CONTEÚDO. Relações e Composições. Relações e Composições. Relações e Composições. O que é inferência?

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Alexandre Camilo Marques
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1 CONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico Conceitos Básicos Deinição, Características e Formas de Imprecisão Conjuntos Fu ropriedades, Formas de epresentação e Operações Lógica Fu elações, Composições, Modus onens Generaliado Aplicações O que é inerência? remissa : Temperatura = 75 remissa : SE Temperatura é ALTA ENTÃO Vaão é grande Conclusão: Vaão =? Temperatura = 75 SE Temperatura é ALTA ENTÃO Vaão é grande Vaão =? elação simples (um conjunto u) elação de Implicação A B Composição das elações o

2 elações Fu Composições de Composições de elações Fu elação Crisp: epresenta a presença ou ausência de associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos. elações Binárias: aquelas que envolvem dois conjuntos X e Y (X,Y) Dados os universos X e Y, a relação crisp deinida em X x Y é um subconjunto do produto cartesiano dos dois universos, tal que : X x Y {,} unção característica OBSEVAÇÃO: Como (X,Y) também é um conjunto, todas as operações de conjuntos crisp podem ser aplicadas sem modiicação. ( x, ) = se e somente se ( x, ) em caso contrário

3 Exemplo : Seja X = {-, -, -,,,, } Seja Y = {,,,, 5} ual a elação (X,Y) = {(x,) / x } Exemplo : Seja X o conjunto de todos os sistemas contínuos, lineares, de segunda ordem (U,V) = { (,); (,); (,); (,); (,); (,)} Exemplo : Seja X o conjunto de todos os sistemas contínuos, lineares, de segunda ordem X = { x, x } = {sistema variante no tempo, sistema invariante no tempo} e SejaY o conjunto dos pólos de tais sistemas Y = {, } = {pólos no lado esquerdo do s-plano, pólos no lado direito do s-plano} Exemplo : elação de Estabilidade entre X e Y Sistemas Estáveis Sistemas Invariante no Tempo E ólos (no lado esquerdo do s-plano) s

4 Exemplo : elação de Estabilidade entre X e Y x x (U,V) = {sistema{ invariante no tempo, pólos no semi-plano esquerdo} x x Y elações Fu Composições de Composições de elações Fu MATIZ ELACIONAL DIAGAMA SAGITAL elações Fu elação Fu: epresenta o grau de associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos u. Exemplos: x é muito maior que é bem próximo de x é muito mais alto que Se x é grande Então é pequeno elações Fu A relação u (X,Y) éum conjunto u caracteriado pela unção de pertinência µ (x,) x X e Y (X,Y) = { [(x,), µ (x,)] / (x,) X x Y}

5 elações Fu OBSEVAÇÃO: Como as relações u são também conjuntos u, as operações com essas relações podem ser deinidas utiliando os operadores de UNIÃO, INTESEÇÃO e COMLEMENTO. elações Fu EXEMLO : SejaX e Y conjuntos de números reais (X,Y) = o alvo x está próximo do alvo µ (x) µ róximo ximo ( x - ) = máx m x [ 5 - x -, ] 5 5 x - Exemplo : elações Fu X = {x, x,x } = {8,, } Y = {,,, } = {,,, } (X,Y) = x é muito maior do que Exemplo : elações Fu X = {x,x } = {Fortalea, Florianópolis} Y = {,, } = {orto Alegre, Criciúma, Curitiba} : "muito próxima". x µ mm (x,) = x. x

6 elações Fu elações Fu Matri elacional para o caso crisp Matri elacional para o caso u orto Alegre Criciúma Curitiba orto Alegre Criciúma Curitiba x Fortalea x Florianópolis x Fortalea,,, x Florianópolis,8,8 elações Fu Composições de Composições de elações Fu epresenta um papel muito importante em sistemas de inerência u 6

7 Seja (X,Y) e (Y, Z) duas relações crisp nos espaços X x Y e Y x Z, Z respectivamente. Composição (X,Z) das relações crisp e ( X, Z ) = ( X, Y ) o ( Y, Z ) (X, Z) = (X,Y) (Y, Z) (X, Z) é um subconjunto de X x Z tal que: (x,) (X, Z) se e somente se existir pelo menos um Y tal que (x,) e(,) e Exemplo: x x x (U,V) (V,W) A operação realiada para se obter a composição das relações pode ser representada por: Composição MÁX-MÍN: MÍN: (U,W) = (U,V) (V,W) ( x, ) ( x, ) {( x, ), max [ min( ( x, ), (, ))]} = o = Composição MÁX-ODUTO: x x x ( x, ) ( x, ) {( x, ), max [( ( x, ) (, ))]} = o = 7

8 Exemplo (caso crisp): x ( X, Y ) = x x = ( Y, Z) x x x x ( X, Z) = x x (X,Z) = (X,Y) (Y,Z) Exempliicando para o cálculo do elemento (x, ) de (no exemplo): ( x, ) = {( x, ), max [ min( ( x, ) = {( x, ), max [ min( min( ( x, ), ( x, ), (, )), min( ( x, ) = {( x, ), max [,,,)]} = (, )), min( ( x, ), ( x, ), ( x, ), (, ))]} = (, )), ( x, ) = {( x, ), max [ min(,), min(,), min(,), min(,)]} o (, ))]} Em composições crisp se obtém o mesmo resultado para MÁX-MÍN MÍN e MÁX-roduto Cada elemento de (X,Y) pode ser obtido por meio da multiplicação das matries (X,Y) e (Y,Z) observando-se que: cada multiplicação deve ser eetuada com o operador adequado: mínimo ou produto cada adição deve ser eetuada com o operador máximo elações Fu Composições de Composições de elações Fu 8

9 Composições Fu Composição u a-se uma generaliação do caso não-u µ ( x, ) µ ( x, ) = sup [ µ ( x, ) (, )] = o µ a norma-t é usualmente o min ou o produto para universos initos, o sup é o max Exemplo : Estudantes: X = {Maria, João, edro} Características de cursos Y = {teoria, aplicação, hardware, programação} Cursos Z = {lógica u, controle u, redes neurais, sistemas especialistas} Exemplo (continuação): Exemplo (continuação): Interesse dos estudantes, em termos das Características dos cursos: características dos cursos: t edro, ( X, Y ) = Maria João,5 a,,9 h,8,5 p,,5 LF t, ( Y, Z ) = a h p, CF,5,,5 N,6,8,7,8 SE,,8 9

10 Exemplo (continuação): A composição (max-min) pode servir de auxílio aos estudantes na escolha dos cursos: Exemplo : X = { x, x, x } Y = {,,, } Z = {,, } LF edro, o = Maria João,5 CF,5,9 N,8,6,8 SE,8,5 Obs: ao contrário deste exemplo, a composição max-produto geralmente não produ o mesmo resultado! x é muito maior do que E é muito próximo de µ mm (x,) µ mp (,) µ mm mp (x, x,) =? Exemplo (continuação): Caso especial: é um conjunto u apenas elações dadas: µ mm (x,) = x x x Composição max-min x x x em ve de µ ( x, ) tem-se µ (x), o que é equivalente a se ter X = Y µ mp (,) = Composição max-produto x x x µ ( ) = sup [ µ ( x) ( x, )] µ x Obs.: resultado undamental para sistemas de inerência u!

11 Exemplo: x é mediamente grande E é muito menor do que x X = { x, x, x, x, x 5 } = {5,, 5,, 5} Z = {,,, } = {,,, } µ mg (x) = {,;,7; ;,7;,} µ mm (x,) = x x x x x Composição max-min µ () = {/;,8/;,7/;,6/}

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