÃO 1.1 DEFINIÇÃO DO TEMA E OBJETIVOS Mutos matras possum comportamnto lástco quando submtdos a carrgamntos. Em alguns outros, são obsrvadas dformaçõs lntas contínuas quando carrgados, ao srm rmovdos os carrgamntos, as dformaçõs dcrscm contnuamnt sgu s uma tndênca d rcupração da confguração ncal. Tas matras são conhcdos como vscolástcos. Dntr os matras qu possum comportamnto vscolástco dstacam s: plástcos, fbras sntétcas ou naturas, madra, matras btumnosos, concrto mtas sujtos a altas tmpraturas. As caractrístcas ntnsdads do fnômno d crp varam muto d um matral para o outro. Assm, por mplo, no concrto a dad é um fator mportant, nquanto qu a tmpratura é dtrmnant nos mtas. Sndo o tmpo um fator dtrmnant no comportamnto dsts, os msmos são dsgnados por matras dpndnts do tmpo. O comportamnto vscolástco pod sr prsso por quaçõs consttutvas qu nclum o tmpo como uma varávl, além da tnsão dformação, o qu torna o studo muto mas dfícl do qu para os matras qu possum comportamnto ndpndnt do tmpo. Um dos fnômnos dpndnts do tmpo é o crp. Sgundo FEIJÓO, TAROCO GUERREIRO (1983) O studo do comportamnto dos matras struturas d mprgo frqünt m ngnhara, sob condçõs spcas d carrgamnto, pod sr apromado com êto mdant a tora da lastcdad ou mdant a tora da plastcdad. S o carrgamnto s mantém aplcado durant um príodo prolongado d tmpo, os fnômnos rológcos têm carátr mportant s tornam ncssáros na análs. Em crtos casos, as tnsõs dformaçõs s dfrm m forma aprcávl das qu s obtém admtndo qu o matral é lástco ou plástco.

15 Com o dsnvolvmnto ndustral, mutas aplcaçõs nas áras térmcas, ptroquímcas, nuclars, na fabrcação d gradors d vapor, turbnas, caldras, tc, ocorrdas com maor ntnsdad a partr da década d 50, passaram a tr maor nfluênca do problma d crp. Obsrva s qu grand part dos componnts das ndústras ctadas trabalha sob tmpraturas lvadas, o qu rqur uma maor fcênca trmodnâmca dos qupamntos maors cudados no qu s rfr às dformaçõs lntas. O fnômno d crp é um procsso trmcamnt atvo, mas nm por sso dv s rlaconar o crp smpr com altas tmpraturas. Mutas vzs, dpndndo do matral, do nívl d carrgamnto do tmpo d aplcação das cargas, st fnômno s faz prsnt m tmpraturas ambnts. Dv s rssaltar a mportânca d analsar o aumnto d dformação causada plo fnômno d crp. Estas dformaçõs lvam o matral ou a strutura a um comportamnto dfrnt do sprado na análs lástca, causando maors dformaçõs uma rdstrbução das tnsõs. O aumnto das dformaçõs pod sr maor do qu as spcfcadas m projtos podrão causar, por mplo, problmas m juntas d dlatação, não atndndo o Estado Lmt d Srvço. A rdstrbução das tnsõs pod, ocasonalmnt, causar um sgotamnto da capacdad rsstnt m sçõs orgnalmnt não crítcas. Essa rdstrbução dv sr consdrada a fm d vrfcar o Estado Lmt Últmo. Nst sntdo, srá aprsntada uma forma para s calcular a tnsão d rfrênca, cuja mportânca é rlaconada a dvrsos métodos d vrfcação da ntgrdad strutural. O prsnt trabalho tm como objtvo dsnvolvr vrfcar a formulação matmátca, aprsntada no trabalho d XUE WANG (1995), qu analsa o fnômno d crp staconáro, utlzando o Método dos Elmntos Fntos (MEF) m problmas bdmnsonas, consdrando as ls da vscolastcdad d Norton,

16 Garofalo, Prandtl Dorn, conform mnconado por BOYLE (1983). São aprsntados mplos ond os rsultados obtdos através dstas quatro ls são comparados ntr s com a solução analítca. Como a análs é não lnar, o procsso tratvo é ralzado plos métodos d Nwton Raphson Nwton Raphson Modfcado. A sgur é aprsntada uma fgura para lustrar as dformaçõs lástcas nlástcas dvdo ao crp, para uma vga sob flão. Consdrando uma carga aplcada na trmdad lvr da vga, obsrva s uma dformação ncal lástca lnar, com o passar do tmpo sgu uma dformação não lnar dvdo ao fnômno d crp. A dformação total é a soma da parcla lástca não lástca dvdo ao crp. FIGURA 1 ESQUEMA DE DEFORMAÇÃO DE UMA VIGA SOB FLEXÃO P c c L

17 1. REVISÃO DA LITERATURA As prmras nvstgaçõs sobr o fnômno d crp foram ralzadas m 1834 por um ngnhro francês VICAT (1834)* no Laboratóro Cntral d Ponts t Chaussés através d nsaos a tmpratura ambnt m barras d aço utlzadas na construção d ponts pênss, conform mnconado por FINDLEY, LAI ONARAN (1989) 1. Em vrtud da dfculdad d rprsntar os dfrnts stados d tnsão qu s pod obtr durant a vda útl da strutura, ANDRADE (1910)* NORTON (199)* ralzaram nsaos sob stados smpls d tnsão. Suas prêncas tratavam d nsaos m fos sujtos a sus psos própros m tmpratura ambnt, ond s stablcu um procsso d dformação do ponto d vsta macroscópco. Postrormnt, na década d 70, ODQVIST (197) HAUPT (1977) passaram a gnralzar sts rsultados para stados mas complos d tnsõs. Dvdo ao fato d sr rduzdo o númro d problmas ond é possívl obtr soluçõs analítcas, métodos matmátcos computaconas com soluçõs apromadas tornaram s ncssáros para rsolução dsss problmas. Dntr sts métodos dstaca s o Método dos Elmntos Fntos (MEF). Nst sntdo o trabalho d GREENBAUM (1968)** marca o níco das aplcaçõs do MEF nsta ára. THURSTON (1895)* parc sr o prmro a propor as três fass d crp, ANDRADE (1910)* o prmro a ntroduzr a trmnologa mprgada para dstngur as dfrnts fass d crp o prmro a mostrar a dfrnça d comportamnto ntr as dformaçõs lntas d barras mtálcas a tnsão constant carga constant. ANDRADE (1910)*, após nvstgar o fnômno d crp, propôs a prmra l d crp aprsntada a sgur: 1 Algumas rfrêncas qu cujas publcaçõs são mas antgas, são basadas nos trabalhos aprsntados por FINDLEY, LAI ONARAN (1989)* outras por FEIJÓO, TAROCO GUERREIRO (1983)**.

18 1 o ( 1 β t 3 l = l ) ϕ t (1) ond l o l são comprmnto ncal fnal do corpo rspctvamnt, t o tmpo dcorrdo sob carrgamnto, β ϕ constants do matral qu dpndm da tnsão. Dsd ntão dvrsas quaçõs mpírcas foram propostas. A prmra prssão para o crp staconáro fo proposta por NORTON (199)* juntamnt com BAILEY (1930)*, qu stablcram: n ( σ ) = Aσ = () ond é a taa d dformação, σ tnsão normal, A n são constants qu dpndm do matral para o aço n pod assumr valors ntr 3 8, assm pod s obsrvar a fort não lnardad dstas prssõs. A quação () é conhcda na ltratura como powr law. É ntrssant obsrvar qu a prssão () dpnd do nívl d tnsão. Para nívs rlatvamnt baos d tnsão o mcansmo d fluênca qu prdomna é o chamado fluênca por dfusão qu s caractrza por prssõs do tpo: = A σ (3) Para nívs mas lvados d tnsão, o mcansmo d fluênca qu prdomna é chamado fluênca por dscordânca, caractrzada pla prssão potncal d Norton Bal, quação (). Em partcular, as constants A n da quação () são stablcdas, rprsntando m scala logarítmca os valors d crp dscrtos, ou sja: σ, obtdos dos nsaos d

19 log( ) = log( A ) n log( σ ) (4) Dssa forma, a nclnação da rta obtda com os rsultados dos nsaos é o própro valor d n a ntrsção da rta com o o das ordnadas fornc o valor d loga portanto o valor d A. LUDWIK (1909)* aprsntou uma prssão conhcda como l ponncal sndo uma boa apromação para taa d crp durant o stágo scundáro, σ σ = R (5) ond, R σ são constants qu dpndm do matral. Ambas as ls d Norton d Ludwk foram usadas para obtr as taas d dformaçõs aprsntadas por mtas ou outros matras, quando submtdos a um stado unaal d tnsão. Porém s a tnsão é rmovda do matral as prssõs aprsntam dvrgêncas, pos nquanto qu na quação (5) a taa d dformação torna s uma constant R, na quação () a taa d dformação é nula. Ess problma fo soluconado quando SODERBERG (1936)* propôs a sgunt quação mpírca, σ = c σ 1 (6) ond c σ são constants dos matras. NADAI (1937)* propôs uma l do tpo sno hprbólco, também para corrgr o problma posto antrormnt, prssão qu fo sugrda orgnalmnt por PRANDTL (198)* qu dscrv a taa d dformação m função da varação na tnsão:

0 σ = d snh (7) σ ond d σ são constants qu dpndm do matral. A quação (7) aprsnta um comportamnto quas lnar para pqunos valors das tnsõs não lnar para grands valors das tnsõs. Sgundo FEIJÓO, TAROCO ZOUAIN (198) a prssão d Norton tm uma vantagm do ponto d vsta computaconal, pos para n = 0 a quação () rprsnta um stado d tnsão lástco para n = rprsnta um stado d tnsão corrspondnt a um matral plástco dal. ODQVIST HULT (196) aprsntaram dfrnts quaçõs consttutvas, formulaçõs varaconas métodos numércos qu prmtm obtr soluçõs d problmas ond o fnômno do crp dv sr consdrado. HALBRITTER (1977) analsa m sua ts d doutorado struturas com comportamnto vscolástco, aprsnta uma aplcação utlzando o método d Galrkn usando um tpo d ntgração apromada no tmpo, formulação qu é ncrmntal ou passo a passo. É aprsntado um programa qu é mplmntado utlzando lmntos dos modlos mstos, híbrdos d dslocamntos ond são analsados problmas d stado plano, flão d placas cascas arbtráras. BOYLE (1979) aprsnta m su trabalho o método d tnsão d rfrênca m problmas d crp, consdrando as ls d crp d Norton, Pradntl, Dorn Garofalo. Constam também nss trabalho os parâmtros utlzados para as constants d crp do aço nodávl SS 304 593º C. BATHE E SNYDER (1980) aprsntam um squma d solução lvando m consdração os ftos trmoplástcos com fluênca plo Métodos dos Elmntos Fntos, utlzando uma formulação Eulrana. Ess método fo mplmntado no programa computaconal Adna. FEIJÓO, TAROCO, GUERREIRO (1983) aprsntam um trabalho nttulado

1 como Aspctos Fundamntas da Fluênca m Mtas, publcado plo LCC/CNPq. Nss trabalho são aprsntadas as toras d ndurcmnto por tmpo transcorrdo por dformação. É analsado também o problma d crp para stado unaal multaal, assm como é aprsntada uma formulação varaconal para problmas d crp no stágo scundáro. Nst trabalho os autors mnconam a mportânca do assunto ctam os smpósos ntrnaconas sobr crp organzados pla IUTAM (Int. Unon of Thortcal and Appld Mchancs) na décadas d 60, 70 80. HUDDLESTON (1985) aprsnta um studo para stado multaal d tnsão consdrando um crtéro d ruptura sob o fnômno d crp, para aço nodávs SS 304 593º C. GUERREIRO (1988) aprsnta m sua ts d doutorado, um formulação msta d Ptrov Galrkn, na construção d lmntos fntos para problma d crp staconáro m problmas d crp transnt. Nss trabalho são dscutdas a stênca uncdad d soluçõs para problmas contínuos dscrtos. São aprsntados algortmos para solução dos dos problmas. SESHADRI (1990) analsa struturas sob um stado multaal d tnsão, consdra o problma d dano para os sgmntos da strutura sujtos a varação d stado d carrgamnto. Ess problma é dtrmnado studando a rsposta da rlaação plo dagrama d GLOSS ( Gnralzd Local Strss Stran). Ess dagrama rlacona as tnsõs quvalnts as dformaçõs ftvas obtdas a partr d um hstórco d carrgamnto. SEVERUD (1991) dsnvolvu trabalho sobr análs d crp fadga. WANG WANG (1994, a, b) aprsntam artgos tndo o MEF como método para rsolução d problmas d crp staconáro, utlzando a l d Norton para mplmntação da solução numérca. O método d Nwton Raphson é aplcado para soluconar a não lnardad m alguns mplos para problmas bdmnsonas. MUNOZ (1993) também dsnvolv, m sua ts d doutorado, uma

formulação utlzando MEF basados no método d Ptrov Galrkn para problmas d crp staconáro crp transnt. Nst trabalho são dscutdas também a stênca uncdad das soluçõs, assm como é aprsntado um algortmo para a solução d problmas contínuos dscrtos. SARDON (1994) aprsnta o dsnvolvmnto d um programa, mprgando o MEF, para solução d problmas qu nvolvm análs lastoplástco com fluênca ou crp. Nss trabalho são lvadas m consdração a não lnardad gométrca juntamnt com a não lnardad físca. Nss msmo sntdo dstaca s o trabalho dsnvolvdo por XUE WANG (1995, a, b) qu aprsntam a forma varaconal uma formulação d lmntos fntos acoplada a uma técnca d pnaldads para análs d problmas d crp staconáro, m stado plano d tnsão stado plano d dformação. Alguns mplos são aprsntados, comparando s os rsultados obtdos por algumas ls d crp como Norton, Prandtl, Dorn Garafolo. O método d Nwton Raphson também é utlzado para solução da não lnardad. Ess é o trabalho qu srvu como bas para o dsnvolvmnto dsta dssrtação. SHARIYAT E ESLAMI (1996), aprsntam uma formulação soparamétrca utlzando o Método dos Elmntos Fntos para problmas trmolástcos crp para cascas d rvolução, propõm m su trabalho um algortmo d solução para nvstgar as varaçõs d tnsão. CASSARA (1997) dsnvolvu, m sua dssrtação, uma formulação d um algortmo para o cálculo d tnsõs através do MEF aplcado a análs lastoplástca, lvando m conta os ftos d crp m mtas. SANTOS (001) aprsnta um trabalho sobr análs struturas aportcadas m concrto armado protnddo, lvando m consdração os problmas d dformação lnta. Nss trabalho são ftas análss d problmas d dformaçõs lntas, rtração fssuração do concrto. É mostrado um algortmo d ntgração d tnsõs m

3 vscolastcdad do concrto. 1.3 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS Est trabalho stá organzado m 6 capítulos, ond no Capítulo 1 foram aprsntados alguns trabalhos dsnvolvdos por dvrsos autors. Os dmas capítulos são organzados da sgunt forma. No Capítulo são aprsntadas as dfnçõs do problma d crp. Alguns modlos da vscolastcdad são aprsntados dscutdos, tas como modlos d Klvn Mawll, modlos compostos modlos gnralzados. No Capítulo 3 é aprsntada uma forma d modlagm matmátca para o fnômno d crp staconáro, consdrando um modlo unaal postrormnt gnralzando para o modlo multaal d tnsõs. São aprsntadas também as toras d Endurcmnto Plo Tmpo Transcorrdo (Tm Hardnng Thor) Endurcmnto por Dformação (Stran Hardnng Thor). O Capítulo 4 é dstnado à aprsntação da formulação do MEF. São abordados os prncípos varaconas qu nvolvm o problma d crp staconáro. Também é aprsntado o algortmo mprgado na mplmntação do procsso tratvo, o Método d Nwton Raphson. No Capítulo 5 são aprsntados os rsultados obtdos comparaçõs com aquls dsponívs nas ltraturas ctadas. Por fm, o Capítulo 6, rfr s às conclusõs obtdas a partr das vrfcaçõs numércas, são aprsntadas algumas sugstõs para a contnudad dsta psqusa.

4 REVISÃO TEÓRICA DO FENÔMENO DE CREEP O crp também dsgnado por fluênca, é um fnômno qu s manfsta na forma d uma dformação lnta contínua qu o matral sofr quando submtdo a um stado d tnsão constant. Est fnômno é aclrado com o aumnto da tnsão ou da tmpratura, m alguns casos, pod sr aftado plo tmpo, pla duração do carrgamnto plas condçõs d posção. Para um caso ond a tnsão a tmpratura são mantdas constants, é aprsntado a sgur um gráfco qu mostra a varação das dformaçõs das taas d dformaçõs ao longo do tmpo lustrando o comportamnto d um matral sujto ao crp. FIGURA CURVA DE CREEP, Prmáro Scundáro Trcáro Dformação Total Taa d Dformação 0 t Em gral, as curvas d crp para os dvrsos matras sujtos ao fnômno são smlars à qu stá rprsntada na Fgura. Um nsao típco d crp através do qual s stablc uma rlação ntr a dformação unaal, a tnsão σ o tmpo t, consst m qu, o corpo d prova sja

5 submtdo a uma força d tração a uma tmpratura constant são rgstradas as dformaçõs sofrdas com o passar do tmpo. Estm dvrsos tpos d máqunas qu prmtm ralzar st nsao. Há máqunas qu prmtm nsaar o corpo d prova controlando a dformação ou a taa d dformação, outras prmtm nsaos a uma tnsão controlada. Pod s notar qu quando o corpo d prova sofr dformação longtudnal sua sção transvrsal dmnu a tnsão aumnta apsar da carga sr constant. Nos prmros anos d studo da tora d crp ss aspcto fo spcalmnt cudado foram dsnvolvdos mcansmos para assgurar qu a tnsão prmancss constant ANDRADE (1910). Postrormnt, houv a comprovação d qu a dformação s procssa a volum constant: stuação qu é assocada a uma condção d ncomprssbldad. Plo mnos na prmra apromação, passou s smplsmnt a controlar a modfcação da ára através da modfcação do comprmnto. A dformação nstantâna ( 0 ), qu ocorr mdatamnt após aplcação da carga, nclum dformaçõs lástcas plástcas qu somnt são dpndnts do nívl d tnsão (σ ) aplcada. ( σ ) 0 = 0 (8) Obsrvando s a curva d fluênca aprsntada na Fgura, podm s dstngur três rgõs com comportamntos dfrnts. Incalmnt tm s um procsso transtóro caractrzado por uma taa d dformação dcrscnt. Em sguda aprsnta s uma rgão ond a taa d dformação atng um valor mínmo prmancndo constant. Vrfca s qu para uma tmpratura constant sta taa d dformação ( ) é função somnt da tnsão (σ ):

6 ( ) = σ (9) no últmo sgmnto da curva d crp, o matral flu a uma taa d dformação crscnt até ocorrr a ruptura do corpo d prova. Cada uma dstas rgõs são conhcdas nas ltraturas como: crp prmáro, scundáro trcáro rspctvamnt. O crp scundáro também é conhcdo como crp staconáro. A subdvsão das curvas d crp m três rgõs é, d crta forma, convnconal. Por mplo: a part lnar, típca do procsso d fluênca staconára, nm smpr stá prsnt. Dpndndo do valor da tnsão a qu o matral stá sujto a curva d crp pod não atngr a fas staconára. Esta fas pod sr omtda passando da prmra para a trcra fas drtamnt. A part scundára d crp fca rduzda a um ponto d nflão na curva d crp. Na Fgura 3, qu aprsnta um gráfco para nívs d tnsão ond σ 1 < σ < σ 3 < σ n 1 < σ n, pod s obsrvar o comportamnto das dvrsas fass d crp. FIGURA 3 CURVAS DE CREEP PARA VARIAÇÕES DE TENSÃO A TEMPERATURA CONSTANTE σ crscnt σ n σ n 1 σ 3 σ σ 1 t Consdrando s qu para cada nívl d tnsão há uma dformação corrspondnt, é mas convnnt trabalhar com a taa dformação, do qu com a dformação propramnt dta. Dvrsos autors propusram prssõs matmátcas

7 das mas varadas para s dtrmnar a taa d dformação : ( ) = σ (10) Algumas dlas são basadas m conctos puramnt mpírcos, outras m fundamntação físca. A sgur são aprsntados alguns modlos rológcos. Ests modlos facltam o ntndmnto do comportamnto d alguns matras as formulaçõs dstas prssõs matmátcas qu modlam o problma d crp..1 MODELOS REOLÓGICOS PARA CREEP O comportamnto dos matras vscolástcos sob carrgamnto aal pod sr rprsntado por modlos rológcos, qu são capazs d rprsntar d forma mas clara como as tnsõs dformaçõs mudam com o passar do tmpo. Os modlos são bascamnt rprsntados por molas amortcdors a fm d smular o comportamnto do matral quando sujto a dformaçõs d crp. Prmramnt srão aprsntados os modlos clásscos, o modlo para um sóldo lástco o modlo d um fludo vscoso, postrormnt srão aprsntados os modlos consdrando matras vscolástcos, ond são msturados os modlos d forma a aprsntar um mlhor comportamnto dsts matras..1.1 COMPORTAMENTO DE UM SÓLIDO ELÁSTICO O comportamnto d um sóldo lástco lnar pod sr rprsntado smplfcadamnt por um modlo d mola. Através do modlo é possívl rprsntar a rsposta do matral quando submtdo a um carrgamnto qualqur, como s vê na Fgura 4 () (). A constant da mola (k), rprsnta o módulo d lastcdad do

8 matral. Est modlo mostra a rlação ntr força (F) dslocamnto (U), F = k U, podndo rprsntar, dssa forma, a rlação tnsão dformação da Elastcdad lnar dada pla l d Hook, ond σ é a tnsão, E o módulo d lastcdad do matral a dformação: σ = E (11) FIGURA 4 MODELO DE MOLA L 0 F 1 k L 0 U U () () Obsrvando a Fgura 5, nota s qu no caso lástco, a dformação obtda no ntrvalo d tmpo t 1, Fgura 5 (), é a msma consdrando dvrsas formas d aplcação d tnsão (a), (b) ou (c), Fgura 5 (). Pod s obsrvar qu para o tmpo t 1 a dformação é msma ndpndnt da hstóra d carrgamnto sofrda plo matral. Est comportamnto sugr qu para cada valor d dformação st uma únca tnsão corrspondnt. Esta rlação d tnsão dformação pod sr rprsntada por: σ ( t ) = k ( t ) (1) ond k é a constant lástca do matral k(t) = ct.

9 FIGURA 5 GRÁFICO TENSÃO E DEFORMAÇÃO POR TEMPO, MATERIAL SÓLIDO ELÁSTICO σ σ 0 (a) (b) (c) t 1 t t () 0 (a) (b) (c) t 1 t t ().1. COMPORTAMENTO DE UM FLUIDO VISCOSO O comportamnto vsco lnar é aprsntado d forma smlar ao antror, utlzando um sstma d amortcdor como s obsrva na Fgura 6. A constant μ rprsnta o cofcnt d vscosdad. A rlação força vrsus taa d dslocamnto é stablcda por F = µ U. D modo análogo ao caso antror pod s rlaconar a tnsão com a taa d dformação, chgando s a: d σ = µ dt = µ (13)

30 FIGURA 6 MODELO AMORTECEDOR F L 0 1 µ L 0 U U () () S a tnsão aumnta até σ 0 num tmpo t 0 é mantda constant, um fludo lnar vscoso não atngrá um stado d dformação constant. Havrá uma dformação contínua com o tmpo. Em outras palavras, o amortcdor sofrrá dformação contínua a uma taa constant quando for submtdo a um passo d tnsão constant conform a Fgura 7 (), como é o caso da carga (a). FIGURA 7 GRÁFICOS TENSÃO, DEFORMAÇÃO E TAXA DE DEFORMAÇÃO PELO TEMPO, MATERIAL VISCOSO σ σ 0 c a b t 1 t () t a c b t 1 t t a () c b t 1 t t ()

31 Supondo qu s atnja a taa d dformação no tmpo t 1, através dos camnhos (a), (b) (c) conform a Fgura 7, vrfca s qu, para os dvrsos camnhos d tnsão, a taa d dformação no tmpo t 1 é a msma. Obsrva s também qu as dformaçõs no tmpo t 1 são dfrnts. Pod s conclur qu a tnsão não dpnd da dformação m t 1, nm do valor prévo da dformação. A tnsão dpnd somnt da taa d dformação no tmpo t 1. Esta rlação ntr tnsão taa d dformação pod sr rprsntada por: σ ( t ) = µ ( t ) (14) Vrfca s qu, para matras qu aprsntam comportamnto vscolástco, a mlhor forma d s rprsntar a rsposta das dformaçõs é fazndo uma combnação do modlo lástco (mola) com o modlo vscoso (amortcdor). Dntr os modlos ncontrados na ltratura, srão aprsntados a sgur os modlos d Mawll Klvn, os modlos compostos qu são combnaçõs ntr os modlos Mawll Klvn..1.4 MODELO DE MAXWELL O modlo d Mawll é consttuído por um lmnto d mola acoplado ao amortcdor m sér, conform a Fgura 8 (). As rlaçõs ntr tnsão dformação são dfndas plas quaçõs abao. a Equação consttutva da mola: σ = k (15) k b Equação consttutva do amortcdor: σ µ = µ 1 (16)

3 FIGURA 8 MODELO DE MAXWELL σ σ σ 0 0 k µ 1 t 1 σ 0 / k σ 0 t / µ σ 0 /k σ σ=k 0 t σ σ 0 /k σ 0 t / µ t 1 t t 0 t () () () Como os lmntos são conctados m sér, ntão, a dformação total é dada por: = k µ (17) a taa d dformação é dada por: = k µ (18) Drvando a quação (15) m rlação ao tmpo consdrando a quação (16) pod s scrvr (18) como: σ σ = (19) k µ

33 Obsrvando a quação (19), nota s qu s a mola for rígda k=, o modlo s rduz ao fludo Nwtonano. Da msma forma s o amortcdor s tornar rígdo μ =, o modlo s rduz a uma mola. Rsolvndo a quação dfrncal (19) pod s obtr rsposta do modlo d Mawll a város tpos padronzados d tnsão ou dformação dpndnts do tmpo. Por mplo, consdrando σ = σ 0 quação (19), obtém s: t = t 0 como condçõs ncas para a σ 0 σ 0 ( t ) = t (0) k µ Isto pod sr vsto na Fgura 8 (). O modlo d Mawll prvê qu há um aumnto lmtado da dformação. Isto é uma caractrístca d mutos fludos, por sso os matras qu podm sr dscrtos pla quação (0) são conhcdos como fludos d Mawll. S houvr dscarrgamnto no tmpo t 1 obsrva s uma rcupração da dformação da mola nquanto qu a dformação no amortcdor prmanc. S uma dformação 0 for mantda constant ao longo do tmpo, obsrva s uma rlaação na tnsão, Fgura 8 (), pla solução da quação dfrncal (19) a tnsão fca: k t 0 µ ( ) = k σ t (1) A quação (1) dscrv a rlaação da tnsão para o modlo d Mawll quando o matral é submtdo a uma dformação constant.

34.1.5 MODELO DE KELVIN O modlo d Klvn é aprsntado na Fgura 9, ond o lmnto d mola é lgado ao lmnto d amortcdor m parallo. A mola o amortcdor têm a rlação tnsão dformação aprsntada por: a Equação consttutva da mola: σ k = k () b Equação consttutva do amortcdor: σ µ = µ (3) FIGURA 9 MODELO DE KELVIN σ σ σ 0 k µ t 1 σ 0 /kµ t σ σ/µ 1 t c t 1 t () ()

35 Como os lmntos são conctados m parallo, ntão as rlaçõs das tnsõs das dformaçõs são dadas por: σ = σ k σ (4) µ A quação (4) pod sr rscrta como ( t ) = k ( t ) µ ( t ) σ (5) Rsolvndo a quação (5) obtém s uma forma para o crp sob um stado d tnsão constant σ 0 para o tmpo t 0 = 0. k t σ 0 µ ( t ) = 1 (6) k Obsrvando a Fgura 9 nota s qu dformação crsc a uma taa dcrscnt a um valor assntótco quando o tmpo tnd a nfnto a σ 0. A rsposta da k dformação do modlo para uma aplcação abrupta da tnsão, é qu no prmro nstant, a tnsão é suportada plo amortcdor. Sob um stado d tnsão o amortcdor s alonga transfr gradatvamnt a força para o lmnto d mola, até fnalmnt a tnsão sr transfrda totalmnt sobr a mola. A taa d dformação para o modlo d Klvn sob tnsão constant é dada por: k t 0 µ σ = (7) µ

36.1.6 MODELOS COMPOSTOS Tanto o modlo d Mawll quanto o modlo d Klvn são lmtados para rprsntar o comportamnto dos matras vscolástcos. Por mplo, o modlo d Mawll não mostra a rcupração dpndnt do tmpo não mostra a taa d dformação dcrscnt sob um stado d tnsão constant típca do stágo prmáro d crp. Já o modlo d Klvn não b a dformação ndpndnt do tmpo no carrgamnto ou no dscarrgamnto não mostra a dformação prmannt após o dscarrgamnto. Em função dstas nconsstêncas, outros modlos são aprsntados na ltratura. Por mplo, pod s adotar um modlo ond Mawll Klvn são conctados m sér formando uma cada, conform a Fgura 10. A quação consttutva do modlo pod sr dscrta consdrando a rsposta da dformação sob tnsão constant d cada lmnto acoplado m sér. A dformação total para o tmpo t srá a soma dos três lmntos, ond a mola o amortcdor do lmnto d Mawll são consdrados dos lmntos, conform a Fgura 10 (). FIGURA 10 MODELO COMPOSTO MAXWELL KELVIN EM SÉRIE σ σ σ 0 Elmnto d Mawll k 1 1 0 t 1 t Elmnto d Klvn µ 1 k µ 3 A θ φ 3 B C BC = OA A D σ 1 σ 0 t 1 /µ 1 () 0 t t 1 ()

37 Nss modlo tm s qu a dformação total é a soma d três parclas: = (8) 1 3 ou anda = (9) 1 3 ond, 1 é a dformação da mola com constant d rgdz k 1 σ 1 = k 1 (30) é a dformação do amortcdor com cofcnt d vscosdad μ 1, qu pod sr avalada m função da taa : σ = (31) µ 1 Fnalmnt, 3 dtrmnada a partr da quação (5). é a taa d dformação sgundo o modlo d Klvn, k σ 3 3 = µ µ (3) Obsrva s qu o comportamnto do crp proposto nst modlo é a soma dos modlos d Mawll Klvn. Portanto sobrpondo s as quaçõs (0) (6), obtém s:

38 k t σ σ σ µ ( t ) = 0 0 t 0 1 (33) k 1 µ 1 k A prmra parcla da quação (33), m trmos d k 1 μ 1, corrspond ao modlo d Mawll a sgunda parcla, m trmos d k μ, corrspond modlo d Klvn. Dfrncando s a quação (33) obtém s a taa d dformação d crp: k t σ 0 σ 0 µ ( t ) = (34) µ 1 µ A taa d crp nca s num tmpo t prómo d zro t = 0, ntão: σ ( ) 0 σ 0 0 = = tg ( θ ) (35) µ 1 µ a rsposta para um tmpo nfnto t = é: σ ( ) = 0 = tg ( φ ) (36) µ 1 ond θ φ são as nclnaçõs da rta tangnt tal como pod sr obsrvado na Fgura 10 (). S a tnsão σ 0 for rtrada no tmpo t 1, a dformação sgundo o modlo composto para um tmpo t maor qu t 1 é dada por:

39 k 1 t k t σ 0 σ 0 µ ( ) µ t = 1 t 1 (37) µ 1 k Obsrvando s a quação (37) juntamnt com a Fgura 10 () pod s notar qu a rcupração da dformação é dada ncalmnt pla rcupração lástca, sguda da rcupração da dformação d crp a uma taa dcrscnt. O sgundo trmo da quação (37) tnd a zro, nquanto o prmro trmo rprsnta a dformação prmannt..1.7 MODELOS GENERALIZADOS Os comportamntos dos matras vscolástcos podm sr rprsntados por modlos qu combnam molas amortcdors m sér ou m parallo, alguns modlos srão aprsntados a sgur..1.7.1 MODELO DE MAXWELL GENERALIZADO Acoplando s alguns modlos d Mawll m sér conform Fgura 11 ou m parallo tal como a Fgura 1, formam s os modlos gnralzados com rspostas dfrnts para o comportamnto do matral. FIGURA 11 MODELO DE MAXWELL GENERALIZADO EM SÉRIE µ 1 k 1 µ k µ k

40 A quação consttutva para o caso m sér dada por: 1 1. (38) n n ( t ) = σ ( t ) σ ( t ) = 1 k = 1 µ FIGURA 1 MODELO DE MAXWELL GENERALIZADO EM PARALELO k 1 k k 3 k 1 k µ 1 µ µ 3 µ 1 3 A quação consttutva para o caso m parallo é dfrnt da antror, pos a dformação m cada undad é dada por: ( t ) σ ( t ) σ ( t ) = (39) k µ qu é quvalnt a quação (3.9), ond m um nsao d crp chga s a: n 0 σ 0 ( t ) = σ t (40) k µ = 1.1.7. MODELO DE KELVIN GENERALIZADO Da msma forma qu o modlo d Mawll, o modlo d Klvn também aparc nas confguraçõs parallo conform a Fgura 13, m sér tal como a Fgura 14 a sgur.

41 FIGURA 13 MODELO DE KELVIN GENERALIZADO EM PARALELO k 1 µ 1 k µ k 1 1 µ 1 1 k µ A quação consttutva para o modlo d Klvn m parallo é dada por: n ( ) = ( t ) k ( t ) µ σ t (41) = 1 n = 1 FIGURA 14 MODELO DE KELVIN GENERALIZADO EM SÉRIE k 1 k k µ 1 µ µ Ond a tnsão m cada undad é dada por: ( t ) = k ( t ) µ ( t ) σ (4) a dformação para o modlo gnralzado é dtrmnada por: ( ) σ k t n µ 0 t = 1 (43) = 1 k

4 O modlo gnralzado d Klvn m sér é mas convnnt do qu o modlo gnralzado d Mawll para matras vscolástcos ond há hstóras d tnsõs prscrtas. Entrtanto, o modlo d Mawll é mas convnnt para casos ond há hstóras d dformaçõs prscrtas. Em função dos dfrnts tmpos d rlaação qu sts modlos aprsntam, ambos prmtm uma dscrção mas ralsta do comportamnto do matral ao longo do tmpo do qu os modlos mas smpls. Para modlar os matras qu aprsntam comportamnto vscolástco, é convnnt tomar valors lmts para as constants da mola ou do amortcdor. Dv s notar qu tanto o modlo d Mawll com constant da mola nfnta quanto o modlo d Klvn com a constant da mola gual a zro, corrspondm a um caso smpls d um amortcdor. Ao contráro, o modlo d Mawll com vscosdad nfnta ou o modlo d Klvn com vscosdad gual a zro rsultam num lmnto mola.

43 3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O FENÔMENO DE CREEP Nst capítulo é aprsntada a formulação matmátca para o problma d crp staconáro no stado unaal d tnsõs qu, m sguda, srá gnralzada para um stado multaal d tnsõs. 3.1 CREEP SOB ESTADO UNIAXIAL DE TENSÃO O fnômno d crp para o stado unaal d tnsõs pod sr rprsntado por uma quação gral do tpo: c ( σ ) g ( t ) h ( T ) = f (44) ond c é a dformação d crp f, g, h são funçõs prssas m trmos d tnsão (σ), tmpo (t) tmpratura (T) rspctvamnt. Estas prssõs matmátcas aprsntam s na ltratura d váras manras são capazs d rprsntar com alguma atdão os rsultados obtdos d forma prmntal. São aprsntadas a sgur algumas dstas quaçõs, [Bol (1983)]. a Equaçõs m função da tnsão: Norton ( ) n f σ = b σ (45) Prandtl f ( ) = C snh ( ασ ) σ (46) Dorn f ( ) = d p ( βσ ) σ (47) Garafolo f ( ) = A [ snh ( γσ )] n σ (48)

44 Frcton strss f ( ) = b ( σ σ ) n σ (49) 0 b Equaçõs m função do tmpo: Scondar Crp ( t ) g = t (50) Bal ( ) n g t = At (51) t Andrad ( ) 3 φ g t 1 bt 1 = (5) Graham Walls ( ) g t = a j t (53) j m j c Equação m função da tmpratura d acordo com a l d Arrhnus: H h ( T ) = A p (54) RT ond H é a nrga d atvação, R constant d Boltzmann T a tmpratura absoluta. No ntanto dv s lvar m consdração dos aspctos: o prmro, a quação (44) só contmpla os casos m qu a tmpratura a tnsão prmancm constants, o sgundo para a análs d problmas qu nvolvm varaçõs na tnsão tmpratura. Sgundo KRAUS (1980), stm dos camnhos a sgur: a A rsposta do matral dpnd somnt do stado m qu o corpo s ncontra;

45 b A rsposta do matral dpnd plctamnt da hstóra, ou sja, do procsso d carrgamnto, tmpratura, dformação a qu o corpo fo submtdo. O prmro camnho conduz a rlaçõs consttutvas do tpo quaçõs d stado. O sgundo é conhcdo na ltratura como matral com mmóra. Dvdo ao fato d strm poucas nformaçõs prmntas quanto aos matras com mmóra, mutos trabalhos têm sdo dsnvolvdos para a dtrmnação das apromaçõs qu nvolvm quaçõs d stado, pos aprsntam as sgunts vantagns: a Têm sdo ntnsamnt aplcadas, dspondo d uma grand quantdad d rsultados prmntas qu prmtm avalar o grau d confabldad dos rsultados. b São, m gral, prssõs mas smpls, d fácl manpulação computaconal, m vrtud d uma analoga com problmas d lastcdad, são faclmnt ncorporados aos programas automátcos d cálculo já stnts. c Os parâmtros dos matras qu ntrvêm nstas quaçõs são obtdos por mo d nsaos. Por outro lado, o dsnvolvmnto d quaçõs consttutvas capazs d nclur os casos d varaçõs do stado d tnsão é um procsso muto complcado. Part dsta dfculdad s dá porqu a maora dos rsultados prmntas stnts foram obtdos m condçõs d tmpraturas constants. Isto mplca qu a maora das quaçõs consttutvas têm sdo propostas m bass d gnralzaçõs das quaçõs d crp para tnsão constant. Dado qu stas gnralzaçõs são por s msmas lmtadas m númro, daí dcorrm numa grand quantdad d toras para uma msma hstóra d

46 carrgamnto, mutas dlas aprsntando rsultados dfrnts ntr s. A sgur são aprsntadas duas das toras utlzadas para problmas unaas. 3.1.1 Tora d Endurcmnto por Tmpo Transcorrdo (Tm Hardnng Thor) A Fgura 15 aprsnta squmatcamnt a dfrnça ntr as toras utlzadas para o problma d crp unaal. FIGURA 15 TEORIAS DE ENDURECIMENTO POR TEMPO TRANSCORRIDO OU POR DEFORMAÇÃO Dformação d crp E H Dformação d crp a tnsão σ constant F C Endurcmnto por dformação Endurcmnto plo tmpo B t a c D A G Dformação d crp a tnsão σ 1 constant O a Tmpo () Tnsão σ σ 1 σ > σ 1 ta Consdr s a quação consttutva d crp a uma tnsão (σ) uma ()

47 tmpratura (T) constant. c ( σ ) g ( t ) h ( T ) = f (55) dada por: Drvando s a quação (55), obtém s a taa d dformação d crp, qu é ( ) h ( T ) c dg t = f ( σ ) (56) dt A Tora d Endurcmnto por Tmpo Transcorrdo, conhcda na ltratura com Tm Hardnng Thor, consst m s stablcr qu para cada caso d varação d tnsão, a taa d dformação d crp é dada por uma nova prssão smlar a quação (56), como sgu: c ( σ ) G ( t ) H ( T ) = F (57) Tomando s o caso partcular da l d Bal Norton c m n = Aσ t (58) ond A, m n são constants qu dpndm do matral da tmpratura, tm s por ssa a prssão: c c m n 1 = = A σ nt (59) t Obsrvando a Fgura 15 (), nota s qu para as tnsõs σ 1 σ stm

48 rspostas dfrnts para as dformaçõs d crp. O sgmnto OG rfr s a rsposta para tnsão σ 1 o sgmnto OF para a tnsão σ aplcadas dsd o tmpo t 0. D acordo com Tora d Endurcmnto Plo Tmpo Transcorrdo, para o nívl d tnsão σ 1 a rsposta sgu num tramo OA da curva, corrspondnt as dformaçõs ocorrdas dvdo a st nívl d tnsão. Quando a tnsão passa para o valor σ no nstant t a, a rposta da dformação no sgmnto AB, corrspond a um dslocamnto vrtcal do sgmnto EF, para o ponto A. Obsrva s qu há uma mudança da taa d varação da dformação do sgmnto OA para o sgmnto AB corrspondnt a mudança d tnsão. 3.1. Tora d Endurcmnto por Dformação (Stran Hardnng Thor) A Tora d Endurcmnto por Dformação stablc qu a taa d dformação d crp passa a sr uma função do stado m qu s ncontra o corpo, dpndnt do stado d tnsão, tmpratura dformação d crp acumulada: c c ( σ ) G ( ) H ( T ) = F (60) Uma vz qu a taa d dformação d crp dpnd plctamnt da dformação, ssa tora é conhcda como Tora d Endurcmnto por Dformação ou Stran Hardnng Thor. Tomando s o caso partcular da l d Bal Norton c m n = Aσ t (61) Tm s por ssa tora qu

49 1 n c t = (6) m A σ ntão, 1 m c n n (63) = A n σ ( ) ( n 1 ) c n Para ssa tora a rsposta aprsntada na Fgura 15 é dfrnt da tora d ndurcmnto por tmpo. Quando a tnsão passa d σ 1 para σ no nstant t a, a rsposta da tora por dformação no sgmnto AC, é obtdo transladando horzontalmnt o sgmnto DH para o ponto A. Sgundo BATHE (1996) a Tora d Endurcmnto por Dformação aprsnta mlhors rsultados para varação nas condçõs d tnsõs. FEIJÓO, TAROCO E GUERREIRO (1983) rssaltam qu, m gral, os nsaos ralzados com programas d carga varávl mostram qu a Tora d Endurcmnto por Dformação s comporta mlhor do qu a Tora d Endurcmnto por Tmpo Transcorrdo. Entrtanto é ntrssant dstacar qu a Tora d Endurcmnto por Tmpo Transcorrdo tm sdo amplamnt usada m vrtud d crtas smplfcaçõs matmátcas mplíctas nsta formulação. Nas subsçõs antrors foram aprsntadas as quaçõs consttutvas unaas sgundo as toras d ndurcmnto por tmpo transcorrdo por dformação. Da forma m qu stas toras foram aprsntadas, mostrou s qu sua aplcação stá rstrta a problmas m qu o stado tnsão sofr pouca varação. Estas quaçõs não contmplam problmas qu nvolvm cargas ou dscargas altrnadas, ond dv s lvar m consdração os fnômnos d rcupração rlaação.

50 tnsõs. Srá fto, a sgur, uma tnsão dssas toras para o stado multaal d 3. CREEP SOB ESTADO MULTIAXIAL DE TENSÃO Ao s analsar um sóldo sob condçõs multaas d tnsõs, dv s lvar m consdração alguns rqustos do ponto d vsta do fnômno d crp. Assm como na plastcdad, tas consdraçõs são parcalmnt comprovadas prmntalmnt. O prsnt trabalho srá rstrto ao caso da fluênca staconára sotrópca. Nssa condção, dvrão sr váldas as sgunts obsrvaçõs: a A formulação multaal dv sr rduzda a uma corrta formulação unaal quando for rqurdo; b O modlo dv prssar a constânca d volum qu fo obsrvado prmntalmnt durant o procsso d fluênca, ou sja, o traço do tnsor taa d dformaçõs dv sr nulo. Tal rstrção é assocada mutas vzs a uma condção d ncomprssbldad consdrando pqunas dformaçõs; c As quaçõs consttutvas dvm rfltr a prda d nfluênca das tnsõs hdrostátcas qu fo obsrvado prmntalmnt para fluênca; d Para matras sotrópcos, as drçõs prncpas d tnsõs dformaçõs dvm concdr. Obsrvando s a Fgura 3 nota s qu um nívl d dformação pod sr alcançado mas ou mnos rapdamnt por uma únca tnsão constant, ou por um programa d varação d tnsõs. Isto sgnfca qu as dformaçõs por fluênca dpndm do hstórco d tnsõs. Nssas condçõs as dformaçõs d crp são

51 prssas m trmos d taas. As dformaçõs dcorrnts do crp, assm como na plastcdad, não são aftadas plas prssõs hdrostátcas sndo possívl avalá las somnt m trmos do tnsor dsvador d tnsõs, conform mostra a quação a sgur: c j = ζ S,j= 1,,3 (64) j sndo ζ é um fator d proporconaldad S j é o tnsor dsvador d tnsõs. Est tnsor pod sr dtrmnado conform a quação (65) S j 1 = σ j σ kk δ j (65) 3 ond δ j é o dlta d Kronckr, sndo δ j = 1 s =j δ j = 0 s j. σ j é o tnsor d tnsõs d Cauch, dado por: σ 11 σ 1 σ 13 σ j = σ 1 σ σ 3 (66) σ 31 σ 3 σ 33 A quação (64) satsfaz ao trcro rqusto (c), dvdo ao uso do tnsor dsvador d tnsõs qu prssa a ndpndênca das tnsõs hdrostátcas, mas também ao quarto rqusto, já qu as componnts d tnsão d dformação são colnars. Esta quação é dnomnada d rgra d fluo m analoga ao caso d plastcdad fo proposta por Prandtl Russ [KRAUS, 1980]. Na sqüênca, dtrmna s o fator d proporconaldad λ aprsntado na quação (64). Prmramnt, dfn s a tnsão quvalnt d von Mss: σ = 3J (67)

5 sndo qu J é o sgundo nvarant do tnsor dsvador d tnsõs, qu val: S j S j J = (68) Da msma forma, pod s dfnr a taa d dformação ftva d crp: c 4 = I (69) 3 I = c j c j (70) ond I é o sgundo nvarant do tnsor taa d dformação. Sgundo KRAUS (1980) σ c também podm sr scrtos como: 1 [( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ σ )] 1 σ = 11 33 11 33 6 1 3 13 (71) c c c c c c c c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c = 11 33 33 11 6 1 13 3 3 (7) 1 Substtundo s a l d crp aprsntada na quação (64) m (7) para uma taa d dformação ftva d crp obsrvando a quação (67) para uma tnsão ftva ncontra s:

53 3 ζ = σ c d dt (73) Esta quantdad é obtda prmntalmnt a partr d um nsao d tnsão unaal. Para satsfazr o prmro rqusto (a) para os casos multaas obsrva s o uso d quantdads ftvas, ou sja, a formulação multaal pod sr rduzda a uma formulação unaal. Consdrando um caso unaal ond σ 11 0 as dmas tnsõs sjam guas a zro, a quação (67) rduz s a σ = σ 11. Além dsso, m um caso c c c unaal 0, =, consdrando a constânca d volum, qusto (b) no 11 33 problma d crp, ntão: (condção d ncomprssbldad) c c c 0 (74) 11 33 = c c 1 c = 33 = 11 (75) Substtundo s a quação (75) m (7) chga s: c c = 11 (76) obtém s: Consdrando s a quação (64) substtundo s m (74) os trmos acma, ( S S ) 0 c c c 11 33 = ζ S 11 33 = (77) Tomando s a l d Bal Norton, quação (58), stndndo a para um caso multaal obtém s:

c m n = Aσ t (78) 54 ntão, 3 c d 3 m 1 n 1 = An σ t σ dt ζ = (79) Pod s, dsta forma, prssar a Tora d Endurcmnto por Tmpo Transcorrdo como: c 3 m 1 n 1 S j An σ t j = (80) Da msma forma a Tora d Endurcmnto por Dformação como: 1 m 1 n n 1 c ( ) n c 3 = n j S j A n σ (81)

55 4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA PARA SOLUÇÃO DO FENÔMENO DE CREEP 4.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O Método dos Elmntos Fntos (MEF) consst m uma técnca para solução apromada d sstmas contínuos, ond o corpo m análs é dscrtzado num númro fnto d parts, dnomnados d lmntos, qu são conctados ntr s através d pontos ou nós. A formulação do comportamnto do lmnto é fta com bas m prncípos nrgétcos da Mcânca do Contínuo, qu rsultam m rlaçõs ntr forças dslocamntos para cada lmnto. O MEF tm sua formulação basada nos métodos d Ralgh Rtz d Galrkn. O método d Rtz é um dos mas conhcdos dntr os métodos varaconas para obtnção d soluçõs apromadas. Nss método as funçõs qu forncm a solução do problma são substtuídas por funçõs apromadoras. Procura s uma função, dntr todas as funçõs admssívs, qu mnmz um dtrmnado funconal. A scolha adquada para stas funçõs é mportant para s obtr uma boa apromação para solução do problma. Dntr os métodos d rsíduos pondrados, o método d Galrkn é o mas conhcdo. Nss método os fators d pondração utlzados são as própras funçõs mprgadas para dfnr as funçõs d apromação. Ambos os métodos utlzam funçõs apromadoras, qu dvm satsfazr as condçõs d contorno, para rsolvr o sstma d quaçõs dfrncas. Partcularzando o MEF para problmas qu são basados m dslocamntos, ssas funçõs apromadoras são scrtas m função das componnts d dslocamntos nodas do lmnto fnto. A sgur srá dscrta, d forma sucnta, a formulação do lmnto

56 soparamétrco quadrlatral para solução d problmas bdmnsonas. As consdraçõs são basadas m ltraturas sobr o MEF, como por mplo: BATHE (1996), ZIENKIEWICZ (1980), COOK (1988), GRANDIN (1986) outros. 4. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO BIDIMENSIONAL Para avalar o campo d dslocamnto num problma plano, é proposta a sgunt ntrpolação: u = N U (8) u são os dslocamntos num ponto gnérco, U são as componnts d dslocamnto nodas, Ν a matrz d funçõs d ntrpolação. As componnts d dformação são dadas por: = u (83) ond Δ é o oprador dfrncal aplcado, = 0 0. Então para o caso d pqunas dformaçõs, pod s scrvr as componnts do tnsor d dformação corrspondnt ao problma plano como sndo: u =, u =, u u = (84)

57 ou anda, m trmos dos dslocamntos nodas, = BU (85) sndo B a matrz dos opradors dfrncas ndcados na quação (83), mas aplcado sobr os dslocamntos nodas. A rlação consttutva ntr tnsão dformação é dada por: σ = D (86) ond D é a matrz qu contém os parâmtros lástcos do matral. Essa matrz é dtrmnada conform o problma proposto, no caso bdmnsonal, pod star rlaconada ao stado plano d tnsão, stado plano d dformação ou stado assmétrco d tnsõs, qu são dscrtas a sgur. Para problma d stado plano d tnsão, tal matrz fca: 1 ν 0 E D = ν 1 0 (87) ( 1 ν ) 1 ν 0 0