Edson B. Ramos Féris

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1 Edson B. amos Férs

2 - MÉTODO ACADÊMICO E MÉTODO PÁTICO DE CÁCUO DE CICUITOS PAA TENSÕES E COENTES ATENADAS Método acadêmco A l d Krchhoff das tnsõs, qu aplcamos aos crcutos d corrnt contínua é adaptál para os crcutos d corrnt altrnada. Sa o caso, por xmplo, do crcuto mostrado na fg.-. Est crcuto é prcorrdo por uma corrnt altrnada qu ara t. com o tmpo, ou sa, ( ) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) Fg. - Supondo qu a dfrnça d potncal no rsstor é ( t), no ndutor é ( t) dfrnça d potncal ( t), na ntrada do crcuto, obdc a quação. ( t) + ( t) + ( t) ou ( t) ( t) ( t) + amos supor qu a corrnt, m função do tmpo, sa dada pla xprssão: ( ) ( t+α ) ( t) I cos ( t + α ) ou ( t) I Plo qu á studamos, podmos scrr: [ ] ( t+α ) ( t) I [ ] ( t+ α ) ( t) I [ ]+ ( t+α ) Portanto ( t) I ( t+ α ) [ I ] [ ] [ ] ( t + α ) ( t+ α ) ( t+ α ) ou ( t) I + I ( + ) I [ ] ( t+α ) ou ( t) I -, a ond +

3 Not-s, qu as mpdâncas m crcutos, com lmntos ratos, rsulta alors complxos. amos consdrar, ssa mpdânca, na forma polar. r fg. -. Nst caso θ - Substtundo - m -, tm-s [ ] θ ( t+ α ) ( t) I [ ] ( t+ α + θ ) ou ( t) I I cos ( t + α + θ ) ( t) I ( t + α + θ ) cos Portanto ( t) cos ( t + φ ) ond I -3 φ α + θ - 4 Método prátco d cálculo No método prátco usamos, ncalmnt, a l d Ohm connconal: (l d ohm) Sabndo qu ( t) I ( t +α ) cos, ntão scrmos: α I Tmos, também: θ Substtundo os alors complxos d na xprssão da l d Ohm, rsulta: θ α ( α + θ ) I I ou ( α +θ ) I -5 Sabmos, qu a tnsão, m função do tmpo, possu a forma gral: cos t ( +φ ) Nst caso, tomando por bas a xprssão -5, trmos:

4 Ampltud d ( t ) módulo d Fas d ( t ) φ argumnto d rfcação: I ( α +θ ) φ α + θ I Comparando stas xprssõs com -3-4, mos qu s chgou ao msmo rsultado. Dtrmnação da mpdânca. Para r mas adant, drmos calcular θ. θ Fg. - + ( ) tgθ ou θ tg Portanto + ( ) I cos t + α + tg Exrcíco - No crcuto da fg. -, a corrnt létrca possu frqüênca d 6 Hz uma fas orgnal d 3 graus ( 6 π ). Os componnts do crcuto têm os sgunts alors: 3 Ω, 83 H 3

5 Sab-s qu a corrnt létrca possu a forma co-snodal com frqüênca d 6 Hz ampltud d A. Dtrmnar a ampltud a fas φ do snal. Solução: πf π rd / s + 3 +, ( 3 + 3,3 ) Ω ( 3,3 ) 4, θ tg tg, ,86 rd 46, I 4,34 4,34 3 olt φ α + θ , 76,,3 rd Gnralzação do cálculo da mpdânca Como á mos a mpdânca d um crcuto é, gralmnt, um númro complxo, ou sa: al + magnáro Nst caso, na forma polar trmos: θ ond (al) + (Imagnáro) θ tg Imagnáro al Exmplo: Crcuto C m sér. Sa a mpdânca formada plos três componnts mostrados na fg. -3.b. 4

6 C (a) (b) Fg. -3 Nst caso fca: + C + C + C θ tg C Portanto cos t ( +φ ) ond I + I C ond I é a ampltud da corrnt φ α + θ α + tg C ond α é a fas orgnal da corrnt Exrcíco - No crcuto mostrado abaxo, tm-s os sgunts componnts: 6 3 Ω, 83 H C 4,3 F C 5

7 Uma corrnt co-snodal, d ampltud, A frqüênca 377 rd/s fas orgnal nula, prcorr st crcuto. Dtrmnar: a) A ampltud da tnsão. b) A dfrnça d fas ntr sta tnsão a corrnt. Solução: + + C C θ ond + C φ tg C +, , Ω θ tg, ,3 3 6,79 rd 45,3 Portanto a ampltud da tnsão fca: I 47, 4, 7 A fas srá:,79 45,3 φ + θ rd ond A xprssão matmátca da tnsão srá: 4,7cos( 377t,79) [ olt ] Assocação d ndutors m sér Sa o crcuto da fg. - 4 Fg

8 Dada uma frqüênca, a mpdânca total fca: + ( + ) ( + ) - 6 ond + -7 As xprssõs -6-7 mostram qu dos ndutors m sér qualm a um únco ndutor cuo alor é a soma dos ndutors ndduas. Podmos gnralzar dzndo qu n ndutors m sér qualm a um únco ndutor cuo alor é a soma dos n ndutors ndduas. Capactors m sér Sa o crcuto da fg. -5 C C Fg. -5 Dada uma frqüênca, a mpdânca total fca: C + C C + C C + C C C -8 ond C + -9 C C ou CC C C + C As xprssõs -8-9 mostram qu dos capactors m sér qualm a um únco capactor cuo nrso d su alor é gual a soma dos nrsos dos alors dos capactors ndduas. Podmos gnralzar dzndo qu n capactors, C, C,... C n m sér, qualm a um únco capactor cuo nrso do alor obdc a xprssão: 7

9 C C + C C n Exrcíco -3 Os crcutos (a) (b) são qualnts. Dtrmnar C. H 3H 3 6 F C 6 F (a) (b) Solução: H CC C C + C F Corrnt nos drsos componnts d um crcuto amos agora dtrmnar a corrnt létrca produzda por uma dfrnça d potncal m uma mpdânca qualqur. r fg. -6. θ z Fg. -6 amos calcular plo método prátco: Usando a l d Ohm connconal, tm-s 8

10 (l d ohm) z Supondo qu a tnsão d ntrada m função do tmpo sa ( t) ( t +α ) cos Então, na forma complxa fca α Como θ sulta α - θ Sabmos qu acorrnt, m função do tmpo, tm a forma gral: I cos t ( + φ ) Ond, rfrndo-s à xprssão complxa -, a ampltud dssa corrnt é gual ao módulo d sua fas é gual ao argumnto d. Como α θ ( α θ ), ntão Ampltud: I Fas: φ α θ Portanto, a xprssão da corrnt fca: cos t ( + α θ ) Exrcíco - 4 No crcuto mostrado a sgur, tm-s os sgunts componnts: 6 3 Ω, 83 H C 4,3 F 9

11 C Nos trmnas d ntrada dst crcuto tm-s uma tnsão co-snodal, d ampltud 3, frqüênca 377 rd/s fas orgnal nula. Dtrmnar: a) A ampltud da corrnt. b) A dfrnça d fas ntr sta corrnt a tnsão. Solução: θ + + C C ond + C θ tg C 3 +, , Ω θ tg, ,3 3 6,79 rd 45,3 a) A ampltud da corrnt srá: 3 I, A b) A fas srá: φ θ,79 rd 45,3 A xprssão matmátca da corrnt fca: I,78cos( 377t +,79) [ Ampr ] Utlzação da l d Krchhoff das corrnts m crcutos d corrnt altrnada. Também, para corrnts altrnadas, a soma das corrnts létrcas m um nó é nula.

12 Também, para corrnts altrnadas, a soma das corrnts létrcas m um nó é nula. amos consdrar o crcuto da fg. -7. Fg. -7 Nss crcuto tm-s + + ou + - Mas - Substtundo as quaçõs - m -, rsulta: + + ou ond + Conclusão: - As duas mpdâncas m parallo mostradas na fg. -7 podm sr substtuídas por uma únca mpdânca cuo alor nrso é gual a soma dos alors nrsos das mpdâncas ndduas. Gnralzação: - S hour n mpdâncas m parallo, las podm sr substtuídas por uma únca mpdânca cuo alor nrso é gual a soma dos alors nrsos das n mpdâncas ndduas n

13 Concto d admtânca A admtânca m a sr o alor nrso da mpdânca. Su símbolo matmátco unrsal é a ltra Y. Portanto: Y Nst caso a quação -3 pod assumr a forma: Y Y + Y + Y Y n ond Y, Y, Y, Y 3, , 3 Y n n A fg. -8 mostra a qualênca d admtâncas m parallo Y Y Y 3 Y n Y Y + Y + Y Y n Fg. -8 Assocação d ndutors m parallo Sa o crcuto da fg. -9 Fg. -9 Supondo qu o snal létrco possu uma frqüênca, as mpdâncas dsts ndutors são: Suas admtâncas são:

14 3 Y Y A admtânca qualnt é: Y + + Portanto Y ond + Gnralzação: - S hour n ndutors m parallo, ls podm sr substtuídos por um únco ndutor cuo alor nrso é gual a soma dos alors nrsos dos n ndutors ndduas. n Assocação d capactors m parallo Sa um crcuto formado por n capactors m parallo. r Fg. -. C n C C 3 C Fg. - As mpdâncas ndduas dsss componnts são: C, C, 3 3 C, , n n C Suas admtâncas ndduas são: C Y, C Y, C Y 3 3, , C Y n n A admtânca qualnt fca: Y n Y Y Y Y

15 ou Y ( C + C + C + + ) 3 C n ou ond Y C C C + C + C + + C 3 n Conclusão; - Quando s tm n capactors m parallo st conunto qual a um únco capactor cuo alor da capactânca é gual ao alor da soma das capactâncas ndduas. Obsração: Conclusão: - Quando o oprador stá no dnomnador, l pod sr transfrdo para o numrador, com o snal algébrco trocado Exrcíco -6 Supondo qu os crcutos abaxo são qualnts, dtrmnar os alors d C. 3 H H µf 5 µf C Solução: + + 3, H C C + C µ F + 5 µ F 35 µ F 4

16 Exrcíco -7 No crcuto abaxo tm-s a tnsão létrca ( t) cost, ond 3 olt a frqüênca é 6 Hz. Dtrmnar: a) A ampltud a fas da corrnt. b) A xprssão matmátca dssa corrnt., 33 H C 6,6 µ F 6 Ω Solução: Usando-s a l d Ohm connconal tm-s: ou Y Supondo qu β Y Y rsulta: Y β β Y Ampltud da corrnt: I Fas da corrnt φ arg β Y Portanto Y cos ( t + β ) Cálculo da admtânca: πf π rd / s Y 5

17 Y C C C Y G Y Y + Y + YC + C Y ,7 6 3,67,74 377,33 3 Y 3 3 (,67 ) + (,74 ),4 3 Ω 3,74 β tg tg (,4),8 rd 46,4 3,67 A ampltud da corrnt fca: 3 I Y,4 3, 75 A A dfrnça d fas ntr a corrnt a tnsão é: φ β,8 rd 46,4 b) Exprssão matmátca da corrnt ( 377,8),75cos t Exmplos d cálculos d tnsõs corrnts m crcutos ratos utlzando o método prátco d cálculo. amos dtrmnar a tnsão no crcuto da fg. - + Fg

18 Sa ( t) E cost Então Então; E E E -4 + Ampltud da tnsão: Fas da tnsão: φ arg Exrcíco -9 No crcuto abaxo as mpdâncas são dadas m ohm. A ampltud da força ltromotrz é sua fas orgnal é nula. Dtrmnar a ampltud a fas d S 5 Solução: Comparando o crcuto dado com o da fg. -, mos qu: 5 Aplcando a fórmula -4, fca: π + 5 ψ ond 5 ψ tg, 46 rd 5, π,46 5, π,46 8,94, Ampltud: 8, 94 olt Fas: φ arg, rd 66,

19 Uso do torma d Thnn-Norton Com rfrênca à fgura -, amos usar o torma d Thnn-Norton para calcular a corrnt. Suponha qu a força ltromotrz tnha ampltud E fas orgnal sa zro. Portanto E E S Fg. - A fg. -3 mostra a prmra transformação: E S S E S S Fg. -3 Nssa fgura tm-s: E S S S -5 S + A fg. -4 mostra a últma transformação: 8

20 S E S S S Fg. -4 Nsta fgura tm-s a noa força ltromotrz S E S S E S -6 S Portanto, a corrnt é dada por: -7 S + Substtundo -6 m -7 rsulta: S -8 S E ( + ) S Nst caso trmos ond: ( t) I cos( t + φ ) Ampltud da corrnt: I Fas da corrnt: φ arg 9

21 Exrcíco - No crcuto abaxo as mpdâncas são dadas m ohm. A ampltud da força ltromotrz é sua fas orgnal é nula. Dtrmnar a ampltud a fas d S S 5 C Solução: S mos qu:, 5 S S Aplcando a fórmula -5, rsulta: + S 5 Aplcando a fórmula -8 tm-s: S E ( + ) S S 5 ( 5 5) 5 5 ψ ond tg 5 π ψ rd, 4 ψ π 4 ou, 4 Ampltud: I, 4 A π Fas: φ rd 45 4 Exprssão numérca da corrnt :

22 π ( t),4cos t + ampr Uso das quaçõs d malhas Como xmplo, amos utlzar o crcuto da fg. -5, dtrmnar a corrnt a tnsão na mpdânca, ou sa, rspctamnt. S S Fg. -5 Equaçõs: Malha : + + ( ) S S Malha : ( ) + Agrupando trmos d msma ncógnta rsulta: + Malha : ( S ) S Malha : + ( + ) amos rsolr por dtrmnants S + + ( )( ) S S S + S + S S

23 S + S S + S + S S t I Ampltud da corrnt ( ) Fas da corrnt ( t) φ arg t Ampltud da tnsão ( ) Fas da tnsão ( t) φ arg Exrcíco -3 Usando o msmo crcuto os msmos dados do xrcíco -, dtrmnar. S S 5 C Solução: S mos qu:, 5 S S Aplcando a fórmula -9, rsulta: + S S S +

24 5 5 π 4 Mas,4 Portanto, 4 π 4,4 π 4 Ampltud d : I, 4 ampr Fas d : π φ 4 rd Aplcando a fórmula -, rsulta: π 5 5 Portanto π 4,4 5 π π 4 ou 7, 7 Ampltud d : 7, 7 olt Fas d : π φ 4 rd Exprssão numérca da corrnt ( t) π ( t),4cos t + ampr 4 : Exprssão numérca da tnsão ( t) : π ( t) 7,7 cos t olt 4 Not qu ntr a corrnt no capactor sua tnsão, xst uma dfrnça d fas gual a π rd ou sa, 9 graus. 3

25 UTIIAÇÃO DO OPEADO S PAA O CÁCUO DE CICUITOS COM TENSÕES E COENTES ATENADAS. Oprador S. Em crcutos com tnsõs corrnts altrnadas, utlzarmos o parâmtro s tal qu s Dsta manra, as mpdâncas dos componnts fcam: Indutânca: fca s Capactânca: C fca C C Cs sstênca: fca Ao s dsnhar um crcuto, coloca-s as mpdâncas dos componnts nsta noa forma. Dsta manra, durant o cálculo das corrnts tnsõs do crcuto não trmos opraçõs com grandzas complxas. Após a dtrmnação da xprssão da corrnt ou da tnsão dsada, substtu-s s por calcula-s o módulo o argumnto da grandza calculada. O módulo srá sua ampltud o argumnto srá sua fas. Exmplos d aplcação do método do oprador s. Exmplo - Cálculo da corrnt da tnsão, no crcuto da fg. -. s Fg s Cálculo da corrnt : - s + 4

26 Cálculo da tnsão : s s - s + Substtundo-s s por nas xprssõs - -, fca: + + Supondo-s qu ( t) cos( t +α ), ntão α Nst caso, α -3 + α -4 + Os módulos das xprssõs -3-4 rprsntam as rspctas ampltuds dsss snas altrnados. Da msma forma, os argumntos dssas xprssõs -3-4 rprsntam as rspctas fass dsss snas altrnados. Consdração: - Por connção smpr s consdra, para o snal d ntrada, a fas A partr dst ponto starmos adotando sta connção. α. Portanto, ond Dssa manra tm-s: é a ampltud do snal d ntrada. + ond + ψ ( ) ψ tg -5 ou + ( ) ψ -6 ond ψ tg -7 ptndo-s o procdmnto para, fca: 5

27 + + π ψ ( ) ond ψ tg -8 ou + π ψ ( ) -9 ond ψ tg As ampltuds da corrnt ( t) da tnsão ( t), são rspctamnt: I + ( ) - + ( ) As fass da corrnt ( t) da tnsão ( t), são rspctamnt: φ tg π φ tg - Exmplo - Cálculo da corrnt da tnsão, no crcuto da fg. - Cs Cálculo da corrnt : Fg. - Cs - Cs + + Cs Cálculo da tnsão : -3 Cs Cs + Consdrando substtundo, na xprssão -, s por, rsulta: 6

28 C C + ou π C ond + ψ ( C) C tg ψ ou π ψ C + C ( ) ond C tg ψ Portanto, trmos: I C φ tg C ( ) + C π -4 Consdrando substtundo, na xprssão -3, s por, rsulta: ond C + + C ( ) ψ C tg ψ ou + ( C) ψ ond C tg ψ Portanto, trmos: φ tg C ( ) + C -5 Exmplo -3 Cálculo da corrnt da tnsão, no crcuto da fg. -3 Cs s Fg. -3 7

29 Cálculo da corrnt : Cs Cs + Cs + s + Cs Consdrando, tm-s: + Cs -6 Cs + Cs + Fazndo s, lmbrando qu s, rsulta: C C C + ou π C ond ψ ( C) + ( C) C ψ tg C ou C π ψ ( C) + ( C) ond C ψ tg C sulta: I C ( C) + ( C) π C φ tg C -7 Cálculo da tnsão s Substtundo o alor d dado pla xprssão -6, fca: Cs Cs + Cs + Substtundo s por : C C C + 8

30 ou π C ond ψ ( C) + ( C) C ψ tg C ou C ( π ψ ) ( C) + ( C) ond C ψ tg C Portanto, C ( C) + ( C) φ π tg C C -8 Exmplo -4 Cálculo da corrnt, da tnsão da corrnt no crcuto da fg. -4 Cs s Fg. -4 Incalmnt, agrupamos as mpdâncas parallas do ndutor do capactor rsultando uma mpdânca. r fg. -5. s Cs + fg. -5 Chga-s ao alor d por mo da opração algébrca: 9

31 s s Cs -9 s + Cs + Cs Cálculo d : ou + s Cs + Cs + ( Cs + ) Cs ( Cs + ) + + s + + s - Substtundo s por, fca: ( C + ) C + + C + λ ψ ( C) + ( ) ou C + ( λ ψ ) ( C) + ( ) ond ψ tg C λ para C ou λ π para C Portanto I C + - ( C) + ( ) φ tg C para C - ou φ π tg C para C -3 3

32 Cálculo d -4 substtundo -9 - m -4, tm-s: Cs ( Cs + ) + + s s Cs + ou s -5 Cs + + s Substtundo s por, tm-s C + + ( ) ( ) ψ C π + ou π ψ ( C) + ( ) ond ψ tg C Portanto: -6 ( C) + ( ) φ π tg C -7 Cálculo d Examnando, noamnt a fg. -4, mos qu a corrnt obdc a xprssão: s Substtundo, pla sua xprssão m -5, rsulta: 3

33 -8 Cs + + s Substtundo s por, tm-s C + + ( ) ( ) ψ C + ou ψ ( C) + ( ) ond ψ tg C Portanto: I -9 ( C) + ( ) φ tg C Exrcíco - Dado o crcuto abaxo, utlz as transformaçõs d Thnn-Norton dtrmn drtamnt a corrnt. Compar o rsultado com aqul da xprssão -8. Cs s Solução: Prmra transformação 3

34 a Cs s Agrupa-s a rsstênca a capactânca rsultando a mpdânca a. a Cs + Cs Cs + a a Cs + s Sgunda transformação a a a s Cálculo d a a + s a a + s Mas a Cs + 33

35 Portanto Cs + + s Cs + Cs + + s Ddndo por o numrador o dnomnador, rsulta: Cs + + s Comparando sta xprssão com -8, mos qu são dêntcas. Portanto, também fcam áldos os rsultados da ampltud fas dst snal Exrcíco - No crcuto do problma -, tmos os parâmtros: f khz,,6 mh, C,6 η F, Ω olt Dtrmnar a ampltud a fas da corrnt ( t) Solução: 4 πf π 6,8 Pla xprssão -9 tm-s: 4 rd s. I ( C) + ( ) [ ( 6,8 ),6,6 ] + ( 6,8,6 ) 7,9 ampr ou 7,9 mlampr I 7,9 ma Pla xprssão -3, tm-s: φ tg C 4 3 6,8,6 tg 4 3 6,8,6,6 ( ) 9,793 rd 45,4 φ,793 rd 45,

36 Transformação drta d font d tnsão para font d tnsão por mo do método d Thnn-Norton. Basando-s no torma d Thnn-Norton, dmonstrarmos, mas adant, qu a transformação mostrada na fg. -6 é alda, dsd qu AB sa a dfrnça d potncal ntr os pontos A B, AB sa o alor da rsstênca qualnt ntr os pontos A B quando s curto-crcuta a font d tnsão. A AB AB AB B Y Y Fg. -6 Dssa manra tm-s AB + AB + Supondo-s qu sta transformação sa álda, torna-s dsncssára a transformação ntrmdára para font d corrnt. Dmonstração dsta transformação A fg. -7 mostra as tapas connconas da transformação Thnn-Norton AB AB Fg

37 Exrcíco -3 Us a transformação drta d Thnn-Norton para dtrmnar a corrnt no crcuto abaxo. A 3 4 B Dados: cost ond olt Ω, 3 Ω, Ω 8 Ω Solução: A 3 4 AB B AB + AB + Mas Portanto AB AB + Ω AB O crcuto fca: 36

38 AB 3 AB 4 Nst caso tm-s AB ampr AB Ampltud: I ampr 3 4 Fas: φ Exrcíco -4 Us a transformação drta d Thnn-Norton para dtrmnar a tnsão no crcuto abaxo. A s B Dados: cost ond olt Ω, 3 Ω, Hnry rd / s Solução: A AB AB + B AB + Mas Portanto 37

39 AB AB + Ω AB O crcuto fca: AB AB s AB AB + s s AB AB s + s Fazndo s substtundo os parâmtros 6 6, Ω H rsulta AB AB ou π 6 ond ψ tg, 695 rd ψ + ou 38, 4 π ψ Ampltud: 38, 4 olt π π Fas: φ ψ,695, 876 rd

40 3 ESPOSTA EM FEQÜÊNCIA E ESSONÃNCIA Introdução Um crcuto létrco pod, também, sr chamado d rd létrca. Por rsposta m frqüênca d uma rd létrca ntnd-s o su dsmpnho, m rgm snodal, sobr uma gama d frqüêncas xctadoras. A rssonânca é uma condção spcfcamnt dfnda para uma rd qu contém os componnts,, C. Alguns dsss crcutos á foram usados, m capítulos antrors, m cálculos d tnsõs corrnts para snal altrnado com uma frqüênca spcífca. Para aprsntar a rsposta m frqüênca, são ftas duas plotagns (gráfcos) do snal dsado rsus frqüênca. Partndo do snal létrco, xprsso na forma complxa, uma das plotagns corrspond ao módulo (ampltud) a outra ao argumnto (fas) d um parâmtro létrco spcífco. A frqüênca pod sr dada m f (Hz) ou m (rd/s). Para facltar srá usada uma únca palara frqüênca para ndcar tanto f como. ds com dos ou quatro trmnas A fg. 3-.a mostra uma rd d dos trmnas. Est tpo d rd é, também, chamada, na ltratura técnca, d dpolo ou d rd d um únco acsso. Nla dfnmos uma tnsão uma corrnt. Ests parâmtros são ndcados como snas d ntrada ou d xctação da rd. O snal algébrco da tnsão o sntdo da corrnt, ndcados na fgura, são stablcdos por connção. Dpolo Quadrpolo (a) (b) Fg. 3- Uma rd d quatro trmnas é mostrada na fg. 3-.b. Esta rd pod, também, sr chamada d quadrpolo ou rd d dos acssos. Nla são dfndos os noos parâmtros. Estas grandzas são chamadas d snas d saída. Aqu, também o snal algébrco da tnsão o sntdo da corrnt foram dfndos por connção. Para a rd d um acsso, as funçõs da frqüênca qu nos ntrssa são a mpdânca ou a admtânca qu xst ntr os dos trmnas da ntrada: ntr ou Y ntr 39

41 Proprdads dos quadrpolos Os alors dos parâmtros d um quadrpolo podm sr computados m três stuaçõs spcífcas rlatas às condçõs d saída. Saída m abrto: I. Saída m curto crcuto:. 3 Trmnas d saída conctados a uma mpdânca d carga. Esta últma stuação stá lustrada na fg. 3-. Nst caso, pod-s r qu. Quadrpolo Fg. 3- Prncpas funçõs da frqüênca consdradas m um quadrpolo. lação admnsonal d tnsõs: ( ) H lação admnsonal d corrnts: ( ) Impdânca d ntrada: ( ) ntr Impdâncas d transfrênca: ( ) ( ) H I Todas stas grandzas são funçõs da arál. Alguns autors dsgnam as mpdâncas d ntrada d transfrênca, assm como suas corrspondnts admtâncas, também, plo símbolo H com um dtrmnado índc. Outros autors prfrm utlzar o símbolo H somnt para rlaçõs admnsonas. É o caso adotado nsta apostla. Os parâmtros H Assm, quando a saída stá m abrto ( H I dpndm das três stuaçõs d saída consdradas. ) dsgna-s H No caso m qu a saída stá m curto crcuto ( ) dsgna-s: 4

42 H I No caso mas gral m qu s tm, na saída, uma mpdânca smplsmnt:, dsgnam-s H H I Exmplo d um quadrpolo puramnt rssto. A fg. 3-3 mostra um xmplo dst tpo d quadrpolo, qu srá analsado na stuação d saída m abrto, ou sa,. Portanto. Fg H + constant Concluímos, nst xmplo d quadrpolo, qu o parâmtro H não dpnd d, sto é, l tm smpr o msmo alor qualqur qu sa a frqüênca do snal d xctação. Podrmos também dtrmnar a mpdânca d ntrada na msma stuação d saída m abrto. È fácl conclur qu ntr + constant mos qu, também sta mpdânca d ntrada é ndpndnt da frqüênca d xctação. 4

43 Exmplo d um quadrpolo consttuído por mpdâncas complxas: rd passa altas com saída m abrto ( ) A fgura 3-4 mostra um xmplo, dst tpo d quadrpolo, composto por uma rsstênca d uma ndutânca. s Fg s s s + s ou + s Portanto + s Substtundo s por, fca: H amos stablcr a dntdad: Nst caso trmos 4

44 H 3- ond Podmos, também scrr ss númro complxo na forma polar: ψ H ond ψ tg tg + lação ntr as ampltuds das tnsõs d saída d ntrada: H + 3- Dfrnça d fas ntr a tnsão d saída a tnsão d ntrada: φ argumnto d H ψ ou sa φ tg 3-3 mbrmos qu, nssas xprssõs, s tm 3-4 A tabla 3- mostra alors d H d φ para algumas frqüêncas. Tabla 3- H φ 9,5,447 63,4,77 45,894 6,6 43

45 A fg. 3-5.a mostra a cura d H rsus frqüênca. A cura d φ rsus frqüênca é mostrada na fg. 3-5.b. Esta cura é conhcda como rsposta m frqüênca da rd analsada. H (a),894,77,447 (b) φ 9 63,4 45 6,6,5,5 Fg. 3-5 Intrprtação d rsultados mos qu o parâmtro H é qualnt a rlação ntr as ampltuds do snal da saída o da ntrada, ou sa H Da msma forma, a fas φ rprsnta a dfrnça d fas (dfasagm) ntr os snas da saída da ntrada. Podmos obsrar qu para >>, tm-s ou φ Isto sgnfca qu o snal da saída possu, aproxmadamnt, a msma ampltud a msma fas do snal da ntrada. Portanto o snal passa da ntrada para a saída com quas nnhuma altração. Por outro lado, para << rsulta << ou << 44

46 φ 9 Isto sgnfca qu a ampltud do snal d saída fca muto mnor do qu a do snal da ntrada. Dz-s qu o crcuto atnua o snal d ntrada. Alm dsto, o snal atnuado d saída possu uma dfasagm d 9 m rlação ao snal da ntrada. Ddas a ssas proprdads, st crcuto é classfcado como rd passa altas frqüêncas, ou smplsmnt, rd passa altas. A frqüênca é, connconalmnt, chamada d frqüênca d cort. Nota: O nom complto da rd qu analsamos é: rd passa altas d prmra ordm. A ustfcata para o acréscmo prmra ordm aparcrá quando s studar tora d fltros d snas. Nst capítulo tratarmos apnas d rds d prmra ordm. Por smplfcação, omtrmos smpr os trmos prmra ordm ao mnconarmos as rds aqu studadas Exrcíco 3- Dtrmnar o alor do ndutor d uma rd passa altas, com a frqüênca d cort sa 3 Hz. Sab-s qu 3, 9 kω Solução: 3 π 3,89 rd s /., d tal modo qu Portanto, 3 3 x,89 3,9,7 H, 7 H rsão capacta da rd passa altas A fg. 3-6 mostra uma rd passa altas, com capactor C o rsstor., cuos componnts são o C s + C s Fg

47 + + C s C s Fazndo s rsulta H C Establcndo-s a dntdad C trmos; H 3-5 Podmos notar qu a xprssão 3-5 é dêntca a xprssão 3-. Isto acarrta a msma rlação ntr as ampltuds das tnsõs dfasagns forncdas plas xprssõs 3-3-3, ou sa H φ tg 3-7 As gualdad ntr as xprssõs a gualdad ntr faz com qu a tabla d alors sa a msma da tabla 3- as rspostas m frqüênca d H φ sam as msmas mostradas na fg mbrmos apnas qu, para sta rd capacta, s tm 3-8 C Exrcíco 3- Dtrmnar o alor do capactor d uma rd passa altas capacta, com tal modo qu a frqüênca d cort sa 3 Hz. Sab-s qu Solução: 3 π 3,89 rd / s 3, 9 kω., d 46

48 C ou C, ,9,89 7 F C,36 µf ds passa baxas suas rsõs Exstm, também duas rsõs para rd passa baxas frqüêncas. Uma é do tpo nduto outra é do tpo capacto. As fguras 3-7.a 3-7.b mostram, rspctamnt as rsõs nduta capacta para o caso d. s C s (a) (b) Fg. 3-7 Análs da rd passa baxas capacta mostrada na fg. 3-7.b + C s Cs C s + Cs + C s Fazndo s rsulta H + C s Establcndo-s a dntdad C trmos; 47

49 H ond C Podmos, também scrr ss númro complxo na forma polar: ψ H ond ψ tg tg + lação ntr as ampltuds das tnsõs d saída d ntrada: H + 3- Dfrnça d fas ntr a tnsão d saída a tnsão d ntrada: φ argumnto d H ψ ou sa φ tg 3- mbrmos qu, nssas xprssõs, s tm 3- C A tabla 3- mostra alors d H d φ para algumas frqüêncas. Tabla 3- H φ,5,894 6,6,77 45,447 63,4 3,36 7,6 9 48

50 A fg. 3-8.a mostra a cura d H rsus frqüênca. A cura d φ rsus frqüênca é mostrada na fg. 3-8.b. H (a),894,77,447,36,5 3 (b) 6, ,4 7,5 9 φ,5 3 Fg. 3-8 Intrprtação d rsultados mbrmos qu o parâmtro H é qualnt a rlação ntr as ampltuds do snal da saída o da ntrada, ou sa H Da msma forma, a fas φ rprsnta a dfrnça d fas (dfasagm) ntr os snas da saída da ntrada. Podmos obsrar qu para <<, tm-s ou φ Isto sgnfca qu o snal da saída possu, aproxmadamnt a msma ampltud a msma fas do snal da ntrada. Portanto o snal passa da ntrada para a saída com quas nnhuma altração. Por outro lado, para >> rsulta << φ 9 ou << 49

51 Isto sgnfca qu a ampltud do snal d saída fca muto mnor do qu a do snal da ntrada. Dz-s, também, qu o crcuto atnua o snal d ntrada. Alm dsto, o snal atnuado d saída possu uma dfasagm d 9 m rlação ao snal da ntrada. Ddas a ssas proprdads, st crcuto é classfcado como rd passa baxas frqüêncas, ou smplsmnt, rd passa baxas. A frqüênca é, também, connconalmnt, chamada d frqüênca d cort. Nota: Também aqu, o nom complto da rd qu analsamos é: rd passa baxas d prmra ordm. A ustfcata para o acréscmo prmra ordm também aparcrá quando s studar tora d fltros d snas. Como nst capítulo tratarmos apnas d rds d prmra ordm, por smplfcação, omtrmos smpr os trmos prmra ordm ao mnconarmos as rds passa baxas aqu studadas Exrcíco 3-3 Dtrmnar o alor do capactor d uma rd passa baxas capacta, com 3, kω. tal modo qu a frqüênca d cort sa. Hz. Sab-s qu 9 Solução: 4 π. 6,8 rd / s, d C ou C 4, ,9 6,8 9 F C 4,8 ηf Análs d uma rd passa baxas nduta, na forma d um quadrpolo trmnado com carga rssta. A fg. 3-9 mostra o squma létrco dst dsposto. s Fg. 3-9 Agrupando os rsstors rsulta + 5

52 Dsta manra, o crcuto s smplfca da manra mostrada na Fg. 3-. s Fg s l + s s + Fazndo s rsulta H + Establcndo-s a dntdad trmos; H Podmos notar qu a xprssão 3-3 é dêntca a xprssão 3-9 do fltro passa baxas capacto..isto acarrta a msma rlação ntr as ampltuds das tnsõs dfasagns forncdas plas xprssõs 3-3-, ou sa H φ tg 3-5 5

53 As gualdad ntr as xprssõs a gualdad ntr faz com qu a tabla d alors sa a msma da tabla 3- as rspostas m frqüênca d H φ sam as msmas mostradas na fg mbrmos apnas qu, para sta rd capacta, s tm 3-6 Como + Então 3-7 ( + ) Exrcíco 3-4 Dtrmnar o alor do ndutor d uma rd passa baxas nduta, trmnada com 6 Ω, d tal modo qu a frqüênca d cort sa. Hz. Sab-s qu 3, 9 kω. Solução: 4 π. 6,8 rd / s ( + ) 4 3 ( + ) 6,8 ( 3,9 + 6) 3 3,9 6 8,8 3 H 8, 8 mh Comportamnto do sntdo da audção humana O nosso sntdo d audção tm comportamnto logartmo, tanto m rlação à frqüênca do som, quanto a sua ntnsdad. Por xmplo, s mudarmos d um tom d Hz para Hz prcb-s ntdamnt a mudança do tmbr sonoro. Entrtanto s passarmos do tom d Hz para Hz quas não s prcb mudança no som. Portanto, apsar d nos dos casos har um msmo acréscmo d Hz, o fto fo quas mprcptíl quando s partu d Hz. No prmro caso fo dobrada a frqüênca. No sgundo caso, s também tss sdo dobrado o alor da frqüênca, tríamos a msma snsação quanttata d mudança d tmbr qu ocorru no prmro caso. É sta prcpção qu caractrza o comportamnto logartmo rlaconado com o tmbr, ou frqüênca, do som. Est comportamnto á tnha sdo obsrado a áros séculos atrás. Dsta manra a scala d tons muscas fo austada a st comportamnto. Sa, por xmplo, uma tcla, d um 5

54 pano corrspondnt ao tom do. Est tom tm uma frqüênca spcífca. Após 7 tclas, à drta, tm-s uma otaa tcla qu corrspondnt a um noo do. Sua frqüênca é o dobro daqula da prmra tcla. Dz-s qu st sgundo do stá uma otaa acma do prmro do. Também dzmos qu st sgundo do corrspond a uma sgunda harmônca da frqüênca do prmro do. Da msma forma s trmos, m um alto falant, um snal d áudo d mw aumntarmos o olum para mw, prcbrmos ntdamnt ss aumnto d níl sonoro. Entrtanto, s trmos mw passarmos para mw quas não s prcb a mudança da ntnsdad do som. Portanto, apsar d nos dos casos produzrs o msmo acréscmo d mw, o fto fo quas mprcptíl quando s partu d mw. No prmro caso fo dobrada a potênca d saída. No sgundo caso, s também tss sdo dobrada a potênca d saída, tríamos a msma snsação quanttata d mudança d olum. Dsta z, sta snsação s rlacona com a ntnsdad do som. Est comportamnto faz com qu nos qupamntos ltrôncos qu rproduzm o som, o potncômtro rotato, qu atua no olum do som, tm uma aração logartma m rlação ao su dslocamnto angular. Escalas logartmas das rds passa baxas passa altas Uma das prncpas aplcaçõs, das rds létrcas passa baxas passa altas, é a rprodução d sons m aparlhos ltrôncos. Por sto, costuma-s fazr o gráfco da rsposta m frqüênca, dsss crcutos, utlzando-s scalas logartmas, tanto para as frqüêncas do snal quanto para o parâmtro H qu rlacona suas ampltuds d saída d ntrada. Isto torna o fto dssas rds, no som rproduzdo, cornt com nossa snsação fsológca da audção. Na raldad utlza-s, na ordnada do gráfco o parâmtro dcbl (db). Est parâmtro é dfndo pla xprssão matmátca: H log H [ db] ou H [ ] log H db Exmplo: Sa a xprssão d H qu dtrmnamos para a rd passa baxas d prmra ordm: H + A tabla 3-3 rcalcula os alors d + f f H para algumas frqüêncas d snal létrco. Fornc, também a conrsão dss parâmtro para db. Consdra-s f. Hz. 53

55 f [Hz] Tabla 3-3 log H H [db].,995, 4.,77 3,.,36 A fg. 3- mostra o gráfco corrspondnt utlzando scala logartma na abscssa scala m db para a ordnada. Obsr-s qu na frqüênca f. Hz, o alor da rsposta fca 3 db. log H log 3 db db db.. Fg. 3- f A tabla 3-4 rcalcula a dfasagm φ para as msmas frqüêncas utlzadas na tabla 3-3. Obsr-s qu na frqüênca Tabla 3-4 f [Hz] φ,6,57. 5, f. Hz a dfasagm fca 45. No caso da cura d rsposta d dfasagm é costum utlzar-s scala logartma apnas para a abscssa. r fg

56 φ 5,7.. f Fg. 3- Consdraçõs sobr a potênca d saída. amos rr, noamnt a rd passa baxas nduta consdrando apnas a ampltud do snal d ntrada a ampltud do snal d saída. r fg s Fg. 3-3 A potênca sobr o rsstor é dada por P ( ) fcaz mos qu H + Ou + 55

57 amos comparar as tnsõs d saída para dos casos:. Para trmos Para trmos amos comparar as potêncas d saída para os msmos dos casos:. Para trmos P Para trmos P 4 A rlação ntr ssas potêncas fca: P P 4 ou P P Conclusão: Na frqüênca a potnca na saída ca a mtad do alor qu tra na frqüênca zro. Por outro lado, a rsposta m db acarrta: log H log log 3 db + Isto sgnfca qu o ponto d 3 db, da rsposta m frqüênca, caractrza a stuação m qu a potênca do snal da saída ca para a mtad do alor qu possu nas frqüêncas próxmas a zro. È costum dsgnar-s a faxa d passagm da rd passa baxas como sndo o ntralo d frqüêncas qu a d zro até o níl m qu a rsposta m frqüênca ca para 3 db. 56