Transformações. 35T56 Sala 3E1 Bruno Motta de Carvalho DIMAp Sala 15 Ramal 227 DIM102
|
|
- Roberto Azeredo Amaral
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Transformações 35T56 Sala 3E Bruno Motta de Caralho DIMAp Sala 5 Ramal 7 DIM
2 Transformações T Porquê usar transformações? Criar objetos em sistemas de coordenadas conenientes Reusar formas básicas árias ezes Modelagem hierárquica Independem do sistema utilizado DIM
3 Transformações D d d 3 Y Translação T Translação Adição dos componentes dos etores + t onde ' d, ', t ' d e + d + d Moendo polígonos: translação de értices (etores) e redesenho de linhas Presera comprimentos (isométrico) X Presera ânguloss (conformal) Não é uma combinação linear DIM
4 DIM 4 Transformações D Scaling Multiplicação dos componentes dos etores por um escalar S onde and Não presera comprimentos Não presera ângulos (eceto quando o scaling é uniforme) Y X s s ' ' ', s s S
5 , ' ' ' Transformações D Rotação Rodar um ponto P(,) de um ângulo relatiamente à origem significa encontrar outro ponto Q(, ) sobre uma circunferência centrada na origem que passa pelos dois pontos. 5 DIM
6 , ' ' ' Transformações D Rotação Rodar um ponto P(,) de um ângulo relatiamente à origem significa encontrar outro ponto Q(, ) sobre uma circunferência centrada na origem que passa pelos dois pontos. 6 DIM
7 Transformações D Rotação Y π 6 Rotação dos etores por um ângulo R where ' cos, ' R ' sin sin cos X DIM e cos sin sin + cos Presera comprimentos e ângulos Proa usa fórmulas de soma de ângulos cos(α+β) cosα cosβ sinα sinβ sin(α+β) sinα cosβ + sinβ cosα
8 Transformações D Y 6 Shear Pega e um objeto e entorta para o lado Shear sh π X Quadrados se tornam paralelogramas coordenadas entortam para a direita, enquanto coordenadas permanecem as mesmas 8 DIM
9 Coordenadas Homogêneas Matriz não pode ser usada para composição porque translação não é epressa como multiplicação de matrizes Coordenadas homogêneas permitem que as três operações sejam epressas de maneira homogênea, permitindo a composição de operações usando se multiplicação de matrizes 33 P d (, ) P P P ( ', ', w), h d h (, ) P ( w, w, w), d w ', w ' w w 9 DIM
10 Coordenadas Homogêneas W P h (,,w) P d é a interseção da linha deterada por P h com o plano w Logo, um número infinito de pontos correspondem a (,, ): eles constituem a linha (t, t, tw) P d (/w,/w,) X Y DIM
11 Coordenadas Homogêneas Para pontos escritos em coordenadas homogêneas [ ] T, translação, scaling and rotação relatias a origem são representadas por: DIM
12 Coordenadas Homogêneas Considere a matriz de rotação As colunas e linhas da submatriz X: São etores unitários (comprimento) São perpendiculares (produto interno) cosφ sinφ R( φ) sinφ cosφ Estas propriedades das linhas e colunas preseram comprimentos e ângulos da geometria original. Deste modo, essa matriz é chamada de transformação de corpo rígido (rigid bod) DIM
13 Composição de Transformações D Como fazer quando um objeto não está centralizado na origem? Translação para a origem, seguida de rotação e/ou scaling, e translação inersa Logo, é mais eficente a composição de árias transformações Translação, scaling e rotação são representados por: translation: scale: rotation: + t S R 3 DIM
14 Composição de Transformações D Com a matriz T, pode se eitar translações indesejáeis introduzidas quando nós usamos scaling ou rotacionamos um objeto não centrado na origem. Solução: translação do objeto para a origem, seguida de scaling ou rotação, e translação inersa House ( H ) T ( d, d) H R( ) T ( d, d) H T ( d, d) R( ) T ( d, d) H 4 DIM
15 DIM 5 Composição de Transformações D Eemplo: Translação + Rotação + Translação + sin ) cos ( cos sin sin ) cos ( sin cos cos sin sin cos
16 DIM 6 Transformação Janelapara Viewport + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ma ma ma ma ma ma ma ma ma ma ma ma u u u u u u u u u
17 Transformações 3D z Sistema de coordenadas destro (right handed) Rotações positias são definidas tais que, quanto olhando de um eio positio para a origem, uma rotação de 9º transforma um eio positio em outro Eio Direção de rot. Pos. z para z z para para 7 DIM
18 DIM 8 Transformações 3D dz d sh d sh z s s s Shear SH XY Scaling dz d d Translação cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos Rotação (aw) Rotação (pitch) Rotação z (roll)
19 Quatérnios Motiação: 9 DIM
20 Quatérnios Motiação: Dificuldade de usar rotação com a notação de Euler. Dificuldade de fazer uma interpolação entre as rotações A utilização de quatérnios para implementação de rotações Garante uma rotação direta e firme entre duas orientações Define moimentos que são independentes de qualquer sistemas de coordenadas A combinação de quatérnios é mais eficiente que multiplicação de matrizes DIM
21 Quatérnios William Hamilton, em 843 Eles representam uma orientação por um ângulo de rotação antihorário () ao redor de um etor (V) arbitrário Fazem parte da classe de números hipercompleos DIM
22 Quatérnios i j k i j k q q q q q 3 4 s Podem ser pensados como pontos em uma esfera 4D ou etores 3D com uma rotação associada Algumas ezes é representado por s (rotação) e (eio de rotação) DIM
23 Quatérnios Adição e subtração funcionam com em números compleos Multiplicação de quatérnios é associatia mas não é comutatia Compleo conjugado de um quatérnio 3 DIM
24 Quatérnios 4 DIM
25 DIM 5 Quatérnios Produto quatérnioconjugado Norma Inersa multiplicatia 3 * s q q * 3 ) ( norma q q s q q + + +
26 Quatérnios Rotação (sistema destro/right handed) q' q * q,sentido horário q' q q *,sentido antihorário q cos( / ) + sin( / ) / q 6 DIM
27 Quatérnios Vantagens: Não eibe singularidades na sua parametrização Interpolação consistente e suae de orientações Composição simples e eficiente de rotações Desantagens: Cada orientação é representada por dois quatérnios Representa orientações e não rotações (º ao redor de V é o mesmo quatérnio que 36º ao redor de V) Implementa somente rotações. Matrizes são utilizadas para implementar as outras transformações 7 DIM
28 Grafos de Cena Cenas 3D são armazenadas em uma grafo direcionado acíclico (DAG) chamado de grafo de cena (scene graph) Open Inentor (TGS) Open Scene Graph Jaa3D (Sun) X3D (VRML ) WorldToolKit (Sense8) Formatos típicos de grafos de cena (eistem centenas de pacotes!) Objetos (cubos, esferas, cones, poliédros, etc.) com alores padrão (por emplo, localizados na origem com olume pré definido) armazenados como nós do grafo Atributos (cor, mapa de tetura, etc.) e transformações também são nós grafos de cena 8 DIM
29 Grafos de Cena ROBOT 5. To get final scene 4. Transform subgroups upper bod lower bod 3. To make sub groups. We transform them stanchion base head trunk arm 9 DIM
30 Grafos de Cena Geralmente os nós de transformação contém pelo menos uma matriz que faz a transformação; adicionalmente eles podem conter parâmetros de transformação indiiduais Para se deterar a matriz de transformação composta (CTM) final para um nó objeto dee se compor todas as transformações dos pais dos nós durante traessias do grafo Como isso é feito aria de pacote a pacote! 3 DIM
31 Grafos de Cena g: nós de grupo m: nós de matrizes de transformação o: nós objeto g m m o g m3 m4 Um eamplo: Para o, CTM m Para o, CTM m* m3 Para o3, CTM m* m4* m5 Para um értice em o3, sua posição no sistema de coordenadas do mundo (raiz do grafo) é: CTM (m*m4*m5) o o3 3 DIM
Transformações Geométricas Grafos de Cena
Transformações Geométricas Grafos de Cena Edward Angel, Cap. 4 Instituto Superior Técnico Computação Gráfica 2009/2010 1 Na última aula... Transformações Geométricas Translação Escala Rotação Espaço Homogéneo
Leia maisTransformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.10)
4.6 a 4.) Transformações (Cap 4.3, 4.4 e 4.6 a 4.) Instituto Superior Técnico, 26/27 Sumário Revisões Transformações Elementares Coordenadas Homogéneas Composição de Transformações Transformações em OpenGL
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas Computação Gráfica CG & ND @ 26 ISEL/DEETC/S Computação Gráfica 2 http://hof.povra.org/images/office-3.jpg Sumário Transformações geométricas Translação Rotação Escala Shearing
Leia maisUniversidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática. Transformações 2D
Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática Transformações 2D Computação Visual Beatriz Sousa Santos, Joaquim Madeira Transformações 2D Posicionar, orientar e escalar
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas 2D Carolina Watanabe Referências Bibliográficas FOLEY, J. D, DAM, A. V.; HUGHES, J. F. Computer Graphics Principle and dpractice, 2 a edição Material elaborado por Marcela X.
Leia maisAnimação por Computador. Sólidos Transformações lineares Hierarquia de movimento Parametrização da orientação Interpolação da orientação
Sólidos Transformações lineares Hierarquia de movimento Parametrização da orientação Interpolação da orientação 1 Considera-se sólido como conjunto de pontos com posições fixas em relação a um sistema
Leia maisIntrodução ao Processamento e Síntese de imagens Transformações de Visualização: Matrizes Homogêneas
Introução ao rocessamento e íntese e imagens ransformações e Visualiação: Matries Homogêneas Júlio Kioshi Hasegawa Fontes: Esperança e Cavalcanti UFRJ; raina e Oliveira 4 U; e Antonio Maria Garcia ommaselli
Leia maisGeometria Computacional
Geometria Computacional Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti Estrutura do Curso Aspectos teóricos e práticos Construção e análise de algoritmos e estruturas de dados para a solucionar problemas geométricos
Leia maisComputação Gráfica. Engenharia de Computação. CEFET/RJ campus Petrópolis. Prof. Luis Retondaro. Aula 3. Transformações Geométricas
Computação Gráfica Engenharia de Computação CEFET/RJ campus Petrópolis Prof. Luis Retondaro Aula 3 Transformações Geométricas no plano e no espaço Introdução (Geometria) 2 Pontos, Vetores e Matrizes Dado
Leia mais4. Curvas Paramétricas e Transformações 2D
4. Curvas Paramétricas e Transformações 2D Curvas Paramétricas (fonte: Wikipédia) Em matemática, uma equação paramétrica é uma forma de representar uma curva (ou, em geral, uma superfície) como a imagem
Leia maisTransformações de Pontos. Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles
Transformações de Pontos Computação Gráfica Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi Aluna: Karina da Silva Salles Sumário Motivação Definição Translação Escala Rotação Reflexão Shearing Referências Motivação
Leia maisRotações em 3D. Descrição dos problemas. Como mover entre 2 frames. Ângulos de Euler. Foley Notas do Dave (lecture 29)
Descrição dos problemas Rotações em 3D Foley 21.1.3 Notas do Dave (lecture 29) 1- Como parametrizar rotações 3D? em animações, para criar um movimento suave. translações e rotacões 2D são simples, mas
Leia maisTransformações Geométricas
Computação Gráfica Interativa - M. Gattass & L. F. Martha 8// Transformações Geométricas por Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio (adaptado por Lui Fernando Martha para a disciplina CIV8
Leia maisTransformações 2D. Prof. Márcio Bueno Fonte: Material do Prof. Robson Pequeno de Sousa e do Prof.
Transformações 2D Prof. Márcio Bueno {cgtarde,cgnoite}@marciobueno.com Fonte: Material do Prof. Robson Pequeno de Sousa e do Prof. Robson Lins Transformações 2D Transformações Geométricas são a base de
Leia maisaula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF
http://computacaografica.ic.uff.br/conteudocap2.html aula8 Transformações Geométricas no Plano e no Espaço 2016/2 IC / UFF Definição Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas para
Leia maisPrograma Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais
Programa Princípios Gerais Forças, vetores e operações vetoriais Representação gráfica de vetores Graficamente, um vetor é representado por uma flecha: a intensidade é o comprimento da flecha; a direção
Leia maisROBÓTICA (ROB74) AULA 2. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug
ROBÓTICA (ROB74) AULA 2 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug PROGRAMA Transformações Geométricas e Coordenadas Homogêneas Notações Introdutórias Vetores, matrizes, pontos
Leia maiscom 3 Incógnitas A interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x.
Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 Incógnitas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática Instituto de Ciências Eatas Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi
Leia maisSumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES. Modelos e modelagem. Modelos e modelagem. Transformações Geométricas e Visualização 2D
Sumário COMPUTAÇÃO GRÁFICA E INTERFACES Transformações Geométricas e Visualização D Transformações geométricas Pipeline de visualização D Transformação de coordenadas Window-Viewport Recorte (Clipping)
Leia mais6. Considere. igual a : (A) f (x) + 2x f(x) = 0 (B) f (x) x f(x) = 0 (C) f (x) + f(x) = 0 (D) f (x) f(x) = 0 (E) f (x) 2x f(x) = 0
QUESTÃO ÚNICA 0,000 pontos distribuídos em 50 itens Marque no cartão de respostas a única alternativa que responde de maneira correta ao pedido de cada item.. O valor da área, em unidades de área, limitada
Leia maisProgramação anual. 6 º.a n o. Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas
Programação anual 6 º.a n o 1. Números naturais 2. Do espaço para o plano Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas Formas geométricas
Leia maisTEMA I: Interagindo com os números e funções
31 TEMA I: Interagindo com os números e funções D1 Reconhecer e utilizar característictas do sistema de numeração decimal. D2 Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção de resultados na resolução
Leia maisSUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica
SUMÁRIO Unidade 1 Matemática Básica Capítulo 1 Aritmética Introdução... 12 Expressões numéricas... 12 Frações... 15 Múltiplos e divisores... 18 Potências... 21 Raízes... 22 Capítulo 2 Álgebra Introdução...
Leia maisVetores de força. Objetivos da aula. Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.
Objetivos da aula Vetores de força Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como
Leia maisFigura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).
9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes
Leia maisMATRIZES DE REFERÊNCIA COMPETÊNCIAS E HABILIDADES QUE SERÃO AVALIADAS: ENSINO FUNDAMENTAL I ANOS INICIAIS
MATRIZES DE REFERÊNCIA COMPETÊNCIAS E HABILIDADES QUE SERÃO AVALIADAS: ENSINO FUNDAMENTAL I ANOS INICIAIS II. Implicações do Suporte, do Gênero e /ou do Enunciador na Compreensão do Texto Estabelecer relação
Leia maisTransformações Geométricas em C.G.
Transformações Geométricas em C.G. Cap 2 (do livro texto) Aula 3, 4 e 5 UFF - 214 Geometria Euclideana : 3D Geometria Axiomas e Teoremas Coordenadas de pontos, equações dos objetos Geometria Euclideana
Leia maisComputação Gráfica - 09
Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Computação Gráfica - 9 jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav Objetos
Leia mais1. Posição de retas 11 Construindo retas paralelas com régua e compasso 13
Sumário CAPÍTULO 1 Construindo retas e ângulos 1. Posição de retas 11 Construindo retas paralelas com régua e compasso 13 2. Partes da reta 14 Construindo segmentos congruentes com régua e compasso 15
Leia maisPontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos.
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas Computação Gráfica DCC065 Prof. Rodrigo Luis de Souza da Silva, D.Sc. Sumário Tópicos da aula de hoje: Por que transformações? Classificação das transformações Transformações
Leia maisFundamentos Matemáticos de Computação Gráfica
Fundamentos Matemáticos de Computação Gráfica Fundamentos Matemáticos de CG Vetores e Pontos Matrizes Transformações Geométricas Referências: Mathematics for Computer Graphics Applications. M. E. Mortenson.
Leia maisUniversidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática. Geometria. Prof. Thales Vieira
Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Geometria Prof. Thales Vieira 2014 Geometria Euclidiana Espaço R n R n = {(x 1,...,x n ); x i 2 R} Operações entre elementos de R n Soma: (x 1,x
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA - SPAECE MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL TEMAS E SEUS DESCRITORES
MATEMÁTICA 5 o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I INTERAGINDO COM OS NÚMEROS E FUNÇÕES D1 Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal. Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção
Leia maisAula 2: Vetores tratamento algébrico
Ala : Vetores tratamento algébrico Vetores no R e no R Decomposição de etores no plano ( R ) Dados dois etores e não colineares então qalqer etor pode ser decomposto nas direções de e. O problema é determinar
Leia maisREVISÃO DE ANÁLISE TENSORIAL
REVISÃO DE ANÁLISE TENSORIAL 1.1- Vetores Espaciais Def.: Para cada par de pontos (a,b) do espaço E, existe um segmento de linha ab, caracterizado por um comprimento e uma direção. -Conjunto de vetores
Leia maisDescritores de Matemática 4ª série (5º ano)
Descritores de Matemática 4ª série (5º ano) Prova Brasil Matemática São 28 descritores subdivididos em 04 temas. Tema I - Espaço e Forma. D1 - Identificar a localização /movimentação de objeto em mapas,
Leia maisGeometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido
Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado
Leia mais1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação
MAP2110 Modelagem e Matemática 1 o Semestre de 2007 Resumo 1 - Roteiro de estudos - 07/05/2007 Espaços vetoriais bi e tri-dimensionais (plano ou espaço bidimensional E 2, e espaço tridimensional E 3 )
Leia maisIntrodução à Computação Gráfica
Introdução à Computação Gráfica Desenho de Construção Naval Manuel Ventura Instituto Superior Técnico Secção Autónoma de Engenharia Naval 27 Sumário Entidades Geométricas Transformações Geométricas 2D
Leia maisModelagem Cinemática de Robôs Industriais. Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco
Modelagem Cinemática de Robôs Industriais Prof. Assoc. Mário Luiz Tronco Transformação direta de coordenadas 1 2... N Variáveis de junta Variáveis cartesianas Transformação inversa de coordenadas Transformação
Leia maisSISTEMAS LINEARES. Obs 1. Quando o termo independente é nulo, como no exemplo, dizemos que é uma equação linear homogênea:
Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Mecânica Professora: Valéria Lessa APOSTILA SISTEMAS LINEARES Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas
Leia maisProf. Fernando V. Paulovich 3 de maio de SCC Computação Gráca
Transformações Geométricas 2D SCC0250 - Computação Gráca Prof. Fernando V. Paulovich http://www.icmc.usp.br/~paulovic paulovic@icmc.usp.br Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) Universidade
Leia maisde Matemática Maria Augusta Ferreira Neves Luís Guerreiro António Pinto Silva Luísa Faria
de Matemática Maria ugusta erreira Neves Luís Guerreiro ntónio Pinto Silva Luísa aria o 1 2 Números racionais. Números reais Resumo e eemplos 6 ercícios e Problemas Propostos 1. Números racionais e dízimas
Leia maisA solução do sistema de equações lineares. x 2y 2z = 1 x 2z = 3. 2y = 4. { z = 1. x = 5 y = 2. y = 2 z = 1
MATEMÁTICA e A solução do sistema de equações lineares y z = z = 3 é: y z = a) = 5, y = e z =. b) = 5, y = e z =. c) = 5, y = e z =. d) = 5, y = e z =. e) = 5, y = e z =. y z = z = 3 y z = y z = y = z
Leia maisProva 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:
Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta
Leia maisProva 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:
Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta
Leia maisMatemática Ensino Médio 2ª série
Matemática Ensino Médio 2ª série - Livro de Matemática - Ensino Médio 2ª série - 1ª Edição - Autor Manoel Paiva - ISBN 85-16-04067-4 - Editora Moderna Capítulo 1 - A circuferência trigonométrica e as extensões
Leia maisProvas Seletivas 2018
Provas Seletivas 2018 Fundamental I Fundamental I 1 ano Escrita de numerais e quantificação; Ideia aditiva e subtrativa; Sequência Numérica. Escrita de palavra e frases a partir da visualização de imagem;
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 2. Roteiro
Álgebra Linear I - ula 2 1. Vetores. 2. Distâncias. 3. Módulo de um vetor. Roteiro 1 Vetores Nesta seção lembraremos brevemente os vetores e suas operações básicas. Definição de vetor. Vetor determinado
Leia maisMatriz de Referência de Matemática* SAEPI Temas e seus Descritores 5º ano do Ensino Fundamental
MATEMÁTICA - 5º EF Matriz de Referência de Matemática* SAEPI Temas e seus Descritores 5º ano do Ensino Fundamental Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudanças de Coordenadas Mudança de Coordenadas A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canônica de R determinam um sistema de coordenadas: se as coordenadas de um ponto no espaço são (x, y,
Leia maisROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores.
ROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores. Capítulo 2 Plano Cartesiano / Vetores: Plano Cartesiano Foi criado pelo matemático René Descartes, associando a geometria à álgebra. Desse modo, ele pôde
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES
ransformação Linear RNSFORMÇÕES LINERES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma função : é uma transformação linear se a função preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto
Leia maisMatemática e suas tecnologias
Matemática e suas tecnologias Fascículo 1 Módulo 1 Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos Noção de conjuntos Conjuntos numéricos Módulo 2 Funções Definindo função Lei e domínio Gráficos de funções
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA - SADEAM 3 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
3 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ESPAÇO E FORMA Identificar a localização/movimentação de objeto ou pessoa em mapa, croqui e outras representações gráficas. Identificar propriedades comuns e diferenças entre
Leia maisTransformações Geométricas 2D e 3D
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - USP Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC Departamento de Ciências de Computação SCC Seminário para a Disciplina SCE 5799 Computação Gráfica Profa. Dra. Rosane
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto
Leia maisREVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Ettore A. de Barros. INTRODUÇÃO. Definições Um número compleo pode ser definido pelo par ordenado, de números reais e,, O par, é identificado com o número real, e o par, é
Leia maisIntrodução ao Processamento Digital de Imagens. Aula 6 Propriedades da Transformada de Fourier
Introdução ao Processamento Digital de Imagens Aula 6 Propriedades da Transformada de Fourier Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira mvieira@sc.usp.br Uma linha de uma imagem formada por uma sequência
Leia mais31/05/2017. Corpo rígido. 4 - A Dinâmica do corpo rígido TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA. Coordenadas do corpo rígido. Coordenadas do corpo rígido
Corpo rígido Sistema de partículas sujeitas aos vínculos holonômicos 4 - A Dinâmica do corpo rígido TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA Embora um corpo com Npartículas possa ter 3Ngraus de liberdade, os vínculos
Leia maisElementos de Matemática Avançada
Elementos de Matemática Avançada Prof. Dr. Arturo R. Samana Semestre: 2012.2 Conteúdo - Objetivos da Disciplina - Ementa curricular - Critérios de avaliação - Conteúdo programático - Programação Objetivos
Leia mais- Aula 6 - Visualização 3D: Projeções
- Aula 6 - Visualiação 3D: Projeções Visualiação 3D Modelo geométrico Imagem Pipeline de visualiação Modificado de M.M. Oliveira Visualiação 3D câmera Projeção ortográfica projeção perspectiva câmera Projeções
Leia maisCoordenadas Homogêneas
Coordenadas Homogêneas André Tavares da Silva andre.silva@udesc.br Capítulo 5 de Foley Capítulo 2 de Azevedo e Conci Coordenadas Homogêneas Promovem uniformidade no tratamento de qualquer transformação
Leia maisTransformações Geométricas
Transformações Geométricas Profª. Alessandra Martins Coelho março/2013 Objetivos Entender os princípios das transformações geométricas do tipo translação, rotação e escalamento. Efetuar transformações
Leia maisConceitos de vetores. Decomposição de vetores
Conceitos de vetores. Decomposição de vetores 1. Introdução De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas. Figura 1.1 Grandezas
Leia mais. Repare que ao multiplicar os vetores (-1,1) e
Álgebra Linear II P1-2014.2 Obs: Todas as alternativas corretas são as representadas pela letra A. 1 AUTOVETORES/ AUTOVALORES Essa questão poderia ser resolvida por um sistema bem chatinho. Mas, faz mais
Leia maisCURVAS PLANAS. A orientação de uma curva parametrizada é a direção definida pelos valores crescentes de t.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA DISCIPLINA: TÓPICOS EM MATEMÁTICA APLICADOS À EXPRESSÃO GRÁFICA II PROFESSORA: BÁRBARA DE
Leia maisGEOGEBRA GUIA RÁPIDO. Na janela inicial temos a barra de ferramentas:
GeoGebra: Guia Rápido GEOGEBRA GUIA RÁPIDO O GeoGebra é um programa educativo de Geometria Dinâmica que permite construir, de modo simples e rápido, pontos, segmentos de reta, retas, polígonos, circunferências,
Leia maisSistemas de Coordenadas e Equações de Movimento
Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Sistemas de Coordenadas e Equações de Movimento Leonardo Tôrres torres@cpdee.ufmg.br Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep.
Leia maisaula Vetores no plano e no espaço tridimensional Geometria Analítica e Números Complexos Autores Cláudio Carlos Dias Neuza Maria Dantas
D I S C I P L I N A Geometria Analítica e Números Compleos Vetores no plano e no espaço tridimensional Autores Cláudio Carlos Dias Neuza Maria Dantas aula 10 Goerno Federal Presidente da República Luiz
Leia maisHistórico. Estado da Arte. Histórico. Modelagem de Objetos. Modelagem por arames (wireframes). Modelagem por superfícies (década de 60).
Histórico Modelagem de Objetos Renato Ferreira Modelagem por arames (wireframes). Representa os objetos por arestas e pontos sobre a sua superfície. Gera modelos ambíguos. Modelagem por superfícies (década
Leia maisPrograma Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO
Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO Os conteúdos conceituais de Matemática estão distribuídos em 5 frentes. A) Equações do 1º e 2º graus; Estudo das funções; Polinômios; Números complexos; Equações algébricas.
Leia maisAv. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP
Disciplina: Matemática Curso: Ensino Médio Professor(a): Flávio Calônico Júnior Turma: 3ª Série E M E N T A II Trimestre 2013 Conteúdos Programáticos Data 21/maio 28/maio Conteúdo FUNÇÃO MODULAR Interpretação
Leia maisIntrodução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :
Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo A solução pertence
Leia mais54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =
54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e
Leia maisAula 31 Funções vetoriais de uma variável real
MÓDULO 3 - AULA 31 Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real Objetivos Conhecer as definições básicas de funções vetoriais de uma variável real. Aprender a parametrizar curvas simples. Introdução
Leia mais3.6 Descrição de Rotações no Plano
3.6-1 3.6 Descrição de Rotações no Plano 3.6.1 Matriz de Rotação Às vezes temos que descrever a posição de uma partícula num referencial plano que é girado de um ângulo φ com respeito a outro sistema fixo.
Leia maisAula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.
Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante
Leia maisProfessor: Anselmo Montenegro Conteúdo: Aula 2. - Primitivas Geométricas. Instituto de Computação - UFF
Geometria Computacional Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: Aula - Primitivas Geométricas 1 Roteiro Introdução Operações primitivas Distâncias Ângulos Ângulos orientados Áreas
Leia maisProcessamento de Imagens CPS755
Processamento de Imagens CPS755 aula 07 - modelos de câmera Antonio Oliveira Ricardo Marroquim 1 / 32 laboratório de processamento de imagens tópicos matriz de calibração câmera finita câmera projetiva
Leia maisCAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL Grandezas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais.
CAPÍTULO CÁLCULO VECTORIAL.1. Grandeas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandeas físicas podem ser escalares ou vectoriais. As grandeas massa, comprimento, tempo ficam completamente definidas
Leia maisM0 = F.d
Marcio Varela M0 = F.d M = F.d M R = F.d Exemplo: Determine o momento da força em relação ao ponto 0 em cada caso ilustrado abaixo. Determine os momentos da força 800 N que atua sobre a estrutura na figura
Leia maisProduto interno, externo e misto de vectores
MTDI I - 00/08 - Produto Interno Produto interno, externo e misto de vectores A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass.
Leia maisGeometria Computacional
GeoComp 2014 p. 1/29 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 2/29 Poliedros
Leia maisDISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série
DISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral.
Leia maisMarília Peres. Adaptado de Serway & Jewett. Fonte: The New Yorker Book of Teacher Cartoons (2012), by Robert Mankoff (Editor), Lee Lorenz
INTRODUÇÃO À FÍSICA Adaptado de Serway & Jewett SOBRE A FÍSICA Fonte: The New Yorker Book of Teacher Cartoons (2012), by Robert Mankoff (Editor), Lee Lorenz 1 SOBRE A FÍSICA BBC - Vídeo: Learn The History
Leia maisMatriz de referência de MATEMÁTICA - SAERJINHO 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL
17 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL Tópico Habilidade B1 B2 B3 ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO H01 H03 H04 H06 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras
Leia maisAula 21 - Lei de Biot e Savart
Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Física Física III Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana Referências bibliográficas: H. 1-, 1-7 S. 9-, 9-, 9-4, 9-6 T. 5- Aula 1 - Lei de Biot
Leia maisTransformações Geométricas
Computação Gráfica 5385: Licenciatura em Engenharia Informática Cap. 2 Transformações Geométricas Transformações Geométricas Sumário Transformações geométricas Geometria Projectiva (projecções) Geometria
Leia maisAplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução
Aplicação de Integral Definida: Prof a. Sólidos Exemplos de Sólidos: esfera, cone circular reto, cubo, cilindro. Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área plana em torno
Leia mais3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.
Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar
Leia maisConteúdos Ideias-Chave Objectivos específicos. múltiplo de outro número, este é divisor do primeiro.
Capítulo 1 Números Naturais Múltiplos e Divisores Se um número natural é múltiplo de outro número, este é divisor do primeiro. Números primos e números compostos Decomposição de um número em factores primos
Leia maisCCI-22 LISTA DE EXERCÍCIOS
CCI-22 LISTA DE EXERCÍCIOS Capítulos 1 e 2: 1) Considere floats com 4 dígitos decimais de mantissa e expoentes inteiros entre -5 e 5. Sejam X =,7237.1 4, Y =,2145.1-3, Z =,2585.1 1. Utilizando um acumulador
Leia mais. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1
QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,
Leia maisCAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1. CAPÍTULO 2 Operações Fundamentais com Expressões Algébricas 12
Sumário CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1 1.1 Quatro operações 1 1.2 O sistema dos números reais 1 1.3 Representação gráfica de números reais 2 1.4 Propriedades da adição e multiplicação
Leia mais