Triângulo Retângulo São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados de um triângulo retângulo é oposto ao vértice onde se encontra o ângulo reto e á chamado de hipotenusa. Os outros dois lados menores são chamados de catetos. Exemplo: O ângulo do vértice em é reto. O lado é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo. Relações Métricas no Triângulo Retângulo Consideremos um triângulo retângulo qualquer: No : é a medida do cateto. é a medida do cateto. é a medida da hipotenusa. é a altura do triângulo quando se toma por base a hipotenusa ( ) é o ângulo formado no vértice é o ângulo formado no vértice Os e são retângulos e são semelhantes ao, pois pode-se concluir que os três triângulos possuem os três ângulos internos congruentes. 1
Pela semelhança dos triângulos,, e, temos as seguintes relações entre as medidas: Como Como Como, o que implica que o produto dos catetos é igual ao produto da altura pela hipotenusa. Como Teorema de Pitágoras Das relações (1) e (2) acima, temos Mas, Então Concluímos, Trigonometria no Triângulo Retângulo 2
Se tomarmos vários triângulos retângulos semelhantes, digamos,,...,, podemos dispô-los conforme a figura abaixo: Ao tomarmos os triângulos deste conjunto, por semelhança de triângulos teremos que : Ou seja, a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e a hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão chamamos de seno do ângulo e representamos por. Também por semelhança de triângulos teremos que : Ou seja, a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão chamamos de cosseno do ângulo e representamos por. Também por semelhança de triângulos teremos que : Ou seja, a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e o cateto adjacente ao mesmo ângulo de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão chamamos de tangente do ângulo e representamos por. Ainda por semelhança de triângulos teremos que : 3
Ou seja, a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e o cateto oposto ao mesmo ângulo de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão chamamos de cotangente do ângulo e representamos por. Resumindo : Dado um triângulo retângulo qualquer de ângulos internos sempre que: e, teremos Das relações acima concluímos diretamente que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar, o cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complementar, e que a tangente de um ângulo é igual a cotangente (ou ao inverso da tangente) de seu complementar. Lembrando: Ângulos complementares são aqueles cuja soma das medidas resulta em um ângulo reto. 4
Então, Razões Trigonométricas para alguns ângulos Notáveis Consideramos os valores de, comovalores de ângulos notáveis, para os quais os valores de Seno, Cosseno e Tangente estão listados na tabela abaixo. Medida do âgulo (em graus) seno cosseno tangente cotangente Não há Não há Observação: como a medida dos catetos nunca excede a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, os valores de seno e cosseno dos ângulos internos ao triângulo nunca excedem o valor de 1. Note que quanto temos ângulos internos de, não temos triângulos de fato, mas podemos estender o cálculo do seno e cosseno para estes casos. 5
Encontrando o valor de um ângulo a partir do valor de uma razão trigonométrica. Se pensarmos em estabelecer uma relação entre o conjunto dos ângulos no intervalo e o conjunto dos números reais, veremos que tal relação é uma função injetora. Portanto, pode-se estabelecer uma função inversa pela qual, a partir de uma valor dado de, podemos encontrar o valor de. Sendo assim definimos para os ângulos internos de um triângulo retângulo que : Se, então, e se, então. Ou seja, Da mesma forma definimos: e Exemplos: Medidas de Arcos de Circunferência Um arco de circunferência é a curva que temos que percorrer sobre uma circunferência para sairmos de um ponto A sobre ela e atingirmos um ponto B sobre ela. Abaixo estão exemplificados os arcos, e 6
Note que, dados dois pontos sobre uma circunferência há duas possibilidades para traçarmos arcos ligando estes dois pontos. O Radiano O radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um arco de medida igual a 1 radiano. Sabemos que a razão entre o diâmetro de uma circunferência e seu perímetro é sempre igual a 3,1415927..., que é um número irracional que chamamos de. Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferência, temos Então, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de circunferência completo (ou simplemente uma circunferência) terá sempre o comprimento de rad. A correspondência entre radianos e graus Estabelecemos a seguinte correspondência para a conversão de unidades de medida de arco de circunferência: Medidas de arcos e ângulos 7
Dado um ângulo, consideremos uma circunferência de centro e raio. Sejam e os pontos onde os lados do ângulo intercepta a circunferência traçada. Fazendo construções desta forma, a cada arco corresponderá um único ângulo. Convencionando que a um arco unitário corresponde um ângulo central unitário, decorre que o arco e o ângulo central correspondente passam a ter a mesma medida. Comprimento de arcos de circunferência Da forma como definimos, dado um arco de circunferência medido em radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo comprimento é ( o raio da circunferência). Então, dado o raio da circunferência e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco da circunferência ( ) será dado por:. 8
Exercícios 1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relação à hipotenusa num triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4. Resposta: medida da hipotenusa. Altura em relação à hipotenusa. 2)Calcule as medidas x,y,z e t, no triângulo abaixo: Resposta:. 3)Calcular a área de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e. Resposta:. 4)Qual é a hipotenusa de um triângulo retângulo de perímetro 56 e altura igual a. Resposta: 25 5)A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Calcule o comprimento dessa escada. 9
6)Na figura tem-se que BCDE. AB BC e F é ponto médio do lado BE do retângulo Qual é a área do retângulo BCDE? 7)Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x: a) b) 6 b n 12 c) d) c 2 6 y 3 9 b h 3 x 2 4 a 8)Com base no triângulo abaixo, assinale a alternativa correta. 10
9)Assinale a opção correta dentre as alternativa abaixo. 10)O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta? 11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Qual deve ser a distância entre o barco e costa, se a distância entre os observadores é igual a 50 metros? 12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, qual a distância AB percorrida pelo barco na viagem que faz de uma margem à outra? 13)Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo no qual os catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se não encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da relação trigonométrica inversa. Resposta: Os dois ângulos internos medem e. 14)Calcular os lados de um triângulo retângulo cuja altura em relação à hipotenusa é 4 e um dos ângulos é. Resposta: hipotenusa=. Catetos: e. 11
15)Calcule os ângulos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20, sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se não encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da relação trigonométrica inversa. Lembrete: a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. Resposta: e 16) (FFCLUSP 66) Na figura ao lado, os ângulos e, i= 1,2,... são retos. Quanto vale a soma dos segmentos,,...em função da medida de ( ) e de? Resposta: 17)Calcular o ângulo formado pela diagonal e o menor lado de um retângulo cujos lados estão na razão. Se não encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da relação trigonométrica inversa. Resposta:. 18)Calcular a área de um triângulo isóceles. cuja base mede 2 e Resposta:. 12
19) Um observador vê o topo de um prédio, construído em um terreno plano, sob um ângulo de. Afatando-se do edifício mais 30 metros, ele passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de. Qual é a altura do prédio? Resposta: metros. 20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Caminhando 24 m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio. 21)Para medir a altura de um prédio, um agrimensor sobe ao seu topo e avista a base de uma árvore sob um ângulo de depressão de 30º(ver figura). Em seguida, mede a distância do prédio à árvore e registra 120 3m. Qual é a altura do prédio? 13
22)Para obter a altura H de uma chaminé, um engenheiro, com um aparelho especial, estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos e tendo a seguir medido BC=h. Qual é a altura da chaminé em função de e h? Resposta: 23)A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida aproximada de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30 da horizontal? 24) Converter para radianos a. (Resposta: ) b. (Resposta: ) c. (Resposta: ) d. (Resposta: ) e. (Resposta: ) 14
25) Converter para Graus a. (Resposta: ) b. (Resposta: ) c. (Resposta: ) d. (Resposta: ) e. (Resposta: ) 26) Transforme em radianos e radianos em graus. Resposta:, e. 27)Converter para radianos: a. (Resposta: ) b. (Resposta: ) 28)Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento contido numa circunferência de raio igual a 8 cm? Resposta: 2,5 radianos. 29)Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede 10 cm. Calcular a medida do arco em radianos. Resposta: 3 rad. 30)Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo de, contido numa circunferência de raio igual a 1 cm? Resposta: cm. 31)O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 cm. Qual é a distância que sua extremidade percorre em 30 minutos? Resposta: Aproximadamente 31,4 cm. 32) Calcular a medida do ângulo central que um arco de comprimento determina em uma circunferência de raio. Resposta: 15
33)Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está marcando: a. 1 h (Resposta: ) b. 1 h 15 min (Resposta: ) c. 1 h 40 min. (Resposta: ) Referências Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3. Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003. Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 3. Ed Atual. São Paulo. 1977. 16