Apontamentos de Máquinas Eléctrica

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1 ENIDH Apontamentos de Máquinas Eléctica 00

2 Nota aos leitoes Estes apontamentos destinam-se a apoia o estudo das disciplinas de Máquinas Elécticas e Accionamentos dos cusos de Engenhaia de Sistemas Electónicos Maítimos e de Engenhaia de Máquinas Maítimas. As matéias são expostas com a peocupação de seem uma pimeia abodagem ao estudo das máquinas elécticas e dos seus accionamentos, com natual ênfase no estudo dos cicuitos elécticos e magnéticos que caacteizam as máquinas elécticas, e os cicuitos electónicos dos sistemas que as contolam. Estes apontamentos são uma colectânea oganizada de divesas notas edigidas em tempos difeentes paa apoio das aulas, especialmente sobe máquinas elécticas. Estes apontamentos não são estanques e, sobe muitas matéias, não pescindem o estudo da bibliogafia ecomendada. No fim de cada capítulo e no final destas folhas, apesenta-se uma lista bibliogáfica sobe a matéia aqui apesentada. A leitua de alguns desses livos é muito ecomendada paa o estudo apofundado das matéias expostas. De qualque foma, os apontamentos foam feitos paa os alunos com o intuito de seviem como oientação do estudo, tendo em conta a exposição e a sequência que adopto paa estas matéias. Espeo que deles possam tia o melho poveito. Feveeio de 0

3 ÍNDICE Lista das Figuas 5 Lista das Tabelas 8 Lista de Abeviatuas 8 CAPÍTULO. 9 INTRODUÇÃO 9. Objectivo 9. Nota históica 0 CAPÍTULO. CIRCUITOS MAGNÉTICOS. Campo magnético. Acoplamento magnético 0. Poblemas 7 CAPÍTULO. 0 TRANSFORMADOR 0. Intodução 0. Tansfomado ideal. Tansfomado com pedas 5.4 Tansfomado eduzido 9.5 Ensaios do tansfomado 4.6 Valoes po unidade (pu) 45.7 Poblemas 5 CAPÍTULO SISTEMAS TRIFÁSICOS Tensões e coentes Potência tifásica 6 4. Gandezas não sinusoidais Poblemas 65 CAPÍTULO CONVERSÃO ELECTROMECÂNICA DE ENERGIA Campo magnético giante Convesoes electomecânicos 7 5. Poblemas 76 CAPÍTULO MÁQUINAS ASSÍNCRONAS Intodução Constituição das máquinas assínconas Pincípio de funcionamento Cicuito equivalente Cicuito equivalente de Thevenin Ensaios em vazio e com oto bloqueado Aanque e vaiação da velocidade Poblemas ANEXO: Modelo dinâmico da máquina assíncona 95. Desenvolvimento do modelo 95. Simulação do Geado Assíncono com Gaiola 0. Resultados da Simulação 0 4. Conclusões 09

4 5. Bibliogafia 09 CAPÍTULO 7. 0 MÁQUINAS SÍNCRONAS 0 7. Intodução 0 7. Reacção do induzido 4 7. Caacteística em vazio Caacteística em cuto-cicuito Cicuito eléctico equivalente Coeficientes de indução Funcionamento em caga 7.8 Caacteísticas em egime estacionáio Cuto-cicuito simético Máquinas de elutancia vaiável. 7. Funcionamento de altenadoes em paalelo 7. Poblemas 6 CAPÍTULO 8. 8 TRANSFORMADAS DE CLARKE E DE PARK 8 8. Intodução 8 8. Tansfomada de Clake 9 8. Tansfomada de Pak Tansfomada dq0 num sistema tifásico Bibliogafia: 49 4

5 Lista das Figuas Fig..: Rega da mão dieita... Fig..: Foça que actua sobe um conduto pecoido pela coente I.... Fig..: Difeença de potencial induzida pelo movimento... 4 Fig..4: Cuva de magnetização... 6 Fig..5: Ciclo de histeese... 6 Fig..6: Cicuito magnético tooidal... 7 Fig..7: Densidade de enegia magnética;... 8 Fig..8: Acoplamento magnético ente condutoes.... Fig..9: Bobinas com acoplamento magnético... Fig..: Constituição de um tansfomado monofásico... 0 Fig..: Tansfomadoes de pequena potência;... Fig..: Podução e distibuição de enegia eléctica.... Fig..4: Tansfomado de alta tensão.... Fig..5: Tansfomado ideal Fig..6: Modelo eléctico do tansfomado Fig..7: Diagama vectoial em vazio... 7 Fig..8: Modelo do tansfomado eduzido ao pimáio Fig..9: Cicuito equivalente do tansfomado eduzido ao pimáio Fig..0: Cicuito equivalente simplificado eduzido ao pimáio... 4 Fig..: Cicuito equivalente simplificado: (a) em vazio; (b) em cuto-cicuito... 4 Fig..: Ensaios do tansfomado: (a) em vazio; (b) em cuto-cicuito Fig..: Tansfomado monofásico do exemplo Fig..4: Cicuito da Fig.. em valoes pu Fig..5: Cicuito equivalente do tansfomado eduzido ao pimáio no ensaio de cutocicuito Fig..6: Impedância de cuto-cicuito Fig..7: Cicuito equivalente simplificado eduzido ao pimáio Fig..8: Caacteística extena Fig..9: Cicuito equivalente simplificado Fig..0: Diagama vectoial das tensões Fig. 4.: Máquina eléctica tifásica Fig. 4.: Sistema de uma espia; (a) vaiação do fluxo devido ao movimento; Fig. 4.: Fem induzidas; (a) diagama tempoal; (b) diagama vectoial Fig. 4.4: Tês cicuitos monofásicos independentes Fig. 4.5: Sistema tifásico com conduto de neuto Fig. 4.6: Tensões tifásicas; (a) esquema; (b) diagama vectoial Fig. 4.7: Altenado com ligação em tiângulo Fig. 4.8: Diagamas vectoiais das coentes nas linhas e nas fases Fig. 4.9: Sistemas de cagas em estela e em tiângulo Fig. 5.: Campo magnético numa espia Fig. 5.: Campo magnético em duas espias pependiculaes Fig. 5.: Rotação do íman no campo magnético giante Fig. 5.4: Sistema de bobinas tifásico Fig. 5.5: Os campos magnéticos das tês fases Fig. 5.6: Reacção do induzido paa t=π/ω Fig. 5.7: Conveso electomecânico de enegia

6 Fig. 5.8: Sistema otativo electomecânico Fig. 6.: Bobina num campo magnético giante Fig. 6.: Constituição de máquinas de indução Fig. 6.: Pomeno do oto em gaiola de esquilo... 8 Fig. 6.4: Moto monofásico com condensado Fig. 6.5: Cicuito equivalente duma fase do estato... 8 Fig. 6.6: Cicuito equivalente/fase da máquina assíncona Fig. 6.7: Tânsito de potência numa máquina assíncona Fig. 6.8: Tânsito de potência no cicuito eléctico equivalente Fig. 6.9: Cicuito eléctico do exemplo Fig. 6.0: dipólo equivalente de Thevenin Fig. 6.: caacteística bináio-velocidade da máquina de indução Fig. 6.: vaiação da caacteística de bináio com a esistência otóica Fig. 6.: aancado estela-tiângulo convencional Fig. 6.4:: Identificação dos bones de ligação... 9 Fig. 6.5:: Esquemas de ligação Fig. 7.: Esquema simplificado de um altenado tifásico... 0 Fig. 7.: Tipos de oto; (a) pólos salientes; (b) cilíndico.... Fig. 7.: Esquema de um altenado tifásico com excitação pópia... Fig. 7.4: Tânsito de potências no altenado síncono... Fig. 7.5: Caacteística em vazio (com velocidade constante)... 5 Fig. 7.6: Caacteística de cuto-cicuito (com velocidade constante)... 6 Fig. 7.7: Modelo eléctico, po fase, da máquina síncona em egime estacionáio... 7 Fig. 7.8: Cálculo das eactâncias sínconas Fig. 7.9: Eixos magnéticos dos enolamentos... 9 Fig. 7.0: Modelo da máquina com oto cilíndico Fig. 7.: Fluxo numa máquina de pólos salientes; (a) segundo o eixo diecto; (b) segundo o eixo de quadatua; (c) eixos diecto e de quadatua.... Fig. 7.: componentes nos eixos dq da coente na amadua.... Fig. 7.: Diagamas vectoiais paa o cicuito da Fig. 7.0; (a) coente em ataso; (b) coente em avanço Fig. 7.4: Diagama vectoial paa um geado com pólos salientes... 5 Fig. 7.5: Diagama vectoial paa um geado com oto cilíndico Fig. 7.6: Funcionamento da máquina de oto cilíndico e o ângulo de potência... 6 Fig. 7.7: Potência activa e ângulo de potência da máquina de pólos salientes... 8 Fig. 7.8: Caacteística de egulação... 9 Fig. 7.9: Caacteísticas extenas Fig. 7.0: Coente de cuto-cicuito... Fig. 7.: máquina síncona de elutância vaiável.... Fig. 7.: Geado síncono ligado à ede... Fig. 7.: sinconoscópio... Fig. 7.4: Esquema de um altenado sem escovas (bushless geneato)... 4 Fig. 7.5: cicuito de egulação da coente de campo Fig.8.: Campo magnético giante ciado pelas coentes tifásicas no instante t... 8 Fig.8.: Campo magnético giante ciado pelas coentes bifásicas com fase α Fig.8.: Sistemas de eixos (α,β) Fig. 8.4: componentes (α, β)... 4 Fig.8.5: Esquema simplificado da máquina síncona e os seus sistemas de eixos Fig.8.6: Repesentação de i s nos dois sistemas de eixos

7 Fig.8.7: Sequencia da tansfomação dos eixos (a, b, c) paa os eixos (d, q) Fig.8.8: Cicuito RL equivalente a uma bobina

8 Lista das Tabelas Tabela.: Unidades no SI... 7 Lista de Abeviatuas CA Coente Altena CC Coente Contínua fem Foça electomotiz fmm Foça magnetomotiz pu Po Unidade pm otações po minuto ps otações po segundo 8

9 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO. Objectivo Os fenómenos elécticos e magnéticos são intedependentes e apaecem na natueza esteitamente inteligados. Esses fenómenos constituem o aspecto visível daquilo que se designa po campo electomagnético. A electotecnia estuda as aplicações do campo electomagnético e umas delas são os convesoes de enegia electomagnética. Duma maneia simplificada, podeemos dize que os convesoes de enegia que aqui inteessam podem se electomagnéticos, electomecânicos e electónicos. As máquinas elécticas podem se encaadas como convesoes de enegia. No caso mais usual, as máquinas elécticas têm pates móveis, e a convesão dá-se ente enegia electomagnética e enegia mecânica, e vice-vesa. Po isso, podem se consideadas como se convesoes electomagnético-mecânicos. O campo electomagnético é uma foma de matéia. Onde ele existe obsevam-se fenómenos caacteísticos cuja sistematização teóica foi apesentada po James Clek Maxwell (8-879) ecoendo às célebes equações de Maxwell, publicadas em 87. O campo eléctico é ciado po cagas elécticas, e o campo magnético é ciado po cagas elécticas em movimento, ou seja, po coentes elécticas. As cagas elécticas movem-se devido a difeenças de potencial eléctico. As coentes elécticas que daí esultam ciam campos magnéticos que, se foem vaiáveis no tempo, oiginam po sua vez difeenças de potencial eléctico nos condutoes elécticos que estão na sua poximidade. Esta inteligação As máquinas elécticas utilizam campos magnéticos pemanentes (ciados po imanes), ou ciados po coentes elécticas (electoímanes). Da inteacção ente campos magnéticos e coentes elécticas esultam foças. Estas foças oiginam tabalho mecânico. As máquinas elécticas com pates móveis esultam daquelas inteacções. Todavia, uma das máquinas que estudaemos é o tansfomado. Apesa deste equipamento não te pates móveis, e a convesão de enegia se puamente electomagnética, ele patilha com as outas máquinas pate dos mesmos pincípios e seve de base paa a análise e modelização das outas máquinas. Os tansfomadoes e as máquinas elécticas com pates móveis usam a lei geal da indução e patem do mesmo pincípio: utilizam o campo magnético como meio paa a tansfeência e convesão de enegia. Po este facto, tona-se impotante compeende-se o compotamento e as popiedades dos mateiais magnéticos que são usados na constução destes equipamentos e a teoia do electomagnetismo estudada nas unidades cuiculaes de física. Este texto inicia-se com uma beve nota históica sobe o electomagnetismo. No capítulo, faz-se uma evisão dos cicuitos magnéticos. No capítulo estudam-se os tansfomadoes. O capítulo 4 efee-se aos sistemas tifásicos industiais e à ciação de campos magnéticos giantes. No capítulo 5 intoduz-se o pincípio de funcionamento das máquinas elécticas otativas. No capítulo 6 estudam-se as máquinas elécticas assínconas e no capítulo 7 as máquinas elécticas sínconas. Finalmente, o capítulo 8 é dedicado às máquinas de coente 9

10 contínua. O capítulo 9, diá espeito aos cicuitos electónicos que são utilizados nos accionamentos das máquinas elécticas otativas. No texto, po noma utiliza-se o sistema intenacional de unidades (SI). Este sistema tem tês unidades mecânicas fundamentais: o meto (m), o quilogama-massa (kg) e o segundo (s). A unidade de foça é o newton (N), a unidade de enegia é o joule (J) e a de potência é o watt (W). A unidade fundamental da caga eléctica é o coulomb (C) e a da coente eléctica é o ampée (A). O sistema SI é ainda acionalizado: em muitas equações veifica-se a existência do facto 4π quando se consideam geometias cilíndicas ou esféicas. Paa simplifica os cálculos em muitas equações é intoduzido o facto 4π.. Nota históica A elação ente magnetismo e electicidade foi descobeta em 89 po Oested (Hans Chistian Oested, ). Este cientista dinamaquês descobiu que a coente eléctica (cagas elécticas em movimento) que pecoe um conduto cia um campo magnético nas poximidades desse conduto. O fenómeno foi quantificado posteiomente po Ampée (Andé Ampée, ), que também sugeiu que o magnetismo natual (na magnetite), fosse devido a coentes elécticas micoscópicas nesse mineal. Em 80 Faaday (Michael Faaday, ) quantificou a inteacção ente a coente eléctica e o campo magnético dando oigem à lei que tem o seu nome. Ampée e Heny (Joseph Heny, ) demonstaam, independentemente um do outo, que se podia poduzi uma coente eléctica pelo movimento elativo ente um campo magnético e um cicuito eléctico póximos. Em esultado disto, estavam ciadas as bases teóicas paa a podução de enegia eléctica em laga escala. Conhecedo dos tabalhos de Faaday e de Ampée, Maxwell apesentou em 87 uma teoia integada sobe o campo electomagnético. O seu fomalismo, consubstanciado nas conhecidas equações de Maxwell, constitui a teoia base do electomagnetismo. Tata-se de um tabalho que, fazendo a cúpula sobe os tabalhos anteioes de outos cientistas, pemitiu o desenvolvimento de novas áeas, po exemplo, a popagação das ondas electomagnéticas (telecomunicações e óptica) e das máquinas elécticas, e que mostou esta confome a teoia da elatividade apesentada po Einstein em 905. O electomagnetismo tem impotantes implicações no modo de vida e no desenvolvimento tecnológico actuais. Refia-se, po exemplo, a podução e a distibuição de enegia eléctica, iniciadas nos finais do século XIX, que popocionaam a enegia necessáia paa a actividade industial e o bem-esta das populações. Nesta áea, destacam-se os tabalhos de Thomas Edison (847-9) e de Nikola Tesla (856-94). Finalmente, efia-se também a descobeta do tansisto em 948 po Jonh Badeen, Walte Battain e William Schokley, pela qual ecebeam o pémio Nobel em 956. Desde os salões do iluminismo até à descobeta do tansisto, foi dado um gande passo paa a humanidade. Estas descobetas no campo do electomagnetismo estão na base da evolução ciada pelas máquinas elécticas e pela podução, convesão e distibuição da enegia eléctica que estão na base da sociedade industial em que vivemos. Mesmo sem notamos, as máquinas elécticas fazem pate do mundo industializado em que vivemos. Elas são utilizadas nos electodomésticos, nos tanspotes públicos, nos elevadoes 0

11 e escadas olantes, em sistemas de bombagem, na podução e distibuição de enegia eléctica, tanto po meios convencionais que usam combustíveis fósseis como nos sistemas que usam as enegias enováveis. E são também utilizadas nos automóveis, meios de tanspote e na populsão de navios.

12 CIRCUITOS MAGNÉTICOS CAPÍTULO.. Campo magnético O campo magnético é uma foma de matéia e manifesta-se, ente outos fenómenos, pelas foças mecânicas que actuam sobe mateiais feosos e cagas elécticas em movimento. O campo magnético é ciado po coentes elécticas e é quantificado fisicamente po duas gandezas vectoiais: - campo de indução magnética, B ; - campo de excitação magnética, H. O campo de indução magnética, ou simplesmente campo B, tem um caácte foça e está associado à foça que actua uma caga eléctica, q, que se move com velocidade v no inteio desse campo: F = q ( v B) (.) A foça (.) é designada po foça de Loentz; epesenta o poduto exteno dos vectoes: a foça é pependicula ao plano definido pelas diecções de v e de B e o seu sentido é o da pogessão de um saca-olhas quando oda do pimeio ( v ) paa o segundo vecto ( B ). Esta é a designada ega do saca-olhas ou ega da mão dieita: Fig..: Rega da mão dieita Sendo α o meno ângulo fomado pelas diecções de v e de B, a intensidade da foça de Loentz (.) é F = q v B senα (.)

13 A foça de Loentz não é indicada paa desceve a acção dum campo magnético sobe cagas elécticas num meio conduto metálico. Poque cagas elécticas em movimento dão oigem a coentes elécticas, é pefeível considea nesse caso o efeito do campo magnético sobe um conduto eléctico pecoido po uma coente de intensidade I. Consideando que a coente eléctica é igual à deivada da caga em odem ao tempo, d q i = d t (.) e intoduzindo (.) em (.), conclui-se que a foça elementa que actua um conduto elementa de compimento dl pecoido po uma coente de intensidade I é dada po df = I( dl B) Paa um conduto ectilíneo de compimento L, o integal de (.4) conduz a (.4) F = I ( L B) (.5) Sendo α o meno ângulo fomado pelas diecções de I L e de B, a intensidade da foça (.5) é F = I B L senα (.6) As equações (.4) e (.5) descevem a foça que actua um conduto pecoido po uma coente quando submetido a um campo magnético exteio; esta foça, que é fequentemente designada po foça de Laplace, é pependicula ao conduto e depende das intensidades do campo e da coente, Fig... Fig..: Foça que actua sobe um conduto pecoido pela coente I. As equações (.) e (.5) elacionam a acção mecânica poduzida pelo campo de indução magnética sobe um conduto pecoido po uma coente eléctica; taduzem afinal uma convesão ente as enegias electomagnética e mecânica. Do estudo da Física sabe-se que o

14 fenómeno é evesível: se, po acção duma foça, um conduto se move no seio dum campo magnético, o movimento oigina uma foça electomotiz ε (e uma difeença de potencial u) aos teminais desse conduto; e se o conduto fize pate dum cicuito eléctico fechado, a difeença de potencial povocaá a existência duma coente eléctica nesse cicuito, Fig... Fig..: Difeença de potencial induzida pelo movimento. Repesentando po ε a foça electomotiz (fem) induzida pelo movimento (com velocidade v ), e po Φ o fluxo do campo magnético, é dφ ε = = u dt (.7) A equação (.7) é designada po lei geal da indução (lei de Faaday). Sendo B unifome, a vaiação de fluxo é popocional à áea vaida, A: dφ da ε = = B (.8) dt dt Consideando a velocidade constante, d A = L dx = L v dt ; substituindo em (.8), obtém-se ε = B L v (.9) As figuas. e. e as equações (.6) e (.9) elacionam acções electomagnéticas e mecânicas que se veificam em condutoes elécticos no seio de campos magnéticos. O campo de excitação magnética, ou simplesmente campo H, é um campo deivado que taduz a modificação do campo B povocada pelo estado magnético do meio mateial. A elação ente os dois campos é dada po B v H = M (.0) µ 0 onde µ 0 é a pemeabilidade magnética do vazio e M v é o vecto de magnetização que 7 desceve o estado magnético do mateial. No SI, µ 0 = 4π 0 Hm, o campo H é medido em ampee/meto (Am - ) e o campo B é medido em tesla (T). 4

15 Fluxo de uma gandeza vectoial O fluxo elementa do campo magnético, dφ, é popocional ao númeo de linhas de foça do campo que atavessam a pojecção da supefície ds sobe um plano pependicula à diecção de B. φ = dφ = B.dS (.a) S S A noção de fluxo é aplicável a qualque gandeza vectoial, não impotando a sua natueza física, e está associado à noção de caudal. No sentido do escoamento, isto é, na diecção da nomal d S, o fluxo é positivo, e no sentido inveso é negativo. O fluxo do campo magnético atavés duma supefície S fechada é nulo: φ = dφ = B.dS = 0 (.b) S S Quando sujeitos a um campo magnético exteio B suficientemente intenso, existem mateiais cujos momentos magnéticos dos electões tendem a oienta-se segundo diecções bem definidas em elação ao campo magnético exteio; neste caso a magnetização, M v, não é nula, e se fo popocional a B, a elação ente B e H pode se escita na foma B = µ H (.) onde µ é a pemeabilidade magnética do mateial: µ = µ µ 0, sendo µ uma constante adimensional designada po pemeabilidade magnética elativa desse mateial. Em muitos mateiais, a elação ente B e M v não é simples, depende da intensidade de B, e (.) não taduz uma elação linea. Po exemplo, na Fig..4 epesenta-se a elação ente B e H paa um mateial feomagnético. Na cuva de magnetização da Fig..4 veifica-se que paa valoes cescentes de H, no intevalo [0, H ], a elação ente B e H é apoximadamente linea e que no intevalo [H, H ] não o é. Veifica-se também que os valoes de B de H não coincidem nas cuvas cescentes e decescentes de H. Este fenómeno é designado po histeese. Na cuva decescente, quando H se anula (H=0) o mateial mantém um campo magnético esidual, B e paa se anula a magnetização do mateial é necessáio invete o sinal de H até ao valo H c designado po campo coecivo. A histeese é comum a todos os mateiais feomagnéticos e tem oigem na convesão ievesível ente a enegia magnética e enegia témica que se obseva pelo aquecimento do mateial quando é magnetizado. Ao vaia continuadamente a excitação ente H a +H, o as tocas de enegia estabilizam e obtém-se a cuva da Fig..5 a que se dá o nome de ciclo de histeese. 5

16 Fig..4: Cuva de magnetização. A áea definida pelo ciclo de histeese, Fig..5, é popocional à enegia convetida ievesivelmente em calo duante o pocesso de magnetização do mateial, po vaiação continuada de H, po exemplo, desde H a +H, com etono a H. A enegia pedida po aquecimento designa-se po pedas po histeese e seá efeida mais adiante. Fig..5: Ciclo de histeese. Considee-se o cicuito magnético da Fig..6 constituído po um too de mateial feomagnético com secção cicula S, em tono do qual se enolam n espias de fio de cobe isolado. A bobina constituída deste modo é pecoida pela coente I dando oigem ao campo magnético B no too, cuja linha de foça média tem aio. Com i 0, existiá no too o fluxo φ e o fluxo total associado à bobina de n espias é ψ = n φ (.) 6

17 Se a esistência das n espias do fio de cobe fo R, a equação que ege o cicuito da Fig. (.6) é dψ E = Ri + (.4) dt Fig..6: Cicuito magnético tooidal. Como condições iniciais de (.4), considea-se que no instante inicial quando o cicuito é ligado, t=0, se tem i ( 0) = 0 e ψ ( 0) = 0. O fluxo Ψ cesceá com o aumento da coente, sendo o cescimento popocional à coente quando o meio é linea, Multiplicando ambos os membos de (.4) po id t, esulta E i dt = Ri dt + i dψ (.5) O pimeio membo de (.5) epesenta a enegia cedida pela fonte de fem E duante o intevalo de tempo dt; Ri dt epesenta a enegia dissipada na bobina po efeito de Joule no mesmo tempo; i dψ epesenta a enegia utilizada paa cia o campo magnético B. Com dw m = i dψ, a enegia total do campo magnético no too quando Ψ vaia de 0 a Ψ max é ψ max W m = i dψ (.6) 0 Consideando que o campo no too é constante, aplicando (.a) ao cicuito da Fig..6, obtém-se φ = S B. d S = B S (.7) Se não existi satuação, (.) taduz uma elação linea, µ é constante e total associado à bobina é B = µ H ; o fluxo ψ = n φ = n B S (.8) Recode-se a lei de Ampée, ou lei da coente total: 7

18 H. d l = n I (.9) l Paa o too da Fig..6, calculando a ciculação do campo H ao longo da linha de foça média de aio, de (.9) esulta: H l = n I (.0) com l=π. Substituindo (.8) e (.0) em (.6), obtém-se Bmax Bmax Bmax H l W m = S n db = H V db = V H db (.) n em que V=lS é o volume do too. O último integal da dieita de (.) epesenta a enegia amazenada pelo campo magnético po unidade de volume do too (é a densidade de enegia po unidade de volume). A enegia total associada ao campo magnético B max é então popocional à áea sombeada da Fig..7(a). Fig..7: Densidade de enegia magnética; (a) com o campo B max ; (b) pedas po histeese. Em meios lineaes, ou se não existi satuação, é associada ao campo magnético B max é dada po B = µ H, e de (.) esulta que a enegia Bmax H d max B W V H B V max m = = (.) 0 A áea sobeada da Fig..7(b) epesenta a enegia pedida po unidade de volume ao magnetiza o mateial de H até H max e volta a H=0. Esta é ajustificação poque a áea 8

19 limitada pelo ciclo de histeese na Fig..5 é popocional às pedas po histeese duante um ciclo de magnetização. Os mateiais feomagnéticos duos têm ciclos de histeese com áeas gandes e dão oigem a maioes pedas po histeese, não sendo adequados paa a constução de máquinas elécticas, em geal. Chama-se foça magnetomotiz (fmm) à ciculação do vecto H ao longo dum caminho fechado, l, como se apesenta em (.9): fmm = H. d l = n I (.) l Paa o cicuito da Fig..6, despezando a satuação, subtituindo (.7) em (.0) obtém-se l φ = n I (.4) µ S A facção de (.4) é a elutancia magnética do too (R m ). A equação (.4) taduz a lei de Ampée escita em função do fluxo e é fequentemente designada po lei de Hopkinson. φ R m = n I, com l R m = (.5) µ S A elutância magnética depende da geometia e da constituição do mateial e, no caso geal, depende do fluxo do campo magnético. A elutância magnética taduz a maio ou meno facilidade com que um dado mateial pode se atavessado po linhas de foça do campo magnético. Fequentemente, os cicuitos magnéticos são caacteizados pelo inveso da elutância magnética a que se chama pemeância. Multiplicando ambos os membos de (.5) pelo númeo de espias n, e eaanjando, obtémse: n ψ = n φ = I (.6) Rm De acodo com (.6), em meios lineaes, o fluxo total associado à bobina é popocional à intensidade da coente eléctica; a constante de popocionalidade chama-se coeficiente de indução da bobina, L: n L = (.7) R m ψ = L I (.8) No caso geal, a elação Ψ(i) não é linea, e L depende da coente. A elação Ψ(i) é ainda dada pela cuva da Fig..4 intoduzindo as adequadas mudanças nas escalas dos eixos. Po l exemplo, paa o too da Fig..6 seia ψ = n S B e I = H. n Em meios lineaes, L é constante e substituindo (.8) em (.6), esulta que a enegia magnética ciada po uma bobina pecoida pela coente eléctica com intensidade I é dada po 9

20 Wm = L I (.9) Tendo em conta (.7) a fem induzida pela vaiação do fluxo do campo magnético numa bobina de n espias é dφ dψ ε = n = (.0) dt dt Substituindo (.8) em (.0), obtém-se: di ε = L (.) d t De acodo com (.), a fem induzida é popocional à taxa de vaiação da coente no tempo, e seá nula se a coente fo constante. Substituindo (.8) em (.5), esulta: E i dt = Ri dt + Li di (.) A potência posta en jogo pelo geado da Fig..6 é então di p = E i = Ri + Li (.) dt O segundo membo de (.) é a soma da potência de pedas na bobina po efeito de Joule com a potência associada à ciação do campo magnético no too. Quando i é constante, a potência do geado equiliba apenas as pedas po efeito de Joule no conduto da bobina, sendo a enegia magnética constante. Paa efoça o campo magnético, as bobinas são enoladas sobe nucleos de baixa elutância magnética. Os mateiais usualmente utilizados são também condutoes e estão no seio de campos magnéticos vaiáveis. Po esse facto, são induzidas coentes paasitas (eddy cuents), designadas po coentes de Foucault, que têm tês efeitos: () aquecem o mateial po efeito de Joule; () dão oigem a campos magnéticos que se opõem ao campo exteio enfaquecendo-o; () dão oigem a foças electomagnéticas. As coentes de Foucault povocam pedas que se pocuam eduzi com a utilização de núcleos com esistência eléctica elevada. A soma das pedas po hiteese e às devidas às coentes de Foucault constitui aquilo que se designa po pedas no feo e estão pesentes em todas as máquinas elécticas.. Acoplamento magnético Os cicuitos elécticos têm acoplamento magnético quando patilham o mesmo campo magnético. Na Fig..8 epesentam-se dois condutoes ( e ) pecoidos pelas coentes i e i, espectivamente. Considea-se que os condutoes estão peto um do outo, de tal foma que as coentes ciam em tono do seu conduto um campo magnético cujo fluxo, pacialmente, atavessa também o outo conduto. 0

21 Fig..8: Acoplamento magnético ente condutoes. O fluxo total φ ciado pela coente i é composto pela soma de duas pacelas: φ que só envolve o conduto e φ que envolve também o conduto. E de modo semelhante paa o fluxo total φ ciado pela coente i : i φ = φ + φ i φ = φ + φ (.4) Se os dois condutoes tiveem n e n espias, espectivamente, os fluxos totais associados a cada bobina são, espectivamente, dados po ( φ ± φ) = ψ ± ψt = n ψ ( φ ± φ ) = ψ ± ψt = n ψ (.5) em que ( φ + ) ψ = n φ é o fluxo associado à bobina que é ciado pela pópia coente, i ; ( φ + ) ψ = n φ é o fluxo associado à bobina que é ciado pela pópia coente, i ; Em (.5) usa-se o sinal + se os fluxos são aditivos (concodantes) e o sinal se são subtactivos (antagónicos). Os fluxos Ψ e Ψ, que atavessam uma bobina mas que são ciados pela coente da outa, fazem o acoplamento magnético ente as duas bobinas. Se o meio fo linea, tendo em conta (.8), cada um dos fluxos em (.5) pode se elacionado com a espectiva coente atavés de um coeficiente de indução L: ψ ± ψ = L i ± Li (.6a)

22 ψ ± ψ = L i ± L i (.6b) Pode-se demonsta que L =L e, poque elacionam o fluxo que atavessa uma bobina com a coente na outa bobina, designam-se po coeficientes de indução mútua, sendo fequentemente epesentados po M (M= L =L ). Os coeficientes L e L são designados po coeficientes de indução pópia ou de auto-indução das bobinas. Tendo em conta (.0), a fem total induzida em cada bobina é dada po ψt di e t L = = m dt dt d ψ t di e t L = = m dt dt di M dt d di M dt (.7) Tendo em conta (.9), num meio linea, a enegia dw j associada ao fluxo de cada bobina devido à pópia coente é W = L I (.8a) W = L I (.8b) A enegia associada ao fluxo de acoplamento magnético é I I W = = I M di = I M di M II (.9) 0 0 A enegia magnética total do cicuito com acoplamento magnético seá a soma das duas equações (.8) com (.9): W mt = L I + L I + M II (.40) O acoplamento magnético ente cicuitos pode não se desejável sendo apenas consequência da poximidade a que se encontam. Quando o acoplamento magnético é expessamente desejado paa tona possível a uma tansfeência de enegia ente as duas bobinas, os fluxos φ e φ da Fig..8 devem se eduzidos poque não inteligam magneticamente as bobinas, sendo então, do ponto de vista enegético, consideados como pedas. Paa melhoa o acoplamento magnético, nomalmente enolam-se as duas bobinas em tono de um núcleo de baixa elutância magnética. Esta situação é epesentada na Fig..9, na qual o fluxo no too, φ m, ealiza o acoplamento magnético das bobinas.

23 Fig..9: Bobinas com acoplamento magnético. As bobinas de n e n espias são pecoidas pelas coentes i e i, espectivamente. O fluxo total associado a cada bobina pode se decomposto na soma de duas pacelas: φ m que é o fluxo de magnetização no too esultante daqueles ciados pelas coentes das bobinas; e os fluxos de dispesão φ d e φ d. Os fluxos de dispesão φ d e φ d fecham-se pelo no a, não tansfeem enegia ente as duas bobinas, e coespondem aos fluxos φ e φ da Fig..8 que envolvem apenas os espectivos condutoes. Seja R m a elutância magnética do too; os fluxos associados a cada bobina são, espectivamente, ( φd + φm ) = ψ d + ψ t = n ψm (.4a) ( φd + φm ) = ψd + ψ t = n ψm (.4b) com n i ± n i φ m = Rm (.4c) n i ± nn i ψ m = Rm (.4d) n i ± nn i ψ m = Rm (.4e) Tendo em conta (.8) e admitindo que não existe satuação, a pati de (.4) podem se definidos os seguintes coeficientes de indução: - de magnetização da bobina, - de magnetização da bobina, n L m = R (.4a) m n L m = R (.4b) m

24 n n - de indução mútua, L L M = = = ± (.4) R m Numa foma semelhante a (.4), podem se definidos os seguintes coeficientes de autoindução de dispesão: - da bobina, n L d = (.44a) Rm0 n - da bobina da bobina, L d = (.44b) Rm0 sendo R m0 uma elutância magnética equivalente às linhas de foça no a. Com os coeficientes de indução definidos atavés das equações (.4) a (.44), as equações (.4) podem se escitas da seguinte foma: n n n n ψ t = + i ± i (.45a) Rm0 R m Rm n n n n ψ t = ± i + + i (.45b) R m Rm0 Rm De (.45) esultam os coeficientes de auto-indução das bobina e, espectivamente, L = L d + Lm (.46a) L = L d + Lm (.46b) As equações (.45) são equivalentes às (.5) fazendo φ d = φ, φ d = φ φ m = φ ± φ. e Tendo em conta (.4), (.4) e (.46), as equações (.45) podem se escitas na seguinte foma maticial (consideando fluxos concodantes, paa maio simplicidade de escita): ψ ψ t t L = M M i L i (.47) O deteminante de L M M L é M = L = L M L L. L L 4

25 Define-se facto de acoplamento magnético ao valo adimensional M k =. Se a L L dispesão magnética fo nula, de (.45) esulta M = L L, e então k= e =0; se os cicuitos estiveem magneticamente desacoplados, M=0 e k=0. Desta foma, k é uma medida da qualidade do acoplamento magnético ente dois cicuitos e, consequentemente, deve se 0 k <. Tendo em conta (.7) deivando (.47) obtém-se as fem induzidas em cada bobina: e e t t L = M di M d dt L i dt (.48) Genealizando, se na Fig..9 as bobinas tiveem esistências R e R, espectivamente, as tensões aos seus teminais são dadas pelas equações seguintes: u u R = 0 0 i R i L + M di M d dt L i dt (.49) Se 0, (.49) pode se escita na foma de um modelo de estado, di L = d dt i M dt M L R 0 0 i R i L + M M L u u (.50) A equação (.50) é o modelo matemático completo do cicuito da Fig..9, e a sua solução, [ i ( t) i ( t ] t ), pode se obtida po integação, conhecidas que sejam as tensões u (t) e u (t) e as condições iniciais [ i ( 0) i (0)] t. Neste cuso, estaemos paticulamente inteessados em tensões industiais do tipo altenado sinusoidal cujo valo instantâneo pode se epesentado pela função u ( t) = U cos( ωt + α) ; U é a amplitude da tensão, ω é a pulsação (ω=πf) e α é a fase na oigem, isto é, a fase paa t=0. Paa gandezas altenadas sinusoidais, as soluções foçadas podem se calculadas no domínio da fequência. Nesta mudança de domínios, os valoes instantâneos são substituídos po d amplitudes complexas e o opeado deivada é substituído po jω: jω. Po exemplo, dt considee-se a tensão u ( t) = U cos( ωt + α). Paa os domínios do tempo e da fequência são válidas as seguintes coespondências: 5

26 6 Domínio do tempo Domínio da fequência ) cos( ) ( α + ω = t U t u α = j U e U t t u d ) ( d ωu j (.5) ) cos( d ) ( d π + α + ω ω = t U t t u ) j( j π α+ ω = ω e U U Aplicando (.5) a (.49), esulta: ω + = j 0 0 I I I I U U L M M L R R (.5) E simplificando, obtém-se: ω + ω ω ω + = j j j j I I U U L R M M L R (.5) Conhecidas as coentes sinusoidais nas bobina da Fig..9, a equação (.5) pemite o cálculo das amplitudes complexas das tensões aos teminais das bobinas. Po outo lado, sendo conhecidas as amplitudes complexas das tensões, se a matiz das impedâncias fo invetível, as amplitudes complexas das coentes são dadas po: ω + ω ω ω + = j j j j U U I I L R M M L R (.54) De (.54) esulta: ( ) ( )( ) j j j j M L R L R M L R + ω ω + ω + ω ω + = U U I (.55a) ( ) ( )( ) j j j j M L R L R M L R + ω ω + ω + ω ω + = U U I (.55b) As unidades das gandezas magnéticas que temos estado a tata, no sistema intenacional de medidas (SI), estão esumidas na tabela..

27 Tabela.: Unidades no SI Gandeza Unidade Símbolo B tesla T H ampee/m Am - Ψ, Φ webe Wb L heny H R m /heny H - fmm ampee-espia Ae. Poblemas. A Fig..P epesenta um cicuito magnético constituído po um too de mateial feomagnético unifome com pemeabilidade magnética elativa µ Fe em tono do qual se enolaam n espias de um fio conduto isolado; o too tem o aio médio R, a secção ecta unifome S e um entefeo de espessua δ. Não existindo satuação, calcule: a) a elutância magnética do feo e do a; b) a elutância magnética total do núcleo; c) o fluxo do campo magnético no too; d) os campos de indução e de excitação magnéticos no feo e no a; e) o coeficiente de auto-indução da bobina; f) a enegia magnética amazenada no feo e no a; g) a fmm necessáia paa duplica o campo magnético de indução no a. µ O = 4π.0-7 Hm - R= cm; δ=mm; S=0,79 cm ; I= A; n=00; µ Fe =7000. Fig..P. Considee o cicuito da Fig..P com o entefeo δ=0,mm. Calcule os campos de indução e de excitação magnéticos, e a enegia magnética, no feo e no a.. A Fig..P epesenta um cicuito magnético constituído po um too de mateial com pemeabilidade magnética elativa µ, com o aio médio R e a secção ecta unifome S, em tono do qual se enolaam duas bobinas de fios condutoes isolados com n e n espias, espectivamente. Consideando que não existe satuação, com a bobina n em vazio, obtenha a tensão u (t), nos seguintes casos: 7

28 a) i(t)= A; b) i(t)= +t A; c) i( t) = cos( ωt) A. µ O = 4π.0-7 Hm - R= cm; S=0,79 cm ; n =00; n =50; µ =000; Fig..P.4 Paa o cicuito da Fig..P, obtenha os coeficientes de indução pópia e mútua das duas bobinas..5 Na Fig..P, R epesenta a esistência da bobina n enolada em tono do too da Fig..P. Obtenha: (a) a coente i(t) quando se liga uma tensão contínua U=6V à bobina n, com i(0)=0; (b) a tensão u (t), quando se liga tensão contínua da (a). R = Ω. Fig..P.6 A Fig..P4 apesenta o cote num oto com compimento l e aio R, que contém uma espia pecoida pela coente contínua I, e que gia no seio dum campo magnético unifome B. Calcule: (a) o bináio que actua o oto em função de θ; (b) as posições do oto paa as quais o bináio é nulo e aquelas em que é máximo. (c) Calcule a fem induzida na espia em vazio (I=0) quando o oto oda com a velocidade constante N=60 pm. (d) Repita a (c) consideando uma bobina de 0 espias odando à mesma velocidade. l=0 cm R=5 cm I=5 A B=0,9T Fig..P4 8

29 .7 Considee o cicuito magnético da Fig..P5(a). O mateial do too tem a caacteística de magnetização apoximada da Fig..P5 (b). A bobina n está em vazio. R= cm; S= cm ; n =00; n =00; µ =000; µ O = 4π.0-7 Hm - (a) (b) Fig..P5 Obtenha o diagama tempoal da tensão u (t) se i( t) = cos(4t) A. Bibliogafia A.E. Fitzgeald, C. Kingsley, S.D. Umans, Electic Machiney, McGaw-Hill, 6ª Ed. Stephen J. Chapman, Electic Machiney Fundamentals McGaw-Hill, 5th Edition, 0. 9

30 CAPÍTULO. TRANSFORMADOR. Intodução Chama-se tansfomado a um apaelho electomagnético estático, isto é, sem pates móveis, que utiliza o acoplamento magnético ente duas ou mais bobinas, de tal foma que é possível modifica as amplitudes das tensões elécticas, ou das coentes, vaiáveis no tempo. O tansfomado é constituído po um núcleo, usualmente de mateial feomagnético de baixa elutância e elevada esistência, em tono do qual se enolam divesas bobinas de fio conduto, à semelhança do cicuito da Fig..9. O funcionamento do tansfomado envolve pincípios que são comuns com o funcionamento das máquinas elécticas e, po isso, neste capítulo desenvolvem-se conceitos já expostos no capítulo, fazendo a ponte paa os capítulos seguintes sobe máquinas elécticas otativas. A Fig.. epesenta a constituição dum tansfomado com dois enolamentos. Uma das bobinas, n, é alimentada po uma tensão altenada sinusoidal, dando oigem a um fluxo magnético, também altenado sinusoidal, cuja amplitude depende da amplitude da tensão aplicada e da sua fequência, e do númeo de espias n. Este fluxo faz o acoplamento magnético com a outa bobina, n, induzindo nesta uma tensão também altenada sinusoidal cuja amplitude depende do seu númeo de espias n e da amplitude do fluxo. Fig..: Constituição de um tansfomado monofásico. Os tansfomadoes podem-se te váias bobinas com difeentes númeos de espias e com condutoes de secções difeentes, sendo usados em aplicações de gande ou de pequena potência. Po convenção, num tansfomado com dois enolamentos, a bobina ligada à fonte de tensão u(t), com n espias, designa-se po pimáio e a bobina com n espias, que alimentaá a caga, designa-se po secundáio do tansfomado. 0

31 Os tansfomadoes obedecem à lei geal da indução electomagnética, podem se consideados como máquinas elécticas sem pates móveis, A enegia eléctica ecebida da fonte de entada atavés do enolamento pimáio é tansfomada em de enegia magnética no núcleo, e esta é tansfeida paa a caga atavés do enolamento do secundáio. Os cicuitos do pimáio e do secundáio estão desacoplados galvânicamente e a sua ligação é feita atavés do fluxo do campo magnético no núcleo. No caso dos tansfomadoes industiais de 50 Hz, o núcleo é constituído po lâminas metálicas finas de feo silicioso com fomas padonizadas, justapostas e isoladas umas das outas paa se eduzi as coentes de Foucault, Fig..(a). Em cicuitos de baixa potência, quando as tensões e as coentes têm fequências elevadas (supeioes a khz), o núcleo do tansfomado é usualmente maciço, utilizando-se feites - são mistuas de óxidos feomanéticos com Ni, Zn, Mn, Fe de elevada esistividade e pensados - com divesas fomas: toos, pot coes, epesentado na Fig..(b), e baas ectangulaes, po exemplo. (a) (b) (c) Fig..: Tansfomadoes de pequena potência; (a) monofásico de 50 Hz; (b) em pot coe paa 00 khz; (c) pot coe. No pojecto dos tansfomadoes tem-se em conta, nomeadamente, o tipo de utilização, a potência em jogo, a foma de onda das tensões, e das coentes, e a sua fequência. São também aspectos impotantes a considea a ventilação e o isolamento eléctico ente as espias das bobinas. Paa a mesma potência tanspotada, quanto mais alta é a tensão, meno é a intensidade da coente e potanto mais pequena seá a secção dos condutoes da linha de tanspote de enegia eléctica. Este é um dos motivos poque se eleva a tensão a centenas de kv paa se efectua o seu tanspote atavés da ede eléctica de um país, voltando depois a eduzi-la junto aos utilizadoes, Fig... A Fig..4 apesenta um tansfomado de alta tensão usado em subestações. Noutas utilizações, ecoe-se a tansfomadoes paa eduzi a tensão industial de baixa tensão paa níveis adequados à alimentação de equipamentos elécticos e electónicos. Neste cuso, tataemos de tansfomadoes à fequência industial de 50 Hz. Todavia, qualque que seja a sua aplicação, dimensões e tipo de constução, o funcionamento do tansfomado baseia-se no pincípio acima descito e na lei geal da indução (.0). Os tansfomadoes industiais podem se monofásicos ou tifásicos e com váios enolamentos po fase. Paa maio simplicidade, e poque se petende faze a ponte com as

32 máquinas elécticas, os conceitos seão expostos consideando o tansfomado monofásico com dois enolamentos, cuja constituição é apesentada na Fig... Fig..: Podução e distibuição de enegia eléctica. Fig..4: Tansfomado de alta tensão.

33 . Tansfomado ideal Num tansfomado ideal, sem pedas, as tensões e as coentes têm difeentes amplitudes, têm a mesma fequência, e a soma da enegia eléctica fonecida po todos os enolamentos secundáios é igual à enegia ecebida pelo pimáio. A coente altenada sinusoidal que pecoe o enolamento do pimáio faz apaece no núcleo de feo um fluxo magnético altenado sinusoidal φ, Fig... Com dois enolamentos, este fluxo vaiável é abaçado pelos enolamentos do pimáio e do secundáio e, segundo a lei geal de indução, induz em cada um deles uma f.e.m dada po: dφ e = n (.) dt dφ e = n (.) dt em que, espectivamente, n e n são o númeo de espias dos enolamentos pimáio e secundáio, e e e e são as f.e.m induzidas nesses enolamentos, espectivamente. Considee-se que, sendo a coente no pimáio sinusoidal, o fluxo φ(t) também é sinusoidal e que é epesentado po: φ( t) = Φ cos ωt (.) Com o fluxo (.), a fem induzida em cada espia seá: dφ π e = = ωφ senωt = ωφ cos ωt (.4) dt Da equação (.4) conclui-se que a f.e.m induzida em cada enolamento está desfasada de 90º em ataso em elação ao fluxo φ. Os valoes eficazes das fem totais (.4) induzidas em cada um dos enolamentos são: E ef = nωφ = 4,44 f nφ (.5) E ef = nωφ = 4,44 f nφ (.6) Ao quociente ente os valoes eficazes de e e de e chama-se azão de tansfomação do tansfomado: E ef n n = = (.7) Eef n Usando (.7), os tansfomadoes são edutoes quando n> (n >n ) e são elevadoes quando n< (n <n ). A potência activa pimáia, ou seja, o valo médio da potência instantânea absovida pelo pimáio, é:

34 P = U I cos ϕ (.8) Existindo uma coente no secundáio, i, a potência activa aos teminais do secundáio é: P = U I cos ϕ (.9) Num tansfomado ideal não existem pedas, e as potências postas em jogo no pimáio e no secundáio são iguais: P = P. Paa o tansfomado ideal, sem pedas, é ϕ ϕ e os valoes eficazes das tensões U e U são iguais aos das fem espectivas; a igualdade das potências implica que P = P UI = U I, de que esulta. U U I n = = (.0) I n Ou seja, U = n U (.) I = (.) I n Num tansfomado ideal toda a enegia fonecida pelo pimáio é tansfeida paa a caga ligada ao secundáio. A equação (.0) é equivalente a considea que a fmm total no too é nula, isto é, a fmm do pimáio é totalmente equilibada pela do secundáio: n I n I 0 (.) = O acoplamento ente os dois enolamentos do tansfomado ideal é ealizado pela indução mútua ente eles, M e o coeficiente de acoplamento magnético é k=. Esquematicamente, o tansfomado ideal é epesentado pelo cicuito da Fig..5, que taduz, apenas, a elação ente as tensões e coentes (.0). Na figua, L e L são os coeficientes de magnetização totais das bobinas e, espectivamente, que no tansfomado ideal tendem paa infinito. Fig..5: Tansfomado ideal. O tansfomado ideal modifica apenas as amplitudes das tensões e coentes de acodo com as equações (.0). 4

35 . Tansfomado com pedas Um tansfomado eal tem pedas (i) pedas no feo devido às coentes de Foucault e à histeese, existem, emboa sejam usualmente pequenas, até poque se pocua utiliza paa o núcleo um mateial com pequenas pedas; (ii) pedas no cobe, que designam as pedas devidas ao aquecimento das bobinas po efeito de Joule, que dependem dos condutoes e das intensidades das coentes no pimáio e no secundáio, e que são vaiáveis, dependendo essencialmente da caga do tansfomado; (iii) pedas devidas à dispesão do fluxo magnético, poque o facto de acoplamento magnético k<. O endimento do tansfomado vaia com a caga, dependendo fotemente das pedas no feo e no cobe. Sejam R e R espectivamente as esistências dos enolamentos do pimáio e do secundáio do tansfomado. A equação paa o enolamento do pimáio é: u = R i e (.4) com dφ dψ e n = = (.5) dt dt Paa o secundáio em caga, a equação das malhas conduz a: = R i u (.6) e + com e dφ dψ = n = (.7) dt dt De acodo com (.46) e (.47), admitindo que não existe satuação (na zona linea a pemeabilidade magnética do feo é constante), os fluxos ligados Ψ e Ψ são dados po: Ψ = L i + M i (.8) Ψ = L i + M i (.9) em que L e L são, espectivamente, os coeficientes de autoindução do pimáio e do secundáio e M é o coeficiente de indução mútua ente os dois enolamentos. Paa o tansfomado eal, os coeficientes de autoindução podem não se constantes devido ao fenómeno da satuação magnética. Todavia, paa facilidade de exposição, ao longo deste texto consideam-se meios lineaes e, quando nada fo dito em contáio, os coeficientes de indução são então constantes. O cicuito da Fig..5 é usualmente modificado paa inclui as pedas no cobe e no feo e a dispesão magnética. Paa isso, começamos po considea que o pimáio é alimentado po uma tensão altenada, u, com fequência f constante e que o secundáio está abeto (em vazio, i = 0). Poque i = 0, de (.) esulta que no tansfomado ideal seá i p = 0. O pimáio é pecoido po uma coente i 0 que cia um fluxo φ 0 com duas componentes: 5

36 - φ P, o fluxo pincipal, cujas linhas de foça se fecham pelo núcleo (ou pelo feo), ligando os dois enolamentos; - φ d, o fluxo de dispesão, que se fecha pelo a em tono da bobina do pimáio. Em vazio, a enegia pedida à fonte é basicamente usada paa cia um fluxo φ P, que oiginaá no secundáio a fem e, e um fluxo de pedas, φ d, que dá oigem a uma fem suplementa, e dψd di0 = = ld (.0) dt dt d em que, tendo em conta (.44), pimáio: ϕ d = nφ d = ld i0. l d é o coeficiente de indução de dispesão no O mesmo aciocínio podeia se feito paa a bobina do secundáio. Paa inclui (.0), (.4) e (.6) o cicuito da Fig. (.5) é tansfomado no da figua seguinte: Xd = ωld ; X d = ωld ; X m = ωm ; ω= π f Fig..6: Modelo eléctico do tansfomado. Na Fig..6, R Fe epesenta as pedas no feo, tendo um valo tal que a potência nela dissipada é igual à das pedas no núcleo do tansfomado; consideaam-se tensões e coentes sinusoidais, motivo pelo qual se epesentam já as eactâncias das bobinas. Com u( t) = U cos( ωt), na malha do pimáio tem-se, U = E + R I + jωld I sendo E = jωm I M (.a) (.b) Na malha do secundáio, poque a coente é nula, é e = u. As amplitudes complexas E, φ P, IM, E, e U podem se elacionadas pelo diagama vectoial da figua (.7). O diagama foi desenhado do seguinte modo: 6

37 º) Desenha-se φ P, cujo vecto tomamos como efeencial do diagama; º) Tendo em conta (.5), E e E desenham-se em quadatua e ataso em elação a φ p (consideou-se E >E ). º) A coente em vazio, I0, tem duas componentes: I M é a componente eactiva que cia o fluxo φ p e que está em fase com ele; IFe é a componente activa que está em quadatua e avanço com φ p. Desta foma, I 0 = I Fe + I M. Esta coente dá oigem às pedas no feo. O facto de potência em vazio é cos ϕ. Note-se que Fig..7: Diagama vectoial em vazio. I. φ p está desfasado da coente 0 IFe só em vazio é que tem um papel impotante, pois em caga I Fe << I. Caso não existissem pedas no feo,φ p estaia em fase com I0. As fomas de onda das fem induzidas podem não se sinusoidais, apesa de φ p o se, dependendo da satuação e da cuva de magnetização do feo. Em vazio, a coente do pimáio, I 0 é muito pequena e as pedas no cobe podem se despezadas. Em vazio, a potencia activa, consideando valoes eficazes, é dada po P0 = U I0 cosϕ U I Fe. Em vazio, a potência activa consumida pelo tansfomado, paticamente, equiliba apenas as pedas no feo causadas pela histeese e pelas coentes de Foucault. 7

38 Os tansfomadoes, como outa qualque máquina eléctica, é caacteizado pela potência paa que foi pojectado. Essa potência é designada po potência nominal do tansfomado. Paa uma tensão de entada, no pimáio, com fequência e amplitude constantes, definem-se as coentes nominais do pimáio e do secundáio e a tensão nominal do secundáio. Sejam, espectivamente, P e P as potências activas no pimáio e no secundáio do tansfomado em caga. Num tansfomado eal em caga, existem pedas no feo e no cobe (po efeito de Joule nos enolamentos), de tal foma que: P =P +P Cu +P Fe (.a) com P Cu = R Ief + R Ief (.b) O endimento do tansfomado seá então dado po, P P P Fe Cu η = = (.) P P P Em vazio, poque a coente no pimáio é muito eduzida e as pedas no cobe podem se despezadas. O endimento vaia com a caga poque a potência no cobe é função da coente, de acodo com (.b); as pedas no feo são apoximadamente constantes. Define-se o facto de caga, C, como sendo a azão ente o valo eficaz da coente do secundáio do tansfomado num dado instante e a sua coente do secundáio nominal: C I = (.4) IN Em caga, o secundáio é pecoido pela coente i. Tal como paa o pimáio, de acodo com a Fig..6, também existiá um fluxo de dispesão ϕ d = l d i, sendo l d o coeficiente de indução de dispesão do secundáio. A coente i cia um fluxo magnético que no caso mais geal da caga se esistiva ou indutiva, opõe-se ao fluxo ciado pela coente no pimáio. Com u( t) = U cos( ωt), da malha do pimáio da Fig..6 esulta: U = jωm IM + R I + jωld I (.5) Consideando uma impedância de caga Z c ligada aos teminais do secundáio, U = Zc I, na malha do secundáio esulta: = + ω + E R I j ld I Zc I (.6) com E n n =. E = jωm IM n n Despezando as pedas no feo, do equilíbio das fmm esulta, 8

39 n I = I + IM (.7) n As equações (.5), (.6) e (.7) descevem o funcionamento em egime estacionáio do tansfomado em caga, e têm tês coentes como incógnitas e envolvem a azão ente o númeo de espias. É possível usa-se também (.5), modificada paa inclui a dispesão e a caga. Todavia, paa facilita a análise e os cálculos, apesenta-se no paágafo seguinte um esquema equivalente do tansfomado eduzido ao númeo de espias do pimáio ou do secundáio..4 Tansfomado eduzido Em caga, o secundáio é pecoido pela coente i que cia um fluxo magnético que, no caso mais geal da caga se esistiva ou indutiva, se opõe ao fluxo ciado pela coente no pimáio. Tendo em conta as figuas.6, paa o tansfomado em caga deve-se veifica, = i i 0 (.8) i p + em que i é a coente de entada, i 0 é a coente no amo do feo, e i P é a coente no pimáio do tansfomado ideal que coesponde à coente i de caga no secundáio; tendo em conta (.), é n i p = i (.9) n A coente i P de (.9) é a coente do secundáio eduzida ao pimáio, isto é, convetida paa o númeo de espias do pimáio. Substituindo (.9) em (.8), esulta, n i + = i i0 (.0) n De acodo com (.0), do lado do pimáio, a coente do secundáio coesponde a uma coente fictícia, i, que com os sentidos da Fig..6, é dada po (.9): n I I = (.) n Desta foma, paa gandezas sinusoidais, (.0) pode se escita como I = I + I0 (.) A equação (.) coesponde à lei dos nós aplicada do lado do pimáio. As impedâncias do lado do secundáio também podem se eduzidas ao pimáio. Paa isso considee-se um tansfomado ideal em que são válidas as seguintes equações (os sub-índices p e s significam pimáio e secundáio, espectivamente): n Vp = V s (.) n 9

40 n I p = I s (.4) n V p Vs Seja Z = a impedância do pimáio e Z = a impedância do secundáio. Dividindo I p I s (.) po (.4), esulta, Vp n V = s I p n (.5) Is De (.5) conclui-se que a azão ente as impedâncias é igual ao quadado da azão ente o númeo de espias: n Z Z n = (.6) A equação (.6) significa que a impedância do secundáio Z pode se colocada no lado do pimáio desde que seja multiplicada po (n /n ). Com base em (.6), consideam-se os valoes fictícios n R R n n = X d X d n = (.7) Com (.7) o tansfomado pode se eduzido ao pimáio e modelizado pelo cicuito da Fig..8: Fig..8: Modelo do tansfomado eduzido ao pimáio. O tansfomado ideal da Fig..8 pemite calcula os vedadeios valoes da coente e da tensão no secundáio: n I = I n U n U = n (.8) (.9) 40

41 A impedância da caga, Z c, pode se também colocada no lado do pimáio desde que se use o seu valo eduzido ao pimáio: n Z c = Z c n (.40) Sem esquece as tansfomações (.8) e (.9), o tansfomado pode se modelizado em egime estacionáio pelo cicuito da Fig..9, conhecido como esquema equivalente de Steinmetz: Fig..9: Cicuito equivalente do tansfomado eduzido ao pimáio. O cicuito da Fig..9 pode se analisado po qualque dos métodos utilizados na esolução de cicuitos malhados. Note-se que, usando as tansfomações invesas de (.7) a (.9), o tansfomado também pode se eduzido ao secundáio. Fequentemente, a pena do feo é colocada logo á entada como se epesenta na Fig..0. A maio simplicidade de cálculo justifica a apoximação poque, na maio pate dos casos, a impedância R + j Xd suficientemente é pequena e os eos de cálculo são despezáveis. Uma outa vantagem do cicuito simplificado da Fig..0 é que evidencia as impedâncias deteminantes nos casos de vazio e de cuto-cicuito. Em vazio, como efeido anteiomente, a impedância da pena do feo é a dominante, poque a potência em vazio equiliba as pedas do feo quase exclusivamente; em cuto-cicuito, é a impedância longitudinal R + j Xd + R + j X d é dominante poque, sendo nomalmente pequena, é ela que limita paticamente a coente de cuto-cicuito. Em cuto-cicuito, a potência fonecida é paticamente igual à dissipada po efeito de Joule nos enolamentos. Aplicando (.) e (.) ao cicuito da Fig..0 e fazendo R Cu =R +R, o endimento do tansfomado é dado po, U cos φ η = (.4) P U cos φ + R I Fe Cu + I 4

42 d P A equação (.4) tem um máximo quando = 0 d R I + Fe Cu, o que conduz a I I R Cu I = P Fe. Assim, tal como foi dito anteiomente, o endimento é máximo quando as pedas no cobe são iguais à pedas no feo, mantendo-se constante o facto de potência. Fig..0: Cicuito equivalente simplificado eduzido ao pimáio. (a) (b) Fig..: Cicuito equivalente simplificado: (a) em vazio; (b) em cuto-cicuito. Os paâmetos do cicuito equivalente do tansfomado podem se obtidos expeimentalmente atavés dos ensaios em vazio e em cuto-cicuito. 4

43 O ensaio de cuto-cicuito não pode se ealizado à tensão nominal poque isso implicava a destuição do tansfomado. Define-se como tensão de cuto-cicuito a tensão que aplicada ao pimáio que povoca, em cuto-cicuito, a coente nominal no secundáio (que está cuto-cicuitado). É esta a tensão que é usada neste ensaio..5 Ensaios do tansfomado Os paâmetos do cicuito equivalente da Fig..0 podem se obtidos po via expeimental. Paa isso, ealizam-se dois ensaios com o tansfomado: o ensaio em vazio e o ensaio em cuto-cicuito. Com o ensaio em vazio petende-se detemina: (i) o valo da esistência equivalente às pedas no feo; (ii) a eactância de magnetização; (iii) a azão de tansfomação. Em vazio, a coente no pimáio é pequena, as pedas no cobe do pimáio são despezáveis, e a potência em vazio equiliba paticamente as pedas do feo. Estas pedas vaiam com a tensão de entada, mas pemanecem paticamente constantes quando a fem induzida na bobina é constante. O ensaio em vazio está epesentado na Fig..(a). Com o tansfomado em vazio, paa difeentes tensões no pimáio, mede-se a potência activa, P 0, o facto de potência, cos φ, e os valoes eficazes da tensão aplicada ao pimáio, U, e da tensão no secundáio, U 0. (a) (b) Fig..: Ensaios do tansfomado: (a) em vazio; (b) em cuto-cicuito. 4

44 Paa cada valo de U, conhecida P 0 = P Fe, a esistência equivalente às pedas no feo é calculada po, U R Fe = (.4) P0 Conhecido o facto de potência, cos φ, calcula-se a potência eactiva em vazio, Q 0 = P 0.tg φ, e a a eactância de magnetização, X m, é calculada po U X m = (.4) Q0 Finalmente, a azão de tansfomação é U n = (.44) U 0 Com base nestes valoes, são taçadas as cuvas R Fe = f ( U), X m = g( U) e n = h( U). O ensaio em cuto-cicuito está epesentado na Fig..(b). Com este ensaio petende-se detemina: (i) a esistência das pedas no cobe, R Cu =R +R ; (ii) a eactância de dispesão X d =X d +X d. Com o secundáio em cuto-cicuito, o ensaio é conduzido do seguinte modo: ajusta-se a tensão no pimáio U de tal foma que a coente no secundáio seja a coente nominal, I N ; mede-se então a potência activa, P cc, o facto de potência, cos φ cc, e o valo eficaz da coente no pimáio, I N. Como a tensão de cuto-cicuito é muito meno que a tensão nominal, as intensidades das coentes de magnetização e do feo são pequenas e que as pedas no feo podem se despezadas. Desta foma, sendo a potência de caga nula, a potência activa do pimáio equiliba apenas as pedas no cobe dos dois enolamentos. Com a tensão U cc, conhecida P cc = P Cu, a esistência das pedas no cobe é calculada po, P cc R Cu = (.45) IN Conhecido o facto de potência, cos φ cc, calcula-se a potência eactiva em vazio, Qcc = Pcc.tg φcc, e a a eactância de dispesão, X d, é calculada po Q cc X m = (.46) IN Finalmente, a azão de tansfomação é n I N = (.47) IN 44

45 .6 Valoes po unidade (pu) Em sistemas de potência, os tansfomadoes dão oigem a cicuitos com difeentes níveis de tensão. O sistema po unidade (pu) é um pocesso de cálculo nomalizado que se usa paa facilta a análise e a simulação de edes de enegia e de máquinas elécticas. Os valoes pu são uma pecentagem dum valo base de uma gandeza eléctica. Po exemplo, se uma tensão num baamento é de 0,98 pu, isso significa que a tensão é 98 % do valo nominal, ou valo base, desse toço da ede. Paa além de outas vantajens, as equações são adimensionais e os valoes pu podem da, imediatamente, uma indicação sobe se a gandeza tem um valo aceitável ou não. Po exemplo, uma tensão de, pu pode indica uma sobetensão inaceitável no cicuito. Os valoes pu são utilizados paa quantificaem difeentes gandezas tais como, impedâncias, tensões, coentes, potência e enegia. A ideia cental é expessa as váias vaiáveis como uma fação dos valoes escolhidos paa os coespondentes valoes base. Os valoes base são númeos eais. Fixado o valo base, a convesão paa valoes pu é feita do seguinte modo: Valo actual Valo pu = (.48) Valo base Os valoes base são escolhidos, ou são calculados em coeência com o conjunto dos valoes base já fixados paa as estantes gandezas. Nomalmente, fixam-se os valoes da tensão e da potência apaente como valoes base. A pati destes valoes, calculam-se os valoes da coente e da impedância base. Constitui-se então um sistema de valoes base coeente paa as gandezas em jogo nesse cicuito. Po exemplo, consideem-se como valoes base a potencia S b =00 kva e a tensão V b =400V; os valoes base da coente e da impedância são, espectivamente, Neste sistema de valoes base, uma coente de 5 A teá o valo de 0,5 pu e uma impedância de, Ω teá o valo de pu, po exemplo. Invesamente, uma coente de 0,8 pu tem o valo eal de 00 A. Genealizando, o valo actual duma gandeza seá dada po, Valo actual = Valo pu Valo base (.49) Nos tansfomadoes, a utilização dos valoes pu pemite elimina a azão de tansfomação nos cálculos. Esta situação é ilustada com o seguinte exemplo: Exemplo Considee-se um tansfomado monofásico de 50 Hz com a potência apaente nominal de 0 MVA epesentado pelo cicuito da Fig.., onde se despezaam as pedas no feo: 45

46 Fig..: Tansfomado monofásico do exemplo.. Paa o tansfomado da Fig.. fixa-se a potência base, S b, e as tensões base do pimáio e do secundáio, espectivamente. Com base nestes valoes, calculam-se os estantes valoes base. Potência base S b =0 MVA. Pimáio (U N ): Secundáio (U ): U b = 6 kv U b = 60 kv Sb Sb I b = = 666,7 A I b = = 66, 7 A (.50) U U b b Ub U b Z b = =,6 Ω Z b = = 60 Ω Sb Sb Tendo em conta (.48) e (.50), obtêm-se os seguintes valoes pu: UN U N U = = pu U = = pu U U R Z b b = 4,7.0 pu R Z b b = 0,56.0 pu X d X = d 0, pu = 0, 00 pu Zb Zb X m = 4,67 pu Zb (.5) Com base em (.5), dado que os valoes pu das tensões do pimáio e do secundáio são iguais a pu, o cicuito da Fig.. é equivalente ao da Fig..4: 46

47 Fig..4: Cicuito da Fig.. em valoes pu Os valoes das gandezas em jogo no tansfomado do exemplo. podem se calculados atavés dum cicuito equivalente baseado na Fig..9, em unidades SI, ou atavés do cicuito da Fig..4, em valoes pu. Estes métodos são exemplificados seguidamente. Exemplo Considee-se o tansfomado monofásico do exemplo.. Petende-se calcula o valo eficaz da sua tensão de cuto-cicuito: (a) em volt; (a) em valo po unidade (pu). (a) Pimeiamente, começaemos po obte o cicuito equivalente da Fig..0: Fig..5: Cicuito equivalente do tansfomado eduzido ao pimáio no ensaio de cutocicuito. n = 6kV 60kV = 0, R = R.n, R = 0. 0 Ω ; X d = X d.n, X d = 8. 0 Ω Nos cálculos seguintes consideam-se os valoes eficazes das tensões e coentes. No ensaio de cuto-cicuito, a coente no secundáio eduzida ao pimáio é igual à coente nominal do pimáio: I N = 666, 7 A. A tensão V = I ( R + jx ) M N d =,+j6,5 V. 47

48 V I M = I N + = 667,08 - j 0,0 A j X M U = I = 8,5 + j 79, V ( R + j X d ) + VM O valo eficaz da tensão de cuto-cicuito é Ucc = U = 79,88 V. Note-se que a tensão de cuto-cicuito dos tansfomadoes é nomalmente expessa em pecentagem da tensão nominal do pimáio: 79,88 U cc = =,% 6000 (b) Paa obte a tensão de cuto-cicuito em valoes pu, a sequência de cálculo pode se a mesma mas consideando agoa o cicuito da Fig..4. Em valoes pu, a coente nominal do secundáio é: I cc = IN = pu. A tensão V I ( R + jx ) = M = N d V I M = + = - j,.0-5 pu j X M ( R + j X d ) + VM 5, j 0,0 pu. U = I = 4, j 0, pu O valo eficaz da tensão de cuto-cicuito é Ucc = U = 0, pu. A tensão de cuto-cicuito coesponde a,%, tal como efeido na (a). Finalmente, usando (.49) pode-se calcula os valoes actuais de todas as gandezas em jogo. Po exemplo, paa calcula a tensão V M em unidades SI, medida do lado do pimáio, faz-se V M = (5, j 0,0).6 kv =,+j6,5 V valo este que é igual ao valo calculado na (a) Considee-se a impedância do cicuito da Fig..(b) expessa em valoes po unidade e a epesentação da Fig..6. No ensaio de de cuto-cicuito, a coente no pimáio é igual à coente nominal. Em valoes pu, seá I cc = I N = pu. Tendo em conta que U cc = IN. Zcc, em valoes pu a impedância de cuto-cicuito é igual ao valo da tensão de cuto-cicuito. Po exemplo, se a tensão de cuto-cicuito é 5%, então a impedância de cuto- 48

49 cicuito é também 5%. Que isto dize que á tensão nominal, a coente de cuto-cicuito seá 0 vezes maio que a coente nominal. Fig..6: Impedância de cuto-cicuito. A tensão de cuto-cicuito é um elemento fonecido pelos fabicantes de tansfomadoes e o seu conhecimento é impotante paa os cálculos de edes elécticas. A tensão, ou a impedância, de cuto-cicuito é um valo que é imposto po nomas em função da potência e das tensões nominais. Considee-se o cicuito equivalente da Fig..0 que se epoduz na figua seguinte: Fig..7: Cicuito equivalente simplificado eduzido ao pimáio. O valo eficaz da tensão eal na caga é dada po (.9): n U = U (.5) n Em vazio, do cicuito da Fig..7 esulta que a tensão no secundáio é U 0 = U; em caga, a tensão é U = U ji Zcc. A impedância longitudinal, ou impedância de cuto-cicuito, dá oigem a uma queda de tensão intena no tansfomado, motivo pelo qual e a tensão em caga é meno que a tensão em vazio (com cagas esistivas ou de caacte indutivo). Chama-se egulação de tensão (ou queda de tensão) do tansfomado à difeença ente os valoes eficazes da tensão em vazio, U 0, e da tensão em caga, U. Nomalmente, a queda de tensão do tansfomado é dada em valoes pecentuais da tensão em vazio: 49

50 U 0 U U U U = = (.5) U 0 U Chama-se caacteística extena (ou caacteística em caga) do tansfomado à função U =f(i ) com cos Φ constante. Esta função está epesentada gaficamente na Fig..8. Fig..8: Caacteística extena. O cálculo da egulação de tensão é simplificado quando se usam valoes pu, o que coesponde a usa (.5) com os valoes das tensões em vazio iguais aos valoes das tensões base. Exemplo Considee-se o tansfomado monofásico do exemplo. alimentado à tensão nominal U =6kV. Petende-se calcula a egulação de tensão quando I =50 A e com uma caga com facto de potência 0,866 indutivo. O modelo da Fig..4 pode se simplificado paa o cicuito da Fig..9. Fig..9: Cicuito equivalente simplificado. Paa o cálculo de (.5) é calcula-se a tensão em caga quando se alimenta o pimáio com a tensão nominal U = pu e estando a coente de caga está atasada de 0º em elação a U. Tendo em conta que a coente base é I b =66,7 A, e tomando como efeencial a tensão U, a coente no secundáio em valoes pu é: 50

51 I = 0,89 j0º e pu No diagama vectoial da Fig..0, epesentam-se a coentes e as tensões no cicuito equivalente: jφ U = U + ji Z = U = I Zcc = U R + U X = 0,058 + j0,09 pu. cc e OC = U CA = U. sin θ AB = U. cos θ Fig..0: Diagama vectoial das tensões. Da Fig..0 conclui-se que U = U sin ( U.cos θ + U ) + j. θ Desta equação esulta: sen φ = U.sin θ cos φ = U.cos θ+ U Substindo valoes e esolvendo, obtém-se: φ = 5,º U = 0,94 pu A egulação de tensão é -U =0,06, ou seja 6%. Em unidades SI, a egulação (ou queda) de tensão é,6 kv. 5

52 .7 Poblemas. Calcula a egulação de tensão no mesmo tansfomado alimentado à tensão nominal U =6kV quando I = pu e com uma caga com facto de potência 0,9 indutivo.. A figua.p epesenta o esquema equivalente dum tansfomado monofásico de 50 Hz. O valo eficaz da tensão no pimáio é U =0 V e despezam-se as pedas no feo. Calcule: Fig..P a) o valo instantâneo da tensão U com o tansfomado em vazio; b) o valo eficaz de I com o secundáio em cuto-cicuito se U =V; c) o coeficiente de auto-indução da bobina do pimáio; d) o coeficiente de auto-indução da bobina do secundáio; e) a elutância magnética do núcleo de feo se n =50 espias. R =0,8 Ω; R =0,7 Ω; X d =0,9 Ω; X d =0,65 Ω; Xm=68 Ω. O cicuito da Fig..P epesenta um tansfomado monofásico paa a fequência de 50 Hz: R e R são as esistências das bobinas no pimáio e do secundáio, espectivamente, e X d é a eactância de dispesão do pimáio; X m é a eactância de magnetização; despeza-se a dispesão magnética do secundáio. As bobinas do pimáio e do secundáio têm n e n espias, espectivamente. Com o tansfomado em vazio, calcule: n =00; n =60; R =9 Ω; R =5 Ω; X d =5 Ω; X m =66 Ω; R Fe =55 Ω; U ef =0V a) o valo eficaz da coente no pimáio; b) o valo eficaz da tensão no secundáio, U AB ; c) as pedas po no cobe; d) as pedas no feo. Fig..P.4 Considee o tansfomado monofásico epesentado pelo cicuito da Fig..P. A eactância de dispesão do secundáio é X d = Ω. a) Desenhe o esquema equivalente do tansfomado eduzido à tensão do secundáio. b) Calcule o valo instantâneo das coentes no i (t) e i (t), quando o tansfomado está em cuto-cicuito. 5

53 c) O tansfomado alimenta uma caga cuja impedância, à tensão do secundáio, é Z C =5+j Ω. Calcule a tensão nesta caga. d) Despezando as pedas no feo, qual é o endimento do tansfomado no caso da (c)? e) Calcule a egulação de tensão no caso da (c). f) Calcule as potências activas, eactiva e apaente postas em jogo no pimáio do tansfomado..5 Um tansfomado monofásico de 50 kva, 40V: 400V, 50 Hz, tem uma eactância de magnetização, medida dos teminais de 40V, de 6 Ω. O enolamento do pimáio, a 40 V, tem uma eactância de dispesão de 8 mω e o de 400V tem uma eactância de dispesão de mω. a) Se o valo eficaz da tensão no pimáio fo 0V, qual é o valo eficaz da tensão no secundáio com o tansfomado em vazio? b) O tansfomado é colocado em cuto-cicuito. Qual é a tensão que deve se aplicada ao pimáio paa que a coente no secundáio seja a coente nominal? c) Apesente os valoes das alíneas anteioes em valoes pu. d) Obtenha o cicuito eléctico equivalente do tansfomado em valoes po unidade..6 Os ensaios dum tansfomado monofásico de kva, 40V:0V, 50 Hz, deam os seguintes esultados: U [V] I [A] P [W] Em vazio 40 0,95 5 Em cuto-cicuito 8 8,0 0 O tansfomado alimenta a caga nominal com o facto de potência 0,9 indutivo. Calcule: a) o endimento do tansfomado quando alimenta a caga nominal com o facto de potência 0,9 indutivo. b) a egulação de tensão. Apesente os esultados em unidades SI e em valoes pu. 5

54 SISTEMAS TRIFÁSICOS CAPÍTULO Tensões e coentes Neste capítulo faz-se uma beve evisão sobe os sistemas tifásicos, uma vez que são os sistemas nomalmente adoptados paa a podução e distibuição de enegia eléctica. Um sistema tifásico de tensões pode se ciado po uma máquina eléctica otativa em cujo oto são instaladas tês bobinas independentes cujos planos fomam ente si ângulos de 0º; o oto gia no seio de um campo magnético unifome caacteizado pelo campo de indução B. Esta situação é epesentada na Fig. 4., com apenas uma espia, paa facilidade de epesentação. ω ' ' B B ' Fig. 4.: Máquina eléctica tifásica. De acodo com a lei geal de indução, aos teminais de cada uma das tês bobinas de n espias apaeceá uma f.e.m. induzida que é dada po, dφ e = n (4.) dt Atendendo à geometia do sistema epesentada na Fig. 4.(a), sendo S a áea definida po uma espia, o fluxo abangido po uma espia no movimento de otação é, φ = B.S. cosα (4.) onde α=ωt. Consideando como efeencial a posição da espia, tendo em conta (4.) e (4.), a f.e.m. induzida nesta espia é e = B. S. ω. senα (4.) O diagama tempoal de (4.) está epesentado na Fig. 4.(b) com a amplitude E=BSω. 54

55 ω B α α S ' (a) (b) Fig. 4.: Sistema de uma espia; (a) vaiação do fluxo devido ao movimento; (b) f.e.m. induzida. A f.e.m. induzida e tem o seu máximo quando o plano da espia está paalelo às linhas de foça do campo magnético, isto é, quando o fluxo que a atavessa é mínimo. Admitindo que as tês espias são igoosamente iguais, as tês f.e.m. induzidas nos seus teminais têm a mesma foma mas estão desfasadas de 0º: e e π = B. S. ω. sen ( α ) (4.4) π = B. S. ω. sen ( α + ) (4.5) As fomas de onda de e, e e e estão epesentadas na Fig. 4.(a); a Fig. 4.(b) epesenta vectoialmente as tês f.e.m. induzidas atavés das espectivas amplitudes complexas. As amplitudes complexas das tês fem po espia são: E 0 = Ee j E π j = Ee E π j = Ee (4.6) E 0º E 0º E (a) Fig. 4.: Fem induzidas; (a) diagama tempoal; (b) diagama vectoial. (b) 55

56 A amplitude das fem induzidas nas tês bobinas, com n espias cada, é E=nBSω. Cada um dos tês enolamentos do altenado (são designados po fases) podeá alimenta um cicuito monofásico independente, como se epesenta na Fig As tensões nas cagas, u, u e u, fomam um sistema tifásico de tensões que pode se epesentado po um diagama vectoial igual ao da Fig. 4.(b). I ' U Z ' ' I U Z U Z I Fig. 4.4: Tês cicuitos monofásicos independentes. O esquema da Fig. 4. desceve o pincípio de funcionamento de um altenado tifásico que seá estudado mais adiante. O altenado dispõe de tês fases independentes e, se cada uma delas alimenta uma caga pópia, o sistema completo seá constituído pelos tês cicuitos elécticos distintos esquematizados na Fig Esta epatição da potência eléctica total pelos tês cicuitos pemite utiliza condutoes de meno secção e melhoa as caacteísticas constutivas do altenado. No entanto, a distibuição epesentada na Fig. 4.4 não é inteessante poque seia necessáio utiliza seis condutoes paa alimenta a totalidade das cagas. Obtém-se um sistema mais simples se os teminais ', ' e ' foem ligados ente si, fomando um conduto comum às tês fases, como se epesenta na Fig. 4.5; neste caso, o sistema tifásico necessita de quato condutoes apenas, com a vantagem de existi um nó comum em elação ao qual são medidas as tês tensões. Os nós O e O' são os pontos neutos do altenado e da caga, espectivamente, e o conduto OO' é designado po conduto do neuto. O sistema da Fig. 4.5 é o cicuito básico de uma distibuição tifásica com tês tensões sinusoidais de igual amplitude poduzidas pela mesma máquina e desfasadas ente si de 0º; estas tensões têm a mesma fequência e têm valoes eficazes iguais. Num sistema de quato condutoes as tensões podem se medidas dos dois modos epesentados na Fig..6: as tensões ente fase e neuto são designadas po tensões simples; as tensões ente as fases são designadas po tensões compostas. As amplitudes complexas das tês tensões compostas são também epesentadas po tês vectoes com o mesmo compimento e desfasados ente si de 0º. Da Fig. 4.6(a) esulta: 56

57 U = U U U = U U U = U U (4.7) I O ' i O U O' Z ' ' I U Z U Z I Fig. 4.5: Sistema tifásico com conduto de neuto. A elação ente as amplitudes (ou ente os valoes eficazes) das tensões simples e das tensões compostas pode se deteminada a pati da Fig. 4.6(b) da seguinte foma: U = U cos 0º U 0º do que esulta 60º U U = U U Genealizando, a elação ente as amplitudes (ou os valoes eficazes) das tensões simples e compostas é dada po U c = U (4.8) s Este é o motivo pelo qual a tensão ente duas fases (tensão composta) da ede industial em Potugal é U c =400 V e a tensão ente fase e o neuto (tensão simples) é U s =0 V. 57

58 U U U U U U U U 0º 0º U 0 U 0º U U a) b) Fig. 4.6: Tensões tifásicas; (a) esquema; (b) diagama vectoial. Além da ligação em estela epesentada na Fig. 4.5, também se utiliza a ligação em tiângulo que está epesentada na Fig Neste caso, não existe um ponto comum ente as tês fases, i. e., não existe um ponto neuto, e a tensão em cada enolamento do altenado é a tensão composta. Note-se que, na Fig. 4.7, as cagas Z continuam ligadas em estela mas podem, em altenativa, se ligadas em tiângulo. i i U Z U i i i U Z U Z Fig. 4.7: Altenado com ligação em tiângulo. Aplicando a lei dos nós aos teminais do altenado veifica-se, I = I I I = I I I = I I (4.9) 58

59 Na Fig. 4.7 consideou-se que as tês bobinas do altenado estão ligadas em tiângulo e que as tês impedâncias de caga Z estão ligadas em estela. Designam-se po coentes nas linhas as coentes elécticas I I e I nos condutoes que alimentam o conjunto das cagas ou que inteligam os difeentes sistemas elécticos. Na associação em estela, as coentes nas fases coincidem com as coentes nas linhas. Numa associação em tiângulo as coentes nas fases I I e I são difeentes das coentes nas linhas, de acodo com (4.9). Num sistema de cagas equilibadas as impedâncias de cada fase são iguais. Repesentando po Z = Z e jφ as impedâncias das cagas do cicuito da Fig. 4.7, as coentes nas linhas são obtidas do seguinte modo: U = U I = Z Z U = U I = Z Z U = U I = Z Z φ π φ 4π φ (4.0) Da Fig. 4.8, conclui-se que as coentes nas linhas (i, i e i ) são difeentes das intensidades nas fases e que constituem também uma estela desfasada de 0º da estela das coentes nas fases (i, i e i ). Com os sentidos adoptados na Fig. 4.7 paa as coentes no altenado, no diagama vectoial da Fig. 4.8, as coentes nas linhas ocupam as posições das tensões compostas enquanto que as coentes nas fases ocupam as posições das tensões simples (as coentes nas linhas estão em avanço das coentes nas fases). Com base nesta semelhança, os cálculos que foam feitos paa as tensões pemitem conclui que as amplitudes (ou os valoes eficazes) das coentes nas linhas são vezes maioes que os coespondentes valoes das coentes nas fases. I l = I (4.) f onde I l epesenta a amplitude (ou o valo eficaz) das coentes nas linhas e I f epesenta a amplitude (ou o valo eficaz) das coentes nas fases. Po exemplo, com o altenado ligado em tiângulo as coentes nos enolamentos são vezes menoes que as intensidades nos cabos de inteligação (linhas) e nas cagas Z. Note-se que a soma de tês vectoes de igual compimento e desfasados de 0º é zeo. Assim, num sistema de cagas equilibadas (estela simética) a soma das coentes nas linhas ou nas fases é nula, pelo que numa ligação em estela o conduto neuto não é pecoido po qualque coente eléctica. IO = I + I + I = 0 (4.) 59

60 U I I U I I I U I I I I Fig. 4.8: Diagamas vectoiais das coentes nas linhas e nas fases. As ligações em estela e em tiângulo pemitem obte tensões difeentes, na mesma máquina, na elação de paa. Todavia, é necessáio que os enolamentos dos altenadoes (e as impedâncias de caga) possam supota a tensão composta sem danos. Quando os enolamentos do altenado (ou as cagas) estão ligados em tiângulo, não existe ponto neuto e não é possível defini-se as tensões simples. No caso da Fig. 4.7, se as cagas foem iguais (caga tifásica equilibada) as tensões ente as linhas e o ponto neuto são as tensões simples. Quando a caga não é equilibada, as coentes nas linhas podem se maioes ou menoes do que as coentes nas fases. Também se podem estabelece elações impotante ente uma caga em estela e uma caga em tiângulo. Pimeio, ecode-se que dois cicuitos de caga são equivalentes quando as coentes que eles pedem são iguais. Consideem-se as tês impedâncias Z T ligadas em tiângulo e tês impedâncias Z E ligadas em estela tal como se epesenta na Fig Petende-se detemina a elação ente estas impedâncias de tal foma que as coentes nas linhas sejam iguais, quando são alimentadas pelo mesmo sistema de tensões. Na Fig. 4.9 é U s Uc U Z s E = ZT = = (4.) Il I f Il De (4.) conclui-se que as cagas são equivalentes se Z T = Z E (4.4) Que dize, as cagas são equivalentes se as impedâncias em tiângulo foem o tiplo das impedâncias em estela. Assim, ao comuta uma ligação de estela paa tiângulo, a impedância é eduzida paa um teço e, consequentemente, as coentes nas linhas tiplicam. 60

61 N U c U s i l Z Z Z E E E i l i f Z T Z T Z T Fig. 4.9: Sistemas de cagas em estela e em tiângulo. No caso geal, as mesmas impedâncias não podem se indisciminadamente ligadas em estela ou em tiângulo, a menos que possam supota tensões e intensidades vezes maioes do que se estivessem ligadas em estela; deve-se também te em conta que os condutoes de inteligação devem esta dimensionados paa pemitiem aumentos de coentes paa o tiplo. 4. Potência tifásica A potência instantânea total do sistema tifásico, p, seá dada pela soma das potências instantâneas de cada uma das fases: p = ui + ui + ui (4.5) A tensão e a coente numa das fases, po exemplo a fase, com a caga espectivamente dadas po Z = Z e jφ, são u = U cos( ω t) (4.6) ef i = I cos( ωt φ ) (4.7) ef e a potência instantânea posta em jogo nesta fase é ( cosφ + cos(ω )) p = ui = Uef Ief t φ (4.8) A potência activa é o valo médio num peíodo da potência instantânea. Em (4.8) o valo médio num peíodo da pacela oscilatóia é nulo e a potência activa é P = U ef I ef cosφ (4.9) 6

62 A potência activa total do sistema tifásico é a soma das potências activas de cada uma das fases: P t = P + P + P (4.0) No caso de um sistema de tensões sinusoidais em estela simética, e com cagas equilibadas, a potência activa tifásica seá o tiplo da potência activa monofásica: P t = U s Il cosφ= Uc Il cosφ (4.) em que U s epesenta o valo eficaz da tensão simples e U c o da tensão composta; I l é o valo eficaz da coente na linha e cos φ é o facto de potência. De acodo com (4.) as potências totais eactiva, Q t, e apaente, S t, são, espectivamente, Qt = U s Il senφ= Uc Il senφ St = U s Il = Uc Il (4.) A potência posta em jogo numa caga ligada em tiângulo é tipla da potência posta em jogo se a caga estive ligada em estela, o que se deduz a pati de (4.). Recode-se que as unidades das potências activa, eactiva e apaente são W, VA (Volt- Ampée eactivo) e VA, espectivamente. Industialmente, a potência dos altenadoes e, em geal, das instalações é dada em KVA, uma vez que o facto de potência é imposto pela caga, podendo esta se muito vaiável. 4. Gandezas não sinusoidais Devido às caacteísticas constutivas dos altenadoes (existência de cavas e dentes no feo, po exemplo), as tensões impostas à ede podem não se sinusoidais puas; po outo lado, cagas fotemente não lineaes como, po exemplo, os ectificadoes e outos convesoes electónicos, distocem as tensões e coente. Nestes casos, as tensões e/ou coentes são peiódicas mas contêm hamónicas de fequência supeio à pimeia (50 Hz, nomalmente), e os valoes eficazes e as potências activa e eactiva difeem dos que temos vindo a considea. Considee-se um sistema tifásico de tensões altenadas não sinusoidais. As tensões de cada uma das fases podem se desenvolvidas em séie de Fouie. Admitindo que o valo médio das tensões é nulo e que só existem os temos de odem ímpa, n=,, 5,..., o desenvolvimento em séie de Fouie das tensões pode se escito na foma, = U sen( nω u = u( t) n t) (4.a) n 6

63 T π u = u( t ) = U n sen( nωt n ) n (4.b) T 4π u = u( t ) = U n sen( nωt n ) n (4.c) com ω=π/t. Paa cada fase, as desfasagens das hamónicas de odem n em elação à pimeia são as seguintes: na fase é zeo, na fase é π n e na fase é 4π n. De seguida, veemos de que modo o compotamento do sistema depende de n/. Consideese que n=q+, em que q é o cociente e é o esto da divisão de n po : n = q + = 0,,. q = 0,,,,... Quando =0, n é múltiplo de e, poque q é um inteio positivo, as hamónicas de odem n das tês tensões estão em fase, têm a mesma amplitude e u n +u n +u n = u n 0. Neste caso, as hamónicas de odem n não fomam um sistema tifásico e designa-se po sistema homopola. Quando =, as hamónicas de odem n das tês tensões têm as seguintes desfasagens: na fase π é zeo, na fase é q π + e na fase é 4π q 4π +. Neste caso, poque as hamónicas têm a mesma amplitude, veifica-se que u n +u n +u n =0. As hamónicas de odem n fomam um sistema tifásico com a sequência de fases igual à do sistema pincipal (--), tal como se epesentou na Fig. 4.6) e, po isso, diz-se que o sistema é diecto. Quando =, as hamónicas de odem n das tês tensões têm as seguintes desfasagens: na fase 4π 8π é zeo, na fase é q π + e na fase é q 4π +. Também neste caso veifica-se que existe uma desfasagem de 0º ente as tensões e u n +u n +u n =0; no entanto, a sequência de fases das hamónicas de odem n é invesa da do sistema pincipal (--), constituindo o que se designa po sistema inveso. Os sistemas diectos e invesos são sistemas tifásicos ao passo que o sistema homopola não é e faz com que os sistemas não sinusoidais tenham caacteísticas difeentes dos sistemas puamente sinusoidais. Repae-se que o valo eficaz da tensão simples não sinusoidal é dado po U sef = U + U + U + U +... (4.4) ef ef 5ef 7ef 6

64 As tensões compostas são obtidas atavés de (4.7): U = U U U = U U U = U U (4.5) Dado que as hamónicas múltiplas de estão todas em fase, ao se efectuaem as subtacções de (4.5), elas anulam-se e deixam de faze pate das tensões compostas. Assim, o valo eficaz das tensões compostas não sinusoidais é U cef = U ef U5ef + U 7 ef (4.6) Neste caso, paa o sistema homopola, veifica-se Ucef < U sef. Nos enolamentos em tiângulo de um altenado, se as tensões compostas são sinusóides pefeitas e fomam uma estela simética, a soma das tês tensões é nula. No caso de existiem hamónicas de odem múltipla de (existe um sistema homopola), a soma das tês tensões não é nula poque as componentes homopolaes estão em fase. Que isto dize que os enolamentos do estato vão se pecoidos po coentes, mesmo que esteja em vazio, que podeão se suficientemente elevadas paa povocaem um sobe aquecimento destutivo. Num sistema tifásico simético com caga equilibada, como o da Fig. 4.5, desde que não existam hamónicas de odem múltipla de, de acodo com (4.), a coente no conduto de neuto é nula. Se existiem hamónicas de odem múltipla de, a coente no neuto não é nula: i O = iω + i9ω (4.7) Se o sistema da Fig. 4.5 fo um sistema sinusoidal simético com caga equilibada, a coente no neuto é nula e os pontos neutos O e O' estão ao mesmo potencial, mesmo que se etie o conduto neuto. No caso de existiem tensões no altenado com hamónicas múltiplas de, ao se desligado o conduto de neuto as coentes nas linhas, e nas fases, não têm componentes homopolaes poque, como estas estaiam em fase, o somatóio das coentes no nó O' não seia nulo, violando a lei dos nós. Todavia, devido às hamónicas múltiplas de nas tensões do lado do geado, a tensão ente o nós O e O' deixa de se zeo. Po este motivos, os egulamentos impõem limites máximos admissíveis paa o valo das hamónicas de odem (e seus múltiplos) nos altenadoes e tonam obigatóia a instalação de elés de tensão homopola que limitem o valo máximo da tensão ente o ponto neuto e a tea quando se utilizam sistemas tifásicos sem conduto de neuto. 64

65 4.4 Poblemas 4. Considee o sistema tifásico equilibado da Fig. 4.P. A tensão da ede é 0V/80V com a fequência de 50 Hz. As impedâncias de caga são esistivas puas e Z =Z =Z =0Ω. Fig. 4.P Com os dois inteuptoes fechados, detemine: a) As intensidades das coentes nas linhas e nas fases; b) A intensidade da coente no conduto neuto; c) A potência activa total posta em jogo na caga. 4. Repita o poblema 4. consideando que o inteupto S da Fig. 4.P está abeto. 4. Repita o poblema consideando que os inteuptoes S e S estão abetos. Comente os esultados dos tês poblemas. 4.4 Considee o cicuito da Fig. 4.P com os dois inteuptoes fechados. As impedâncias de caga são agoa: Z =R= 0 Ω ; Z = j0 Ω ; Z = -j0 Ω. Nestas condições, detemine: a) As intensidades das coentes nas linhas e nas fases; b) A intensidade da coente no conduto neuto; c) A potência activa total posta em jogo na caga; d) O valo da esistência R paa que a coente no conduto neuto seja nula. 4.5 Considee o cicuito tifásico a tês fios da Fig. 4.P alimentado pela tensão da ede de 00V/80V, com a fequência de 50 Hz. As impedâncias de caga são esistivas puas e Z =Z =Z =0Ω. Nestas condições detemine: a) As intensidades de coente nas linhas e nas fases; b) A potência activa total posta em jogo no cicuito. 65

66 Fig. 4.P 4.6 O cicuito da Fig. 4.P epesenta um moto de indução de oto em cuto-cicuito com a potência nominal de 5,5 kw alimentado pela ede eléctica de BT, 80V, 50Hz. O facto de potência a plena caga é 0,87 e o endimento nesta situação é 90%. Com estes dados, detemine: a) A intensidade da coente eléctica no cabo de alimentação do moto; b) A intensidade da coente em cada uma das fases do moto. 4.7 O moto do poblema anteio é ligado ao quado eléctico po um cabo tipola com 50m de compimento e cujos condutoes são em cobe e têm uma secção igual a 4mm. A coente de aanque diecto é 6,I N. Com estes dados detemine: a) A queda de tensão no cabo quando o moto funciona a plena caga; b) A tensão composta no moto, no instante em que se efectua o aanque diecto; c) Repita a b) mas com o aanque em estêla-tiângulo. 4.8 Um quado eléctico de uma instalação industial, alimentada pela ede de 0V/400V, 50 Hz, alimenta os seguintes cicuitos tifásicos: Descição Potência [kw] cos φ (indutivo). Iluminação, Tomadas uso geal 6, Foça motiz a) Detemine a coente total na entada deste quado; b) Detemine as potências activa, eactiva e apaente totais. 4.9 No cicuito da Fig. 4.P a impedância linea RL é pecoida po uma coente não sinusoidal com as hamónicas i, i e i. Calcule: 66

67 a) o valo eficaz da tensão na esistência R; b) o valo eficaz da tensão na bobina L; c) o valo eficaz da tensão ente A e B; d) a potência activa posta em jogo na caga RL; e) a potência dissipada em R. i = 0 cos( ωt) A i = 8 cos(ωt) A i 5 = cos(5ωt) A Fig. 4.P 4.0 Considee o cicuito da Fig. 4.P0 em que as tês fontes de coente i, i e i epesentam uma caga não linea em séie com a esistência R. Calcule: a) o valo eficaz da tensão na esistência R; b) a potência dissipada em R; c) a potência apaente posta em jogo pela fonte de tensão; d) a potência activa posta em jogo pela fonte de tensão; e) os valoes instantêneo e eficaz da tensão nas fontes de coente. f) a potência activa posta em jogo pelas fontes de coente; g) a distoção hamónica total da coente na esistência R. v 00 cos( ωt) V =, f = 5 0 Hz. i = 0 cos( ωt) A i = 8 cos(ωt) A i5 = cos(5ωt) A Fig. 4.P4 67

68 CONVERSÃO ELECTROMECÂNICA DE ENERGIA 5. Campo magnético giante CAPÍTULO 5. No capítulo efeiu-se que o campo magnético é ciado po coentes elécticas e é quantificado fisicamente pelas duas gandezas vectoiais: o campo de indução magnética, B, e o campo de excitação magnética, H. Refee-se seguidamente o campo magnético ciado po coentes sinusoidais. Comecemos po considea a Fig. 5. que epesenta uma espia de aio R pecoida po uma coente eléctica contínua com intensidade I. Fig. 5.: Campo magnético numa espia. A lei de Biot-Savat estabelece que o campo de indução, d B, ciado po um elemento de coente I dl no ponto P sobe o eixo da espia é dado po µ 0 dl db = I (5.8) 4π As componentes de (5.) segundo y, d B y, ciadas po elementos de coente diametalmente opostos anulam-se e a componente segundo x é µ 0 dl R db x = db sen α = I (5.9) 4π Integando (5.) paa toda a espia, obtém-se o campo total segundo x no ponto P: Bx µ 0 R µ 0 R = dbx = I dl = I 4π (5.0) l l 68

69 O campo no cento da espia, ponto O, obtém-se de (5.) tendo em conta que =R: µ B O = 0 I (5.) R A equação (5.4) estabelece que o campo no cento da espia de aio R é popocional à intensidade da coente eléctica que a pecoe, tem a diecção pependicula ao plano da espia e tem o sentido dado pela ega do saca-olhas. Paa uma coente altenada sinusoidal i( t) = I cos( ωt), o campo magnético em O tem uma intensidade segundo x que é dada po µ 0 B O ( t) = I cos( ωt) (5.) R Consideem-se agoa as duas espias de igual aio situadas em planos pependiculaes que se epesentam na Fig. 5.: a espia é pecoida pela coente i ( t) = I cos( ωt) e a espia é π pecoida pela coente i ( t) = I cos( ωt ) = I sen( ωt), ou seja, i e i têm iguais amplitudes, têm a mesma fequência mas estão desfasadas de 90º. Fig. 5.: Campo magnético em duas espias pependiculaes. As coentes em quadatua dão oigem a dois campos de indução magnética pependiculaes aos planos das bobinas cujas intensidades, B e B, admitindo que o meio é linea, são, espectivamente, B = Bm cos( ωt) (5.) B = Bm sen( ωt) Em cada instante, o campo esultante é B B B = +. Tendo em conta (5.4) e (5.6), a intensidade do campo esultante é B = Bm ; a diecção e o sentido do campo esultante é tal que o afixo do vecto B oda sobe uma cicunfeência de aio B m. Tata-se então de um 69

70 campo magnético que oda com velocidade angula ω, constituindo o que se designa po campo magnético giante. O campo giante é ciado po duas coentes desfasadas de 90º e po duas espias situadas em planos pependiculaes. O campo esultante seá n vezes mais intenso se, em vez de uma espia, foem usadas bobinas de n espias. Cada uma das bobinas é designada po fase e o campo giante que se desceveu é ciado po um sistema bifásico. O pincípio da ciação de campos magnéticos giantes foi apesentado em 88 po Nikola Tesla que popôs então a sua utilização paa a constução de máquinas elécticas polifásicas. Paa explica o pincípio, consideem-se as duas bobinas da Fig. 5. no cento das quais se coloca um íman pemanente, pouco pesado, que pode oda em tono do seu eixo, tal como se epesenta na Fig. 5.. Fig. 5.: Rotação do íman no campo magnético giante. Se a fequência das coentes não fo muito elevada, o íman seá aastado pelo campo giante ciado pelas duas coentes elécticas e odaá com uma velocidade angula igual à da pulsação das coentes (fequência eléctica ω) o íman odaá em sinconismo com o campo giante. A Fig. 5. esquematiza o pincípio de funcionamento de um moto eléctico otativo, síncono e, neste caso, bifásico. Paa o estudo das máquinas elécticas estaemos paticulamente inteessados nos campos magnéticos ciados po duas ou mais bobinas pecoidas po coentes sinusoidais desfasadas ente si. Em paticula, estaemos inteessados num sistema tifásico de bobinas e coentes. Admita-se o sistema epesentado na Fig. 5.4 que é constituído po tês bobinas iguais cujos eixos fomam ângulos de 0º (paa simplifica o desenho, epesenta-se apenas uma espia década bobina). As bobinas são pecoidas po um sistema de coentes tifásicas siméticas dando oigem a um campo magnético giante. 70

71 Fig. 5.4: Sistema de bobinas tifásico. Sejam as coentes tifásicas nos enolamentos do estato dadas po i i i = I cos( ωt) π = I cos( ωt ) (5.4) 4π = I cos( ωt ) De acodo com (5.4) e (5.5), as coentes dão oigem a tês campos de indução magnética pependiculaes aos planos das espectivas bobinas e cujas intensidades são, admitindo que o meio é linea, espectivamente, B B B = B m = B = B m m cos( ωt) π cos( ωt ) 4π cos( ωt ) (5.5) As diecções dos campos com as intensidades (5.8) positivas estão geneicamente epesentadas na Fig. 5.5 onde, paa simplifica, se epesenta cada bobina com apenas uma espia. Com os sentidos indicados na figua paa as coentes, os planos das espias fazem ângulos de 0º ente si e os vectoes B, B e B estão também desfasados de 0º ente si. Em cada instante, o campo esultante é B = B+ B + B. Esta soma não é nula poque, apesa da desfasagem de 0º, as intensidades vaiam com o tempo de acodo com (5.8). Paa exemplifica, analisaemos o que se passa no instante t=π/ω. De (5.8) esulta: B =0, B =B m cos (70º) e B = - B m cos (70º); com as os sentidos das coentes da Fig. 5.5, o campo de indução esultante é B = B + B. Poque as componentes de B e B segundo o eixo x se anulam, Fig. 5.6, a intensidade do campo esultante é B = B cos( 0º )cos( 0º ) =, 5B (5.6) m m 7

72 Fig. 5.5: Os campos magnéticos das tês fases. Seá fácil de demonsta que, qualque que seja o instante de tempo consideado, obtém-se sempe B =,5 B m. O campo esultante B tem intensidade constante, e vai odando continuamente com velocidade angula ω, no sentido da bobina paa a bobina. B 0º 0º 60º 60º B =0 x B B B Fig. 5.6: Reacção do induzido paa t=π/ω. O campo magnético ciado pelas coentes tifásicas é um campo giante com amplitude constante e velocidade angula ω. Este campo giante e está na oigem do pincípio de funcionamento das máquinas elécticas otativas de coente altenada sinusoidal, sínconas e assínconas, que são abodadas nos capítulos seguintes. 7

73 5. Convesoes electomecânicos Um conveso electomecânico de enegia convete enegia eléctica em enegia mecânica, ou vice-vesa. Usualmente, utiliza o campo magnético como meio intemédio. A Fig. 5.7 epesenta um conveso deste tipo: Fig. 5.7: Conveso electomecânico de enegia. As designações da Fig. 5.7 são: P e potência eléctica P pe potência de pedas elécticas P pm potência de pedas mecânicas P m - potência mecânica W mag enegia magnética W m enegia mecânica po inécia u tensão eléctica e fem induzida pelo movimento no inteio do campo magnético i coente eléctica Movimento de tanslação (ou linea): f e foça ciada pela coente eléctica f m foça (mecânica) v - velocidade linea Movimento otativo: T e bináio ciado pela coente eléctica T m bináio mecânico ω - velocidade angula Paa cada um dos dois tipos de movimento são válidas as seguintes equações: e i = v f e dwmag fe = dx x=vt ei = ωt e dwmag Te = (5.7) d θ θ= ωt Paa um sistema otativo, com os sentidos da Fig. 5.7, o equilíbio de potências conduz a 7

74 dw dw m mag P e + Pm = + + Ppe + Ppm (5.8) dt dt A Fig. 5.9 epesenta um sistema otativo electomecânico constituído po uma bobina fixa com N espias e de uma bobina móvel com N espias, ambas pecoidas po coentes elécticas. As bobinas são enoladas em tono de mateial feomagnético. Fig. 5.8: Sistema otativo electomecânico. A bobina fixa constitui o estato da máquina eléctica e a bobina móvel pode oda em tono do seu eixo e constitui o oto da máquina. A zona da Fig. 5.8 coloida a amaelo, é a sepaação ente os pólos magnéticos das duas bobinas e designa-se po entefeo. Com as notações do capítulo e de acodo com (.5), os fluxos totais associados às bobinas da Fig. 5.8 são, espectivamente, ψ = ψ ± ψ = L i ± Li ψ = ψ ± ψ = L ± i L i (5.9) De acodo com (.40), a enegia magnética total das duas bobinas é W m = L i + L i ± M i i (5.40) A elutância magnética do entefeo vaia duante a otação, sendo mínima quando as duas bobinas estão alinhadas. O acoplamento magnético ente as duas bobinas é máximo quando as bobinas estão alinhadas e é nulo quando as bobinas estão pependiculaes. Consequentemente, de acodo com (.4), os coeficientes de indução vaiam com a posição angula θ. Esta dependência pode se expessa do seguinte modo: 74

75 L = L0 + L cos θ L = L0 + L cos θ M = M 0 cos θ (5.4) De acodo com (5.4), os coeficientes de auto-indução vaiam peiodicamente com θ e têm duas componentes: uma constante, que é o seu valo médio numa otação, e outa oscilatóia em função de cos(θ). Poque o entefeo vaia com a posição do oto, o coeficiente de indução mútua, M, vaia com cos(θ), é altenadamente positivo e negativo, e o seu valo médio numa otação é nulo. Substituindo (5.) em (5.0) obtém-se dl dθ dl dθ dm dθ -T e = i + i + i i (5.4) Tendo em conta (5.4), de (5.5) esulta: T e = L i sen (θ) + Li sen (θ) + ii sen ( θ) (5.4) De acodo com (5.0) e (5.5), o bináio electomagnético é ciado à custa da vaiação da enegia magnética amazenada nos campos magnéticos ciados pelas duas bobinas. O bináio depende das coentes elécticas e da posição angula do oto. (5.6) O bináio actua no sentido de alinha o oto com o estato; se é positivo, θ aumenta; se é negativo, θ diminui. Num sistema mecânico otativo, o bináio mecânico que o actua é composto pelas tês pacelas de (5.7), na qual J é o momento de inécia (a unidade no SI é kg.m²), B é o coeficiente de atito e T(θ) é o bináio de caga. O momento de inécia quantifica a distibuição da massa do copo em tono do eixo de otação e quanto maio fo, tanto mais difícil seá faze gia o copo em tono desse eixo. d θ dθ T m = J + B + T ( θ) (5.44) dt dt A pimeia pacela de (5.7) epesenta o bináio aceleativo, a segunda o bináio de atito de otação, e a última o bináio esistente que pode depende de θ. Aplicando (5.7) ao sistema da Fig. 5. 7, e consideando um bináio T pm associado às pedas mecânicas, esulta d θ dθ T e + Tm = J + B + Tpm (5.45) dt dt Em temos mecânicos, a potência, o bináio e a velocidade angula estão elacionados pela seguinte equação 75

76 P m dθ = Tm = Tm ω dt (5.46) As equações (5.9), (5.8) e (5.6) pemitem estuda a esposta dinâmica de θ(t) peante os bináios actuantes T e e T m. E poque (5.6) não é linea, nomalmente ecoe-se à lineaização do modelo matemático em tono dum ponto de funcionamento. 5. Poblemas 5. No sistema da Fig. 5.8 os coeficientes de indução são, em mh: L = 5+cos(θ), M=cos(θ), e L = +cos(θ). As coentes são I = A e I = 5 ma. Calcule o bináio electomagnético T e ente as duas bobinas e desenhe o seu gáfico em função de θ. 5. Na Fig. 5.P epesenta-se um electoíman com dois entefeos com altua x. A elutância magnética do feo é R Fe =.0 5 H -. O núcleo de feo e a amadua têm uma secção ecta unifome S=00 mm. Admite-se que o campo magnético no feo é unifome e que a coente I é constante. Não existindo satuação, calcule: a) a elutância magnética total do electoíman; b) o coeficiente de auto-indução da bobina; c) a intensidade do campo magnético (de indução) no feo e no a. 7 µ 0 = 4π.0 Hm ; x = mm N = 00 espias; I = A Fig. 5.P 5. Considee o cicuito da Fig. 5.P. Obtenha a foça execida sobe a amadua admitindo que o fluxo se mantém constante. 5.4 A Fig. 5.P epesenta um moto de elutância. O oto, que é de feo e tem os sectoes sombeados constituídos po mateial de alta pemeabilidade magnética, oda à velocidade angula ω. O enolamento do estato é pecoido po uma coente sinusoidal com pulsação ω e admite-se que ω =ω. 76

77 Fig. 5.P O bináio que actua o oto é dado po T dwm =, sendo Wm a enegia magnética no dθ enolamento do estato. Obtenha: a) a vaiação do coeficiente de auto-indução do estato com θ; b) a expessão do bináio T em função de θ; c) o valo médio do bináio T se i( t) = I cos( ωt). 77

78 MÁQUINAS ASSÍNCRONAS CAPÍTULO Intodução No capítulo anteio efeiu-se que o campo magnético giante está na base da constução de máquinas elécticas polifásicas. Na Fig. 5. consideou-se que o oto da máquina eléctica ea constituído po um íman pemanente com pequena inécia capaz de oda em sinconismo com o campo giante. Considee-se, tal como se epesenta na Fig. 6., que o íman é substituído po uma bobina em cuto-cicuito, e que as coentes i e i dão oigem a um campo magnético giante. Fig. 6.: Bobina num campo magnético giante. Consideando pimeiamente que a bobina está fixa (paada), o campo giante dá oigem a um fluxo vaiável atavés da secção definida pela bobina e a fem induzida po este fluxo vaiável dá oigem a uma coente induzida na bobina, i. Esta coente cia um campo magnético B que inteage com o campo magnético giante dando oigem a um bináio que tende a faze oda a bobina em tono do eixo ee. Se a bobina oda em sinconismo com o campo giante, o fluxo ciado pelo campo giante que a tavessa é constante, a coente i anula-se, deixa de existi o bináio actuante e a bobina tende a paa. Mas ao eduzi a velocidade, o fluxo atavés da bobina deixa de se constante e eapaece um bináio actuante não nulo. Pecebe-se assim que a bobina só se mantém em otação se oda com uma velocidade que é infeio à do campo giante ciado pelas coentes i e i. O campo magnético no oto na máquina eléctica da Fig. 7. é induzido pelo campo magnético (giante) ciado pelas coentes do estato (bobinas L e L ) e a máquina designase po máquina eléctica de indução ou máquina assíncona poque o oto não oda em sinconismo com o campo giante das coentes do estato. A velocidade de otação do campo giante ciado pelas coentes do estato é função da fequência das coentes e do númeo de pólos do estato (é uma caacteística constutiva da máquina e depende do modo como este foi bobinado). A fequência, f, o númeo de paes de 78

79 pólos, p, e a velocidade síncona, n s, em otações po segundo (ps), estão elacionadas pela seguinte equação: f=pn s (6.) Com o oto paado, Fig. 6., a fequência das coentes na bobina do oto é igual à fequência das coentes do estato. À medida que o oto acelea, a fequência das coentes do oto diminui e quando atinge a velocidade estacionáia ela é de apenas uma pequena facção da fequência do estato. O oto de um moto assíncono oda com uma velocidade infeio a n s que é designada po velocidade síncona ou velocidade de sinconismo. A difeença ente a velocidade de sinconismo e a velocidade do oto chama-se escoegamento. Nomalmente, o escoegamento, s, é expesso em % da velocidade de sinconismo: ns nm s = 00 (%) (6.) n s em que n s é a velocidade síncona e n m a velocidade mecânica de otação do oto. A máquina a assíncona (ou de indução) é a máquina eléctica mais utilizada industialmente, funcionando sobetudo como moto, poque é uma máquina obusta, tem baixo custo e pouca manutenção, podendo ainda se utilizada em ambientes peigosos (poeientos, com iscos de explosão e expostas à intempéie, po exemplo). A máquina a assíncona pode se também utilizada como geado, emboa com meno endimento, mas com a vantagem de se facilmente inteligada com a ede eléctica. O geado assíncono é muito utilizado na podução de enegia eléctica a pati de ecusos enováveis, como sejam os sistemas eólicos, mini hídicos, enegia das ondas, e os que utilizam o biogás como combustível. O oto de um moto de indução oda com uma velocidade um pouco infeio à velocidade síncona (tipicamente ente % e 0%), e a velocidade depende da caga mecânica acoplada ao veio. Quando funciona como geado, a velocidade do oto é supeio à velocidade síncona e então o escoegamento é negativo. Mais ecentemente, a utilização das máquinas assínconas alagou-se com a utilização de convesoes electónicos que pemitem contola a velocidade e o bináio atavés da vaiação da tensão e da fequência aplicadas ao estato, e também ao oto da máquina. As máquinas assínconas utilizadas na indústia são gealmente tifásicas, mas podem se também monofásicas, sobetudo as de pequena potência, e todas se caacteizam pela existência do escoegamento efeido em (6.). 6. Constituição das máquinas assínconas A Fig. 6. apesenta a constituição de máquinas assínconas. A cacaça da máquina assíncona é, em geal, feita de feo fundido sendo dotada de aletas que melhoam a dissipação de calo. O estato, colocado no inteio da cacaça, é fomado po um núcleo de chapas magnéticas que possui anhuas axiais paa aloja as bobinas do estato que podem se monofásicos ou polifásicos (tifásicos, mais usualmente). O oto é igualmente composto de um núcleo de chapas magnéticas, dotadas de anhuas axiais onde o enolamento do oto é alojado, fixas a um veio de aço que oda no inteio de olamentos fixos às tampas. 79

80 (a) oto em gaiola de esquilo; Fig. 6.: Constituição de máquinas de indução. (b) oto bobinado; No veio é instalada uma ventoinha (tubina) paa ventilação foçada da máquina. Os enolamentos do oto podem se de dois tipos: oto em cuto-cicuito (ou oto em gaiola de esquilo) que é fomado po baas de alumínio unidas po anéis em ambas as extemidades. Este enolamento foma uma espécie de gaiola de esquilo que não é acessível do exteio. Os anéis nas extemidades gaantem a igidez mecânica do conjunto e possuem nomalmente aletas paa ventilação foçada. A foma das baas de alumínio tem influência sobe as caacteísticas de bináio. oto bobinado, constituído po enolamentos de fio de cobe isolado semelhantes aos do estato. Os seus teminais são ligados a anéis colectoes e escovas, sendo acessíveis do exteio. Os motoes de oto bobinado são mais caos, necessitam de maio manutenção e são menos obustos. Todavia, pemitem contola as coentes do oto e as caacteísticas de bináio e de velocidade da máquina. Atavés dos anéis e escovas, podem-se liga esistências vaiáveis extenas paa egulaem a coente no oto, pincipalmente na fase de aanque do moto. Em funcionamento nomal as esistências são cuto-cicuitadas e a máquina funciona com o oto em cuto-cicuito. A Fig. 6. apesenta um oto em gaiola de esquilo em detalhe. A inclinação das baas de alumínio aumenta a esistência das baas (eduz a coente) e pemiti melhoa o funcionamento magnético do moto. As máquinas com otoes em gaiola epesentam a esmagadoa maioia de máquinas de indução, são muito obustas e supotam elevados esfoços electomecânicos. O espaço que sepaa o estato do oto designa-se po entefeo. As tocas de enegia ente o estato e o oto fazem-se atavés do campo magnético no entefeo. O moto de indução monofásico é o moto mais utilizado nas aplicações domésticas (figoíficos, máquinas de lava, bombas). Nos motoes de indução monofásicos o aanque pode se ealizado atavés de um enolamento auxilia de uso intemitente, po um enolamento auxilia associado em séie com um condensado, ou po um enolamento somba. A Fig. 6.4 epesenta um moto monofásico com condensado de aanque em séie com um enolamento auxilia comandado po um inteupto centífugo. Os dois enolamentos são pecoidos po coentes desfasadas (ceca de 75º) que ciam um bom bináio de aanque. Quando o moto atinge a velocidade nominal, o enolamento auxilia é 80

81 desligado (pelo inteupto). Note-se que o condensado é nomalmente de tipo electolítico e que não supota coentes altenadas duante muito tempo. Fig. 6.: Pomeno do oto em gaiola de esquilo. (a) aspecto exteio; (b) esquema; Fig. 6.4: Moto monofásico com condensado. 6. Pincípio de funcionamento O pincípio de funcionamento das máquinas assínconas foi exposto a popósito da Fig. 6. e baseia-se na ciação de um campo giante no entefeo. O campo giante de amplitude constante pode se ciado, com foi efeido no capítulo 5, po um sistema de coentes tifásicas siméticas que pecoem tês bobinas iguais cujos eixos fomam ângulos de 0º. Nos cicuitos fechados do oto induzem-se fem que dão oigem a coentes elécticas. Os condutoes do oto são actuados po foças de Loentz, efeidas em (.4), dando oigem a um bináio moto. Este bináio só existe se a velocidade de otação do oto fo difeente da do campo giante. A tensão induzida numa baa oto é popocional à velocidade elativa ente a da fmm do estato e a do oto. Tendo em conta (.9), a fem induzida em cada baa é igual ao o poduto da velocidade do oto, do campo magnético e do compimento da baa do oto. Sendo o 8

82 campo magnético do estato sinusoidal, a tensão induzida nas baas seá também sinusoidal e a sua intensidade é diectamente popocional à intensidade do campo de indução magnética a que a baa está sujeita. Com o cicuito do oto fechado (nomalmente em cutocicuito), as tensões induzidas vão povoca a ciculação de coentes que também são sinusoidais. A fequência das coentes no oto, f, depende do escoegamento, s: f = f s (6.) A pulsação das coentes do oto é ω = π (6.4) f Tendo em conta (6.), de (6.) obtém-se f = p( n nm ) (6.5) s Sendo as velocidades expessas em ps, multiplicando ambos os membos de (6.4) po π obtém-se: ω p ω (6.6) = ωs em que, m ω é a pulsação das coentes no oto; ω é a pulsação das coentes no estato; s p ω m é a velocidade angula eléctica do oto; ωm é a velocidade angula mecânica do oto. De acodo com (6.), as coentes do oto poduzem um fluxo que oda, em elação ao oto, à velocidade sn s ; como o oto oda à velocidade n m, o fluxo ciado pelas coentes do oto gia em elação ao estato com a soma daquelas duas velocidades. Tendo em conta (6.), esulta: s m s + s ( s) ns s n + n = s n n = (6.7) A equação (6.7) significa que o fluxo das coentes do oto tem a mesma velocidade em elação ao estato que o fluxo das coentes do estato, consequentemente, o campo magnético ciado pelas coentes induzidas do oto oda em sinconismo com o campo magnético giante ciado pelas coentes do estato. Como estes dois campos são estacionáios um em elação ao outo, poduzem um bináio mecânico constante que mantém a velocidade do oto constante. Este bináio, que não é nulo paa qualque n m n s, é designado po bináio assíncono. 8

83 A pati de (5.6) pode-se conclui que o bináio assíncono depende da desfasagem ente as fmm do oto e do estato, θ, e é popocional à coente do oto, I : T = K I senθ (6.8) com K constante. De acodo com (6.8) é de espea que o bináio assíncono seja apoximadamente popocional ao escoegamento quando θ é pequeno e tem um máximo paa θ =π/. 6.4 Cicuito equivalente A toca de enegia ente o estato e o oto de uma maquia assíncona ealiza-se atavés do entefeo. O campo magnético giante ciado no estato induz um campo giante no oto que se opõe ao pimeio. Esta situação é em tudo semelhante ao que acontece num tansfomado. Consideemos o caso duma máquina assíncona tifásica com os enolamentos do estato ligados em estela funcionando em egime estacionáio. Uma das fases do estato, alimentada pela tensão simples u, pode se epesentado pelo cicuito monofásico da Fig Fig. 6.5: Cicuito equivalente duma fase do estato. Na Fig. 6.5, R epesenta a esistência efectiva (esistência em AC) de um enolamento do estato e X d epesenta a eactância de dispesão desse enolamento; X m epesenta a eactância de magnetização associada ao campo giante e R Fe é a esistência equivalente das pedas no feo. O cicuito epesenta o compotamento do estato da máquina assíncona em egime estacionáio, do mesmo modo que o pimáio do tansfomado foi epesentado no cicuito da Fig..6. Consideando que o oto tem o mesmo númeo de fases e de pólos que o estato, o cicuito equivalente dum dos cicuitos do oto seá acescentado ao cicuito da Fig. 6.5, sendo alimentado com a tensão u. Todavia, a tensão induzida no oto é função do escoegamento e, de acodo com (6.) a fequência das coentes no oto é f = f s ; nestas condições, a eactância deve se afectada pelo escoegamento s e a equação que ege o cicuito do é dada po = ( R j s X ) su I + d (6.9) A equação (6.9) é equivalente a 8

84 R U = I + j X d s (6.0) De acodo com (6.0), a impedância do oto vista pela tensão u é R = (6.) s Z + j X d em que R epesenta a esistência efectiva de um enolamento do oto e X d epesenta a eactância de dispesão desse enolamento. A impedância (6.) pode se escita na seguinte foma: s = (6.) s Z R + R + j X d Com base em (6.), o cicuito equivalente de uma das fases da máquina assíncona em egime estacionáio (velocidade constante) é o da Fig. 6.6: Fig. 6.6: Cicuito equivalente/fase da máquina assíncona. Numa máquina com n fases, o cicuito da Fig. 6.6 lida com uma potência que é /n da potência total da máquina. A esistência de caga, R ( s) / s, vaia com o escoegamento e a potência nela dissipada é igual a /n da potência mecânica total da máquina, P m : P m s = n I R (6.) s O cicuito da Fig. 6.6 é equivalente no sentido em que taduz o tânsito de potência atavés da máquina assíncona. O tânsito de potência está epesentado na Fig.6.7 em elação às pates constituintes da máquina e na Fig. 6.8 em elação aos componentes do cicuito eléctico equivalente,paa compaação. Na Fig. 6.7, a potência mecânica total da máquina, P m, é composta po duas pacelas: a potência útil no veio, P L, mais a potência de pedas po atito e ventilação, P v. O cicuito eléctico equivalente taduz o tânsito de potências na máquina em egime estacionáio e a potência mecânica é igual à potência dissipada numa esistência que vaia com a velocidade, sendo função do escoegamento estacionáio s. 84

85 Fig. 6.7: Tânsito de potência numa máquina assíncona. Fig. 6.8: Tânsito de potência no cicuito eléctico equivalente. De acodo com a Fig. 6.7, a potência no entefeo, P ag (ai gap), é dada po, P ag R = n I = Pin n I R = Pin PR (6.4) s A potência dissipada no oto po efeito de Joule é P n I = R (6.5) Das equações (6.) a (6.5) conclui-se: P = ( s) (6.6) m P ag 85

86 P = s P ag (6.7) P s = (6.8) s m P Das equações (6.6) a (6.8) conclui-se que uma máquina assíncona funcionando com um escoegamento elevado é muito ineficiente. Refia-se que a potência útil no veio é P u = ( s) P P (6.9) ag v O endimento da máquina assíncona funcionando como moto é η = P P u in = P u + P Fe P u + P R + P + P v (6.0) Exemplo Um moto de indução tifásico com oto em gaiola tem paes de pólos e o estato é ligado em estela paa se alimentado à tensão composta de 400V, 50 Hz. O cicuito eléctico equivalente em egime nominal, com os valoes efeidos ao estato, é o da Fig. 6.9: R =, Ω; X = 4, Ω; X m = 7 Ω R =,9 Ω; X = 4, Ω Fig. 6.9: Cicuito eléctico do exemplo 6.. As pedas totais po ventilação e atito são 450 W, que se admitem constantes, e as pedas no feo são despezáveis. Nas condições nominais de funcionamento o escoegamento é,0 %. Paa o egime nominal, calcule: a) o facto de potência do moto; b) a potência no entefeo; c) o bináio mecânico no veio; d) o endimento do moto. 86

87 Cicuito equivalente de Thevenin O modelo eléctico da máquina de indução da Fig. 6.6 pode se epesentado po um dipólo de Thevenin com os teminais da caga R ( s) / s. A tensão da fonte é a tensão U em vazio e a impedância equivalente, calculada pelo cicuito da Fig. 6.6, é 87

88 (6.) O dipólo de Thevenin está epesentado na Fig. 6.0: Fig. 6.0: dipólo equivalente de Thevenin. A coente no oto, I, é dada po I U 0 = R Z x + + s jx d (6.) Tendo em conta (5.9), o bináio mecânico no veio duma máquina de n fases é dado po T m = P m ωm = P ag ωs I = n R s ωs (6.) Com Z = R + jx e substituindo (6.) em (6.), esulta x x x T m n U 0 R = (6.4) s ω s R Rx + + ( X x + X d ) s Poque U 0 depende apenas de U e de Z x, sendo constante o valo eficaz da tensão de alimentação, o bináio mecânico é função do escoegamento. A Fig. 6. epesenta gaficamente a função T m (s). Quando o escoegamento é negativo, ω m >ω s, o bináio (6.4) é negativo e a máquina funciona como geado. Paa pequenos valoes de s, T m é apoximadamente popocional ao escoegamento. A máquina tem um funcionamento estável no intevalo [T max, -T max ]. O valo T max é o valo máximo do bináio electomagnético. Do cicuito (6.0), pelo teoema da máxima potência tansfeida, a potência na caga é máxima, P max, quando R smax ( X + X ) = Rx + x d (6.5) 88

89 Fig. 6.: caacteística bináio-velocidade da máquina de indução. Substituindo (6.5) em (6.4) obtém-se T max : Tmax n U 0 = (6.6) ωs Rx + Rx + ( X x + X d ) De (6.4) e (6.5) conclui-se que s max depende de R, mas que T max é independente de R. Numa máquina com oto bobinado, quando se inseem esistências em séie com os enolamentos otóicos, o valo de T max não é alteado, mas altea-se a velocidade a que ele ocoe. Consequentemente, como se epesenta na Fig. 6., numa máquina com oto bobinado consegue-se vaia significativamente a velocidade atavés da vaiação das esistências otóicas (T c é o bináio esistente da caga). A equação (6.5) pemite calcula o valo da esistência otóica a se intecalada com o enolamento do oto paa se obte o bináio electomagnético máximo calculado po (6.6). Todavia o uso de esistências otóicas paa vaiação da velocidade dum moto é pouco utilizado poque aumenta as pedas e eduz o endimento do moto. Uma vantagem da máquina de oto bobinado é a se pode de limita a coente de aanque atavés das esistências otóicas. Num moto de gaiola, nomalmente, a coente de aanque à tensão nominal é ceca de sete vezes a coente nominal do moto. Paa eduzi este efeito o moto pode aanca vaiando a tensão de alimentação. No entanto, poque o bináio vaia com o quadado da tensão aplicada, este método eduz o já de si baixo bináio de aanque que pode se muito infeio a T max. A máquina com oto bobinado pode aanca com um bináio elevado e quando o moto atinge uma velocidade póxima da nominal as esistências otóicas quando são cuto-cicuitadas paa eduzi-se a dissipação. 89

90 Fig. 6.: vaiação da caacteística de bináio com a esistência otóica. Exemplo Uma máquina de indução com oto bobinado, tifásica, de paes de pólos, ligada em estela, tem as seguintes constantes po fase efeidas ao estato: R =, Ω X = 4,Ω X m = 5 Ω R =, Ω X = 4, Ω U s = 40 V f= 50Hz. As pedas totais po ventilação e atito são 55 W, que se admitem constantes, e despezamse as pedas no feo. A máquina funciona como moto com o escoegamento nominal de, %. Nas condições nominais de tensão e fequência e com o oto em cuto-cicuito, calcule (a) a esistência otóica po fase paa que o bináio no aanque seja máximo; (b) a velocidade de otação nominal. a) 90

91 b) Com paes de pólos, a velocidade de sinconismo em pm é Ensaios em vazio e com oto bloqueado Os paâmetos do cicuito da Fig. 6.6 podem se deteminados expeimentalmente atavés dos ensaios em vazio e com o oto bloqueado (cuto-cicuito) conduzidos de modo semelhante ao que foi feito paa o tansfomado. a) Ensaio em vazio (s 0 ) Com este ensaio petende-se detemina: a esistência equivalente às pedas no feo e eactância de magnetização. O moto oda em vazio (s 0) alimentado à tensão nominal. Poque a coente no estato é pequena, as pedas no cobe são despezáveis, e a potência em vazio equiliba paticamente as pedas do feo. Estas pedas vaiam com a tensão de entada, mas pemanecem paticamente constantes com a tensão constante. O pocesso de cálculo é o mesmo do efeido no paágafo.5 paa o tansfomado. b) Ensaio com o oto bloqueado (cuto-cicuito, s=) Este ensaio é semelhante ao ensaio de cuto-cicuito do tansfomado poque com o oto bloqueado o escoegamento é s= e a esistência de caga do cicuito equivalente da Fig. 6.6 é zeo. Deste modo, com o veio do moto bloqueado, o moto tem que se alimentado com uma tensão eduzida. Pode-se usa um auto-tansfomado (tifásico), cuja tensão é aumentada pogessivamente, a pati de zeo, até que a coente nos enolamentos do estato atinja o valo nominal, I =I N. Nesta situação, egistam apidamente os valoes das gandezas à entada tais como o valo eficaz da tensão, o valo eficaz da coente, a potência activa e o facto de potência. O pocesso de cálculo é o mesmo do efeido no paágafo.5 paa o ensaio do tansfomado em cuto-cicuito. 6.7 Aanque e vaiação da velocidade O aanque e a vaiação da velocidade dos motoes de indução com o oto em cuto-cicuito pode se feita a pati da vaiação da amplitude da tensão de alimentação, da fequência da tensão de alimentação, ou ambos os casos, ou po comutação dos pólos. 9

92 Alguns dos métodos mais usuais são: Vaiação do númeo de pólos (do estato): neste método, os enolamentos do estato são pojectados paa que, alteando as ligações, se possa altea o númeo de pólos. Nomalmente a elação do númeo de pólos é : ou 4:. Vaiação da fequência: a velocidade de sinconismo é popocional à fequência da tensão de alimentação. Com a utilização de convesoes electónicos é possível vaia a amplitude da tensão e a sua fequência. Vaiação da tensão de alimentação: a vaiação da tensão de alimentação podeá se feita po um auto-tansfomado ou po um conveso electónico de potência. Como o bináio mecânico é popocional ao quadado da tensão aplicada, ao vaia-se o valo eficaz da tensão vaia-se o bináio mecânico útil. Resistências otóicas: como se efeiu, o aanque de um moto com oto bobinado po se ealizado atavés da vaiação sequencial das esistências otóicas. Os modenos aancadoes electónicos são pogamáveis e pemitem o ajuste simultâneo da amplitude da tensão e da fequência de foma a mante o bináio de aanque num intevalo peviamente definido. Em temos convencionais, ainda se utiliza fequentemente a comutação estela-tiângulo paa aanca os motoes de oto em gaiola. O esquema utilizado está epesentado na Fig. 6.. (a) diagama de comando; (b) diagama de potência; Fig. 6.: aancado estela-tiângulo convencional. 9

93 Po este pocesso, os enolamentos do estato do moto são inicialmente ligados em estela (contacto S ligado); com o fecho do contacto M, o moto aanca em tiângulo. Após alguns segundos, contolados pelo tempoizado T, a estela é desfeita (S é abeto) e o contacto D é ligado ficando o moto a funciona nominalmente com os enolamentos do estato ligados em tiângulo. Po este pocesso consegue-se que a coente de aanque seja vezes infeio à que se veificaia se aancasse diectamente ligado em tiângulo. A caixa de ligações dum moto de indução com o oto em gaiola tem os teminais da Fig As ligações em estela e em tiângulo estão esquematizadas na Fig Fig. 6.4: Identificação dos bones de ligação. a) estela; b) tiângulo; Fig. 6.5: Esquemas de ligação. 9

94 6.8 Poblemas 6. Um moto de indução tifásico com oto em gaiola tem o estato ligado em estela e é alimentado à tensão composta de 400V, 50 Hz. O moto oda a 458 pm, em egime estacionáio; o valo medido da potência de entada, é,7 kw e o da coente na linha é 4,5 A. A esistência do estato, po fase, é R =, Ω. Despezando as pedas no feo e po atito e ventilação, calcule: a) a potência no entefeo; b) a potência dissipada no oto; c) o bináio mecânico; d) o endimento. e) A máquina é usada num apoveitamento eólico com uma potência injectada na ede até 5 kw. Repesente gaficamente a estimativa da potência a entega à ede em função da velocidade de otação e diga como é que esta máquina pode se usada como geado. 6. Uma máquina de indução tifásica com oto em gaiola, com paes de pólos, ligada em estela, tem as seguintes gandezas, po fase, efeidas ao estato: R = 0, Ω X = 0,88 Ω X m = 68 Ω R = 0, Ω X = 0,8 Ω A máquina é ligada à ede eléctica com U c = 400 V, 50 Hz. As pedas totais po ventilação e atito são 6 W, que se admitem constantes, e despezam-se as pedas no feo. O escoegamento nominal é,5%. Nas condições nominais de tensão, fequência e escoegamento, calcule: a) a potência eléctica nominal pedida à ede; b) a potência mecânica nominal (no veio); c) o endimento nominal. d) Estuda-se a possibilidade de acoplamento desta máquina de indução a uma tubina eólica. Admitindo que o endimento é constante, qual é a estimativa da potência eléctica a entega à ede se a máquina oda ente05 e 040 pm e qual é o bináio mecânico necessáio no seu veio? 94

95 6.9 ANEXO: Modelo dinâmico da máquina assíncona. Desenvolvimento do modelo A máquina assíncona tifásica é epesentada pelo esquema eléctico monofásico da Fig.., onde os subíndices s e designam o estato e o oto, espectivamente, e em que R epesenta as pedas no feo [, ]. As equações do cicuito da Fig.. são: Fig..: Esquema eléctico da máquina assíncona. v v s di i M dψs = s s + + dt dt (.a) dis dψ = i M + + dt dt (.b) As equações do fluxo são: Ψ Ψ s Ls = M M is. (.) L i O coeficientes de auto-indução do estato e do oto são, espectivamente, L s =l s +M L =l +M (.a) (.b) Admite-se que os coeficientes de auto-indução de dispesão do estato e do oto, espectivamente, l s e l, são constantes e que o coeficiente de indução mútua, M, depende da posição angula ente o oto e o estato, θ. As vaiáveis do estato podem se tansfomadas num sistema efeencial de dois eixos. Estes eixos estão epesentados na Fig..; geneicamente petende-se que um sistema tifásico de índices [a b c] seja substituído po duas componentes equivalentes fictícias nos eixos d-q. Esta tansfomação pode se levada a cabo pela chamada tansfomada de Pak [, 4]. Consideando as coentes tifásicas do estato 95

96 i a π π = I cos( ωt) ib = I cos( ωt ) ic = I cos( ωt + ) e que i i + i = 0, a tansfomada de Pak é definida po (.4): i i d q com a + b c ia = T ( θ). ib (.4a) ic π π cos θ cos( θ ) cos( θ + ) T ( θ) = π π (.4b) sin θ sin( θ ) sin( θ + ) em que θ=ωt+θ 0. Os valoes instantâneos das coentes i d e i q são tais que dão oigem às mesmas fmm, espectivamente nos eixo d e q, que as ciadas pelas coentes tifásicas do estato. As fmm são estacionáias em elação ao oto fictício com os eixos d-q, motivo pelo qual os coeficientes de indução nos eixos d-q são constantes. Fig..: Sistema de eixos diecto, d, e quadatua, q. A equação geal aplicável ao estato ou ao oto do cicuito da Fig.., e que oiginou as equações (.), é 96

97 97 t i v d dψ + = (.5) Num efeencial genéico de eixos d-q, as equações paa cada um dos eixos coespondentes a (.5) são: d d d t i v Ψ + = d d (.6a) q q q t i v Ψ + = d d (.6b) Paa se detemina as componentes segundo d e segundo q das deivadas do fluxo nas segundas pacelas de (.6), aplica-se a tansfomada de Pak ao fluxo, ψ, ciado pelas coentes nas tês fases: Ψ Ψ Ψ θ = Ψ Ψ c b a q d ). ( T (.7) Tendo em conta que θ=ωt+θ 0, deivando (.7) esulta Ψ Ψ Ψ θ + Ψ Ψ Ψ θ = Ψ Ψ c b a c b a q d ). ( ). ( T T & & & & & & (.8) com a epesentação usual dt dψ = Ψ & e dt d d d ) ( θ θ = θ T T &. Tendo em conta (.7), de (.8) esulta ωψ ωψ + Ψ Ψ = Ψ Ψ d q q d q d ) ( ) ( & & & & (.9) com d d t Ψ = Ψ d d ) ( & e q q t Ψ = Ψ d d ) ( &. Substituindo (.9) em (.6), obtém-se q d d d t i v Ψ ω Ψ + = d d (.0a) d q q q t i v Ψ + ω Ψ + = d d (.0b)

98 As equações (.0) são as equações geais num efeencial genéico. Elas podem se usadas paa se obte um modelo mais simples da máquina assíncona do que o epesentado pelas as equações (.). Os efeenciais a considea podem esta alinhados com os fluxos do oto, do estato ou de magnetização. Repesentando a velocidade angula eléctica do oto po ω, as equações do oto em elação ao mesmo efeencial d-q com velocidade ω também podem se obtidas atavés de (.0), consideando a velocidade elativa (ω-ω ). O efeencial mais usual é o alinhado com o oto cujos eixos são designados po diecto, d, e de quadatua, q. Com o sistema de eixos d-q a oda à velocidade de sinconismo, ω s, as equações da máquina assíncona são: Estato (subíndice s): v sd = i s sd dψsd + d t ωsψsq (.a) v sq = dψsq sisq + + ωsψsd d Roto (subíndice ): t (.b) v v d q dψd = id + ( ωs ω ) Ψsq d t dψq = iq + + ( ωs ω ) Ψd d t (.a) (.b) As equações do fluxo são: Ψsd Ls Ψsq = 0 Ψd M Ψq 0 0 Ls 0 M M 0 L 0 0 isd M i sq. 0 id L iq (.) ou numa epesentação mais compacta, Ψ dq = LsIdq (.4) As equações (.) e (.) podem se escitas na foma de um modelo de estado: Ψ& sd 0 Ψ & sq ωs = Ψ& d 0 Ψ& q 0 ωs ( ωs ω ) ( ωs ou numa epesentação mais compacta, 0 Ψsd s 0 Ψ sq 0. ω ) Ψd 0 0 Ψq 0 0 s isd vsd 0 i sq + vsq. 0id vd iq vq (.5) 98

99 & dq = ΩsΨ dq R si dq Vdq (.6) Ψ + Substituindo (.4) em (.6), obtém-se ( Ωs R sls ) Ψdq Vdq & dq = (.7) Ψ + Paa uma máquina com p paes de pólos, a velocidade angula do oto, ω m, é ω ω m = (.8) p O bináio electomecânico, t e, é te = p ( Ψ i Ψ i ) sd sq sq sd (.9) Se a máquina assíncona é ligada à caga atavés de uma caixa de velocidade de ganho K com pedas despezáveis, tal como se epesenta na Fig.., o bináio mecânico no veio da máquina assíncona, t m, é dado po, t m ω c = Ktc = tc (.0) ωm sendo t c o bináio mecânico da caga. Fig..: Máquina assíncona com caixa de velocidade. Considee-se que o conjunto máquina assíncona e a caixa de velocidade são caacteizados po um momento de inécia J e um coeficiente de atito B totais efeidos à caga. A equação mecânica que ege o conjunto é Jω& c + Bωc = te tc (.) K 99

100 Com base nas equações (.7) e (.) é possível estabelece o modelo dinâmico da máquina assíncona como o que é epesentado na Fig..4. (a) (b) Fig..4: Diagama de blocos da máquina assíncona: (a) sistema eléctico;(b) sistema mecânico. As equações (.5) e (.) constituem o modelo de 5ª odem da máquina assíncona. As tensões de V dq seão obtidas aplicando a tansfomada de Pak às tensões do estato (ede tifásica) e às do oto. Paa uma máquina com o oto em cuto-cicuito seá v d =v q =0. No caso de funciona como geado assíncono os bináios em (.) seão multiplicados po -. Após a deteminação das coentes nos eixos d-q atavés de (.4) (I dq na Fig..4a), as coentes tifásicas podem se calculadas pela tansfomada invesa de Pak. Consideando um sistema de tensões siméticas e equilibadas, o cálculo das coentes seá feito da seguinte foma: 00

101 ia id = T ( θ). (.a) ib iq com cos θ sin θ T ( θ) = π π (.b) cos( θ ) sin( θ ) ic = ia ib (.c) Os valoes instantâneos das potências activa, p a, e eactiva, q, podem se calculadas em temos dos valoes das tensões e das coentes no estato efeidas aos eixos d-q: ( v i v i ) p a = sd sd + q = sq sq ( v i v i ) sq sd sd sq (.) (.4) Sendo P m a potência mecânica no veio da máquina, as pedas po efeito de Joule no enolamento do oto, P, se calculadas como P s = Pm s (.5) sendo o escoegamento ωs ω s =. ω s Este modelo é um modelo linea da máquina e não tem em conta nem as pedas nem a satuação do feo.. Simulação do Geado Assíncono com Gaiola O modelo da Fig..4 pode se simulado facilmente atavés do Simulink do pogama Matlab. As equações usadas são (.7), (.9) e (.) e epoduziam-se os diagamas de blocos da Fig..4 paa uma máquina com o oto em cuto-cicuito funcionando como moto. Na Fig.. apesenta-se o diagama da Fig..4(a) ealizado em Simulink. O vecto V dq esulta da tansfomada de Pak (.4) da tensão da ede aplicada ao estato. A tensão do oto é zeo. O modelo da Fig.. foi integado num diagama de blocos foi incluído como subsistema do pogama de simulação completo cujo diagama é apesentado na Fig... Admitiu-se que o bináio de caga é popocional ao quadado da velocidade do veio do moto e não foi implementado a caixa de velocidade. Os dados da máquina assíncona e os peíodos de amostagem são escitos num ficheio de texto do Matlab que é lido no início da coida. 0

102 Fig..: Diagama de blocos da máquina assíncona em Simulink. Fig..: Diagama de blocos completo da simulação em Simulink. 0

103 Paa contolo da simulação foam ainda incluídos blocos paa o cálculo das potências activa e eactiva, do facto de potência e das coentes na linha. Estas coentes são obtidas po tansfomada de Pak invesa no bloco de teste da Fig... A alimentação eléctica é feita atavés dos blocos do Simulink que ealizam uma ede tifásica que alimenta uma caga RLC. Po comodidade, utilizou-se um bloco de medida das tensões da ede a pati do qual se obtêm as tensões simples que seão tansfomadas paa o sistema de eixos d-q atavés do bloco T_Pak da Fig... Nos paâmetos da simulação do Matlab seleccionou-se o método de integação ode45 (Domand-Pince) com passo vaiável (os métodos odet e odeb também foam testados sem se veifica um alteação sensível nos esultados).. Resultados da Simulação Paa testa o modelo da máquina assíncona descito anteiomente, usaam-se os dados utilizados em [5]: L s =59.4mH, s =0.4Ω; L =59.mH, =0.75Ω; M=57mH; o pa de pólos é p=. A fequência da ede é 50Hz e a amplitude da tensão simples U s = 80V. O momento de inécia total é J=0.5 kg.m e considea-se sem atito, B=0. O bináio de caga é T c =kω com k=0.009nm.s /ad. Estes dados foam escitos no ficheio caact_mcad.m que é lido na coida do pogama da Fig... O peíodo de amostagem consideado paa a integação numéica é T s =0-5 s. Na Fig.. compaam-se os esultados do bináio electomecânico obtido po simulação da Fig.. com o de [5]. Os esultados são concodantes. Na Fig.. compaam-se os esultados da velocidade no veio do moto obtido po simulação da Fig.. com o de [5]. Os esultados são concodantes. Na Fig.. apesentam-se os esultados paa as coentes na linha e as potências activa e eactiva obtidos atavés do modelo da Fig.. com o bloco -phase active & eactive powe do Simulink. Da Fig.., o valo estacionáio da amplitude das coentes na linha é 8A e o valo estacionáio da potência activa é 5,67kW, apoximadamente. Da Fig.., o valo estacionáio da velocidade do oto é 99 pm e a coespondente potência mecânica é 0.04 kw. O facto de potência, em egime estacionáio, ea ceca de Este valo passa a se infeio a 0.5 quando se multiplica o bináio de caga po - paa se obte o funcionamento da máquina assíncona como geado. A difeença detectada ente as potências (5,6kW) e os valoes obtidos paa o facto de potência sugeem a existência dum eo no cálculo deste último. Foi feita uma confimação usando o modelo da máquina assíncona do Simulink, como se epesenta na Fig..4, nas mesmas condições; os esultados das figuas. e. concodaam com assim os obtidos e as amplitudes das coentes no estato são igualmente concodantes às da Fig... 0

104 Fig..: Bináio electomecânico: (a) simulação em Simulink; (b) simulação como o modelo [5] de Mathcad. Fig..: Velocidade no veio do moto: (a) simulação em Simulink; (b) simulação como o modelo [5] de Mathcad. 04

105 Fig..: Coentes no estato e potências activa e eactiva esultantes da Fig... Fig..4: Diagama de blocos da simulação com os modelos do Simulink. 05

106 Na sequência destes esultados, ealizou-se um bloco de medida baseado nas equações (.) e (.4) como se epesenta na Fig..5. Os esultados obtidos em funcionamento moto paa o mesmo bináio de caga (k=0.009nm.s /ad ) são apesentados na Fig..6. a) b) Fig..5: Deteminação das potências: (a) diagama de blocos total; (b) bloco de medida com (.) e (.4). Veifica-se agoa uma concodância ente as potência activa fonecida ao moto e a potência de caga. Os valoes estacionáios deteminados a pati da Fig..6, e os valoes eficazes da tensão e da coente no estato, são os da Tabela. 06

107 U cef [V] I ef [A] Tabela : valoes estacionáios da Fig..6. cos φ P_activa [W] pm P_mec [W] Pedas no estato [W] Pedas no oto [W] 465 9,80 0, , 9, A pesa das apoximações feitas, os esultados da Tabela paecem se agoa mais veosímeis. Fig..6: Funcionamento como moto. Resultados da simulação da Fig..5 com k=0,009nm/s. Na Fig..7 apesentam-se esultados da simulação do modelo da Fig..5 com a máquina assíncona funcionando como geado. Paa se obte uma potência mecânica estacionáia ceca de 0 kw impôs-se T c =0.079ω (k=0,079nms ). Os valoes estacionáios das vaiáveis na Fig..7 são esumidos na Tabela. 07

108 Tabela : valoes estacionáios em funcionamento como geado (0 kw). I ef [A] cos φ P_activa [kw] P_mec [kw] pm Q [kva] Pedas no estato [W] Pedas no oto [W],8 0,85 0,6,7 08 5, 78, 89,9 Na simulação do funcionamento como moto, paa a potência de 0 kw (k=0,079nm/s ), obtém-se valoes absolutos do escoegamento e do facto de potência (s=,8% e cos φ=0,8) apoximados aos da Fig..7, o que não aconteceu inicialmente com o bloco de medidas do Simulink da Fig... Fig..7: Funcionamento como geado. Resultados da simulação pela Fig..5 com k=0,079 Nm/s. 08

109 4. Conclusões São muitas as publicações sobe DFIM (Doubly-Fed Induction Machine) ou DFIG (Doubly- Fed Induction Geneato) que efeem os modelos das máquinas assínconas. Estes modelos são indispensáveis paa o pojecto dos contoladoes e paa o estudo da estabilidade das edes e dos paques eólicos. Todavia não é fácil enconta efeências que apesentem os modelos usados de uma foma completa. Po esse motivo aqui se efee um modelo desenvolvido de oigem paa uma máquinas assínconas funcionando que como moto que como geado. O modelo desenvolvido é um modelo linea e ecoe à tansfomação de um sistema tifásico simético e equilibado paa dois eixos otogonais (tansfomada de Pak) susceptível de se implementado em pogamas de simulação numéica em computado, como sejam, o Matlab- Simulink, o Mathcad ou o Scilab-Scicos, ente outos. O modelo foi desenvolvido em Matlab-Simulink e os esultados da simulação foam compaados com esultados publicados po outo auto que utilizou um modelo difeente paa Mathcad. Os esultados apesentam uma boa concodância. A mesma boa concodância foi obtida quando os esultados foam compaados com os obtidos diectamente dos modelos já implementados no Simulink. 5. Bibliogafia [] A.E. Fitzgeald, C. Kingsley, S.D. Umans, Electic Machiney, McGaw-Hill, 00. [] Edwad Wilson Kimbak, Powe System Stability: Synchonous Machines, Dove Publications Inc, New Yok,968. [] Aleksanda R. Katancevic, Tansient and Dynamic Stability on Wind Fams, MscEE Thesis, Helsinki Univesity os Thecnology, 00. [4] Makus A. Polle, Doubly-Fed Induction Machine Models fo Stability Assessment of Wind Fams, Powe Tech Confeence Poc., Bologna, 00. [5] Fancesco Osi, Studio del Modelo Dinamico del Moto Asincono, Mathcad Libay, 09

110 MÁQUINAS SÍNCRONAS CAPÍTULO Intodução Considee-se o sistema da Fig. 7. constituído po tês bobinas iguais de n espias cada, montadas sobe um oto, cujos planos fomam ente si ângulos de 0º. O oto gia com velocidade angula ω no seio de um campo magnético unifome, caacteizado pelo vecto de indução B, que é ciado pela uma coente contínua i ex. Fig. 7.: Esquema simplificado de um altenado tifásico De acodo com a lei geal de indução, em cada uma das bobinas seá induzida uma foça electomotiz (fem) sinusoidais que estão desfasadas de 0º ente si. As tensões nos teminais da máquina (induzido) são epesentadas matematicamente pelas seguintes expessões: u = U cos( ωt) π u = U cos( ωt ) 4π u = U cos( ωt ) em que (7.a) U = B S n ω (7.b) 0

111 sendo U é a amplitude das tensões, B é intensidade da indução magnética e S epesenta a áea definida po uma das n espias da bobina. As equações (7.) podem se epesentadas vectoialmente pelas suas amplitudes complexas, tal como foi efeido no capítulo 4. O esquema da Fig. 7. desceve o pincípio de funcionamento de um altenado tifásico. Estas máquinas são caacteizadas po existi uma elação constante ente a velocidade de otação do oto, n, e a fequência, f, das tensões induzidas: f=p n (7.) sendo p é o númeo de paes de pólos do induto, f a fequência das tensões, em Hz, e n a velocidade de otação em otações po segundo (ps). As máquinas sínconas são máquinas evesíveis poque podem funciona que como motoes que como geadoes, sendo utilizadas pincipalmente como geadoes paa a podução de enegia eléctica. De acodo com (7.), o valo eficaz da tensão numa bobina é B S n Uef = ω = φ max n π f (7.) A equação (7.) pemite tia as seguintes conclusões: a) o valo eficaz das tensões aos teminais da máquina é popocional ao númeo de espias, à intensidade do campo magnético e à velocidade; b) paa que a fequência seja constante é necessáio que a velocidade do oto seja constante; c) mantendo a velocidade constante, o valo eficaz das tensões pode se modificado atavés da vaiação do campo induto. As conclusões (a) e (b) mostam que pode se vantajosa a utilização de um electoíman no induto (Fig. 7.) pecoido po uma coente contínua egulável. Na Fig. 7. epesentou-se um induzido móvel o que obiga a utiliza um sistema de anéis e escovas paa inteliga a máquina com a caga ou com uma fonte de tensão. Em máquinas de gande potência esta situação não é vantajosa poque, como a ligação eléctica não é pefeita, coentes com intensidades elevadas poduzem uma queda de tensão elevada ente anéis e escovas e dão oigem a acos elécticos que desgastam os anéis e as escovas. Nomalmente, nos geadoes sínconos industiais, o oto da Fig. 7. é constituído po um núcleo de mateial feomagnético sobe o qual é bobinado o enolamento de excitação (o induto) e o estato é a cacaça da máquina, que também é de mateial feomagnético, na qual se colocam os enolamentos do induzido. Em funcionamento nomal, em egime pemanente, a coente e a tensão no oto são contínuas e as do estato são, idealmente, altenadas sinusoidais.

112 A tensão imposta pelo altenado é, idealmente, sinusoidal, com amplitude e fequência eguláveis. A egulação da tensão do altenado exige a egulação simultânea da velocidade e da coente de excitação. Resumidamente, a elação ente estas vaiáveis é esquematizada no quado seguinte: O oto pode se de pólos salientes ou cilíndicos; no caso de te pólos salientes, Fig. 7.(a), existe um núcleo cental sobe o veio da máquina em tono do qual são montadas as bobinas indutoas; no caso de pólos salientes, os condutoes do induto são montados em cavas, o que se epesenta na Fig. 7.(b). Paa máquinas de gande velocidade (po exemplo, 000 pm com pa de pólos) os pólos salientes são desvantajosos poque exigem maio esistência mecânica face às foças a que são submetidos e nesse caso utilizam-se nomalmente otoes cilíndicos. (a) (b) Fig. 7.: Tipos de oto; (a) pólos salientes; (b) cilíndico. Nos altenadoes industiais, a alimentação do cicuito do induto é feita a pati da tensão induzida no estato, o que se esquematiza na Fig. 7.. No início, quando a máquina é posta em macha, o campo magnético emanescente no feo induto é suficiente paa induzi no estato uma tensão de pequena amplitude que, ectificada, iá pemiti aumenta o campo induto; este aumento faz, po sua vez, aumenta a amplitude da tensão induzida, o que pemite novo aumento da coente de campo (i ex ), e assim sucessivamente até se atingi um

113 egime estacionáio póximo do desejado. Po este motivo, é absolutamente necessáio que exista um campo magnético emanescente no feo do induto, antes que o altenado seja posto em macha e que possa fonece enegia eléctica; sempe que isso não se veifica, tona-se necessáio magnetiza peviamente o cicuito do induto atavés de uma fonte extena de tensão contínua. Fig. 7.: Esquema de um altenado tifásico com excitação pópia. A enegia eléctica fonecida pelo altenado povém da enegia mecânica que lhe é fonecida pela máquina que faz gia o oto. A potência mecânica útil é tansfomada em enegia eléctica, pate da qual (nomalmente uma pequena pate) é utilizada pelo cicuito do induto, e a estante, descontando as pedas electomagnéticas, é fonecida à caga. O tânsito de potências da máquina síncona é epesentado na Fig Fig. 7.4: Tânsito de potências no altenado síncono. Quando a máquina síncona funciona como moto, a enegia eléctica é fonecida ao estato, e ao oto a pati da ede eléctica, e a máquina fonece enegia mecânica à caga atavés do veio. Os motoes sínconos usam-se na indústia pincipalmente em máquinas de gande potência. Todavia, pelos motivos já efeidos, estaemos fundamentalmente inteessados no funcionamento como geadoes e seá esse o desenvolvimento dos paágafos seguintes.

114 7. Reacção do induzido Até agoa efeiu-se o funcionamento do altenado em vazio. Se o altenado alimenta uma caga tifásica, os enolamentos do induzido seão também pecoidos po coentes elécticas. Admita-se que a caga tifásica é equilibada: neste caso, o induzido é pecoido po um sistema de coentes tifásicas siméticas que dão oigem a um campo magnético giante. Este campo magnético oda em fase com o oto é, potanto, estacionáio em elação ao campo induto e está em pemanente inteligação com ele. Dito de outo modo, o campo ciado pelas coentes no induzido, designado po eacção do induzido, é um campo magnético giante que oda em sinconismo com o oto; po isso, estas máquinas são designadas po máquinas sínconas. A justificação paa o apaecimento do campo giante foi dada no paágafo 5.. Resumidamente, as tês coentes i = I cos( ωt) π i = I cos( ωt ) 4π i = I cos( ωt ) (7.4) dão oigem a tês campos de indução magnéticos pependiculaes aos planos dos enolamentos e cujas intensidades, admitindo que o meio é linea, são, espectivamente, B = Bm cos( ωt) π B = Bm cos( ωt ) 4π B = Bm cos( ωt ) (7.5) Como os planos das espias fazem ângulos de 0º ente si, os vectoes B, B e B estão também desfasados de 0º ente si. Em cada instante, a eacção do induzido é B = B+ B + B. O vecto esultante tem uma intensidade B =, 5Bm e opõe-se ao campo do induto. Numa máquina síncona existem então, pemanentemente, dois campos magnéticos giantes, qualque deles odando em sinconismo com o oto: - o campo induto, ciado pela coente de excitação; - a eacção do induzido, ciado pelas coentes tifásicas nos enolamentos do estato. Da inteacção destes dois campos magnéticos esulta um outo campo giante (o campo esultante) que também gia em sinconismo com o oto e cujo fluxo, sendo vaiável em elação ao estato, daá oigem ao sistema tifásico de fem induzidas nos enolamentos do estato. A existência dos dois campos giantes, do induto e do induzido, é potanto fundamental paa a caacteização do funcionamento da máquina síncona que como moto que como geado. 4

115 Quando o altenado funciona em vazio, não existe a eacção do induzido, poque a coente no induzido é nula, e, se a coente de excitação fo muito elevada, pode existi satuação do feo. Quando a máquina funciona em cuto-cicuito, a eacção do induzido é intensa e o fluxo esultante é pequeno; neste caso a satuação magnética não existe. Estas situações seão estudadas nos paágafos seguintes. Devido às caacteísticas constutivas das máquinas, nomeadamente à existência de cavas e de dentes no feo, as tensões induzidas não são exactamente sinusoidais. Isto povoca que o fluxo esultante não tenha amplitude constante poque, devido à elutância vaiável, tem valoes difeentes sobe os pólos (ou nos dentes) e nos espaços ente os pólos (ou nas cavas). A distoção do fluxo povoca o apaecimento de hamónicas de odem supeio na tensão aos teminais do induzido. Assim, em geal, não se pode fala de impedância do enolamento do induzido, esta designação só apoximadamente pode se usada apopiadamente paa o caso dos otoes cilíndicos onde a distoção do fluxo pode se despezável. 7. Caacteística em vazio Com o induzido em vazio, pode-se obte a elação ente o valo eficaz da tensão de uma das fases em função da coente de excitação, V=f(i ex ), mantendo-se a velocidade constante e igual ao seu valo nominal; a cuva V=f(i ex ), epesentada na Fig. 7.5, é designada po caacteística em vazio da máquina. Fig. 7.5: Caacteística em vazio (com velocidade constante). O ensaio em vazio é conduzido paa valoes cescentes e, depois, paa valoes decescentes da coente de excitação. No gáfico da Fig. 7.5 obseva-se a satuação paa valoes elevados da coente de campo, uma vez que o campo induto não é contaiado pela eacção do induzido; obseva-se também a histeese do feo, uma vez que as cuvas paa valoes 5

116 cescentes e decescentes de i ex não coincidem; e obseva-se a existência dum campo emanescente no feo do induto. Recode-se que as pedas po histeese, que são popocionais à áea definida pelas cuvas cescente e decescente, vão contibui paa a pacela das pedas electomagnéticas efeidas na Fig Na zona linea, cujo polongamento dá oigem à designada caacteística do entefeo, a tensão em vazio é diectamente popocional à coente de excitação. Esta situação modifica-se quando o altenado funciona em caga po causa da eacção do induzido. 7.4 Caacteística em cuto-cicuito Com o induzido em cuto-cicuito, pode-se obte a elação ente o valo eficaz da tensão de uma das fases em função da coente de excitação, I cc =f(i ex ),mmantendo a velocidade constante, se possível, igual ao valo nominal. No ensaio em cuto-cicuito, aumenta-se pogessivamente i ex desde zeo até um valo tal que a coente no induzido seja igual ao valo nominal da coente do altenado, isto e, I cc =I N (Fig. 7.6). O ensaio pode se completado, consideando depois os valoes decescentes de i ex. A cuva I=f(i ex ) está epesentada na Fig. 7.6 e é designada po caacteística de cuto-cicuito. Fig. 7.6: Caacteística de cuto-cicuito (com velocidade constante). Com a máquina em cuto-cicuito, veifica-se que a coente de cuto-cicuito é diectamente popocional à coente de excitação poque a eacção do induzido eduz o fluxo magnético e não existe satuação. 7.5 Cicuito eléctico equivalente No caso das máquinas com otoes cilíndicos, onde a tensão é mais apoximadamente sinusoidal, é possível estabelece-se um modelo eléctico do induzido da máquina síncona funcionando em egime estacionáio. Cada uma das fases do induzido pode se epesentada 6

117 po um dipólo equivalente de Thevenin, tal como se epesenta na Fig. 7.7; nesta figua, Z s =R+jX s é a impedância equivalente designada po impedância síncona, sendo R é a esistência de um dos enolamentos do induzido e X s a eactância síncona que depende do fluxo no induzido e cujo valo pode se deteminado a pati das cuvas das figuas 7.5 e 7.6, após a medição de R. I a R X s V o ~ V a Fig. 7.7: Modelo eléctico, po fase, da máquina síncona em egime estacionáio. Admitindo que os ensaios das figuas 7.5 e 7.6 foam feitos com a mesma velocidade de otação, paa cada valo de i ex deteminam-se os coespondentes valoes eficazes de V O e de I cc ; a eactância síncona é obtida po V X s = Zs R com Z O s = (7.6) I cc O cicuito da Fig.7.7 é um modelo apoximado e só é válido paa o funcionamento em egime estacionáio com a velocidade de otação consideada paa os ensaios em vazio e em cuto-cicuito. Numa máquina com oto cilíndico, a eactância síncona é, apoximadamente, independente da posição do oto e o modelo eléctico da Fig. 7.7 pode se usado com suficiente apoximação paa fins páticos. Ao contáio, numa máquina com oto de pólos salientes o cicuito é uma apoximação gosseia poque a eactância síncona depende da posição angula do oto. Paa se obte um valo constante paa X s, os valoes eficazes de V O devem se lidos sobe a caacteística do entefeo. Assim, detemina-se um modelo linea (sem satuação), duma fase do induzido do altenado com oto cilíndico, em egime estacionáio. Note-se que a noção de eactância foi intoduzida na Electotecnia paa cicuitos elécticos estáticos e que eactância síncona pode se consideada uma extensão daquele conceito paa cicuitos com pates móveis. A esistência R é nomalmente muito infeio a X s e é nomalmente despezável na equação (7.6). A deteminação da eactância síncona pode se feita a pati das caacteísticas dos ensaios em vazio e de cuto-cicuito como se epesenta na Fig A eactância síncona não satuada, X s, é constante e esulta de (7.6), sendo V O e I CC deteminados paa o mesmo valo da coente de campo (ou de excitação) i f. 7

118 X s V O = (7.7) Ia Fig. 7.8: Cálculo das eactâncias sínconas. Quando a satuação não é despezável, pode-se calcula a eactância síncona satuada, X ss, da seguinte foma: da caacteística em vazio, a pati do valo nominal da tensão, V N, calcula-se a coente de excitação i f ; patindo de i f, sobe a caacteística de cuto-cicuito detemina-se o valo coespondente da coente no induzido (ou amadua) I a ; a eactância síncona satuada é calculada atavés de (7.8): X ss V N = (7.8) I a A pati da Fig. 7.8 detemina-se também a azão de cuto-cicuito, K cc, que se define como a azão as duas coentes de excitação: uma que impõe a tensão nominal em vazio (i f ) e a outa que impõe a coente nominal em cuto-cicuito (i f ): Kcc i f = (7.9) i f De (7.9) esulta: Ia VN K cc = = = I I Xss N N Z X b ss (7.0) VN Consideando a impedância base Z b =, de (7.0) esulta, em valoes pu, I N 8

119 Kcc = X ss ( pu) (7.) A azão de cuto-cicuito pemite caacteiza a qualidade da máquina síncona. Paa a mesma potência e coente nominais, uma máquina com meno K cc tem meno volume e meno peso, e tem meno custo. Paa o cicuito da Fig. 7.7, é válida a seguinte equação: O ( iex ) = Ra Ia + jx s Ia + Va (7.) V Peante iguais vaiações de caga, uma máquina com K cc maio necessita de meno vaiação da coente de excitação paa mante a tensão V a constante e tem melho estabilidade quando funciona em paalelo com a ede. A título meamente indicativo, veifica-se que nas máquinas com oto cilíndico 0,5 < K cc < 0,7 e que nas máquinas com pólos salientes é,0 < K cc <,4. O aumento do entefeo implica o aumento da elutância magnética e a diminuição de X s. Consequentemente, K cc aumenta e a estabilidade do funcionamento em paalelo com a ede é melhoada. 7.6 Coeficientes de indução Na Fig. 7.9 epesentam-se os eixos dos campos magnéticos dos enolamentos do oto (cilíndico) e do estato. Poque a saliência do oto não existe, numa máquina de oto cilíndico, os coeficientes de indução são independentes da posição angula do oto, isto é, são independentes de θ m. Fig. 7.9: Eixos magnéticos dos enolamentos. 9

120 Os coeficientes de indução pópios e mútuos dos enolamentos da fase a e do campo, f, são: L + ff = L ff 0 l fd (7.) L aa = Laa0 + lad (7.4) Laf = Lafm cos( ωet) (7.5) em que ωe = p ω e l ad e l fd são os coeficientes de indução de dispesão da fase a e do enolamento do campo, espectivamente. O coeficiente de indução mútua ente a bobina da fase a e a da fase b é L L cos( 0º ) aa0 ab = Laa0 = (7.6) De acodo com (7.) a (7.6), o fluxo associado ao enolamento da fase a, Ψ a, depende de todas as coentes da máquina. Tendo em conta que num sistema tifásico equilibado é i a = ( ib + ic ), Ψ a é dado po Ψa = ( Laa0 + lad ) ia Laa0 ( ib + ic ) + Laf i f Ψa = Laa0 + lad ia + Laf i f Intoduzindo um coeficiente de auto-indução síncono L s, L s = Laa0 + lad o fluxo associado à fase a é (7.7) (7.8) Ψ a = L sia + Laf i f (7.9) A eactância síncona numa máquina de oto cilíndico é então X s = L s ωe. Repesentando po e af a fem induzida pela coente de campo, i f, na fase a do geado, tendo em conta (7.9), é válida a seguinte equação: dψa eaf = va + R ia + (7.0) dt A equação (7.0) dá oigem ao cicuito da Fig. 7.0 como modelo duma fase da máquina síncona com oto cilíndico (o cicuito coincide com o da Fig. 7.7). Fig. 7.0: Modelo da máquina com oto cilíndico. 0

121 Paa uma máquina com pólos salientes, a elutância magnética vaia com a posição do oto e, consequentemente, X s não é constante. Po este facto, o cicuito da Fig. 7.0 não pode se usado como modelo em egime estacionáio. Admitamos que não existe coente no induto, i ex =0, e que o estato é alimentado po uma fonte tifásica com um sistema diecto de tensões altenadas sinusoidais; nestas condições, as únicas coentes na máquina são as do induzido que ciam um campo magnético giante que oda no sentido diecto (da fase paa a fase ). Poém, devido à saliência dos pólos, a componente fundamental do fluxo magnético do campo giante vaia com a posição do oto. Admitamos que se oda o oto de tal foma que o eixo dos pólos (salientes) coincide com a diecção do campo giante, tal como se epesenta na Fig. 7.(a). Neste caso, a elutância magnética seá mínima, o fluxo no pólo do oto é máximo e, consequentemente, a eactância do induzido tem o valo máximo (poque ψ=li e, paa a mesma coente, o fluxo ligado á bobina é máximo quando o coeficiente de auto-indução também é máximo). Na Fig. 7.(b), o oto oda de foma que o eixo das cavas coincide com a diecção do campo giante ciado pelas coente no estato; neste caso a elutância magnética seá máxima, o fluxo no pólo do oto é mínimo e, consequentemente, a eactância do induzido é também a mínima. (a) (b) (c) Fig. 7.: Fluxo numa máquina de pólos salientes; (a) segundo o eixo diecto; (b) segundo o eixo de quadatua; (c) eixos diecto e de quadatua. Num oto de pólos salientes, designam-se po eixo diecto (ou pola) e de quadatua (ou intepola), os eixos polaes epesentados na Fig. 7.(c). Em confomidade, definem-se as eactâncias sínconas no eixo diecto, X d, (ou eactância longitudinal) e no eixo de quadatua, X q, (ou eactância tansvesal). Acoente da amadua, I a, pode se decomposta em duas componentes: uma segundo o eixo q e outa segundo o eixo d da Fig. 7.. O eixo q coincide com a amplitude complexa V O e o eixo d está em quadatua com V O. A eactância síncona X q, afecta a componente da coente da amadua, I a, que está em fase com a tensão em vazio, V O, e a eactância síncona X d, afecta a componente da coente que está em quadatua com a tensão em vazio.

122 Despezando a esistência do enolamento, numa máquina de pólos salientes a equação (7.) toma a foma: VO = Va + jx d Id + jx qiq (7.) Fig. 7.: componentes nos eixos dq da coente na amadua. 7.7 Funcionamento em caga Quando o altenado funciona em caga, da acção ente o campo induto e a eacção do induzido esulta um campo giante total que também gia em sinconismo com o oto: a fem induzida está associada ao fluxo esultante das coentes no induto e no induzido. Como o meio não é linea, o fluxo esultante não pode se calculado a pati da soma dos fluxos que as coentes ciam isoladamente em cada um dos enolamentos. Todavia, numa análise simplificada, e paa tensões puamente sinusoidais, pode-se considea que o fluxo esultante é função linea da fmm das coentes no induzido. Nestas cicunstâncias, o fluxo no enolamento do induzido é máximo quando a coente nesse enolamento é máxima. Considea-se que as amplitudes complexas das coentes no induzido fomam uma estela simética; designando po L um coeficiente de indução equivalente dos enolamentos do induzido, em egime estacionáio, e po Ψ i o fluxo ciado pelo induto, os fluxos ligados com os enolamentos do induzido são dados po: Ψ = LI + Ψi π j Ψ = LI + Ψi e π j Ψ = LI + Ψi e (7.) Paa gandezas altenadas sinusoidais, a fem pode se escita em temos das amplitudes complexas:

123 dt dψ = e Ψ ω = j E (7.) Tendo em conta (7.), de (7.) obtêm-se as amplitudes complexas das fem induzidas nos enolamentos do estato: π π ωψ ω = ωψ ω = ωψ ω = j i j i i e j L j e j L j j L j I E I E I E (7.4) Po outo lado, sendo R a esistência dos enolamentos do induzido, as tensões aos teminais do induzido são dadas po I E V I E V I E V R R R = = = (7.5) Substituindo (7.5) em (7.4), obtém-se I I E V I I E V I I E V L j R e L j R e L j R j i j i i ω = ω = ω = π π (7.6) em que i j Ψ i ω = v E (7.6a) é a fem induzida no enolamento da fase do estato pelo fluxo ciado somente pelo enolamento do induto (oto). De acodo com (7.6), a tensão aos teminais dos enolamentos do induzido pode se consideada igual à fem (7.6a) que é induzida, apenas, pelo fluxo induto (e tendo em conta a desfasagem de 0º ente os enolamentos do induzido), menos a queda de tensão numa impedância equivalente, que se designou po impedância síncona. Tendo em conta que em vazio é i V O E =, cada enolamento do induzido pode se modelado pelo cicuito da Fig Define-se egulação de tensão de um geado, v, da seguinte foma:

124 V = O V v a 00 (%) (7.7) Va onde V O é a tensão em vazio e V a é a tensão aos teminais em caga. Uma vez deteminadas a esistência R e a eactância síncona, v pode, em pimeia apoximação, se deteminada a pati do cicuito da Fig A egulação de tensão de um altenado síncono pode se positiva, zeo, ou negativa, dependendo do facto de potência e da caga a alimenta. Po exemplo, na Fig. 7. epesentam-se os diagamas vectoiais coespondentes a (7.6), despezando a esistência R poque, nomalmente seá R<<X s, paa duas situações de caga: na Fig. 7.(a) considea-se uma caga de tipo indutiva e na Fig. 7.(b) considea-se uma caga de tipo capacitiva. Paa a caga indutiva veifica-se V O > V a, e então v>0, e paa a caga capacitiva é V O < V a e v<0. Fig. 7.: Diagamas vectoiais paa o cicuito da Fig. 7.0; (a) coente em ataso; (b) coente em avanço. Os paâmetos do altenado, e os do cicuito da Fig. 0, são nomalmente expessos em valo po unidade. Como o cicuito equivalente da Fig. 0 é monofásico, escolhe-se como tensão base a tensão simples e no estante o cálculo segue o pocesso do paágafo.6. Na Fig. 7.4, apesenta-se um diagama vectoial paa um geado de pólos salientes, com R=0, coespondente à equação (7.8): VO = Va + jx d Id + jx qiq (7.8) Como se efeiu, a eactância síncona X q, afecta a componente da coente que está em fase com a tensão em vazio e a eactância síncona X d, afecta a componente da coente que está em quadatua com a tensão em vazio. 4

125 Ψ i Ψ I Ψ a Iq Ei = V o I d Ia V a jx d I d jx q Iq Fig. 7.4: Diagama vectoial paa um geado com pólos salientes. Numa máquina de oto cilíndico, as eactâncias tansvesal e longitudinal são apoximadamente iguais. No caso do oto de pólos salientes, a eactância tansvesal pode se 0% a 50% da eactância longitudinal. Considee-se o diagama vectoial da Fig. 7.5 coespondente a uma máquina de oto cilíndico em que se despeza a esistência do enolamento do induzido. Nesta figua, φ é o ângulo do facto de potência e δ é a desfasagem ente a tensão em vazio e a tensão aos teminais da caga, isto é, δ = agv O agva ; δ é, fequentemente, designado po ângulo de potência ou po ângulo de caga. Ψ i φ δ V O I jx s O I V a A B φ Fig. 7.5: Diagama vectoial paa um geado com oto cilíndico. Na Fig. 7.5, o ângulo AÔB é igual a φ poque são ângulos de lados espectivamente pependiculaes; então, OB = VO senδ OB = X si cosφ e esulta 5

126 VO senδ = X s I cos φ (7.9) ou, de modo equivalente, VO senδ I cos φ = (7.0) X s Multiplicando (7.0) pelo valo eficaz da tensão na caga, V a, e pelo númeo de fases, conclui-se que a potência activa posta em jogo nos teminais da máquina síncona com oto cilíndico é dada po V = O V P a senδ (7.) X s Uma pimeia conclusão da Fig. 7.5, é que a potência activa posta em jogo na máquina síncona é popocional ao compimento OB = X s I cosφ; a segunda conclusão é que a potência activa desenvolvida pelo geado é popocional a sen(δ). Se sen(δ)>0 a máquina funciona como geado (P>0); se sen(δ)<0, então é P<0 e a máquina funciona como moto. O modo de funcionamento da máquina síncona em função do ângulo δ está esumida na Fig Fig. 7.6: Funcionamento da máquina de oto cilíndico e o ângulo de potência. Paa que o funcionamento da máquina síncona seja estável é necessáio que d P > 0. Po dδ π π este facto, o egime estável de funcionamento coesponde a < δ <, sendo, 6

127 π 0 < δ < geado π < δ < 0 moto (7.) A dp P s = chama-se potência sinconizante. O seu valo é d δ V = OV P a s cosδ (7.) X s A potência sinconizante desempenha um papel impotante na análise da estabilidade do altenado quando funciona em paalelo com a ede. Paa se obte a expessão da potência em função do ângulo de caga numa máquina de pólos salientes, consideam-se as figuas 7.4 e 7.5 e conclui-se que, ( senδ.cos φ + cosδ φ) ( cosδ.cos φ senδ φ) I d = I sen( δ + φ) = I.sen (7.4) I q = I cos( δ + φ) = I.sen (7.5) Multiplicando (7.4) po sen δ e (7.5) po cos δ, e somando os esultados, obtém-se I cosφ = I q cos δ + Id senδ (7.6) Da Fig. 7.4, esulta: Iq Va senδ = X q Id VO Vacosδ = X d (7.7) Tendo em conta que a potência activa po fase é dada po P=V a I cosφ, substituindo (7.7) em (7.6) e eaanjando, obtém-se a potência desenvolvida po uma fase numa máquina síncona com pólos salientes: V OVa Va = δ + P sen sen δ (7.8) X d X q X d A função P(δ) está epesentada na Fig Admitindo que X d é constante, a pimeia pacela de (7.8) conduz a uma cuva semelhante à da Fig Paa ambos os casos, a pimeia pacela depende de V O, isto é, da fem induzida nos enolamentos do estato. Esta efeência é impotante poque a segunda pacela de (7.8) não depende da excitação. Assim, 7

128 mesmo na ausência da excitação (V O =0), a máquina de pólos salientes pode desenvolve uma ceta potência quando funciona em paalelo com uma ede (V a 0). Fig. 7.7: Potência activa e ângulo de potência da máquina de pólos salientes. A segunda pacela de (7.8) dá oigem a uma defomação da cuva da Fig Numa máquina com oto cilíndico a máxima potência como altenado é obtida quando δ=π/; no caso de pólos salientes, devido à segunda pacela de (7.8) a máxima potência é obtida paa valoes de δ um pouco infeioes a π/. A potência total posta em jogo pela máquina síncona tifásica de pólos salientes obtém-se multiplicando (7.8) po tês. Dividindo o esultado pela velocidade angula obtém-se o bináio electomagnético da máquina: V = O Va V δ + T sen a sen δ (7.9) ω X d ω X q X d A segunda pacela de (7.9) coesponde ao bináio desenvolvido pela saliência dos pólos, e que existe mesmo na ausência da coente de excitação. A máquina síncona é uma máquina evesível e funciona como moto ou como geado em função do ângulo de potência. Note-se que no caso do moto, o sentido da coente é oposto daquele que foi usado na Fig. 7.0, isto é, a coente enta no moto paa que este eceba enegia da ede e o vecto I teia odado 80º. No caso do geado, o sentido positivo adoptado é aquele que sai do induzido. 8

129 Seja ψ a desfasagem ente a tensão em vazio e a coente na Fig. 7.5: ψ=φ+δ. Quando se veifica π / < ψ < π / a máquina funciona como geado; quando π / < ψ < π ou π / > ψ > π a máquina funciona como moto. Quando a máquina está em paalelo com uma ede infinita e ψ = ±π/, a potência activa é nula (se despezamos as esistências dos enolamentos) e a máquina compota-se como uma eactância indutiva, ou capacitiva, em que actuando na coente de excitação pode egula-se a potência eactiva tocada com a ede: a máquina funciona como um compensado síncono. 7.8 Caacteísticas em egime estacionáio Em egime estacionáio, as pincipais caacteísticas são as que elacionam a tensão no induzido com a coente no induzido, a coente de campo, o facto de potência e o endimento. Como exemplo, epesenta-se na Fig. 7.8 a caacteística de egulação que elaciona a coente de campo em função da potência ou coente na caga, paa a velocidade nominal. Na Fig. 7.9 epesenta-se a caacteística extena, isto é, a elação ente a tensão e a coente no induzido, mantendo constante a coente de campo e a velocidade. As cuvas paa os difeentes factoes de potência são deteminadas expeimentalmente mantendo a coente de campo constante com o valo que gaante a tensão nominal com a coente nominal. Fig. 7.8: Caacteística de egulação. Os geadoes sínconos são especificados paa os valoes nominais da tensão e da fequência (em Potugal, a tensão composta é 400V e a fequência é 50 Hz) e paa a potência apaente nominal (em kva) com um facto de potência de 0,8 ou 0,85 indutivo. Nomalmente, a tensão deve fica compeendida ente ±5% do valo nominal, sendo o valo mínimo obtido mesmo quando existem sobecagas de 0% da coente nominal. Estas caacteísticas são 9

130 fonecidas pelos fabicantes e são paticulamente impotantes paa sistemas que funcionam em edes isoladas, como é o caso dos navios. A potência eactiva está limitada pelo aquecimento máximo pemitido paa os enolamentos do induzido e do induto. Note-se que quando o altenado está em paalelo com uma ede alimentada po outos geadoes, a potência eactiva depende da coente de excitação; quanto maio fo i ex tanto maio seá a potência eactiva alimentada pelo altenado. Fig. 7.9: Caacteísticas extenas. 7.9 Cuto-cicuito simético Quando um geado síncono funciona em condições nominais e, subitamente, as suas fases são cuto-cicuitadas, o compotamento tansitóio da coente no estato não pode se deteminado a pati do modelo eléctico da Fig. 7.0, poque a eactância síncona que dele faz pate só é válida paa o egime estacionáio. A coente no induzido esultante de um cuto-cicuito súbito aos teminais do geado está epesentada na Fig No gáfico da Fig. 7.0, distinguem-se tês fases: - uma pimeia, de cuta duação logo no início do cuto-cicuito, em que a coente tem uma amplitude muito elevada, pelo que a eactância dos enolamentos do induzido é muito baixa; este peíodo é designado po peíodo subtansitóio; - na fase seguinte, a amplitude é menos elevada, pelo que a eactância dos enolamentos do induzido seá maio, e que tem uma duação mais polongada; este peíodo é designado po peíodo tansitóio; - uma fase final em que a coente estabiliza no valo estacionáio de cuto-cicuito em que é limitada pela impedância síncona X s ou po X d. 0

131 Fig. 7.0: Coente de cuto-cicuito. A eactância subtansitóia, que limita a coente na pimeia fase, é essencialmente devida à existência dos enolamentos amotecedoes, que equipam os otoes de pólos salientes, e à eactância que limita as coentes no feo dos otoes cilíndicos. Estes enolamentos tendem a amotece as vaiações da velocidade, mantendo a velocidade de sinconismo constante. A eactância tansitóia é essencialmente devida à influência do enolamento de campo. Finalmente, após a anulação dos egimes tansitóios anteioes, a coente de cutocicuito em egime estacionáio é limitada pela eactância síncona e pode se calculada, po exemplo no cicuito da Fig. 7.0, fazendo V a = Máquinas de elutancia vaiável. Como se efeiu nos comentáios a (7.), na ausência da excitação, a máquina síncona tifásica de pólos salientes desenvolve um bináio que é dado po, V = a p T sen δ (7.40) ωe X q X d Em ( 7.40) p é o númeo de pa de pólos e ω e é a pulsação da tensão induzida. Este bináio é caacteístico dos sistemas otativos de elutância vaiável. O bináio depende do quadado do valo eficaz da tensão aplicada e da difeença ente as elutâncias longitudinal (segundo o eixo d) e tansvesal (segundo o eixo q), e vaia com o seno do ângulo δ. Os pólos salientes das máquinas de elutância são constituídos po mateiais de baixa elutância de tal foma que X d /X q >>. O moto de elutância possui uma gaiola de esquilo paa que possa aanca po si só. O moto aanca como um moto assíncono, e ao apoxima-se da velocidade de sinconismo o bináio de elutância (7.) tona-se pepondeante e a máquina é puxada paa a velocidade de sinconismo, funcionando a pati daí como uma máquina síncona de pólos salientes sem excitação. Na Fig. 7. epesenta-se esquematicamente uma máquina deste tipo.

132 Fig. 7.: máquina síncona de elutância vaiável. Estas máquinas têm um bináio de aanque elevado, são obustas e compactas e são pincipalmente utilizadas como motoes sínconos de pequena potência contolados po convesoes electónicos. 7. Funcionamento de altenadoes em paalelo Quando a potência a alimenta é elevada, a alimentação é feita po váios altenadoes ligados em paalelo. Antes de se liga um altenado em paalelo com outo (ou outos) já em funcionamento, é necessáio efectua-se um conjunto de pocedimentos paa que se ciem as condições favoáveis paa que o paalelo se ealize de modo estável e sem danos. Pimeio que tudo, é necessáio gaanti que a sequência de fases do altenado a lança seja a mesma da ede; esta situação é nomalmente testada na fase de ligação do altenado ao quado eléctico. Paa se efectua o paalelo, a opeação mais usual consiste em: (a) leva o gupo moto-geado a uma velocidade póxima da de sinconismo, e a gaanti a mesma fequência da tensão; (b) ajusta a coente de excitação paa que o valo da tensão do altenado paa seja muito apoximadamente igual à tensão do baamento; (c) veifica se as tensões do altenado e da ede estão em fase. Se não se veificaem as condições (b) e (c) ao efectua-se a ligação, o altenado seá pecoido po coentes de intensidade elevada que faá dispaa as potecções. Se não se veifica a condição (a), o bináio que actuaá sobe o oto pode não se suficiente paa o leva apidamente à velocidade de sinconismo e o paalelo tona-se instável. Quando as condições (a), (b) são conseguidas, e a sequência de fases é a mesma, no instante em que se veifique a condição (c) fecha-se o disjunto que o liga o altenado a lança com o baamento. Depois de feito o paalelo, egula-se a potência activa fonecida à ede atavés do ajuste da velocidade do moto do gupo e actua-se sobe a coente de excitação paa se ajusta a potência eactiva fonecida pelo altenado. Paa além de voltímetos e fequencímetos que indiquem o valo da tensão e da fequência da ede e do altenado a lança, é também necessáio um sinconoscópio (ou um sistema lâmpadas como as designadas po de fogos giantes) paa se detecta quando as tensões estão em fase.

133 Na Fig. 7. apesenta-se o esquema de um altenado, com os blocos de egulação da tensão e da fequência, e o sinconoscópio necessáio paa se efectua o paalelo com a ede. O sinconoscópio está epesentado na Fig.. Fig. 7.: Geado síncono ligado à ede. Fig. 7.: sinconoscópio. Na Fig. 7.4, epesenta-se o esquema multifila de um altenado sem escovas. A excitatiz é uma máquina síncona de meno potência montada no mesmo veio e destinada a alimenta o enolamento do induto pincipal. Po sua vez, a coente de campo da excitatiz é obtida a pati da ectificação das tensões tifásicas.

134 Fig. 7.4: Esquema de um altenado sem escovas (bushless geneato). A Fig epesenta um sistema de contolo da coente de excitação paa egulação do valo eficaz da tensão de saída (tensão do baamento em caga) e da potência eactiva do altenado destinado a funciona em paalelo com a ede de distibuição. 4

135 Fig. 7.5: cicuito de egulação da coente de campo. O campo induto da máquina síncona tem o mesmo númeo de pólos que o estato, que podem se constituído po ímanes pemanentes ou po electoímanes alimentados po uma fonte de coente contínua coente de campo ou coente de excitação. No caso do campo excitado po coente, existem máquinas com escovas e sem escovas. Em qualque dos casos, a coente do oto dá oigem um campo magnético fixo nos pólos do oto que oda em sinconismo com o fluxo do estato. O moto síncono não pode aanca diectamente, a menos que o oto tenha enolamentos amotecedoes. Estes enolamentos sevem paa limita as oscilações do bináio e funcionam como uma gaiola de esquilo. Esta gaiola pemite aanca o moto síncono como se fosse um moto de indução, e quando a velocidade do moto atinge apoximadamente 97% da velocidade nominal, o cicuito do campo induto é lidado, a coente de campo CC cicula nos enolamentos do oto e o moto é aastado até à velocidade de sinconismo. Uma das vantagens dos motoes sínconos é que pemitem egula o facto de potência atavés da coente de campo (ou de excitação). Ao contáio dos motoes assínconos que funcionam sempe com facto de potência indutivo (em ataso), os motoes sínconos podem funciona com facto de potência unitáio ou até capacitivo (em avanço). O ajuste do facto de potência é feito atavés da coente de campo. Esta situação pemite usa a máquina síncona como um compensado do facto de potência. Um moto síncono odando em vazio e sobeexcitado, isto é, com a coente de excitação acima da que poduz uma coente no induzido com facto de potência unitáio, poduz uma potência eactiva de tipo capacitivo que é usada paa melhoa o facto de potência e a egulação de tensão nos baamentos. A máquina funciona então como um condensado (condensado síncono). 5

136 7. Poblemas.Explique poque numa máquina síncona se veifica uma elação constante ente a fequência, a velocidade e o númeo de paes de pólos.. Explique como pode egula a potência activa e a eactiva fonecida po um geado síncono.. Considee um geado síncono tifásico tem as caacteísticas: S=5 kva, cosφ=0,8 indutivo, U N =80V, 50Hz, X s =, Ω/fase. A esistência do induzido é despezável. a) Paa as condições de caga nominais, detemine a queda de tensão em %. b) Desenhe o diagama vectoial nas condições da a). c) Calcule a tensão numa caga de impedância Z=4,8+j,7Ω, ligada em tiângulo, quando a tensão em vazio é a nominal. d) Detemine o ângulo de potência δ, nas condições da c). e) Repita as c) e d) paa Z=4,8-j,7Ω. f) Admitindo que X s '' = 0,5 Ω, detemine o valo máximo da coente de cuto-cicuito aos teminais do altenado. g) Repita a questão anteio paa X s '' = 0,5 pu. 4. Uma máquina síncona de oto cilíndico funcionando como geado está ligada a uma ede eléctica atavés dum baamento com tensão U=,0 pu. O cicuito eléctico equivalente em egime estacionáio está epesentado na figua, sendo a ede epesentada pelo seu cicuito equivalente de Thevenin. O geado funciona a plena caga injectando na ede a potência activa P= pu. Consideando como efeencial a tensão U, calcule (em valoes pu): a) o valo eficaz da coente na linha I; b) o valo eficaz da fem, E; c) o ângulo de potência no geado; d) a potência eactiva posta em jogo pelo geado. e) A coente de campo é eduzida paa 7% do valo anteio e mantém-se a mesma potência mecânica no veio do geado. Consideando a caacteística do entefeo, qual é a vaiação da potência apaente do geado? 5. Considee o caso dum geado síncono funcionando em paalelo com uma ede. a) Quais são as condições necessáias paa que se possa liga o geado síncono em paalelo com a ede? b) Uma vez estabelecido o paalelo com a ede, diga quais são as consequências de: b) eduzi a velocidade do gupo, mantendo a coente de campo; 6

137 b) mantendo a velocidade, eduzi a coente de campo. 6. Um geado síncono, 50 Hz, tem um oto com pólos salientes e as esistências dos enolamentos do estato são despezáveis. O geado enconta-se a fonece uma coente 0,75 pu com facto de potência 0,90 indutivo, à tensão e a fequência nominais. As eactâncias do estato são X d =0,8 pu e X q =0, 6 pu. Calcule: a) o ângulo de potência; b) as componentes da diecta e quadatua da coente no induzido; c) o valo eficaz da tensão em vazio; d) a egulação de tensão; e) No sistema de eixos qd, desenhe o diagama vectoial com as coentes, tensão e fem induzida no estato. f) Consideando como valoes base a tensão composta de 6,9kV e a potência nominal de MVA, calcule os valoes das eactâncias em unidades do SI. 7

138 CAPÍTULO 8. TRANSFORMADAS DE CLARKE E DE PARK 8. Intodução Viu-se no Cap. 5 que no estato de uma máquina tifásica, um sistema de coentes tifásicas (8.) que ciculam nas tês bobinas desfasadas de 0º dão oigem a um campo magnético giante, B, que oda com velocidade angula ω=πf. A intensidade do campo magnético giante é constante e é igual a,5 vezes a amplitude do campo ciado po cada bobina (8.), tal como se exemplifica na Fig. 8. paa o instante t. i ( t) = I i ( t) = I i ( t) = I m m m cos( ωt) π cos( ωt ) 4π cos( ωt ) (8.) B ( t) = B m cos( ωt) 0 π π B ( t) = Bm cos( ωt ) (8.a) 4π π B ( t) = Bm cos( ωt ) B = B+ B + B (8.b) B = B cos(0º )cos(0º ) =, 5B (8.c) m m Fig.8.: Campo magnético giante ciado pelas coentes tifásicas no instante t. 8

139 Duas bobinas com planos pependiculaes ente si e que são pecoidas po duas coentes desfasadas de 90º também poduzem um campo giante. As coentes (8.) nas bobinas da Fig. 8. dão oigem a campos magnéticos que têm diecções pependiculaes, a sua esultante é um campo giante que oda com velocidade angula ω=πf e cuja intensidade é igual à amplitude do campo de cada bobina. i ( t) = I i ( t) = I m m cos( ωt) cos( ωt π ) (8.) Fig.8.: Campo magnético giante ciado pelas coentes bifásicas com fase α. Concluindo: à pate o facto de escala /, os dois sistemas de coentes (com as espectivas bobinas) ciam o mesmo campo giante. 8. Tansfomada de Clake Considee-se um efeencial no plano complexo composto po dois eixos otogonais sendo um eal, α, e outo imagináio, β. Este sistema de eixos em quadatua é o efeencial das coentes equivalentes do estato, i α e i β, que poduzam o mesmo campo giante que as coentes tifásicas do estato da máquina (i, i, i ). π j Definindo um opeado de otação espacial α = e, as coentes i α e i β são obtidas atavés da tansfomação das coentes tifásicas equilibadas de (8.): 9

140 40 ( ) i i i e i α + + α R = α (8.4a) ( ) i i m i i α + + α I = β (8.4b) Substituindo (8.) em (8.4) e fazendo uso das equações tigonométicas de (8.4) esulta ( ) i i i i e i = + α + α R = α (8.5a) ( ) i i i i i m i + = + α + α I = β (8.5b) As equações (8.5) podem se escitas na seguinte foma maticial: = β α i i i i i (8.6) Uma outa tansfomação, conducente às mesmas coentes i α e i β, esulta diectamente de (8.). É fácil veifica que o esultado pode se escito na foma maticial de (8.7): = β α 0 i i i i i (8.7) A tansfomada diecta de Clake tansfoma um sistema de tensões (ou coentes) tifásicas (,, ) num sistema bifásico (α, β) com eixos em quadatua. As tensões (ou coentes) tifásicas no estato e as coentes em quadatua, i α e i β, são todas sinusoidais. A tansfomação invesa de Clake faz com que se volte ao sistema de tês eixos,,, tifásicos, a pati das coodenadas α e β. Essa tansfomação pode se obtida po:

141 i i = i 0 i α i β (8.8) Qualque máquina eléctica pode se descita em difeentes sistemas de coodenadas. Na Fig. 8. epesenta-se o sistema de eixos tifásico, nomal ao plano das coespondentes fases,,, desfasados de 0º, e o sistema de eixos bifásico de coodenadas α e β, em quadatua, oientado com o campo do estato. Nomalmente, faz-se coincidi o eixo α com o da fase. As tensões, coentes e fluxos podem se tansfomados ente os dois sistemas de eixos atavés das tansfomadas diecta e invesa de Clake. Os modelos esultantes são equivalentes, sendo que o sistema de coodenadas α e β é mais simples de utiliza quando se utilizam modelos dinâmicos da máquina. No sistema de coodenadas (α, β) a epesentação vectoial da coente no estato é dada po i s = iα + j iβ. As mesmas tansfomações podemse aplica às coentes no oto e com um sistema bifásico é mais fácil obte-se um modelo que epesente a inteacção dos dois campos giantes, o do estato e o do oto. Fig.8.: Sistemas de eixos (α,β). No exemplo 8. apesenta-se um ficheio que pemite estuda as tansfomações de Clake diectas utilizando o pogama Scilab ( Exemplo Paa testa os esultados anteioes apesenta-se um ficheio paa se coido no Scilab. As componentes i α e i β são iguais às apesentadas na Fig

142 //----- Pogama tansfomada de Clake t=0:0.000:0.04; w=00*%pi; ia=cos(w*t); // coentes tifásicas ib=cos(w*t-/*%pi); ic=cos(w*t+/*%pi); // Eq. (8.4) alfa=exp(%i*/*%pi); IS=ia+alfa*ib+alfa^*ic; ISe=/*eal(IS); ISim=/*imag(IS); dados=[ise' ISim']; xset("window",); xset("thickness",); plotd(t, xset("thickness",);xgid(); xtitle( 'tansfomada (8.5)', 't [s]', '[A]') ; // Campo giante xset("window",); xset("thickness",); plotd(ise,isim); xset("thickness",);xgid(); // ª constução de T.de Clake, Eq. (8.6) ix=ia; iy=(ia+*ib)/sqt(); xset("window",); xset("thickness",); plotd(t, [dados ix' iy']); xset("thickness",);xgid(); // ª constução da T. de Clake, Eq. (8.7) ix=(ia-ib/-ic/)*/; iy=sqt()/*(ib-ic)*/; xset("window",4); xset("thickness",); plotd(t, [ISe' ISim' ix' ix' iy' iy'],[,,,,5,5]); xset("thickness",);xgid(); xtitle( 'tansfomadas (8.5) (8.6) (8.7)', 't [s]', '[A]') ; Fig. 8.4: componentes (α, β). 4

143 8. Tansfomada de Pak As componentes α e β calculadas com a tansfomação de Clake estão efeenciadas ao estato e são duas gandezas em quandatua. Mas é impotante que os modelos das máquinas otativas tenham todas a gandezas com uma efeência comum e usualmente escolhe-se o efeencial do oto. Na Fig. 8.5 epesenta-se o esquema simplificado duma máquina síncona com os eixos do estato (a, b, c) e (α, β) e os eixos do oto: d (diecto) e q (quadatua). A utilização do efeencial do estato não é a mais adequada paa o estudo dinâmico da máquina poque os efeenciais giam com velocidade igual à fequência angula das coentes das fases; os efeenciais são sínconos com o campo do estato e as componentes em α e β dependem do tempo e da velocidade de otação. Todavia, estas componentes podem se tansfomadas do efeencial do estato paa um sistema de coodenadas dq que gia na mesma velocidade que a fequência angula das coentes das fases. Com esta tansfomação, as coentes i d e i q passam a se independentes do tempo e da velocidade, e em egime estacionáio são coentes contínuas. À semelhança do que se fez no 7.9, consideam-se dois eixos dq que são efeidos ao campo do oto e que giam com este: o eixo d do oto é alinhado com o fluxo do oto e o eixo q é pependicula a d, o que se pesenta na Fig Fig.8.5: Esquema simplificado da máquina síncona e os seus sistemas de eixos. Sendo θ m o ângulo ente o fluxo magnético do estato e o fluxo magnético do oto (Fig. 8.5), as coentes i d e i q obtêm-se a pati das coentes i α e i β, aplicando a tansfomação associada 4

144 à otação espacial dos eixos dq do ângulo mecânico (espacial) θ m. Definindo o opeado j espacial de otação dos eixos φ = e θ m, da Fig. 8.6 esulta: id + j iq = α β) jθ ( i + ji e m (8.9) Fig.8.6: Repesentação de i s nos dois sistemas de eixos. Desenvolvendo (8.9) obtém-se: id i q = cos θm iα + sen θm iβ (8.0a) = sen θ i + cos θ i (8.0b) m α m β As equações (8.0) taduzem a tansfomada de Pak que pode se escita na seguinte foma maticial: id cos θm = iq - sen θm sen θm iα cos θm iβ (8.) A tansfomada invesa de Pak é dada po, i i α β = = cos θm id sen θm iq (8.a) sen θm id + cos θm iq (8.b) Conhecido θ m, quaisque gandezas dum sistema tifásico (S a, S b, S c ) podem se tansfomadas no sistema de eixos dq usando sucessivamente a tansfomada de Clake e 44

145 seguidamente a tansfomada de Pak como se ilusta na Fig A tansfomação dos eixos (d, q) paa os eixos (a, b, c) é feita atavés das tansfomadas invesas. Fig.8.7: Sequencia da tansfomação dos eixos (a, b, c) paa os eixos (d, q). Uma das vantagens de utilização do efeencial dq do oto é que as fmm são estacionáias em elação ao oto fictício, motivo pelo qual os coeficientes de indução nos eixos dq são constantes. Uma genealização da tansfomada de Pak pemite que gandezas sinusoidais - tensões, coentes e fluxos - nos eixos (a, b, c) do estato possam se tansfomadas diectamente paa um efeencial de eixos dq0 no oto como gandezas contínuas. Esta opeação é ealizada pela chamada tansfomação dq0 que é função do ângulo eléctico θ fomado pelo eixo d do oto e o eixo a das fases do estato. Numa máquina com p paes de pólos é θ = pθm. A teceia componente, 0, é intoduzida paa se obte uma tansfomação única das tês gandezas do estato. i i i d q 0 ia = T ( θ). ib (8.a) ic com π π cos θ cos( θ ) cos( θ + ) π π T ( θ) = sin θ sin( θ ) sin( θ + ) (8.b) θ=ωt+θ 0 (8.c) 45

146 Os valoes instantâneos das coentes i d, i q e i 0 são tais que dão oigem a fmm nos eixos dq0 iguais às que são ciadas pelas coentes tifásicas do estato. A tansfomada dq0 invesa é dada po, i i i a b c id = θ T ( ). iq (8.4a) i0 com cos θ sin θ π π T ( θ) = cos( θ ) sin( θ ) (8.4b) π π cos( θ + ) sin( θ + ) Em sistemas siméticos, em que i a + ib + ic = 0, a tansfomada pode se escita como: ia id = θ T ( ). ib (8.5a) iq ic com π π cos θ cos( θ ) cos( θ + ) T ( θ) = π π (8.5b) sin θ sin( θ ) sin( θ + ) As equações (8.5) são vulgamente utilizadas paa modeliza o compotamento das máquinas sínconas e assínconas. É de salienta que as tansfomações paa o efeencial do oto exigem o conhecimento do ângulo do oto, θ m, que vaia com o tempo. 8.4 Tansfomada dq0 num sistema tifásico A tensão numa bobina com coeficiente de indução L e esistência R como se epesenta na Fig. 8.8 é dada po, dψ v = i + com Ψ = Li (8.6) dt 46

147 47 Fig.8.8: Cicuito RL equivalente a uma bobina. Num efeencial genéico de eixos d-q, as equações coespondentes as (8.6) nesses eixos são: d d d t i v Ψ + = d d (8.7a) q q q t i v Ψ + = d d (8.7b) As equações (8.7) são aplicáveis aos cicuitos do estato e do oto duma máquina tifásica cuja velocidade eléctica do oto é ω. Consideando ψ 0 =0, e a tansfomada de Pak (8.), obtém-se: Ψ Ψ Ψ θ = Ψ Ψ c b a q d ). ( T (8.8) As deivadas dos fluxos de (8.7) nos eixos dq podem se obtidas deivando (8.8). Tendo em conta que θ=ωt+θ 0, esulta: Ψ Ψ Ψ θ + Ψ Ψ Ψ θ = Ψ Ψ c b a c b a q d ). ( ). ( T T & & & & & & (8.9) com a epesentação usual dt dψ = Ψ & e ω θ = θ θ = θ d d d d d d ) ( T T T t &. Tendo em conta (8.8), o desenvolvimento de (8.9) conduz a ωψ ωψ + Ψ Ψ = Ψ Ψ d q q d q d ) ( ) ( & & & & (8.0)

148 com dψ d t ( Ψ & ) = e d d dψ q t ( Ψ & ) =. d q Substituindo (8.) em (8.8), esulta: v v d q = i = i d q dψ + dt d dψ + dt q ωψ + ωψ q d (8.a) (8.b) As equações (8.) são as equações geais num efeencial genéico dq. Com base nelas, obtêm-se modelos mais simples das máquinas sínconas e assínconas consideando efeenciais alinhados com os fluxos do oto, Fig. 8.5, do que os modelos baseados nas tensões e coentes das fases As equações do tipo de (8.) podem se completadas com as equações da potência e do bináio das máquinas tifásicas. Considee-se um sistema de tensões e coentes tifásicas com valoes instantâneos na foma de (8.) no estato duma máquina tifásica. A potência instantânea no estato é dada po p = vi + vi + vi (8.) Aplicando a tansfomada dq0 (.5) a (4.7), esulta p = ( ) v d i d + v q i q + v 0 i 0 (8.) O bináio electomagnético de uma máquina com p paes de pólos esulta da divisão de (4.8) pela velocidade eléctica do oto, ω; substituindo (8.) em (8.4), paa o sistema tifásico simético, esulta: T em = p ( Ψd iq Ψqid ) (8.4) Da equação (8.5) é inteessante veifica que o bináio é poduzido pelos fluxos e as coentes que se encontam em quadatua. As equações (8.) e (8.5) estão na base dos modelos dinâmicos das máquinas elécticas tifásicas [-]. 48

149 8.5 Bibliogafia: [] A.E. Fitzgeald, C. Kingsley, S.D. Umans, Electic Machiney, McGaw-Hill, 6ª Ed. [] Fancesco Osi, Studio del Modelo Dinamico del Moto Asincono, Mathcad Libay, [] Stephen J. Chapman, Electic Machiney Fundamentals McGaw-Hill, 5th Edition, 0 49