Apontamentos de Máquinas Eléctrica

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1 ENIDH Apontamentos de Máquinas Eléctica 00

2 Nota aos leitoes Estes apontamentos destinam-se a apoia o estudo das disciplinas de Máquinas Elécticas e Accionamentos dos cusos de Engenhaia de Sistemas Electónicos Maítimos e de Engenhaia de Máquinas Maítimas. As matéias são expostas com a peocupação de seem uma pimeia abodagem ao estudo das máquinas elécticas e dos seus accionamentos, com natual ênfase no estudo dos cicuitos elécticos e magnéticos que caacteizam as máquinas elécticas, e os cicuitos electónicos dos sistemas que as contolam. Estes apontamentos são uma colectânea oganizada de divesas notas edigidas em tempos difeentes paa apoio das aulas, especialmente sobe máquinas elécticas. Estes apontamentos não são estanques e, sobe muitas matéias, não pescindem o estudo da bibliogafia ecomendada. No fim de cada capítulo e no final destas folhas, apesenta-se uma lista bibliogáfica sobe a matéia aqui apesentada. A leitua de alguns desses livos é muito ecomendada paa o estudo apofundado das matéias expostas. De qualque foma, os apontamentos foam feitos paa os alunos com o intuito de seviem como oientação do estudo, tendo em conta a exposição e a sequência que adopto paa estas matéias. Espeo que deles possam tia o melho poveito. Feveeio de 0

3 ÍNDICE ista das Figuas 5 ista das Tabelas 8 ista de Abeviatuas 8 CAPÍTUO. 9 INTRODUÇÃO 9. Obectivo 9. Nota históica 0 CAPÍTUO. CIRCUITOS MAGNÉTICOS. Campo magnético. Acoplamento magnético 0.3 Poblemas 7 CAPÍTUO TRANSFORMADOR Intodução Tansfomado ideal Tansfomado com pedas Tansfomado eduzido Ensaios do tansfomado Valoes po unidade (pu) Poblemas 5 CAPÍTUO SISTEMAS TRIFÁSICOS Tensões e coentes Potência tifásica Gandezas não sinusoidais Poblemas 65 CAPÍTUO CONVERSÃO EECTROMECÂNICA DE ENERGIA Campo magnético giante Convesoes electomecânicos Poblemas 76 CAPÍTUO MÁQUINAS ASSÍNCRONAS Intodução Constituição das máquinas assínconas Pincípio de funcionamento Cicuito equivalente Cicuito equivalente de Thevenin Ensaios em vazio e com oto bloqueado Aanque e vaiação da velocidade Poblemas ANEXO: Modelo dinâmico da máquina assíncona 95. Desenvolvimento do modelo 95. Simulação do Geado Assíncono com Gaiola 0 3. Resultados da Simulação Conclusões 09 3

4 5. Bibliogafia 09 CAPÍTUO 7. 0 MÁQUINAS SÍNCRONAS 0 7. Intodução 0 7. Reacção do induzido Caacteística em vazio Caacteística em cuto-cicuito Cicuito eléctico equivalente Coeficientes de indução Funcionamento em caga 7.8 Caacteísticas em egime estacionáio Cuto-cicuito simético Máquinas de elutancia vaiável Funcionamento de altenadoes em paalelo 3 7. Poblemas 36 CAPÍTUO TRANSFORMADAS DE CARKE E DE PARK Intodução Tansfomada de Clake Tansfomada de Pak Tansfomada dq0 num sistema tifásico Bibliogafia: 49 4

5 ista das Figuas Fig..: Rega da mão dieita... Fig..: Foça que actua sobe um conduto pecoido pela coente I Fig..3: Difeença de potencial induzida pelo movimento... 4 Fig..4: Cuva de magnetização... 6 Fig..5: Ciclo de histeese... 6 Fig..6: Cicuito magnético tooidal... 7 Fig..7: Densidade de enegia magnética;... 8 Fig..8: Acoplamento magnético ente condutoes.... Fig..9: Bobinas com acoplamento magnético... 3 Fig. 3.: Constituição de um tansfomado monofásico Fig. 3.: Tansfomadoes de pequena potência;... 3 Fig. 3.3: Podução e distibuição de enegia eléctica Fig. 3.4: Tansfomado de alta tensão Fig. 3.5: Tansfomado ideal Fig. 3.6: Modelo eléctico do tansfomado Fig. 3.7: Diagama vectoial em vazio Fig. 3.8: Modelo do tansfomado eduzido ao pimáio Fig. 3.9: Cicuito equivalente do tansfomado eduzido ao pimáio Fig. 3.0: Cicuito equivalente simplificado eduzido ao pimáio... 4 Fig. 3.: Cicuito equivalente simplificado: (a) em vazio; (b) em cuto-cicuito... 4 Fig. 3.: Ensaios do tansfomado: (a) em vazio; (b) em cuto-cicuito Fig. 3.3: Tansfomado monofásico do exemplo Fig. 3.4: Cicuito da Fig. 3.3 em valoes pu Fig. 3.5: Cicuito equivalente do tansfomado eduzido ao pimáio no ensaio de cutocicuito Fig. 3.6: Impedância de cuto-cicuito Fig. 3.7: Cicuito equivalente simplificado eduzido ao pimáio Fig. 3.8: Caacteística extena Fig. 3.9: Cicuito equivalente simplificado Fig. 3.0: Diagama vectoial das tensões Fig. 4.: Máquina eléctica tifásica Fig. 4.: Sistema de uma espia; (a) vaiação do fluxo devido ao movimento; Fig. 4.3: Fem induzidas; (a) diagama tempoal; (b) diagama vectoial Fig. 4.4: Tês cicuitos monofásicos independentes Fig. 4.5: Sistema tifásico com conduto de neuto Fig. 4.6: Tensões tifásicas; (a) esquema; (b) diagama vectoial Fig. 4.7: Altenado com ligação em tiângulo Fig. 4.8: Diagamas vectoiais das coentes nas linhas e nas fases Fig. 4.9: Sistemas de cagas em estela e em tiângulo Fig. 5.: Campo magnético numa espia Fig. 5.: Campo magnético em duas espias pependiculaes Fig. 5.3: Rotação do íman no campo magnético giante Fig. 5.4: Sistema de bobinas tifásico Fig. 5.5: Os campos magnéticos das tês fases Fig. 5.6: Reacção do induzido paa t=π/ Fig. 5.7: Conveso electomecânico de enegia

6 Fig. 5.8: Sistema otativo electomecânico Fig. 6.: Bobina num campo magnético giante Fig. 6.: Constituição de máquinas de indução Fig. 6.3: Pomeno do oto em gaiola de esquilo... 8 Fig. 6.4: Moto monofásico com condensado Fig. 6.5: Cicuito equivalente duma fase do estato Fig. 6.6: Cicuito equivalente/fase da máquina assíncona Fig. 6.7: Tânsito de potência numa máquina assíncona Fig. 6.8: Tânsito de potência no cicuito eléctico equivalente Fig. 6.9: Cicuito eléctico do exemplo Fig. 6.0: dipólo equivalente de Thevenin Fig. 6.: caacteística bináio-velocidade da máquina de indução Fig. 6.: vaiação da caacteística de bináio com a esistência otóica Fig. 6.3: aancado estela-tiângulo convencional Fig. 6.4:: Identificação dos bones de ligação Fig. 6.5:: Esquemas de ligação Fig. 7.: Esquema simplificado de um altenado tifásico... 0 Fig. 7.: Tipos de oto; (a) pólos salientes; (b) cilíndico.... Fig. 7.3: Esquema de um altenado tifásico com excitação pópia... 3 Fig. 7.4: Tânsito de potências no altenado síncono... 3 Fig. 7.5: Caacteística em vazio (com velocidade constante)... 5 Fig. 7.6: Caacteística de cuto-cicuito (com velocidade constante)... 6 Fig. 7.7: Modelo eléctico, po fase, da máquina síncona em egime estacionáio... 7 Fig. 7.8: Cálculo das eactâncias sínconas Fig. 7.9: Eixos magnéticos dos enolamentos... 9 Fig. 7.0: Modelo da máquina com oto cilíndico Fig. 7.: Fluxo numa máquina de pólos salientes; (a) segundo o eixo diecto; (b) segundo o eixo de quadatua; (c) eixos diecto e de quadatua.... Fig. 7.: componentes nos eixos dq da coente na amadua.... Fig. 7.3: Diagamas vectoiais paa o cicuito da Fig. 7.0; (a) coente em ataso; (b) coente em avanço Fig. 7.4: Diagama vectoial paa um geado com pólos salientes... 5 Fig. 7.5: Diagama vectoial paa um geado com oto cilíndico Fig. 7.6: Funcionamento da máquina de oto cilíndico e o ângulo de potência... 6 Fig. 7.7: Potência activa e ângulo de potência da máquina de pólos salientes... 8 Fig. 7.8: Caacteística de egulação... 9 Fig. 7.9: Caacteísticas extenas Fig. 7.0: Coente de cuto-cicuito... 3 Fig. 7.: máquina síncona de elutância vaiável Fig. 7.: Geado síncono ligado à ede Fig. 7.3: sinconoscópio Fig. 7.4: Esquema de um altenado sem escovas (bushless geneato) Fig. 7.5: cicuito de egulação da coente de campo Fig.8.: Campo magnético giante ciado pelas coentes tifásicas no instante t Fig.8.: Campo magnético giante ciado pelas coentes bifásicas com fase α Fig.8.3: Sistemas de eixos (α,β) Fig. 8.4: componentes (α, β)... 4 Fig.8.5: Esquema simplificado da máquina síncona e os seus sistemas de eixos Fig.8.6: Repesentação de i s nos dois sistemas de eixos

7 Fig.8.7: Sequencia da tansfomação dos eixos (a, b, c) paa os eixos (d, q) Fig.8.8: Cicuito R equivalente a uma bobina

8 ista das Tabelas Tabela.: Unidades no SI... 7 ista de Abeviatuas CA Coente Altena CC Coente Contínua fem Foça electomotiz fmm Foça magnetomotiz pu Po Unidade pm otações po minuto ps otações po segundo 8

9 CAPÍTUO. INTRODUÇÃO. Obectivo Os fenómenos elécticos e magnéticos são intedependentes e apaecem na natueza esteitamente inteligados. Esses fenómenos constituem o aspecto visível daquilo que se designa po campo electomagnético. A electotecnia estuda as aplicações do campo electomagnético e umas delas são os convesoes de enegia electomagnética. Duma maneia simplificada, podeemos dize que os convesoes de enegia que aqui inteessam podem se electomagnéticos, electomecânicos e electónicos. As máquinas elécticas podem se encaadas como convesoes de enegia. No caso mais usual, as máquinas elécticas têm pates móveis, e a convesão dá-se ente enegia electomagnética e enegia mecânica, e vice-vesa. Po isso, podem se consideadas como se convesoes electomagnético-mecânicos. O campo electomagnético é uma foma de matéia. Onde ele existe obsevam-se fenómenos caacteísticos cua sistematização teóica foi apesentada po James Clek Maxwell (83-879) ecoendo às célebes equações de Maxwell, publicadas em 873. O campo eléctico é ciado po cagas elécticas, e o campo magnético é ciado po cagas elécticas em movimento, ou sea, po coentes elécticas. As cagas elécticas movem-se devido a difeenças de potencial eléctico. As coentes elécticas que daí esultam ciam campos magnéticos que, se foem vaiáveis no tempo, oiginam po sua vez difeenças de potencial eléctico nos condutoes elécticos que estão na sua poximidade. Esta inteligação As máquinas elécticas utilizam campos magnéticos pemanentes (ciados po imanes), ou ciados po coentes elécticas (electoímanes). Da inteacção ente campos magnéticos e coentes elécticas esultam foças. Estas foças oiginam tabalho mecânico. As máquinas elécticas com pates móveis esultam daquelas inteacções. Todavia, uma das máquinas que estudaemos é o tansfomado. Apesa deste equipamento não te pates móveis, e a convesão de enegia se puamente electomagnética, ele patilha com as outas máquinas pate dos mesmos pincípios e seve de base paa a análise e modelização das outas máquinas. Os tansfomadoes e as máquinas elécticas com pates móveis usam a lei geal da indução e patem do mesmo pincípio: utilizam o campo magnético como meio paa a tansfeência e convesão de enegia. Po este facto, tona-se impotante compeende-se o compotamento e as popiedades dos mateiais magnéticos que são usados na constução destes equipamentos e a teoia do electomagnetismo estudada nas unidades cuiculaes de física. Este texto inicia-se com uma beve nota históica sobe o electomagnetismo. No capítulo, faz-se uma evisão dos cicuitos magnéticos. No capítulo 3 estudam-se os tansfomadoes. O capítulo 4 efee-se aos sistemas tifásicos industiais e à ciação de campos magnéticos giantes. No capítulo 5 intoduz-se o pincípio de funcionamento das máquinas elécticas otativas. No capítulo 6 estudam-se as máquinas elécticas assínconas e no capítulo 7 as máquinas elécticas sínconas. Finalmente, o capítulo 8 é dedicado às máquinas de coente 9

10 contínua. O capítulo 9, diá espeito aos cicuitos electónicos que são utilizados nos accionamentos das máquinas elécticas otativas. No texto, po noma utiliza-se o sistema intenacional de unidades (SI). Este sistema tem tês unidades mecânicas fundamentais: o meto (m), o quilogama-massa (kg) e o segundo (s). A unidade de foça é o newton (N), a unidade de enegia é o oule (J) e a de potência é o watt (W). A unidade fundamental da caga eléctica é o coulomb (C) e a da coente eléctica é o ampée (A). O sistema SI é ainda acionalizado: em muitas equações veifica-se a existência do facto 4π quando se consideam geometias cilíndicas ou esféicas. Paa simplifica os cálculos em muitas equações é intoduzido o facto 4π.. Nota históica A elação ente magnetismo e electicidade foi descobeta em 89 po Oested (Hans Chistian Oested, ). Este cientista dinamaquês descobiu que a coente eléctica (cagas elécticas em movimento) que pecoe um conduto cia um campo magnético nas poximidades desse conduto. O fenómeno foi quantificado posteiomente po Ampée (Andé Ampée, ), que também sugeiu que o magnetismo natual (na magnetite), fosse devido a coentes elécticas micoscópicas nesse mineal. Em 80 Faaday (Michael Faaday, ) quantificou a inteacção ente a coente eléctica e o campo magnético dando oigem à lei que tem o seu nome. Ampée e Heny (Joseph Heny, ) demonstaam, independentemente um do outo, que se podia poduzi uma coente eléctica pelo movimento elativo ente um campo magnético e um cicuito eléctico póximos. Em esultado disto, estavam ciadas as bases teóicas paa a podução de enegia eléctica em laga escala. Conhecedo dos tabalhos de Faaday e de Ampée, Maxwell apesentou em 873 uma teoia integada sobe o campo electomagnético. O seu fomalismo, consubstanciado nas conhecidas equações de Maxwell, constitui a teoia base do electomagnetismo. Tata-se de um tabalho que, fazendo a cúpula sobe os tabalhos anteioes de outos cientistas, pemitiu o desenvolvimento de novas áeas, po exemplo, a popagação das ondas electomagnéticas (telecomunicações e óptica) e das máquinas elécticas, e que mostou esta confome a teoia da elatividade apesentada po Einstein em 905. O electomagnetismo tem impotantes implicações no modo de vida e no desenvolvimento tecnológico actuais. Refia-se, po exemplo, a podução e a distibuição de enegia eléctica, iniciadas nos finais do século XIX, que popocionaam a enegia necessáia paa a actividade industial e o bem-esta das populações. Nesta áea, destacam-se os tabalhos de Thomas Edison (847-93) e de Nikola Tesla ( ). Finalmente, efia-se também a descobeta do tansisto em 948 po Jonh Badeen, Walte Battain e William Schokley, pela qual ecebeam o pémio Nobel em 956. Desde os salões do iluminismo até à descobeta do tansisto, foi dado um gande passo paa a humanidade. Estas descobetas no campo do electomagnetismo estão na base da evolução ciada pelas máquinas elécticas e pela podução, convesão e distibuição da enegia eléctica que estão na base da sociedade industial em que vivemos. Mesmo sem notamos, as máquinas elécticas fazem pate do mundo industializado em que vivemos. Elas são utilizadas nos electodomésticos, nos tanspotes públicos, nos elevadoes 0

11 e escadas olantes, em sistemas de bombagem, na podução e distibuição de enegia eléctica, tanto po meios convencionais que usam combustíveis fósseis como nos sistemas que usam as enegias enováveis. E são também utilizadas nos automóveis, meios de tanspote e na populsão de navios.

12 CIRCUITOS MAGNÉTICOS CAPÍTUO.. Campo magnético O campo magnético é uma foma de matéia e manifesta-se, ente outos fenómenos, pelas foças mecânicas que actuam sobe mateiais feosos e cagas elécticas em movimento. O campo magnético é ciado po coentes elécticas e é quantificado fisicamente po duas gandezas vectoiais: - campo de indução magnética, B ; - campo de excitação magnética, H. O campo de indução magnética, ou simplesmente campo B, tem um caácte foça e está associado à foça que actua uma caga eléctica, q, que se move com velocidade v no inteio desse campo: F = q ( v B) (.) A foça (.) é designada po foça de oentz; epesenta o poduto exteno dos vectoes: a foça é pependicula ao plano definido pelas diecções de v e de B e o seu sentido é o da pogessão de um saca-olhas quando oda do pimeio ( v ) paa o segundo vecto ( B ). Esta é a designada ega do saca-olhas ou ega da mão dieita: Fig..: Rega da mão dieita Sendo α o meno ângulo fomado pelas diecções de v e de B, a intensidade da foça de oentz (.) é F = q v B senα (.)

13 A foça de oentz não é indicada paa desceve a acção dum campo magnético sobe cagas elécticas num meio conduto metálico. Poque cagas elécticas em movimento dão oigem a coentes elécticas, é pefeível considea nesse caso o efeito do campo magnético sobe um conduto eléctico pecoido po uma coente de intensidade I. Consideando que a coente eléctica é igual à deivada da caga em odem ao tempo, d q i = d t (.3) e intoduzindo (.3) em (.), conclui-se que a foça elementa que actua um conduto elementa de compimento dl pecoido po uma coente de intensidade I é dada po df = I( dl B) Paa um conduto ectilíneo de compimento, o integal de (.4) conduz a (.4) F = I ( B) (.5) Sendo α o meno ângulo fomado pelas diecções de I e de B, a intensidade da foça (.5) é F = I B senα (.6) As equações (.4) e (.5) descevem a foça que actua um conduto pecoido po uma coente quando submetido a um campo magnético exteio; esta foça, que é fequentemente designada po foça de aplace, é pependicula ao conduto e depende das intensidades do campo e da coente, Fig... Fig..: Foça que actua sobe um conduto pecoido pela coente I. As equações (.) e (.5) elacionam a acção mecânica poduzida pelo campo de indução magnética sobe um conduto pecoido po uma coente eléctica; taduzem afinal uma convesão ente as enegias electomagnética e mecânica. Do estudo da Física sabe-se que o 3

14 fenómeno é evesível: se, po acção duma foça, um conduto se move no seio dum campo magnético, o movimento oigina uma foça electomotiz ε (e uma difeença de potencial u) aos teminais desse conduto; e se o conduto fize pate dum cicuito eléctico fechado, a difeença de potencial povocaá a existência duma coente eléctica nesse cicuito, Fig..3. Fig..3: Difeença de potencial induzida pelo movimento. Repesentando po ε a foça electomotiz (fem) induzida pelo movimento (com velocidade v ), e po Φ o fluxo do campo magnético, é dφ ε = = u (.7) A equação (.7) é designada po lei geal da indução (lei de Faaday). Sendo B unifome, a vaiação de fluxo é popocional à áea vaida, A: dφ da ε = = B (.8) Consideando a velocidade constante, d A = dx = v ; substituindo em (.8), obtém-se ε = B v (.9) As figuas. e.3 e as equações (.6) e (.9) elacionam acções electomagnéticas e mecânicas que se veificam em condutoes elécticos no seio de campos magnéticos. O campo de excitação magnética, ou simplesmente campo H, é um campo deivado que taduz a modificação do campo B povocada pelo estado magnético do meio mateial. A elação ente os dois campos é dada po B v H = M (.0) µ 0 onde µ 0 é a pemeabilidade magnética do vazio e M v é o vecto de magnetização que 7 desceve o estado magnético do mateial. No SI, µ 0 = 4π 0 Hm, o campo H é medido em ampee/meto (Am - ) e o campo B é medido em tesla (T). 4

15 Fluxo de uma gandeza vectoial O fluxo elementa do campo magnético, dφ, é popocional ao númeo de linhas de foça do campo que atavessam a poecção da supefície ds sobe um plano pependicula à diecção de B. φ = dφ = B.dS (.a) S S A noção de fluxo é aplicável a qualque gandeza vectoial, não impotando a sua natueza física, e está associado à noção de caudal. No sentido do escoamento, isto é, na diecção da nomal d S, o fluxo é positivo, e no sentido inveso é negativo. O fluxo do campo magnético atavés duma supefície S fechada é nulo: φ = dφ = B.dS = 0 (.b) S S Quando sueitos a um campo magnético exteio B suficientemente intenso, existem mateiais cuos momentos magnéticos dos electões tendem a oienta-se segundo diecções bem definidas em elação ao campo magnético exteio; neste caso a magnetização, M v, não é nula, e se fo popocional a B, a elação ente B e H pode se escita na foma B = µ H (.) onde µ é a pemeabilidade magnética do mateial: µ = µ µ 0, sendo µ uma constante adimensional designada po pemeabilidade magnética elativa desse mateial. Em muitos mateiais, a elação ente B e M v não é simples, depende da intensidade de B, e (.) não taduz uma elação linea. Po exemplo, na Fig..4 epesenta-se a elação ente B e H paa um mateial feomagnético. Na cuva de magnetização da Fig..4 veifica-se que paa valoes cescentes de H, no intevalo [0, H ], a elação ente B e H é apoximadamente linea e que no intevalo [H, H ] não o é. Veifica-se também que os valoes de B de H não coincidem nas cuvas cescentes e decescentes de H. Este fenómeno é designado po histeese. Na cuva decescente, quando H se anula (H=0) o mateial mantém um campo magnético esidual, B e paa se anula a magnetização do mateial é necessáio invete o sinal de H até ao valo H c designado po campo coecivo. A histeese é comum a todos os mateiais feomagnéticos e tem oigem na convesão ievesível ente a enegia magnética e enegia témica que se obseva pelo aquecimento do mateial quando é magnetizado. Ao vaia continuadamente a excitação ente H a +H, o as tocas de enegia estabilizam e obtém-se a cuva da Fig..5 a que se dá o nome de ciclo de histeese. 5

16 Fig..4: Cuva de magnetização. A áea definida pelo ciclo de histeese, Fig..5, é popocional à enegia convetida ievesivelmente em calo duante o pocesso de magnetização do mateial, po vaiação continuada de H, po exemplo, desde H a +H, com etono a H. A enegia pedida po aquecimento designa-se po pedas po histeese e seá efeida mais adiante. Fig..5: Ciclo de histeese. Considee-se o cicuito magnético da Fig..6 constituído po um too de mateial feomagnético com secção cicula S, em tono do qual se enolam n espias de fio de cobe isolado. A bobina constituída deste modo é pecoida pela coente I dando oigem ao campo magnético B no too, cua linha de foça média tem aio. Com i 0, existiá no too o fluxo φ e o fluxo total associado à bobina de n espias é ψ = n φ (.3) 6

17 Se a esistência das n espias do fio de cobe fo R, a equação que ege o cicuito da Fig. (.6) é dψ E = Ri + (.4) Fig..6: Cicuito magnético tooidal. Como condições iniciais de (.4), considea-se que no instante inicial quando o cicuito é ligado, t=0, se tem i ( 0) = 0 e ψ ( 0) = 0. O fluxo Ψ cesceá com o aumento da coente, sendo o cescimento popocional à coente quando o meio é linea, Multiplicando ambos os membos de (.4) po id t, esulta E i = Ri + i dψ (.5) O pimeio membo de (.5) epesenta a enegia cedida pela fonte de fem E duante o intevalo de tempo ; Ri epesenta a enegia dissipada na bobina po efeito de Joule no mesmo tempo; i dψ epesenta a enegia utilizada paa cia o campo magnético B. Com dw m = i dψ, a enegia total do campo magnético no too quando Ψ vaia de 0 a Ψ max é ψ max W m = i dψ (.6) 0 Consideando que o campo no too é constante, aplicando (.a) ao cicuito da Fig..6, obtém-se φ = S B. d S = B S (.7) Se não existi satuação, (.3) taduz uma elação linea, µ é constante e total associado à bobina é B = µ H ; o fluxo ψ = n φ = n B S (.8) Recode-se a lei de Ampée, ou lei da coente total: 7

18 H. d l = n I (.9) l Paa o too da Fig..6, calculando a ciculação do campo H ao longo da linha de foça média de aio, de (.9) esulta: H l = n I (.0) com l=π. Substituindo (.8) e (.0) em (.6), obtém-se Bmax Bmax Bmax H l W m = S n db = H V db = V H db (.) n em que V=lS é o volume do too. O último integal da dieita de (.) epesenta a enegia amazenada pelo campo magnético po unidade de volume do too (é a densidade de enegia po unidade de volume). A enegia total associada ao campo magnético B max é então popocional à áea sombeada da Fig..7(a). Fig..7: Densidade de enegia magnética; (a) com o campo B max ; (b) pedas po histeese. Em meios lineaes, ou se não existi satuação, é associada ao campo magnético B max é dada po B = µ H, e de (.) esulta que a enegia Bmax H d max B W V H B V max m = = (.) 0 A áea sobeada da Fig..7(b) epesenta a enegia pedida po unidade de volume ao magnetiza o mateial de H até H max e volta a H=0. Esta é austificação poque a áea 8

19 limitada pelo ciclo de histeese na Fig..5 é popocional às pedas po histeese duante um ciclo de magnetização. Os mateiais feomagnéticos duos têm ciclos de histeese com áeas gandes e dão oigem a maioes pedas po histeese, não sendo adequados paa a constução de máquinas elécticas, em geal. Chama-se foça magnetomotiz (fmm) à ciculação do vecto H ao longo dum caminho fechado, l, como se apesenta em (.9): fmm = H. d l = n I (.3) l Paa o cicuito da Fig..6, despezando a satuação, subtituindo (.7) em (.0) obtém-se l φ = n I (.4) µ S A facção de (.4) é a elutancia magnética do too (R m ). A equação (.4) taduz a lei de Ampée escita em função do fluxo e é fequentemente designada po lei de Hopkinson. φ R m = n I, com l R m = (.5) µ S A elutância magnética depende da geometia e da constituição do mateial e, no caso geal, depende do fluxo do campo magnético. A elutância magnética taduz a maio ou meno facilidade com que um dado mateial pode se atavessado po linhas de foça do campo magnético. Fequentemente, os cicuitos magnéticos são caacteizados pelo inveso da elutância magnética a que se chama pemeância. Multiplicando ambos os membos de (.5) pelo númeo de espias n, e eaanando, obtémse: n ψ = n φ = I (.6) Rm De acodo com (.6), em meios lineaes, o fluxo total associado à bobina é popocional à intensidade da coente eléctica; a constante de popocionalidade chama-se coeficiente de indução da bobina, : n = (.7) R m ψ = I (.8) No caso geal, a elação Ψ(i) não é linea, e depende da coente. A elação Ψ(i) é ainda dada pela cuva da Fig..4 intoduzindo as adequadas mudanças nas escalas dos eixos. Po l exemplo, paa o too da Fig..6 seia ψ = n S B e I = H. n Em meios lineaes, é constante e substituindo (.8) em (.6), esulta que a enegia magnética ciada po uma bobina pecoida pela coente eléctica com intensidade I é dada po 9

20 Wm = I (.9) Tendo em conta (.7) a fem induzida pela vaiação do fluxo do campo magnético numa bobina de n espias é dφ dψ ε = n = (.30) Substituindo (.8) em (.30), obtém-se: di ε = (.3) d t De acodo com (.3), a fem induzida é popocional à taxa de vaiação da coente no tempo, e seá nula se a coente fo constante. Substituindo (.8) em (.5), esulta: E i = Ri + i di (.3) A potência posta en ogo pelo geado da Fig..6 é então di p = E i = Ri + i (.33) O segundo membo de (.33) é a soma da potência de pedas na bobina po efeito de Joule com a potência associada à ciação do campo magnético no too. Quando i é constante, a potência do geado equiliba apenas as pedas po efeito de Joule no conduto da bobina, sendo a enegia magnética constante. Paa efoça o campo magnético, as bobinas são enoladas sobe nucleos de baixa elutância magnética. Os mateiais usualmente utilizados são também condutoes e estão no seio de campos magnéticos vaiáveis. Po esse facto, são induzidas coentes paasitas (eddy cuents), designadas po coentes de Foucault, que têm tês efeitos: () aquecem o mateial po efeito de Joule; () dão oigem a campos magnéticos que se opõem ao campo exteio enfaquecendo-o; (3) dão oigem a foças electomagnéticas. As coentes de Foucault povocam pedas que se pocuam eduzi com a utilização de núcleos com esistência eléctica elevada. A soma das pedas po hiteese e às devidas às coentes de Foucault constitui aquilo que se designa po pedas no feo e estão pesentes em todas as máquinas elécticas.. Acoplamento magnético Os cicuitos elécticos têm acoplamento magnético quando patilham o mesmo campo magnético. Na Fig..8 epesentam-se dois condutoes ( e ) pecoidos pelas coentes i e i, espectivamente. Considea-se que os condutoes estão peto um do outo, de tal foma que as coentes ciam em tono do seu conduto um campo magnético cuo fluxo, pacialmente, atavessa também o outo conduto. 0

21 Fig..8: Acoplamento magnético ente condutoes. O fluxo total φ ciado pela coente i é composto pela soma de duas pacelas: φ que só envolve o conduto e φ que envolve também o conduto. E de modo semelhante paa o fluxo total φ ciado pela coente i : i φ = φ + φ i φ = φ + φ (.34) Se os dois condutoes tiveem n e n espias, espectivamente, os fluxos totais associados a cada bobina são, espectivamente, dados po ( φ ± φ) = ψ ± ψt = n ψ ( φ ± φ ) = ψ ± ψt = n ψ (.35) em que ( φ + ) ψ = n φ é o fluxo associado à bobina que é ciado pela pópia coente, i ; ( φ + ) ψ = n φ é o fluxo associado à bobina que é ciado pela pópia coente, i ; Em (.35) usa-se o sinal + se os fluxos são aditivos (concodantes) e o sinal se são subtactivos (antagónicos). Os fluxos Ψ e Ψ, que atavessam uma bobina mas que são ciados pela coente da outa, fazem o acoplamento magnético ente as duas bobinas. Se o meio fo linea, tendo em conta (.8), cada um dos fluxos em (.35) pode se elacionado com a espectiva coente atavés de um coeficiente de indução : ψ ± ψ = i ± i (.36a)

22 ψ ± ψ = i ± i (.36b) Pode-se demonsta que = e, poque elacionam o fluxo que atavessa uma bobina com a coente na outa bobina, designam-se po coeficientes de indução mútua, sendo fequentemente epesentados po M (M= = ). Os coeficientes e são designados po coeficientes de indução pópia ou de auto-indução das bobinas. Tendo em conta (.30), a fem total induzida em cada bobina é dada po ψt di e t = = m d ψ t di e t = = m di M d di M (.37) Tendo em conta (.9), num meio linea, a enegia dw associada ao fluxo de cada bobina devido à pópia coente é W = I (.38a) W = I (.38b) A enegia associada ao fluxo de acoplamento magnético é I I W = = I M di = I M di M II (.39) 0 0 A enegia magnética total do cicuito com acoplamento magnético seá a soma das duas equações (.38) com (.39): W mt = I + I + M II (.40) O acoplamento magnético ente cicuitos pode não se deseável sendo apenas consequência da poximidade a que se encontam. Quando o acoplamento magnético é expessamente deseado paa tona possível a uma tansfeência de enegia ente as duas bobinas, os fluxos φ e φ da Fig..8 devem se eduzidos poque não inteligam magneticamente as bobinas, sendo então, do ponto de vista enegético, consideados como pedas. Paa melhoa o acoplamento magnético, nomalmente enolam-se as duas bobinas em tono de um núcleo de baixa elutância magnética. Esta situação é epesentada na Fig..9, na qual o fluxo no too, φ m, ealiza o acoplamento magnético das bobinas.

23 Fig..9: Bobinas com acoplamento magnético. As bobinas de n e n espias são pecoidas pelas coentes i e i, espectivamente. O fluxo total associado a cada bobina pode se decomposto na soma de duas pacelas: φ m que é o fluxo de magnetização no too esultante daqueles ciados pelas coentes das bobinas; e os fluxos de dispesão φ d e φ d. Os fluxos de dispesão φ d e φ d fecham-se pelo no a, não tansfeem enegia ente as duas bobinas, e coespondem aos fluxos φ e φ da Fig..8 que envolvem apenas os espectivos condutoes. Sea R m a elutância magnética do too; os fluxos associados a cada bobina são, espectivamente, ( φd + φm ) = ψ d + ψ t = n ψm (.4a) ( φd + φm ) = ψd + ψ t = n ψm (.4b) com n i ± n i φ m = Rm (.4c) n i ± nn i ψ m = Rm (.4d) n i ± nn i ψ m = Rm (.4e) Tendo em conta (.8) e admitindo que não existe satuação, a pati de (.4) podem se definidos os seguintes coeficientes de indução: - de magnetização da bobina, - de magnetização da bobina, n m = R (.4a) m n m = R (.4b) m 3

24 n n - de indução mútua, M = = = ± (.43) R m Numa foma semelhante a (.4), podem se definidos os seguintes coeficientes de autoindução de dispesão: - da bobina, n d = (.44a) Rm0 n - da bobina da bobina, d = (.44b) Rm0 sendo R m0 uma elutância magnética equivalente às linhas de foça no a. Com os coeficientes de indução definidos atavés das equações (.4) a (.44), as equações (.4) podem se escitas da seguinte foma: n n n n ψ t = + i ± i (.45a) Rm0 R m Rm n n n n ψ t = ± i + + i (.45b) R m Rm0 Rm De (.45) esultam os coeficientes de auto-indução das bobina e, espectivamente, = d + m (.46a) = d + m (.46b) As equações (.45) são equivalentes às (.35) fazendo φ d = φ, φ d = φ φ m = φ ± φ. e Tendo em conta (.4), (.43) e (.46), as equações (.45) podem se escitas na seguinte foma maticial (consideando fluxos concodantes, paa maio simplicidade de escita): ψ ψ t t = M M i i (.47) O deteminante de M M é M = = M. 4

25 Define-se facto de acoplamento magnético ao valo adimensional M k =. Se a dispesão magnética fo nula, de (.45) esulta M =, e então k= e =0; se os cicuitos estiveem magneticamente desacoplados, M=0 e k=0. Desta foma, k é uma medida da qualidade do acoplamento magnético ente dois cicuitos e, consequentemente, deve se 0 k <. Tendo em conta (.37) deivando (.47) obtém-se as fem induzidas em cada bobina: e e t t = M di M d i (.48) Genealizando, se na Fig..9 as bobinas tiveem esistências R e R, espectivamente, as tensões aos seus teminais são dadas pelas equações seguintes: u u R = 0 0 i R i + M di M d i (.49) Se 0, (.49) pode se escita na foma de um modelo de estado, di = d i M M R 0 0 i R i + M M u u (.50) A equação (.50) é o modelo matemático completo do cicuito da Fig..9, e a sua solução, [ i ( t) i ( t ] t ), pode se obtida po integação, conhecidas que seam as tensões u (t) e u (t) e as condições iniciais [ i ( 0) i (0)] t. Neste cuso, estaemos paticulamente inteessados em tensões industiais do tipo altenado sinusoidal cuo valo instantâneo pode se epesentado pela função u ( t) = U cos( t + α) ; U é a amplitude da tensão, é a pulsação (=πf) e α é a fase na oigem, isto é, a fase paa t=0. Paa gandezas altenadas sinusoidais, as soluções foçadas podem se calculadas no domínio da fequência. Nesta mudança de domínios, os valoes instantâneos são substituídos po d amplitudes complexas e o opeado deivada é substituído po :. Po exemplo, considee-se a tensão u ( t) = U cos( t + α). Paa os domínios do tempo e da fequência são válidas as seguintes coespondências: 5

26 6 Domínio do tempo Domínio da fequência ) cos( ) ( α + = t U t u α = U e U t t u d ) ( d U (.5) ) cos( d ) ( d π + α + = t U t t u ) ( π α+ = e U U Aplicando (.5) a (.49), esulta: + = 0 0 I I I I U U M M R R (.5) E simplificando, obtém-se: + + = I I U U R M M R (.53) Conhecidas as coentes sinusoidais nas bobina da Fig..9, a equação (.53) pemite o cálculo das amplitudes complexas das tensões aos teminais das bobinas. Po outo lado, sendo conhecidas as amplitudes complexas das tensões, se a matiz das impedâncias fo invetível, as amplitudes complexas das coentes são dadas po: + + = U U I I R M M R (.54) De (.54) esulta: ( ) ( )( ) M R R M R = U U I (.55a) ( ) ( )( ) M R R M R = U U I (.55b) As unidades das gandezas magnéticas que temos estado a tata, no sistema intenacional de medidas (SI), estão esumidas na tabela..

27 Tabela.: Unidades no SI Gandeza Unidade Símbolo B tesla T H ampee/m Am - Ψ, Φ webe Wb heny H R m /heny H - fmm ampee-espia Ae.3 Poblemas. A Fig..P epesenta um cicuito magnético constituído po um too de mateial feomagnético unifome com pemeabilidade magnética elativa µ Fe em tono do qual se enolaam n espias de um fio conduto isolado; o too tem o aio médio R, a secção ecta unifome S e um entefeo de espessua δ. Não existindo satuação, calcule: a) a elutância magnética do feo e do a; b) a elutância magnética total do núcleo; c) o fluxo do campo magnético no too; d) os campos de indução e de excitação magnéticos no feo e no a; e) o coeficiente de auto-indução da bobina; f) a enegia magnética amazenada no feo e no a; g) a fmm necessáia paa duplica o campo magnético de indução no a. µ O = 4π.0-7 Hm - R= cm; δ=mm; S=0,79 cm ; I= A; n=00; µ Fe =7000. Fig..P. Considee o cicuito da Fig..P com o entefeo δ=0,mm. Calcule os campos de indução e de excitação magnéticos, e a enegia magnética, no feo e no a..3 A Fig..P epesenta um cicuito magnético constituído po um too de mateial com pemeabilidade magnética elativa µ, com o aio médio R e a secção ecta unifome S, em tono do qual se enolaam duas bobinas de fios condutoes isolados com n e n espias, espectivamente. Consideando que não existe satuação, com a bobina n em vazio, obtenha a tensão u (t), nos seguintes casos: 7

28 a) i(t)= A; b) i(t)= +t A; c) i( t) = cos( t) A. µ O = 4π.0-7 Hm - R= cm; S=0,79 cm ; n =00; n =50; µ =000; Fig..P.4 Paa o cicuito da Fig..P, obtenha os coeficientes de indução pópia e mútua das duas bobinas..5 Na Fig..P3, R epesenta a esistência da bobina n enolada em tono do too da Fig..P3. Obtenha: (a) a coente i(t) quando se liga uma tensão contínua U=6V à bobina n, com i(0)=0; (b) a tensão u (t), quando se liga tensão contínua da (a). R = 3 Ω. Fig..P3.6 A Fig..P4 apesenta o cote num oto com compimento l e aio R, que contém uma espia pecoida pela coente contínua I, e que gia no seio dum campo magnético unifome B. Calcule: (a) o bináio que actua o oto em função de θ; (b) as posições do oto paa as quais o bináio é nulo e aquelas em que é máximo. (c) Calcule a fem induzida na espia em vazio (I=0) quando o oto oda com a velocidade constante N=60 pm. (d) Repita a (c) consideando uma bobina de 0 espias odando à mesma velocidade. l=0 cm R=5 cm I=5 A B=0,9T Fig..P4 8

29 .7 Considee o cicuito magnético da Fig..P5(a). O mateial do too tem a caacteística de magnetização apoximada da Fig..P5 (b). A bobina n está em vazio. R= cm; S= cm ; n =00; n =00; µ =000; µ O = 4π.0-7 Hm - (a) (b) Fig..P5 Obtenha o diagama tempoal da tensão u (t) se i( t) = cos(34t) A. Bibliogafia A.E. Fitzgeald, C. Kingsley, S.D. Umans, Electic Machiney, McGaw-Hill, 6ª Ed. Stephen J. Chapman, Electic Machiney Fundamentals McGaw-Hill, 5th Edition, 0. 9