Números fuzzy interativos

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1 Números fuzzy interativos Francielle Santo Pedro Orientador: Laécio Carvalho de Barros Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica- IMECC Unicamp - Campinas 29 de Agosto, 2013 Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

2 Distribuição de possibilidade Definição Uma distribuição de possibilidade sobre Ω Φ é uma função µ : Ω [0, 1] satisfazendo sup µ(ω) = 1. ω Ω Definição Sejam A 1, A 2,..., A n F(R) números fuzzy e C F c (R n ), então µ C é uma distribuição de possibilidade conjunta de A 1,..., A n se max µ C(x 1, x 2,..., x n ) = µ Ai (x i ). x j R,j i Além disso, µ Ai é chamada a i-ésima distribuição marginal de C. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

3 Exemplo: Se C denota a distribuição de possibilidade conjunta de A, B F(R), então max y para todo x, y R. Observação µ c (x, y) = µ A (x) e max µ c (x, y) = µ x B (y), Se C é uma distribuição de possibilidade de A 1,..., A n F c (R n ), então a seguinte relação é satisfeita e µ C (x 1,..., x n ) min {µ A1 (x 1 ),..., µ A2 (x n )} [C] α [A 1 ] α [A 2 ] α... [A n ] α, para todos x = (x 1, x 2,..., x n ) R n e α [0, 1]. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

4 Interatividade entre números fuzzy Definição Os números fuzzy A 1, A 2,...A n são ditos não interativos se, e somente se, sua distribuição de possibilidade conjunta C satisfazer ou equivalentemente, µ C (x 1,..., x n ) = min {µ A1 (x 1 ),..., µ An (x n )}, [C] α = [A 1 ] α... [A n ] α, para todo α [0, 1]. Caso contrário, são ditos interativos. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

5 Figura: Números fuzzy não interativos. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

6 O Princípio de extensão para números fuzzy interativos Definição Seja C uma distribuição de possibilidade conjunta com distribuições de possibilidades marginais µ A1,..., µ An, e seja f : R n R m uma função contínua. A extensão, via C, aplicada em A 1, A 2,..., A n é o subconjunto fuzzy de R m, f C (A 1, A 2,..., A n ) cuja função de pertinência é sup µ C (x 1,..., x n ) se f 1 (y) µ (y) = y=f (x 1,...,x n) fc (A 1,...,An) 0 se f 1 (y) =, sendo f 1 (y) = {(x 1,..., x n ) : f (x 1,..., x n ) = y}. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

7 Aritmética Quando µ C (x 1, x 2 ) = min {x 1, x 2 } a soma e subtração de dois números fuzzy A e B com α-nívies dados por [a1 α, aα 2 ] e [bα 1, bα 2 ], é dada por: A soma de dois números fuzzy A e B é o número fuzzy A + B cujos α-níveis são A + B = [a α 1 + bα 1, aα 2 + bα 2 ]. A diferença de dois números fuzzy A e B é o número fuzzy A B cujos α-níveis são A B = [a α 1 bα 2, aα 2 bα 1 ]. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

8 Proposição Sejam A 1, A 2,..., A n F(R) números fuzzy, C sua distribuição de possibilidade conjunta e f : R n R uma função contínua. Então, para todo α [0, 1]. [f C (A 1, A 2,..., A n )] α = f ([C] α ), Teorema Sejam A, B F(R) números fuzzy linearmente correlacionados, seja C sua distribuição de possibilidade conjunta e f : R 2 R 2 uma função contínua. Então, [f C (A, B)] α = f ([C] α ). Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

9 Números fuzzy linearmente correlacionados Definição Dois números fuzzy A e B são ditos linearmente correlacionados se existem q, r R, com q 0, tais que sua distribuição de possibilidade conjunta é dada por sendo µ C (x, y) = µ A (x)x {qx+r=y} (x, y) = µ B (y)x {qx+r=y} (x, y) X {qx+r=y} (x, y) = { 1 se qx + r = y 0 se qx + r y é a função característica da reta {(x, y) R 2 : qx + r = y}. Neste caso, se [A] α = [a1 α, a2 α ] então [B] α = q[a] α + r, [C] α = {(x, qx + r) R 2 : x = (1 s)a1 α + sa2 α, s [0, 1]}, para α [0, 1] e µ B (x) = µ A ( x r ), q 0, x R. q Observação: Dados q e r, a primeira distribuição marginal determina completamente a segunda, e vice e versa. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

10 Números fuzzy linearmente correlacionados Definição Números fuzzy A e B são ditos linearmente positivamente (negativamente) correlacionados se q é positivo (negativo) na definição anterior. Figura: Números fuzzy linearmente positivamente correlacionados. Figura: Números fuzzy linearmente negativamente correlacionados. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

11 Operação aritmética de números fuzzy linearmente correlacionados Considere a soma de dois números fuzzy linearmente correlacionados A e B, µ A+C B(y) = sup y=x 1 +x 2 µ C (x 1, x 2 ) Isto é, µ A+C B(y) = sup y=x 1 +x 2 µ A (x 1 )X {qx1 +r=x 2 }(x 1, x 2 ). A relação de interativade entre dois números fuzzy é definido exclusivamente por sua distribuição de possibilidade conjunta. Portanto, números fuzzy com função de pertinência iguais, por exemplo µ A (x) = µ B (y), podem não ser correlacionados. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

12 Soma Soma de números linearmente correlacionados [A + C B] α = (q + 1)[A] α + r, para todo α [0, 1] Observação Notemos que se q = 1 e r = 0, isto é, µ A (x) = µ B ( x) temos que a soma interativa, A + C B, de dois números fuzzy linearmente negativamente correlacionados será zero (crisp). Por outro lado, a soma não interativa é dada por [A + B] α = [a α 1 aα 2, aα 2 aα 1 ] que é um número fuzzy. Isto significa que para qualquer α [0, 1], [C] α {(x 1, x 2 ) R/x 1 + x 2 = r}. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

13 Soma Figura: Adição de números fuzzy linearmente negativamente correlacionados com q = 1. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

14 Soma Por outro lado se q 1, A + C B é um número fuzzy e para qualquer α [0, 1], o conjunto {(x 1, x 2 ) [C] α /x 1 + x 2 = y} consiste em no máximo de um único ponto. Figura: Números fuzzy linearmente negativamente correlacionados com q 1. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

15 Soma interativa = Soma não interativa Sejam A e B números fuzzy, onde a função de pertinência de B é dada, para qualquer x R, por Então para qualquer q > 0, temos µ B (x) = µ A ( x r q ). [A + B] α = [A] α + [B] α = [A] α + q[a] α + r = (q + 1)[A] α + r = [A + C B] α. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

16 Figura: Soma de números fuzzy linearmente positivamente correlacionados. Figura: Números fuzzy não interativos. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

17 Figura: Soma de números fuzzy linearmente negativamente correlacionados. Figura: Números fuzzy não interativos. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

18 Conclusão Qualquer que seja a distribuição conjunta C, temos A + C B A + B e se dois números são linearmente positivamente correlacionados então [A + C B] α = [A + B] α. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

19 Subtração Considere a subtração de dois números fuzzy linearmente correlacionados A e B, µ A C B(y) = sup y=x 1 x 2 µ C (x 1, x 2 ) Isto é, µ A C B(y) = sup y=x 1 x 2 µ A (x 1 )X {qx1 +r=x 2 }(x 1, x 2 ). Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

20 Subtração Subtração de dois números fuzzy linearmente correlacionados [A C B] α = (1 q)[a] α r, para todo α [0, 1]. Observação Notemos que se q = 1 e r = 0, isto é, µ A (x) = µ B (x) temos que a subtração interativa, A C B, de dois números fuzzy linearmente positivamente correlacionados será zero (crisp). Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

21 Subtração Subtração interativa=subtração não interativa Sejam A e B números fuzzy, onde a função de pertinência de B é dada, para qualquer x R, por Então para qualquer q < 0, temos µ B (x) = µ A ( x r q ). [A B] α = [A] α [B] α = [A] α q[a] α r = (1 q)[a] α r = [A C B] α. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

22 Conclusão Qualquer que seja a distribuição conjunta C, temos A C B A B, e se dois números são linearmente negativamente correlacionados então [A C B] α = [A B] α. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

23 Exemplo Sejam os números fuzzy A e B com pertinências e µ A (x 1 ) = µ B (x 2 ) = { x1 +2 { x se 2 x x 1 3 se 1 x se 7 x x 2 6 se 1 x 2 5 A e B são linearmente correlacionados se tomarmos a distribuição conjunta C com pertinência µ C (x 1, x 2 ) = µ A (x 1 )X {2x1 =x 2 }(x 1, x 2 ). Daí teremos, [A] α = [3α 2, 4 3α], [B] α = [6α 4, 8 6α] e [C] α = {(x, 2x) R 2 : x = (1 s)(3α 2) + s(4 3α), s [0, 1]}, para α [0, 1].. Assim, [A + C B] α = 3[A] α = [9α 6, 12 9α] = [A + B] α. Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24

24 Bibliografia Barros, L. C., Bassanezi, R. C., Tópicos em lógica fuzzy e biomatemática, UNICAMP/IMECC, Campinas C. Carlsson, R. Fúller, T. Keresztfalvi, Additions of completely correlated fuzzy numbers, Fuzzy IEEE 2004 CD-ROM Conference Proceedings, Budapest, Julho (2004) Francielle Santo Pedro (IMECC- Unicamp) Números fuzzy interativos 29 de Agosto, / 24