TÉCNICAS COMPUTACIONAIS PARA ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS NA SOLUÇÃO DE LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS NÃO LINEARES

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1 TÉCNICAS COMPUTACIONAIS PARA ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS NA SOLUÇÃO DE LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS NÃO LINEARES Dnis Araujo Filguiras d Souza TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutinho, D.Sc. Prof. José Luis Drummond Alvs, D.Sc. Prof. Luiz Landau, D.Sc. Prof. Abimal Frnando Dourado Loula, D.Sc. Prof. Lucia Catabriga, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL ABRIL DE 2008

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3 DE SOUZA, DENIS ARAUJO FILGUEIRAS Técnicas Computacionais para Elmntos Finitos Estabilizados na Solução d Lis d Consrvação Hiprbólicas Não Linars [Rio d Janiro] 2008 XV, 152 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D. Sc., Engnharia Civil, 2008) Ts Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE 1. Elmntos Finitos Estabilizados 2. Escoamntos m Mios Porosos 3. Equaçõs d Eulr I. COPPE/UFRJ II. Título (séri) ii

4 iii Para Francisca

5 Agradcimntos Ao profssor Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutinho pla orintação amizad. Ao profssor José Luis Drummond Alvs pla orintação amizad. Ao profssor Luiz Landau pla orintação amizad. Aos mus Pais, Irmãos, Familiars Amigos pla paciência apoio mocional, m spcial aos amigos Eldus, Frd, Josias, Pdro, Robrto, Rosnil, Vanssa, Vinícius à minha noiva Bárbara. Ao colga Rnato plas valiosas discussõs acrca das técnicas studadas. À Agência Nacional do Ptrólo (ANP) ao Conslho Nacional d Dsnvolvimnto cintífico Tcnológico (CNPq) plo apoio financiro. Ao Laboratório d Métodos Computacionais m Engnharia (LAMCE) ao Núclo d Atndimnto m Computação d Alto Dsmpnho (NACAD). Aos Profssors, Funcionários Colgas do PEC/COPPE, LAMCE, NACAD, LAB2M COPPE qu contribuíram d maniras distintamnt importants para minha formação. iv

6 Rsumo da Ts aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Doutor m Ciências (D. Sc.) TÉCNICAS COMPUTACIONAIS PARA ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS NA SOLUÇÃO DE LEIS DE CONSERVAÇÃO HIPERBÓLICAS NÃO LINEARES Dnis Araujo Filguiras d Souza Abril/2008 Orintadors: Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutinho Programa: Engnharia Civil José Luis Drummond Alvs É aprsntado um studo d técnicas computacionais utilizadas na solução d lis d consrvação hiprbólicas tipicamnt não linars dpndnts do tmpo, com o método dos lmntos finitos stabilizados. Os problmas rsolvidos são: scoamntos m mios porosos (bifásico imiscívl ou totalmnt miscívl) scoamntos comprssívis não viscosos, ou sja, as quaçõs d Eulr. Divrsas técnicas foram implmntadas avaliadas, ntr las, uma strutura d dados por arstas adotada m ambos os problmas. Uma stratégia d dsativação dinâmica a intgração rduzida do hxadro foram implmntadas para scoamntos m mios porosos. O lmnto ttraédrico também foi mprgado. Para scoamntos comprssívis foi adotado apnas o lmnto ttrádrico mas com opção d strutura d dados compactada global para utilização d pré-condicionadors mais robustos. E também, um oprador d captura d choqus mais simpls, somnt basado m variávis consrvativas. Exmplos numéricos d validação vrificação são aprsntados. E também problmas d aplicação m malhas d ttradros não struturadas d médio port, rlacionados à ngnharia d ptrólo arospacial. v

7 Abstract of Thsis prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of th rquirmnts for th dgr of Doctor of Scinc (D. Sc.) COMPUTATIONAL TECHNIQUES FOR THE SOLUTION NON LINEAR HYPERBOLIC CONSERVATION LAWS WITH THE STABILIZED FINITE ELEMENT Dnis Araujo Filguiras d Souza April/2008 Advisors: Alvaro Luiz Gayoso d Azrdo Coutinho José Luis Drummond Alvs Dpartmnt: Civil Enginring It is prsntd a study of computational tchniqus usd in th solution of hyprbolic consrvation laws that ar typically non linar and tim dpndant, with th stabilizd finit lmnt mthod. Th problms solvs ar: porous mdia flows (immiscibl two-phas and totally miscibl displacmnt) and comprssibl flows, that is, th Eulr quations. Svral tchniqus wr implmntd and assssd, for instanc th dg-basd data usd in both problms. A stratgy of dynamic dactivation and hxahdron rducd intgration for th porous mdia flows. Ttrahdra lmnt was also mployd. As for th comprssibl flows, only th ttrahdron lmnt was adoptd, and also a global comprssd data structur that allows th us of mor robust prconditionrs. Also a shock capturing oprator solly basd on consrvation variabls. Numrical xampls of validation and vrifications ar prsntd. And also, application problms in unstructurd ttrahdra and mdium scal mshs, rlatd to ptrolum and arospac nginring. vi

8 Índic 1 Considraçõs Iniciais Introdução A Simulação d Escoamntos m Mios Porosos A Simulação d Escoamntos Comprssívis Não Viscosos Técnicas Computacionais para Elmntos Finitos Objtivos Organização do Txto Formulação Matmática Numérica para Escoamntos m Mios Porosos Introdução Formulação Matmática Escoamnto Bifásico Imiscívl Dslocamnto Totalmnt Míscivl Sistma Unificado Considração d fluidos não-nwtonianos Formulação Numérica para a Notação Unificada Matrizs d Elmnto para Equação da Prssão Matrizs d Elmnto para Equação da Vlocidad, a Técnica d pós-procssamnto das vlocidads para o T vii

9 2.6 Matrizs d Elmnto para Equação do Transport Intgração complta (2x2x2) para o H Sistmas Globais Rsultants Considraçõs sobr Consrvação da massa stabilizaçõs Exmplos Numéricos d Escoamntos m Mios Porosos Caso Imiscívl: Injção contínua d água Caso Miscívl: Injção d traçador SPE injção d água m rsrvatório htrogêno Migração Scundária m um Bloco Sdimntar Formulação Matmática Numérica para Escoamntos Comprssívis Não Viscosos Introdução Formulação Matmática Formulação Numérica Exmplos Numéricos d Escoamntos Comprssívis Não Viscosos Exmplos Unidimnsionias Transints: Tubos d Choqu Exmplo Bidimnsional Prmannt: Choqu Rfltido Exmplo Bidimnsional Transint: Escoamnto Suprsônico através d um Canal com Dgrau Exmplo Tridimnsional Prmannt: Escoamnto Suprsônico ao Rdor d uma Esfra Técnicas Computacionais para Elmntos Finitos Estruturas d dados Estrutura d dados por arstas Estrutura d Dados CSR Técnica d Intgração Rduzida com control dos modos hourglass Técnica d Dsativação Dinâmica...81 viii

10 6.3.1 Critério para slção da partição ativa Dtalhs da implmntação Eficiência da Dsativação Dinâmica Técnicas d Pré-condicionamnto do Sistma d Equaçõs Diagonal LU-SGS (Lowr-Uppr Symmtric Gauss-Sidl) Fatoração Incomplta LU sm prnchimnto (ILU(0)) Estudo comparativo ntr os pré-condicionadors Estudo comparativo ntr opradors d captura d choqus na solução das Equaçõs d Eulr Exmplos Numéricos d Aplicação Introdução Modlagm d Migração Scundária m uma Bacia Sdimntar Métricas para Malhas d Ttradros Primiros Passos m Dirção ao Estudo d Caso Ral Modlagm Gométrica Gração da Malha Avaliação da qualidad da malha através das métricas litas Cálculo das normais unitárias ao contorno Propridad das Rochas do modlo complto Propridad dos Fuidos Condiçõs d Contorno Condiçõs Iniciais Rsultados da Simulação Escoamnto Mach 0.9 ao rdor d um avião tipo YF Conclusõs Rfrências Bibliográficas Apêndic A ix

11 Índic d Figuras Figura 3.1 Condiçõs d contorno inicial para prssão (a) transport (b)...39 Figura 3.2 Malhas d lmntos finitos T4 H8 para discrtização d um quarto d fivspot Figura 3.3 Saturação d água m tmpos inicial final d simulação para os lmntos T4 (a) H8 (b) Figura 3.4 Comparação do volum total d ólo rcuprado: (a) st trabalho, (b) rfrência [114]...41 Figura 3.5 Concntração inicial, intrmdiárias final para T4 (squrda) H8 (dirita) Figura 3.6 Concntraçõs intrmdiárias para rfrência [47]...42 Figura 3.7 Propridads dos matriais já scalonadas: porosidads, prmabilidads horizontal vrtical Figura 3.8 Solução nos tmpos t =1, 500, dias Figura 3.9 Solução nos tmpos t = 2000, 25000, dias...46 Figura 3.10 Dtalh das camadas do modlo (a) da malha adotada (b)...48 Figura 3.11 Evolução da migração do ólo Figura 5.1 Soluçõs do problma d Sod m t=0.2: (a) massa spcífica, (b) vlocidad (c) prssão...62 x

12 Figura 5.2 Soluçõs do problma d Lax-Hardn m t=0.15: (a) massa spcífica, (b) vlocidad (c) prssão...63 Figura 5.3 Dscrição do problma d choqu rfltido...64 Figura 5.4 Vista m dtalh da malha struturada bm rfinada Figura 5.5 Soluçõs prmannts d massa spcífica, prssão tmpratura Figura 5.6 Dscrição do problma Figura 5.7 Malha do domínio total adotada no xmplo Figura 5.8 Dtalh da malha do xmplo Figura 5.9 Soluçõs transints nos tmpos: t=0.5 (a), t=1.0 (b), t=1.5(c), t=2.0 (d)...68 Figura 5.10 Dscrição do xmplo Figura 5.11 Vista xtrna da malha Figur 5.12 Solução prmannt da massa spcífica...70 Figura 6.1 Modos hourglass da dirção x para o H8 rgular...76 Figura 6.2 Estrutura da matriz d massa consistnt d Galrkin para o H Figura 6.3 Solução inicial do xmplo SPE utilizando intgração complta (a) intgração rduzida (b)...81 Figura 6.4 Soluçõs para advcção diagonal: malhas struturadas (a), malhas não struturada (b)...92 Figura 6.5 Soluçõs para advcção rotacional: malhas struturadas (a), malhas não struturada (b)...94 Figura 6.6 Soluçõs o smplo SPE: homogêno isotrópico (a), htrogêno com kx=kx (b), htrogêno com kx ky (c)...96 Figura 6.7 Comparação d soluçõs para o choqu oblíquo, malha struturada...98 Figura 6.8 Comparação d soluçõs para o choqu oblíquo, malha não struturada...98 Figura 6.9 Comparação para o oprador da advcção SUPG SUGN...99 Figura 6.10 Comparação para o oprador d captura d choqus...99 Figura 7.1 Dtalh dos quatro blocos do modlo complto Figura 7.2 Malha do modlo adotado: vista suprior, topografia Figura 7.3 Malha do modlo adotado: vista infrior, mbasamnto Figura 7.4 Dtalh da malha do modlo adotado, falhas xi

13 Figura 7.5 Em azul os lmntos com parâmtro η maior qu o valor limit Figura 7.6 Em azul os lmntos com parâmtro γ maior qu o valor limit Figura 7.7 Vtors unitários normais ao contorno Figura 7.8 Dtalh das oito camadas sdimntars Figura 7.9 Migração Scundária do Ólo Figura 7.10 Dtalh da malha simétrica do avião YF Figura 7.11 Solução prmannt da massa spcífica Figura 7.12 Solução prmannt da vlocidad m magnitud Figura 7.14 Rprsntação dos vtors vlocidad xii

14 Índic d Tablas Tabla 2.1 Lgnda para notação unificada...21 Tabla 2.2 Rgra para intgração numérica m hxadros trilinars...32 Tabla 3.1 Dfinição das propridads das camadas d cima para baixo...48 Tabla 6.1 Comparação do custo computacional ntr produtos matriz-vtor por lmntos arstas, para scoamntos m mios porosos...74 Tabla 6.2 Comparação do custo computacional ntr produtos matriz-vtor por lmntos arstas, para as quaçõs d Eulr...74 Tabla 6.3 Tmpos rlativos no xmplo fivspot imiscívl...84 Tabla 6.4 Tmpos rlativos no xmplo fivspot imiscívl, considrando campos d prssão vlocidad constants no tmpo...85 Tabla 6.5 Tmpos d xcução rlativos para o xmplo Tabla 6.6 Tmpos d xcução rlativos para o xmplo Tabla 6.7 Comparação ntr os pré-condicionadors m trmos d mmória flops..89 Tabla 6.8 Comparação ntr pré-condicionadors para o xmplo d advcção diagonal...91 Tabla 6.9 Comparação ntr pré-condicionadors para o xmplo d advcção rotacional...93 Tabla 6.10 Comparação ntr pré-condicionadors no xmplo SPE 2D...95 xiii

15 Tabla 6.11 Comparação ntr pré-condicionadors no xmplo Sod, númro d itraçõs...96 Tabla 6.12 Comparação ntr pré-condicionadors no xmplo do scoamnto suprsônico ao rdor da sfra, númro d itraçõs tmpo rlativo...97 Tabla 7.1 Propridads das rochas: massa spcífica, porosidad prmabilidads horizontal vrtical Tabla 7.2 Propridad dos fluidos xiv

16 Índic d Quadros Quadro 2.1 Intgração tmporal das quaçõs para mios porosos...35 Quadro 4.1 Intgração tmporal das quaçõs d Eulr...59 xv

17 Capítulo 1 Considraçõs Iniciais 1.1 Introdução Os métodos numéricos são basados m cálculos rptitivos para s alcançar uma solução aproximada para divrsas classs d problmas matmáticos. Dntro os métodos numéricos, xistm os métodos discrtos qu s basiam m alguma subdivisão do domínio matmático contínuo, m um domínio discrto. No surgimnto dsss métodos, sua aplicabilidad ra bastant limitada pois xigia um númro d cálculos sobr-humano foram abordados mramnt como métodos ilustrativos. Com o advnto do computador as ncssidads das ngnharias dmais ciências, os métodos numéricos foram ganhando cada vz mais spaço utilização tanto m matmática aplicada como divrsas distintas áras do conhcimnto. E assim, os métodos numéricos ou discrtos passaram a sr conhcidos também por métodos computacionais. Atualmnt, o computador, como máquina d calcular s ncontra num nívl avançado d utilização, tanto plo su podr d mmória procssamnto, como também plos divrsos pacots d cálculo numérico [143], álgbra linar [144] álgbra simbólica [142,148] xistnts para os mais divrsos fins cintíficos /ou industriais [66]. 1

18 Msmo com o computador aumntando sua capacidad, quas qu, plo mnos linarmnt, nos últimos 50 anos [147], a ncssidad por computaçõs m larga scala, m divrsas áras do conhcimnto, lvou ao dsnvolvimnto d ambints computacionais d alto dsmpnho. Sjam ls suprcomputadors vtoriais qu procssam dados ao msmo tmpo ou a utilização d computação paralla, qu prvê a distribuição dos dados do procssamnto para divrsos computadors, num sistma chamado d clustrs [51,62,115]. Ambas possibilidads d utilização da computação d alto dsmpnho xigm uma programação spcífica para cada ambint. E mais, xigm uma implmntação ficint do código font para qu o ganho computacional dsjado sja alcançado. Uma vasta ára d aplicação dos métodos computacionais é na solução d quaçõs difrnciais parciais não linars qu rprsntm um fnômno físico, químico /ou biológico. A Mcânica Computacional é uma ára do conhcimnto qu utiliza métodos numéricos na solução d problmas d mcânica aplicada, ou sja, na solução d quaçõs difrnciais parciais. Qu usualmnt também adotam rcursos d computação d alto dsmprnho para uma solução m um tmpo rduzido d procssamnto para possibilitar soluçõs m modlos d grand port. Em gral, a solução analítica das quaçõs ou d um sistma d quaçõs difrnciais parciais, qu rgm um problma d mcânica computacional, não é uma tarfa trivial, inclusiv para alguns casos mais simpls como domínios rgulars homogênos, com comportamnto linar. Então, muito mnos srá, para problmas mais rais ond gomtrias complxas, htrognidad dos matriais, dpndência tmporal, múltiplas físicas scalas intragindo m vntos tipicamnt não linars, são ncssárias. Os métodos numéricos são utilizados para discrtização, no spaço no tmpo, das quaçõs difrnciais para rsolvr o problma d forma aproximada. Para tal, substitui-s o problma matmático contínuo infinito por um problma numérico discrto finito, ou mlhor, uma sqüência d sistmas d quaçõs algébricas linars ou não linars, qu é quivalnt portanto, vai tr solução aproximada adquada s considrados 2

19 procdimntos d implmntação, vrificação validação do código, crtos nívis d rfinamnto tolrâncias para convrgência. Para a solução numérica d quaçõs difrncias parciais xistm alguns métodos discrtos, dntr os quais os mais utilizados são o métodos das Difrnças Finitas (DF) [5,105,56,87], dos Volums Finitos (VF) [94,52,53,45] dos Elmntos Finitos (EF) [150,70]. O método das DFs é o mais adotado m algumas aplicaçõs como é o caso d simuladors comrciais d rsrvatórios d ptrólo [140,145] também no procssamnto sísmico [98]. É um dos métodos prcursors é construído dirtamnt a partir das quaçõs govrnants m suas formas difrnciais. O métodos das DFs faz, gralmnt, a discrtização do domínio com uma malha struturada. Uma malha struturada significa qu o númro d células vizinhas é o msmo para qualqur célula. Como qualqur método numérico d discrtização, as DFs têm suas vantagns dsvantagns. El é, m gral, rápido no procssamnto das matrizs na solução do sistma d quaçõs, por grar struturas blocadas bm dfinidas, mas dixa a dsjar quando gomtrias muito complxas são xigidas, ou sja, quando os próprios domínios spaciais não são rgulars. Já o método dos VFs pod sr struturado ou não struturado. Sndo qu l s assmlha ao método das DFs quando é struturado quando não, s parc, m crtos aspctos, com o método dos lmntos finitos, qu é tipicamnt não struturado. O método é mprgado na forma intgral das quaçõs govrnants apsar d não tr bas matmática muito sólida, vm sndo utilizado rcntmnt, com bons rsultados na simulação d mcânica dos fluidos [45,53]. Tm sido bastant utilizado para problmas d fluxo pois consrva massa ntr as facs dos volums finitos, assim como as DFs fazm ntr células. Não s pod afirmar qu haja uma boa ficiência computacional dst método, pois nada tm sido rportado na litratura nst sntido, mas é razoávl s sprar qu sja d ordm d complxidad próxima ou intrmdiária ntr implmntaçõs d DFs ou d EFs. 3

20 Já o método dos EFs é considrado o método d discrtização com bas matmática mais sólida consistnt é o mundialmnt mais utilizado m divrsas aplicaçõs industrias psquisas cintíficas. O método s aplica na forma fraca ou variacional das quaçõs difrnciais, pondradas por uma função pso, trata naturalmnt gomtrias complicadas. Apsar disso, o método sofr uma crta rjição, m crtas aplicaçõs, por grand part da comunidad acadêmica, cintífica até da indústria. Mas também considrada injusta quivocada por muitos. É comum ouvir qu o métodos dos EFs não consrva massa, significando qu l não sria adquado para tratar problmas d fluxo. Entrtanto, tm-s apnas uma qustão d ponto d vista, pois o método dos lmntos finitos é formulado através dos pontos nodais qu podm star num contxto global ou local. Foi mostrado por HUGHES t al. m 2000 [72] 2005 [73] qu o método dos EFs é consrvativo globalmnt localmnt, só qu através dos pontos nodais. Isso significa qu a massa do sistma stá sndo consrvada, só qu num contxto difrnt das DFs dos VFs. Com o avanço utilização d métodos computacionais, a simulação numérica m ngnharia, mcânica computacional dmais ciências é uma ára crscnt d aplicação industrial psquisa cintífica. Na vrdad s mostra como um trciro pilar complmntando as tradicionais bass tórica xprimntal. A ngnharia basada na simulação [14] já é uma ralidad cuidados como quão confiávis podm sr ssas simulaçõs é procupação da comunidad cintífica [7]. Exist uma ncssidad cada vz maior d mlhorar as simulaçõs tanto m trmos d rfinamnto, qualidad da solução, prcisão incorporação d fnômnos multiscala multifísicos. Esta dissrtação d doutorado s procupa com a solução d quaçõs difrnciais parciais não linars d problmas prdominantmnt advctivos através do métodos dos lmntos finitos stabilizados. Para tal é important o studo d fnômnos d transport, rprsntados pla quação advcção-difusão d um scalar pois é a bas para formulação das quaçõs da mcânica dos fluidos, ou sja, simulaçõs numéricas da mcânica dos fluidos computacional. Tais simulaçõs numéricas são muito rlvants, dadas as dificuldads m s ralizar xprimntos na solução analítica d casos rais. 4

21 Os fnômnos d transport têm vasta aplicação, como disprsão d contaminants no ar ou na água, scoamntos subtrrânos, movimntação d comunidads biológicas scoamntos d fluidos m gral. Portanto, as quaçõs tipo advcção-difusão d um scalar são bas para a formulação d lis d consrvação, qu gralmnt são não linars quando d intrss prático. Problmas dominantmnt advctivos são quaçõs tipicamnt hiprbólicas. Uma quação d carátr hiprbólico é aqula qu variaçõs locais lvam um tmpo para s propagar até outras rgiõs do domínio, além d tndr não voluir para um rgim d quilíbrio. Eis aqui os dois problmas, da mcânica dos fluidos computacional, studados: i) scoamntos através d mios porosos rígidos ; ii) scoamntos comprssívis não viscosos. Uma rvisão da litratura um histórico dos dsnvolvimntos, com o método dos lmntos finitos, para ssas duas aplicaçõs, é aprsntada a sguir. 1.2 A Simulação d Escoamntos m Mios Porosos Os scoamntos m mios porosos rígidos têm marco inicial nos studos prcursors d Darcy qu consguiu stablcr uma Li, ou sja, um modlo mpírico, para dscrvr o scoamnto d água através d um mio poroso. A partir daí, a Li d Darcy é a bas para a formulação d scoamntos m mios porosos d múltiplas fass ou componnts como é o caso da simulação d rsrvatórios. A formulação matmática para sss problmas spcíficos é abordada nos livros d AZIZ [5], PEACEMAN [105], CHAVANT E JAFFRE [29], ERTEKIN [56] CHEN [31,32] bastant nriqucida plos trabalhos d LAKE t al. [82], LAKE [83], EWING [57] CHEN [33]. Dsd o início da ncssidad da solução d scoamntos m mios porosos, o método das difrnças finitas é o mais utilizado m programas comrciais. Sndo qu a utilização do métodos dos lmntos finitos para ss fim tm sido tma d psquisa dsd ntão. Hoj m dia não xist uma mtodologia bm dfinida para tratar o problma com lmntos finitos. Tão pouco com as divrsas opçõs já incorporadas nos programas d difrnças finitas, como por 5

22 xmplo, modlos d poços, mios naturalmnt fraturados ajust d histórico. LANGTANGEN E DURLOFSKY [84,52] foram pioniros na utilização d lmntos finitos, numa abordagm squncialmnt implícita como a adotada aqui nst trabalho. A utilização d lmntos finitos mistos, como no livro d CHEVANT E JAFFRE [29] nos trabalhos d EWING CHAN [57,33], apsar d bastant robustos não foram adotados aqui, por qustõs d ficiência computacional. Para a utilização do método dos lmntos finitos nas classs d problmas d scoamntos m mios porosos, qu são do tipo prssão-vlocidad, são ncssários cuidados spciais duas dirçõs podm sr adotadas: (i) a utilização d métodos mistos d lmntos finitos, qu rsolv num msmo lmnto formulação, o problma acoplado prssão-vlocidad, através d spaços mais complxos para as funçõs d intrpolação [70]; ou (ii) a utilização d métodos stabilizados para o cálculo adquado do campo d vlocidads, com msma ordm d intrpolação qu a prssão [96]. Ambas as opçõs vêm sndo utilizadas, com crto sucsso, m divrsos trabalhos [114,38-41,47,48,103,100] a grand qustão ntr qual dos métodos adotar, paira na ficiência computacional prcisão dsjada. O método misto é mais prciso matmaticamnt robusto qu os métodos d lmntos finitos stabilizados. Contudo são muito mais onrosos computacionalmnt, d modo qu um artigo, bastant citado, qustiona s sria um luxo o uso dos métodos mistos [102]. Já nos métodos stabilizados, as opraçõs são ralizadas m um mnor tmpo computacional, mas também, sua prcisão final é variávl m alguns casos, ond uma dvida calibragm do parâmtro d stabilização dv sr pré-dfinida. Mas também, rcntmnt vêm sndo dsnvolvidos novos métodos stabilizados, do tipo sub-malha qu são não linars não dpndm d ajust d parâmtros [111]. Também rcntmnt, uma união d lmntos finitos mistos stabilizados vm sndo dsnvolvida por MASUD E HUGHES [99] BOCHEV co-autors [16,17] numa tntativa d rsolvr comptitivamnt o problma. Volums finitos basados m lmntos finitos também stão sndo adotados [53,45,37]. A qustão é qu não xist um método d lmntos finitos totalmnt adquado fchado para uma solução prcisa 6

23 ficint do problma. Uma vz qu métodos stabilizados vêm sndo utilizados com sucsso na simulação d problmas da mcânica dos fluidos [130,131,68], nada mais natural qu adotá-los na simulação d scoamntos através d mios porosos. Portanto, nst trabalho, foi adotado um método d lmntos finitos stabilizado para rsolvr as quaçõs para scoamntos bifásicos imiscívis também para dslocamntos totalmnt miscívis. Divrsas tapas do dsnvolvimnto dsss trabalhos foram aprsntados m congrssos nacionais [119] intrnacionais [125,127]. Mais rcntmnt no anuário d rvisão d mcânica dos fluidos, GERRITSEN E DURLOFSKY [60] fizram comntários acrca da modlagm simulação d fluidos m rsrvatórios d ptrólo, com ênfas na ficiência prcisão da solução das quaçõs dvido a grand htrognidad do mio considraçõs sobr as ncssidads d s incorporar as scalas sub-malha para uma adquada rprsntação dos fitos numa scalas rduzida. Muito sforço tm sido posto na prcpção dos métodos stabilizados como métodos subscala [71], uma vz qu dada uma malha, xistm scalas mnors qu sua dimnsão qu não stão sndo rsolvidas corrtamnt qu dvm sr lvadas m considração. Exmplos tst tipo bnchmark outros mais ralistas foram rsolvidos para scoamntos m mios porosos tanto para simulação s rsrvatórios como para anális d bacias sdimntars. O algoritmo d solução adotado é squncialmnt implícito na forma bloco-itrativa prditor/multicorrtor. É m bloco, pois tm-s qu avançar no tmpo a solução da prssão, da vlocidad da saturação, sqüncialmnt. É itrativo pois a solução dos sistmas d quaçõs rsultants é ralizada com os métodos itrativos basados m sub-spaços d Krylov, como o gradints conjugados [70], com précondicionamnto diagonal para a prssão bloco-diagonal para vlocidad, o GMRES [109], com précondicionamnto diagonal, para o transport. O squma prditor/corrtor é o método d intgração tmporal implícito propriamnt dito a multicorrção trata as não linaridads do problma. 7

24 1.3 A Simulação d Escoamntos Comprssívis Não Viscosos As quaçõs d Eulr têm sido xtnsivamnt studadas dsd os anos 80 90, no contxto do método dos lmntos finitos, por TEZDUYAR E HUGHES, [130,131], SHAKIB [112], LE BEAU E TEZDUYAR [85], ALIABADI t al. [1] ALIABADI E TEZDUYAR [2] têm tido o intrss rnovado rcntmnt CATABRIGA t al. [28], TEZDUYAR E SENGA, [135,136] TEZDUYAR t al. [137]. Uma das aplicaçõs d intrss na ngnharia d ptrólo é na simulação d xplosõs acidntais m plataformas offshor [23] na ngnharia arospacial é no projto d aronavs afins [89,50]. Um dos métodos numéricos mais adotados para rsolvr sss problmas com sucsso é o método dos lmntos finitos stabilizados. Contudo, a solução d problmas rais d grand port transints, ou msmo quando s dsja obtr soluçõs m rgim prmannt, são tarfas computacionalmnt caras. Para rsolvr problmas comprssívis m rgim prmannt, é usual s iniciar com uma condição inicial no infinito, tipo far-fild ou fr-stram, ou sja, d scoamnto m quilíbrio long da rgião d intrss voluir até um rgim m quilíbrio sja atingido. Em outras palavras, alcançar soluçõs prmannt através d uma anális psudo-transint. As quaçõs d Eulr são um sistma d lis d consrvação hiprbólicas não linars. A solução dssa class d problmas com o método dos lmntos finitos só s tornou possívl após a introdução da formulação SUPG (Stramlin Upwind Ptrov-Galrkin) d BROOKS E HUGHES [19], qu tm sido amplamnt adotada dsd ntão. Essa formulação prvê a utilização d funçõs pso dscontínuas qu contém uma pondração à montant na dirção das linhas d fluxo. No contxto d scoamntos comprssívis não viscosos, sss cálculos foram possívis após trabalhos d TEZDUYAR E HUGHES d ) [130,131] quando a stabilização SUPG foi dsnvolvida para as quaçõs d Eulr Navir-Stoks. Dsd ntão, o método dos lmntos finitos stabilizados tm sido usados para simulação d scoamntos comprssívis viscosos ou não [68,1]. Algumas tapas importants para a aplicação dos métodos stabilizados para scoamntos comprssívis foram a gnralização do sistma d quaçõs d Eulr m trmos d variávis d ntropia m sua forma simétrica [69] o dsnvolvimnto d 8

25 trmos d captura d choqu, por vzs dnominados modlos d viscosidad artificial, qu são basados no rsíduo das quaçõs como proposto por SHAKIB [112] ALMEIDA E GALEÃO [3]. Foi mostrado por LE BEAU E TEZDUYAR [85] qu quando a formulação SUPG for suplmntada com um trmo similar d captura choqu, é comparávl m prcisão com a posta m variávis d ntropia. Do ponto d vista tórico, avanços inclum a prova d convrgência dsss métodos para sistmas d lis d consrvação [76]. Uma dificuldad é ncontrada na diminuição dos rsíduos ao longo da volução dos passos d tmpo itraçõs não linars. Divrsas altrnativas são aprsntadas na litratura, como a técnica d conglamnto do oprador d captura d choqus [26], a utilização d passo d tmpo local [26] a utilização d um Jacobiano aproximado, qu é uma abordagm altrnativa conhcida por métodos JFNK (Jacobian Fr Nwton-Krylov) basados m JOHAN t al. [75] KNOLL E KEYES [80]. Esss métodos rduzm a dmanda d mmória dvm aclrar a convrgência não linar, conform rsultados d [78,79]. Na prsnt implmntação para rsolvr as quaçõs d Eulr m três dimnsõs, são adotadas variávis consrvativas, stndndo o trabalho d Catabriga [26]. Divrsas tapas do dsnvolvimnto dss trabalhos foram aprsntados m congrssos nacionais [118,120,121,126] intrnacionais [123,124] aqui foi agrupada uma coltâna dsss studos. Um algoritmo totalmnt implícito prditor-multicorrtor para volução tmporal lmntos finitos stabilizados, basado na formulação SUPG com captura d choqu, para discrtização spacial, são mprgados. Divrsos xmplos tst tipo bnchmark um mais ralista foram rsolvidos para scoamntos comprssívis não viscosos. O sistma d quaçõs não simétrico rsultant é rsolvido plo algoritmo GMRES [109] com a strutura d dados por arstas ou comprimida por colunas, précondicionado por uma d três possibilidads studadas. A strutura d dados por arstas é vista como uma técnica computacional para aclrar os produtos matriz-vtor inrnts do método d solução d sistmas d quaçõs, assim como os pré-condicionadors também são vistos como técnicas computacionais, pois apsar d tornarm matmaticamnt o problma mlhor condicionado, su objtivo ral é um númro 9

26 rduzido d itraçõs uma convrgência m mnor tmpo d procssamnto. Essas técnicas, dntr outras são aprsntadas na próxima sção mais dtalhadamnt no Capítulo Técnicas Computacionais para Elmntos Finitos Divrsas técnicas podm sr adotadas, no contxto do método dos lmntos finitos, para s obtr uma solução, m um tmpo rduzido d procssamnto. Essas técnicas podm sr numéricas, quando s prtnd alcançar uma convrgência m um mnor númro d itraçõs ou quando s adota alguma matriz, opração ou xprssão aproximada. Ou pod sr matmática, quando s adota uma outra forma das xprssõs matmáticas qu vão lvar a um mnor númro opraçõs d ponto flutuant uma implmntação mais simpls do código font. Todas são tratadas aqui como técnicas computacionais para lmntos finitos a sguir stão listadas as mprgadas nss trabalho qu srão dscritas m maiors dtalhs no Capítulo 6. A scolha d uma strutura d dados para armaznar a matriz d coficints ralizar as opraçõs d ponto flutuant ncssárias pod sr considrada uma técnica computacional pois é uma qustão chav na solução ficint do sistma d quaçõs rsultant. As struturas d dados adotadas nss trabalho foram a strutura d dados por arstas comprssão por linhas. A utilização da strutura d dados por arstas com o método dos lmntos finitos foi introduzida para cálculos xplícitos d scoamntos comprssívis m malhas não struturadas d triângulos ou ttradros [92,106]. Foi obsrvado qu o cálculo dos rsíduos com a strutura d dados por arstas ra mais rápido ncssitava d mnos mmória qu o squma padrão basado m lmntos. A partir dssas idéias, CATABRIGA E COUTINHO [27] drivaram uma squma d strutura d dados por arstas para as quaçõs d Eulr m duas dimnsõs obsrvando qu as matrizs d lmnto podm sr dsmmbradas m suas contribuiçõs nas arstas. Para um conjunto 10

27 d lmntos qu compartilham uma msma arsta, dv-s somar ssas contribuiçõs armaznar matrizs locais plas arstas d tal forma qu os produtos matriz-vtor, inrnts dos métodos d Krylov, são ralizados arsta por arsta. Essa manira promov um ganho computacional tanto no armaznamnto das matrizs como no númro d opraçõs d ponto flutuant como já aprsntado m divrsos trabalhos [42,27,122,54] aqui srá aprsntado no contxto dos problmas d scoamntos m mios porosos d scoamntos comprssívis não viscosos tridimnsionais. É important notar qu um há um aumnto no númro d ndrçamntos indirtos na montagm das matrizs por arstas. Mas apsar da montagm das matrizs sr pouco mais custosa qu a tradicional abordagm basada m lmntos, os ganhos nos produtos matriz-vtor compnsam com folga ss pré-custo. Uma outra strutura d dados, adotada aqui, é o armaznamnto comprimindo linhas, qu é comumnt dnominada pla sigla m ingls, CSR (Comprssd Spars Row). Essa strutura d dados difr principalmnt da antrior pois armazna a matriz global ao invés das locais por lmntos ou arstas. São armaznados apnas os trmos não nulos da matriz global ncssita d dois arranjos para mapamnto. Os custos com prprocssamnto, opraçõs matriz-vtor dmanda d mmória são bastant comparávis ao das arstas. Sua vantagm é na possibilidad d utilização d pré-condicionadors mais robustos qu xigm uma strutura global. Um custo qu dv sr obsrvado, m ambos os casos, é na montagm das struturas d dados m si. S uma implmntação ficint não for dsnvolvida para st fim, pod-s tr um custo inicial compromtdor. Em gral, a utilização d tablas hash [97] são ficints para ssa montagm. Ribiro Frrira tstaram comparação divrsas struturas d dados m aplicaçõs com o método dos lmntos finitos m 2007 [107,108]. Como são tratados problmas tipicamnt advctivos, numa outra técnica computacional, s mostrou intrssant simplificar o algoritmo Adaptativo Implícito-Explícito (AIE) [117,122] para a técnica d Dsativação Dinâmica (DD) [90]. Ambas implmntaçõs são muito parcidas, difrindo apnas nos critérios adotados para scolhr a partição ativa na não ncssidad d rsolvr a part inativa no squma d DD, o qu ra fito por um método xplícito no squma AIE. Portanto a DD é adotada 11

28 aqui na solução da quação da saturação ou concntração m scoamntos m mios porosos como uma técnica computacional opcional. Essa técnica não foi implmntada na solução das quaçõs d Eulr. Ainda na simulação d scoamntos m mios porosos, a utilização da intgração rduzida com um ponto para o lmnto hxadro trilinar também é vista como uma técnica computacional, uma vz qu rduz a o tmpo d avaliação das matrizs locais. Com origm na mcânica dos sólidos, na anális d placas cascas, notou-s qu ao s utilizar a intgração complta ocorria o fnômno d travamnto m crtas aplicaçõs. A intgração rduzida não rprsnta modos d dformação tipo hourglass. Ao s somar stabilizaçõs para capturar sss fitos, o problma d travamnto foi contornado a intgração rduzida comçou a sr amplamnt utilizada nsss problmas [13]. Aqui, apsar do nfoqu sr outro, a msma técnica pod sr mprgada para rdução do tmpo computacional, como prviamnt ralizado m duas dimnsõs [48]. Os trmos rsultants são xatos para matrizs simétricas tipo difusão uma boa aproximação para a matriz não simétrica d advcção. É important rssaltar qu os lmntos hxaédricos dvm cumprir crtas xigências para qu a intgração rduzida com a stabilização hourglass produza matrizs com uma boa aproximação. Pré-condicionadors são obrigatórios na solução d sistmas d quaçõs linars por métodos itrativos basados m spaços d Krylov [110,22], como gradints conjugados GMRES. Inicialmnt, o pré-condicionamnto diagonal ou bloco-diagonal-nodal, qu é o mais simpls foi adotado com rsultados satisfatórios. Numa tntativa d s obtr ganhos computacionais, dois outros métodos d pré-condicionamnto foram implmntados para fins d comparação: (i) a aproximação do tipo LU-SGS (Lowr Uppr Symmtric Gauss-Sidl) ; (ii) a fatoração incomplta sm prnchimnto (ILU(0)). Esss pré-condicionadors mais rbustos foram implmntados, apnas, para as quaçõs d Eulr, junto com a strutura d dados CSR, uma vz qu são ncssárias soluçõs d sistmas triangulars, ou sja, opraçõs d substituição pra trás pra frnt, qu são naturalmnt rlacionadas à matriz global. 12

29 Ainda na solução das quaçõs d Eulr, foram tstadas algumas stablizaçõs d advcção d choqus qu são mais simpls qu as tipicamnt adotadas, pois são somnt basadas m variávis consrvativas. Elas são a stabilização SUGN para advcção YZβ para o choqu. São mais simpls, xigm mnos opraçõs d ponto flutuant portanto são vistas como técnicas com o objtivo d mlhorar tanto o dsmpnho computacional como a solução numérica. 1.5 Objtivos Como objtivos principais dsd studo d doutorado rafirma-s a implmntação d métodos d lmntos finitos stabilizados para solução dos problmas dominantmnt advctivos da mcânica dos fluidos computacional. Sndo ls: (i) scoamntos m mios porosos (bifásicos imiscívis dslocamntos miscívis), tipicamnt rlvants na ngnharia d ptrólo ; (ii) scoamnto comprssívis não viscosos, tipicamnt rlvants na ngnharia arospacial. Mais além, ssa dissrtação focada na solução dsss problmas da mcânica computacional visa contribuir com a implmntação ficint comparação d métodos, struturas d dados técnicas computacionais qu vnham a rduzir a dmanda d mmória aclrar o tmpo d procssamnto na obtnção d soluçõs mais confiávis prcisas. 1.6 Organização do Txto Rsumidamnt, ssa dissrtação ncontra-s divida nos sguints capítulos qu contêm como principais tmas: Capítulo 2 - Formulação matmática numérica para scoamntos m mios porosos; Capítulo 3 - Exmplos numéricos para scoamntos m mios porosos; 13

30 Capítulo 4 - Formulação matmática numérica para scoamntos comprssívis não viscosos; Capítulo 5 - Exmplos numéricos para scoamntos comprssívis não viscosos; Capítulo 6 - Técnicas computacionais dsnvolvidas para mlhorar a ficiência dos códigos d lmntos finitos implmntados; Capítulo 7 - Exmplos d aplicação para os dois problmas; Capítulo 8 - Conclusõs, discussõs dirçõs d psquisa futuras. 14

31 Capítulo 2 Formulação Matmática Numérica para Escoamntos m Mios Porosos 2.1 Introdução As quaçõs da mcânica dos fluidos são m gral dscritas a partir da consrvação da massa (quação da continuidad), consrvação da quantidad d movimnto (quação do movimnto) consrvação da nrgia [50]. Os scoamntos m mios porosos aqui studados são tratados como isotérmicos, ntão a quação da nrgia pod sr dsprzada. Mais ainda, para mios porosos m formaçõs gológicas (rsrvatórios d ptrólo ou aquífros), ond o scoamnto é lnto (com baixo númro d Rynolds), utiliza-s a Li d Darcy ao invés da quação do movimnto. Portanto, a partir da consrvação da massa da Li d Darcy Gnralizada [5], m um volum infinitsimal d um mio poroso, pod-s xprssar modlos matmáticos para scoamntos multifásicos m mios porosos. Existm críticas quanto à Li d Darcy Gnralizada [77], mas como é largamnt utilizada, srá aqui também adotada sm maiors discussõs. Nsta sção, srão aprsntados modlos matmáticos para dois casos d scoamntos d dois fluidos incomprssívis m um mio poroso rígido. Um para scoamntos bifásicos imiscívis outro para dslocamntos miscívis. Ambos modlos 15

32 s rsumm num sistma d três quaçõs difrnciais parciais não linars. Essas dscriçõs sgum os livros [5,10,29,56,105], as tss [47,59,100,103,114] os artigos cintíficos [38-41,91]. 2.2 Formulação Matmática Escoamnto Bifásico Imiscívl Em um domínio Ω R 3 com contorno Γ no intrvalo d tmpo [T ini, T fim ] tm-s v = (2.1) T Q T dpcow v T = Λ p pm Λ m sw + ( ρ oλo + ρwλw) Kg (2.2) ds s t w w φ + ( va + Ds sw) = Qw (2.3) mais as quaçõs d fchamnto s s =1 (2.4) w + o p cow ( s ) = p p (2.5) w o w ond os índics w o s rfrm as fass água ólo rspctivamnt. Em gral, as fass podm sr dois fluidos imiscívis incomprssívis quaisqur, dsd qu uma sja smpr a molhant a outra a não-molhant. Na q. (2.1) v = v + v é a vlocidad total [L/T] Q T = Q w + Q o a taxa d injção volumétrica total [1/T]. A vazão volumétrica é dada pla vazão mássica por unidad d volum [M/(TL 3 )] dividida pla massa spcífica ρ [M/L 3 ]. Na notação intrnacional, dnsity não significa dnsidad, mas sim massa spcífica tm unidad, portanto rcomnda-s cuidado com ss dtalh, qu m gral, causa má intrprtação. Na q. (2.2) p m é a prssão média das fass [F/L 2 ], φ a T w o 16

33 porosidad [ADIM], p cow a prssão capilar qu é dpndnt da saturação da água s w. Considrar os fitos da prssão capilar significa introduzir uma não-linaridad sgundo uma curva típica, por xmplo, do tipo sw + ε p cow( sw) = Aln (2.6) 1+ ε sgundo [105] sua drivada m rlação a s w é dp ds cow w = s w A + ε (2.7) sndo max( p = cow ) A (2.8) ε ln 1+ ε ε um parâmtro d ajust fixado m Os tnsors Λ p Λ m são dfinidos como Λ p = ( λ + λ ) K = λ K (2.9) o w T 1 Λ m = ( λo λw )K (2.10) 2 ond K o tnsor d prmabilidad absoluta [L 2 ] qu é dpndnt do spaço pod sr anisotrópico, g é o vtor aclração da gravidad dado plas suas componnts cartsianas T g = g z = g g g ), ond g é o módulo da aclração gravitacional z ( x y z a profundidad. A mobilidad das fass λ j é dada por krj λ j =, j = w, o (2.11) µ j 17

34 sndo µ j a viscosidad [FT/L 2 ] da fas j. As prmabilidads rlativas k rj [ADIM] também são funçõs dpndnts da saturação, caractrizando-s assim uma outra nãolinaridad para o problma. Divrsos modlos podm sr utilizados [5,56,105], aqui é adotado 2 rw( sw) sw k = (2.12) k ro ( sw w 2 ) = (1 s ) (2.13) Na q. (2.3) a vlocidad aparnt v a é dada por v a df w = [ v T + ( ρ w ρ o ) λ o Kg] (2.14) ds w o tnsor d difusão D s por D s dp cow = λo fwk (2.15) dsw ond f w é a função d fluxo fracional da água, dpndnt d s w, dada por λw λw f w ( s w ) = = (2.16) λ + λ λ w o T sua drivada m rlação a saturação da água por df ds dλ 1 1 dλ w = w T λw 2 (2.17) w dsw λt λ ds T w 18

35 2.2.2 Dslocamnto Totalmnt Míscivl Considrando, novamnt, um domínio Ω R 3 com contorno Γ no intrvalo d tmpo [T ini, T fim ] tm-s v c = Q c (2.18) v c K µ (c) = c ( p ρg) (2.19) c φ + ( vc + Dc ( vc ) c) = cq c (2.20) t ond v c é a vlocidad [L/T] Q c a taxa d injção volumétrica da concntração/mistura [1/T]. Na quação (2.19) K é o tnsor d prmabilidad absoluta [L 2 ], µ(c) a viscosidad [FT/L 2 ], p c a prssão da mistura [F/L 2 ], ρ a massa spcífica da mistura [M/L 3 ], constant no caso d fluidos incomprssívis, g o vtor aclração da gravidad, φ a porosidad [ADIM] c a concntração da mistura nas fonts/sumidouros. Também é important dfinir a razão d mobilidad, M, qu é a rlação ntr a viscosidad do fluido rsidnt do injtado, como sgu µ M = r (2.21) µ i A li não-linar para a viscosidad da mistura pod sr dada por [30] R(1 c ) µ ( c) = (2.22) R = ln M, (2.23) ou pod s adotar ainda [41] 19

36 ( 1 c + M c) r µ ( c ) = µ (2.24) Ambas as lis (2.22) (2.24) têm comportamnto monotônico divrsas outras, inclusiv não monótonas, podm sr adotadas como m [39]. O tnsor difusivo, sgundo [105] pod sr dado por { α I + v [ α E( v ) + α ( I E( v ))]} Dc ( vc ) = φ m 3 c l c t 3 c (2.25) 1 ( = v v (2.26) E vc ) 2 vc c T c ond α m, α l α t são os coficints d difusão molcular, d disprsão longitudinal transvrsal, rspctivamnt. Em gral [105], os fitos d disprsão são fisicamnt mais importants qu os da difusão molcular, qu podm sr nglignciados na maioria dos casos (α m = 0), além disso, é comum adotar α l 10α t. Em scoamntos com alta razão d mobilidad ocorrm frnts d instabilidad conhcidas como viscous fingrs [29]. Not qu o caso d dslocamntos totalmnt miscívis não sugr fitos capilars pois não há intrfac ntr os fluidos, nm prmabilidads rlativas uma vz qu somnt, um fluido, isto é, a mistura é considrada, como s foss um scoamnto monofásico. Por isso, a não linaridad introduzida nss caso é basicamnt da li d viscosidad. No caso d miscibilidads parciais, um modlo composicional qu prmit troca d massa ntr as fass, dv sr utilizado [29] Sistma Unificado Visando a unificação da notação, das duas classs d scoamntos, assumindo uma convnint forma advctiva da quação d transport, isto é, divrgnt do campo 20

37 advctivo igual a vazão do lmnto [84]. Portanto, o sistma sgrgado d quaçõs para ambos os casos podm sr scritas na sguint forma gnérica C p = Q (2.27) p c v v = C p p + c v (2.28) u φ + v u u + D u = 0 (2.29) t condiçõs d contorno apropriadas para p iniciais d contorno para u são ncssárias para fchar o problma matmático acima dscrito. A Tabla 2.1 aprsnta a lgnda para a notação unificada. Tabla 2.1 Lgnda para notação unificada. Grandza Caso imiscívl Caso miscívl v v T v c Q Q T Q c C p Λ p K µ(c) p p m p c c v dpcow Λ m sw + ( ρ oλo + ρwλw) Kg ds ( ρg) w K µ (c) φ φ φ u s w c v u v a v c D D s D c Considração d fluidos não-nwtonianos Para ambos os casos, imiscívl ou miscívl, pod-s tratar, um ou os dois fluidos como não-nwtonianos, cuja rologia é uma rlação não-linar ntr a tnsão cisalhant, τ a 21

38 taxa d dformação, γ&. Isso caractrizaria outra font d não-linaridad, particular dos fluidos, para o problma. Adotando, por xmplo, o modlo d Li d Potências (Powr Law) tm-s (&) n τ = H γ (2.30) ond H n são parâmtros típicos conhcidos para ssa rologia. Not qu com H = µ n = 1, ss modlo pod sr utilizado como o d um fluido Nwtoniano. Existm divrsos modlos mpíricos para scoamntos d fluidos não-nwtonianos m mios porosos, com a finalidad d s rprsntar a viscosidad m função da vlocidad. Basado no trabalho d CHIU t al. [34], tm-s a sguint xprssão, para scoamntos imiscívis, dnominada modlo d Kozny n H 3 1 n ) = 9 + ( 150 ) 2 a κ aφ v a n 1 µ NN ( v (2.31) 12 n ond κ a é a prmabilidad absoluta na dirção do scoamnto. Sgundo AZAIEZ E SINGH [4], pod-s rprsntar simplificadamnt dslocamntos miscívis com um fluido injtado não-nwtoniano, pla sguint xprssão ( )( ) ( n 1 ) 4 c 1+ v 2 c µ ( c, v ) µ (2.32) NN c = c 2.3 Formulação Numérica para a Notação Unificada Nsta sção srão aprsntadas as formas fracas das quaçõs govrnants, rorganizadas d manira convnint a aplicar as aproximaçõs d lmntos finitos. Srão aprsntadas as matrizs d lmnto, m sua forma intgral, dtalhs d sua implmntação. 22

39 Para o dsnvolvimnto das formas fracas, dfin-s Γg p Γg u como a parcla do contorno com graus d librdad p u prscritos com condiçõs d contorno ssnciais (tipo Dirichlt), g p g u, os sguints spaços d funçõs 1 V w = { w w H com w = 0 m Γ} (2.33) 1 V w = { w w H com w = 0 m Γ} (2.34) S p S v S u 1 = { p p H ; p = g mγ } (2.35) 1 p g p = { v v H } (2.36) 1 = { u u H ; u = g mγ } (2.37) u g u ond V w V w são spaços ond dvm rsidir as funçõs pso scalar vtorial rspctivamnt os dmais spaços para as funçõs incógnitas dos graus d librdad considrados, isto é, S p para a prssão, S v para a vlocidad S u para o transport. Not qu, H 1 H 1 são spaços quadrado intgrávis usuais [70]. Iniciar uma formulação d lmntos finitos significa substituir ou aproximar as funçõs incógnitas psos nas formas variacionais discrtas, plas suas intrpolaçõs nos lmntos. As formas variacionais discrtas são aprsntadas a sguir. A Forma variacional discrta d Galrkin para a quação da prssão é Ω p c v Ω Ω h h h h h w C p dω = w Q dω w dω (2.38) qu intgrando por parts os primiro trciro trmos tm-s Γ = w Ω h w C h p Q p h h dω nˆ dγ Γ w h h h ( w Cp p ) c Ω v nˆ dγ + Ω w h c dω + v dω (2.39) 23

40 considrando fluxo nulo no contorno organizando sinais fica h h h h h ( w p p ) dω = w Q dω + w c v dω Ω C (2.40) Ω Ω A forma variacional discrta da quação da vlocidad é Ω h h h h w v dω = w C p p + c ) dω (2.41) Ω ( v a forma variacional discrta d Ptrov-Galrkin da quação Saturação/Concntração é Ω w h PG h h ( D u ) dω = w Q dω Ω PG u h u h φ + v u u + (2.42) t qu intgrando por parts o fluxo difusivo assumindo-o nulo no contorno fica Ω w h u h h h h h ( φ + v u u wpg D u dω = Ω wpg Qu d (2.43) t Ω h PG ) Essas formas variacionais discrtas (2.41), (2.42) (2.43), são as mais convnints são obtidas a partir da aproximação das funçõs incóginitas pso contínuas, plas funçõs discrtas nodais p h, v h, u h, w h w h qu prtncm aos subspaços finitos S h V h contidos m S V. Not qu w PG é a função pso dscontínua d Ptrov-Galrkin, ncssária na quação prdominantmnt advctiva. O supríndic h indica o uso d uma malha d lmntos finitos. As funçõs incógnitas aproximadas locais, dntro d um lmnto finito, são intrpoladas por u h nn = i=1 N u i i = Nu (2.44) 24

41 su gradint por u h = nn i=1 ( B u B u B u ) T = Bu 1 i i 2i i 3i i (2.45) ond nn é o númro d nós do lmnto, N uma matriz com as funçõs d intrpolação B su oprador gradint discrto. No caso d funçõs vtoriais, pod-s pnsar m cada componnt cartsiana como s foss um grau d librdad, portanto sua intrpolação é smlhant a (2.44), só qu com a matriz N v como sgu h nn nsd v = Nv vi = N v v i i= 1 (2.46) su oprador divrgnt discrto tm a forma h nn nsd v = Bdiv vi = B div v i i= 1 (2.47) ond nsd é o númro d dimnsõs spaciais, no caso três dimnsõs. Aplicando ssas aproximaçõs locais, à nívl d lmnto, nas formulaçõs variacionais, gra-s as formas discrtas corrspondnts aos nós da malha d lmntos finitos, portanto uma formulação matricial. Os sistmas locais, isto é para cada lmnto, têm suas matrizs com dimnsão ngl x nn. As matrizs das funçõs d intrpolação, N N v, bm como sus opradors gradint discrtos B divrgnt discrto B div stão aprsntados no apêndic A, para o lmntos ttraédricos. A intrpolação adotada para as funçõs pso é a msma das funçõs incógnitas s o método dos rsíduos pondrados for o d Galrkin. Essa pondração funciona muito bm para problmas puramnt difusivos (quaçõs parabólicas) como é o caso da prssão, mas é inadquado m casos prdominantmnt advctivos (quaçõs hipérbólicas) como a quação d transport. Por isso, é adotada a pondração linar à montant d Ptrov- 25

42 Galrkin (SUPG) [19] para a quação do transport. Mais ainda, como as frnts d saturação/concntração são abruptas, um oprador d Captura d Dscontinuidads (CD) [35,36] é acrscntado para suavizar tais fitos. Ess procdimnto introduz uma fraca não-linaridad, d carátr numérico, no problma. Fraca porqu bastam poucas itraçõs para s obtr o fito dsjado [117]. A incorporação da pondração SUPG do oprador CD gram uma formulação stabilizada d lmntos finitos variacionalmnt consistnt para a quação d transport qu pod sr scrita como NEL h h ( ) Ω v h h w L u d + τ w L( u ) dω + Ω PG Ω PG = 1 v = NEL 1 Ω δ w h PG u h dω = 0 (2.48) sndo o oprador L(u h ) dfinido por L u t h h h h h h ( u ) : = φ + v u u w D u Qu (2.49) O parâmtro a nívl d lmnto Codina [29] pla xprssão τ da stabilização SUPG é calculado sgundo 1 h h h ( ) ( ) D u vu u τ = c1 + c 2 2 ( h ) h (2.50) ond c 1 = 4 c 2 = 2 para lmntos linars h uma stimativa para o tamanho do lmnto, adotado como a raíz cúbica do volum do lmnto. O parâmtro d difusão artificial δ é avaliado sgundo a formulação CAU (Consistnt Aproximat Upwind) d GALEÃO E DO CARMO [58] por 26

43 L( u ) δ = αuph (2.51) u ond α up é um parâmtro d upwinding qu tm uma aproximação assintótica dada por Codina [35] L u ) é o valor absoluto do rsíduo no intrior do lmnto. ( Os lmntos ttradro linar d 4 nós (T4) hxadro trilinar d 8 nós (H8) foram implmntados para discrtização spacial. A intgração complta das matrizs do T4 é dirta nquanto qu o H8 xig 2x2x2 pontos d Gauss para uma intgração numérica xata, o qu pod sr computacionalmnt onroso. Contudo, ao s usar a intgração rduzida [12,13,81] pod-s também intgrar as matrizs do H8 com 1 ponto. Assim, troca-s oito laços d programação por apnas um, qu xig mnos opraçõs d ponto flutuant. Portanto a intgração rduzida srá vista como uma técnica computacional tratada no Capítulo 6. A intgração rduzida surgiu m aplicaçõs d placas cascas para suprar o travamnto por cortant [13], contudo, aqui é mprgada apnas visando um ganho no dsmpnho computacional, como já ralizado m [47,48]. 2.4 Matrizs d Elmnto para Equação da Prssão Para a quação da prssão tm-s as sguints matrizs vtor indpndnt locais T k p = B CpB dω (2.53) Ω T f p = Q + B c v dω (2.55) Ω como os valors d vazõs mássicas q são por unidad d volum, dv-s multiplicá-los por um volum d control, por xmplo, o volum do poço, para qu sjam aplicadas dirtamnt nos nós grando o vtor local Q. 27

44 2.5 Matrizs d Elmnto para Equação da Vlocidad, a Técnica d pósprocssamnto das vlocidads para o T4 Já é bm conhcido qu calcular as vlocidads dirtamnt pla Li d Darcy, isto é, através da drivação numérica das prssõs nodais é inadquada por sr uma aproximação d baixa ordm. Métodos mistos podm sr utilizados para aproximar as vlocidads, contudo tais métodos rqurm spaços d funçõs não usuais su tmpo computacional é xprssivamnt maior [102]. Para contornar ss obstáculo, MALTA t al. [96], acrscntaram à forma variacional da Li d Darcy (2.41), um trmo, basado na pondração do rsíduo da consrvação da massa, plo divrgnt da função pso vtorial. Dsta forma, pod-s aproximar o campo d vlocidads com a msma ordm d intrpolação da prssão. Esta técnica é conhcida como pós-procssamnto das vlocidads sua anális numérica foi dsnvolvida para dslocamntos miscívis [96]. Também, já foi usada com sucsso para scoamntos bifásicos imiscívis m duas dimnsõs [114,100] dixa-s aqui sua anális numérica como rcomndação. A técnica d pós-procssamnto pod sr vista como uma stabilização para a vlocidad, basada na adição, à sua forma variacional, da sguint xprssão nl Ω = 1 C ppv h h ( v Q) w dω (2.57) ond a constant C ppv h 1 h val para o caso imiscívl 2 M 2 2 para o caso miscívl. Finalmnt as matrizs d lmnto para a vlocidad no T4 ficam T v = N v N v dω + C ppv Ω Ω T div m B B dω (2.58) div 28

45 T v = N v ( CpBp + c v ) dω + C ppv Ω Ω 0 T div f Q B dω (2.59) ond p é o vtor local com valors nodais das prssõs cntróid do lmnto, a partir das vazõs nodais. 0 Q a vazão avaliada no Obsrvação 2.1. A obtnção das vlocidads para o H8 é fita utilizando dirtamnt a Li d Darcy com o oprador gradint discrto avaliado apnas no cntróid do lmnto, pois alí rsid um ponto d suprconvrgência para lmntos d lados parallos [34]. Dsta forma, para lmntos não muito distorcidos, pod-s assim dispnsar a técnica d pós-procssamnto para lmntos hxaédricos. 2.6 Matrizs d Elmnto para Equação do Transport O sistma (não-simétrico) smi-discrto para o transport é u m u& + c u = f (2.60) su vtor indpndnt u u f = Q (2.62) Val a msma obsrvação qu a vazão aplicada para a quação da prssão para s obtr dirtamnt sus valors nodais. A matriz d massa do sistma é dado pla soma g pg m = m + m (2.64) ond a matriz d massa consistnt d Galrkin é dada por 29

46 = Ω T mg φ N N dω (2.66) ou ainda na forma diagonal (lumpd) por = Ω diag( ml g ) φ N dω (2.67) Já amatriz d massa d Ptrov-Galrkin é dada por m pg = φ Ω T T u τ N v B dω (2.68) A matriz d advcção-difusão é dada plo somário ag apg dg dpg cd k = k + k + k + k + k (2.69) ond a matriz d advcção d Galrkin é = T u k ag N v B dω (2.71) Ω T Obsrvação 2.2. A matriz d advcção d Galrkin k ag é igual a transposta da matriz d massa d Ptrov-Galrkin, xcto pla multiplicação da constant particularidad é lvada m considração na implmntação computacional. φ τ. Essa A matriz d advcção d Ptrov-Galrkin tm a xprssão k T T apg τ B vu vu B dω (2.72) Ω = 30

47 a matriz d difusão d Galrkin = k dg B DB dω (2.73) Ω T a matriz d difusão d Ptrov-Galrkin é nula k dpg = 0 (2.74) Obsrvação 2.3. A matriz d difusão d Ptrov-Galrkin k dpg é nula para lmntos linars tri-linars pois nvolv a sgunda drivada das funçõs d intrpolação, portanto não srá considrada daqui m diant. É important também rssaltar qu ss trmo, quando contínuo, isto é, ants da aproximação d lmntos finitos, não pod sr intgrado por parts pois a função pso d Ptrov-Galrkin é dscontínua. E finalmnt a matriz do oprador d captura d dscontinuidads é dada por = Ω T k cd δ B B dω (2.75) Obsrvação 2.4. Matriz d difusão gnralizada Em trmos d implmntação pod-s pnsar na matriz d difusão d Galrkin, d advcção d Ptrov-Galrkin d captura d dscontinuidads como uma única matriz d difusão gnralizada da forma = k dg B DGB dω (2.76) Ω T ond o tnsor d difusão gnralizado assum a contribuição das 3 matrizs 31

48 D G T u = D +τ v v +δ I (2.77) u 3 Dssa forma, a implmntação é mais simpls ficint. 2.7 Intgração complta (2x2x2) para o H8 A intgração complta do H8, para a avaliação da intgral d qualqur trmo d uma matriz gnérica F, transformada m coordnadas naturais ξ, η ζ, pod sr fita pla rgra Ω F( x, y, z) dω = F( ξ, η, ζ )dt J dξdηdζ w w w F( ξ, η, ζ ) dt J (2.78) i= 1 i i i i i i ond J é o Jacobiano da transformação ntr coordnadas os pontos d Gauss ξ i, ηi ζ i sus psos i w são forncidos na Tabla 2.2. Tabla 2.2 Rgra para intgração numérica m hxadros trilinars. Pontos d intgração d Gauss i Psos w i ξ i η i ζ i 1 -xg -xg -xg xg -xg -xg xg xg -xg xg xg -xg xg -xg xg xg -xg xg xg xg xg xg xg xg 1.0 xg =

49 Obsrvação 2.5. A implmntação é fita com dois laços d programação, sndo o mnor mais xtrno nos pontos d intgração d Gauss o maior mais intrno, nos lmntos, obtndo-s assim provito computacional m divrsas arquitturas. 2.8 Sistmas Globais Rsultants Finalmnt, após s obtr as matrizs vtors locais, xplicitamnt ou por uma rgra d intgração numérica, soma-s suas contribuiçõs rspitando a malha adotada, isto é, faz-s o assmbling para s chgar o sistma global rsultant. Todas as matrizs vtors indpndnts, com as condiçõs d contorno já incorporadas, globais rsultants são obtidos a partir das contribuiçõs dos lmntos através da opração d assmbling A, como sgu squmatizado nl = M = A m (2.79) 1 grando assim os sguints sistmas globais: Sistma da prssão (simétrico) K pp = F p (2.80) ond K p é a matriz d coficints da quação da prssão, F p su vtor indpndnt p o vtor incógnita nodal global para a prssão. Sistma da vlocidad (simétrico) M vv = F v (2.81) 33

50 ond M v é a matriz do pós-procssamnto da vlocidad, F v su vtor indpndnt v o vtor incógnita nodal global para vlocidad. Para o H8, não há sistma para vlocidad pois la é avaliada dirtamnt no cntróid dos lmntos, como já mncionado. Sistma smi-discrto do transport (não-simétrico) M u& + Ku = (2.82) F u ond u& é a drivada tmporal d u, qu é o vtor incógnita dos valors nodais globais para a saturação/concntração. M é a matriz d massa global K a d advcção-difusão, também global. A aproximação tmporal mprgada na quação d transport já é amplamnt utilizada m problmas d scoamntos m mios porosos [84,100,114]. O squma é squncialmnt implícito, isto é, sgrgado. El é provnint da família d métodos da rgra trapzoidal [70], na forma d bloco itrativo prditor/multicorrtor. É m bloco, pois tm-s qu avançar no tmpo a solução da prssão, da vlocidad da saturação, squncialmnt. É itrativo pois os métodos utilizados para a solução dos sistmas d quaçõs rsultants são o do gradints conjugados, com précondicionamnto diagonal para a prssão bloco-diagonal para vlocidad, o GMRES [109] com précondicionamnto diagonal para o transport. O squma prditor/corrtor é o método d intgração tmporal totalmnt implícito propriamnt dito a multicorrção é um squma tipo Nwton para tratar as não-linaridads. Portanto o squma d cálculo tmporal rsultant stá squmaticamnt aprsntado no Quadro

51 Quadro 2.1 Intgração tmporal das quaçõs para mios porosos. n= 0 lê condiçõs iniciais para o transport i= 0 do loop 1 tmpo n monta vtor font, constant ~ no passo d tmpo t n n 1 n 1 prdição do transport U 0 = U 0 + ( 1 α ) tu& 0 monta vtor com as condiçõs d contorno do loop 2 multicorrção (itraçõs não linars i) rsolv quação da prssão para o incrmnto atualiza solução da prssão n n i = Pi 1 P U n i + P n P i rsolv quação da vlocidad para o incrmnto atualiza solução da vlocidad V n n i = Vi 1 + V n i n V i rsolv quação do transport para o incrmnto da drivada tmporal corrig solução do transport n n n U & i = U& i + U& 1 i n n n U i = U i 1 + α t U& i 1 chca convrgência não-linar fim do loop 2 imprssão dos rsultados parciais fim do loop 1 n U & i Ond o parâmtro da intgração tmporal α é igual a 0.5 para um método totalmnt implícito d sgunda ordm. Exist ainda a possibilidad a ncssidad (dvido as forts não-linaridads) da utilização d um squma com um passo d tmpo variávl. Divrsos controladors já foram utilizados com sucsso [139]. Nss trabalho, ssa opção não stá implmntada, mas dixa-s aqui a mnção d sua rlvância sua futura incorporação. Dixa-s também o intuito d introduzir squmas totalmnt xplícitos (tipo Rung-Kutta), qu podm tr prcisão d mais alta ordm. E também, qu m conjunto com um passo d tmpo adaptativo, controlado pla condição d CFL, promovrá smpr um método totalmnt xplícito stávl. Rcntmnt, os trabalhos [64,65] mostraram a stabilidad para divrsos métodos d intgração tmporal para a quação advcção-difusão, inclusiv squmas spaço-tmpo d lmntos finitos. 35

52 2.9 Considraçõs sobr Consrvação da massa stabilizaçõs Dsd os primórdios dos lmntos finitos xist um dsntndimnto quando afirmam qu o método dos lmntos finitos é não-consrvativo ou qu não consrva massa. Na vrdad l é globalmnt consrvativo [73], mas localmnt ntr lmntos m apnas alguns casos. Para as quaçõs d advcção-difusão d Navir-Stoks incomprssívl, m rgims prmannt ou transint, a consrvação da massa é provada m [72] para os métodos d Galrkin para os métodos stabilizados SUPG, GLS multi-scala. Not qu como o campo d vlocidads, portanto o campo advctivo, é obtido numricamnt, não s pod garantir qu l tnha divrgnt nulo, daí não s garant as propridads d consrvação. Então, surgm duas opçõs para s contornar isso, a primira é considrar a quação d transport m sua forma consrvativa, o qu não é usual ond é considrado o trmo do divrgnt d v u. A outra, proposta rcntmnt m [72] é adicionar um trmo d stabilização, basado m princípios multiscala qu corrig o dsquilíbrio no balaço d massa. Portanto, somando as sguints intgrais no intrior dos lmntos nas quaçõs do transport tm-s nl nl h h h h w ( Ω + Ω = Ω pr u ) d ( = Ω p w ) ( p u ) d v τ r v τ τ rv 1 1 τ (2.83) na forma variacional da quação d transport, fica garantida a consrvação msmo para campos d vlocidad não-solnoidais, isto é, d divrgnt não ncssariamnt nulo, qu é o caso dos campos advctivos numéricos. O parâmtro τ pod sr aproximado por h τ = (2.84) τ p r v τ p é um coficint d stabilização tipo prssão (no caso d Navir-Stoks incomprssívl), qu pod sr adotado como C ppv, uma vz qu o campo advctivo é originado do pós-procssamnto das vlocidads r v é o rsíduo da quação dss 36

53 campo advctivo numérico, isto é da quação da vlocidad, avaliado no intrior do lmnto. Obsrvação 2.4. É intrssant notar qu 4 stabilizaçõs d lmntos finitos foram mprgadas, com a finalidad d: i. controlar as oscilaçõs spúrias provnints da advcção (SUPG) ii. suavizar frnts dscontínuas/abruptas (CD) iii. intrpolar vlocidads (pós-procssamnto) com msma ordm qu as dmais variávis no T4 iv. garantir propridads d consrvação na quação d transport No Capítulo 6 srá também introduzida a stabilização para capturar os modos hourglass na intgração rduzida do H8, o qu é vista, aqui, como uma técnica d aclração computacional. A sguir, os xmplos numéricos d validação vrificação das quaçõs para mios porosos. 37

54 Capítulo 3 Exmplos Numéricos d Escoamntos m Mios Porosos Os xmplos numéricos aprsntados aqui têm o objtivo d validar [6] a implmntação computacional tridimnsional para scoamntos m mios porosos vrificá-las [6] com soluçõs analíticas /ou problmas já bm conhcidos m duas dimnsõs. As unidads são omitidas quando considradas num sistma cornt. Para os xmplos tms um domínio qu rprsnta um quarto da configuração tipo fivspot. A dscrição das condiçõs d contorno inicial s ncontram na Figura 3.1. A malha d lmntos finitos adotada é uma discrtização d 20x20x1 como aprsntado na Figura 3.2. A malha d ttradros foi obtida a partir da divisão d cada hxadro m cinco lmntos. O mio é homogêno fitos d gravidad, disprsão/difusão prssão capilar foram dsconsidrados. É aplicada a condição d contorno d fluxo nulonos contornos strnos dos mios porosos. Nst capítulo srão ainda aprsntados mais dois xmplos. Um primiro d rsrvatórios d ptrólo basados m dados rais do décimo xrcício comparativo do SPE [143], ond dados são colocados à disposição d divrsas mprsas para qu cada uma faça uma simulação para fins d comparação d tmpo d procssamnto, técnicas 38

55 d scalonamnto (upscaling) qualidad da solução. O quarto xmplo é rfrnt aos primiros passos m dirção à modlagm anális d bacias, ond dados d uma bacia na Colômbia foram utilizados para simular a migração scundária. p = 0 taxa d produção (-) taxa d injção (+) (a) p = 0 CI: scalar m (t=0) = 0 scalar = 1 (b) Figura Condiçõs d contorno inicial para prssão (a) transport (b). Figura Malhas d lmntos finitos T4 H8 para discrtização d um quarto d fivspot. 3.1 Caso Imiscívl: Injção contínua d água Ess problma tst é basado nas dscriçõs aprsntadas m [114] para produção d ólo a partir da injção contínua d água. As propridads do mio poroso são porosidad d 0.2 prmabilidad isotrópica unitária. As viscosidads do ólo da água são 4 1, rspctivamnt. Condiçõs d contorno constant no tmpo foram aprsntadas na 39

56 Figura 3.1. Como condição inicial, considra-s o rsrvatório totalmnt saturado d ólo. Um passo d tmpo fixo d 10-3 VPI (volum poroso injtado) foi adotado para simulação d tmpo total d 4 VPI. As tolrâncias para os solucionadors itrativos foram d 10-6 para as itraçõs não linras d Soluçõs m tmpos inicial final são aprsntadas na Figura 3.3 stão d acordo com as soluçõs publicadas na litratura [114]. Na Figura 3.4 pod-s vr uma comparação da frnt d saturação volum d ólo rcuprado, como stá d acordo com a ts [114]. (a) (b) Figura Saturação d água m tmpos inicial final d simulação para os lmntos T4 (a) H8 (b). 40

57 VOR VPI (a) (b) Figura Comparação do volum total d ólo rcuprado: (a) st trabalho, (b) rfrência [114]. 3.2 Caso Miscívl: Injção d traçador Ess problma tst é basado nas dscriçõs aprsntadas m [91,47]. É um domínio d 1000x1000x50. As taxas d injção (x = y = 0) produção (x = y = 1000) são iguais a 250. Foi adotado um passo d tmpo d 1 até um tmpo total d simulação igual a As propridads dos fluidos são tais qu a razão d mobilidad val 2. O mio poroso tm uma porosidad d 0.1 prmabilidad isotrópica igual a 100. As tolrâncias dos solvrs itrativos foram d 10-6 d 10-2 para as itraçõs não linars. A convrgência não linar foi alcançada m todos os passos d tmpo. Soluçõs para tmpos inicial, intrmdiários final s ncontram na Figura 3.5 aprsntam concordância com rsultados da litratura d rfrência [47], como pod sr comparado na Figura 3.6, qu aprsnta isolinhas da solução m tmpos intrmdiários. 41

58 Figura Concntração inicial, intrmdiárias final para T4 (squrda) H8 (dirita). Figura Concntraçõs intrmdiárias para rfrência [47]. 42

59 3.3 SPE injção d água m rsrvatório htrogêno Est xmplo é uma simplificação do décimo studo comparativo do SPE [146] d um rsrvatório totalmnt htrogêno na part Uppr Nss do Mar do Nort. Apsar do modlo original sr trifásico tipo black oil, foi aqui simplificado para o scoamnto bifásico ólo-água. Mais além, foi fito um scalonamnto (upscaling), por uma média harmônica, do modlo qu contmplava mais d 1 milhão d lmntos para um modlo rduzido com 8976 lmntos hxaédricos nós. O rsrvatório contmpla 4 poços produtors nos cantos 1 injtor no mio, do domínio. As propridads dos matriais já scalonados s ncontram na Figura 3.7, ond as prmabilidads stão m md. O domínio contmpla 1200x2200x170 ft, a viscosidad dos fluidos foi d 3 cp para o ólo 0.3 cp para água. Efitos gravitacionais, capilars difusivos foram nglignciados. Como condiçõs d contorno para prssão, foram prscritas prssõs d fundo d poço d 4000 psi nos poços produtors d psi no injtor. A vazão d injção é d 5000 barris/dia no poço injtor. Como condição d contorno para saturação da água é prscrito unitária no poço injtor, simulando injção contínua. Como condição inicial, é adotado o rsrvatório totalmnt prnchido ólo prssão nula. Apsar do modlo comparativo prvr curvas d rcupração para 2000 dias d produção, aqui foi analisado mais tmpo d injção, contmplando a chgada d água nos poços produtors. Soluçõs nos tmpos 1, 500, 1000, dias são aprsntadas na Figura , 2500, na Figura 3.9. com ss xmplo tm-s o objtivo d rsolvr um problma complto d rsrvatórios com dados rais. A solução comprova a capacidad do programa m rprsntar o scoamnto dvido as htrognidads do mio. 43

60 Porosidad Prmabilidad Horizontal Prmabilidad Vrtical Figura Propridads dos matriais já scalonadas: porosidad, prmabilidads horizontal vrtical. 44

61 t = 1 dia t = 500 dias t = 1000 dias t = 1500 dias Figura 3.8 Solução nos tmpos t = 1, 500, dias. 45

62 t = 2000 dias t = 2500 dias t = 3000 dias t =3500 dias Figura 3.9 Solução nos tmpos t = 2000, 25000, dias. 46

63 3.4 Migração Scundária m um Bloco Sdimntar A partir d um bloco modlado no Gocad [141] foi possívl grar uma malha volumétrica d ttradros no próprio programa para s xcutar uma anális tst. A qualidad dsta malha é qustionávl, mas foi adotada msmo assim para análiss prliminars. O domínio modlado tm aproximadamnt 22x80x23 km d xtnsão. A dfinição das propridads d porosidad prmabilidad das camadas s ncontram na Tabla 3.1 a Figura 3.10 mostra as camadas a malha d lmntos finitos. As condiçõs d contorno adotadas foram d uma prssão atmosférica prscrita no topo d 0.45 da profundidad na bas. A saturação d água também é prscrita constant na bas. Como condiçõs iniciais, a camada da rocha gradora foi totalmnt prnchida com ólo as dmais com água. Efitos d prssão capilar gravidad foram dsconsidrados. O tmpo total d anális foi até o ólo atingir a rocha rsrvatório o qu durou aproximadamnt 50 mil anos, sndo o passo d tmpo utilizado d 1 mil anos. A partir da volução dss cnário tm-s o ólo migrando da rocha gradora m dirção à camada rsrvatório, sguindo a gomtria do modlo, conform aprsntado nas imagns da Figura 3.1. Como foi utilizado o lmnto ttraédrico foi adotado o pósprocssamwnto para as vlocidads. A convrgência não linar da solução foi boa pois obtv convrgência na maioria dos passos d tmpo. Ess modlo inicial foi dsnvolvido visando futuras análiss d aplicaçõs m divrsos cnários d intrss srviu d bas para o xmplo mais complto, d aplicação ral, aprsntado no Capítulo 7. Um dos maiors objtivos dsss xmplos sobr anális d bacias foi d s stablcr uma mtodologia para tratar o problma m difrnts cnários. A mtodologia, mlhor xplicada no Capítulo 7, ngloba a gração d uma malha não struturada d ttradros a partir d modlos GoCad [141], a dfinição das propridads dos matriais, condiçõs iniciais d contorno, cnários para studos d caso. 47

64 (a) (b) Figura Dtalh das camadas do modlo (a) da malha adotada (b). Tabla Dfinição das propridads das camadas d cima para baixo. Camada/Litologia porosidad kx (md) ky (md) kz (md) Topografia Oligocno Rsrvatório Crtáco Suprior Rocha Gradora Crtáco Infrior

65 t = 1 mil anos t = 10 mil anos t = 20 mil anos 49

66 t = 30 mil anos 1 t = 40 mil anos t = 50 mil anos Figura Evolução da migração do ólo. 50

67 Capítulo 4 Formulação Matmática Numérica para Escoamntos Comprssívis Não Viscosos 4.1 Introdução Como já mncionado no Capítulo 2, as quaçõs da mcânica dos fluidos são dscritas a partir da consrvação da massa (quação da continuidad), consrvação da quantidad d movimnto consrvação da nrgia [50]. A ddução formal das quaçõs a partir d volums infinitsimais não srá aprsntada aqui rcomnda-s [67] para maiors dtalhs. Aqui srá aprsntada a forma quas-linar final das quaçõs govrnants d scoamntos comprssívis não viscosos, ou sja, as quaçõs d Eulr. A formulação matmática numérica, conform aprsntadas organizadas nst capítulo, sgum principalmnt as rfrências [26,67,150,68-69,85-86, ,]. 51

68 4.2 Formulação Matmática A forma quas-linar tridimnsional das quaçõs d Eulr m varávis consrvativas sm trmo font pod sr rprsntada num domínio spaço-tmpo Ω t i, t ], sguindo HIRSCH [67], por [ f L( U ) U, + A U, + A U, + A U, = 0 (4.1) = t x x y y z z ond U é o vtor das variávis consrvativas dado por U 1 1 U 2 u x U = U 3 = ρ u y, (4.2) U 4 u z U 5 T A x, A y A z são as matrizs 5x5 dos fluxos d Eulr, como dfinidas m [68,69]. Em (4.1), a vírgula dnota difrnciação. Na quação (4.2), as variávis nodais são ρ, a massa spcífica do fluido, qu aparc multiplicando também as dmais variávis, u = [u x, u y, u z ] T qu é o vtor vlocidad T qu é a dnsidad d nrgia total, dada pla soma da nrgia intrna i da dnsidad d nrgia cinética u 2 /2. Assumindo qu o fluido obdc uma li d gass idais, a rlação constitutiva é dada plas sguints xprssõs, i = cvt (4.3) ( γ 1) i p = ρ (4.4) ond p é a prssão trmodinâmica, c v é o calor spcífico a volum constant, T a tmpratura absoluta, γ = c p /c v c p o calor spcífico à prssão constant. 52

69 4.3 Formulação Numérica A forma variacional discrta da quação (4.1) é h nl h h h T W h W U ( A i ) τ L( U ) dω + dω = 0 h h W L( U ) dω + δ (4.5) Ω x Ω x x Ω nl = 1 i = 1 i i ond U h é a função incógnita discrta W h a função pso discrta, as quais dvm prtncr à spaços d funçõs d dimnsão finita típicos d lmntos finitos, a matriz d stabilização SUPG, τ é dfinida como diagonal. Essa forma d stabilização foi inicialmnt introduzida por HUGHES E TEZDUYAR [68] mlhorada por ALIABADI t al. [1]. A matriz τ = τi é dfinido através do parâmtro τ, como: τ 2αCFL max[ 0, τ l αCFL = a ( τ τ )] δ (4.6) 2 τ l = a 3(1 + 2αCFL ) τ (4.7) h τ a = 2( c + uβ ) (4.8) δ τ δ = 2 ( c + uβ ) (4.9) ond c é a vlocidad acústica do lmnto, τ l é o parâmtro d stabilização corrspondnt aos trmos dpndnts do tmpo, τ a aos trmos advctivos τ δ dsconta os fitos do oprador d captura d choqus. O númro d Courant-Fridrichs-Lwy ou simplsmnt CFL é dfinido como CFL = ( c + uβ ) h t (4.10) β é um vtor arbitrário normalizado dado por 53

70 β = U U 2 * 2 * 2 (4.11) ond. =. ou * 2., α é o parâmtro qu controla stabilidad prcisão do algoritmo A ~ -1 0 d marcha, adotado como α = 0.5 para um squma totalmnt implícito d sgunda ordm com um passo d tmpo t fixo. As quaçõs d Eulr podm sr rscritas m uma forma simétrica através d uma mudança d variávis conform HUGHES t al. [69] mostrou m 1986, para tal dfins a função scalar dnominada função d ntropia gnralizada por H(U ) = ρs (4.12) ond s = ln(p/ργ) + s 0, é a ntropia física por unidad d massa s 0 uma ntropia d rfrência. Então, as variávis d ntropia podm sr introduzidas V = H, U ond val a rlação U V dada por, V 1 U 5 + ρt ( γ + 1 s) V2 U 2 1 V = V 3 = U 3 (4.13) ρt V 4 U 4 V5 U1 finalmnt as quaçõs d Eulr m variávis d ntropia podm sr altrnativamnt scritas como ~ ~ A = A V 0 0 V, + t i, i (4.14) 54

71 55 Então, as quaçõs d Eulr rscritas m sua forma simétrica através d uma mudança d variávis consrvativas U, para variávis d ntropia V. Portanto, as quaçõs m variávis d ntropia ficam dfinidas plas matrizs à 0 = U, V qu é simétrica positiva dfinida à i = A i à 0 qu é também simétrica. Essa mudança d variávis é important na dfinição d opradors d captura d choqu basados m variávis d ntropia, como o parâmtro δ avaliado por A U U A U A U A A ~ ~ h h z h y h x z y x ξ δ + + = (4.15) com A A A U U U U U U U U U U A ~ ~ ~ ~ z z y y x x z z y y x x z z y y x x x h h h h h h h h h h = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (4.16) s 0 ~ -1 0 A U h ξ assumindo valor nulo (δ =0), caso contrário. As componnts i ξ j x são trmos da matriz d transformação ntr as coordnadas globais locais (a nívl dos lmntos). Ess oprador foi dduzido a partir d sua dfinição m variávis d ntropia dadas m ALMEIDA E GALEÃO [3] utilizando transformaçõs invrsas. Mais rcntmnt, divrsos outros parâmtros d stabilização foram dsnvolvidos, como m CATABRIGA t al. m 2005 [28], tanto para advcção quanto para captura d choqus. Incluindo também opradors basados somnt m variávis consrvativas [134] qu têm sido xaustivamnt tstados [ ], tndo m mnt qu a mudança d variávis é um inconvnint uma vz qu as variávis a srm rsolvidas

72 stão na forma consrvativa. A Formulação SUGN para advcção YZβ para captura d choqus, com os novos opradors, podm sr dfinidos como nn h τ SUGN1 = ( c j N a + U N a ) a= 1 (4.17) ond j = h ρ h ρ (4.18) t τ SUGN 2 = 2 (4.19) 1 r τ 1 1 SUGN = + τ SUGN1 τ (4.20) SUGN 2 com o intiro r = 2, tipicamnt. E a dfinição do oprador d captura d choqus δ SHOC pod sr fita por rf ρ rf rf 0 ρ u x = rf rf Y 0 0 ρ u y 0 0 (4.21) rf rf ρ u z 0 rf rf ρ h U h U Z = + A i t x i h, ou apnas h h U A i (4.22) x i δ SHOC = β 1 nsd h β U 1 h 1 hshoc Z Y Y U i= 1 xi 2 Y (4.23) β ( δ + δ ) 1 δ SHOC = SHOCβ = 1 SHOC (4.24) β =

73 Sobr sss novos parâmtros d stabilização, m alguns tsts prliminars ralizados, pod-s concluir qu sriam mais adquados convnints uma vz qu a formulação stá m variávis consrvativas, não ncssitando a mudança d variávis aclrando, msmo qu pouco, as opraçõs d ponto flutuant inrnts das matrizs d lmnto. Contudo, sua utilização dpnd d valors d rfrência da calibração d divrsos outros parâmtros. Apsar d funcionar bm, não foram obtidos rsultados mlhors qu o oprador [1,112] qu não xig valors d rfrência qu é matmaticamnt fundamntado portanto mais robusto. Assim como dfinido no capítulo antrior, mprga-s o lmnto ttradro T4 com funçõs d intrpolação linars para s obtr as matrizs locais. Como aqui, tratamos d 5 graus d librdad, cada trmo das matrizs N B são multiplicados pla matriz idntidad 5x5, grando as matrizs d intrpolação N 5 o oprador gradint discrto B 5. A matriz d massa, qu inclui as drivadas tmporais, é dada pla soma g pg m = m + m (4.25) ond = T m g N 5 N 5 dω (4.27) Ω é a matriz d massa consistnt d Galrkin pg = Ω T 5 [ A A A ] B dω m τ N (4.28) x y z 5 é a matriz d massa d Ptrov-Galrkin. Já a matriz d advcção é dada pla soma d três matrizs, como sgu 57

74 c cag + capg + = c (4.29) cc ond ag = Ω T 5 [ A A A ] B dω c N (4.31) x y A A z 5 x x x y x z T T capg = τ B 5 A ya x A ya y A ya z B 5 dω (4.32) Ω A za x A za y A za z A A A A T ccc δ B 5 B 5 dω (4.33) Ω = são as matrizs d advcção d Galrkin, d advcção d Ptrov-Galrkin do oprador d captura d choqus, rspctivamnt. O sistma global rsultant é obtido plo assmbling das matrizs locais qu lva ao sguint sistma smi-discrto d quaçõs não linars. ( U) U + C( U) U 0 M & = (4.34) o qual é rsolvido plo algoritmo prditor-multicorrtor totalmnt implícito [70], com α=½, como já mncionado no capítulo 2 como squmatizado no Quadro 3.1 obsrvando também qu condiçõs d contorno iniciais apropriadas dvm sr spcificadas. 58

75 Quadro 4.1 Intgração tmporal das quaçõs d Eulr. U n= 0 lê condiçõs iniciais i= 0 do loop 1 nos ~ passos d tmpo n (intgração tmporal) n n 1 n 1 prdição: U 0 = U 0 + ( 1 α ) tu& 0 monta vtor com as condiçõs d contorno do loop 2 nas itraçõs não linars i (multicorrção) incorpora condiçõs d contorno tipo NO-FLOW, s houvr monta matriz d coficints avalia rsíduo n rsolv sistma ftivo para U & i corrig solução: n n n U & i = U& i + U& 1 i U = U + α U& n n n i i 1 t i 1 chca convrgência não-linar fim do loop 2 imprssão dos rsultados parciais fim do loop 1 A sguir srãs aprsntados xmplos d validação vrificação da implmntação das quaçõs d Eulr m uma, duas três dimnsõs. 59

76 Capítulo 5 Exmplos Numéricos d Escoamntos Comprssívis Não Viscosos Os xmplos numéricos aprsntados aqui têm o objtivo d validar [6] a implmntação computacional das quaçõs d Eulr m três dimnsõs vrificar [6] com soluçõs analíticas /ou problmas já bm conhcidos. Para tal são aprsntados xmplos m uma, duas três dimnsõs, tanto m rgim prmannt como transint. Um xmplo d aplicação ral simulando um scoamnto suprsônico ao rdor d um avião é aprsntado no Capítulo 7. As unidads stão omitidas por starm num sistma cornt /ou adimnsionalizadas. 5.1 Exmplos Unidimnsionias Transints: Tubos d Choqu Dois xmplos unidimnsionais clássicos foram analisados para fins d validação, pois têm solução analítica conhcida. Els são os problmas d tubo d choqu d Sod Lax- Hardn [93] ond o scoamnto s dá a partir d um tubo, d comprimnto unitário, 60

77 prssurizado com uma condição inicial, qu vai voluindo no tmpo até uma configuração d quilíbrio. As malhas utilizadas comprndm divisõs, com 5 ttradros m cada divisão. Os dados para sss xmplos foram xtraídos d [93]. Apsar das soluçõs analíticas não trm sido forncidas, a solução com 1000 divisõs aqui calculada a solução xata aprsntada m [93] são muito próximas. As condiçõs iniciais para o problma d Sod são ρ = 1.000, u x =0 p=1.0 m 0 x < 0. 5 ρ = 0.125, u x =0 p=0.1 m 0.5 x 1 para Lax-Hardn ρ = 0.445, u x = p= m 0 x < 0. 5 ρ = 0.500, u x =0 p= m 0.5 x 1. qu também são as condiçõs d contorno prscritas m x=0 x=1. Como o problma é unidimnsional, as vlocidads nas componnts cartsianas y z são prscritas nulas durant toda anális. Para ambos os casos, o passo d tmpo foi d Para o xmplo Sod foram adotados 30 vtors d Krylov, 10 ciclos máximos tolrância 10-9 no GMRES. A tolrância não linar foi d No xmplo d Lax- Hardn foram utilizados 50 vtors, 10 ciclos máximos a tolrância do GMRES fixada m 10-6 não-linar m A convrgência não linar foi atingida m todos os passos d tmpo A Figura 5.1 mostra a solução das variávis massa spcífica, vlocidad prssão para o xmplo Sod no tmpo t=0.2 a Figura 5.2 para o caso d Lax-Hardn m t=

78 SOD t= massa spcífica (a) comprimnto SOD t= prssão (b) comprimnto SOD t=0.2 1 vlocidad comprimnto (c) Figura 5.1 Soluçõs do problma d Sod m t=0.2: (a) massa spcífica, (b) vlocidad (c) prssão. 62

79 Lax-Hardn t= massa spcífica (a) comprimnto Lax-Hardn t= vlocidad (b) comprimnto Lax-Hardn t= prssão comprimnto (c) Figura 5.2 Soluçõs do problma d Lax-Hardn m t=0.15: (a) massa spcífica, (b) vlocidad (c) prssão. 63

80 5.2 Exmplo Bidimnsional Prmannt: Choqu Rfltido Ess problma nvolv um domínio rtangular (0 x y 1.0) com três rgiõs distintas d scoamnto (I, II III) sparadas por choqus, como aprsnta a Figura 5.3, adaptada d [26,27]. As condiçõs d contorno prscritas são dnsidad, vlocidads nrgia spcífica total na squrda no topo. Embaixo é imposta uma condição d qu não prmit o scoamnto, isto é, u y = 0. No contorno da dirita, tm-s quaçõs livrs, uma vz qu o scoamnto na saída é suprsônico. Todos os graus d librdad u z são prscritos nulos para forçar um problma bidimnsional. A Figura 5.4 mostra m dtalh uma malha struturada d divisõs, cada uma subdividida m 5 ttradros, grando um total d nós, lmntos arstas. O tmpo máximo d simulação é fixado m t f = 3 com um passo d tmpo d 0.02, o qu significa 150 incrmntos d tmpo para toda a anális. O númro CFL inicial é stimado m 5.8. A tolrância para o GMRES foi d 10 3 com 50 vtors d Krylov num máximo d 100 ciclos. Foi adotada uma tolrância não linar d 10-1 com um limit máximo d 10 itraçõs. Com ssa malha bastant rfinada, a convrgência para a solução não linar é alcançada m uma média d 5 itraçõs. A solução prmannt para massa spcífica, prssão tmpratura stão na Figura 5.5. II I III Figura 5.3 Dscrição do problma d choqu rfltido. 64

81 Figura 5.4 Vista m dtalh da malha struturada bm rfinada. massa spcífica (a) (b) 65

82 Figura 5.5 Soluçõs prmannts d massa spcífica (a), prssão (b) tmpratura (c). (c) 5.3 Exmplo Bidimnsional Transint: Escoamnto Suprsônico através d um Canal com Dgrau Dsd a primira vz qu ss xmplo foi rportado foi m [55], tm sido utilizado para validação tsts por divrsos autors [20,21]. É um xmplo bastant utilizado para afrir a volução da solução transint. O topo a bas do canal são prscritas condiçõs d contorno d pard scorrgadia (no-flow), ou sja, tipo rflxão. Como o scoamnto é suprsônico, todoas as variávis são condiçõs d contorno na ntrada não há prscrição na saída. Essas condiçõs a dimnsão do domínio spacial stão dscritas na Figura 5.6. A malha não struturada adotada têm pontos nodais, lmntos, arstas a Figura 5.7 mostra a malha para o domínio intiro su dtalh ilustrado na Figura 5.8. Esta solução foi calculada d tal forma qu a convrgência não linar não foi, ncssariamnt alcançada, m todos os passos. As tolrâncias foram d 10 5 para o GMRES, com 50 vtors d Krylov um máximo d 100 ciclos, 10 2 para convrgência não linar. Foi adotado um passo d tmpo d 10 3 um tmpo total t f = 2.0. Soluçõs transints para massa spcífica stão na figura

83 rflxão ntrada saída rflxão Figura 5.6 Dscrição do problma 5.3. Figura 5.7 Malha do domínio total adotada no xmplo 5.3. Figura 5.8 Dtalh da malha do xmplo

84 (a) (b) (c) (d) massa spcífica Figura 5.9 Soluçõs transints da massa spcífica nos tmpos: t=0.5 (a), t=1.0 (b), t=1.5(c), t=2.0 (d). 68

85 5.4 Exmplo Tridimnsional Prmannt: Escoamnto Suprsônico ao Rdor d uma Esfra Ess problma consist m um scoamnto suprsônico com Mach=3 ao rdor d uma sfra d raio unitário [128]. Apnas mtad da sfra é analisada dvido à simtria do problma. Condiçõs d contorno no infinito (far fild), ρ = 1, u = (3 0 0) T = 6.3, são prscritas na ntrada (x=x min ), topo (y=y max ), latrais (z=z min z=z max ). Na saída suprsônica (x=x max ) não há prscriçõs. Embaixo (y=y min ) é imposta condição qu não prmit scoamnto através dssa fac, dvido à simtria, na suprfíci da sfra dvido a condição d scorrgamnto (slip ou no-flow) típica d scoamntos não viscosos. Todos as quaçõs livrs têm os valors no infinito como condição inicial. A Figura 5.10 aprsnta a dscrição do problma. A malha não struturada adotada contém nós, lmntos arstas, vistas xtrnas do domínio stão na Figura Foi adotado um passo d tmpo d 0.01 um tmpo total t f = 6, o qu rprsnta, para o mnor lmnto da malha, uma condição d CFL = 2. As itraçõs não linars foram limitadas m 3 a tolrância do GMRES foi d 10-3 com 25 vtors d Krylov um máximo d 50 ciclos. Dvido a malha para ss problma ainda sr grossa, pod-s xplicar a não obtnção da solução não linar m cada passo dsta anális, inclusiv no rgim prmannt. A solução prmannt para o grau d librdad massa spcífica stá na Figura 5.12 stá d acordo com soluçõs rportadas na litratura. condição d contorno no infinito condição d contorno no infinito Mach=3 r =1 8 v n = 0 condição d contorno d scorrgamnto 16 Figura 5.10 Dscrição do xmplo

86 Figura 5.11 Vista xtrna da malha. Figur 5.12 Solução prmannt da massa spcífica. 70

87 Capítulo 6 Técnicas Computacionais para Elmntos Finitos Ess capítulo dscrv as técnicas computacionais para lmntos finitos qu foram studadas implmntadas com o objtivo d s mlhorar o dsmpnho computacional, isto é, rduzir o tmpo d procssamnto, sm aumntar significantmnt a dmanda d mmória. Primiramnt é fita uma considração sobr duas struturas d dados quanto a conomia d mmória ao s armaznar a matriz d coficints ao custo rduzido das opraçõs matriz-vtor inrnts aos métodos itrativos d solução do sistma d quaçõs linars, as duas tapas mais onrosas computacionalmnt. É aprsntada a técnica d dsativação dinâmica para sr utilizada m problmas d transport prdominantmnt advctivos, como os problmas aqui studados. Também é dscrita a intgração rduzida com um ponto para o lmnto hxadro trilinar, considrada como uma técnica computacional pois rduz o tmpo d avaliação das matrizs d lmnto. E também, a dscrição comparação d três métodos d pré-condicionamnto com o objtivo d rduzir o númro d itraçõs dos métodos itrativos d solução d sistmas d quaçõs algébricas linars portanto, o tmpo total d anális. Ao longo do capítulo srão aprsntados os ganhos alcançados com as stratégias computacionais m xmplos aprsntados nos capítulos

88 6.1 Estruturas d dados Em uma implmntação ficint, dv-s considrar a strutura das matrizs m qustão para s otimizar as opraçõs. No caso do método dos lmntos finitos sab-s qu as matrizs são muito sparsas. O armaznamnto d todos os trmos da matriz é dsncssário impraticávl. Portanto a scolha d uma strutura d dados para armaznar poucos ou nnhum trmo nulo dv sr mprgada. Foram utilizadas duas struturas d dados: i) uma local, plas arstas dos lmntos ; ii) outra d um armaznamnto global qu comprim as linhas, dnominado CSR (Comprssd Spars Row). A strutura d dados por arstas dmanda mnos mmória qu a abordagm tradicional lmnto por lmnto ainda prmit a ralização das opraçõs matrizvtor num mnor tmpo d procssamnto. Já a abordadm CSR prvê o armaznamnto da matriz global, contudo apnas dos trmos não-nulos localizados por dois arranjos d mapamnto a srm dscritos mais adiant. A utilização da sgunda strutura d dados foi ncssária na implmntação d alguns pré-condicionadors pois rqurm opraçõs d substituição pra trás pra frnt, o qu dv sr fito ordnado para cada linha, o qu não é natural nm dirto d s ralizar com a strutura d dados local (por lmntos ou arstas). Uma comparação ntr as duas struturas d dados não foi dsnvolvida, até msmo porqu, as duas struturas são ficints, mas sua scolha stá intimamnt ligada aos métodos d solução, ao tipo d implmntação ao problma sndo rsolvido. Não s pod afirmar qu uma strutura é mlhor qu a outra, como no caso d arsta-por-arstas sr mais ficint qu lmnto-por-lmnto, pois m alguns casos uma strutura d dados por arstas pod sr mais intrssants m outros casos a CSR pod sr mais adquada Estrutura d dados por arstas Pod-s drivar struturas d dados basadas nas arstas dos lmntos finitos pois as matrizs d lmnto podm sr dsmmbradas m contribuiçõs por arstas. Isso não torna o método plas arstas, na vrdad a intrpolação ainda é dntro dos lmntos, apnas o armaznamnto da matriz as opraçõs ralizadas com las qu são fitas por 72

89 uma ntidad mais intrssant, no caso, as arstas. Ao s passar por todos os lmntos das malha calculando as matrizs locais, basta somar as contribuiçõs d lmntos para cada arsta, chgando nas matrizs locais das arstas [122]. Para os problmas aqui studados, as matrizs rsultants são simétricas para prssão vlocidads não simétricas para a quação do transport, no caso dos scoamntos m mios porosos, também não simétrica para os scoamntos comprssívis não viscosos. O produto matriz-vtor por arstas, ncssário nos solucionadors itrativos do prsnt trabalho, pod sr scrito como, nd Ax = A s xs s= 1 (6.1) ond nd é o númro total d arstas da malha xs é a rstrição do vtor x para a arsta local s. Tm-s a opção d armaznar apnas os trmos fora da diagonal, na utilização d armaznamnto local. No caso das arstas tm sido armaznado os trmos fora da diagonal apnas a diagonal ou bloco-diagonal globalmnt, com fins d otimização. Portanto, d forma altrnativa, o produto pod sr ralizado m dois passos, multiplicando a diagonal global os trmos fora da diagonal arsta-por-arsta d forma cumulativa como sgu nd s s s Ax = diag( A) x + ( A diag( A )) x (6.2) s= 1 Essa é uma variant do qu foi originalmnt proposto por GIJZEN [29] para cálculos por lmntos. A tabla 6.1 aprsnta uma comparação, para o problma d scoamntos m mios porosos, m trmos d dmanda d mmória, opraçõs d ponto flutuant (flops) ndrçamntos indirtos (.i.) utilizando apnas os trmos fora da diagonal das matrizs d lmntos arstas m malhas d ttradros. A mdida d comparação dsta tabla é nn, o númro total d nós numa malha d lmntos finitos. D acordo com Löhnr [30], as sguints stimativas são válidas para malhas não 73

90 struturadas d ttrados: nl 5.5 nn nd 7 nn. A tabla 6.2 aprsnta o msmo tipo d comparação só qu para a implmntação d scoamntos comprssívis. Ingrdints para a implmntação d uma strutura d dados por arstas inclum: i) construir os arranjos d incidência nodal d cada arsta d incidência d arstas d cada lmnto; ii) avaliar as matrizs d lmnto normalmnt mas armaznando-as plas arstas finalmnt iii) um procdimnto para a multiplicação matriz-vtor. É important rssaltar qu o tmpo computacional para a montagm dsss arranjos não pod sr uma dsvantagm a utilização d funçõs hash [97] ou listas ncadadas [89] são bastant adquadas para atingir o dsmpnho dsjado. Tabla Comparação do custo computacional ntr produtos matriz-vtor por lmntos arstas, para scoamntos m mios porosos. Equação Estrutura d Dados mmória flops.i. Prssão lmntos 6 nl (33 nn) 24 nl (132 nn) 22 nl (121 nn) arstas 1 nd (7 nn) 4 nd ( 28 nn) 9 nd ( 63 nn) Vlocidad lmntos 54 nl (297 nn) 240 nl (1320 nn) 94 nl (517 nn) arstas 9 nd (63 nn) 42 nd ( 294 nn) 29 nd (203 nn) Transport lmntos 12 nl (66 nn) 26 nl (143 nn) 28 nl (154 nn) arstas 2 nd (14 nn) 4 nd ( 28 nn) 10 nd ( 70 nn) Tabla Comparação do custo computacional ntr produtos matriz-vtor por Estrutura d Dados lmntos arstas, para as quaçõs d Eulr. mmória flops.i. lmntos 300 nl (1650 nn) 600 nl (4200 nn) 360 nl (2520 nn) arstas 50 nd ( 350 nn) 100 nd ( 550 nn) 90 nd ( 630 nn) 74

91 6.1.2 Estrutura d Dados CSR A strutura d dados CSR é bastant adotada m divrsas aplicaçõs d álgbra linar [110]. A idéia dssa strutura d dados é simpls, mas não ncssariamnt sua gração utilização. Dada uma matriz d coficints, dv-s armaznar apnas os trmos não nulos d cada linha sua posição. Contudo, sua aplicação pod sr complicada, s algoritmos para montagm dos arranjos ncssários para ralizar as opraçõs d forma ficint não stivrm disponívis. Ingrdints para a implmntação d uma strutura d dados CSR inclum: i) construir os arranjos dnominados ia ja com o númro d trmos d cada linha (ia), sua posição coluna (ja). É Intrssant montar ss strutura ordnada para agilizar as opraçõs com sss arranjos. Também é comum montar um outro arranjo com a posição dos trmos da diagonal. Para s ralizar a montagm da matriz global (assmbling) é ncssário um arranjo d mapamnto d lmnto, qu é local, para as quaçõs qu são globais; ii) avaliar as matrizs d lmnto normalmnt mas insrindo as posiçõs globais com auxílio do arranjo d mapamnto lmnto-quação ; iii) um algoritmo para a multiplicação matriz-vtor. É important rssaltar qu, assim como ra para strutura d dados por arstas, o tmpo computacional para a montagm dsss arranjos não pod sr inficint a utilização d funçõs hash ou listas ncadadas são ncssárias. A utilização dssa strutura d dados foi ncssária dvido a implmntação d métodos d pré-condicionamnto mais ficints, qu ncssitam opraçõs globais, como a sr dscrito ainda nst capítulo. 6.2 Técnica d Intgração Rduzida com control dos modos hourglass O objtivo ao s intgrar as matrizs do H8 com um númro rduzido d pontos é d s obtr um ganho considrávl no dsmpnho computacional. Contudo s os modos dnominados hourglass não form bm rprsntados gra-s oscilaçõs indsjávis na 75

92 solução. Esss modos aprsntam 4 configuraçõs m cada dirção cartsiana a Figura 6.1 xtraída d [12] ilustra sss modos para dirção x m um H8 rgular. Como a stabilização hourglass surgiu m aplicaçõs da mcânica dos sólidos ngnharia strutural, tais modos são conhcidos por dois d flxão, um d torção um, dito não físico. Figura 6.1 Modos hourglass da dirção x para o H8 rgular. A intgração rduzida mprgada aqui é com apnas um ponto d intgração, sndo st o cntróid do lmnto ( ξ = 0, η = 0, ζ = 0). O dsnvolvimnto da formulação para intgração com um ponto com control hourglass sgu o trabalho [95]. O oprador gradint discrto B 0 avaliado no cntróid do lmnto tm qu sr acrscido d crtos trmos para qu sja capaz d capturar o campo constant t os campos H 1, H 2, H 3 H 4 qu rprsntam os modos hourglass da figura 2.1. Tais campos são dados por [ ] T t = 1 (6.3) [ ] T H = 1 (6.4) 1 [ ] T H = 1 (6.5) 2 [ ] T H = 1 (6.6) 3 [ ] T H = 1 (6.7) 4 Portanto, a intrpolação da função scalar incógnita dv tr a forma 76

93 T T 1 T 2 T 3 T α hα u h = C u + ( b x u + b y u + b z u ) + γ u (6.8) ond o sub-índic α varia d 1 a 4 (númro d modos hourglass), b i são sub-matrizs linha do oprador B 0 x, y, z os arranjos locais com as coordnadas nodais do lmnto. Os opradors C γα são dados por T T T [ t ( t x ) b ( t y ) b ( t z b ] 1 C = 1 2 ) 3 (6.9) 8 T T T [ H ( H x ) b ( H y ) b ( H z b ] 1 γ α = α α 1 α 2 α ) V 3 (6.10) as funçõs h α por V h 1 = ξη (6.11) 8 V h 2 = ηζ (6.12) 8 V h 3 = ξζ (6.13) 8 V h 4 = ξηζ (6.14) 8 Portanto, incorporando às funçõs d intrpolação usuais, os trmos adicionais acima, o control dos modos hourglass s rsum na adição d matrizs d stabilização (prturbação hourglass), às matrizs avaliadas com o oprador B 0, tal qu qualqur matriz d lmnto m é avaliada pla soma 0 h m = m + m (6.15) Obsrvação 6.1. Para lmntos d lados parallos a intgração é xata para difusão (simétrico) tm uma aproximação muito boa para advcção (não-simétrico). A 77

94 mdida qu o lmnto s distorc s afasta da condição d lados parallos, pior vai ficando a aproximação m ambos os casos. Rgular parâmtros para intgração xata d lmntos distorcidos não é trivial. No caso m qustão, gralmnt srão adotados H8 d lados parallos, portanto a aproximação é válida computacionalmnt mais conômica. Prtnd-s utilizar a implmntação d ttradros para domínios não struturados. Na utilização d lmntos H8 distorcidos rcomnda-s a utilização da intgração complta, opção qu também stá implmntada. A matriz da prssão é tipo difusão totalmnt análoga a matriz d difusão gnralizada, dfinida no capítulo 2. Como o pós-procssamnto das vlocidads é dirto para o H8, ou sja calculando-s no cntróid suprconvrgnt do lmnto, não s configura um sistma d quaçõs para a vlocidad. Então, só srão aprsntadas as matrizs da quação d transport. As quais não srão aprsntadas xplicitamnt pois são dmasiadamnt xtnsas rsultado d uma xaustiva manipulação matmática. Contudo, todo caminho para su dsnvolvimnto das matrizs d lmnto é aprsntado. Na vrdad calcular as matrizs d stabilização qu é o trabalhoso. A única matriz qu não foi avaliada com a intgração rduzida foi a matriz d massa consistnt d Galrkin qu foi intgrada xplicitamnt com o auxílio d um programas d álgbra simbólica (MAPLE [142] MATHEMATICA [148]). Pod-s scrvr o dtrminant do Jacobiano da transformação d coordnadas da sguint forma dt( J) = C + C 11 ξη C ξ + C η + C ζ + C ξ + C η + C ζ + C ξη + C ξζ + C ηζ + C ξ η + C ξ ζ + C ξζ + C η ζ + C ηζ C ξηζ + C ξ ηζ + C ξη ζ + C 19 ξηζ 2 (6.16) ond os coficints C i, i=0,...,19 são constants qu dpndm apnas das coordnadas nodais do lmnto. Utilizando um programa d álgbra simbólica é possívl avaliar trmo a trmo a matriz d massa consistnt para o H8, m função das constants C i. A xprssão para cada um dsss é grand, d modo qu não stão aqui aprsntadas. A matriz m g é simétrica tm sua strutura squmatizada na Figura 6.2, isto é, as 78

95 posiçõs ond a numração é rptida possui trmos iguais. Isso é important pois fazndo provito dssa strutura na implmntação computacional, rduz-s ainda mais as opraçõs d ponto flutuant ncssárias. Além disso, para lmntos d lados parallos muitas dssas constants são nulas, surgindo assim um foco particular d otimização, qu apsar d não tr sido implmntado, dixa-s como rcomndação caso somnt lmntos com ssa propridad form sr mprgados. A matriz d massa lumpd aprsnta rsultados muito difusivos [48] não foi implmntada. m g = sim Figura 6.2 Estrutura da matriz d massa consistnt d Galrkin para o H8. Sab-s qu a matriz d massa d Ptrov-Galrkin, qu é não-simétrica, é igual a transposta da d advcção d Galrkin, a mnos d uma constant, conform frisado na Obsrvação 2.2. Como a stabilização hourglass foi dsnvolvida para advcção, optous por dixar a dfinição para a matriz original k ag. A matriz d difusão gnralizada (simétrica) é dada por dg 0 dg h dg k = k + k (6.17) k 0 dg V T 0 = B D B (6.18) G 0 k h ij H αβ dg ( DG ) ii T αγ β = γ (6.19) 79

96 ond i, j = x, y, z ou 1, 2, 3 α,β = 1,4 a matriz d advcção d Galrkin (não simétrica) por ag 0 ag h ag k = k + k (6.20) k 0 ag V T T = ( t vu B0 ) (6.21) 8 k h ag α X ij T 0 T α = B v γ (6.22) u φ ag m pg = τ k (6.23) As intgrais da stabilização hourglass para para difusão advcção são rspctivamnt H X αβ h ii = Ω α h ij = Ω α, i β, i ε h h dω (6.24) j α, i ε x h dω (6.25) ond x j são as coordnadas no sistma global a vírgula dnota difrnciação m uma das dirçõs. Not qu nas xprssõs acima a notação matricial foi msclada com uma indicial para simplificar sua aprsntação. O parâmtro d stabilização hourglass h ε assum valors no intrvalo ntr [0,1]. El val 1 para lmntos d lados parallos assum valors mais próximos d 0 a mdida qu o lmnto s distorc. A scolha dss parâmtro para lmntos d lados não parallos não é trivial é tma d psquisa, principalmnt m problmas struturais qu considram grands dformaçõs [13]. 80

97 Para avaliar o ganho computacional, foi analisado o xmplo do rsrvatório SPE, aprsntado no Capítulo 3. O tmpo total da solução com a intgração rduzida foi do tmpo com a intgração complta. Val ainda notar qu quanto mais passos d tmpo maior o ganho, pois o ganho é por avaliação da matriz d coficints. No caso da prssão a intgração rduzida é xata, contudo como no transport la é uma aproximação, a convrgência dos métodos itrativos pod ficar altrada para mais itraçõs, mas não à ponto d compromtr o ganho computacional m rlação à intgração complta. A Figura 6.3 aprsnta as duas soluçõs m tmpos iniciais. Na sção sguint também srão aprsntados rsultados só qu para o xmplo d cinco poços m conjunto com a técnica d dsativação dinâmica. (a) (b) Figura Solução inicial do xmplo SPE utilizando intgração complta (a) intgração rduzida (b). 6.3 Técnica d Dsativação Dinâmica No trabalho d Löhnr Camlli [90] foi introduzida a stratégia d Dsativação Dinâmica (DD) para problmas advctivos-difusivos-rativos. Aqui, utilizou-s apnas para os scoamntos m mios porosos apnas, na solução do sistma do transport ou saturação da água (caso imiscívl) concntração da mistura (caso miscívl). As 81

98 variávis prssão vlocidad, continuam sndo avaliadas para todo o domínio, pois são quaçõs parabólicas. A DD é bastant smlhant ao algoritmo dnominado Adaptativo Implícito/Explícito (AIE), introduzido m [33,38] já utilizado m divrsas aplicaçõs d forma bastant satisfatória [117,122]. São smlhants pois m ambos os casos a malha é particionada m dois grupos d lmntos/arstas/quaçõs, ativos ou dsativos no caso da DD implícitos ou xplícitos no AIE. A difrnça principal é qu, na DD, ao invés d tratar part do domínio implicitamnt sua contra-part xplicitamnt, simplsmnt não s rsolv os lmntos/quaçõs não slcionados. Considra-s as soluçõs nodais constants dntro d um intrvalo d tmpo, ou até msmo dntro d alguns intrvalos, pois xist a opção d s atualizar as partiçõs d tantos m tantos passos, sndo st control forncido como dado d ntrada. Not também qu para as soluçõs ativas pod sr mprgado um método implícito ou xplícito. O critério d CFL, qu ra utilizado para slção das partiçõs implícitas do algoritmo AIE m [122] foi abandonado para a ativação/dsativação dos lmntos/arstas/quaçõs no procdimnto d DD, uma vz qu ssa scolha não tm mais rlação com a stabilidad da intgração tmporal. É important obsrvar, qu o critério d CFL pod sr considrado na utilização d uma stratégia d control d passo d tmpo, promovndo assim, squmas d intgração tmporais dsjavlmnt mais stávis ficints Critério para slção da partição ativa O critério para slção das partiçõs pod sr fito, calculando-s m um laço d programação através dos lmntos, as normas dos gradints d saturação/concntração u, d cada lmnto, s u η u ntão ATIVO m (6.26) 82

99 ond o parâmtro d control [ 0,1] η rgula a faixa d lmntos a srm slcionados como ativos. Para η = 0 todos os lmntos são slcionados como ativos para η = 1 a partição mais strita possívl é slcionada. Dv-s avaliar também um gradint rlativo médio dos lmntos, um pla sguint xprssão u m = nl = 1 u nl (6.27) sndo nl o númro d lmntos da malha ainda, dv sr lito como ativo, s xistirm fonts/sumidouros critério f não nulas associadas ao nó d algum lmnto, plo s f 0 ntão ATIVO (6.28) Dtalhs da implmntação Ao s scolhr os lmntos ativos plos critérios aprsntados faz-s uma marcação, nos nós dsss lmntos bm como nas suas quaçõs d transport, como ativas. A sguir, os lmntos adjacnts à ssas quaçõs também são marcados. Portanto tm-s um grupo d lmntos ou arstas marcados dirtamnt plos critérios um sgundo grupo d lmntos adjacnts às quaçõs, marcados indirtamnt. Na quação d advcção-difusão, tudo s passa como s a malha foss apnas os lmntos ativos, d modo qu a montagm da matriz d massa ftiva é ralizada através d um loop apnas através dos lmntos ativos, não havndo a ncssidad d altrar a manira usual d s calcular as matrizs d lmnto. Na implmntação do algoritmo AIE m [117] houv uma mlhora com a troca do cálculo do rro plo gradint rlativo, pois não s stá intrssado m obtr uma stimativa para o rro da solução no lmnto, como s é fito ao tratar malhas adaptativas [150], mas sim m conhcr as rgiõs d variação na solução, ou sja, d 83

100 alto gradint rlativo. Proposta qu foi consolidada m [117] por sr mais conômica cornt. Essas técnicas d partição da malha xigm uma dmanda maior d mmória para tratar os arranjos globais ativos sparadamnt, contudo o númro d trmos da matriz d coficints fica bastant rduzido, quando tm-s uma ganho também na dmanda d mmória não só no procssamnto. Na implmntação, aqui dsnvolvida, é apnas ncssário armaznar dois arranjos xtras d mapamnto. São ls, um arranjo para os lmntos (NELMAP) outro para as quaçõs (NEQMAP). Com sss arranjos d rordnação ou localização basta rstringir qualqur vtor para o domínio ativo ao s usar na quação do transport xpandí-los d volta ao rsolvr prssão vlocidad. Para o arranjo LM [70], pod-s também armaznar spaço xtra na mmória, ou simplsmnt rcalculá-lo quando ncssário. Apsar dss pquno aumnto da dmanda d mmória, a técnica d DD s mostra intrssant por atingir soluçõs m tmpos computacionais na ordm da mtad dos tmpos usuais, como rsultados aprsntados m [125] a sguir Eficiência da Dsativação Dinâmica Para a implmntação d scoamntos m mios porosos, com rlação as técnicas d DD intgração rduzida do hxadro (H8 1pt), uma comparação do tmpo d procssamnto é aprsntada na Tabla 6.3, para o xmplo d validação tipo fivspot aprsntado no Capítulo 3. Not qu o lmnto H8 é, m gral, mais rápido qu o T4 pois o pós-procssamnto das vlocidads é dirto, não ncssitando rsolvr o sistma adicional das vlocidads, como no T4. Tabla Tmpos rlativos no xmplo fivspot imiscívl. método tmpos T T4 com DD H (1.0000) H8 1pt (0.8271) H8 com DD (0.5650) H8 1pt com DD (0.4289) 84

101 Na Tabla 6.4 é aprsntada a msma comparação só qu mantndo os campos d prssão vlocidad constant. O objtivo dst tst foi mostrar qu, como a técnica d DD só é adotada na quação da saturação, l não aprsnta ganho muito significativo, quando os campos d prssão vlocidad têm qu sr atualizados constantmnt. Mais além, prcbu-s qu a variação da saturação pod s dar por uma faixa xtnsa d lmntos, o qu significaria a scolha d muitos lmntos da malha total como ativos, novamnt não rsultando m ganhos muito significativos. Tabla Tmpos rlativos no xmplo fivspot imiscívl, considrando campos d prssão vlocidad constants no tmpo. método tmpos T T4 com DD H (1.0000) H8 1pt (0.3812) H8 com DD (0.9102) H8 1pt com DD (0.3232) Com ss xmplo pod-s tr uma idéia dos ganhos qu ambas técnicas rsultam. Utilizando as técnicas computacionais mprgadas m conjunto, ou sja a strutura d dados por arstas a dsativação dinâmica, obtv-s um ganho d até 50% no tmpo. Nos xmplos d Eulr do choqu rfltido da sfra, ambos aprsntados no Capítulo 5 tm-s as tablas mostrando os ganhos obtidos com a strutura d dados por arstas. Nota-s qu o ganho nos produtos matriz-vtor plas arstas é muito significant. Porém, nsss xmplos, o ganho final não foi tão intrssant quanto dsjado por causa do custo lvado ao s acumular as matrizs plas arstas. Isso significa qu ssa implmntação pod sr otimizado para mlhorar sss ganhos. 85

102 Tabla Tmpos d xcução rlativos para o xmplo 5.2. matriz produtos matvt tmpo total lmnto arsta Tabla Tmpos d xcução rlativos para o xmplo 5.4. matriz produtos matvt tmpo total lmnto arsta Técnicas d Pré-condicionamnto do Sistma d Equaçõs Sja o sistma linar d quaçõs sparso d grand port Ax = b (6.29) ond A é a matriz d coficints, x o vtor das variávis dsconhcidas b o vtor indpndnt. Ao s mprgar os métodos itrativos gradints conjugados (GC) ou GMRES, caso o sistma sja simétrico ou não-simétrico rspctivamnt, o sucsso na obtnção da convrgência stá fortmnt ligado ao pré-condicionamnto adotado. Por sucsso da convrgência considra-s, m primiro lugar consguir obtr uma solução m sgundo atingir ssa solução m um númro rduzido d itraçõs. Aqui apnas précondicionadors à squrda srão considrados, o qu significa pré multiplicar os dois lados da quação (6.29) por uma matriz d pré-condicionamnto como sgu P Ax = P b (6.30) 1 1 ond divrsas opçõs para P, a matriz d précondicionamnto são possívis. Contudo, é almjado qu P sja próximo d A d fácil invrsão, tal qu o produto rsultant sja prto da matriz idntidad ntão o sistma mlhor condicionado. Três métodos d pré- 86

103 condicionamnto foram psquisadas implmntadas para fins d comparação, o Diagonal, o LU-SGS (Lowr-Uppr Symmtric Gauss-Sidl) inicialmnt proposto m [74] a fatoração incomplta LU sm prnchimnto (ILU(0)) bm ilustrada m [110], a srm dscritas a sguir Diagonal Pod-s adotar a matriz d pré-condicionamnto como sndo P = D = diag(a) (6.31) ond D é uma matriz diagonal, cuja invrsão é trivial. Ess foi o pré-condiciomannto adotado dsd o início das implmntaçõs. Pod sr facilmnt utilizado tanto com a strutura d dados por arstas como CSR tm as sguints caractrísticas: i) não xig mmória xtra ; ii) o pré-condicionamnto consist m opraçõs vtor-vtor qu são d baixo custo computacional. No caso d um problmas com mais d um grau d librdad, pod sr usado o pré-condicionamnto diagonal ou bloco-diagonal-nodal qu promov um ganho m trmos d rdução do númro d itraçõs mas rqur qu cada submatriz blocada sja invrtida. No caso das vlocidads tm-s três graus d librdad das quaçõs d Eulr ond s trabalha com cinco graus d librdad, é ncssária a invrsão d uma matriz 3x3 ou 5x5 para cada nó livr. A partir d um programa d álgbra simbólica foi possívl obtr as xprssõs para a invrsão d uma matriz 5x5 qualqur, d tal forma qu a implmntação para ssas opraçõs foi ralizada d forma xplícita LU-SGS Pod-s mostrar qu 1 1 ( D + L) D ( D + U) Ax = b + ( LD U) x (6.32) 87

104 é quivalnt ao sistma d quaçõs (6.29), ond L U são as dcomposiçõs, não fatoraçõs, abaixo acima da diagonal d A. Ao s ignorar o trmo uma matriz d pré-condicionamnto próxima da matriz A, dada por (LD 1 U) x, tm-s a 1 P = ( D + L) D ( D + U) (6.33) Not qu aqui não é ncssária uma fatoração da matriz A, mas apnas sua dcomposição, o qu sria sua sparação dirta nas parts triangulars suprior infrior. O pré-condicionamnto LU-SGS tm as sguints caractrísticas: i) baixa dmanda d mmória, isto é, apnas um arranjo auxiliar na ordm do númro d quaçõs ; ii) um maior, mas não muito lvado, númro d opraçõs d ponto flutuant, qu não s configura uma dsvantagm, uma vz qu o ganho substancial ao s rduzir o númro d opraçõs portanto o númro d opraçõs matriz-vtor é compnsatório Fatoração Incomplta LU sm prnchimnto (ILU(0)) Fatoraçõs incompltas são obtidas através do procsso d liminação d Gauss ignorando alguns trmos m posiçõs não diagonais [110]. A fatoração ILU(0) d uma matriz sparsa é uma vrsão da fatoração LU sm prnchimnto, isso significa qu a matriz d pré-condicionamnto P tm o msmo padrão d sparsidad d A. Ess é um ponto intrssant pois utiliza a msma strutura CSR já xistnt, porém, ncssita d muita mmória xtra, pois a msma quantidad d trmos da matriz d coficints tm qu sr armaznada para a matriz P, sndo ss o maior spaço d mmória xigido num programa d lmntos finitos. O pré-condionamnto ILU(0) tm as sguints caractrísticas: i) uma dmanda d mmória xtra considrávlmnt maior qu o caso Diagonal ou LU-SGS, pois é ncssária armaznar uma matriz d pré-condionamnto na msma ordm da matriz d coficints; ii) um pouco mnos d opraçõs d ponto flutuant qu o LU-SGS. Contudo, assim como para pré-condicionamnto Bloco-Diagonal-Nodal, é ncssária invrsão d todos os blocos a priori das itraçõs, a fatoração ILU(0) da matriz d 88

105 coficints dv sr considrada no tmpo d computação total. O qu ocorr, como prcbido plos xmplos aprsntados a sguir, é qu a técnica ILU(0) rduz bastant o númro d itraçõs dos solvrs, porém não chga a rduzir considravlmnt o tmpo total d xcução, pois o custo, da fatoração ILU(0) a cada itração não linar das opraçõs d pré-condicionamnto dntro das itraçõs do solucionador, é bastant lvado. As msmas obsrvaçõs quanto a struturas d dados, ordm squncial das opraçõs parallismo fitas para o LU-SGS s rptm aqui. Ou sja, uma vz qu as opraçõs são squnciais, stas inibm o parallismo natural, qu só é adotado nos produtos matriz-vtor, o qu ralmnt é a tapa mais cara. Contudo um procssador apnas dv tr armaznada toda a matriz d pré-condicionamnto qu ocupa o msma mmória da matriz d coficints. Como s dsnvolvr ssas técnicas d forma ficint, m conjunto com outras struturas d dados m parallo, ainda são tmas abrtos à discussão. Uma comparação das três técnicas m trmos d dmanda d mmória opraçõs d ponto flutuant s ncontra na Tabla 6.7, ond nq é o númro d quaçõs ntnn o númro d trmos não nulos da matriz d coficints. Tabla 6.7. Comparação ntr os pré-condicionadors m trmos d mmória flops. Pré-condicionador mmória xtra flops Diagonal LU-SGS ILU(0) - Multiplicação vtor-vtor Substituição triangular pra auxiliar (0:nq) trás pra frnt multiplicação vtor-vtor Fatoração incomplta (uma auxiliar (0:nq) única vz) substituição P (ntnn) triangular pra trás pra frnt 89

106 Vrsõs m bloco, dsss pré-condicionadors, são adotados para mais d um grau d librdad. No caso diagonal, basta utilizar o bloco-diagonal-nodal ao invés da diagonal, mas a invrsão prévia armaznamnto dos blocos é ncssária. No caso do LU-SGS a msma dcomposição (6.32) é válida usando o bloco-diagonal ao invés da diagonal com isso um pré-condicionador mais adquado para mais graus d librdad. O assmbling m bloco pod sr fito como s foss um grau d librdad armaznando todos os blocos diagonais não nulos. Dssa forma alguns trmos nulos vão sr armaznados, mas a dmanda d mmória muito rduzida m rlação a armaznar todas as posiçõs da matriz d coficints. Como já comntado, uma vz qu uma matriz tm uma strutura, no caso d mais d um grau d librdad, la é uma matriz m bloco, a considração dssa propridad vai proporcionar um algoritmo mais ficint sja no procssamnto ou na dmanda d mmória Estudo comparativo ntr os pré-condicionadors Nsta sção srá analisado o comportamnto dos três pré-condiconadors implmntados. Inicialmnt para o problma modlo da quação advcção-difusão, m duas dimnsõs, prmannt linar, qu é dscrita na sua forma advctiva [Hughs_consrvativ] por L( u) = a u ( D u) = 0 (6.34) ond a é o campo advctivo, D o tnsor d difusão u o scalar sndo transportado. A forma variacional discrta dada por Ω h w L( u h ) dω + nl Ω = 1 τ a a w h L( u h ) dω = 0 (6.35) ond w h é a função pso discrta τ o parâmtro SUPG à nivl d lmnto, avaliado sgundo [35] por 90

107 τ = c1 + c 2 2 ( h D ) a h 1 (6.36) com c 1 = 4 and c 2 = 2 para lmntos linars h sndo uma stimativa para o tamanho do lmnto, aqui adotada como sndo a raíz quadrada do dobro da ára. Foram litos três problmas para os tsts iniciais m duas dimnsõs. Dois advctivos um difusivo. O xmplos puramnt advctivos são clássicos, ambos xtraídos d [19] d domínio quadrado unitário. São ls o d uma advcção constant à 45 graus com rlação ao domínio o da advcção d um cossnóid m um campo rotacional. Para sss xmplos foram utilizadas três nívs d rfinamnto d malha, 20x20, 40x40 60x60, sndo qu cada divisão contndo dois lmntos triangulars. Como sss xmplos gram sistmas não simétricos, foi utilizado o algoritmo GMRES com uma tolrância adotada foi d vtors na bas d Krylov. As Tablas aprsntam a comparação ntr os três pré-condicionadors no dois xmplos clássicos m trmos d númro d itraçõs, m ngrito, tmpo rlativo d procssamnto na solução do sistma. As Figuras ilustram as soluçõs numéricas obtidas as malhas d discrtização mprgadas. Tabla 6.8 Comparação ntr pré-condicionadors para o xmplo d advcção diagonal. Problma d advcção à 45 graus com rlação ao domínio Malhas Estruturadas Malhas Não Estruturadas 20x20 40x40 60x60 20x20 40x40 60x60 D LU-SGS ILU(0)

108 20 x x 20 n 40 x x 40 n 60 x 60 (a) 60 x 60 n (b) Figura 6.4 Soluçõs para advcção diagonal: malhas struturadas (a), malhas não struturada (b). 92

109 Tabla 6.9 Comparação ntr pré-condicionadors para o xmplo d advcção rotacional. Problma d advcção d um cossnoid m um campo rotacional Malhas Estruturadas Malhas Não Estruturadas 20x20 40x40 60x60 20x20 40x40 60x60 D LU-SGS ILU(0)

110 20 x x 20 n 40 x x 40 n 60 x x 60 n (a) (b) Figura 6.5 Soluçõs para advcção rotacional: malhas struturadas (a), malhas não struturada (b). 94

111 Um trciro xmplo, puramnt difusivo qu rsulta num sistma simétrico, foi analisado para avaliar a prformanc dos pré-condicionadors com o método dos gradints conjugados. Para tal foi sparada uma fatia do rsrvatório d ptrólo, dnominado SPE 2D. Foram dfinidas prssõs prscritas d 4000 psi no poço injtor psi nos produtors. A Tabla 6.10 aprsnta rsultados para um caso homogêno, um htrogêno isotrópico outro ortotrópico a Figura 6.6 as soluçõs. Tabla 6.10 Comparação ntr pré-condicionadors no xmplo SPE 2D. Cálculo do campo d prssão m uma fatia do xmplo SPE Homogêno(kx=ky) Htrogêno (kx=ky) Htrogêno (kx ky) D LU-SGS ILU(0) Figura Soluçõs o smplo SPE: homogêno isotrópico (a), htrogêno com kx=kx (b), htrogêno com kx ky (c). 95

112 É important rssaltar qu apsar da rlação do númro d itraçõs ntr um précondicionador outro sr a mtad, por xmplo, isso não significa qu o tmpo d procssamnto também srá rduzido pla mtad pois o custo do pré-condicionamnto por itração é maior. Em função do ganho obtido, tanto na diminuição das itraçõs, quanto no tmpo d xcução, m todos os casos analisados para o problma modlo, dcidiu-s ralizar a implmntação dos pré-condicionadors para o problma tridimnsional d scoamntos comprssívis não viscosos. Nss caso, xist a dfinição d cinco précondicionadors, dvido ao uso blocado dos dois primiros métodos. É important mncionar também qu a fatoração ILU(0), nss caso, é apnas uma aproximação, pois as opraçõs da fatoração são ralizadas por blocos não na matriz trmo a trmo, o qu configura uma aproximação para a fatoração ILU(0) da matriz. As Tablas mostram o dsmpnho dsss pré-condicionadors na solução das quaçõs d Eulr nos casos, unidimnsional Sod (xmplo 5.1) no scoamnto suprsônico ao rdor da sfra (xmplo 5.4) para alguns passos d tmpo. Not qu no xmplo tridimnsional, não foi possívl obtr solução com os métodos D, LU-SGS fatoração ILU(0) aproximada, qu é a raliazação da fatoração por blocos, tratando os blocos como s fossm os trmos da matriz. Tabla 6.11 Comparação ntr pré-condicionadors no xmplo Sod, númro d itraçõs. dt = 0.01 dt=0.001 dt= D BD LU-SGS BLU-SGS ILU(0) aprox

113 Tabla 6.12 Comparação ntr pré-condicionadors no xmplo do scoamnto suprsônico ao rdor da sfra, númro d itraçõs tmpo rlativo. dt = 0.5 dt=1 dt=5 dt=10 BD BLU-SGS A partir das tablas acima, tm-s uma indicação qu o pré-condicionador BLU-SGS gra soluçõs, m média, da mtad no tmpo total d procssamnto do BD. Novamnt cab a obsrvação d qu a rdução do tmpo d procssamnto da solução dos sistma d quaçõs não é igual a rdução do númro d itraçõs, como pod sr vrificado na Tabla Estudo comparativo ntr opradors d captura d choqus na solução das Equaçõs d Eulr Nsta sção são aprsntados rsultados com a formulação SUGN YZbta aprsntadas no Capítulo 4. Essa formulação introduzida m [134] já avaliada m [ ] é mais simpls qu a tradicional por sr basada somnt nas variavéis consrvativas, não xigindo uma tranformação para variávis d ntropia. Isso ofrc uma formulação com um mnor númro d opraçõs d ponto flutuant, portanto mais intrssant do ponto d vista computacional. O xmplo analisado foi choqu oblíquo [26] m duas dimnsõs m uma malha 20x20 struturada outra não struturada. Comparaçõs ntr as soluçõs s ncontram nas Figuras 6.7 a 6.8. As figuras aprsntam uma comparação ntr os oprados da advcção da captura d choqus através da abordagm tradicional da nova formulação. 97

114 massa spcífica Choqu Oblíquo Choqu malha Oblíquo struturada 20x20 20x20 Novo (SUGN+YZB) SUGN+YZβ SUPG+dlta91 xato Típico (SUPG +dlta91) xact comprimnto ao comprimnto longo d y = 0.9 Figura 6.7 Comparação d soluçõs para o choqu oblíquo, malha struturada. Choqu Obliqu Oblíquo Shock malha unstructurd não struturada msh20x20 massa spcífica dnsity along plot lin x=0.9 comprimnto ao longo d y = 0.9 Nw_SUPG + dlta_shoc (includ. SUGN+YZβ tau2) + dlta_91 SUPG+dlta91 xato xact xato Figura 6.8 Comparação d soluçõs para o choqu oblíquo, malha não struturada. 98

115 tau (SUPG paramtr) tau (parâmtro advctivo) tau (SUPG paramtr) SUPG+dlta91 SUPG_nw+dlta_shoc SUGN+YZβ distanc along tmpo plot lin y=0.25 Figura 6.9 Comparação para o oprador da advcção SUPG SUGN. dlta (SC paramtr) dlta (parâmtro do choqu) dlta (SC paramtr) SUPG+dlta91 SUPG_nw+dlta_shoc SUGN+YZβ distanc along tmpo plot lin y=0.25 Figura 6.3 Comparação d soluçõs para o choqu oblíquo. Figura 6.10 Comparação para o oprador d captura d choqus. 99

116 Capítulo 7 Exmplos Numéricos d Aplicação 7.1 Introdução Os xmplos numéricos têm o objtivo d aprsntar aplicaçõs rais para as implmntaçõs dsnvolvidas. No caso d scoamntos m mios porosos é studado um problmas d anális d bacias ond é avaliado um possívl caminho d migração scundária d ptrólo m uma rgião d intrss da bacia d Llanos Orintals, na Colômbia. Para as quaçõs d Eulr, foi rsolvido um scoamnto quas suprsônico ao rdor d um avião tipo YF Modlagm d Migração Scundária m uma Bacia Sdimntar A modlagm d bacias não é uma tarfa trivial, principalmnt porqu nvolv fnômnos m milhars milhõs d anos passados o qu dificulta uma xata dfinição d gomtria, matriais vntos nvolvidos. A grand contribuição m trazr simulaçõs numéricas para a modlagm anális d bacias é no sntido d provr mais uma frramnta, ond o analista possa tstar divrsos cnários tr uma mlhor 100

117 conclusão acrca dos caminhos prfrncias d ólo zonas d acumulação, dntr outros fnômnos, visando a xploração d campos d intrss. Divrsas dificuldads foram ncontradas na modlagm simulação d bacias sdimntars. A idéia aqui é comntar o caminho utilizado na solução dst problma os pontos-chav qu dvm sr atntados nss procsso. É d grand importância qu haja intração ntr divrsos profissionais como gólogos, gofísicos, químicos, ngnhiros d ptrólo computacionais, ntr outros. A modlagm d bacias é uma disciplina amplamnt multidisciplinar, d tal forma qu não havndo ssa troca d xpriências o trabalho torna-s praticamnt inviávl. É convnint ntão, dfinir as tapas qu dvm sr sguidas, qu rsumidamnt são: grar o modlo gométrico, grar uma malha d discrtização, dfinir fnômnos a srm modlados m qu condiçõs, carrar a simulação numérica através d programas comrcias ou dsnvolvidos pla própria quip visualizar analisar os rsultados. No caso da simulação d fluidos é convnint, comum intrssant utilizar programas d rsrvatórios d ptrólo. Existm complicaçõs m todas ssas tapa. É ncssária uma dscrição adquada da gomtria da bacia, o qu gralmnt é ralizado com um programa d CAD (Computr Aidd Dsign), no caso o GoCad [141] qu é spcífico para ralizar ssa modlagm gométrica d bacias sdimntars, como já comntado no xmplo antrior do Capítulo 3. Portanto a sgunda grand dificuldad a sr mncionada sria uma dfinição rprsntação da gomtria ral, suas camadas falhas, com crtas simplificaçõs, qu somnt um gólogo com xpriência no campo, pod tr. Os métodos numéricos utilizados nas simulaçõs numéricas têm suas limitaçõs, d tal forma qu não s dsja grar uma gomtria bastant complxa, ond a gração d uma malha ou até msmo a volução d soluçõs numéricas podm vir a sr impraticávis. O qu s aconslha é capturar as struturas gométricas d maior port rlvância nos vntos físicos srm simulados. Not qu para difrnts físicas, difrnts struturais podm sr rlvants. As suprfícis dvm sr suavizadas ao máximo para facilitar a gração da malha a convrgência da solução. No caso ral simulado nst trabalho, não houv ssa procupação inicial d tal forma qu o modlo gométrico aprsnta irrgularidads como quinas bicos totalmnt dsncssários inadquados para a anális do problma. 101

118 Uma outra dificuldad é, fito um modlo gométrico com a aprovação dos profissionais nvolvidos, dv-s partir para gração da malha d discrtização, a qual é mais intrssant qu sja d ttradros por sua maior flxibilidad d acomodação m domínios irrgulars. Essa tapa tm basicamnt duas complicaçõs. Primiro, a própria gração da malha numa strutura gométrica bastant complxa pouco suav. Em sgundo, a gração d uma malha d qualidad. Uma malha d qualidad significa tr rlativamnt poucos lmntos distorcidos sgundo alguma métrica d avaliação dos lmntos. Em gral, dsnvolvr um grador d malhas d qualidad, por si só, já é um tma d psquisa [8], d tal forma qu foram utilizados programas comrcias ou d domínio público para ssa finalidad. Inicialmnt, a idéia ra utilizar as próprias malhas d ttradros gradas a partir do GoCad, ond já stava o modlo gométrico. Contudo, ss programa não s procupa com a qualidad das malhas gradas d tal forma qu sua utilização impossibilita a convrgência nssas malhas. Portanto partiu-s para a lição d algum programa qu consguiss grar uma malha d ttradros d qualidad a partir das suprfícis xtrnas triangularizadas. É claro qu sss triângulos dvm sr rgulars suavs, mas controlar ssas suprfícis no GoCad é natural, uma vz qu isso por si só já faz part da modlagm gométrica, nquanto qu a gração da malha d volum é fito por um algoritmo intrno sm control plo usuário. Após utilizar métricas para qualidads d malhas como as aprsntadas no capítulo antrior, ficou claro qu ssa malha continha muitos lmntos distorcidos. Em gral, na modlagm d bacias xist a gração d lmntos irrgulars dvido a prsnça d camadas mutios finas com rlação a outras vizinhas mais spssas a prsnça d falhas. Tal qu, como já dito, a simplificação d crtas gomtrias irrlvants para os fnômnos stuados starão grando um grand complicador nssa qustão da gração d uma malha d qualidad. Foi ntão lito um programa abrto a studos cintíficos, dnominado TtGn [129], qu é um grador d ttrados d qualidad a partir d suprfícis triangularizadas fchadas. Msmo com ss programa, a conclusão d uma malha não foi tarfa simpls, dvido à não obsrvaçõs às simplificaçõs suavizaçõs, ond divrsos triângulos stavam suprpostos ou o domínio com furos. Foi ncsário um trabalho manual, muito cuidadoso para grar uma triangularização adquada m todo o domínio. Uma vz fito isso o grador d malhas TtGn foi capaz d grar uma malha qu apsar d ainda contr 102

119 lmntos ainda bastants distorcidos ls rprsntam mnos d 5% dos lmntos totais da malha, o qu já indica a possibilidad d ralizar simulaçõs numéricas. Tndo o modlo gométrico dfinido, quanto mais suav simplificado mlhor, sua malha ttraédrica d qualidad, ou plo mnos o mlhor possívl, part-s para a simulação dos fnômnos físcios propriamnt ditos, aqui scoamnto d fluidos bifásicos imiscívis m mios porosos. Podriam sr scoamntos multifásicos composicionais, dformaçõs lastoplásticas, histórico térmicos da bacia, ou ainda mlhor uma acoplamnto ntr divrsos dsts fnômnos. Mas para a avaliação qualitativa dos caminhos prfrnciais acumulaçõs d ólo, rsolvr uma física tipo ólo água é razoávl. Para a dfinição d condiçõs inicias d contorno propridads com valors rspitando unidads d vntos m tmpos gológicos, gram muitas dificuldads por srm pouco usuais na ngnharia civil. Daí, novamnt é rforçada a idéia d grupos multidisciplinars. A sguir srão aprsntadas a malha adotada, as propridads das rochas dos fluidos, as condiçõs iniciais d contorno bm como os rsultados obtidos com ssa simulação m uma rgião, m produção d grand intrss, na bacia colombiana d Llanos Orintals [9]. No trabalho d mstrado [116], foi ralizada uma simulação numérica para studar a migração scundária m bacias sdimntars. Nst trabalho, muitas dirçõs para dfinir parâmtors constants foram adotados aqui nssa mtodologia Métricas para Malhas d Ttradros Métricas para vrificação da qualidad d malhas d lmntos finitos são muito utilizadas na gração d malhas na solução d problmas utilizando técnicas d adaptatividad [Zicka,lano]. A utilização d lmntos distorcidos é possívl, contudo é important qu a malha rspit plo mnos alguma métrica d qualidad, pois os 103

120 lmntos distorcidos podm influnciar a solução, obtndo-s assim uma rsposta inadquada. Numa anális mais qualitativa, o uso d uma quantidad razoávl d lmntos distorcidos é acitávl. Nst trabalho adotamos duas métricas (η γ ) dnominadas rspctivamnt, man ratio [49] aspct ratio [101], para avaliação do nívl d distorção dos lmntos da malha da bacia. Um squma d cálculo é aprsntado a sguir dscrv sucintamnt a utilização dssas métricas. É important rssaltar qu os parâmtros η γ variam ntr [0-1] qu quanto mais prto d 1, mais rgular é o lmnto quanto mais prto d 0, mais distorcido. Para a avaliação dstas métricas é ncssário o cálculo dos comprimntos d i d cada uma das 6 arstas, d = x + y + z i = 1,..., 6 (1) i 2 i 2 i 2 i ond x i, y i z i são as difrnças das coordnadas dos nós da arsta m qustão. O parâmtro η, conhcido como man ratio sgundo [49], é avaliado como, = 6 ( 3V ) 2 d i η (2) i η η = (3) η rgular ond V é o volum do lmnto m qustão η rgular o valor d η para um ttradro rgular quivalnt, isto é, quilátro. Já o parâmtro γ, conhcido como aspct ratio sgundo [101], é d i 6 i γ = (4) V 104

121 γ γ = (5) γ rgular ond γ rgular o valor d γ para um ttradro rgular quivalnt, isto é, quilátro. Not qu tm qu sr forncido um valor limit para η, outro para γ, afim d s stablcr um critério d scolha, isto é, s o parâmtro for mnor qu o valor limit ntão o lmnto é considrado ruim, distorcido, irrgular /ou inadquado Primiros Passos m Dirção ao Estudo d Caso Ral O xmplo d aplicação aqui aprsntado é rfrnt à modlagm d fluxo d fluidos, isto é, a migração scundária m uma bacia da Colômbia, dnominada Llanos Orintals, ond tapas iniciais d modlagm stão sndo dsnvolvidos para futuras análiss d aplicaçõs m divrsos cnários. Um dos objtivos principais dss xmplo é o d s stablcr uma mtodologia consistnt para tratar divrsos problma físicos m divrsas situaçõs práticas d intrss. Portanto, o objtivo final dsta modlagm d fluidos, é ralizar simulaçõs numéricas no domínio da dtrminada bacia para s chgar à conclusõs com rlação aos possívis caminhos d migração localização d acumulação do ólo grado Modlagm Gométrica Gração da Malha O modlo complto foi dividido m quatro blocos dnominados Morro, Pidmon, ForLand Cusiana-Cupiagua. Essa divisão m blocos facilitou a construção do modlo gométrico a malha d lmntos finitos dfinição dos matriais. A modlagm gométrica foi ralizada no GoCad por Bngaly [15]. Uma vz qu um profissional stivr utilizando o GoCad, visando não apnas a modlagm gométrica da bacia, isto é, 105

122 sua rprsntação visual, mas também a gração d uma malha d lmntos finitos, é dsjávl rcomndado o uso corrto das frramntas do GoCad para consguir grar uma malha m tmpo hábil com um mínimo d qualidad. O qu obsrvamos podmos dstacar como quívoco à época, foi a falta d atnção nssa qustão. Agora, com maior xpriência, prcbu-s qu a construção do modlo gométrico dv sr conduzida já s pnsando na gração da malha. Pois assim, havrá a positiva intração ntr o profissional rsponsávl pla modlagm o profissional rsponsávl pla simulação, sjam ls gólogos, gofísicos ou ngnhiros, pois a união d divrsas áras do conhcimnto são indispnsávis no sucsso das qustõs técnicas cintíficas provnints das ncssidads da indústria do ptrólo. O modlo complto comtmplava quatro blocos conform Figura 7.1. Inicialmnt, uma malha grada plo Gocad foi utilizada para o domínio complto, ou sja, os quatros blocos. Mas nssa malha, houv a constatação d muitos lmntos achatados (slivr) não foi possívl utilizá-la. Para tal, foi fita uma ligira suavização das malhas d suprfícs triangulars, houv o dscart do bloco 1 (azul), d pquno valor xploratório, foi ntão utilizado o programa acadêmico TtGn [129] para grar uma malha ttraédrica d qualidad a partir das suprf ícis xtrnas. Rsutando assim numa malha com nós, lmntos arstas. Tm nós rsidindo no contorno. A Figura 7.2 aprsnta uma vista suprior, da topografia, a Figura 7.3 uma vista infrior, do mbasamnto a Figura 7.4 um dtalh. Aqui já é oportuno comntar qu a topografia, no caso as montanhas foram rtiradas do modlo, uma vz qu apnas a simulação d vntos d subsuprfíci são considrados. 106

123 Figura Dtalh dos quatro blocos do modlo complto. Figura Malha do modlo adotado: vista suprior, topografia. 107

124 Figura Malha do modlo adotado: vista infrior, mbasamnto. Figura 7.4 Dtalh da malha do modlo adotado, falhas. 108

125 Avaliação da qualidad da malha através das métricas litas Através das métricas aprsntadas na sção 7.2.1, pod-s avaliar a qualidad da malha d lmntos finitos grada com o GoCad. Foram adotados valors limits d 0.7 para ambas as métricas d qualidad. Pla métrica η tm-s um total d 43.1 % dos lmntos como inadquados pla métrica γ um total d 15.3 %. As Figuras ilustram m vrmlho sss lmntos qu falharam no critério da métrica. Como já rssaltado antriormnt, as análiss aqui m dsnvolvimnto tm um carátr qualitativo, plo mnos nss início, d tal forma qu a utilização dssa malha é justificada nss momnto. Evidntmnt qu para postriors análiss d carátr mais quantitativo, rcomnda-s a mlhora do modlo no sntido d s grar uma malha mais rfinada com um índic d lmntos distorcidos abaixo d 5%. Figura Em azul os lmntos com parâmtro η maior qu o valor limit. 109

126 Figura Em azul os lmntos com parâmtro γ maior qu o valor limit Cálculo das normais unitárias ao contorno Com ss cálculo tm-s dois objtivos. Um é d calcular as normais qu são ncssárias para a incorporação das condiçõs d contorno d fluxo normal nulo, isto é d domínio fchado ond não pod ntrar nm sair massa. O procdimnto d incorporação dss tipo d condiçõs d contorno é fito conform BELYTSCHKO [11] DEVLOO [46]. O sgundo objtivo vm a ratificar a vrificação da malha, uma vz qu, pla técnica adotada, nnhum nó intrno do domínio pod tr normal não nula. O qu foi vrificado confirma garant qu a malha stá adquada para as simulaçõs numéricas. A Figura 7.7 aprsnta uma visualização dsss vtors m vrmlho. 110

127 Figura Vtors unitários normais ao contorno Propridad das Rochas do modlo complto As propridads das rochas, ilustradas na Figura 7.8, foram forncidas plo Instituto Colombiano d Ptrólo stão dispostas na Tabla

128 Figura Dtalh das oito camadas sdimntars. 112

129 Tabla Propridads das rochas: massa spcífica, porosidad prmabilidads horizontal vrtical. Divisão do Modlo nom γ s (kg/m 3 ) φ (%) Kh (D) Kv (D) Bloco 1 (Morro) Camada 1.1 Un , , Camada 1.2 Gachta , , Camada 1.3 Guadalup , , Camada 1.4 Barco , ,67032 Camada 1.5 Mirador , , Camada 1.6 Carbonra , , Bloco 2 (Pidmon) Camada 2.1 Carbonra , , Camada 2.2 Lon , , Camada 2.3 Guayabo , ,17567 Bloco 3 (ForLand) Camada 3.1 Un , , Camada 3.2 Gachta , , Camada 3.3 Guadalup , , Camada 3.4 Barco , , Camada 3.5 Mirador , , Camada 3.6 Carbonra , , Camada 3.7 Lon , , Camada 3.8 Guayabo , ,17567 Bloco 4 (Cusiana-Cupiagua) Sub-Camadas Un , , Sub-Camadas Gachta , , Sub-Camadas Guadalup , , Sub-Camadas Barco , , Sub-Camadas Mirador , , Sub-Camadas Carbonra , , Camada 4.7 Lon , , Camada 4.8 Guayabo , , Propridad dos Fuidos As propridads dos fluidos dfinidas na Tabla 7.2 rprsntam o scoamnto ólo água. 113

130 Tabla Propridad dos fluidos. Grandza Símbolo Valor Unidad massa spcífica do ólo ρ o 700 kg/m 3 massa spcífica da água ρ w 1000 kg/m 3 viscosidad do ólo µ o 3.2 x 10-5 N.10 6 ano/m 2 viscosidad da água µ w 1.0 x 10-5 N ano/m 2 gravidad g 9.8 na dirção -z m/s 2 Prssão capilar p cow 0.0 N/m 2 passo d tmpo t ~ ano Condiçõs d Contorno Para a quação da prssão, dvrá sr prscrita uma prssão atmosférica no topo do domínio uma prssão, calculada a partir do pso spcífico dos fluidos das camadas supriors, dvrá sr prscrita no mbasamnto. Ess cálculo foi fito através da xprssão P bas = nmat ( γ f ) i A b i V g i (6) ond nmat é o númro d matriais do modlo, ( γ f ) i é a massa spcífica do fluido V i o volum d cada matrial i, g é o valor da gravidad A b é a ára do mbasamnto. Dvs somar a ssa xprssão um prcntual xtra dvido as montanhas da topografia qu foram rtiradas do modlo. Para a saturação, dcidiu-s por prscrvr tanto no topo como na bas uma saturação constant d água igual a

131 Condiçõs Iniciais A condição inicial do modlo é prnchr totalmnt todas as camadas d rocha gradora com ólo as dmais camadas com água. Dssa forma, a difrnça d prssão ntr topo mbasamnto, govrnada pla difrnça d dnsidad ntr os fluidos nvolvidos irá promovr o dslocamnto rlativo dsss fluidos qu tm qu s acomodar ao domínio fchado, isto é não podm sair nm ntrar do domínio. A Figura 7.8 mostra as zonas da camada d rocha gradora na cor azul claro, qu corrspond ao matrial 2 nssa scala. Para s considrar um maior volum d ólo, foram prnchidas d ólo todas as camadas abaixo da rocha gradora. 7.3 Rsultados da Simulação Os rsultados foram obtidos aplicando uma condição d contorno d prssão no topo dfinida a gravidad qu gra um trmo font não linar, qu dvido ao contrast d dnsidads, promov a migração do ólo. Pod-s dfinir a gravidad nula, dsd qu sja prscrita um a prssão no mbasamnto, tal qu o difrncial d prssão rsultant sja comparávl ao grado pla font gravitacional. A simulação tv a intnção d modlar a mais rcnt migração scundária na bacia. É considrado um ólo lv qu à 50 mil anos atrás comçou a migrar da rocha gradora para a rocha rsrvatório. A volução da solução no tmpo s ncontra na Figura 7.9. D acordo com a gomtria do modlo, pod-s prcbr um acúmulo maior d ólo na part dirita das figuras, rprsntando qu alí rsid uma zona d boa acumulação d ólo. Como a modlagm d bacias é uma tarfa bastant complxa, tm-s aqui apnas uma anális qualitativa d caminhos prfrnciais d migração d ólo. 115

132 t = 1 mil anos t = 10 mil anos t = 20 mil anos 116

133 t = 30 mil anos t = 40 mil anos t = 50 mil anos Figura 7.9 Migração Scundária do Ólo. 117

134 7.3 Escoamnto suprsônico ao rdor d um avião tipo YF17 Nss xmplo, toma-s condiçõs smlhants qu o xmplo 5.4 do scoamnto suprsônico ao rdor d uma sfra, só qu agora, trata-s d um scoamnto uas suprsônico com númro Mach igual a 0.9. A malha simétrica m rlação ao plano cartsiano x é aprsntada m 7.10 tm nós lmntos. As itraçõs não linars foram limitadas m 3 com tolrância d 10-2 para o solucionador GMRES com 100 vtors d Krylov. A solução prmannt para a massa spcífica após 600 passos d tmpo stá na Figura Em tm-s a solução das vlocidads. As unidads stão omitidas por starm num sistma cornt, isto é, adimnsionalizadas. Est xmplo não tm solução analítica conhcida, mas pod-s prcbr a qualidad da solução pla posição dos choqus. O qu stá d acordo com o sprado para a gomtria do avião. 118

135 Figura 7.10 Dtalh da malha simétrica do avião YF

136 Figura 7.11 Solução prmannt da massa spcífica. Figura 7.12 Solução prmannt da vlocidad m magnitud. 120

137 Figura 7.13 Rprsntação dos vtors vlocidad. 121