UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ MARCOS ARNDT

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ MARCOS ARNDT O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO À ANÁLISE DE VIBRAÇÕES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS CURITIBA 9

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3 MARCOS ARNDT O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO À ANÁLISE DE VIBRAÇÕES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS Ts aprsntada ao Programa d Pós- Graduação m Métodos Numércos m Engnhara, Stor d Tcnologa, Unvrsdad Fdral do Paraná, como rqusto parcal à obtnção do título d Doutor m Cêncas, Ára d Concntração: Mcânca Computaconal. Orntador: Prof. Dr. Robrto Dalldon Machado Co-orntador: Prof. Dr. Adrano Scrmn CURITIBA 9

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5 À Llan, mnha sposa, aos mus flhos Rafala Govan qu são as pssoas mas mportants na mnha vda. Aos mus pas, Vtor Zn qu m nsnaram os vrdadros valors.

6 AGRADECIMENTOS À Dus, pla vda, pla graça msrcórda dáras. À mnha famíla por todo amor, pacênca apoo. Ao profssor Robrto Dalldon Machado, pla orntação, apoo, confança, prsstênca, amzad prncpalmnt plo mplo. Ao profssor Adrano Scrmn, pla orntação, apoo plas fundamntas déas sugstõs ao trabalho. Aos profssors Srgo Schr Mldrd B. Hck plo ncntvo, amzad, apoo confança. À Marstla Bandl pla amzad, algra motvação m todas as ocasõs. Aos amgos profssors do CESEC qu m acolhram dsd a graduação. Aos amgos Fláva Claudo plo apoo, companhrsmo amzad. Aos amgos profssors do curso d Engnhara Cvl da Unvrsdad Postvo plo apoo amzad.

7 S não for o Snhor o construtor da casa, srá nútl trabalhar na construção. S não é o Snhor qu vga a cdad, srá nútl a sntnla montar guarda. Salmo 7: NVI

8 RESUMO O conhcmnto do comportamnto dnâmco das struturas cvs mcâncas tm s tornado cada vz mas mportant para um proto sguro otmzado. O Método dos Elmntos Fntos (MEF) aprsnta bons rsultados para as prmras frquêncas, porém dmanda lvado custo computaconal para atngr mlhor prcsão para altas frquêncas. O obtvo dst trabalho é nvstgar a aplcação do Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG) na análs d vbraçõs lvrs m struturas rtculadas. O Método dos Elmntos Fntos Gnralzados, dsnvolvdo a partr do Método da Partção da Undad, prmt a nclusão d conhcmnto prévo sobr a solução da quação dfrncal sndo rsolvda, no spaço d solução apromado. Nst trabalho são propostos analsados dvrsos lmntos gnralzados para análs da vbração lvr d barras, os, vgas d Eulr-Brnoull, trlças pórtcos planos com dfrnts funçõs nrqucdoras. São propostos rfnamntos h, p adaptatvo para o MEFG. As funçõs nrqucdoras do MEFG Adaptatvo são dpndnts da gomtra, das proprdads mcâncas dos lmntos das condçõs d contorno. O problma varaconal d vbração lvr é formulado os prncpas aspctos do MEFG são dscutdos. A fcênca a convrgênca do método proposto na vbração lvr d struturas rtculadas planas são vrfcadas. As frquêncas obtdas plo MEFG são comparadas com aqulas obtdas por soluçõs analítcas, plo Método Composto (MC), plos rfnamntos h p do MEF, por outros métodos ncontrados na ltratura. O MEFG proposto prmt a mposção das condçõs d contorno d forma drta, como no MEF, aprsnta taas d convrgênca maors do qu o rfnamnto h do MEF rfnamnto c do MC, no mínmo smlhants às taas d convrgênca do rfnamnto p do MEF. O MEFG Adaptatvo proposto convrg muto rápdo prmt apromar a frquênca rlaconada com o modo d vbração dsado. Palavras-chav: Método dos Elmntos Fntos Gnralzados. Vbração lvr. Análs dnâmca. Partção da undad.

9 ABSTRACT Th knowldg about th dynamc bhavor of cvl and mchancal structurs has bcom vry mportant for a saf and optmzd dsgn. Th Fnt Elmnt Mthod (FEM) prsnts good rsults for th lowst frquncs but dmands grat computatonal cost to work up th accuracy for th hghr frquncs. Th obctv of ths work s to study th applcaton of th Gnralzd Fnt Elmnt Mthod (GFEM) n fr vbraton analyss of framd structurs. Th Gnralzd Fnt Elmnt Mthod, dvlopd from th Partton of Unty Mthod, allows th ncluson of a pror knowldg about th dffrntal quaton bng solvd n th appromatd soluton spac. In ths work svral gnralzd lmnts to fr vbraton analyss of bars, shafts, Eulr-Brnoull bams, and plan trusss and frams wth dffrnt nrchmnt functons ar proposd and nvstgatd. Th h, p and adaptv rfnmnts of GFEM ar proposd. Th Adaptv GFEM nrchmnt functons ar dpndnt on th gomtrc, mchancal proprts of th lmnts and boundary condtons. Th varatonal problm of fr vbraton s formulatd and th man aspcts of th GFEM ar dscussd. Th ffcncy and convrgnc of th proposd mthod n fr vbraton analyss of framd structurs ar chckd. Th frquncs obtand by th GFEM ar compard wth thos obtand by th analytcal solutons, th Compost Elmnt Mthod (CEM), th h and p-vrsons of FEM, and othr mthods found n th ltratur. Th GFEM allows to ntroduc th boundary condtons drctly, as n th FEM, and prsnts convrgnc rats gratr than h- vrson of FEM and c-vrson of CEM, and at last smlar to th convrgnc rats of p-vrson of FEM. Th proposd Adaptv GFEM convrgs vry fast and s abl to appromat th frquncy rlatd to th chosn vbraton mod. Ky words: Gnralzd Fnt Elmnt Mthod. Fr vbraton. Dynamc analyss. Partton of unty.

10 LISTA DE FIGURAS FIGURA. NÚMERO DE FREQUÊNCIAS CONVERGINDO COM PRECISÃO MÍNIMA DE % - VIGA SIMPLESMENTE APOIADA...5 FIGURA. FATORES INTENSIDADE DE MOMENTO (K) NORMALIZADOS EM RELAÇÃO À LARGURA DA PLACA...6 FIGURA.3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR DA ONDA NO TEMPO t = 7,..65 FIGURA.4 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BURGERS NO TEMPO t =, FIGURA.5 TENSÕES σ (dyn/cm ) PARA UM PLANO SEMI INFINITO...66 FIGURA.6 ESQUEMA ITERATIVO...67 FIGURA.7 CURVAS DE CONVERGÊNCIA PARA PLACA EXCITADA A HZ...69 FIGURA 3. ESQUEMA DE ESPAÇOS DUAIS...75 FIGURA 3. BARRA RETA COM DEFORMAÇÃO AXIAL...85 FIGURA 3.3 ELEMENTO LINEAR DE BARRA...95 FIGURA 3.4 ELEMENTO CÚBICO DE BARRA...96 FIGURA 3.5 EIXO RETO COM DEFORMAÇÃO ANGULAR... FIGURA 3.6 VIGA RETA COM DEFORMAÇÃO LATERAL...4 FIGURA 3.7 ELEMENTO DE VIGA...3 FIGURA 3.8 (a) FUNÇÃO B 3 -SPLINE TÍPICA; (b) BASE DE FUNÇÕES B 3 - SPLINE...5 FIGURA 3.9 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PARA BARRA DE TRELIÇA... FIGURA 3. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PARA BARRA DE PÓRTICO...3 FIGURA 4. COBERTURA { Ω } DO DOMÍNIO Ω...7

11 FIGURA 4. SUBDOMÍNIOS E FUNÇÕES PARTIÇÃO DA UNIDADE PARA MALHA DE ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS DO MEFG...3 FIGURA 4.3 FUNÇÃO PARTIÇÃO DA UNIDADE E ESPAÇO DE APROXIMAÇÃO LOCAL DO MEFG- PARA O ELEMENTO DE BARRA RETA NO SUBDOMÍNIO (,3), COM n =...33 FIGURA 4.4 FUNÇÃO PARTIÇÃO DA UNIDADE E ESPAÇO DE APROXIMAÇÃO LOCAL DO MEFG- PARA O ELEMENTO DE BARRA RETA NO l SUBDOMÍNIO (,3), COM n =...35 FIGURA 4.5 FUNÇÕES PARTIÇÃO DA UNIDADE E ENRIQUECEDORAS DO ELEMENTO MESTRE DE BARRA RETA DO MEFG-, PARA =, L = E β = 3π/...36 FIGURA 4.6 FLUXOGRAMA DO MEFG ADAPTATIVO...39 FIGURA 4.7 FLUXOGRAMA DO REFINAMENTO p ADAPTATIVO DO MEFG.4 FIGURA 4.8 FUNÇÃO PARTIÇÃO DA UNIDADE E ESPAÇO DE APROXIMAÇÃO LOCAL DO MEFG MC E MEFG MMA PARA O ELEMENTO DE VIGA, NO SUBDOMÍNIO (,3)...45 FIGURA 4.9 FUNÇÕES ENRIQUECEDORAS DO ESPAÇO DE APROXIMAÇÃO LOCAL DO MEFG TRIG PARA O ELEMENTO DE VIGA NO SUBDOMÍNIO (,3)...46 FIGURA 4. FUNÇÃO PARTIÇÃO DA UNIDADE E ESPAÇO DE APROXIMAÇÃO LOCAL DO MEFG ADAPTATIVO PARA ELEMENTO DE VIGA, NO SUBDOMÍNIO (,3)...5 FIGURA 4. FUNÇÕES PARTIÇÃO DA UNIDADE E ENRIQUECEDORAS DO ELEMENTO DE VIGA PARA =, L = E β = 3π/...5 FIGURA 5. BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...57 FIGURA 5. ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO h BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...59 l

12 FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO h - BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...59 FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO 3º AUTOVALOR REFINAMENTO h BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...6 FIGURA 5.5 ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR REFINAMENTO h BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...6 FIGURA 5.6 ERRO RELATIVO DO 5º AUTOVALOR REFINAMENTO h BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...6 FIGURA 5.7 ERRO RELATIVO DO 6º AUTOVALOR REFINAMENTO h BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...6 FIGURA 5.8 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...63 FIGURA 5.9 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...64 FIGURA 5. ERRO RELATIVO DO 3º AUTOVALOR REFINAMENTO p BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...64 FIGURA 5. ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR REFINAMENTO p BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...65 FIGURA 5. ERRO RELATIVO DO 5º AUTOVALOR REFINAMENTO p BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...65 FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DO 6º AUTOVALOR REFINAMENTO p BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...66 FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR VARIAÇÃO DO PARÂMETRO DE FREQUÊNCIA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...67 FIGURA 5.5 ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR VARIAÇÃO DO PARÂMETRO DE FREQUÊNCIA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...68

13 FIGURA 5.6 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANÁLISE : ª FREQUÊNCIA ALVO...7 FIGURA 5.7 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANÁLISE : ª FREQUÊNCIA ALVO...7 FIGURA 5.8 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANÁLISE 3: 3ª FREQUÊNCIA ALVO...7 FIGURA 5.9 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANÁLISE 4: 4ª FREQUÊNCIA ALVO...7 FIGURA 5. ERRO RELATIVO PARA O º AUTOVALOR PARA DIVERSAS RELAÇÕES DE MALHA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...74 FIGURA 5. ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...75 FIGURA 5. ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...75 FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DO 3º AUTOVALOR REFINAMENTO p ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...76 FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR REFINAMENTO p ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...76 FIGURA 5.5 ERRO RELATIVO DO 5º AUTOVALOR REFINAMENTO p ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...77 FIGURA 5.6 ERRO RELATIVO DO 6º AUTOVALOR REFINAMENTO p ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...77 FIGURA 5.7 BARRA UNIFORME FIXA-FIXA...78 FIGURA 5.8 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA UNIFORME FIXA-FIXA...79

14 FIGURA 5.9 BARRA UNIFORME LIVRE-LIVRE...8 FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA UNIFORME LIVRE-LIVRE...8 FIGURA 5.3 BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA NA EXTREMIDADE...83 FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DAS FREQUÊNCIAS ALVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...85 FIGURA 5.33 BARRA FIXA-LIVRE BIMATERIAL...86 FIGURA 5.34 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA- LIVRE BIMATERIAL...88 FIGURA 5.35 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA- FIXA COM VARIAÇÃO DE ÁREA SENOIDAL...9 FIGURA 5.36 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA- FIXA COM VARIAÇÃO DE ÁREA POLINOMIAL...94 FIGURA 5.37 EIXO CIRCULAR UNIFORME FIXO-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...97 FIGURA 5.38 EIXO CIRCULAR UNIFORME COM MOLA TORCIONAL...98 FIGURA 5.39 VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE... FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE... FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE... FIGURA 5.4 ERRO RELATIVO DO 3º AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...3 FIGURA 5.43 ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...3 FIGURA 5.44 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...4

15 FIGURA 5.45 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...5 FIGURA 5.46 ERRO RELATIVO DO 3º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...5 FIGURA 5.47 ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...6 FIGURA 5.48 ERRO RELATIVO DO 5º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...6 FIGURA 5.49 ERRO RELATIVO DO 6º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...7 FIGURA 5.5 ERRO RELATIVO DO 7º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...7 FIGURA 5.5 ERRO RELATIVO DO 8º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...8 FIGURA 5.5 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANÁLISE : ª FREQUÊNCIA ALVO... FIGURA 5.53 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANÁLISE : ª FREQUÊNCIA ALVO... FIGURA 5.54 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANÁLISE 3: 3ª FREQUÊNCIA ALVO... FIGURA 5.55 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANÁLISE 4: 4ª FREQUÊNCIA ALVO... FIGURA 5.56 SEGUNDO MODO DE VIBRAÇÃO DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE NAS DUAS PRIMEIRAS ITERAÇÕES DO MEFG ADAPTATIVO ANÁLISE : ª FREQUÊNCIA ALVO...4

16 FIGURA 5.57 VIGA UNIFORME BI-ROTULADA...5 FIGURA 5.58 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...6 FIGURA 5.59 ERRO RELATIVO DO º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...7 FIGURA 5.6 ERRO RELATIVO DO 3º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...7 FIGURA 5.6 ERRO RELATIVO DO 4º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...8 FIGURA 5.6 ERRO RELATIVO DO 5º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...8 FIGURA 5.63 ERRO RELATIVO DO 6º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...9 FIGURA 5.64 ERRO RELATIVO DO 7º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA...9 FIGURA 5.65 ERRO RELATIVO DO 8º AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA... FIGURA 5.66 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA... FIGURA 5.67 VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA NA EXTREMIDADE...3 FIGURA 5.68 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...5 FIGURA 5.69 VIGA UNIFORME BI-ENGASTADA COM RÓTULA INTERNA...7 FIGURA 5.7 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA COM RÓTULA INTERNA...8 FIGURA 5.7 VIGA ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL...3 FIGURA 5.7 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL...33

17 FIGURA 5.73 VIGA CONTÍNUA BIMATERIAL...34 FIGURA 5.74 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES VIGA ENGASTADA- ROTULADA COM VARIAÇÃO POLINOMIAL DE ÁREA E INÉRCIA...39 FIGURA 5.75 TRELIÇA COMPOSTA POR 7 BARRAS...4 FIGURA 5.76 QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DA TRELIÇA DE 7 BARRAS...4 FIGURA 5.77 TRELIÇA COMPOSTA POR 5 BARRAS...43 FIGURA 5.78 QUINTO MODO DE VIBRAÇÃO DA TRELIÇA DE 5 BARRAS...44 FIGURA 5.79 PÓRTICO PLANO...45 FIGURA 5.8 QUARTO MODO DE VIBRAÇÃO DO PÓRTICO...48

18 LISTA DE TABELAS TABELA. TEORIAS PARA VIGAS...4 TABELA. NÚMERO DE FREQUÊNCIAS COM UMA PRECISÃO p% OU MELHOR BARRA LIVRE-LIVRE...5 TABELA.3 NÚMERO DE FREQUÊNCIAS COM UMA PRECISÃO p% OU MELHOR VIGA SIMPLESMENTE APOIADA...5 TABELA.4 FREQUÊNCIAS NATURAIS PARA VIGA NÃO UNIFORME...55 TABELA 5. TAXAS DE CONVERGÊNCIA DOS REFINAMENTOS h BARRA FIXA-LIVRE...6 TABELA 5. RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE...73 TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE BARRA UNIFORME FIXA-FIXA...8 TABELA 5.4 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE BARRA UNIFORME LIVRE-LIVRE...8 TABELA 5.5 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS PARA BARRA FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...84 TABELA 5.6 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE BARRA FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...85 TABELA 5.7 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DOS AUTOVALORES DA BARRA FIXA- LIVRE BIMATERIAL...87 TABELA 5.8 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE BARRA BIMATERIAL...89 TABELA 5.9 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA COM VARIAÇÃO DE ÁREA SENOIDAL...9

19 TABELA 5. RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA COM VARIAÇÃO DE ÁREA SENOIDAL MEF p COM QUADRATURA DE GAUSS...9 TABELA 5. RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA COM VARIAÇÃO DE ÁREA POLINOMIAL...95 TABELA 5. RESULTADO DO MEFG ADAPTATIVO PARA BARRA FIXA-FIXA COM VARIAÇÃO DE ÁREA POLINOMIAL E MALHA MAIS REFINADA...96 TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE EIXO FIXO-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...98 TABELA 5.4 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE EIXO COM MOLA TORCIONAL...99 TABELA 5.5 AUTOVALORES PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE (8 GRAUS DE LIBERDADE)...9 TABELA 5.6 AUTOVALORES PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE ( GRAUS DE LIBERDADE)... TABELA 5.7 ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE COM DIFERENTES MALHAS...3 TABELA 5.8 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE...4 TABELA 5.9 ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM DIFERENTES MALHAS... TABELA 5. RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA... TABELA 5. SOLUÇÃO ANALÍTICA DOS AUTOVALORES DA VIGA ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...4

20 TABELA 5. ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA PARA DIFERENTES MALHAS...5 TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...6 TABELA 5.4 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA BI- ENGASTADA COM RÓTULA INTERNA...7 TABELA 5.5 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA COM RÓTULA INTERNA...9 TABELA 5.6 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL...3 TABELA 5.7 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA BIMATERIAL ENGASTADA-ROTULADA...33 TABELA 5.8 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA CONTÍNUA BIMATERIAL...36 TABELA 5.9 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA ENGASTADA-ROTULADA COM VARIAÇÃO POLINOMIAL DE ÁREA E INÉRCIA...38 TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGA ENGASTADA- ROTULADA COM VARIAÇÃO POLINOMIAL DE ÁREA E INÉRCIA...38 TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE TRELIÇA PLANA COM 7 BARRAS...4 TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE TRELIÇA PLANA DE 5 BARRAS...43 TABELA 5.33 RESULTADOS PARA VIBRAÇÃO LIVRE DE PÓRTICO PLANO.45 TABELA 5.34 RESULTADOS DA ANÁLISE DO MEFG ADAPTATIVO PARA ª FREQUÊNCIA ALVO...47

21 LISTA DE SIGLAS MC Método Composto MEF Método dos Elmntos Fntos MEFG Método dos Elmntos Fntos Gnralzados MEFG Adaptatvo - Método dos Elmntos Fntos Gnralzados Adaptatvo MEFG MC MEFG com funçõs nrqucdoras basadas no MC MEFG MMA MEFG com funçõs nrqucdoras basadas no MMA MEFG Trg MEFG com funçõs nrqucdoras trgonométrcas MEF Fourr Método dos Elmntos Fntos p-fourr MEFS Método dos Elmntos Fntos Spln MMA Método dos Modos Admssívs MMT Método da Matrz d Transfrênca MPU Método da Partção da Undad

22 LISTA DE SÍMBOLOS a constant a, a constants das soluçõs analítcas a, b, c, d graus d lbrdad d campo A oprador lnar compacto X A - oprador adunto d A A, A, A ára da sção transvrsal A ára da sção transvrsal na trmdad squrda da vga A, A constants das soluçõs analítcas A d, A ára da sção transvrsal nos subdomínos (, ) (, + ) b constant b, b, b 3, b 4 constants das soluçõs analítcas B forma blnar B, B constants das soluçõs analítcas c vlocdad d onda c vtor d graus d lbrdad d campo c, c constants c b graus d lbrdad d campo para dformação aal c constant c v graus d lbrad d campo para dformação transvrsal C plano complo C k spaço das funçõs contínuas até a drvada d ordm k C, C, C 3, C 4, C r, C 3r, C 4r trmos constants da solução analítca para vgas C, C G - constants do MPU D(T) domíno do oprador T rro absoluto da solução apromada

23 rro rro rlatvo da solução apromada E, E, E módulo d lastcdad longtudnal E d, E módulo d lastcdad longtudnal nos subdomínos (, ) ( ) f função ntgrávl arbtrára f funconal lnar F forma blnar assocada ao oprador Q F r função nrqucdora g funconal lnar g k soluçõs d A X g = G módulo d lastcdad transvrsal h dâmtro mámo dos lmntos da malha h dmnsão da subdvsão da vga no MEFS H, H, H spaços d Hlbrt h( ) H - complmnto ortogonal d h H m H I momnto d nérca da sção transvrsal I oprador dntdad I, I D, I E nércas rotaconas das massas I f nérca da sção transvrsal na trmdad squrda da vga, + I d, I momnto d nérca da sção transvrsal nos subdomínos (, ) ( ) I MD, I ME momnto d nérca d massa nas trmdads drta squrda I p momnto polar d nérca J ν - função d Bssl d prmro tpo ordm ν k grau da bas polnomal k, k D, k E rgdz d mola longtudnal ou torconal k c constant caractrístca do subspaço d apromação k - cofcnts da matrz d rgdz lmntar k RD, k RE rgdz d mola rotaconal nas trmdads drta squrda k TD, k TE rgdz d mola transvrsal nas trmdads drta squrda K parâmtro para stmatva d rro, +

24 K matrz d rgdz no sstma local K G matrz d rgdz no sstma global L, L, L, L 3 comprmnto L comprmnto do lmnto L spaço das funçõs quadrado ntgrávs m númro d dvsõs da vga no MEFS m númro d funçõs nrqucdoras d vga m ordm do oprador lnar m, m D, m E massa concntrada m - cofcnts da matrz d massa lmntar M constant d contnudad M momnto fltor M subconunto lmtado d um spaço normado X M S constant d sobrposção d subdomínos M matrz d massa no sstma local M G matrz d massa no sstma global n dmnsão do spaço n númro d autovtors autovalors apromados n númro d funçõs nrqucdoras d barra n potênca da dstrbução polnomal d ára n l númro d nívs d nrqucmnto n l,ma númro mámo d nívs d nrqucmnto ngl númro d graus d lbrdad N númro d nós N númro total d graus d lbrdad N vtor d funçõs d forma p grau do polnômo ntrpolador P oprador lnar p(,t) força aal por undad d comprmnto da barra

25 p(,t) força transvrsal por undad d comprmnto da vga p(,t) momnto torsor por undad d comprmnto do o q I dslocamntos nodas ou d ntrfac q vtor d coordnadas gnralzadas q vtor d graus d lbrdad nodas q I vtor d dslocamntos nodas ou d ntrfac Q sforço cortant Q oprador lnar R(u) quocnt d Raylgh R λ (T) oprador rsolvnt s dmnsão do spaço d apromação s - funçõs d apromação local do spaço S S spaço d apromação global S spaços d apromação local S modos státcos d ntrfac S vtor d modos státcos d ntrfac t tmpo T matrz d transformação d coordnadas T oprador lnar X T - oprador adunto * T - oprador Hlbrt-adunto T(M) magm do oprador T sobr o subconunto M [T(M)] fchamnto d T(M) T(t) parcla tmporal do dslocamnto T f tmpo fnal T λ oprador lnar u vtor d dslocamntos u r autovtor ato d ordm r u(), u r () parcla spacal (modo natural) do dslocamnto aal

26 u (, t) dslocamnto aal (longtudnal) u h campo d dslocamntos transvrsas apromado s u h autovtor apromado d ordm s u graus d lbrdad nodas (dslocamntos aas) u I campo d dslocamntos d ntrfac u ENRIQ - campo d dslocamntos lmntar nrqucdo u MA campo d dslocamntos dos modos admssívs u MC campo d dslocamntos do MC u MEF campo d dslocamntos do MEF u MEF - campo d dslocamntos lmntar do MEF u MMA campo d dslocamntos do MMA u TC campo d dslocamntos analítco U vtor d coordnadas no sstma local U spaço lnar U vtor d coordnadas no sstma global v função d proção v (), () - parcla spacal (modo natural) do dslocamnto transvrsal v r v (, t) - dslocamnto transvrsal v h campo d dslocamntos transvrsas apromado v h funçõs d proção v graus d lbrdad nodas (dslocamntos transvrsas) V spaço lnar coordnada cartsana no plano autovalor d T abscssa do nó k soluçõs d A = X spaço da solução analítca X spaço normado X - spaço dual d X

27 y coordnada cartsana no plano y lmnto do spaço Y y ordnada do nó Y spaço normado Y - spaço dual d Y w funçõs tst w h funçõs do spaço H h w h funçõs tst apromadas w funçõs admssívs W spaço d Sobolv Y ν - função d Bssl d sgundo tpo ordm ν z, z varávs aulars Z - ampltuds Z vtor d ampltuds α - constant d corcvdad α - parâmtro d acoplamnto spaço-tmpo α, α, α r constants α v rlação ntr proprdads da vga β, β r autovalor admnsonal β d, β autovalor admnsonal nos subdomínos (, ) ( ) χ autovalor admnsonal analítco χ h autovalor admnsonal apromado χ r autovalor admnsonal rlatvo à frquênca ω r δ - dlta d Drac ε, ε constants φ - vtor d funçõs d forma nrqucdas Ø - vtor d modos admssívs φ funçõs d bas globas, + φ funçõs nrqucdoras rlaconadas às rotaçõs nodas do MEF

28 φ v rlação ntr proprdads da vga γ - constant γ,γ, γ k funçõs nrqucdoras do MEFG γ T constant torconal η - funçõs partção da undad ϕ - funçõs analítcas d vga ϕ funçõs nrqucdoras do MEFG Ω - contorno do domíno Ω κ, κ r - autovalor, númro d onda λ, λ r autovalor λ r autovalor ato d ordm r λ h autovalor apromado s λ h autovalor apromado d ordm s λ w comprmnto d onda µ - taa d convrgênca ν - constant θ () - parcla spacal (modo natural) do dslocamnto angular θ (, t) - dslocamnto angular θ graus d lbrdad nodas (rotaçõs) θ p ângulo d propagação d onda θ v rlação ntr proprdads da vga ρ, ρ, ρ - dnsdad ρ d, ρ - dnsdad nos subdomínos (, ) ( ) ρ(t) conunto rsolvnt σ constant σ (T) spctro d T σ c (T) spctro contínuo d T σ p (T) spctro pontual ou dscrto d T σ r (T) spctro rsdual d T, +

29 σ, σ y, σ z tnsõs normas sgundo os os coordnados τ - funçõs com suport Ω ω, ω, ω r - frquênca natural ω alvo,, ω alvo,mef, ω alvo,mefg - frquênca natural alvo ω h - frquênca natural apromada Ω - domíno Ω - subdomínos Ω - domíno do lmnto mstr ξ - coordnada local ψ - funçõs d vga ψ - funçõs d forma locas ψ modos admssívs ψ v função qu dscrv a varação da sção da vga ψ matrz d modos admssívs - gradnt

30 SUMÁRIO INTRODUÇÃO OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS JUSTIFICATIVA ESTRUTURA DO TRABALHO...36 REVISÃO DA LITERATURA MÉTODOS ANALÍTICOS MÉTODOS APROXIMADOS Método d Raylgh-Rtz Método dos Elmntos Fntos Método dos Elmntos Fntos Spln Método dos Modos Admssívs Método Composto Método do Modo Componnt Método dos Elmntos Fntos p-fourr Método dos Elmntos Fntos Gnralzados PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO LIVRE DE ESTRUTURAS RETICULADAS ANÁLISE ABSTRATA DOS PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO LIVRE Conctos da análs funconal Proprdads dos autovalors autovtors Estmatvas d rro no procsso d apromação dos problmas d autovalors autovtors BARRA RETA COM VIBRAÇÃO AXIAL Solução analítca Formulação varaconal Soluçõs apromadas...94

31 3..3. Método dos lmntos fntos Elmnto lnar Elmnto cúbco Rfnamnto p hrárquco Métodos nrqucdos Método dos modos admssívs Método composto EIXO RETO COM VIBRAÇÃO TORCIONAL Solução analítca Formulação varaconal Soluçõs apromadas VIGA DE EULER-BERNOULLI COM VIBRAÇÃO TRANSVERSAL Solução analítca Formulação varaconal Soluçõs apromadas Método dos lmntos fntos Rfnamnto p hrárquco Método dos lmntos fntos spln Métodos nrqucdos Método dos modos admssívs Método composto Método dos lmntos fntos p-fourr ESTRUTURAS RETICULADAS Trlça plana Soluçõs apromadas Método dos lmntos fntos Métodos nrqucdos Pórtco plano Soluçõs apromadas...3

32 Método dos lmntos fntos Métodos nrqucdos MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO A PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO LIVRE BASES MATEMÁTICAS DO MÉTODO DA PARTIÇÃO DA UNIDADE ELEMENTO GENERALIZADO DE BARRA RETA Rfnamnto adaptatvo Rfnamnto p adaptatvo ELEMENTO GENERALIZADO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI Rfnamnto adaptatvo VERIFICAÇÕES NUMÉRICAS E APLICAÇÕES DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS IMPLEMENTAÇÃO DO MEFG VIBRAÇÃO LIVRE DE BARRAS RETAS Barra unform fa-lvr Rfnamnto h Rfnamnto p Rfnamnto adaptatvo Vrfcação da stabldad convrgênca do método Vrfcação do dsmpnho do método Rfnamnto p Adaptatvo Barra unform fa-fa Barra unform lvr-lvr Barra unform fa-lvr com massa concntrada na trmdad Solução analítca Solução apromada Barra fa-lvr composta por dos matras dfrnts Solução analítca MEFG Adaptatvo...88

33 5..6 Barras não unforms Barra fa-fa com varação snodal d ára Barra fa-fa com varação polnomal d ára VIBRAÇÃO LIVRE DE EIXOS CIRCULARES RETOS Eo unform fo-lvr com massa concntrada Eo unform fo-lvr com mola torconal VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI Vga unform ngastada-lvr Rfnamnto h Rfnamnto p Rfnamnto adaptatvo Vga unform smplsmnt apoada Rfnamnto p Rfnamnto adaptatvo Vga unform ngastada-lvr com massa concntrada na trmdad Solução analítca Solução apromada Vga unform b-ngastada com rótula ntrna Solução analítca Solução apromada Vga ngastada-rotulada composta por dos matras dfrnts Solução analítca MEFG Adaptatvo Vga contínua composta por dos matras dfrnts Vga ngastada-rotulada com varação polnomal d ára nérca VIBRAÇÃO LIVRE DE ESTRUTURAS RETICULADAS Trlças planas Trlça composta por st barras Trlça composta por 5 barras...4

34 5.5. Pórtcos planos CONCLUSÃO...49 REFERÊNCIAS...55

35 33 INTRODUÇÃO O uso fcnt raconal dos rcursos naturas das rquzas é uma ncssdad mundal tm conduzdo os ngnhros a buscarm a otmzação strutural nos sus protos. Nst sntdo, novos matras novas técncas d fabrcação construção têm surgdo, as struturas cvs mcâncas tornam-s cada vz mas lvs sbltas. Estas struturas stão sutas a ftos dnâmcos grados por fnômnos naturas como vntos, marés trrmotos, também provocados plo tráfgo d vículos opração d qupamntos motors, ntr outros. Para o ngnhro rsponsávl plo proto, fabrcação manutnção dstas struturas torna-s mprscndívl conhcr o su ral comportamnto dnâmco. Em alguns casos o conhcmnto prévo dst comportamnto pod sr dtrmnant no dmnsonamnto da strutura. Por outro lado, os métodos não dstrutvos d dtcção d falhas struturas basados na rsposta dnâmca também gm a dsponbldad d métodos prcsos d análs do comportamnto dnâmco. Somnt os problmas d vbraçõs d struturas com gomtras muto smpls com condçõs d contorno spcífcas têm solução analítca conhcda. Logo, na análs dnâmca d sstmas struturas ras, m gral muto complos, é ncssára a utlzação d métodos computaconas apromados para solução do problma. Mutos psqusadors têm s ddcado ao dsnvolvmnto d métodos fcnts para análs d vbraçõs m struturas. O Método dos Elmntos Fntos (MEF) (PETYT, 99; BATHE, 996), dsponívl através d dvrsos softwars comrcas, é largamnt utlzado na análs dnâmca d struturas. Na análs d vbraçõs lvrs, ou sa, na dtrmnação d frquêncas modos naturas d vbração, o MEF aprsnta bons rsultados para as prmras frquêncas. Vrfca-s ntrtanto a ncssdad d um modlo com grand númro d graus d lbrdad quando s prtnd obtr

36 34 uma boa prcsão nas frquêncas modos d vbração mas lvados, grando assm maors custos computaconas. O rfnamnto p do MEF prmt aumntar a prcsão da solução apromada sm a ncssdad d rfnamnto da malha, porém g a dtrmnação d novas funçõs d forma d grau mas lvado a cada tapa. Além dsso, o mau condconamnto d polnômos d ordm lvada é rlatado por alguns autors, tas como Lung Chan (998), Rbro (). Como altrnatva, nos últmos anos têm sdo dsnvolvdos novos métodos, aqu dnomnados d métodos nrqucdos, qu consstm no nrqucmnto das funçõs d forma do MEF convnconal pla adção d funçõs não polnomas rlaconadas à solução da quação dfrncal govrnant do problma. Dntr sts métodos dstacam-s: o Método dos Modos Admssívs (MMA) (ENGELS, 99, GANESAN; ENGELS, 99), o Método Composto (MC) (ZENG, 998a, b c) o Método dos Elmntos Fntos p-fourr (MEF Fourr) (LEUNG; CHAN, 998). Ests métodos prmtm a mposção das condçõs d contorno d forma smpls, utlzando os msmos procdmntos do MEF, têm s mostrado mas prcsos com mnor custo computaconal do qu o rfnamnto h do MEF convnconal na análs d vbraçõs lvrs d barras, vgas placas. Em 996 fo dsnvolvdo o Método da Partção da Undad (MPU) (MELENK; BABUSKA, 996), como uma técnca otmzada d nrqucmnto. Com bas nas déas do MPU surgram dvrsos métodos, ntr ls o Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG). No MPU, a bas do subspaço d apromaçõs locas é consttuída d funçõs, não ncssaramnt polnomas, qu rfltm nformaçõs dsponívs a pror sobr a solução da quação dfrncal govrnant. Esta técnca garant boa apromação local global. As prncpas vantagns do MPU são: possbldad d nrqucmnto do spaço d apromação global com funçõs qu rfltm o comportamnto local da solução da quação dfrncal govrnant, funçõs d forma obtdas mas faclmnt do qu no rfnamnto p do MEF, construção d spaços d apromação com a rgulardad dsada rfnamntos locas faclmnt mplmntados. Entrtanto, o MPU

37 35 aprsnta alguns dsafos qu comprndm: a scolha adquada do spaço d funçõs d apromação local, a mposção das condçõs d contorno ssncas, uma vz qu os graus d lbrdad utlzados não corrspondm drtamnt aos graus d lbrdad nodas do MEF, a construção adquada do squma d ntgração dos cofcnts das matrzs d rgdz massa. Rcntmnt, númras psqusas têm comprovado a fcênca do MEFG outros métodos basados no MPU m problmas tas como análs d trncas (XIAO; KARIHALOO, 7) plastcdad (GRACIE; VENTURA; BELYTSCHKO, 7), ntr outros. Portanto, ustfca-s uma nvstgação apurada da aplcabldad fcênca do MEFG na análs dnâmca d struturas. A aplcação do Método da Partção da Undad m problmas da dnâmca strutural não é nédta, uma vz qu, mbora poucos, stm alguns trabalhos aprsntando a aplcação dsta técnca na vbração lvr forçada d placas (DE BEL; VILLON; BOUILLARD, 5; HAZARD; BOUILLARD, 7). A contrbução prncpal dst trabalho stá na scolha d spaços d apromação local para análs d vbraçõs lvrs d struturas rtculadas, qu rúnm tanto as vantagns dos métodos nrqucdos quanto do MPU. Sndo assm, os spaços d apromação propostos, além d ncorporarm conhcmnto prévo sobr a solução da quação dfrncal govrnant, prmtm a mposção das condçõs d contorno através dos procdmntos clásscos do MEF, sm a ncssdad do uso d outras técncas como o método das pnaldads ou o método dos multplcadors d Lagrang. Também é proposto um método tratvo adaptatvo qu prmt rfnar a solução para uma dtrmnada frquênca, com rápda convrgênca prcsão quvalnt, m alguns casos até supror, ao rfnamnto p do MEF. Est método adaptatvo anda agrga a vantagm d prmtr a construção d funçõs d forma dpndnts das caractrístcas mcâncas do lmnto qu são mas faclmnt obtdas qu as funçõs d forma do rfnamnto p do MEF para struturas rtculadas.

38 36. OBJETIVO GERAL O obtvo dst trabalho é nvstgar a aplcação do Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG) na análs d vbraçõs lvrs d struturas rtculadas.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Para alcançar o obtvo gral proposto prtnd-s: Aprsntar a formulação varaconal dos problmas d vbração d barras, os vgas d Eulr-Brnoull, dsnvolvr os rspctvos lmntos gnralzados d modo a aplcá-los também na análs d trlças pórtcos planos. Propor dsnvolvr uma técnca d rfnamnto p adaptatvo do MEFG para dtrmnação d frquêncas naturas d vbração. Buscar, aprsntar dsnvolvr soluçõs analítcas para problmas d vbraçõs lvrs d barras, os vgas..3 JUSTIFICATIVA Atualmnt, a procupação mundal stá voltada para a otmzação raconalzação do uso dos rcursos naturas cada vz mas scassos. Uma aplcação ótma d rcursos dpnd d análss d modlos os mas prómos possívs dos sstmas físcos ras analsados. Para tanto, o dsnvolvmnto d métodos d análs mas prcsos, rápdos confávs é mprscndívl..4 ESTRUTURA DO TRABALHO A strutura dst trabalho é a sgunt: no capítulo é aprsntada uma No prsnt trabalho, assm como nos trabalhos publcados por RIBEIRO (), CAMPION JARVIS (996), o rfnamnto p corrspond ao aumnto d funçõs d forma na bas apromadora.

39 37 rvsão da ltratura sobr métodos d análs dnâmca analítcos apromados. O capítulo 3 contém as formulaçõs varaconas os prncpas métodos d solução analítca apromada dos problmas d vbração lvr d struturas rtculadas. No capítulo 4 aprsntam-s as bass matmátcas do Método da Partção da Undad os lmntos gnralzados d barra vga d Eulr-Brnoull. Também são aprsntadas as propostas d rfnamnto adaptatvdad do método. No capítulo 5 são aprsntadas as vrfcaçõs numércas aplcaçõs do método. O capítulo 6 aprsnta as conclusõs fnas do trabalho sugstõs d contnudad.

40 38 REVISÃO DA LITERATURA O homm tm s ntrssado por ntndr os fnômnos d vbração dsd a antgudad, quando foram nvntados os prmros nstrumntos muscas. Sgundo Dmarogonas (996), o flósofo matmátco grgo Ptágoras (58-57 a.c.) é consdrado o prmro a nvstgar os sons muscas m bass cntífcas. No studo das vbraçõs m struturas podm-s dstacar alguns noms mportants. A vbração d vgas fnas fo studada pla prmra vz por Eulr m 744 Danl Brnoull m 75, cua tora passou a dnomnar-s tora das vgas fnas ou tora d Eulr-Brnoull. Em 8, o cntsta almão Chladn obsrvou a vbração d placas sus modos d vbração. Soph Grman fo prmada m 85, pla Acadma Francsa, por aprsntar a tora d vbração d placas. Mas tard fo dscobrto qu a quação dfrncal aprsntada por la stava corrta, mas as condçõs d contorno ram rrônas. As condçõs d contorno corrtas para o problma d vbração d placas foram obtdas por Krchhoff m 85. Mutos outros cntstas studosos podram sr ctados nst príodo, com dstaqu para Lord Baron Raylgh, qu m 877 publcou su lvro sobr a tora do som, anda ho consdrado um clássco na tora da vbração. Raylgh dsnvolvu um método, conhcdo como Método d Raylgh, para obtnção da frquênca natural d um sstma consrvatvo. (DIMAROGONAS, 996) Os métodos utlzados para solução dos problmas d vbração podm sr subdvddos m dos grands grupos: métodos analítcos métodos apromados.. MÉTODOS ANALÍTICOS Os métodos analítcos d solução d problmas d vbração forncm as soluçõs analítcas das quaçõs do movmnto (quaçõs d qulíbro dnâmco). Porém, stas soluçõs são possívs apnas para gomtras condçõs d

41 39 contorno muto partculars. Já os problmas ras d ngnhara aprsntam gomtras condçõs d contorno muto mas complas. Entrtanto, as soluçõs analítcas são muto mportants pos forncm subsídos para um conhcmnto mas aprofundado do comportamnto físco do fnômno studado, além d prmtr a vrfcação da fcênca prcsão dos métodos numércos apromados. Sndo assm, város psqusadors têm s ddcado à obtnção d soluçõs analítcas d dvrsos problmas da dnâmca. Os trabalhos d Clough Pnzn (975), Mrovtch (975), Crag (98), Chopra (995), Rao (995) Inman (996) aprsntam os conctos fundamntas da análs d vbraçõs d sstmas contínuos as soluçõs analítcas para vbração d cabos, vbração aal torconal d barras unforms, vbração latral d vgas unforms, nclundo ou não os ftos d força aal, dformação csalhant nérca rotaconal, vbração d mmbranas placas. O studo da vbração aal d barras d sção transvrsal não unform é mportant para a comprnsão do comportamnto dnâmco d struturas qu utlzam matras compostos d fundaçõs, da propagação d ondas m tubos d sção varávl, ntr outros. Alguns dos mas mportants trabalhos ddcados à nvstgação da solução analítca dsts problmas são dstacados a sgur. Abrat (995) aprsnta uma famíla d funçõs polnomas d º grau para dscrvr varaçõs da sção transvrsal da barra qu prmtm, dpos d adquada mudança d varávs, a transformação da quação dfrncal govrnant do problma m uma clássca quação da onda, cua solução é bastant conhcda. Kumar Suth (997) aprsntam soluçõs analítcas para vbração aal lvr d barras com sção transvrsal tndo varaçõs polnomal snodal da ára (A), rspctvamnt nas formas A = ( a + b) n A = A sn ( a + b), sndo A, a, b n parâmtros qu dfnm a função d varação ao longo do o. Ests autors utlzam mudanças apropradas d varávs para rduzr a quação do movmnto à quaçõs dfrncas com solução analítca conhcda. As soluçõs analítcas

42 4 aprsntadas por Kumar Suth (997) aparcm na forma d funçõs trgonométrcas funçõs d Bssl. Kumar Suth (997) vrfcaram qu nos casos d barras d sção não unform as frquêncas mas baas são mas aftadas pla varação da sção, nquanto as frquêncas mas altas s apromam da solução d barra com sção unform quvalnt. As barras com sção varávl polnomal aprsntam também modos d vbração com ampltuds dcrscnts ao longo do comprmnto do o da barra. Os autors sugrm qu a utlzação d funçõs d Bssl como funçõs d forma nas soluçõs apromadas para a vbração lvr d barras d sção não unform pod grar mlhors rsultados qu os obtdos com o uso d funçõs trgonométrcas polnomas. Em mutos problmas prátcos, como na análs d vbraçõs aas d dfícos altos, o problma pod sr ntnddo como a vbração lvr d uma barra composta por város trchos com dfrnts dstrbuçõs d rgdz massa. Buscando a solução d tas problmas, L (a b) aprsnta métodos analítcos para dtrmnação das frquêncas modos naturas d vbração d barras não unforms compostas por múltplos trchos. A função qu dscrv a dstrbução d massa da barra é arbtrára a dstrbução da rgdz aal é prssa por um funconal rlaconado à dstrbução d massa. Para rlaçõs funconas do tpo potênca ponncal, a quação dfrncal govrnant para uma barra consttuída d um únco trcho é rduzda a uma quação dfrncal com solução analítca conhcda. Fórmulas d rcorrênca apropradas (LI, a) ou o Método da Matrz d Transfrênca (MMT) (LI, b) são ntão mprgados para obtr soluçõs analítcas d barras d múltplas sçõs não unforms com as dstrbuçõs d massa rgdz analsadas. L, L Lu () utlzaram a técnca do MMT para aprsntar a solução analítca do problma d vbração aal d um sstma composto por duas barras não unforms com massas concntradas acopladas por molas translaconas. Rcntmnt, Ra Suth (5) aprsntaram um método gral para

43 4 dtrmnação d uma famíla d funçõs para dscrvr as varaçõs d sção transvrsal qu conduzm a soluçõs analítcas conhcdas para a vbração aal d barras não unforms. Como a vbração torconal d os staconáros é matmatcamnt dêntca ao problma d vbração aal d barras, as soluçõs analítcas obtdas para sts problmas podm sr compartlhadas, com as dvdas adaptaçõs. Soluçõs analítcas para vbração torconal lvr d os unforms, com condçõs d contorno clásscas não clásscas, são ncontradas no trabalho d Gorman (975). Rcntmnt, Chn (6) utlzou o Método da Montagm Numérca para dtrmnar as frquêncas modos naturas analítcos d os crculars unforms carrgando múltplos lmntos concntrados (massas com nérca rotaconal ou molas torconas). Quanto às vgas unforms, stm quatro dfrnts toras qu dscrvm a vbração transvrsal dstas struturas, qu são: Eulr-Brnoull, Raylgh, Csalhamnto Tmoshnko. As quaçõs govrnants, as prssõs para as condçõs d contorno clásscas, as quaçõs caractrístcas suas raízs, para stas quatro toras aplcadas a vgas unforms são aprsntadas por Han, Bnaroya W (999). Um rsumo das prncpas caractrístcas dsta toras é aprsntado na tabla.. TABELA. TEORIAS PARA VIGAS Modlos Momnto fltor Dslocamnto latral Dformação por csalhamnto Inérca rotaconal Eulr-Brnoull sm sm não não Raylgh sm sm não sm Csalhamnto sm sm sm não Tmoshnko sm sm sm sm FONTE: HAN, BENAROYA WEI (999) A tora d Eulr-Brnoull, mutas vzs dnomnada d tora clássca d vgas, tora d vgas d Eulr ou tora d vgas d Brnoull, é a mas comumnt mprgada pos é smpls fornc apromaçõs razoávs para mutos problmas da ngnhara. Esta é a tora d vgas utlzada nst trabalho. Sab-s ntrtanto

44 4 qu sta tora tnd a suprstmar lgramnt as frquêncas naturas, spcalmnt para os modos d ordm mas lvada, sus rsultados são mlhors para vgas sbltas. (HAN; BENAROYA; WEI, 999) A tora d vgas d Eulr-Brnoull rmonta ao século XVIII. Jacob Brnoull (654-75) dscobru qu a curvatura d uma vga lástca é proporconal ao momnto fltor. Postrormnt, su sobrnho Danl Brnoull (7-78) formulou a quação do movmnto d uma vga m vbração. Em sua nvstgação sobr a forma d vgas lástcas submtdas a dvrsas combnaçõs d carga, Lonhard Eulr (77-783) actou a tora d Jacob Brnoull. O problma d vbração lvr d vgas unforms d Eulr-Brnoull tm sdo abordado por dvrsos psqusadors, ntr ls: Chang Crag (969), Gorman (975), Clough Pnzn (975), Mrovtch (975) Crag (98). A forma clássca da solução spacal do problma d vbração lvr d vgas d Eulr-Brnoull aprsnta trmos trgonométrcos hprbólcos. Vrfca-s ntrtanto qu as quaçõs caractrístcas obtdas a partr dsta solução podm aprsntar nstabldad numérca na dtrmnação d altos modos d vbração, dvdo às magntuds cssvas dos trmos hprbólcos. Gartnr Olgac (98) aprsntam uma forma altrnatva para a solução spacal da quação dfrncal govrnant dst problma, qu lmta a magntud d todos os trmos da solução ao ntrvalo apromado d ±, rduzndo os rros no cálculo das frquêncas modos naturas d vbração. O trabalho d Gartnr Olgac (98) aprsnta as quaçõs caractrístcas, os autovalors assocados às prmras frquêncas naturas os cofcnts da solução spacal para todas as combnaçõs d condçõs d contorno clásscas d vgas unforms. Dvrsos psqusadors têm s ddcado ao studo das vgas não unforms, uma vz qu stas são frquntmnt utlzadas m struturas cvs navas, m qupamntos. Abrat (995) aprsnta uma técnca d rdução da quação dfrncal govrnant d vga não unform a uma quação d vga unform quvalnt, para

45 43 o caso da vbração transvrsal d vgas d Eulr-Brnoull com varação polnomal d quarto grau para ára nérca da sção transvrsal. D Rosa Aucllo (996) soluconaram, m trmos d funçõs d Bssl, a quação do movmnto vbratóro d vgas d Eulr-Brnoull com varação lnar d sção transvrsal, com trmdads aal rotaconalmnt flívs. Já Aucllo Ercolano (997) aprsntaram a solução analítca, utlzando funçõs d Bssl, para vga d Eulr- Brnoull com apoos gnércos com sção transvrsal rtangular, suta à varação lnar da altura da largura ao longo do comprmnto. O rsultado obtdo fo utlzado na análs d vgas com sção transvrsal dscontínua, sndo uma part constant a outra part com varação lnar d sção. A análs das frquêncas naturas d vgas d Eulr-Brnoull com massas concntradas condçõs d contorno clásscas fo ralzada por Low ( ). As soluçõs analítcas consttuídas por funçõs transcndnts foram comparadas com rsultados obtdos plo Método d Raylgh (LOW, 998) com rsultados prmntas (LOW, ). Rcntmnt, Maz t al. (7) aprsntaram uma técnca para dtrmnação analítca d frquêncas naturas d vbração d uma vga d Eulr-Brnoull com condçõs d contorno gras, carrgando um númro fnto d massas m posçõs arbtráras lvando m conta suas nércas rotaconas. Como casos partculars dst problma, foram analsadas também vgas contínuas. Mutos outros trabalhos podram sr anda ctados. Aquls aqu ctados têm por obtvo mostrar um panorama gral das psqusas ralzadas sobr a solução analítca d problmas d vbração d barras vgas, salntar qu a psqusa nsta ára contnua mportant na atualdad. Embora a grand maora dos problmas d ngnhara não tnha solução vávl plo uso das técncas analítcas, stas psqusas são uma vasta font d subsídos para tst vrfcação d novos métodos apromados.

46 44. MÉTODOS APROXIMADOS Dvrsos métodos apromados têm sdo dsnvolvdos para a análs numérca d vbraçõs. Entr ls pod-s dstacar: o Método d Raylgh-Rtz (CLOUGH; PENZIEN, 975), o Método dos Elmntos Fntos (MEF) (PETYT, 99; BATHE, 996), o Método das Tras Fntas (CHEUNG; AU; ZHENG, ; FRIEDRICH, ), o Método dos Elmntos d Contorno (BREBBIA; NARDINI, 983; TANAKA; MATSUMOTO; SHIOZAKI, 998) os Métodos Estocástcos (VANMARCKE; GRIGORIU, 983; LEI; QIU, 998; LI; FANG; LIU, 999). Porém, o Método dos Elmntos Fntos (MEF) contnua sndo o mas mprgado na solução d problmas d vbraçõs m ngnhara. Nsta rvsão da ltratura ddca-s atnção ao clássco método d Raylgh-Rtz, ao Método dos Elmntos Fntos (MEF) aos métodos nrqucdos basados no MEF, além do Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG), qu consst no prncpal foco dst trabalho... Método d Raylgh-Rtz Sgundo Clough Pnzn (975), o Método d Raylgh-Rtz é uma tnsão do Método d Raylgh para problmas d vbraçõs lvrs tm como hpóts básca qu o vtor d dslocamntos (u ) da strutura pod sr prsso m trmos d um conunto d modos admssívs Ψ d ampltud Ζ como sgu: u = ψ Z + ψ Z + ψ 3Z 3 + L = ΨΖ (.) Para obtr os mlhors rsultados com o mnor númro d coordnadas, cada uma das funçõs admssívs ψ dvra sr tomada como uma apromação do modo d vbração analítco corrspondnt. Porém, mutos outros squmas têm sdo

47 45 propostos para scolha das funçõs admssívs. No Método d Raylgh-Rtz, as funçõs qu compõm a solução analítca do problma d vbração lvr d vgas unforms d Eulr-Brnoull são amplamnt utlzadas como funçõs admssívs na solução apromada d problmas struturas complos. Logo, fórmulas d ntgração para produtos dstas funçõs admssívs por uma função arbtrára ntgrávl são ssncas no Método d Raylgh-Rtz. Para st fm, Lung (988) utlza a forma altrnatva d solução do problma d vbração lvr d vgas unforms proposto por Gartnr Olgac (98) para stablcr fórmulas d ntgração do tpo f ϕψ dξ (.) para o produto d funçõs φ ψ satsfazndo a quação govrnant do problma d vbração d vgas unforms, ou sa ϕ 4 4 d = β ϕ, 4 (.3) dξ 4 d 4 dξ ψ 4 = β ψ, (.4) com uma função arbtrára ntgrávl f. No trabalho d Lung (988), o Método d Raylgh-Rtz fo aplcado na análs d vbração lvr d uma vga não unform com varação polnomal cúbca d rgdz varação lnar d massa, foram obtdos os quatro prmros autovalors assocados às frquêncas naturas, para dfrnts parâmtros d varação da rgdz da massa. Também fo analsada a vbração lvr d um sstma d placas utlzando as funçõs d vga como funçõs admssívs. Os rsultados do método d Raylgh-Rtz proposto, com 66 graus d lbrdad, foram comparados com os rsultados do Método dos Elmntos Fntos com 78 graus d lbrdad. As 6 prmras frquêncas naturas obtdas plo método proposto foram

48 46 bastant prcsas, aprsntando valors prómos porém nfrors aos obtdos plo MEF com númro muto maor d graus d lbrdad. Lung (99) também dscut m dtalhs o método para grar as fórmulas d ntgração nvolvndo produtos d funçõs admssívs obtdos a partr das soluçõs analítcas para vgas unforms, corrg os cofcnts d solução para vgas com uma trmdad artculada fa outra lvr, rronamnt ndcados por Gartnr Olgac (98)... Método dos Elmntos Fntos O Método dos Elmntos Fntos (MEF) convnconal, também consdrado como uma gnralzação do Método d Raylgh-Rtz (PETYT, 99), é um método bm conhcdo podroso na solução d problmas com qualqur gomtra grau d compldad. Porém, para atngr boa prcsão m frquêncas altas d vbração o MEF gralmnt g um grand custo computaconal. A análs d vbraçõs m struturas através do MEF é aprsntada dscutda por Ptyt (99). O MEF pod tr sua prcsão aumntada através dos rfnamntos: h, p, hp adaptatvos. A técnca mas smpls, dnomnada d rfnamnto h, corrspond ao aumnto do númro d lmntos qu compõm a malha. Trabalhos rcnts d Rbro (), Campon Jarvs (996) dfnm o rfnamnto p como sndo o aumnto do grau /ou do númro das funçõs d forma no lmnto sm altrar a malha. No caso d funçõs d forma polnomas, como as utlzadas no MEF convnconal, o rfnamnto p corrspond ao aumnto do grau do polnômo ntrpolador da solução. Város psqusadors como Gansan Engls (99), Zng (998a, b c) Rbro () têm utlzado funçõs d forma não polnomas ao proporm formas nrqucdas do Método dos Elmntos Fntos. O rfnamnto hp, por sua vz, consst na combnação do rfnamnto da malha (rfno h) smultanamnt com a varação na ordm do polnômo apromador (rfno p). Todas stas técncas podm sr adaptatvas dsd qu a malha d lmntos, as funçõs d forma, ou ambas, dpndndo do tpo d rfnamnto, s austm durant o procsso d análs com o obtvo d mlhorar a

49 47 solução. Sgundo Rbro (), Znkwcz, Gago Klly (98), Cary Odn (984a), m um rfnamnto p, s o conunto d funçõs d forma d uma apromação d ordm p consttu um subconunto do conunto d funçõs d forma d uma apromação d ordm p+, st rfnamnto é dnomnado hrárquco. As funçõs d forma hrárqucas foram ntroduzdas por Znkwcz, Irons, Scott Campbll por volta do ano d 97, conform ndca o trabalho d Znkwcz, Gago Klly (98). Campon Jarvs (996) dstacam como prncpas vantagns dos métodos hrárqucos: a rtnção dos cofcnts da matrz d rgdz quando a ordm da ntrpolação aumnta a obtnção d altas taas d convrgênca sm ncssdad d rfnar a malha, além d rsultar m mlhora do condconamnto das quaçõs nvolvdas. A utlzação d rfnamntos hrárqucos na solução d problmas d vbração m struturas prmt qu as matrzs d massa rgdz á calculadas sam mantdas somnt os trmos dstas matrzs rlatvos às novas funçõs d forma ncsstm sr calculados. Esta proprdad rduz o sforço computaconal ncssáro para montagm das matrzs a cada tapa do rfnamnto. Entrtanto, Lung Chan (998), Rbro () dstacam qu polnômos d alta ordm são mal condconados, lvando alguns psqusadors a utlzarm funçõs trgonométrcas na ntrpolação dos dslocamntos m problmas d vbraçõs m struturas. Sgundo Soln, Sgth Dolzl (4), os mlhors rsultados do MEF podm sr atngdos usando rfnamntos hp adaptatvos orntados a uma mta. Ests autors aprsntam os prncípos báscos do MEF d alta ordm técncas d dscrtzação rfnamnto adaptatvos. O númro d trabalhos publcados m qu o MEF é utlzado na análs d vbraçõs é bastant grand. Est fato pod sr comprovado, por mplo, ao obsrvarm-s as rvsõs bblográfcas do Método dos Elmntos Fntos aplcado à análs d vbraçõs d vgas, placas, cascas outras struturas ntr os anos d

50 aprsntadas por Mackrl (999 ). Rcntmnt, um lmnto Lagrangano d 4 nós para análs d vbraçõs lvrs d vgas curvas através do MEF fo aprsntado por Yang, Sdaghat Esmalzadh (8). Ao longo dos últmos anos têm surgdo novos métodos basados no nrqucmnto das funçõs d forma do MEF, como o Método dos Modos Admssívs (MMA) (ENGELS, 99, GANESAN; ENGELS, 99), o Método Composto (MC) (ZENG, 998a, b c) o Método dos Elmntos Fntos p-fourr (MEF Fourr) (LEUNG; CHAN, 998), além do Método dos Elmntos Fntos Spln (MEFS) (LEUNG; AU, 99). As déas fundamntas dsts métodos os prncpas rsultados obtdos stão dscrtos nos prómos tópcos...3 Método dos Elmntos Fntos Spln O Método dos Elmntos Fntos Spln (MEFS), proposto por Lung Au (99), consst na utlzação d funçõs B 3 -spln como funçõs d forma do campo d dslocamntos, na análs d vbraçõs lvrs d vgas placas. As funçõs B 3 - spln são computaconalmnt fcnts flívs na modlagm d dfrnts condçõs d contorno. Os parâmtros dstas funçõs sobr o contorno, ou fora dl, são totalmnt lmnados através d transformação aproprada para garantr qu a mposção das condçõs d contorno sga o msmo procdmnto do MEF convnconal. O MEFS fo aplcado na análs d vbração lvr d uma vga contínua com mudanças abruptas d sção d placas com dfrnts condçõs d contorno. As quatro prmras frquêncas naturas da vga foram dtrmnadas utlzando o MEFS com 3 graus d lbrdad ftvos o MEF convnconal com graus d lbrdad. Apsar d tratar-s d dscrtzaçõs pobrs, os rsultados obtdos por ambos os métodos aprsntaram a msma prcsão, quando comparados à solução analítca. Obsrvando o númro d graus d lbrdad mprgados m cada análs, vrfca-s a maor fcênca do MEFS. Na análs da vbração lvr d placas rtangulars com váras condçõs d

51 49 contorno homogênas, Lung Au (99) obsrvaram qu apnas 4 a 6% dos graus d lbrdad utlzados na análs plo Método das Tras Fntas Spln ram ncssáros ao utlzar o MEFS, para obtr rsultados com prcsão smlar...4 Método dos Modos Admssívs O Método dos Modos Admssívs (MMA) basa-s na déa aprsntada por Crag (98) d qu o campo d dslocamntos pod sr scrto como a combnação lnar d funçõs rprsntando modos admssívs d vbração. O MMA para análs d vbraçõs lvrs d barras, vgas pórtcos proposto por Engls (99), Gansan Engls (99) consst m dscrvr o campo d dslocamntos d um lmnto gnérco por: MMA ( ξ ) u ( ξ ) u ( ξ ) u = + (.5) I MA ond u I u MA são os campos d dslocamntos d ntrfac dos modos admssívs, rspctvamnt. A ntrfac é dfnda como o conunto d pontos, curvas suprfícs qu a strutura tm m comum com a sua vznhança. Os modos admssívs dvm sr lnarmnt ndpndnts, sufcntmnt dfrncávs satsfazr as condçõs d contorno gométrcas. O prmro trmo da quação (.5) corrspond a um dslocamnto státco dvdo ao dslocamnto da ntrfac, pod sr dtrmnado por um sstma d coordnadas nodas utlzando o vtor d modos státcos d ntrfac S, o vtor d dslocamntos nodas ou d ntrfac q I a coordnada local do lmnto ξ, como na quação: I T ( ξ ) S ( ξ ) q I u = (.6) Os modos státcos d ntrfac dvm sr scolhdos d tal forma a capturar com prcsão a dformação státca causada plos dslocamntos físcos dados plo

52 vtor d dslocamntos da ntrfac. O modo státco dslocamnto nodal q I 5 S corrspondnt ao é dfndo como a dformação státca do lmnto para q = q = para todo. Vrfca-s qu as funçõs d forma do MEF I I convnconal são dêntcas aos modos státcos d ntrfac, ou sa, o vtor d modos státcos corrspond ao vtor d funçõs d forma do MEF os dslocamntos d ntrfac aos dslocamntos nodas do lmnto. O sgundo trmo do campo d dslocamntos u MA rprsnta o rstant do dslocamnto total u MMA mddo m rlação a u I por um obsrvador absoluto. Logo, o campo d dslocamntos dos modos admssívs u MA s anula na ntrfac do lmnto pod sr prsso como uma combnação lnar d modos admssívs rstrtos na ntrfac, através da quação: MA Τ ( ξ ) Ø ( ξ ) q u = (.7) ond Ø é o vtor d modos admssívs q é o vtor d cofcnts ou coordnadas gnralzadas. Estm mutos conuntos d modos admssívs qu podm sr utlzados, ntr ls dstacam-s os modos d vbração normas rstrtos, qu são obtdos da solução analítca da vbração lvr do lmnto com todos os dslocamntos d ntrfac rstrtos. D fato, a únca rstrção para os modos admssívs é qu sam formados por funçõs qu s anulm na ntrfac do lmnto. Substtundo as quaçõs (.6) (.7) m (.5) obtém-s: MMA T Τ ( ξ ) S ( ξ ) q I Ø ( ξ ) q u = + (.8) Portanto, o campo d dslocamntos passa a sr scrto como uma combnação lnar d dos conuntos d modos admssívs: modos státcos modos admssívs rstrtos na ntrfac. Sgundo Engls (99), Gansan Engls (99), sta rprsntação do campo d dslocamntos é complta no sntdo d qu qualqur grau d prcsão é torcamnt possívl dsd qu s acrscntm

53 5 dfrnts modos admssívs rstrtos na ntrfac m quantdad sufcnt. O MMA aprsnta três mportants vantagns: possu alta taa d convrgênca, m prncípo nnhuma subdvsão dos lmntos bas é ncssára o modlo grado é hrárquco. Engls (99) aprsntou os lmntos do MMA para barras vgas d Eulr-Brnoull utlzando modos d vbração normas analítcos como modos admssívs. Também foram dscutdas as formas d obtr lmntos para barras m torção pórtcos planos spacas utlzando o MMA. O método fo aplcado na análs d vbração lvr d uma barra lvr-lvr, uma vga d Eulr-Brnoull smplsmnt apoada um pórtco plano. As tablas..3 aprsntam o númro d frquêncas com uma prcsão d p% ou mlhor m rlação às soluçõs analítcas, m função do númro d graus d lbrdad (ngl), com a utlzação do MMA do MEF convnconal mplmntado no softwar MSC/NASTRAN para análs da barra da vga. Os rsultados obtdos mostram qu as frquêncas naturas obtdas plo MMA são mas prcsas qu as obtdas plo rfnamnto h do MEF convnconal com um númro maor d graus d lbrdad. TABELA. NÚMERO DE FREQUÊNCIAS COM UMA PRECISÃO p% OU MELHOR BARRA LIVRE-LIVRE ngl p % MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF FONTE: ENGELS (99) TABELA.3 NÚMERO DE FREQUÊNCIAS COM UMA PRECISÃO p% OU MELHOR VIGA SIMPLESMENTE APOIADA ngl p % MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF FONTE: ENGELS (99) Gansan Engls (99) dsnvolvram lmntos d vga d Eulr- Brnoull para o MMA utlzando dos dfrnts tpos d modos admssívs rstrtos

54 5 na ntrfac: modos d vbração lvr d vga b-ngastada (modos normas) funçõs trgonométrcas. A fgura. mostra o dsmpnho dstas duas formulaçõs do MMA do MEF convnconal na análs d uma vga smplsmnt apoada. FIGURA. NÚMERO DE FREQUÊNCIAS CONVERGINDO COM PRECISÃO MÍNIMA DE % - VIGA SIMPLESMENTE APOIADA FONTE: GANESAN E ENGELS (99)..5 Método Composto Método do Modo Componnt Outro método para análs d vbraçõs, dnomnado Método Composto (MC) ( Compost Elmnt Mthod ), fo aprsntado por Zng (998a, b c). Est método é bascamnt uma combnação da vrsatldad do MEF com a alta prcsão das soluçõs analítcas. O MC é obtdo utlzando o lmnto convnconal do MEF, com o conunto d funçõs d forma nrqucdo pla adção d funçõs não polnomas rlaconadas às soluçõs analítcas do problma. Os novos graus d lbrdad rlaconados às funçõs nrqucdoras não têm sgnfcado físco drto foram dnomnados graus d lbrdad c por Zng (998b). O MC pod sr rfnado através do aumnto d lmntos da malha (rfnamnto h) ou através do aumnto da bas d funçõs d forma. O rfnamnto hrárquco obtdo plo aumnto do númro das funçõs analítcas na solução apromada fo dnomnado rfnamnto c por Zng (998a b). Zng (998a b) dsnvolvu lmntos d barra, vga d Eulr-Brnoull

55 53 pórtco utlzando sta técnca para análs d vbraçõs lvrs. Sh Zng () dsnvolvram o lmnto composto para vbração d placa fna lástca. Machado t al. () aprsntam lmntos compostos para vgas d Eulr-Brnoull, vgas d Tmoshnko placas d Mndln. Além do MC, outro método, dnomnado Método do Modo Componnt, aprsntado por Wavr Junor Loh (985), utlza soluçõs analítcas na função d ntrpolação d dslocamntos. O Método do Modo Componnt utlza, na função d ntrpolação d dslocamntos latras do lmnto, as soluçõs analítcas do problma d vbração lvr d uma vga b-rotulada, com o obtvo d nclur o fto dos modos locas d vbração na análs dnâmca d trlças. No MC, o campo d dslocamntos é dscrto pla combnação d funçõs d forma polnomas d lmntos fntos, basados nos valors nodas, funçõs d forma obtdas das soluçõs analítcas. As funçõs analítcas utlzadas são obtdas através da solução da quação dfrncal do movmnto do problma, no domíno do lmnto, com condçõs d contorno compatívs, a fm d mantr os valors dos dslocamntos nodas sndo rprsntados apnas plos graus d lbrdad do MEF. Logo, o campo d dslocamntos é dscrto por: MC ( ξ ) u ( ξ ) u ( ξ ) u = + (.9) MEF TC ond u MEF u TC são os campos d dslocamntos do MEF analítco, rspctvamnt. O prmro trmo do campo d dslocamntos pod sr dtrmnado por um sstma d coordnadas nodas do MEF utlzando o vtor d funçõs d forma N, o vtor d dslocamntos nodas u (ou graus d lbrdad nodas) a coordnada local do lmnto ξ, como na quação: MEF T ( ξ ) N ( ξ ) u u = (.)

56 O sgundo trmo do campo d dslocamntos é dado por cofcnts qu multplcam as funçõs analítcas nrqucdoras, através da quação: 54 TC Τ ( ξ ) = Ø ( ξ ) c u (.) ond Ø é o vtor d funçõs analítcas c é o vtor d cofcnts (graus d lbrdad c ou coordnadas c). Substtundo as quaçõs (.) (.) m (.9) obtém-s: MC Τ ( ξ ) = N T ( ξ ) u + Ø ( ξ ) c u (.) Obsrva-s qu o MC corrspond ao caso partcular do MMA proposto por Engls (99), Gansan Engls (99) m qu s utlzam os modos d vbração natural analítcos do lmnto, com dslocamntos nodas rstrtos, como modos admssívs. O nrqucmnto proposto plo MC produz modlos hrárqucos mlhors rsultados qu aquls obtdos plo rfnamnto h do MEF convnconal na análs d vbraçõs lvrs d barras vgas d Eulr-Brnoull (ARNDT, MACHADO HECKE, a 3). Arndt, Machado Hck (b), ao analsarm os casos d vbração lvr d uma barra unform fa-lvr d uma vga unform ngastada-lvr, vrfcaram qu tanto o rfnamnto c do MC quanto o rfnamnto p do MEF aprsntam grand prcsão na dtrmnação dos prmros autovalors, mas os rros crscm rapdamnt na dtrmnação dos últmos. Est fto fo mas marcant no rfnamnto p. Os autovalors d ordm mas lvada obtdos nsta análs plo rfnamnto c foram mas prcsos qu os obtdos plo rfnamnto p do MEF, com o msmo númro d graus d lbrdad. Além dsso, o númro d graus d lbrdad ncssáros para o rfnamnto p atngr maor prcsão qu o rfnamnto c do MC mostrou-s crscnt com a ordm do autovalor. Arndt, Machado Hck (5) compararam os rfnamntos p hrárquco

57 55 do MEF obtdo a partr do lmnto cúbco d Hrmt, o rfnamnto c do MC o rfnamnto trgonométrco proposto por Gansan Engls (99) na análs d vbração lvr d uma vga unform b-apoada. Os rsultados obtdos mostraram qu o rfnamnto p hrárquco convnconal o MC possum taas d convrgênca suprors aos rfnamntos trgonométrcos h (lmnto cúbco). Msmo o rfnamnto trgonométrco, qu aprsntou taas d convrgênca prómas das taas do rfnamnto h (lmnto cúbco), fo mas prcso na obtnção dos autovalors mas altos. Rcntmnt, Lu Law (7) propusram modfcar o MC na análs d vbraçõs lvrs d vgas com a utlzação d dfrnts funçõs analítcas, d acordo com as condçõs d contorno da vga, consdrando os trmos d acoplamnto das coordnadas nodas coordnadas c na matrz d rgdz. No MC orgnal sts trmos ram muto pqunos, portanto consdrados nulos. Os rsultados obtdos plo MC modfcado para uma vga unform ngastada-lvr mostraram-s mas prómos dos analítcos do qu os obtdos plo MC orgnal. Já na análs d vbraçõs lvrs d uma vga d sção transvrsal com varação lnar d altura, as frquêncas naturas obtdas plo MC com um lmnto cnco graus d lbrdad c (st graus d lbrdad ftvos), aprsntadas na tabla.4, ndcam qu a mudança proposta aprsnta rsultados mas prómos aos obtdos plo MEF do qu o MC orgnal. Obsrva-s ntrtanto, qu no método modfcado prd-s a gnraldad do MC orgnal com a ncssdad d utlzar dfrnts funçõs d forma dpndndo das condçõs d contorno do problma. TABELA.4 FREQUÊNCIAS NATURAIS PARA VIGA NÃO UNIFORME Frquênca (Hz) MEF MC Orgnal MC Modfcado ω 8,57 8,378 8,58 ω 33,568 3,773 33,57 ω 3 75,338 74,6 75,345 ω 4 33,74 6,98 33,755 FONTE: LU LAW (7) Lu Law (9) também aprsntam um procdmnto para ncorporar um

58 56 modlo d trnca ao lmnto d vga d Eulr-Brnoull do MC para análs d vbraçõs dntfcação d trncas. Rcntmnt, Lu t al (9) aprsntaram um novo método para análs d vbraçõs lvrs forçadas d vgas com mudanças abruptas d sção utlzando o MC. Nst método a vga é analsada através d um únco lmnto, sm a ncssdad d dvd-la m sgmntos unforms ntr cada mudança abrupta d sção transvrsal. Na análs d uma vga lvr-lvr com uma mudança d sção, os rros rlatvos ntr os rsultados do MC prmntas para as três prmras frquêncas foram d,3,,96,39%, rspctvamnt. Na dtrmnação das dz prmras frquêncas naturas, d uma vga smplsmnt apoada com três mudanças d sção, utlzando o MEF com 3 graus d lbrdad o MC com 4 graus d lbrdad, fo obsrvada uma dfrnça máma ntr os rsultados d,7 Hz...6 Método dos Elmntos Fntos p-fourr Lung Chan (998) propusram a utlzação d produtos d polnômos sérs d Fourr no lugar d smplsmnt polnômos no rfnamnto p do MEF. Como as sérs d Fourr são bm comportadas mas ftvas na prvsão d modos naturas m méda frquênca, as lmtaçõs no uso d polnômos como funçõs d forma dvdo ao su mau condconamnto quando m grau lvado dsaparcm. O Método dos Elmntos Fntos p-fourr (MEF Fourr) consst no nrqucmnto do conunto d funçõs d forma do MEF convnconal pla adção d funçõs d forma basadas nas sérs d Fourr para lmntos d barra, vga d Eulr-Brnoull placa. As funçõs d forma nrqucdoras são scolhdas d modo a srm nulas nos nós do lmnto, da msma forma como proposto no MMA d Gansan Engls (99) no MC. O MEF Fourr fo aplcado na análs d vbraçõs lvrs d vgas d Eulr- Brnoull placas com dfrnts condçõs d contorno com ótmos rsultados. Ao

59 57 analsar a vbração lvr d vgas unforms com dvrsas condçõs d contorno, vrfcou-s clnt convrgênca. Por mplo, para apromar a sta frquênca d uma vga com rro rlatvo d apromadamnt,5% foram ncssáros apnas ss trmos da sér d Fourr. O MEF Fourr não fo comparado com outros métodos no trabalho d Lung Chan (998). Mas rcntmnt, Lung Zhu (4) aprsntaram dvrsos lmntos para análs d vbração no plano d vgas curvas fnas spssas através do MEF Fourr. Para a análs d vbração no plano d sóldos lástcos bdmnsonas, também fo aprsntado por Lung t al (4) um lmnto trapzodal para o MEF Fourr. Lung Zhu (4) analsaram a vbração transvrsal lvr d uma vga rta smplsmnt apoada aplcando o lmnto proposto por Lung Chan (998), o rfnamnto p hrárquco do MEF utlzando polnômos ortogonas d Lgndr como funçõs d forma. Os rsultados mostraram qu o númro d condção da matrz d massa do MEF Fourr é mnor qu aqul rlatvo à matrz d massa do MEF p mprgado, ndcando uma mlhor stabldad numérca. Além dsso, utlzando o MEF Fourr com 498 trmos trgonométrcos foram obtdos rros prcntuas, m rlação à solução analítca, nfrors a,3 % para todos os autovalors calculados, com cção dos dos últmos. O MEF Fourr também s mostrou mas prcso do qu o MEF p na dtrmnação dos modos d médas altas frquêncas. Os lmntos d vga curva propostos por Lung Zhu (4) foram aplcados na análs d vbraçõs lvrs d anél crcular fno, arcos crculars artculados, arcos ngastados lvrs unforms não unforms. O MEF Fourr mostrou-s fcnt para prvr modos d corpo rígdo sm travamnto ( lockng ), além d aprsntar clnt convrgênca soluçõs prcsas. O lmnto trapzodal proposto por Lung t al (4) fo aplcado na análs d vbraçõs lvrs para stados planos d tnsão d barra lástca placas ngastadas lvrs, também para o stado plano d dformaçõs d uma barragm d trra com sção transvrsal trangular. Com a utlzação d ntgração

60 58 analítca, as análss mprgando o MEF Fourr proposto mostraram-s mas prcsas qu aqulas ralzadas com lmntos smlars ntgração por Quadratura d Gauss. O MEF Fourr mostrou-s mas fcnt na dtrmnação d modos d médas altas frquêncas do qu o MEF p utlzando polnômos ortogonas d Lgndr, assm como m vtar problmas d mau condconamnto. Os rsultados mostraram também qu o MEF Fourr é mas prcso qu os lmntos convnconas do MEF com msmo númro d graus d lbrdad aprsnta rápda convrgênca m rlação ao númro d trmos trgonométrcos...7 Método dos Elmntos Fntos Gnralzados Atualmnt, város métodos têm s orgnado a partr do Método da Partção da Undad (MPU) (MELENK; BABUSKA, 996) têm sdo amplamnt mprgados com bastant sucsso na solução d problmas com domínos complos, com domínos nvolvndo problmas m qu há dscontnudads sngulardads, ou quando s dsa nrqucr o subspaço d apromação com funçõs qu rfltm nformaçõs prvamnt conhcdas sobr a solução da quação dfrncal govrnant do problma. Ests métodos aparcm na ltratura sob dfrnts noms, porém dfrm bascamnt na forma d aplcação da partção da undad. O Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG) ( Gnralzd Fnt Elmnt Mthod ) fo proposto ndpndntmnt por Babuska outros (MELENK; BABUSKA, 996; BABUSKA; BANERJEE; OSBORN, 4; DUARTE; BABUSKA; ODEN, ) por Duart Odn (DUARTE; ODEN, 996; ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ, 998) com os sgunts noms: Método dos Elmntos Fntos Espcal, Método dos Elmntos Fntos Gnralzados, Método dos Elmntos Fntos Partção da Undad, Núvns hp Método dos Elmntos Fntos basado nas Núvns hp. Nst sntdo, város métodos sm malha rcntmnt propostos podm sr consdrados como casos spcas dst método. Por outro lado, Stroubouls t al. (6) dfnm a subclass dos métodos dsnvolvdos a partr do

61 59 Método da Partção da Undad nclundo: o Método das Núvns hp d Odn Duart (DUARTE; ODEN, 996; ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ, 998), o Método dos Elmntos Fntos Estnddo (MEFE) d Blytschko outros (SUKUMAR t al, ), o Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG) d Stroubouls t al ( ), o Método das Esfras Fntas d D Bath () o Método da Partícula - Partção da Undad d Grbl Schwtzr (SCHWEITZER, 8). Sgundo Babuska, Banr Osborn (, 4), o Método dos Elmntos Fntos Gnralzados fo ncalmnt dalzado para a solução d problmas líptcos com cofcnts spcas. Já Stroubouls, Babuska Copps () dfnm o MEFG smplsmnt como a combnação do Método dos Elmntos Fntos com o Método da Partção da Undad. Duart, Babuska Odn () dscrvm as prncpas déas do Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG) dmonstram algumas d suas vantagns sobr o MEF tradconal na solução d problmas complos. Entr stas vantagns, dstacam-s as habldads d produzr rfnamntos hp d lmntos fntos com h p não unforms, d grar subspaços d apromaçõs partculars para aplcaçõs spcífcas. Babuska, Banr Osborn (4) também dscrvm as bass tórcas do método. O Método dos Elmntos Fntos (MEF) torna-s, nfm, um caso partcular do MEFG. O Método dos Elmntos Fntos Gnralzados pod sr ntão dfndo como um Método d Galrkn, cuos spaços d apromaçõs locas consstm d funçõs, não ncssaramnt polnomas, qu rfltm as nformaçõs dsponívs sobr a solução da quação dfrncal a sr rsolvda garantm boa apromação local global. Est método prmt construr um spaço d solução global, a partr d spaços d apromaçõs locas, sm sacrfcar suas proprdads d apromação, além d garantr a conformdad dst spaço hrdada da partção da undad. Stroubouls, Babuska Copps () dstacam qu outra vantagm do método é a possbldad d utlzar códgos computaconas algortmos robustos á

62 6 dsnvolvdos para o MEF. As prncpas bass matmátcas do Método da Partção da Undad utlzado no MEFG são dscrtas por Mlnk Babuska (996) são aprsntadas no capítulo 4. Babuska, Banr Osborn () dscrvm prncípos para slção das funçõs d forma do MEFG. As funçõs partção da undad as funçõs nrqucdoras, m crtos casos, podm sr lnarmnt dpndnts ou quas lnarmnt dpndnts, mas, sgundo Stroubouls, Babuska Copps (), sta dfculdad pod sr faclmnt soluconada pla utlzação d algortmos d solução d alto dsmpnho com pvotamnto parcal ou por uma técnca d prturbação. Ests autors dscrvm stratégas d solução da dpndênca lnar d ntgração numérca, além d dscutrm arqutturas d códgos computaconas para o MEFG. Babuska Zhang (998) utlzaram o Método da Partção da Undad, na análs d vga d Tmoshnko sob apoo lástco. A construção d um Método dos Elmntos Fntos hrárquco basado na Partção da Undad é aprsntada por Taylor, Znkwcz Oñat (998). Dvrsos trabalhos rcnts têm ndcado a fcênca do MEFG outros métodos basados no Método da Partção da Undad m problmas tas como análs d trncas (XIAO; KARIHALOO, 7; ABDELAZIZ; HAMOUINE, 8; DUARTE; KIM, 8; NISTOR; PANTALÉ; CAPERAA, 8), plastcdad (GRACIE; VENTURA; BELYTSCHKO, 7), grands dformaçõs m mcânca dos sóldos (KHOEI; ANAHID; SHAHIM, 8) quação d Hlmholtz (STROUBOULIS; BABUSKA; HIDAJAT, 6; STROUBOULIS; HIDAJAT; BABUSKA, 8). Algumas das psqusas rcnts são dscrtas a sgur a fm d aprsntar um brv panorama da aplcabldad do MEFG m dvrsas áras. Embora sam métodos smlhants, na ltratura não fca claramnt stablcda a dfrnça ntr o Método dos Elmntos Fntos Gnralzados (MEFG) o Método dos Elmntos Fntos Estnddo (MEFE) ( Etndd Fnt Elmnt Mthod - X-FEM ), sndo ambos ctados a sgur como aprsntados plos autors dos trabalhos.

63 6 Dolbow (999) dsnvolvu o Método dos Elmntos Fntos Estnddo basado no Método da Partção da Undad com nrqucmnto local dscontínuo para análs d trncas. O autor aprsnta stratéga para modlar dscontnudads arbtráras, m lastcdad lnar bdmnsonal, através da utlzação d funçõs nrqucdoras dscontínuas. Propõ anda o nrqucmnto local da rgão do vértc da trnca a fm d prmtr cálculos prcsos dos fators d ntnsdad d tnsão. O trabalho aprsnta dtalhs d mplmntação rlaconados à ntgração numérca à slção dos nós a srm nrqucdos. A formulação nrqucda para análs d fratura m placas d Mndln-Rssnr é aprsntada. El aprsnta também o método d solução dos problmas d contato nvolvdos dstaca a habldad do método proposto para modlar o crscmnto d trnca sm rconstruçõs d malha, anda consdrar dfrnts camnhos d trnca com uma malha grossra. Como mplo, a fgura. aprsnta os fators ntnsdad d momnto K normalzados, obtdos por Dolbow (999) através d dfrnts análss d uma trnca m uma placa nfnta suta a um momnto. FIGURA. FATORES INTENSIDADE DE MOMENTO (K) NORMALIZADOS EM RELAÇÃO À LARGURA DA PLACA FONTE: DOLBOW (999)

64 6 A análs utlzando o lmnto clássco MITC4 sm nrqucmnto, m uma malha com 655 graus d lbrdad (gl), aprsntou apromadamnt 5% d rro para toda a faa d spssuras da placa. Já na análs utlzando o lmnto nrqucdo proposto por Dolbow (999), m uma malha com apnas 755 graus d lbrdad, obtv-s prcsão quvalnt à obtda com o lmnto sm nrqucmnto, porém m uma malha com 463 graus d lbrdad. Quando fo mprgado o lmnto nrqucdo m uma malha com 387 graus d lbrdad, o rro dmnuu para apromadamnt %. Mangn (6) aprsnta a aplcação do MEFG com funçõs nrqucdoras polnomas na análs d strutura d cascas d rvolução plorando a assmtra. Stroubouls t al. (6) aprsntam mplos d construção d stmadors d rro a postror para métodos basados na partção da undad amnam a confabldad dsts stmadors. Os stmadors d rro a postror são mportants frramntas para vrfcação da prcsão das soluçõs computaconas. Xao Karhaloo (7) aprsntam a mplmntação do lmnto d trnca híbrdo (ETH) ( hybrd crack lmnt ) combnado ao MEFE. Os fators d ntnsdad d tnsão têm sdo tradconalmnt usados na dtrmnação do níco d propagação d trncas, mas studos rcnts mostraram qu trmos d ordm mas alta do campo assntótco d dslocamntos tnsõs no vértc da trnca são d grand rlvânca para prdção d campos lasto-plástcos para ntrprtação do fto d tamanho ( sz ffct ) d matras quas frágs. Estudos têm mostrado qu o lmnto ETH é um dos mas prcsos convnnts para obtnção drta d fators d ntnsdad d tnsão d trmos d alta ordm. Também é muto fcnt para análs d corpos com múltplas trncas. O ETH rprsnta uma trnca ou a vznhança do vértc da trnca através d apnas um supr-lmnto qu é conctado compatvlmnt com os lmntos crcundants qu dscrvm o rstant do domíno.

65 63 O trabalho d Xao Karhaloo (7) aprsnta a técnca para mplmntar o ETH m uma malha gral do MEF. O ETH pod sr formado plos lmntos qu crcundam o vértc da trnca. Ests lmntos são dscartados da análs, pos suas matrzs d rgdz não são utlzadas. Os nós no ntror do ETH também não são utlzados sus graus d lbrdad rsultam m pvôs nulos no procsso d fatoração. Est problma pod sr vtado pla fação dsts graus d lbrdad ou pla sua substtução pla undad quando ncontrados no procsso d solução do problma. No MEF a malha dv s conformar à part da trnca fora do ETH. Por outro lado o MEFE utlzado por Xao Karhaloo (7) prmt o nrqucmnto do MEF com dscontnudad d dslocamntos ao longo da trnca soluçõs assntótcas no vértc da trnca, vtando também a ncssdad d mudanças da malha com a volução dsta. O MEFE aprsnta complcaçõs na ntgração por quadratura dvdo ao ntgrando sngular não prmt a dtrmnação drta dos trmos d ordm supror. A combnação do ETH na rgão do vértc com o MEFE modlando as facs da trnca fora do supr-lmnto agrga flbldad alta prcsão na dtrmnação dos fators d ntnsdad d tnsão dos trmos d ordm mas lvada do campo assntótco. Sgundo Chssa Blytschko (6), os métodos nrqucdos têm s mostrado bm sucddos na modlagm d fnômnos státcos quas-státcos tas como os da mcânca da fratura lástca lnar nclusõs, os d nãohomogndads mcro-strutura. Porém, m problmas dpndnts do tmpo ls não têm atngdo o msmo grau d sucsso. Técncas d sm-dscrtzação clásscas têm sdo mprgadas m problmas dpndnts do tmpo, como soldfcação, crscmnto dnâmco d trncas problmas d ntração fludo strutura, com modrado sucsso. Chssa Blytschko (6) aprsntam um MEFE spaço-tmpo localmnt nrqucdo para solução d problmas hprbólcos com dscontnudads móvs. O método dsnvolvdo é basado m um novo squma

66 64 d nrqucmnto spaço-tmpo, dsnvolvdo plos msmos autors para dtrmnar dscontnudads m ls d consrvação d ª ordm, aprsntado m trabalho antror no ano d 4. Enquanto os squmas sm-dscrtos nrqucdos capturam a dscontnudad, ls tndm a sr osclatóros na vznhança dsta aprsntar rro na magntud da dscontnudad. Já a formulação spaço-tmpo nrqucda é supror na captura da dscontnudad. No trabalho d Chssa Blytschko (6), o squma spaço-tmpo aprsntado antrormnt, no qual as dscontnudads são plctamnt obtdas com nrqucmnto, é combnado com formulaçõs clásscas d lmntos fntos para problmas hprbólcos. A formulação nrqucda spaço-tmpo é acoplada com lmntos fntos sm-dscrtos fora da rgão d dscontnudad. O domíno spaço-tmpo é subdvddo m subdomínos: a rgão da dscontnudad m qu s mprga o nrqucmnto spaço-tmpo o rstant do domíno qu utlza a formulação sm-dscrta clássca. A dscontnudad é modlada por nrqucmnto local conform o MEFE. Uma função é usada para dscrvr a posção da dscontnudad a função dgrau é utlzada como função nrqucdora unto à dscontnudad. Chssa Blytschko (6) aprsntam rsultados para dos mplos: quação da onda lnar quação d Burgrs. O rsultado obtdo plo MEFE para solução da quação da onda lnar é mostrado na fgura.3. Na fgura.4 pod-s obsrvar a solução do MEFE para a quação d Burgrs. O MEFE utlzado na solução dsta quação prmtu qu a vlocdad do choqu foss dtrmnada com rro nfror a %.

67 65 FIGURA.3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR DA ONDA NO TEMPO t = 7, FONTE: CHESSA E BELYTSCHKO (6) FIGURA.4 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BURGERS NO TEMPO t =,853 FONTE: CHESSA E BELYTSCHKO (6) O studo d fnômnos fundamntas m plastcdad frquntmnt nvolv a smulação d dslocamntos d átomos cua análs normalmnt tm alto custo lmtaçõs quanto ao tamanho do modlo. Grac, Vntura Blytschko (7) aprsntam uma nova técnca basada no MEFE ond sts fnômnos são modlados drtamnt através d dscontnudads ntrors é aplcado o nrqucmnto tangncal.

68 66 No trabalho d Grac, Vntura Blytschko (7), um cort é ntroduzdo sobr uma lnha d scorrgamnto a suprfíc supror é movda m rlação à suprfíc nfror. Os dos lados da dscontnudad são ntão rconctados o campo d tnsõs é dtrmnado plas quaçõs govrnants do sóldo. Com o MEFE, o scorrgamnto ao longo do plano d dslzamnto pod sr modlado sm a ncssdad d qu as facs dos lmntos concdam com st plano. Uma formulação lástca lnar com pqunos dslocamntos é utlzada. A posção do plano d dslzamnto a posção do núclo são dscrtas através do uso d funçõs adquadas. O plano d dslzamnto corrspond a uma fort dscontnudad com um salto no campo d dslocamntos. O dslzamnto sobr st plano é ntão ntroduzdo por uma dscontnudad ntrna prscrta no campo d dslocamntos através do nrqucmnto tangncal. Na mplmntação, a cada função d nrqucmnto é somada uma constant para facltar a mposção d condçõs d contorno d dslocamntos prscrtos. Foram analsados quatro mplos vrfcou-s qu o método aprsnta clnt prcsão, como pod sr obsrvado nos campos d tnsão para um domíno sm-nfnto obtdos analtcamnt utlzando o MEFE (fgura.5). FIGURA.5 TENSÕES σ (dyn/cm ) PARA UM PLANO SEMI INFINITO FONTE: GRACIE, VENTURA E BELYTSCHKO (7)