VII Congresso de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade de Évora 14 a 16 de Abril de 2003

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1 VII Congrsso d Mcânca Aplcada Computaconal Unvrsdad d Évora 14 a 16 d Abrl d 003 DETERMINAÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA DA INTENSIDADE ESTRUTURAL EM PLACAS H. Rs Lops 1 J. Das Rodrgus RESUMO Na análs d struturas mcâncas m vbração, a ntnsdad strutural rprsnta a dstrbução do fluo d potênca transfrda ntr as fonts os absorsors d nrga por propagação d ondas lástcas d tnsão. O dvrgnt da ntnsdad strutural dntfca a localação na strutura das fonts dos absorsors d nrga. O conhcmnto da ntnsdad strutural do su dvrgnt rvst-s d grand mportânca, pos prmt actuar d modo fca sobr a dstrbução do fluo d potênca numa strutura m vbração, qur altrando a sua trajctóra, ou através da sua dsspação por tratamntos suprfcas passvos. Assm, com bas na ntnsdad strutural podm dsnvolvr-s soluçõs d solamnto d vbraçõs por aplcação d dsspadors m rgõs prómas das fonts d nrga dntfcadas d acordo com o trajcto do fluo d nrga. Nst studo é aprsntada a formulação analítca a formulação numérca por lmntos fntos para a dtrmnação, m rgm staconáro harmónco, do fluo d potênca do su dvrgnt m placas. A formulação analítca assnta na tora d Krchhoff d placas na solução da quação dfrncal do movmnto utlando a técnca da sobrposção modal. Na formulação por lmntos fntos é adoptada uma mtodologa d dtrmnação drcta da ntnsdad strutural do su dvrgnt. Um studo comparatvo ntr a solução analítca a solução numérca por lmntos fntos para uma placa smplsmnt apoada valda o procdmnto proposto d dtrmnação drcta da ntnsdad strutural m placas plo método dos lmntos fntos o qual é aplcado a uma placa d gomtra compla. 1 INTRODUÇÃO Os prmros studos sobr ntnsdad strutural rmontam à década d sssnta com trabalho publcado por Nosu [1]. A formulação aprsntada dsgnada d ntnsdad strutural é basada no concto ntnsdad acústca utlado na ára da acústca para dntfcar as fonts o fluo d potênca acústca. D forma análoga, o concto d 1 Assstnt do º Tréno, Insttuto Poltécnco d Bragança, Dpartamnto d Mcânca Aplcada, Bragança. Profssor Aular, Faculdad d Engnhara da Unvrsdad do Porto, Porto.

2 VII Congrsso d Mcânca Aplcada Computaconal 1380 ntnsdad strutural é aplcado às struturas para dntfcar o prcurso do fluo d potênca vbratóra ntr as fonts os dsspadors d nrga, através do cálculo do su dvrgnt localar as fonts os dsspadors d nrga. A caractração do fluo da nrga da sua trajctóra, dntfcando as fonts os dsspadors na strutura, prmt dsnvolvr soluçõs d forma a actuar fcamnt na dstrbução do fluo d nrga numa strutura m vbração, por altração da sua trajctóra, ou msmo, através da sua dsspação por tratamntos suprfcas passvos. FORMULAÇÃO GERAL DA INTENSIDADE ESTRUTURAL A ntnsdad strutural é uma granda vctoral qu rprsnta a dstrbução do fluo d potênca transfrda ntr a font o dsspador, ond o fluo d potênca ocorr por propagação d ondas lástcas através d um mo strutural contínuo. A ntnsdad strutural nstantâna, quantdad dpndnt do tmpo, rprsnta o fluo d potênca numa strutura através da drcção, do sntdo da ntnsdad. O vctor da ntnsdad strutural nstantâna dfn-s plo produto ntr o tnsor das tnsõs o vctor vlocdad, d acordo com a prssão [, 3]: σ (t) = [ σ] vɺ = τ τ τ σ τ τ τ σ vɺ vɺ vɺ Na fgura 1 rprsntam-s, para um lmnto nfntsmal d matral sotrópco lástco d um mo contínuo, as componnts do tnsor, do vctor vlocdad do vctor da ntnsdad strutural, as quas, d acordo com a prssão (1), stão orntadas no sntdo postvo. Tnsõs Vlocdads Intnsdad strutural σ v (1) σ τ τ τ τ τ τ σ v Fgura 1- Rprsntação das componnts do tnsor das tnsõs, da vlocdad da ntnsdad strutural nstantâna. v Por sua v, o vctor ntnsdad méda é uma quantdad vctoral ndpndnt do tmpo. Em rgm staconáro harmónco, cada componnt da ntnsdad strutural passa a sr prssa como função da frquênca d vbração ω. A aplcação da forma fasoral d ampltud fas à dfnção d ntnsdad strutural méda condu à rprsntação m notação compla da ntnsdad strutural méda, a qual s scrv na sgunt forma: { 1 ( ω) } = [ σ ( ω) ]{ v ( )} ω Π ɺ () ond o símbolo dsgna uma quantdad compla, nquanto qu o símbolo rprsnta o complo conjugado.

3 Sssão IV Tópcos Multdscplnars m Mcânca 1381 Todava, a ntnsdad méda m notação compla pod anda prmr-s plas suas componnts ral magnára: Π ( ω) = I( ω) + j J( ω) (3) { } { } { } Fscamnt, a componnt ral { ( ω) } I da ntnsdad méda, dsgnada d ntnsdad actva, rprsnta a propagação do fluo d potênca actva por undad d scção transvrsal, a partr da font para os lmntos dsspatvos d nrga. Por su lado, a componnt magnára { J ( ω) }, dsgnada d ntnsdad ractva, rprsnta a dstrbução do fluo d potênca ractva por undad d scção transvrsal. Esta componnt rprsnta a rcrculação da nrga ntr a font a strutura vbratóra, a qual rsulta do dsqulíbro nrgétco ntr os lmntos struturas d massa rgd do sstma. Através do dvrgnt do vctor ntnsdad strutural dntfca-s a localação das fonts dos absorsors d nrga, rspctvamnt através dos mámos dos mínmos da função ntnsdad strutural. Gnrcamnt, o dvrgnt da ntnsdad strutural é dfndo pla sgunt prssão: ( ω) I( ω) I( ω) + k I dvi( ω ) = I( ω) = j + (4) 3 INTENSIDADE ESTRUTURAL POR VIA ANALÍTICA As placas são struturas planas qu aprsntam uma das dmnsõs, a spssura, muto nfror m rlação às outras duas, sgundo as quas ocorr a propagação da nrga d vbração produndo o fluo d potênca. A formulação para placas a sgur aprsntada assnta na tora d Krchhoff, na qual s dspra a dformação provocada plas tnsõs d cort ao longo da spssura. Esta é uma boa apromação m placas fnas com spssura 1/100 nfror m rlação à mnor das outras duas dmnsõs. Por dfnção, a ntnsdad strutural nvolv a dstrbução dos campos d tnsõs d vlocdads na placa. Porém, as tnsõs stão drctamnt rlaconadas com os sforços ntrnos na placa pla tora da lastcdad. Assm, a ntnsdad strutural na placa pod sr dfnda como rsultado da contrbução dos város sforços actuants nas drcçõs da placa multplcados plas vlocdads qu lhs stão assocadas. Na fgura rprsntam-s, para o plano médo da placa, os sforços os dslocamntos gnralados, cujos sntdos são adoptados como postvos. w θ θ Q Μ Q Μ Μ Fgura - Rprsntação dos sforços, dslocamntos rotaçõs no plano médo d uma placa. Dst modo, para cada uma das drcçõs da placa, m rgm staconáro harmónco, a ntnsdad strutural vm dfnda por:

4 ond VII Congrsso d Mcânca Aplcada Computaconal 138 [ M Q M (, ) θ (, ) + (, ) θ (, ) (, )w (, ) ] jω Π (,, ) ω = + (5) [ M Q M (, ) θ (, ) + (, ) θ (, ) (, )w (, ) ] jω Π (,, ) ω = + (6) M ɶ (, ) M ɶ (, ) rprsntam os momntos flctors, M ɶ (, ) M ɶ (, ) os momntos torsors, Q (, ) Q (, ) os sforços d cort, w ɶ (, ), θɶ (, ) θɶ (, ) rprsntam, rspctvamnt, o complo conjugado do dslocamnto transvrsal da placa, o complo conjugado da rotação sgundo o o o complo conjugado da rotação sgundo o o. D acordo com a tora d Krchhoff, os sforços ntrnos podm prmr-s uncamnt a partr do campo d dslocamntos das rspctvas drvadas spacas m [4]. Além dsso, conform rfrdo, a ntnsdad strutural pod prmr-s nas componnts ral magnára, dsgnadas d ntnsdad actva ntnsdad ractva, rspctvamnt. Com fto, dpos d fctuadas as rspctvas substtuçõs, a ntnsdad actva a ntnsdad ractva na placa m rgm staconáro harmónco dfnm-s plas sgunts prssõs: ωd I(, ) = Im 1 ν ωd J(, ) = R 1 ν w (, ) w (, ) ( w w ) (, ) ) + ( w (, ))w (, (, ) w(, ) w (, ) ( w w ) (, ) ) + ( w (, ))w (, (, ) 3 ond ω é a frquênca d vbração, ν é o cofcnt d Posson, D Eh 1( 1 ν ) módulo d rgd à flão da placa ( ) 3.1 Aplcação (7) (8) = o = ; ;0 o oprador nabla. Na fgura 3 rprsnta-s uma placa smplsmnt apoada na qual são aplcados uma força harmónca tror d frquênca ω um amortcdor localado do tpo vscoso d constant C. t

5 Sssão IV Tópcos Multdscplnars m Mcânca 1383 p Fcos(ωt) p c c C t b h Caractrístcas a=3 m b=1.7 m h=0.01 m E= Pa ρ aço =7850 kg/m 3 F=1000 N C t =100 Ns/m p =0.6 m c =. m p =0.4 m c =1. m f=50 H a Fgura 3 Placa smplsmnt apoada submtda a uma ctação harmónca com amortcmnto trno. A solução analítca para a rsposta staconára d uma placa smplsmnt apoada é dtrmnada através da rsolução da quação dfrncal d movmnto rcorrndo ao torma da pansão, o qual é basado nas proprdads d ortogonaldad das funçõs caractrístcas das formas naturas d vbração [5]. Dst modo, a rsposta m dslocamnto vm prssa como uma sobrposção das dfrnts funçõs caractrístcas das formas naturas d vbração da placa multplcadas plos rspctvos factors d partcpação modal. Assm, o campo d dslocamntos w (,, t) para a placa smplsmnt apoada m rgm staconáro harmónco d frquênca ω com amortcmnto vscoso trno localado C t vm dfndo por [6]: w(,, t) = n= 1 m= 1 n m n m π π π π F sn p sn p + R sn c sn c nπ mπ a b a b sn sn cos( ωt) a b Dab n π m π Mω 4 + a b 4 ond R é a ampltud da força dsnvolvda no amortcdor qu é dada pla prssão []: nπ mπ nπ mπ sn c sn c sn p sn p a b a b R(t) = jωfc t cos( ωt) n= 1m= 1 Dab n π m π ρabhω nπ mπ + + jct sn c sn c 4 a b 4 a b w m (9) é calculado com uma bas modal truncada, m consquênca os sforços dnâmcos ntrnos, a slcção da dmnsão da bas modal truncada é condconada pla convrgênca do sforço d cort. Com fto, o sforço d cort nvolv a trcra drvada spacal do campo d dslocamntos assum, assm, uma mportânca dtrmnant na prcsão da dtrmnação da ntnsdad strutural. Na fgura 4 rprsntam-s os factors d partcpação modal para o campo d dslocamntos para o campo d sforço d cort da placa smplsmnt apoada corrspondnts a uma malha [00] dos modos naturas d vbração. Nsta rprsntação pod obsrvar-s qu, por um lado, o maor contrbuto corrspond aos modos stuados na banda da frquênca d ctação (f=50h), por outro lado, qu os modos d frquênca mas lvada assumm um maor rlvo para o sforço d cort do qu para o dslocamnto. Assm, pos, a prcsão da ntnsdad strutural é fortmnt condconada pla convrgênca do sforço d cort com a dmnsão da bas modal truncada ncluída na análs. Como o campo d dslocamntos (,, t) (9) (10)

6 VII Congrsso d Mcânca Aplcada Computaconal Contrbução modal Partcpação modal Dslocamntos Esforço d cort Frq. natural [H] Fgura 4 Rprsntação dos factors partcpação modal do dslocamnto do sforço d cort Q (,) da placa smplsmnt apoada. Na fgura 5 pod obsrvar-s a rprsntação do fluo d potênca o rspctvo dvrgnt na placa smplsmnt apoada, truncando a sobrposção modal com malhas d, 44, modos naturas d vbração. Fgura 5 Fluo d potênca dvrgnt para a placa smplsmnt apoada com a ctação a (0.6m ; 0.4m) o amortcdor a (.m ; 1.m) para o númro d modos, Os mapas d ntnsdad strutural rprsntados na fgura 5 vdncam sr ncssáro um númro lvado d modos naturas d vbração para uma corrcta rprsntação do fluo d potênca do su dvrgnt para a dntfcação da font do dsspador d nrga vbratóra. Nst caso, o fluo d potênca propaga-s prfrncalmnt pla rgão nfror da placa convrgndo fnalmnt para a posção do amortcdor. A

7 Sssão IV Tópcos Multdscplnars m Mcânca 1385 potênca actva forncda convrg para o valor d W a potênca ractva convrg para W. 4 INTENSIDADE ESTRUTURAL POR VIA NUMÉRICA No procdmnto d dtrmnação da ntnsdad strutural por rcurso ao método dos lmntos fntos optou-s, m altrnatva ao método da sobrposção modal, por uma mtodologa d dtrmnação drcta da ntnsdad strutural do su dvrgnt a partr do modlo spacal rsultant da dscrtação por lmntos fntos. O método dos lmntos fntos assnta na dscrtação spacal do domíno por lmntos ntrlgados ntr s por nós prmt analsar o comportamnto dnâmco d uma strutura através dos dslocamntos nodas rspctvos sforços ntrnos dnâmcos. Para uma solctação do tpo harmónco { ( )} { jωt f t = F} m qu o vctor { F} rprsnta as ampltuds das forças nodas d ctação ω a frquênca d ctação, a quação matrcal do movmnto m rgm staconáro harmónco toma a sgunt forma [5]: [ [ ] [ ] [ ] { V ω m + jω c + k } = { F} ond [ m ] é a matr d massa gnralada [ ] (11) partr da assmblagm das matrs lmntars d massa [ ] k a matr d rgd gnralada, obtdas a m d rgd [ k ]. A matr [ c ] é a matr d amortcmnto global d tpo vscoso nclu o amortcmnto ntrno trno corrspond aos amortcdors trnos localados. As componnts complas do vctor { V } rprsntam a ampltud a fas dos dslocamntos nodas gnralados consttum a rsposta staconára harmónca do sstma. da rsposta staconára harmónca do sstma A partr do vctor d ampltuds { V } tram-s os vctors { V ɶ } d dslocamntos nodas dos lmntos dtrmnam-s os sforços ntrnos gnralados { Q ɶ } m cada lmnto fnto, dfndos pla sgunt prssão: { Q } = ( ω m + k ){ V } ɶ ɶ (1) Aplcando a formulação da ntnsdad actva a cada lmnto fnto, o fluo d potênca I m cada nó d um lmnto é dtrmnado através dos sforços dnâmcos gnralados das corrspondnts vlocdads gnralados. Assm, o fluo d potênca I, d um lmnto d placa são dfndos plas sgunts para as drcçõs, ( ) prssõs: I ( ) [ ] ω ( I ) Im ( M ) ( θ ) + ( M ) ( θ ) + ( Q ) ( ) = w (13) [ ] ω ( I ) Im ( M ) ( θ ) + ( M ) ( θ ) + ( Q ) ( ) = w (14)

8 VII Congrsso d Mcânca Aplcada Computaconal 1386 m qu ( ) w é o complo conjugado do dslocamnto transvrsal do nó, ( θ ) ( θ ) são o complo conjugado das rotaçõs, ( M ɶ ), ( M ɶ ), ( M ɶ ) ( ) momntos flctor torsor complos ( Q ɶ ) ( ) Q ɶ o sforço d cort complo. M ɶ são os A partr do fluo d potênca ou ntnsdad strutural dtrmna-s, por drvação spacal, o dvrgnt da fluo d potênca, o qual prmt dntfcar a localação das fonts dsspadors d nrga, rspctvamnt mámos mínmos da função ntnsdad strutural. Adoptando o método das dfrnças fntas cntras, o dvrgnt do fluo d potênca m cada nó da malha d lmntos fntos para a drcção da placa é dfndo por: ( I ) ( I ) ( I ) = (15) ( I ) ( I ) ( I ) = (16) para = 1,,..., N, ond rprsnta o nó gnérco da malha, o passo na drcção, o passo na drcção N o númro d pontos d dscrtação m cada drcção da placa. 4.1 Aplcaçõs Rtomando a confguração da placa smplsmnt apoada aprsntada na fgura 3, dscrtada numa malha d [3034] lmntos fntos quadrátcos d placa [7] com ntgração slctva, procdu-s à dtrmnação do fluo d potênca do su dvrgnt qu s aprsntam na fgura 6. Fgura 6 Fluo d potênca dvrgnt para a placa smplsmnt apoada com a ctação a (0.6m ; 0.4m) o amortcdor a (.m ; 1.m). A análs comparatva ntr a rprsntação do fluo d potênca obtdo por va analítca, fgura 5, a rprsntação do fluo d potênca obtdo por lmntos fntos, fgura 6, vdnca grafcamnt uma boa concordânca ntr ambos os rsultados. Rfra-s qu a solução plo método dos lmntos fntos é dtrmnada drctamnt a partr do

9 Sssão IV Tópcos Multdscplnars m Mcânca 1387 modlo spacal, não nvolvndo a truncatura modal da solução analítca. Rlatvamnt ao dvrgnt, a solução por lmntos fntos dntfca d forma corrcta a localação da ctação do amortcdor. Dst modo, valda-s o procdmnto proposto d dtrmnação da ntnsdad strutural do su dvrgnt m placas plo método dos lmntos fntos. Para lustrar a aplcação do procdmnto proposto a placas d gomtra compla, consdr-s a placa smplsmnt apoada aprsntada na fgura 3 na qual fo crada uma dscontnudad através da nsrção d uma abrtura rctangular no su ntror, sndo o bordo ntror da placa consdrado como smplsmnt apoado, conform s rprsnta na fgura 7. Fcos(ωt) d d a b C t Caractrístcas a=0.5m b=0.4m d=0.9m d=0.5m Fgura 7 Placa smplsmnt apoada com dscontnudad submtda a uma ctação harmónca com amortcmnto trno. Na fgura 8 rprsnta-s o fluo d potênca o su dvrgnt calculados plo método dos lmntos fntos para as condçõs d funconamnto aprsntadas na fgura 3. Fgura 8 Fluo d potênca dvrgnt para a placa dscontínua com a ctação a (0.6m ; 0.4m) o amortcdor a (.m ; 1.m). Com a ntrodução da dscontnudad na placa vrfca-s uma altração sgnfcatva na dstrbução do fluo d potênca. Com fto, na prsnça da dscontnudad, o fluo d potênca propaga-s pla rgão supror da placa contornando a dscontnudad. A localação da ctação do amortcdor é corrctamnt dntfcada plo dvrgnt da ntnsdad strutural.

10 { T } VII Congrsso d Mcânca Aplcada Computaconal CONCLUSÃO Nst trabalho fo dsnvolvdo um procdmnto para a dtrmnação da ntnsdad strutural do su dvrgnt m placas por rcurso ao método dos lmntos fntos. Em altrnatva à técnca da sobrposção modal utlada na formulação analítca, ond é ncssáro nclur uma bas alargada d modos naturas d vbração, o procdmnto proposto assnta drctamnt nas quaçõs do modlo spacal obtdo por dscrtação plo método dos lmntos fntos. Com bas na formulação numérca mplmntada, através da dtrmnação análs da ntnsdad strutural do su dvrgnt numa placa dscontínua, dmonstrou-s a aplcabldad do procdmnto a placas d gomtra compla. Fnalmnt, rfra-s o ntrss ntrínsco à ntnsdad strutural ao su dvrgnt na caractração na dntfcação da trajctóra do fluo d potênca da localação das fonts dos dsspadors d nrga numa strutura m vbração, numa prspctva d dsnvolvmnto d soluçõs d solamnto d vbraçõs. REFERÊNCIAS [1] D. U. Nosu, Masurmnt of powr flow n unform bams and plats, Journal of Acoustcal Soct of Amrca vol 47, pp 38-47, [] G. Pavć, Masurmnt of Structur Born Wav Intnst, Part I: Formulaton of Th Mthods Journal of Sound and Vbraton vol 49(), pp 1-30, [3] G. Pavć, Enrg flow nducd b th structural vbratons of lastc bods, Procdngs of th Thrd Intrnatonal Congrss on Intnst Tchnqus, Snls- Franc, August [4] S. P. Tmoshnko S. Wonowsk-Krgr, Thor of Plats and Shlls, 1959, nd Edton, McGraw-Hll. [5] J. F. D. Rodrgus, Apontamntos da dscplna d Dnâmca das Estruturas, Faculdad d Engnhara da Unvrsdad do Porto,1999. [6] L. Gravć, Influnc Of Local Modfcatons on Enrg Flow In Thn-Walld Structurs Phd Thss, Unvrsté d Tchnolog d Compègn, Dcmbr [7] Klaus-Jürgn Bath, Fnt Elmnt Procdur, Prntc Hall, 1996.