TEMA 3 TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

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2 TEMA TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS Funçõs trgonométrcas a) sn sn b) c) sn tg tg tg a) b) c) 8 sn sn 8 sn sn 8 sn sn sn a) Da fórmula fundamntal da trgonomtra rsulta: sn sn sn a Como é um ângulo do prmro quadrant sab-s qu sn portanto sn a c) S é um númro ntro ntão b) sn a a 9 a) tg tg tg tg b) sn tg sn tg sn c) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

3 sn Por dfnção ou sja ntão a quação sn só é possívl s: Para qualqur ângulo gnralado tm-s: f sn sn sn por outro lado sn sn f Então f f ou sja f é ímpar f sn sn Atrbundo valors ntros a obtém-s: para ; para ; para ; para Então os ros d f no ntrvalo Sab-s qu sn são: para ; para portanto o mámo d f é f sn Portanto é a prssão gral dos mnmants d f A fgura sugr qu g f qu g Então a b sn a b a a c q d a bsn a b b b para Com os valors d a b ncontrados a função g pod sr dfnda por g sn Então como sn toma todos os valors do ntrvalo sn toma Então o mínmo d g é todos os valors do ntrvalo g sn sn sn sn Dsts apnas prtncm ao ntrvalo Portanto o conjunto-solução da condção é S Para qualqur ângulo gnralado mddo m radanos tm-s g sn sn sn g Portanto é príodo d g c q d DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

4 8 a) sn sn R S : b) sn R S : c) 8 sn sn sn sn sn mp sn R S : d) sn sn sn R S : 9 a) f sn sn ' f D sn sn f Eprssão gral dos ros d f: b) g sn sn ' g D sn sn g Eprssão gral dos ros d g: a) O ponto C concd com B quando Então sn d AB Ora como [AB] é dâmtro da crcunfrênca O o su cntro tm-s AB OA b) sn sn d S ntão o únco valor d qu vrfca a gualdad é DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

5 c) O prímtro d [ACO] é dado m função d por como vara m sn sn d sn assumndo todos os valors dst ntrvalo Então Então o prímtro d [ACO] vara ntr o príodo postvo mínmo d g é P O função g tm por contradomíno g ; Portanto o mámo d g é sn sn Para 9 vm para vm para Então os mamants d g qu prtncm a vm para são: 9 vm Como a ampltud da osclação do gráfco é o valor d pod sr A obsrvação do gráfco sugr qu são ros conscutvos d f Ora sn a sn a a a Então a dfrnça ntr dos ros conscutvos d f é Pod-s ntão tomar far a A ampltud d osclação é gual a 8 plo qu A A O príodo postvo mínmo da função é P Então pod-s far B Como o ro da função sno é Pod-s far C f sn porqu Portanto a função f pod sr dfnda analtcamnt por f DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

6 a) f f () A função sno é par b) g sn sn sn g () a função sno é ímpar A obsrvação do gráfco sugr qu Então Portanto f f Então f é ímpar Então g é ímpar a b a b a b b b a b a b a b a b a a b ; O contradomíno d h é Então o mínmo d h é o mámo O mámo da função corrspond à maré alta Então qurmos o nstant m qu ss mámo ocorr h Como t t t t D h a maré alta ocorru às às ás horas do da m causa O príodo postvo mínmo é P 8 t t t t Para para para t t t t t t t vm vm vm 8 Então a solução da condção t t S ;;; A obsrvação do gráfco sugr qu T 8 T A ampltud térmca fo d 8 plo qu b 8 Como é mínmo o valor d b é ngatvo Então b 8 Como T a 8 a 8 A dfrnça ntr um mamant um mnmant conscutvos é gual a mtad do príodo mínmo postvo Então o príodo postvo mínmo da tnsão d T ao conjunto dos númros ras sra P plo qu c c Assm tm-s a b 8 c é DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

7 8 8 O ponto P é o ponto d mámo do gráfco d f com maor abcssa ngatva Como s f s a ordnada d P é Para vm para vm Então as coordnadas do ponto P são 8 D acordo com o rfrdo m 8 as magns d por f quando tomam todos os valors apnas sss do ntrvalo S f Então f é crscnt m lm lm Portanto o contradomíno d f é ' D f 9 a) R D f \ Cálculo aular: b) R D g \ Cálculo aular: c) R D g \ tg R R D f \ : tg tg f P é príodo d f s f D f P f tg P tg tg P tg f P f P P Para qualqur ntro é príodo d f Então é o príodo mínmo postvo d f tg tg f DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

8 Da fórmula fundamntal da trgonomtra vm tg Então sn sn a) b) lm tg quadrant) lm tg lm lm sn sn (not-s qu s stá no º A função tangnt é contínua m R \ R \ a rstrção à função f é contínua porqu é a soma d duas funçõs contínuas m f tg f tg f é contínua m ntrvalo logo Então plo Torma d Bolano f admt plo mnos um ro no Como lm tg lm tg O rao da bas do clndro é gual à dstânca do ponto A à orgm do rfrncal Então o rao da bas do clndro é Assm a mdda da ára da bas do clndro é Sndo a ampltud do ângulo tm-s anda qu Portanto V tg tg BD tg plo qu BD tg OB lm tg lm tg Intrprtação: o volum do clndro pod sr tão grand quanto s qura dsd qu s faça o ângulo BOD sufcntmnt prómo d DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

9 D h R : lm tg lm tg é assíntota vrtcal do gráfco d h Então a rta d quação No domíno d h tm-s h tg tg tg Então a prssão gral das soluçõs da quação h é A ára d um con d rao r gratr g é dada por A gratr dst con é GV GV GV Então a ára do con é dada m função d por A A A r g r ou sja lm A lm A ára do con tnd quando tnd para Est rsultado vrfca-s porqu a ára da bas do con é constant a altura do con tnd ( A gratr tnd a fcar paralla à altura quando tnd para ) a) lm lm Então não st lm lm b) lm lm lm lm tg sn sn sn sn lm sn sn sn c) lm lm lm DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

10 d) sn sn sn tg sn lm lm sn lm lm lm lm sn lm lm lm sn lm lm 8 9 a) 8 b) sn lm sn lm lm lm c) sn lm sn lm sn sn lm lm sn lm sn sn lm lm lm sn lm sn sn lm sn lm lm sn sn é o msmo qu dr qu Not-s qu dr qu sn sn sn a) lm lm lm lm sn sn sn pla gualdad sn sn sn dmonstrada no rcíco antror tm-s qu lm ntão sn sn sn lm lm ou sja lm sn sn sn b) Fando a mudança d varávl vm lm lm sn sn lm sn lm lm lm lm sn sn sn A função f é contínua m porqu é a soma d uma constant com o produto d duas funçõs contínuas (uma polnomal a composta d uma ponncal uma polnomal ambas contínuas) A função f é contínua m porqu é o quocnt d duas funçõs contínuas (soma d uma polnomal uma trgonométrca uma polnomal) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

11 Por outro lado tm-s f lm lm lm lm f sn sn sn f portanto a função f é contínua m \ R contínua m à squrda sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn a) sn sn sn sn sn c q d b) sn sn sn sn c q d c) sn sn sn sn sn sn sn sn sn tg sn sn c q d a) lm lm lm lm sn sn sn sn sn sn sn b) sn sn sn sn lm lm lm sn sn sn lm lm lm lm lm lm lm lm lm sn sn sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

12 Nas condçõs da fgura tm-s: AH AH AB HB sn HB ABsn sn sn AB Então a ára do trângulo [ABH] é dada m função d por sn sn Como os trângulos [AED] [DFC] [CBG] são congrunts com [ABH] o quadrado [ABCD] tm ára a ára da suprfíc sombrada é dada m função d por f a) b) c) f sn sn ou sja sn sn g sn sn sn sn h sn f c q d sn sn sn f f sn c q d sn sn sn Como D f os ros d f são Assm tmos: f f 9 f Assm f é crscnt nos ntrvalos ; dcrscnt no ntrvalo tm mínmos rlatvos m ; mámos rlatvos m A função f tm um mínmo absoluto f mámo absoluto f lm h h h h h lm h h lm h h h sn h sn h snh lm lm lm snh lm h h h h h h h DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

13 a) g sn b) h c) d) ) sn sn sn sn snln j snln ln p coos sn sn sn sn f ansnn bn n a n bsnn n f Então an n bn snn f an n bn snn n f an n bn snn an n bn snn c q d g tg tg tg tg h tg tg tg tg tg a) f b) tg tg c) f sn sn f sn sn f f m M m A função tm dos mínmos rlatvos f f f um mámo rlatvo f é mínmo absoluto f é mámo absoluto DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

14 O dclv da rta tangnt ao gráfco d f no ponto d coordnadas f Então a quação rduda rta tangnt é é Consdr-s um ponto Q m [OA] d forma qu QP sja parallo a BA Nstas condçõs [OQP] é um trângulo rtângulo portanto QP sn QP sn OP OQ OQ OP Assm tmos qu a ára do trapéo é dada por sn sn sn sn c q d A A sn Quando plo qu o valor obtdo é a ára dss quadrado A A sn o trapéo é um quadrado d ára é S Como o conjunto-solução da quação As abcssas d A B são pontos do gráfco d f ond a função assum valors trmos f Então como f é drvávl no domíno a sua drvada sn anula-s nos pontos ond a função assum um valor trmo f sn sn Como a ordnada d A é o únco mámo rlatvo d f m tm-s qu a ordnada d A é f Analogamnt como a ordnada d B é o únco mínmo rlatvo d f m a sua ordnada é f DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

15 Como f drvada d f é postva m f ngatva m pod-s afrmar qu é o mámo absoluto d f f é o mínmo absoluto Como a função é drvávl m todo o domíno é contínua Portanto o contradomíno d f é D f A rta tangnt ao gráfco d f m A pod sr dfnda pla quação Então o ponto pddo tm como abcssa uma das soluçõs da quação f O gráfco d g não tm assíntotas vrtcas no ntrvalo porqu g é contínua nst ntrvalo uma v qu é o quocnt d duas funçõs contínuas (a soma d uma afm uma trgonométrca uma quadrátca) Analogamnt não tm assíntotas vrtcas m por também sr contínua nst ntrvalo (produto d duas funçõs contínuas a dntdad uma ponncal) lm lm g g sn lm lm lm sn Portanto o gráfco d g não tm assíntotas vrtcas Para C A g g g + - g M Assm c q d g é mámo rlatvo d g é o únco trmo rlatvo d g m Como s rfru m g é contínua m Então como contínua m sn Por outro lado sn g g 8 S R r qu g g Então plo Torma d Bolano st plo mnos uma solução da quação g no ntrvalo ntão A r r Vrfcando-s o modlo tm-s r ângulo do prmro quadrant tm-s Assm o valor d pddo é radanos a r g é plo r Como é um DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

16 Mas rcí (Págs a 8) Escolha múltpla 8 Opção (B) D acordo com as condçõs da fgura as coordnadas do ponto C são sn Então a ára do trângulo [AOC] é m função d sn Os trângulos [AOB] [AOC] são congrunts porqu um é rflão do outro com o O plo qu a ára d [AOB] é também Assm a ára do quadrlátro [ABOC] é sn sn sn 9 Opção (A) Como sn ncssaramnt falsa não pod prtncr ao domíno d f Portanto a afrmação (A) é Opção (B) sn sn No círculo trgonométrco prcb-s qu m sta quação tm duas soluçõs (uma volta complta) Então no ntrvalo tm soluçõs Opção (B) S ntão portanto lm tg Opção (D) Como h R qualqur rta tangnt ao gráfco d h não pod tr dclv fora do ntrvalo Plo qu a únca rta qu pod sr tangnt ao gráfco d h é a dfnda pla quação Opção (C) No círculo trgonométrco rprsntado ao lado tmos a sombrado a rgão corrspondnt à condção sn a tracjado a rgão corrspondnt a Então a rgão pdda é ond as duas s sobrpõm Opção (C) A bas [BC] do trângulo [ABC] tm mdda d comprmnto gual a altura gual ao valor absoluto da abcssa d A qu é Então é a ára do trângulo 8 [ABC] m função d Assm tm-s DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

17 Opção (B) lm sn Opção (D) lm lm lm sn sn lm sn Opção (C) Como f abcssa sn lm tg é m f sn sn lm lm lm o dclv da rta tangnt ao gráfco d f no ponto d 8 Opção (D) O príodo mínmo postvo é P 9 Opção (C) sn sn Opção (B) A função m é contínua m porqu é nst ntrvalo a soma d duas funçõs contínuas (uma ponncal uma constant); é também contínua m porqu nst ntrvalo é o quocnt d duas funçõs contínuas (uma trgonométrca a dntdad) Então para sr contínua tm d sr contínua à squrda no ponto ou sja lm m m sn Como m lm m lm o valor d dv sr Opção (A) Da obsrvação do gráfco tm-s qu f f f a tg a No domíno da função tm-s f tgb tgb b b Opção (C) O ponto A tm coordnadas sn ntão EO sn EA Como C tm coordnadas ( ) OA é um rao da crcunfrênca tmos qu OA Como O é o ponto médo d [ED] d [AB] ntão ED sn EA BD AB Então o prímtro pddo é sn sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

18 Rsposta abrta Como t 9 ; toma todos os valors ras do ntrvalo contradomíno Portanto a altura máma é mtros d t a função d tm t t t sn t 9 t Assm o conjunto-solução da condção é Portanto o ponto V atng vs a altura máma dt S : 9 d t OV t t t t sn t 8 t 8 Como D 9 tmos 8 t 8 9 d t Como sn tm-s 9 tg a) b) Assm tmos: sn sn 9 tg tg tg sn sn sn a) snsn snsn snsn snsn snsn b) sn sn s sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

19 c) sn sn sn sn sn sn c q d sn sn sn sn a) lm lm lm sn sn sn lm b) lm lm lm lm sn sn c) lm sn sn lm lm sn lm sn lm lm sn lm sn sn lm lm lm d) lm lm lm sn sn A função g é contínua porqu é o quocnt d duas funçõs contínuas (uma polnomal uma trgonométrca) é ncssáro qu: a) Para qu uma tnsão h d g sja contínua m lm h lm ora sn sn lm lm lm sn sn sn lm Portanto a h tnsão contínua d g a pod sr dfnda por s \ g h s b) Como lm lm não é possívl sn sn ncontrar uma tnsão d g ao ntrvalo qu sja contínua 8 a) f sn sn sn sn b) g tg tg sn tg c) h sn sn sn sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

20 d) ) f) n tg tg j tg sn sn sn sn sn sn sn sn g) h) m tg tg sn tg sn sn p sn sn 9 9 A ára do trapéo é A ABCD AD DC AD AD sn AD sn DC AB com ou sja DC Então a ára do trapéo é dada m função d por A sn sn sn sn sn sn 9 A sn sn sn sn A s sn 8 Rpar-s qu A nd + - nd A 9 Ára máma: A lm M A sn sn sn sn sn sn lm lm lm sn lm Por dfnção d drvada num ponto do su domíno DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

21 h h lm h h h sn sn h Como h h D h D h as soluçõs da quação são nd nd PI O gráfco d h tm concavdad voltada para cma m PI m concavdad voltada para bao m tm dos pontos d nflão um no ponto d abcssa outro no ponto d abcssa O dclv da rta tangnt ao gráfco d h num dtrmnado ponto é gual quando st à drvada d h na abcssa dss ponto Então porqu o dclv da bsstr dos quadrants ímpars é prtnd-s dtrmnar tal qu h Na calculadora obtém-s: Portanto o ponto ond a tangnt ao gráfco d h é paralla à bsstr dos quadrants ímpars tm abcssa apromadamnt gual a 8 a) f f Então a função f é postva m ngatva m tm príodo mínmo postvo Assm pod-s conclur qu f é crscnt m ntrvalos do tpo dcrscnt m ntrvalos do tpo DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

22 rlatvos m Os mámos rlatvos são da forma forma b) g tg tm mámos rlatvos m mínmos os mínmos rlatvos da g No domíno d g condção g tm duas soluçõs: nd nd g M m A função g tm um mámo rlatvo g tg um mínmo rlatvo g tg V con CB CV CV CB CV sn CB sn V sn sn sn sn sn sn c q d sn sn V V sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn m apnas a quação admt solução qu é apromadamnt 9(valor arrdondado às mlésmas) O dclv da rta tangnt ao gráfco d f no ponto B é gual a 8 DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

23 Então prtnd-s dtrmnar o valor d abcssa d B para o qual f sn f 8 Na calculadora obtém-s: Então a abcssa do ponto B é apromadamnt 9 Como os pontos D C têm a msma abcssa a ordnada d C é f Assm a altura do trapéo tm mdda gual a A bas mnor do trapéo tm mdda gual a BC Como A é o ponto d ntrsção do gráfco d f com o o das abcssas a sua ordnada é a abcssa é o mnor ro postvo d f f Então as coordnadas d A são plo qu a bas maor do trapéo é DA Portanto a ára do trapéo [ABCD] é f 8sn ; f 8sn Portanto f f f 8sn 8sn sn c q d Consdrando um rfrncal on d orgm m O smo postvo O com a drção sntdo d AC smo postvo O com drção sntdo d OE undad gual ao rao da crcunfrênca tm-s qu as coordnadas do ponto D são sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

24 Assm tm-s qu [FDE] rlatvamnt à bas [DF] tm mdda gual a [ABC] são congrunts por smtra do hágono DC AF sn AC DF sn a altura do trângulo Os trângulos [FDE] Então a ára do hágono é dada m função d pla prssão: A sn sn sn sn sn sn sn A A c q d sn sn No ntrvalo Como A mámo tm domíno a quação é quvalnt a f é postva m ngatva m tm como sn sn lm lm lm g lm g Então a função g é dscontínua no ponto porqu lm g não st mas é contínua à drta no ponto porqu lm g g sn g h sn Sab-s qu no ntrvalo sta quação tm atamnt duas soluçõs Então no ntrvalo tm lm g S atamnt soluçõs Por outro s g h g h tm atamnt soluçõs no ntrvalo Então a quação ou sja os gráf d g h ntrstam-s m pontos nst ntrvalo O ponto com mnor abcssa postva é sn 9 Assm as coordnadas do ponto são ; DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

25 m b lm lm f lm sn lm sn sn lm lm sn sn f D forma análoga obtém-s m f lm b lm f Portanto a bsstr dos quadrants ímpars é assíntota do gráfco d f qur m qur m A função drvada d f é dfnda por f sn Então o dclv m da rta tangnt ao gráfco d f no ponto d abcssa Rpar-s qu m f f sn sn sn f sn Então f f Por outro lado a função f é contínua m porqu é a dfrnça d duas funçõs contínuas (a dntdad a composta d uma trgonométrca uma raconal) Portanto plo Torma d Bolano f tm plo mnos um ro no ntrvalo é 8 8 Como o domíno d f é lmtado supror nfrormnt o su gráfco não tm assíntotas não vrtcas Por outro lado a função é contínua porqu é o quocnt d duas funçõs contínuas (ambas trgonométrcas) o ntrvalo plo qu nst ntrvalo o gráfco d f não tm assíntotas vrtcas Por outro lado lm lm Então as rtas d quação são assíntotas vrtcas do gráfco d f 8 co co sn f sn sn sn sn Como tm-s f f f Então f é crscnt m tm como valor mámo f sn dcrscnt m DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

26 8 Como o ponto Q prtnc ao gráfco d f a ordnada d Q é f ponto é solução da quação f No domíno d f tm-s: a abcssa dss Como Q é um ponto do prmro quadrant as suas coordnadas são Então o ponto R tm coordnadas A ordnada d P é plo qu a sua abcssa é um ro d f f Como a abcssa d P é postva as suas coordnadas são Assm tm-s OP RQ Portanto a ára do trapéo é OR 9 f sn sn sn sn f sn sn sn sn Então f f sn sn sn f c q d Autoavalação 8 (Págs 9 a ) Grupo I Opção (A) A concavdad do gráfco d f d acordo com a fgura stá voltada para bao à squrda d voltada para cma à drta nfltndo no ponto Então a sgunda drvada dvrá sr à squrda d postva à drta sndo ro dsta função Opção (B) lm lm a sn sn lm lm a Opção (C) f sn lm lm a a a a ln ln ln Opção (C) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

27 Sab-s qu lm g porqu g R assíntota do gráfco d g Então lm lm g g a rta d quação é Opção (C) Os ros d f são: Os ros d g são: No conjunto dos ros d f g stm 9 lmntos dos quas comuns às duas funçõs Assm a probabldad d scolhdo ao acaso um lmnto dst conjunto sr ro d ambas as funçõs é Opção (D) 9 Com quatro A um B três D é possívl far st uma chav corrta a probabldad pdda é 8! 8!! 8 chavs dfrnts Como apnas Opção (C) S A B ntão A B A A B B plo qu as opçõs (A) (B) são vrdadras Tm-s anda qu A B PA P B A P plo qu a opção (D) também é P A P A vrdadra Por outro lado A B PA P A B P porqu A PB PB PB Grupo II P Nst problma como rtramos ao acaso smultanamnt bolas das 9 stnts na 9 caa a ordm não é rlvant plo qu é possívl ralar C traçõs dfrnts tndo todas gual probabldad d sar O acontcmnto A: «sar plo mnos duas bolas vrds» é a unão dos dos acontcmntos ncompatívs: B: «sar duas bolas vrds ou C: «sar três bolas vrds» O númro d casos favorávs a B é C trar duas das ss bolas vrds uma das tr d cor não vrd o númro d casos favorávs a C é C trar três das ss bolas vrds Como os acontcmntos são ncompatívs o númro d casos favorávs à sua unão é a soma dos casos favorávs a cada um dls ou sja C C Como os casos possívs nsta prênca são quprovávs a probabldad d A d acordo com a Rgra d Laplac é gual ao quocnt ntr o númro d casos favorávs o númro d casos possívs Portanto a probabldad pdda é como o nuncado aprsnta C C PA 9 C DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

28 A função f é contínua m f lm lm f f s lm f lm lm sn st lm f sn sn lm lm lm Então f é contínua à drta m mas dscontínua m f lm f sn lm sn Para assíntotas do gráfco d f f é contínua m As rtas d quação não são porqu é o quocnt d duas funçõs contínuas (uma trgonométrca uma polnomal) m gráfco d f não tm assíntotas vrtcas lm f lm lm lm Então como f Então o f é strtamnt dcrscnt nst ntrvalo Tm-s qu OA AP OP OA OP Por outro lado como o trângulo [OPQ] é rtângulo m Q (uma tangnt a uma crcunfrênca é prpndcular ao rao no ponto d tangênca) tm-s: OQ sn sn OP OP OP sn sn Então AP OP OA ou sja a dstânca d é dada m função d sn sn sn pla prssão d f c q d sn f sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn Como qualqur qu sja plo qu f é dcrscnt Portanto a afrmação é vrdadra sn f Qurmos um ponto A d abcssa tal qu g d g m A) Na calculadora obtmos: sn ; qualqur qu sja (dclv da tangnt do gráfco DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

29 Então a abcssa d A é apromadamnt Númros complos 8 a) 8 b) R() Im() S S 8 8 a) b) 8 Sjam A B O os vértcs do trângulo Então têm coordnadas: (-) ( ) ( ) AB AO BO 9 Então o prímtro do trângulo é: As coordnadas d A B são rsptvamnt ( ) ( ) AB Consdr-s u tal qu u AB u AB por mplo u ( ) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

30 Então ) ( u A D ) ( u B C Os complos são AB ntão a ára do quadrado [ABCD] é 8 a) b) c) d) 8 a) b) 88 a) - b) c) + d) - 89 Sjam os dos númros complos R Sab-s qu: 8 8 Os complos são a) b) c) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

31 9 a) a a a a b) b b b b 9 a) 8 8 b) c) 9 9 a) Sja a b a b R a b a b a R() b) Sja a b a b R a b a b a b b Im( a b ) c) Sja a b a b R a b a b a b a b b Im( ) a) Sja w a b a b w a b ntão R w a Im w b D acordo com a fgura Então w a ntão w Im w prtnc ao º quadrant R b) Sja w a b a b w a b ntão R w a Im w b Então w prtnc ao º quadrant c) Sja w a b a b w a b ntão R w a Im w b D acordo com a fgura Então w a ntão w Im w prtnc ao º quadrant R 9 9 a) 9 b) 9 8 c) 9 a) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

32 b) 9 a) 9 8 b) c) p q p q q q q q q p pq q p q pq p q p 99 a) b) a a a a a a a a a a Então a a) b) 9 c) 9 9 DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

33 a) 8 b) c) é a soma dos prmros trmos d uma progrssão gométrca d prmro trmo raão Então tm-s S Podríamos também pnsar qu d quatro m quatro parclas a soma dá ) ( ) ( sobrando apnas a parcla n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Então n a) b) c) a) 9 9 b) c) d) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

34 Para sr um númro ral tm-s 8 a) b) 8 9 c) Sja b a m qu a b são númros ras tas qu R b a b a b a b a b a b a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b a 9 8 Para sr solução basta vrfcar a gualdad 8 9 Então - é solução da quação DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

35 Para sr ro do polnómo o rsultado da substtução d por - é ro m m m 8 9 a) S b) S c) 8 8 S 8 d) S ) Sja R Então S f) Sja R Então S DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

36 - - Os vértcs do trângulo são os pontos A B C d coordnadas ( ) ( ) ( -) AC AB BC O prímtro do trângulo é Sja w ntão w w w Consdrando A B C D os afos d cada um dos complos tm-s: OA OB OC OD [ABCD] é um quadrado pos as suas dagonas são prpndculars bssctam- -s no ponto O a) 8 8 b) b b b b b b DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

37 9 b b 8 ntão 8 b b b b b b 9 b Para qu w prtnça à bsstr dos quadrants ímpars R w Imw ntão w 9 9 R w Imw S ntão 9 a) r ; tg ntão as coordnadas polars são b) r 8 ; tg ntão as coordnadas polars são c) r ; tg ntão as coordnadas polars são A sn ntão B sn ntão w a) ; tg ; º Q ntão por mplo cs b) ; tg ; º Q ntão por mplo cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

38 c) d) ) f) a) cs cs ; tg ; ºQ cs ; tg ; ºQ cs ntão por mplo ntão por mplo sn b) sn c) d) - a) Escrvr w na forma trgonométrca ; tg ; º Q ntão por mplo w cs cs cs Como ntão b) cs cs Como ntão c) cs cs Como ntão DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

39 S Então OB AB os trângulos [OAB] [OA B] são sóscls ntão cs cs cs O trângulo [OAA ] é rtângulo m O ntão a ára é 8 ˆ AOB a) b) c) a) cs cs ; cs cs cs cs ; cs cs ; cs cs ; tg ºQ ntão cs cs cs ; cs cs cs cs cs cs b) sn sn cs c) sn sn cs a) como tm-s b) como tm-s c) como tm-s 8 a) b) como tm-s DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

40 9 c) d) a) b) como tm-s tm-s cs ou cs cs Q ; tg º cs cs cs c) cs cs cs cs d) cs cs cs como ntão por mplo A cs ; B cs ; C cs ; D cs ; E cs ; F w cs cs a) ; tg º Q ntão cs cs cs cs cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

41 b) cs cs cs cs cs c) sn cs cs cs cs cs cs cs Q tg w º ; ntão cs w sn cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs w ntão w cs cs cs cs w cs cs cs cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

42 a) b) OA OB AB h tg h ; cs cs para sr um númro ral como mplo ou tm-s ; tg º Q sndo assm tm-s ntão por cs cs cs cs cs cs como tm-s c) cs sn ntão sn sn tm-s como Como [BC] [AD] são parallos ntão ˆ A BO AB tg ntão a ára do rtângulo é OC Na forma algébrca OC OB ntão w cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

43 cs ntão cs cs cs cs prtnc ao smo postvo magnáro 8 a) cs cs b) c) ; tg º Q ntão por mplo cs cs cs cs cs 8 cs 9 Sja cs ntão n n cs cs n n n cs n cs ; cs ; cs cs cs cs cs 8 8 cs cs cs n cs n n n n cs n 8 cs cs não prtnc ao º quadrant ntão como cs o su afo Sja cs cs sn ntão DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

44 sn sn sn sn sn sn sn cs cs cs cs cs w n cs cs 9 cs n Para sr um númro ral postvo Como n é um númro natural para sja n n n 9n cs 9n n 9 9 Para srm raís quartas do msmo complo tm-s o mnor valor d n ou cs cs cs cs São ambos raís quartas d - ntão AB OA OB o prímtro é S a magm gométrca é (- ) o complo é São raís quartas d um msmo complo porqu os sus argumntos dfrm d cs cs cs cs cs cs Assm as raís cúbcas são: cs ; cs ; cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

45 a) b) cs cs As soluçõs são: cs ; cs ; cs ; cs cs cs As soluçõs são: cs ;cs ;cs 8 S fossm raís cúbcas do msmo complo tríamos: cs cs qu é uma condção mpossívl Então não são raís cúbcas d um msmo complo 9 Os vértcs do pntágono são os afos das raís d índc d um dtrmnado complo Assm A é o afo d cs B é afo d cs C é afo d cs D é afo 8 d cs E é afo d cs w cs como w pod-s conclur qu w é dfrnt d qualqur um dos dos complos S são raís d um msmo númro complo têm o msmo módulo ou sja cs cs cs D é afo d cs cs 8 8 w cs cs cs H é afo d 8 8 cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

46 8 cs ; cs cs cs cs cs 8 cs cs 8 cs cs 8 a) cs cs As soluçõs são: b) Sja cs cs cs ;cs ntão As soluçõs são: cs ; cs c) cs cs cs cs cs cs As soluçõs são: ; d) Sja cs ntão cs ; cs cs cs cs cs 9 As soluçõs são: cs ; cs ; cs ; cs ; cs ) Sja cs ntão cs cs cs cs A solução é: cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

47 S o prímtro é o lado do losango é Então a dagonal maor é 8 a mnor é Assm os outros vértcs do losango são - - cs cs Na forma trgonométrca cs cs cs S w é solução vrfca a gualdad cs cs cs 8 cs 8 cs cs cs cs cs cs cs E como a gualdad é vrdadra conclu-s qu w é solução da quação As soluçõs são as raís d índc quatro d w Qualqur uma das raís tm módulo qu é o comprmnto da smdagonal do quadrado Assm o lado do quadrado é l l 8 ntão o prímtro é A é o afo d ntão w A é o afo d cs ; B é afo d d cs cs cs cs ; C é afo Então AB a altura corrspondnt ao lado [AB] md sn A ára do trângulo é DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

48 ; ; Os complos são - - rsptvamnt d argumntos cs 8 a) b) c) 9 a) b) a) b) C A CO DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

49 a) Crcunfrênca d cntro no ponto d coordnadas (afo d ) rao b) Mdatr do sgmnto d rta d trmos nos pontos d coordnadas afos d rsptvamnt c) Rta horontal qu passa no ponto d coordnadas (afo d ) a) b) c) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

50 d) Sab-s qu o argumnto postvo mínmo d é é Então o argumnto mínmo postvo d O smplano prtnddo é o conjunto dos pontos do plano complo cuja dstânca ao afo d é nfror à dstânca ao afo d dfndo pla condção Como cs a) R ou por mplo b) Im ou por mplo c) Im R Assm o smplano pod sr cs vm a) b) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

51 c) a) Solução: Ponto P d coordnadas b) Solução: Ponto P d coordnadas Not qu c) Solução: Ponto P d coordnadas d) Solução: sgmnto d rta d trmos d coordnadas DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

52 À condção I corrspond a fgura (B); à condção II a fgura (A) à condção III a fgura (C) 8 8 R Im( ) 8 Pla smtra do rtângulo rlatvamnt ao o ral o complo qu ncssaramnt s ncontra dntro do rtângulo é 8 A transformação gométrca assocada à multplcação d um númro complo por cs é uma rotação d cntro na orgm do rfrncal ampltud gual a radanos 9 a) b) c) d) a) Como cs a condção quvalnt a cs é DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

53 Crcunfrênca d cntro rao b) cs c) Então a condção dada é quvalnt a Como fando vm R( ) R Então a condção dada tm como magm gométrca o conjunto dfndo m R pla condção: Coroa crcular d cntro no ponto d coordnadas com raos Então arg arg d) a) A rgão do plano dfnda pla condção stá rprsntada na fgura sgunt a sombrado DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

54 Como cada crcunfrênca tm rao o quadrado rprsntado tm lado (vértcs nos cntros das quatro crcunfrêncas não cntradas na orgm) portanto a sua ára é m A ára sombrada pod sr obtda rtrando ao quadrado quartos d círculo d rao ou sja a mdda da sua ára é gual à dfrnça ntr a ára do quadrado a ára d um círculo d rao ou sja b) A rgão do plano dfnda por R Im( ) rprsntado a sombrado na fgura sgunt cuja ára é 8 é o trângulo rprsntado a sombrado na fgura c) A rgão do plano dfnda por arg R é o trângulo As rtas qu lmtam a rgão sombrada podm sr dfndas m ; tg tg qu s ntrstam nos pontos d coordnadas ; R plas quaçõs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

55 mdda é 8 a altura é Portanto a ára pdda é 8 Assm consdrando a bas o lado «vrtcal» a sua d) Stor crcular d rao ampltud Ára gual a As rtas qu lmtam a rgão sombrada podm sr dfndas m R plas quaçõs ; qu s ntrstam nos pontos A B C d coordnadas rsptvamnt Então a ára sombrada é gual à dfrnça ntr a ára do trângulo [ABC] a ára do stor crcular CAB ou sja 9 O módulo é O ponto d tangênca das duas crcunfrêncas é o afo d Então o rao do círculo mnor é Então a condção pdda é a) [A B C ] tm a msma ára d [ABC] ou sja translação assocada ao afo vtoral d B b) [A B C ] tm a msma ára d [ABC] ou sja rotação d cntro na orgm ampltud radanos c) [A B C ] tm gual a m porqu é o su transformado pla m porqu é o su transformado pla m porqu é o su transformado pla composção d uma rotação d cntro na orgm ampltud radanos uma amplação d raão DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

56 a) Sndo M N os númros complos cujos afos são M N pontos médos d [AC] [CB] tm-s C A M C B N Então: B A C B C A N M dond B A N M Portanto os afos vtoras d A B M N são colnars ou sja [AB] [MN] b) AB MN B A N M B A N M c q d Como G I K são os pontos médos d [AB] [CD] [EF] rsptvamnt tm-s: B A G D C I F E K Então o cntro d gravdad do trângulo [GIK] é o afo do númro complo F E D C B A F E D C B A Por outro lado H J L são os pontos médos d [BC] [DE] [FA] rsptvamnt plo qu C B H E D J A F L Então o cntro d gravdad do trângulo [HJL] é o afo do númro complo F E D C B A A F E D C B Portanto os dos trângulos têm o msmo ctro d gravdad como quríamos dmonstrar Ercí globas (Págs a ) Escolha múltpla Opção (B) O príodo d f é Opção (B) S sn ntão plo qu tg tg sn sn Portanto sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

57 8 Opção (B) AB 8 trângulo é ; altura do trângulo rlatvamnt a [AB] é 8 sn sn sn 8 sn sn sn Então a ára do 9 Opção (A) Como tm-s n lmu n 8 Opção (D) Dr qu é o msmo qu dr qu Portanto o lmt pddo é gual a: lm sn 8 Opção (D) lm sn lm lm sn A mdda da ára do quadrado é sn 8 Opção (A) Então a mdda da ára cor d laranja é Como sn A mdda da ára do stor crcular é 8 Opção (A) f 8 Opção (C) lm a a Tomando a tm-s o msmo acontc com a porqu a função sno é par Tomando a tm-s Tomando a tm-s DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

58 8 Opção (A) Por smtra do círculo trgonométrco m rlação ao o O tm-s Opção (D) f tg Então f f tg sn sn Assm o dclv da rta s é Como s passa na orgm a sua quação rduda é 8 Opção (A) ] [ 88 Opção (B) A função f é contínua m m quocnt d duas funçõs contínuas ln ln lm m lm lm lm m f lm lm sn m lm m lm S f Portanto a função f é contínua s 89 Opção (A) porqu m qualqur dos ntrvalos é o sn sn lm lm 9 Opção (D) a a a a a 9 Opção (C) Como o afo vtoral d gométrca d w é w é gual à soma dos afos vtoras d w a magm 9 Opção (A) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

59 9 Opção (B) S é um magnáro puro não nulo ntão a Im Im Im a R R a a a Im( ) ; a m ; a a 9 Opção (D) 9 Opção (B) cs cs cs 9 Opção (B) Um númro complo tm magm gométrca no ntror da crcunfrênca d cntro na orgm rao s é solução da condção cs ; cs ; ; 9 Opção (B) n n n 98 Opção (A) S a magm gométrca d w prtnc à bsstr dos quadrants ímpars R ntão na forma trgonométrca é da forma w cs cs w 99 Opção (B) S w prtnc à part ngatva do o ral w é da forma quadradas d w são cs magnáros puros Opção (B) arg arg w cs w cs Portanto: w cs ntão as raís ou sja cs cs ambos DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

60 Então s Opção (A) Como arg arg arg R R o o magnáro sta é a condção qu dfn no plano complo (A) A opção (D) stá cluída porqu os complos aprsntados não têm o msmo módulo cs 8cs cs 8cs 8cs como tm-s qu cs cs complo Opção (D) Portanto cs cs cs são raís cúbcas do msmo númro (fórmula d Movr) Então possívs argumntos dstntos das raís stas d são: 9 ; ; ; Opção (C) S A B são dos vértcs conscutvos do hágono rgular qu tm como afos Opção (D) A condção as magns gométrcas das raís índc d cs ntão ˆ AOB Como o módulo das raís stas d é a mdda da ára do stor crcular AOB é dfn a mdatr do sgmnto d rta d trmos nos afos d ou sja a bsstr dos quadrants pars Assm fcam cluídas as opçõs (A) (B) Por outro lado a part ral d tm d sr supror ou gual a o qu clu a opção (C) (no sgundo quadrant R( ) ) Ercí globas (Págs a ) Rsposta abrta f ( ) ntão m f) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

61 Como f( ) ntão a quação rduda da rta tangnt é Como R tm-s f( ) R ou sja f ( ) R ntão f é strtamnt crscnt não tm trmos f( ) ntão é ro d f Como f é contínua strtamnt crscnt não stm outros ros f ( ) sn f ( ) No ntrvalo tmos os ros nd nd f () f nd p p nd Então stm dos pontos d nflão d coordnadas O ponto A tm coordnadas sn A Como o trângulo [AOD] é sóscls tm-s qu BC a altura do trapéo é 8sn AD sn sn 8sn A 8sn 8 8 A função A é contínua m partcular é contínua m ntrvalo contdo no su domíno A 8 ; A 8sn 8 DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

62 A A ntão plo Torma d Bolano st um valor no ntrvalo para o qual a ára é Para qu o trapéo sja rtângulo o ponto D tm ordnada Assm como D prtnc à crcunfrênca tm-s ) ( Dst modo a altura do trapéo é ou sja como conclu-s qu a) lm ) ( lm ) ( lm tg tg tg Mudança d varávl: ; b) lm lm ) ( lm ) ( lm ) ( ) ( lm ) ( ) ( lm ) ( ) ( lm tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg Mudança d varávl: ; ; c) lm lm lm sn sn sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

63 d) lm lm lm lm sn sn sn sn Mudança d varávl: ; ) lm lm lm lm lm sn sn sn Mudança d varávl: ; 8 a) lm ) ( lm ) ( lm sn sn sn Mudança d varávl: ; b) lm lm sn sn c) lm lm sn sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

64 d) sn sn sn lm lm lm ln sn lm lm ln Mudança d varávl: ; ln ; ln ln lm ln ln ) lm lm lm lm sn lm sn lm Mudança d varávl: ; f) lm ; lm tg tg ntão lm tg sn sn g) lm sn( ) lm lm h) lm sn lm sn Mudança d varávl: ; ; sn lm lm sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

65 ) sna sna sn a lm lm a lm a lm a Mudança d varávl: ; a ; sn a j) lm lm sn lm sn sn sn sn lm sn Mudança d varávl: ; 9 f ( ) sn( ); f ( a) sn (a) a a sna Como a a ntão ( a ) f ( a) ( a) Então tm-s a a b b a quação rduda pdda é a a) f ( ) sn sn( ) b) f ( ) sn sn sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

66 c) d) f ( ) tg f ( ) sn sn sn sn sn sn sn tg sn sn sn sn sn sn sn ) sn sn f ( ) sn sn sn f) sn f ( ) sn sn sn sn lm lm lm f ( ) ; f ( ) sn f ( ) No ntrvalo tm-s os ros f () F O gráfco d f tm a concavdad voltada para cma m m coordnadas voltada para bao m f( ) g( ) sn No ntrvalo Estm dos pontos d nflão d as soluçõs são DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

67 a) f( ) sn sn f ( ) sn Como os ros são f () f m M m M m M f f é mínmo rlatvo é mámo rlatvo f é mámo rlatvo f é mínmo rlatvo f é mínmo rlatvo f é mámo rlatvo b) sn sn sn sn f ( ) ( sn) f ( ) sn Como os ros são DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

68 f () f p p p ; Os pontos d nflão têm coordnadas A ára da suprfíc trrstr é Assm prtnd-s: f r r sn r r sn Como o valor pddo é Como o trângulo [ACN] é rctângulo tm-s qu: sn r sn CN CN r r h sn r sn h r r ond h é a sn DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

69 dstânca da nav à suprfíc da Trra A uma vlocdad d m/h ao fm d t horas a dstânca à suprfíc srá t m ou sja r r h t r t t r sn sn sn a ára vsívl m função d t é: r r r t r t r r t r r t t r r t r ntão h ntão t g( t) r r t r t r 8 r t 8 r t r r t r t r t A vlocdad pdda é g() r r m /h r t r t lm lm lm r t r t t t t r À mdda qu o tmpo dcorr a nav s afasta a suprfíc vsívl é mtad da suprfíc trrstr lm f( ) lm sn lm f( ) lm sn sn lm lm Mudança d varávl: ; Como lm f( ) lm f( ) f() conclu-s qu f é contínua m f( ) lm lm lm m DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

70 b lm lm lm lm A rta d quação f ( ) ntão m s f( ) é assíntota oblíqua do gráfco d f f( ) sn ntão é a quação rduda da rta s Como r é prpndcular a s m r S a rta r é tangnt ao gráfco d f num ponto d abcssa a f ( a) a a a ntão No ntrvalo tm-s a como f sn b b a quação rduda da rta r é ntão A tm coordnadas ntão B tm coordnadas ntão C tm coordnadas A ára do trângulo [ABC] é f ( ) a a f( ) a a f a a Como m r a m s a a qu a para qu r s sjam prpndculars tm-s a a a a a Utlando a calculadora basta ncontrar a abcssa do ponto d ntrsção das no ntrvalo funçõs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

71 Então a a) b) 8 c) ab b a b ab a b a d) ) f) 9 9 g) h) 9 8 a) Sja R ntão R ) Im( b) Sja R ) Im( DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

72 9 9 a) b) c) d) ) f) a) qu é mpossívl b) c) Para sr um númro ral tm-s d) 9 9 Para sr um magnáro puro não nulo tm-s: a) m m m m m m Após a vrfcação conclu-s qu m ou m m m b) Para sr um númro ral tm-s m m m m DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

73 c) m m m m m m m Para sr magnáro puro m m d) m m m m m m Para sr um magnáro puro tm-s m m ) m m m Para sr um númro ral m m a) 8 8 b) a) b) Sja R Então DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

74 c) d) a) b) c) cs cs 8 tg ºQ ntão por mplo cs d) tg º Q ntão por mplo cs ) cs 9 f) tg ºQ ntão por mplo DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

75 cs a) cs sn sn sn b) cs sn sn sn c) cs sn sn d) cs sn sn ) cs sn sn f) cs sn sn sn sn sn sn tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg a) b) cs cs cs c) Sab-s qu os afos das raís quartas d w são vértcs d um quadrado Então ; ; são as outras raís quartas d w DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

76 w w Sjam A B C os afos d w b rsptvamnt Então ] [ b b b AB A ABC w w w w w w w w w w R= 8 DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

77 8 cs cs R= cs cs 9 n cs n cs cs n cs Para qu a sua magm gométrca prtnça à bsstr dos quadrants ímpars stja no º quadrant tm-s qu: n n n 8 8 Como s prtnd o mnor númro natural n tm-s para o valor pddo n 9 S são vértcs conscutvos d um quadrado n n n n 8 8 Os dos mnors valors d n são n n DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca

78 9 cs cs cs cs O trângulo [OAB] é rtângulo m O porqu Assm OA OB A[ OAB ] ntão w cs cs cs qu é um magnáro puro a) Sja cs cs cs Para obtém-s cs Para obtém-s cs Para obtém-s cs b) Sja cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

79 cs cs cs cs cs cs Então cs Como [OA] [OC] são prpndculars sndo qu A rsulta d uma rotação d cntro na orgm ampltud gual a C A ( cs ) O ponto B é o transformado d A por uma rotação d cntro na orgm ampltud gual a Então como cs vm B Como sn cs Então os complos qu têm como magns gométrcas os vértcs do transformado d [OABC] são; A ' ; B ' ; C ' A C B DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

80 qu é um magnáro puro a) Como o afo d quadrants pars trgonométrca é Então é um ponto do sgundo quadrant qu prtnc à bsstr dos cs cs sja as raís quadradas cs 8 são cs 8 portanto st complo na forma 8 cs cs 8 Ou b) Cálculo aular: um ponto do quarto quadrant tm-s Então as raís cúbcas d cs cs cs c) Como cs as raís quartas d são: cs cs 8 9 cs cs cs cs tg cs 8 são cs ou sja: sndo o fo d ou sja as suas raís stas são cs d) Como cs sja cs cs cs cs cs cs ou 9 a) Como cs cs cs cs Assm fando cs vm: cs cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

81 Portanto o conjunto-solução da quação é S cs ; cs cs 8 c) Fando cs cs vm: cs Portanto o conjunto-solução da quação é S cs ; cs cs c) Fando cs vm: cs cs cs cs cs Então o conjunto-solução da quação é: S cs cs cs d) Fando cs tm-s: cs cs 8 8 cs cs cs Então o conjunto-solução dsta quação é S cs cs ) 8 cs cs cs Então o conjunto-solução dsta quação é S cs cs cs cs Cálculo aular: Como o afo d é um ponto do prmro quadrant qu prtnc à bsstr dos quadrants ímpars tm-s cs DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

82 f) Fando cs tm-s cs cs cs cs cs cs 8 8 Então o conjunto-solução dsta quação é cs cs cs S Cálculo aular: tg sndo o fo d um ponto do prmro quadrant tm-s cs Como o afo d é um ponto do sgundo quadrant qu prtnc à bsstr dos quadrants pars portanto tm-s cs Então fando cs tm-s : cs cs cs cs cs 9 cs cs cs a) b) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

83 O númro complo Ora é ra do polnómo b c s b c b c b b c b c b b c b Portanto é ra do polnómo b c s b c Tm-s qu o afo d prtnc à bsstr dos quadrants ímpars portanto Então cs cs cs é um ponto do prmro quadrant qu cs Para qu um complo na forma trgonométrca sja ral postvo o su argumnto tm d sr da forma Ora s tm-s Sndo o trângulo Então qulátro cntrado na orgm prtncm à crcunfrênca d cntro na orgm rao dvdm-na m três ar congrunts Assm tm-s cs cs R arg S é o transformado d por uma rflão d o magnáro ntão os complos qu têm como magns gométrcas no plano complo os pontos são rsptvamnt Todos os vértcs do hágono rgular prtncm à crcunfrênca d cntro na orgm rao dvdndo-a m ss ar congrunts Então qualqur dos complos qu tnha um dos vértcs como magm gométrca é da forma cs Fando W cs w cs cs cs vm para qualqur valor d o qu prova o prtnddo a) b) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

84 c) d) ) 8 D acordo com as condçõs dadas os cntros das crcunfrêncas são pontos d coordnadas Assm a rgão colorda pod sr dfnda m C pla 9 condção a) A crcunfrênca d cntro m C tm rao gual a crcunfrênca pod sr dfnda m C pla condção C Então sta O ponto B é o ponto com abcssa postva d ntrsção da crcunfrênca atrás rfrda o o ral Sndo B o afo d um númro ral postvo a sua ou sja as coordnadas d B são ordnada é nula Então Portanto a rgão colorda pod sr dfnda m C pla condção R DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

85 d) A crcunfrênca d cntro na orgm rao pod sr dfnda m C pla condção O cntro da crcunfrênca d mnor rao é o ponto d ntrsção das rtas tangnts à crcunfrênca cntrada na orgm nos afos d cs cs Estas rtas podm sr dfndas plas quaçõs têm dclvs guas a tg rsptvamnt Assm a quação rduda da rta tangnt à crcunfrênca no afo d crcunfrênca no afo d Então é a quação rduda da rta tangnt à tg Então o cntro da crcunfrênca d rao mnor tm coordnadas o rao 9 r é 8 Portanto a rgão colorda pod sr dfnda pla condção arg arg 8 Autoavalação 9 (Págs 8 9) Grupo I Opção (C) Como stm pars d mas dos quas s vão rtrar ao acaso o númro d casos possívs é C O númro d casos favorávs a apnas srm prtas dado qu stm pars d mas prtas é gual a C Opção (D) P X P X P X P X P X tm-s a 9b Como DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

86 Por outro lado P X P X P X P X a b Substtundo na sgunda gualdad a por Voltando à prmra gualdad vm 9a obtém-s a 9 8 Opção (C) Smtra da dstrbução normal m rlação à méda 9b b b b Opção (A) Por dfnção d sno sno do ângulo gnralado as coordnadas do ponto B são sn h sn Então BC Então a ára do trângulo é dada m função d por: a altura h do trângulo [ABC] rlatva à bas [BC] é sn sn 8 Opção (B) ln ln lm lm g g Opção (A) '' f m f '' m é ro d f Opção (A) R R Rprsnta o o magnáro Rprsnta o o ral Rprsnta o o ral Rprsnta o o ral 8 Opção (B) Como a soma d dos númros complos tm como afo vtoral a soma dos sus afos ntão À multplcação d um complo por corrspond uma rotação d cntro na orgm ampltud radanos Assm tm-s Grupo II w tg é um ângulo do sgundo quadrant tm-s w cs Como DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

87 Por outro lado o ponto G é o transformado d A por uma rotação d cntro O ampltud 9 (ou composta d rotaçõs d cntro O ampltud uma v qu são vértcs d um nágono rgular Então G é o afo d w G cs cs cs 9 cs 8 8 cs cs Portanto w cs ss cs 9 ) cs cs cs cs Então o afo dst complo prtnc à crcunfrênca qu contém os vértcs do nágono rgular Então ou é um ponto tror à rgão ou um dos sus vértcs qu prtncm ao sgundo quadrant qu são: cs cs 9 Sndo um argumnto do complo tm-s Então rfrdos S cs Portanto o afo d tg plo qu cs cs qu não é gual a qualqur dos dos vértcs atrás não prtnc à rgão aul ntão cs cs Assm sn sn sn sn sn sn c q d Sjam A B os acontcmntos «sar bola branca na prmra tracção» «sar bola branca na sgunda tracção» P A B Prtnd-s calcular Sab-s qu P B A qu P A B Então A P P A P A A B P A P A B P B A B A PA A B A P A P P B P B P (not-s qu por smtra sar bola branca P A sguda d bola prta tm a msma probabldad d sar bola prta sguda d bola branca) ; DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 8

88 B P B A P A P B A P A P A Rsposta I: Para formar um trângulo são ncssáros conjuntos d pontos não colnars Nst conjunto d ss pontos é possívl formar C conjuntos dstntos d três pontos no ntanto m dos dsss conjuntos os três pontos são colnars Então é possívl formar C C conjuntos d pontos não colnars ou sja é possívl formar trângulos Rsposta II: Para qu na formação d conjuntos d três pontos não stam três pontos colnars scolhm-s dos dos três pontos d uma rta aul (rta ) um dos três pontos da outra rta aul (rta ) ( C C d sguda conjuntos) S a consttução dos conjuntos s ncar pla scolha d dos pontos da «rta» obtém-s outros C conjuntos dfrnts Assm o númro d trângulos dfrnts qu s podm formar com os rfrdos pontos é C Sndo I t p t ntão I t t t t t t t t ln t t ln 9 Portanto o númro d pssoas nftadas chgou a m 9 I p p t p p ln ln p p sn sn sn lm f lm lm lm lm f lm lm lm lm Como os lmts latras m são fntos f é contínua o su gráfco não admt assíntotas vrtcas DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 88

89 h h sn Na calculadora obtém-s: sn sn Então as duas soluçõs da quação são apromadamnt A prmra drvada d f é dfnda pla prssão Como a função é drvávl m f f tm um mámo rlatvo m a abcssa do ponto A ln ln Então as coordnadas do ponto A são ln ln ln f ln ln ln ln Cálculo aular: ln f f Por outro lado f ln ln Dond f é postva m ln ngatva m coordnadas d B são ln ln ln anula-s m ln Então as ln f ponto d nflão do gráfco d f Portanto a ára do trapéo [ABCD] é AC BD ln CD ln ln ln c q d Autoavalação (Págs a ) Grupo I Opção (C) DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 89

90 O octadro tm três dagonas spacas Portanto a probabldad pdda é C Opção (B) Estm C formas dfrnts para scolhr dos alunos para partcpar nas Olmpíadas da Matmátca sobram alunos dos quas s scolhm para partcpar nas Olmpíadas da Físca stndo C formas dfrnts d o far os rstants alunos partcparão nas Olmpíadas da Bologa Assm stm C C formas dfrnts d organar os alunos Opção (B) p p p p ap ap ap a Opção (B) u sn ; u sn sn ; sn u ; u sn sn u sn sn ; u sn sn ; Opção (D) f log log lm f sn sn lm lm lm lm lm sn f log log Para qu f sja contínua Opção (C) D acordo com a rprsntação gráfca d f drvávl m R \ sta é dcrscnt m (f é ngatva m ) crscnt m (f é postva m drvada d f não stá dfnda m ) A Opção (D) Porqu w 8 Opção (C) O argumnto d um númro ral postvo tm argumnto gual a Então os argumntos das suas raís cúbcas são a mnos d DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

91 Grupo II cs Cálculo aular: tg Então cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs sn sn sn sn tg tg cs cs c q d Sjam R M E os acontcmntos: «Escolhr um rformado» «Escolhr uma pssoa qu gosta d músca popular» «Escolhr um studant» R M P ; R P Então R P R P M R M P M M E P E P M R P M M P P M R P M M R P P X Y P X P X PY Y P X X PY P X PY X X P Y P X PY Y P X PY P X Y P X PY Y X P X P Y P X Y P X X P qu é uma condção unvrsal (dfnção d probabldad) A méda d mprgados por mês durant o studo fo d apromadamnt 9 pssoas 9 8 P P DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

92 P t 8t 8t 9 8t P t 8t P t 8t 8t 8t ln t ln f f 8t ln 8t + - M O nstant m qu a taa d crscmnto d dsmprgados é máma é ou sja durant o trcro mês do studo ln A função f é contínua no ntrvalo porqu é o quocnt d duas funçõs contínuas (a composta d uma ponncal com uma quadrátca uma afm) Então para qu sja contínua m basta qu sja contínua m à squrda lm ou sja f f lm lm lm Not-s qu fando lm dr qu lm é o msmo qu dr qu Portanto o valor d para o qual a função f é contínua m é Assíntotas vrtcas: lm gráfco d f lm ln Então a rta d quação não é assíntota do Então a rta d quação é assíntota vrtcal unlatral do gráfco d f Como a função f é contínua m \ sta é a únca assíntota vrtcal do su gráfco Assíntotas não vrtcas: ln ln m lm lm lm Cálculo aular: DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9

93 Fando ln lm tm-s: lm ln lm ln ln lm Então o gráfco d f não tm assíntotas não vrtcas lm Em h ln h (ora plo qu ) Então Como h Sab-s ntão qu 8 não prtnc ao ntrvalo h Portanto h dcrscnt m absoluto nst ntrvalo f Como ln ln Portanto h não tm ros no ntrvalo crscnt m o únco ro d h h ln nst ntrvalo é tm mínmo ln h ntão ln O gráfco aprsntado na opção (A) é o únco qu pod rprsntar o gráfco da função f (drvada d f) O gráfco da função aprsntado na opção (B) rprsnta uma função postva m ntrvalos do tpo a com a plo qu f tra d sr crscnt nst ntrvalo o qu não s vrfca O gráfco aprsntado na opção (C) não pod rprsntar a função drvada d f plo msmo motvo qu o aprsntado para o da opção (B) O gráfco da opção (D) aprsnta uma função ngatva m ntrvalos da forma b com b> Sndo sta a drvada d f nst ntrvalo a função sra dcrscnt m ntrvalos dst tpo o qu não s vrfca DESAFIOS Matmátca A º ano Santllana Constânca 9