RACIOCÍNIO LÓGICO Aula 01 Prof. Dudan www.concursovirtual.com.br
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 01 Vamos começar com conjuntos numéricos. Deve-se fazer questões em casa. Esta disponível 2 listas de questões das primeiras 5 aulas, da banca CESPE e de algumas outras bancas que serão feitas em aula. Algumas questões não estão no livro, mas serão feitas em aula. Matemática deve-se aprender e depois aplicar. Matemática e hábito. Façam diariamente no mínimo 3 questões e não fiquem uma semana sem ver a matéria. Conjuntos numéricos (muito cobrado). Básico: Números naturais: são usados para enumerar elementos da natureza, bem simples: conta arvorezezinhas, nuvenzinhas. Ou seja: conta coisas (0, 1, 2, 3, 4, 5,...). Criado com o objetivo para contar o que esta ao seu redor, elementos da natureza. Os números naturais é um conjunto simples, mas só ele já tem infinitos números. OBS: Subconjuntos em um primeiro momento não são importantes para a gente, a menos que o edital tenha a parte de funções. O CESPE não tem o costume de trabalhar com funções. Normalmente o CESPE em todas as provas nos últimos 2 anos esta na mesma ideia do edital atual. Ou seja, teoria dos conjuntos, análise combinatória, probabilidade e porcentagem. Não costuma fugir desses 4 assuntos. Na primeira página do livro tem o edital antigo, ao observar a ante página, tem as redes sociais do professor e tem a parte de raciocínio lógico e com a parte de proporções, que será trabalhado. No item 5, tem o princípio da porcentagem e probabilidade. Depois, operações com conjuntos, que é a aula de hoje, e raciocínio lógico envolvendo problemas algébricos- aritméticos. Hoje será visto o item 6, basicamente, todo ele. Números inteiros: abrange todos os números naturais e junta a eles os negativos. Segundo a lenda, os números negativos surgiram quando o homem começou a comercializar, quando se controlava o que se perdeu ou trocou. Por exemplo, eu tinha 30 kg de café e troquei 10 kg com alguém, eu deveria marcar que perdi 10kg. Ou seja, 30 10. Fazia-se um traço grande ao lado do valor que havia se perdido e esse sinal deu origem ao sinal de menos. Esse conjunto também tem inúmeros subconjuntos, não devemos nos preocupar, a menos que a banca mude o que ela cobra, o que é muito difícil se tratando da banca CESPE. Devemos falar de módulo aqui: o módulo de um número inteiro, ou valor absoluto, é a distância da origem a esse ponto representado na reta numerada. Resumindo, é a escrita do número, sem seu sinal. Assim módulo de -4 e 4 e o módulo de 4 é também 4. Exemplo: -4 = 4 = 4. Outro exemplo: -8 = 8 = 8 ou -5 = 5 = 5 3
Números Racionais (o mais importante da aula): todo número que pode ser escrito na forma. Ou seja, todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b em que o a está no grupo dos inteiros e o b também é inteiro (excluindo o zero). Em suma, todo número que podemos escrever na forma de fração. Exemplo: quais dos 4 números são considerados números racionais 3, 9/2, 3/2, 3/2. Os 3 primeiros! Por quê? O numero 3 pode ser representado como 3/1. Isto é, o 3 e um número inteiro e o 1 também é inteiro. Logo, o primeiro caso é racional. O segundo caso, a raiz quadrada de 9 equivale a 3. Logo, esse número pode ser reescrito como 3/2. Assim, como o número 3 é inteiro e o número 2 também, esse número é também racional. O terceiro caso é o mesmo 3/2. O último caso não é racional, visto que, mesmo que o número 2 seja inteiro, a raiz de 3 não é inteiro (ninguém vai na padaria e pede raiz de 3 pães, não é uma quantidade inteira. Não é possível exatar). Exemplos de racionais: Decimais exatos: 2/5 = 0,4 ou ¼ = 0,25. Todo decimal refere-se a uma fração bonita. Decimais periódicos (dizimas periódica): 1/3 = 0, 3333... ou 7/9 = 0,77777...A banca CESPE ainda cobra. Porque a dízima periódica e uma fração. Ou melhor, o que é uma dízima periódica? Dízima é quando tem 3 pontinhos (...) periódica é quando tem uma repetição de algum algarismo, ou alguns algarismos de forma eterna, com repetição e sem interrupção. OS 3 pontinhos representa que o número se repete infinitas vezes. Não confundir 0,333... com 0,333. No primeiro caso, a repetição de 3 não acaba. Ou seja, 0,33333333333333333. E no segundo caso, o 3 se repete somente 3 vezes e acaba. Isto é, o número é 0,333 e acaba. Mas por que esses números são racionais? Porque existe uma maneira de transformar em fração bonita. Por exemplo, 0,3333... = 1/3 (fração bonita). Passos: 1. Escrever tudo na ordem, sem vírgula e sem repetir; 2. Subtrair o que não se repete, na ordem e sem vírgula; 3. No denominador: para cada item periódico colocar um algarismo 9; para cada intruso colocar um algarismo 0, se houver. O intruso e todo algarismo que vem depois da vírgula e não e periódico. 4
Números irracionais (raramente a banca cobra): todo número cuja representação decimal não é periódica. A repetição não é eterna. Pode ter lógica, mas não tem repetição eterna. Exemplo: 0,212112111... ou 1,203040... ou 2 ou π ou as raízes que não são exatas. Números reais: conjunto formado pelos números racionais e pelos irracionais. Memorizar bem esse diagrama! Ele mostra que todo natural é inteiro, todo natural é racional, nenhum natural é irracional e todo natural é real. Números complexos: todo número que pode ser escrito na forma de a + bi, com a e b reais. Resumindo: todo numero é complexo. Teoria dos conjuntos: conjunto é um conceito primitivo, isto é, sem definição, que indica agrupamento de objetos, elementos, pessoas etc. Para nomear os conjuntos, usualmente são utilizadas letras maiúsculas do nosso alfabeto. 1. Representações: os conjuntos podem ser representados de 3 formas distintas: a) Por enumeração (ou extensão): nessa representação, o conjunto é apresentado pela citação de seus elementos entre classes e separados por vírgulas. Assim temos: um conjunto chamado de A das vogais A = { a,e,i,o,u}. O conjunto B dos números naturais menores que 5 B={0,1,2,3,4}. O conjunto C dos estados da região sul do Brasil C={RS, SC, PR}. b) Por propriedade (ou compreensão): nessa representação o conjunto é apresentado por uma lei de formação que caracteriza todos os seus elementos. Assim, o conjunto A das vogais é dado por: A = {x/x é vogal do alfabeto} {Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x é uma vogal}. Outros exemplos: B= {x/x é número natural menor que 5, ou C={x/x é estado da região sul do Brasil}. 5
c) Por diagrama de Venn: nessa representação, o conjunto é apresentado por meio de uma linha fechada de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. Assim, o conjunto A das vogais é dado por: 2. Relação de pertinência: é uma relação estabelecida entre elemento e conjunto, para ela fazemos o uso dos símbolos e. A pergunta que pode nos orientar é: O elemento esta dentro do conjunto?. 3. Relação de inclusão: é uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação fazemos uso dos símbolos,, e. A pergunta que pode nos orientar é: O conjunto está dentro do conjunto. Exemplos fazendo uso dos símbolos de inclusão, estabelecendo a relação entre conjuntos: Observações (comentário do professor: a banca costuma cobrar a teoria dos conjuntos mais na sua parte teórica): a) Dizemos que um conjunto B é um subconjunto ou parte do conjunto A se, e somente se, B A. b) Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, A B e B C. 6
c) Dados cos conjuntos A, B e C, temos que: se A B e B C, então A C. d) O total de subconjuntos é dado por 2 4, onde e é o número de elementos do conjunto. Exemplo: o conjunto A= {1, 2, 3, 4} possui 16 subconjuntos, pois 2 4 = 16. e) O conjunto vazio sempre é um subconjunto de todos os outros conjuntos. f) O próprio conjunto sempre é subconjunto dele mesmo. Se você gosta somente de xis e não gosta de yakissoba, você é o grupo a. Se você gosta somente de yakissoba e não gosta de xis, você é o grupo c. Se você gosta de xis e não interessa se gosta de yakissoba ou não, você é a + b. Se você gosta de yakissoba e não importa se gosta de xis ou não, você é b+c. Se você não gosta nem de xis e nem de yakissoba, você é o grupo d. Se você gosta de xis e yakissoba, você é do grupo b. Se você gosta apenas de xis ou apenas de yakissoba, você é do grupo a + c. Pessoas que não gostam de xis, c + d. Pessoas que não gostam de yakissoba, a + d. Conjunto complementar: considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A. Veja o diagrama de Venn que representa o complentar de A, indicado por. 7
Todos os elementos que não estão em A, estão no complementar de A. O A complementar seria toda a parte externa a A grifada de azul no diagrama de Venn, em relação ao conjunto universo. Assim, o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto universo U, sendo por o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar. Considere o conjunto A como o conjunto dos números naturais pares A = {0,2,4,6,8, 10...}. Se considerarmos os números naturais o meu universo, o complementar de A seria os números naturais que não estão em A, ou seja, os números impares. No segundo exemplo, considerando o exemplo anterior, mas, em vez de nosso universo ser os naturais, agora o nosso universo é o conjunto dos números inteiros. O nosso complementar agora seriam todos os números negativos e todos os positivos impares, visto que o nosso conjunto A são todos os pares do grupo dos números naturais. Complemento relativo: se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B, também conhecido como diferença de B e A [B A] é o conjunto de elementos de B que não estão em A. A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B A. O que é o complemento do A em relação a B? É o que está fora de A e dentro de B. O complemento da sala de aula física do Concurso Virtual em relação ao Concurso Virtual (curso) é tudo que está fora da sala de aula, entretanto dentro dos limites físicos da sede do curso. O complemento da sala de aula do Concurso Virtual em relação à Porto Alegre é tudo que está fora da sala de aula do Concurso Virtual, porém dentro de Porto Alegre. O complemento 8
da sala de aula do Concurso Virtual em relação ao Rio Grande do Sul é tudo que está fora da sala de aula do Concurso Virtual, porém dentro de Rio Grande do Sul. No primeiro exemplo a resposta é 1, por que queremos saber o que é exclusivo do primeiro subconjunto. Ou seja, o que tem no subconjunto {1,2,3} e não tem no subconjunto {2,3,4}, que é o subconjunto {1}. Respostas: a) {1,2,3,5,7} b) {3,5} c) {1} d) {2,7} e) {5} f) {1,2,3,5,7,10} g) B C = {3,7} h) C B = {10} i) A C = {1,3} j) C A = {2,10} Representação do exemplo anterior no diagrama de Venn: 9
10 Resolução: Nos temos 4 areas, quando temos dois conjuntos: região do grupo exclusivo de A, região exclusiva de B, no miolo região que é de A e B, e fora o que não é de A e nem de B. O ideal para iniciarmos, se possível, é começar pela intersecção. No enunciado, fala-se que a intersecção tem 10 elementos, isto é, o miolo tem 10. Depois ele diz que A B tem 30. Se A B é a região que é exclusiva de A, então a região exclusiva de A tem 30 e o conjunto inteiro de A tem 40. Posteriormente, ele fala que a união de A e B temos 48 elementos, logo a área exclusiva de B equivale a 8. Ou seja, ele quer saber B A que exatamente a parte de B exclusiva (colorida no desenho) que equivale a 8, resposta letra a.
Resolução: O enunciado afirma que 35 pessoas tem o antígeno A. Logo, todo o conjunto A (parte exclusiva de A sangue A e a intersecção sangue do tipo AB) tem de ser igual a 35. Ele afirma que o total de amostras de sangue é 65. Depois ele afirma que 25 tem o antígeno B, ou seja, o conjunto de todas as pessoas que tem em seu sangue o antígeno B (pessoas do grupo B e do grupo AB) é igual a 25. O enunciado da a intersecção (grupo AB), que equivale a 10. Se todo o conjunto das pessoas que tem o antígeno A é igual a 35 e sabemos que 10 é do grupo AB, logo, pessoas exclusivamente do grupo A é igual a 25. Se sabemos que todas as pessoas com antígeno B no seu sangue é igual a 25 e sabemos que 10 pessoas são do grupo AB, logo, o grupo B é igual a 15. Por fim, no inicio do enunciado ele nos informou que o total de amostras era 65 e sabemos que o grupo de exclusivamente A é igual a 25, de AB é 10 e de B é 15, diminuindo do total chegamos ao número de sangue do tipo O (65 50 = 15). Logo a resposta é a letra c. OBS do professor: sempre que somarmos todo um conjunto A ao conjunto B e essa soma gerar um excedente, esse excedente é a intersecção. 11
Como a banca CESPE Cobra isso? 1. Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitalizados, são separadas e distribuídas entre 7 servidores 4 servidores recém contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessas situações. Considere que, com a aquisição de novos equipamentos, o tempo para se digitalizar uma página, que era de 22 segundos, passou a ser de [22 22xP] segundos, em que P corresponde à dízima periódica 0,27272727...Nessa situação, com os novos equipamentos, a digitalização de uma página passou a ser feita em 16 segundos. ( ) Certo ( ) Errado 12
2. Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte. O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20. ( ) Certo ( ) Errado 13
3. Uma população de 1000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos: a) Aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e b) Aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabético ou fumante ou ambos (diabéticos e fumantes). A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes). Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. Se, das pessoas do grupo A, 280 são fumantes e 195 diabéticas, então 120 pessoas desse grupo são diabéticas e não fumantes. ( ) Certo ( ) Errado 14
4. Determinado departamento da PMSP recebeu recentemente 120 novos assistentes administrativos. Sabe-se que 70 deles são especialistas na área de gestão de recursos humanos (RH); 50 na área de produção de materiais de divulgação (MD); e 60, na de administração financeira (AF). Observa-se também que nenhum deles é especialista em mais de duas dessas três atividades, exatamente 25 deles são especialistas tanto em RH quanto em AF e nenhum deles é especialista tanto em AF quanto em MD. Além disso, verificou-se que nenhum deles é especialista em qualquer outra área além dessas três citadas. Com base nessas informações, é correto afirmar que a quantidade de novos assistentes administrativos que são especialistas tanto na área de recursos humanos (RH) quanto na área de produção de materiais de divulgação (MD) é igual a: a) 5 b) 15 c) 25 d) 35 e) 45 15
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