ETAPAS INICIAS DO DESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE MATERIAIS ANISOTRÓPICOS

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1 Anais do 12 O Enconto de Iniciação Científica e Pós-Gaduação do ITA XII ENCITA / 2006 Instituto Tecnológico de Aeonáutica, São José dos Campos, SP, Basil, Outubo, 23 a 26, 2006 ETAPAS INICIAS DO DESENVOLVIMENTO DE UM MÉTODO PARA DETERMINAÇÃO DE CONDUTIVIDADE TÉRMICA DE MATERIAIS ANISOTRÓPICOS Alfedo Calos do Pado Instituto Tecnológico de Aeonáutica Div. de Engenhaia Mecânica-Aeonáutica Pça Maechal Eduado Gomes, São José dos Campos, SP, Basil alfedocalos.pado@gmail.com Ezio Castejon Gacia Instituto Tecnológico de Aeonáutica Div. de Engenhaia Mecânica-Aeonáutica ezio@ita.b Resumo. A condução de calo em sólidos é estudada gealmente em mateiais isotópicos onde a condutividade témica não é dependente da dieção. Poém, muitos mateiais (natuais ou não) são ditos anisotópicos. Destes podemos cita cistais, madeia, ochas, fojados a fio, laminados, estutuas efoçadas com fibas (de vido, de cabono, etc). Matematicamente a condutividade témica de isotópico é um escala simples. Já em anisotópico, esta se apesenta como um tenso de segunda odem (nove componentes). Desta foma, o estudo de tocas de calo tona-se muito dificultoso. Uma maneia adeuada de tata tais dificuldades é tansfoma este tenso de nove componentes, função de tês coodenadas de dieção, em tês únicas componentes (ditas pincipais) com suas espectivas (e novas) dieções (ditas também pincipais). Esta abodagem é semelhante ao estudo de tenso de tensões mecânicas em sólidos. Mesmo eduzindo o númeo de componentes ainda, logicamente, é necessáio conhece estas ditas pincipais paa ue haja solução do poblema de toca de calo. Paa tanto, este pojeto popõe o desenvolvimento de um modelo matemático-expeimental paa deteminação destas condutividades pincipais e de suas dieções, ue são obtidas pela deteminação dos seus espectivos cossenos dietoes. Palavas chave: anisotopia, condutividade témica, mateiais anisotópicos. 1. Intodução O assunto sobe condutividade témica anisotópica (condutividade em mateiais não homogêneos) como acontece em cistais, mateiais compostos, madeias, laminados dente outos é de gande impotância na engenhaia paa se sabe de foma mais pecisa como o calo se popaga nesses e uais são as dieções pefeenciais paa a popagação. Hoje, o ue se conhece são valoes apoximados e muitos dos mateiais são tatados como sendo isotópicos. Este tabalho tem como objetivo apesenta uma poposta de medição das condutividades témicas em mateiais anisotópicos. A pate expeimental é ealizada em uma câmaa temovácuo com ensaios em copos de pova com fluxo de calo unidimensional (Gacia, 1987). Esta unidimensionalidade, objetivo pincipal do ensaio em câmaa temovácuo, é obtida pela ausência de convecção (alto vácuo) e adiação témica nula da paede destes copos de pova (blindagem po supeisolantes). Assim é obtido o fluxo de calo po condução no sentido apenas longitudinal. A unidimensionalidade, no modelo em uestão, é euisito essencial na deteminação das condutividades pincipais, e de seus eixos, em mateiais anisotópicos (Özisi et al, 1979). A taxa de calo ue atavessa o copo de pova é geada po meio de um auecedo de película ( sin heate ). O fluxo de calo é unidimensional e tem dieções peestabelecidas. No estudo em uestão, os fluxos foam impostos nas dieções dos eixos (coodenadas catesianas). Já os gadientes de tempeatuas foam medidos ao longo do copo em todas as dieções. E assim, atavés do embasamento teóico sobe o assunto de anisotopia chegou-se ao esultado do valo das condutividades témicas do mateial. 2. Fomulação Matemática O fluxo de calo em sólidos obedece a Lei de Fouie de Condução. Em sólidos isotópicos, a condutividade témica é independente das dieções; assim o veto fluxo de calo, E. (1), é nomal à linha isotémica (gadiente nomal da tempeatua) ue passa na posição do copo consideado em estudo. T (1) Paa sólidos anisotópicos a situação é bastante difeente. A componente do fluxo de calo paa uma dada dieção x depende da combinação linea dos gadientes de tempeatua nas dieções de X, Y e Z. Desta foma, levando em conta essa consideação, as expessões geais paa os tês componentes de fluxo de calo, x, e z, espectivas às dieções X, Y, e Z, paa um dado sistema de coodenadas catesianas, são dadas, espectivamente, como:

2 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, 2006 x x 11 (2a) x (2b) x z (2c) De foma esumida, a euação geal do fluxo de calo é dada po: i 3 j 1 x j (3) Potanto, paa um sólido anisotópico, o veto fluxo de calo não é necessaiamente nomal à linha isotémica ue passa na posição do copo consideado em estudo. A condutividade témica do sólido anisotópico envolve nove componentes de condutividade,, ue são as componentes do tenso, de segunda odem, apesentados a segui: (4) Coeficiente de Resistividade Témica Os vetoes fluxos de calo x, e z foam descitos como soma linea dos gadientes de tempeatua nas dieções dos eixos X, Y, e Z. Essas euações, po conveniência, é mais bem expessa em temos de gadientes de tempeatua e como uma combinação linea das componentes dos fluxos de calo. Assim, a euação do fluxo de calo, na foma maticial em coodenadas etangulaes, fica na seguinte foma: T [ ] [ i ] (5) xi ou T xi 1 [ ] [ ] i (6) Adotando paa os elementos da matiz invesa 1/[ ], as euações ficam expessas como: T 11 x z x T 21 x z T 31 x + + z z Onde são os coeficientes da esistividade témica. (7a) (7b) (7c)

3 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, Fluxo de calo Considee o cubo, Fig.1, com faces identificadas po seus espectivos vetoes nomais com difeentes tempeatuas nas extemidades e com as supefícies lateais isoladas. Supondo não have pedas de calo pelas lateais paa as vizinhanças (x 0) (ambiente de alto vácuo com blindagens, convecção e adiação de calo nulas), o fluxo de calo tona-se unidimensional. Figua 1. Cubo com faces identificadas po seus espectivos vetoes nomais. Substituindo o veto fluxo de calo z na dieção do eixo Z nas euações anteioes. Então têm-se: χ z (08 a) ; 23 z (08b); z (08c) Esse esultado implica em conhece T/ x, T/, T/ z e z paa detemina os coeficientes das esistividades témicas, 23, e. No passo seguinte vamos muda o sentido do fluxo, agoa o fluxo atavessa o cubo na dieção do eixo Y, e paa gaanti ue o fluxo seja unidimensional, as supefícies a seem isoladas seão nomais ao eixo X e Z. Logo x z 0 com as euações em função de. χ 12 (08d) ; (08f) 22 (08e); 23 Esse esultado implica em conhece T/ x, T/, T/ z e (paa a taxa de calo conhecida e x z 0 ), paa detemina os coeficientes das esistividades témicas 12, 22, e. Analogamente, epetimos o pocedimento paa z 0 e aplicaemos x, com as euações em função de x ue são: χ 11 x (08g); 12 x (08h); x (08i) Esse esultado implica em conhece T/ x, T/, T/ z e x (paa a taxa de calo x conhecido e z 0), paa detemina os coeficientes da esistividade témica 11, 21, e 31. Agoa foam levantados os nove elementos coeficientes da esistividade témica da matiz do tenso ue são eles: (09) 31 Lembando ue a matiz invesa de [], 1/[] é a pópia matiz do tenso, de componentes. Onde, os coeficientes são as condutividades témicas ue petendemos obte como pate objeto do nosso tabalho, e são

4 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, 2006 deteminados em elação dos pelo pocesso da invesão de matizes, desde ue ji, condição eueida da ecipocidade dos coeficientes da esistividade témica anisotópica. i + j ( ) a / (10) (11) A pacela a é obtida pela matiz do deteminante,, excluindo a linha i e a coluna j, como no caso da elação da ecipocidade dos coeficientes da esistividade témica anisotópica ji, a condutividade témica anisotópica também obedece os mesmos pincípios, ji. A segui é ilustado exemplo da aplicação da euação i + j a / : ( ) 1 ( ) 2.3. Deteminação das condutividades pincipais (12) As condutividades pincipais 1, 2, e 3 de um sólido anisotópico podem se deteminadas atavés dos coeficientes das condutividades,, de um sistema de coodenadas etangulaes X, Y, e Z peviamente estabelecido. E, são autovaloes, λ, empegado na tansfomação paa a matiz diagonal λ 22 λ 23 λ 0 () Ao esolve o deteminante desta matiz, obtemos uma euação do teceio gau com tês aízes, ue são valoes distintos paa λ1, λ2, e λ3. Os autovaloes λ estão dietamente elacionados com os valoes das condutividades pincipais 1, 2, e 3, na foma: 3. Aanjo Expeimental λ1 1 ; λ2 2 ; λ3 3 (14) Paa o estudo em uestão foi utilizado um copo de pova de mateial celeon (denominação comecial). O Celeon é um laminado industial, duo e denso, fabicado atavés de aplicação de calo e pessão em camadas de tecido de algodão impegnadas com esinas sintéticas (fenólicas). Quando o calo e a pessão são aplicados simultaneamente às camadas, uma eação uímica (polimeização) ocoe, aglomeando as camadas em uma massa sólida e compacta. Sua condutividade témica é de 0,35 W/mºC ( O copo de pova possui fomato cúbico de 24mm de aesta, com fuos de 1mm de diâmeto paa fixação dos temopaes espaçados, com 6mm ente centos, sendo cinco temopaes sobe o eixo X, uato sobe o eixo Y, e uato sobe o eixo Z. O temopa sobe o eixo X na posição da oigem é comum paa os tês eixos; assim, tem-se um total de teze temopaes fixado no copo de pova. Foam ealizadas cinco medidas de tempeatuas (ou ensaios) paa cada eixo. Figua 2 apesenta tal copo de pova instumentado com o auecedo de película ( sin heate ) colado no topo deste copo. Esta fig. 2 também apesenta os temopaes instalados neste copo de pova. Sob tal, está o sumidouo da câmaa (uma sepentina do sistema de efigeação). Envolvendo a paede intena da câmaa, é apesentada pate da blindagem conta adiação témica (supeisolante).

5 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, 2006 Figua 2. Copo de Pova instumentado com o auecedo de película ( sin heate ) e temopaes, e sepentina do sistema de efigeação (sumidouo da câmaa). Figua 3 apesenta uma vista geal do apaato expeimental: sobe a bancada de teste, à esueda, está a câmaa de alto vácuo, do lado dieito a esta da câmaa, está a fonte de alimentação de enegia elética do auecedo de película ( sin heate ), e os temopaes a seem conectados ao medido de tempeatua. À fente estão os dois multímetos utilizados na medição da voltagem e a coente paa a alimentação do auecedo de película (imposição da taxa de calo). Figua 3. Vista geal do apaato expeimental. A figua 4 apesenta o sistema de bombeamento e medição de vácuo, e o sumidouo de calo da câmaa. Localizado em uma bancada meno ao lado esuedo da bancada de teste está o medido eletônico de vácuo e a bomba mecânica, esta é inteligada pela mangueia de vácuo à bomba difusoa, localizada na pate infeio da bancada de teste, pesa sob o tampo da bancada. Sob a bancada de teste está também, o sistema de efigeação do sumidouo.

6 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, 2006 Figua 4. Sistema de bombeamento e medição de vácuo e o sumidouo de calo da câmaa Valoes Obtidos Expeimentalmente. Tabela 1 são mostados valoes médios obtidos numa séie de doze de medidas, com as incetezas de +- 0,0005 m paa as medidas de compimento de posição, de +- 0,6ºC paa as medidas de tempeatua e de +-12 W/m² paa as medidas de fluxos, com a pobabilidade de dois desvios padões (nível de confiança de 20:1). Tabela 1 Valoes médios da séie de doze medidas de tempeatua. Medidas das tempeatuas Posição x z 0 Fluxo unidiecional 5620 x 0 z 0 z 5620 x 0 0 ( X ; Y ; Z ) ( 0 ;0,012; 0,012) -9,4 73,2 39,1 ( 0,006;0,012; 0,012) 29,1 81,3 35,8 ( 0,012;0,012; 0,012) 53,8 85,5 29,2 ( 0,018;0,012; 0,012) 83,5 81,8 30,1 ( 0,024;0,012; 0,012) 1,8 66,7 43,8 (0,012;0; 0,012) 37,3-4,2 64,8 (0,012;0,006; 0,012) 23,7 28,6 81,6 (0,012;0,012; 0,012) 53,8 85,5 29,2 (0,012;0,018; 0,012) 17,3 84,3 85,7 (0,012;0,024; 0,012) 31,4 0,3 80,5 (0,012;0,012; 0) 68,5,4-11,3 (0,012;0,012; 0,006) 83,8 31,3 27,7 (0,012;0,012; 0,012) 53,8 85,5 29,2 (0,012;0,012; 0,018) 79,4 22,9 82,6 (0,012;0,012; 0,024) 61,3,7 124, Substituição dos Valoes de Tempeatua na Fomulação Teóica paa o Cálculo das Resistividades Témicas. Seguindo as fomulações apesentadas pelas E. 8a até 8i, as funções polinomiais coespondentes (obtidas pelo método de intepolação de Lagange) ue epesentam as vaiações são descitas na Tab. 2, os uais foam obtidas a pati dos valoes da Tab.1.

7 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, 2006 Tabela 2 - Funções polinomiais ue epesentam as vaiações tempeatua com o compimento. (08 a) T x x³ x² ,94 x 9,4 (08 b) x T ³ ² , ,3 (08 c) T z z³ z² ,22 z + 68,5 (08 d) T ,88 x ,5 x³ ,63 x² ,94 x +73,2 (08 e) T ³ ² ,8 4,2 (08 f) T z z³ z² ,83 z +,4 (08 g) T ,1 x x³ x² + 554,17 x + 39,1 (08 h) z T ³ ² - 990, ,8 (08 i) T z z³ z² ,5 z + 68, Substituição dos valoes nas euações 8 a até 8 i, 9, 11 e12 na deteminação das condutividades pincipais. Substituindo as euações da Tab. 2 nas E. 8a até 8i, e esolvendo suas deivadas, encontamos os coeficientes das esistividades témicas anisotópica, apesentados na uinta coluna da Tab. 3. Os valoes de, substituídos na matiz (E 9), e invetendo esta, obtêm-se o tenso da esistividade témica anisotópica (E 12). Assim, invetendo esta matiz, é obtida a matiz dos coeficientes de condutividade témica anisotópico ue envolve nove componentes de condutividade,, os uais ue são as componentes do tenso, de segunda odem, apesentado na matiz (E 4). Euação fonece os autovaloes, λ, (E.14), ue são os valoes das condutividades témicas pincipais ue é o objeto de estudo deste tabalho (apesentado na oitava coluna da Tab. 3). Tabela 3 a Valoes dos coeficientes das esistividades témicas anisotópicas em função da posição (cental do copo de pova). E. Posição DT/DX Valoes de Valoes de autovaloes, λ i (08 a) (0,012 ; 0,012 ;0,012) , ,47277 (08 b) (0,012 ; 0,012 ;0,012) , ,5141 (08 c) (0,012 ; 0,012 ;0,012) ,865 0,57978 (08 d) (0,012 ; 0,012 ;0,012) , ,0166 (08 e) (0,012 ; 0,012 ;0,012) ,6 22-0,0047 (08 f) (0,012 ; 0,012 ;0,012) , ,01092 (08 g) (0,012 ; 0,012 ;0,012) , ,0053 (08 h) (0,012 ; 0,012 ;0,012) ,544-0,0248 (08 i) (0,012 ; 0,012 ;0,012) ,156-0,0099 λ 1 0,001 λ 2 0,460 λ 3-0, ,001W/m C 2 0,460W 0,0002W/m C 3-0,002/m C Tabela 3 b Valoes dos coeficientes das esistividades témicas anisotópicas em função da posição. E. Posição DT/DX Valoes de Valoes de autovaloes, (08 a) (0,024 ;0,012; 0,0 12) , , (08 b) (0,024 ;0,012; 0,0 12) , , (08 c) (0,024 ;0,012; 0,0 12) ,651 0, (08 d) (0,012 ;0,024 ; 0,012) , , (08 e) (0,012 ;0,024 ; 0,012) , ,01637 (08 f) (0,012 ;0,024 ; 0,012) , ,4141 (08 g) (0,012 ;0,012 ; 0,024) , , (08 h) (0,012 ;0,012 ; 0,024) ,341-0, (08 i) (0,012 ;0,012 ; 0,024) ,694-0, Conclusões e comentáio. 1 0,430W/m C 2-0,193W/m C 3-0,038W/m C λ 1 0,430 λ 2-0,193 λ 3-0,038 Tabelas 3 a e 3 b apesentam valoes das condutividades témicas anisotópicas: λ1 1, λ2 2 e λ3 3. Como espeado paa sólidos anisotópicos, estas condutividades sofem vaiações com a posição.

8 Anais do XII ENCITA 2006, ITA, Outubo, 23-26, 2006 Vale comenta ue a condutividade é uma gandeza física positiva, emboa, alguns autovaloes, λ i, apaecem nas Tab. 3 a e 3 b com sinal negativo. Isto é explicado pela invesão no sentido do fluxo de calo. Os valoes das condutividades témicas anisotópicas apesentadas nas Tab. 3 a e 3 b são compatíveis com o valo (como mateial isotópico) fonecido pelo fabicante ( do mateial (0,35 W/m C ). Este tabalho ainda está em andamento. Conclusões mais efinadas seão apesentadas posteiomente em novas publicações. 5. Refeências. Canahan, H.A.B.. Luthe, J.O., 1969, Applied Numeical MetHods, John Wile & Sons, New Yo, pp Gacia, E. C., 1987 Desenvolvimento de Um Apaato Expeimental Paa Medidas de Condutividades Témicas de Mateiais Sólidos e de Resistência de Contato, Tese do Mestado, ITA, 103p. Özisi, M.N., 1979, Heat Conduction, John Wile & Sons, pp