ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS PARA SOLUÇÃO DE LEIS DE CONSERVAÇÃO NÃO LINEARES. Seminário de Qualificação ao Doutorado

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1 ESTRTÉGIS COMPTCIONIS PR SOLÇÃO DE LEIS DE CONSERVÇÃO NÃO LINERES Sminário d Qualificação ao Doutorado Paula ida Ssini Orintador: lvaro Luiz Gayoso d zrdo Coutino juno d 004

2 Índic Introdução Equaçõs d Eulr 3. Equaçõs govrnants 3. Formulação d lmntos finitos 4.3 Implmntação do código 7.4 Exmplos numéricos 8.4. Coqu normal 8.4. Coqu oblíquo Escoamnto subsônico não viscoso m torno d um cilindro 4 3 Elmntos finitos stabilizados para simulação d scoamntos bi-fásicos miscívis m mios porosos 7 3. Equaçõs govrnants Escoamnto bi-fásico imiscívl Escoamnto miscívl 8 3. Formulação d lmntos finitos Escoamnto bi-fásico imiscívl Escoamnto miscívl Formulaçõs stabilizadas SPG SGS Pós-procssamnto da vlocidad 3.5 lgoritmo d intgração no tmpo 3.6 Exmplos numéricos 3.6. Problma d cinco poços 3.6. Canal omogêno com prfil d viscosidad não monotônico 5 4 Conclusõs 9

3 Capítulo Introdução s lis d consrvação qu dscrvm os problmas d mcânica dos fluidos m gral constitum sistmas d quaçõs difrnciais parciais dpndnts do tmpo, não linars acoplados. Dvido à naturza dsts sistmas, na maior part dos casos é impossívl obtr uma solução analítica. Por st motivo são amplamnt usados métodos numéricos como difrnças finitas, volums finitos, lmntos finitos, tc. Nst trabalo aprsntamos um studo sobr modlos d lis d consrvação qu têm sido amplamnt studados nos últimos anos dvido a sua grand aplicabilidad nas indústrias aronáutica d ptrólo. Ests são o caso d fluidos comprssívis não-viscosos dscritos plas quaçõs d Eulr, os scoamntos m mios porosos d fluidos miscívis imiscívis bifásicos, dscritos ssncialmnt por uma quação para a prssão uma quação rspctivamnt para a concntração ou saturação da água. Ests problmas são caractrizados plo transport prdominantmnt advctivo. s soluçõs calculadas usando o método d lmntos finitos d Galrkin aprsntam oscilaçõs indsjávis distribuídas no domínio todo. Os métodos d lmntos finitos stabilizados constitum uma boa altrnativa para o control d tais instabilidads como é o caso da formulação SPG (Stramlin pwind Ptrov Galrkin) dsnvolvida por Brooks Hugs (98). Tzduyar Hugs (984) usaram a formulação SPG para rsolvr as quaçõs d Eulr, obtndo rsultados satisfatórios, porém ainda foram obsrvadas oscilaçõs spúrias nas rgiõs d coqus camadas limit. Com objtivo d podr controlar tais instabilidads têm sido dsnvolvidas difrnts técnicas d captura d coqu. ma dstas técnicas é aprsntada no trabalo d Sakib (988), no qual acrscnta à formulação spaço-tmpo Galrkin Last Squars um trmo camado oprador d captura d coqu. Postriormnt lmida Galão (996) adicionaram à formulação SPG spaço-tmpo o oprador d captura d coqu C (Consistnt pproximat pwind Mtod) proporcional ao rsíduo no intrior dos lmntos. Os rsultados numéricos mostram um dsmpno satisfatório da formulação SPG C. No caso d scoamntos m mios porosos vrifica-s a prsnça d forts gradints d concntração / ou coqus nas frnts d saturação, qu, m ambos os casos s movm no domínio d intrss. ma dificuldad adicional no caso d mios porosos é a solução do problma d Darcy, isto é, o cálculo prciso da vlocidad através da li d Darcy. Tradicionalmnt mprga-s aqui métodos mistos (Durlofsky, 993), porém nos últimos anos vm sido psquisadas divrsas altrnativas (Coutino t al., 003) na busca por solução nvolvndo funçõs d intrpolação da msma ordm, tornando mais convnint a aplicação d formulaçõs stabilizadas tipo SPG, GLS outras (Pironnau, 989) à quação não linar d transport associada à concntração ou saturação d água. Nst trabalo aprsntamos dois studos corrspondnts rspctivamnt ao problma d fluidos comprssívis não-viscosos ao problma d scoamnto m mios porosos. O primiro studo consistiu na implmntação d uma xtnsão para 3D da formulação smi-discrta SPG m variávis consrvativas usada por Catabriga t al. (999). Nsta implmntação usamos lmntos ttradros linars. No sgundo studo comparamos dois métodos stabilizados d

4 lmntos finitos para rsolvr a quação da saturação / concntração prdominantmnt advctiva. m dsts métodos é o SPG adicionando a técnica d captura d coqu dscontinuidads C. O outro método é a formulação Multi-Escala proposta por Hugs (995) aprsntada m Juans Patzk (00), qu propõm uma aproximação algébrica para a Sub-Escala (SGS) acrscntando um oprador d captura d coqu dscontinuidads para controlar a instabilidad nas frnts m movimnto. Por outro lado, adotamos um método clássico d Galrkin para calcular a prssão uma técnica d pós-procssamnto para avaliar a vlocidad com a msma ordm d intrpolação qu as outras variávis do problma. O rstant do trabalo é organizado da sguint forma. No capítulo é aprsntada a xtnsão para 3D da formulação smi-discrta SPG das Equaçõs d Eulr. São mostradas as quaçõs govrnants a formulação d lmntos finitos. Também são aprsntados xmplos clássicos d fluidos não-viscosos para validar a implmntação. O capítulo 3 trata do problma do scoamnto imiscívl bifásico do scoamnto miscívl no mio poroso. São aprsntadas as quaçõs govrnants duas formulaçõs stabilizadas d lmntos finitos. Em sguida são mostrados xmplos numéricos com o motivo d comparar a prcisão stabilidads d ambas formulaçõs. Finalmnt o capítulo 4 aprsnta as conclusõs d ambos studos ralizados.

5 Capítulo Equaçõs d Eulr Nst capítulo tratamos da dscrição das quaçõs govrnants da formulação d lmntos finitos para o scoamnto d fluidos comprssívis não viscosos. São dscritas as caractrísticas principais da implmntação do código são aprsntados xmplos numéricos clássicos para a validação da xtnsão tridimnsional.. Equaçõs govrnants s quaçõs d Eulr são um sistma d lis d consrvação não viscosas qu pod sr rprsntado por, F = 0 m Ω [0, ] (), t i, i T ond para Ω 3 t [0, T], o vtor d variávis consrvativas, o vtor d fluxos d Eulr F i são dados rspctivamnt por: = u = ρ u u 3 () F i u = ρui u u 3 0 δi p δ i δ 3i ui (3) Nas quaçõs () (3), ρ é a dnsidad do fluido, u ={u, u, u 3 } t é a vlocidad é a dnsidad d nrgia total, qu é a soma da dnsidad d nrgia intrna E a dnsidad d nrgia cinética u /, p é a prssão trmodinâmica δ ij é a dlta d Kronckr. ssumindo qu o fluido sgu a li dos gass prfitos, as rlaçõs constitutivas são dadas plas sguints xprssõs, ι = ct v (4) ( ) p = γ ρι (5) ond c v é o calor spcífico a volum constant, T a tmpratura absoluta, γ= c p /c v c p o calor spcífico a prssão constant. ltrnativamnt, a quação () pod sr scrita como, [ 0 T ], t x, x y, y z, z = 0 m Ω, (6) 3

6 ond as matrizs Jacobianas i, para i=x,y,z são dfinidas por: Fi i = (7) s quaçõs d Eulr podm sr scritas d forma simétrica através da mudança d variávis consrvativas para variávis d ntropia (V). Dfinimos uma função scalar camada função d ntropia gnralizada H=H() por H( ) = ρs (8) ond s=ln(p/ρ γ )s 0 é a ntropia física por unidad d massa. Portanto, podmos introduzir as variávis d ntropia V t =H, a rlação V é dada por, V 5 ρι( γ s) V V = V 3 = 3 (9) V 4 ρι 4 V5 sndo s=ln((γ-)ρι/( ) γ ) ρι= 5 (ρ u )/( ). Portanto as quaçõs d Eulr scritas m variávis d ntropia são dadas por: ~ ~ V V, = 0 in Ω [ 0, T ] (0), 0 t i i ond à 0 =,V é simétrico dfinido positivo à i = i à 0 é simétrico. formulação d lmntos finitos do prsnt trabalo é basada na discrtização da Eq. (6). Espcificamos condiçõs d contorno iniciais apropriadas para a Eq. (6). ssumindo qu o domínio do problma tm um contorno Γ = Γ g Γ, as quaçõs d Eulr admitm condiçõs d contorno d dois tipos: Condiçõs d Diriclt: Q() = g(t) m Γ g ond Q() é uma função vtorial não linar das variávis d consrvação, g(t) são valors prscritos d Q no contorno Γ g d Ω. Condiçõs d Numann: F i é dado no contorno Γ of Ω. Esta condição é similar a spcificar valors das drivadas d primira ordm d alguma ou d todas as variávis indpndnts do problma.. Formulação d lmntos finitos formulação smidiscrta é caractrizada por uma discrtização d lmntos finitos no spaço sguida d uma discrtização d difrnças finitas no tmpo. É considrado o domínio Ω nl dividido m n l lmntos, Ω, =,,,n l, tal qu Ω= = Ω Ω i Ω j =ø. Dadas as funçõs d intrpolação S o spaço d variaçõs admissívis V, rspctivamnt dfinidos por: 5 5 S = { / [ H ( Ω)], / Ω [ P ( Ω )],. k = g m Γ gk } () k { 5 5 V W / W [ H ( Ω)], W / [ P ( Ω )], W. = 0 m Γ } () = Ω k ond H (Ω) é um spaço d funçõs d dimnsão finita sobr Ω, P (Ω ) rprsnta polinômios d primira ordm m Ω Γ gk é o contorno d Ω com condiçõs prscritas d Diriclt. gk 4

7 Considrando uma discrtização padrão d Ω m lmntos finitos, a formulação SPG para as quaçõs d Eulr m variávis consrvativas introduzida por Tzduyar & Hugs (98) Tzduyar & Hugs (983), complmntada por um oprador d captura d coqu (LBau & Tzduyar, 99), pod sr scrita como, Ω W.( i ) dω t xi nl T W ( ) ( ).[ = Ω k τ x t k i x i nl ] dω = Ω W δ ( x i ) x i dω = 0 (3) ond W são rspctivamnt as funçõs d pso as funçõs d intrpolação dfinidas sobr spaços padrão d lmntos finitos. Em (3) a primira intgral corrspond à formulação d Galrkin, a primira séri d intgrais ao nívl d lmnto são os trmos d stabilização SPG, a sgunda séri são os trmos d captura d coqu adicionados à formulação variacional para vitar oscilaçõs spúrias nas rgiõs d coqu. matriz d stabilização τ é dfinida através d matrizs diagonais. Esta matriz d stabilização foi inicialmnt aprsntada por Hugs & Tzduyar (984) foi mlorada por liabadi & Tzduyar (995). matriz τ = τi dpnd do parâmtro τ qu é dfinido como: τ = a max[ 0, τ l ζ ( τ τ δ )] (4) τ l = a 3( αcfl) τ (5) τ a = (6) ( c uβ ) δ τ δ = (7) ( c uβ ) sndo τ l é o parâmtro d stabilização corrspondnt aos trmos dpndnts do tmpo, τ a o parâmtro d stabilização corrspondnt aos trmos advctivos, τ δ o parâmtro d stabilização para dscontar os fitos do oprador d captura d coqu, c a vlocidad acústica o parâmtro da mala dfinido como /3, aond é o volum do lmnto. O parâmtro ζ é um coficint usado no algoritmo d intgração no tmpo CFL é o númro d Courant-Fridrics- Lwy, dfinidos como αcfl ζ = (8) αcfl CFL = ( c uβ ) t (9) β é um vtor unitário arbitrário dado por: * β = (0) * 5

8 ond. * =. ou. Ã0 -, α é um parâmtro controlando a stabilidad prcisão do algoritmo d intgração no tmpo t é o passo d tmpo. Nst trabalo adotamos α=0.5. O parâmtro d captura d coqu δ pod sr dfinido como m L Bau t al., (993) (δ CD ) ou como m lmida & Galão (996) (δ C ) por: ~ - 0 ~ - 0 = z y x CD z y x ξ δ () - 0 ~ - 0 ~ z y x C z y x t ξ δ = () ~ ~ ~ ~ z y y y x x z y y y x x z y y y x x = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (3) s ξ 0, ou ao contrário δ=0. s componnts x j /ξ l são os trmos da matriz d transformação ntr coordnadas físicas coordnadas locais dos lmntos (ξ l ). O oprador δ C foi dduzido comçando com a dfinição m variávis d ntropia dada m lmida & Galão (996), aplicando transformaçõs invrsas. Na formulação variacional (3) é usada uma aproximação por lmntos finitos com lmntos ttradros, ond, =N(x)v(t), N são as funçõs d intrpolação v funçõs dpndnts unicamnt do tmpo. Tal aproximação produz um conjunto d quaçõs difrnciais não linars ordinárias dadas por 0 Cv Ma = (4) ond v é o vtor d valors nodais d, a é a drivada d v com rspito ao tmpo, M é a matriz d massa gnralizada, C é a matriz d convcção gnralizada. É convnint rprsntar as matrizs M C d (4) m trmos das contribuiçõs dos lmntos. Portanto tmos, nl M m = = (5) Ω Ω = Ω Ω T z T z T y T y T x T x T d d ) ( τn B τn B τn B N N m τ (6) Da msma forma, adicionando os trmos dpndnts d v, tmos, 6

9 nl = (7) = C c c τ = T T Ω ( N xb x N yb y T x T T T T Ω B y τ x y τ y y τ z BdΩ T z τ τ x x T x T z τ τ T ond [ B B B ] x y y y z T x T z τ τ N z z T B ) dω z z δ Ω T B BdΩ B = é o oprador gradint discrto, com as drivadas das funçõs d intrpolação. Para rsolvr o sistma (4) usamos o algoritmo Prditor-Multicorrtor aprsntado m liabadi & Tzduyar (995). O sistma rsultant d quaçõs linars é rsolvido usando o algoritmo GMRES com pr-condicionamnto bloco-diagonal nodal (Sakib, 988), usando uma stratégia lmnto por lmnto para calcular os produtos matriz-vtor..3 Implmntação do código O código rsultant da formulação d lmntos finitos foi implmntado visando a possibilidad d usar computação d alto dsmpno para a xcução do msmo. É important notar qu problmas d fluidos comprssívis não viscosos m 3D, usando ttradros linars aprsntam um total d 4 nós por lmnto 5 graus d librdad por cada nó. Dsta forma, cada matriz d lmnto é composta por 400 coficints. Nsta implmntação os loops para o cálculo dos coficints da matriz d massa ftiva do rsíduo foram abrtos s obtndo, dsta manira, um único loop nos lmntos qu contém as xprssõs simbólicas d cada um dsts 400 coficints. fig. mostra trcos da rotina d matriz d massa ftiva com st tipo d implmntação. s xprssõs para o cálculo dos coficints foram obtidas usando o softwar simbólico MPLE. O código implmntado dsta manira, aprsnta uma rotina d matriz d massa ftiva composta por aproximadamnt 6400 linas d código uma rotina do rsíduo com aproximadamnt 400 linas d código. Not qu mbora s obtv um código suficintmnt xtnso, o msmo além d star prparado para sr xcutado com computação vtorial paralla, prmit outras utilidads como é o caso dos cálculos arbitrários Lagrangianos-Eulrianos (LE), usados ssncialmnt para rsolvr problmas d mcânica dos fluidos, acoplados com as dformaçõs das parts sólidas do sistma. (8) 7

10 !... INICIO DO LOOP NOS ELEMENTOS DO il =, nl!... NOS DO ELEMENTO il NOI=IEN(,il)..!...COORDENDS NODIS LOCIS XI = X(NOI)..!... ) MTRIZES DE MSS!....) COEFICIENTES DE Mg»»» SIMETRIC XMG = ONE_0*V6 XMG =.D0*XMG!....) COEFICIENTES DE Mpg»»» NO-SIMETRIC XMPG_ = T_4 * (BI*Tx CI*Ty DI*Tz)..!... 3) MTRIZ DE MSS EFETIV: XMEF(76,il).. ENDDO!(il) = XM_6 DT*C_6.4 Exmplos numéricos Figura : Trcos da rotina d matriz d massa ftiva Nsta sção aprsntamos a solução d alguns problmas clássicos d scoamnto não viscoso para validar a prsnt formulação m três dimnsõs da formulação smidiscrta SPG m variávis consrvativas. prsntamos o problma do coqu normal unidimnsional, o do coqu oblíquo bidimnsional um scoamnto subsônico contornando um cilindro. Todas as soluçõs foram obtidas m um PC, PIV.0 GHz..4. Coqu normal unidimnsional Est problma modla um scoamnto stacionário unidimnsional d um fluido não viscoso d númro d Mac.0 com um coqu normal. Na ntrada do coqu normal o scoamnto é suprsônico nquanto qu na saída é subsônico. O domínio é dfinido plo intrvalo 0 x 39, y z 0.5. mala com 936 lmntos 360 nós é mostrada na Fig.. Figura - Coqu normal vista da mala 8

11 s condiçõs iniciais são spcificadas como: M = ρ = u x < 0 = u = 0 x 0 u = 0 3 p = M = ρ = u = u = 0 u = 0 3 p = s dnsidads, tmpraturas vlocidads são prscritas na ntrada somnt a tmpratura na saída. s componnts da vlocidad u u 3 são prscritas nulas. s Figuras 3, 4 5 aprsntam os rsultados obtidos para os prfis d dnsidad, prssão tmpratura rspctivamnt. Em cada figura s comparam os rsultados da formulação com cada um dos dois opradors d captura d coqu implmntados (Galão Sakib) para cada oprador s considra a formulação com sm o trmo d stabilização SPG. Por último s obsrva também a formulação sm nnum trmo d captura d coqu. Obsrvamos nas três figuras qu as formulaçõs com oprador d captura d coqu aprsntam rsultados satisfatórios nquanto qu no caso com unicamnt o trmo d stabilização SPG s obsrvam oscilaçõs spúrias na rgião do coqu. Portanto sts rsultados confirmam a ncssidad do oprador d captura d coqu para aproximar funçõs dscontínuas. Ests rsultados são comparávis aos rsultados obtidos com uma formulação bidimnsional das quaçõs d Eulr (Catabriga t al., 999). 3 DENSITY x DISTNCE DENSITY,5,5 0,5 GLEO GLEO_SPG SHKIB SHKIB_SPG SPG DISTNCE Figura 3 Coqu normal Prfis d dnsidad. 9

12 PRESSRE x DISTNCE PRESSRE 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, GLEO GLEO_SPG SHKIB SHKIB_SPG SPG DISTNCE Figura 4 Coqu normal Prfis d prssão. TEMPERTRE x DISTNCE TEMPERTRE 0,00 0,00 0,00 0,0009 0,0008 0,0007 0,0006 0, DISTNCE GLEO GLEO_SPG SHKIB SHKIB_SPG SPG Figura 5 Coqu normal Prfis d tmpratura..4. Coqu oblíquo bidimnsional Est problma consist m um scoamnto suprsônico bidimnsional (númro d Mac M=) d um fluido não viscoso através d uma suprfíci d dsliz. O scoamnto ncontra a suprfíci com um ângulo d 0 graus, vr Fig. 6, uma onda d coqu oblíquo s rflt na saída com um ângulo d 9.3 graus. O domínio computacional é dfinido plo intrvalo 0 x, 0 y 0 z É usada uma mala com 793 ttradros linars 009 nós, como é mostrado na Fig. 7. 0

13 Figura 6 Coqu oblíquo dscrição do problma. Figura 7 Problma do coqu oblíquo prspctiva da mala. s condiçõs d contorno na ntrada na saída do domínio são: M = = ρ u = cos0 u = sin0 u3 = 0 p = s condiçõs iniciais são assumidas como condiçõs d scoamnto livr. solução xata na saída mbaixo do coqu é spcificada como s sgu:

14 M =, 6405 ρ = u = 0, u = 0 u = 0 3 p = condição d dsliz u =0 é imposta para o contorno infrior na saída não são stablcidas condiçõs d contorno. s figuras 8, 9 0 comparam os prfis d dnsidad, prssão tmpratura rspctivamnt m x=0.9 para difrnts formulaçõs. Obsrvamos qu as soluçõs com trmo d stabilização SPG rprsntam mlor o coqu, mbora as soluçõs sm st trmo sjam também satisfatórias. O prfil com unicamnt o trmo SPG aprsnta oscilaçõs spúrias na rgião do coqu. Estas oscilaçõs são ainda mais pronunciadas qu no caso do coqu normal dvido à naturza bidimnsional do coqu oblíquo. figura mostra as isolinas da dnsidad obtidas usando a formulação com oprador d captura d coqu CD. Obsrvamos qu a solução numérica obtida rprsnta satisfatoriamnt o coqu. D novo sts rsultados stão m acordo com aquls d Catabriga t al. (999). DENSITY x DISTNCE,6 DENSITY,4, GLEO GLEO_SPG SHKIB SHKIB_SPG SPG 0,8 0 0, 0,4 0,6 0,8 LINE x = 0.9 Figura 8 Coqu oblíquo Prfis d dnsidad. PRESSRE x DISTNCE PRESSRE 0,34 0,3 0,3 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,8 0,6 0 0, 0,4 0,6 0,8 LINE x = 0.9 GLEO GLEO_SPG SHKIB SHKIB_SPG SPG Figura 9 Coqu oblíquo Prfis d prssão.

15 TEMPERTRE x DISTNCE TEMPERTRE 0, , , ,0007 0,0007 0, , , ,0006 0, , 0,4 0,6 0,8 LINE x = 0.9 GLEO GLEO_SPG SHKIB SHKIB_SPG SPG Figura 0 Coqu oblíquo Prfis d tmpratura. Figura Isolinas d dnsidad com oprador d captura d coqu CD..4.3 Escoamnto subsônico não viscoso ao rdor d um cilindro com Mac 0.3 Est trciro xmplo consist m um scoamnto não viscoso stacionário d ar (γ =.4) ao rdor d um cilindro circular com númro d Mac 0.3 (scoamnto subsônico). O domínio do problma é um quadrado d comprimnto 6 com uma suprfíci cilíndrica com raio unitário no cntro. mala d lmntos finitos tm 90 divisõs na dirção radial 50 divisõs m cada quarto da suprfíci cilíndrica (dirção tangncial). Foram grados um total d blocos. Cada bloco foi subdividido m 6 ttradros. mala d lmntos finitos é mostrada na Fig.. psar da simtria do problma, unicamnt para propósitos d tst, considramos o domínio complto. Os valors d corrnt livr foram os sguints: ρ =, u = 0.3, v = 0 = O grau d librdad 4 foi prscrito nulo para todos os nós. s condiçõs d contorno da suprfíci suprior infrior foram valors d corrnt livr para os graus d librdad,, 3 5. Na ntrada foram os msmos graus d librdad com a xcção d 5. Na suprfíci do cilindro foi imposta uma condição d não pntrabilidad do fluido. s condiçõs iniciais foram valors d corrnt livr no domínio todo. O domínio as condiçõs d contorno são mostrados 3

16 na Fig. 3. tolrância do GMRES foi stablcida m 0-9 com 80 vtors na bas d Krylov. s multicorrçõs foram rstritas m um máximo d 3 itraçõs. Foi scolido um passo d tmpo d s isolinas da prssão as linas d corrnt da vlocidad são aprsntadas na Fig. 4. Considramos a solução comparávl com rsultados xprimntais (Hugs & Tzduyar, 984) também com outros rsultados numéricos (L Bau t al., 993). (a) Vista frnt. (b) Dtal. Figura - Mala d lmntos finitos com nós lmntos. 4

17 ρ u v ρ u v v n.0 = Figura 3 Domínio computacional condiçõs d contorno (a) Isolinas d prssão. (b) Linas d corrnt. Figura 4 Escoamnto subsônico não viscoso m torno d um cilindro com Mac

18 .5 Sumário Nst capítulo, na sção, aprsntamos as quaçõs govrnants para fluidos comprssívis não-viscosos, isto é: as quaçõs d Eulr. Na sção dscrvmos a formulação smi-discrta d lmntos finitos usada para a discrtização no spaço das quaçõs govrnants, sndo qu para a discrtização no tmpo aplicamos o método d difrnças finitas. Sguidamnt, na sção 3, vimos as principais caractrísticas da implmntação do código, dando ênfas ao uso d loops abrtos com objtivo d uma postrior aplicação do msmo m computação d alto dsmpno. E finalmnt, na sção 4, mostramos xmplos numéricos clássicos para a validação dsta implmntação. No capítulo sguint continuarmos com o studo d lis d consrvação da mcânica d fluidos. Nsta ocasião aprsntarmos o problma do scoamnto m mios porosos d fluidos miscívis imiscívis bifásicos. 6

19 Capítulo 3 Elmntos finitos stabilizados para simulação d scoamntos m mios porosos Nst capítulo tratamos do stablcimnto das quaçõs govrnants das formulaçõs d lmntos finitos para o scoamnto imiscívl bifásico do dslocamnto miscívl d dois fluidos m um mio poroso. São aprsntados xmplos numéricos d validação das formulaçõs d lmntos finitos, com ênfas spcial na influência dos trmos d captura d coqu dscontinuidads na quação não-linar d transport. 3. Equaçõs govrnants 3.. Escoamnto bifásico imiscívl O modlo matmático do scoamnto imiscívl d dois fluidos quas comprssívis através d um mio poroso rígido pod sr dscrito por um sistma d quaçõs difrnciais parciais (Pacman, 977). Estas quaçõs, m um domínio Ω R com um contorno Γ m um intrvalo d tmpo [0, T], podm sr scritas como, p φ c t vt = Qt m Ω [0, T] (9) t dpc v T = Λ p p Λ m sw ( ρ 0λ0 ρwλw) Kg m Ω [0, T] (30) ds w sw φ ( v a D sw ) Qw = 0 m Ω [0, T] (3) t ond os subscritos w o s rfrm rspctivamnt às fass água ólo. Na q. () p é a prssão média das fass, φ é a porosidad, c t é a comprssibilidad total do sistma roca-fluido, v T = v w v o é a vlocidad total do sistma Qt = Q w Q o é a taxa d injção volumétrica total. Na q. () s w é a saturação da água, p c é a prssão capilar, ρ w ρ o são rspctivamnt as dnsidads da água do ólo. s mobilidads das fass λ j são dadas por, krj λ j =, j = w, o (34) µ j ond k rj são as prmabilidads rlativas µ j é a viscosidad. O tnsor d prmabilidad absoluta, dpndnt somnt da posição, é dado por K g = g z ond g é a gravidad z é a profundidad. Os tnsors Λ p, Λ m são dfinidos como, Λ = K( λ 0 λ w ) (35) p 7

20 Λ m = K( λ0 λw ) (36) Pod-s dfinir a vlocidad aparnt do fluido (Eq. (3)) como, v a = f w[ vt λ0 ( ρ w ρ0 ) Kg] (37) O tnsor D é dado pla sguint xprssão: dpc D = λ 0 f w K (38) ds w ond f w é o fluxo fraccional d água, dado por: f w λw = (39) λ λ w o Q w é a taxa d injção d água. ssumimos condiçõs iniciais d contorno apropriadas para as quaçõs da prssão saturação. Por favor s rfrir a Coutino t al. (003) para uma aprsntação mais dtalada. 3.. Escoamnto miscívl O modlo matmático do scoamnto miscívl d um fluido incomprssívl por outro m um mio poroso rígido pod sr dscrito por um sistma d quaçõs difrnciais parciais (Pacman, 977). Estas quaçõs m um domínio Ω R com um contorno Γ m um intrvalo d tmpo [0, T], podm sr scritas como, v = q m Ω [0, T] (40) v = ( c). p m Ω [0, T] (4) c φ ( cv D( v) c) = cq ˆ m Ω [0, T] (4) t ond v é a vlocidad total d Darcy, p é a prssão do fluido, c é a concntração da mistura do fluido, φ é a porosidad do mio poroso, D(v) é o tnsor d difusão-disprsão dado como, v v D// 0 v v D ( v) = (43) v v v 0 D v v ond v, v são as componnts cartsianas da vlocidad, D // D são rspctivamnt os coficints d disprsão transvrsal longitudinal. Os poços são rprsntados por trmos d font sumidouro dnotados por q. função ĉ é spcificada nas fonts é igual à concntração rsidnt. ssumimos condiçõs iniciais d contorno apropriadas para as quaçõs da prssão concntração. Por favor s rfrir a Coutino lvs (996) a Coutino lvs (999) para uma aprsntação dtalada. O tnsor (c) é, K ( c) = (44) µ ( c) ond K é o tnsor d prmabilidad absoluta dpndnt da posição somnt µ(c) é a viscosidad da mistura, a qual é uma função não linar da concntração. 8

21 3. Formulação d lmntos finitos Nsta sção aprsntamos as formulaçõs stabilizadas smidiscrtas d lmntos finitos aplicadas às quaçõs govrnants para scoamntos imiscívis miscívis. formulação smidiscrta é caractrizada por uma discrtização d lmntos finitos no spaço sguida d uma discrtização d difrnças finitas no tmpo. formulação SPG é aplicada à quação da saturação à quação da concntração a formulação d Galrkin é aplicada à quação da prssão para os dois casos. 3.. Escoamnto bifásico imiscívl nl Considramos o domínio Ω dividido m n l lmntos, Ω, =,,,n l, ond Ω= = Ω Ω i Ω j =ø ond i,j=,,,n l. Os spaços d funçõs d intrpolação para a prssão p para a saturação da água s o spaço d funçõs d pso w são rspctivamnt dfinidos por: p = { p / p [ H ( Ω)], p / Ω [ P ( Ω )], p ( t) = p m (45) H s in Γ i } (46) s = { sw / sw [ ( Ω)], sw / Ω [ P ( Ω )], sw( t) = w { = w / w [ H ( Ω)], w / Ω [ P ( Ω )], w = 0 in Γ } (47) ond H (Ω) é o spaço d funçõs d dimnsão finita usual sobr Ω, P (Ω ) rprsnta polinômios d primira ordm m Ω. Considrando uma discrtização padrão d Ω m lmntos finitos a formulação d Galrkin para a quação da prssão é scrita da sguint manira: Ω p w φ ct dω Ω w vt dω = Ω w QT dω (48) t aproximação variacional para a quação d saturação é scrita como sgu: nl Ω w ( L ( sw, va )) dω = Ω nl ( ) = Ω δ sw w swd τ Ω = 0 * L w L ( s w, v a ) dω i Γ d } (49) ond o oprador difrncial L( s, v w a) é dfinido como: w L ( s s w, va) = φ ( va D s w ) Qw (50) t o oprador difrncial L* é dfinido como: L * w = va w (5) primira intgral na q. (9) é o trmo d Galrkin, a primira somatória d intgrais no nívl d lmnto é o trmo d stabilização d advcção o sgundo é o trmo d captura d coqu. s formas particulars dos parâmtros d stabilização captura d coqu srão dfinidas adiant. 9

22 3.. Escoamnto miscívl nl Considramos o domínio Ω dividido m n l lmntos, Ω, =,,,n l, ond Ω= = Ω Ω i Ω j =ø ond i, j=,,,n l. Os spaços para as funçõs d intrpolação para a prssão p para a concntração c o spaço das funçõs d pso w são rspctivamnt dfinidos por: p = { p / p [ H ( Ω)], p / Ω [ P ( Ω )], p ( t) = p m (5) c = { c / c [ H ( Ω)], c / Ω [ P ( Ω )], c ( t) = c in (53) w { = w / w [ H ( Ω)], w / Ω [ P ( Ω )], w = 0 in Γ } (54) ond H (Ω) é um spaço d funçõs d dimnsão finita usual sobr Ω, P (Ω ) rprsnta polinômios d primira ordm m Ω. Considrando uma discrtização padrão d Ω m lmntos finitos a formulação d Galrkin para a quação da prssão é scrita como sgu: w Ω ( c ) p dω = w qdω (55) Ω formulação variacional para a quação da concntração é scrita da sguint manira: Γ i } Γ d } Ω w L( c nl c = Ω δ ( c ) dω ) w nl = Ω c c * τl w R( c c dω = Ω ) dω w cˆ qdω c (56) O oprador difrncial L( c ) é dfinido por, L c ) = φ ( c v D( v p ) c ) (57) t ( c o oprador difrncial w c = v wc L* é dfinido por, L * (58) O rsíduo discrto é dfinido como sgu: R( c ) = L( c ) cˆ q (59) Da msma forma qu no caso imiscívl, a primira intgral na q. (6) é o trmo d Galrkin, o primiro somatório das intgrais no nívl d lmnto é o trmo d stabilização d advcção o sgundo é o trmo d captura d coqu dscontinuidads usado para acrscntar stabilidad ao rdor das rgiõs ond a solução aprsnta altos gradints. s formas particulars dos parâmtros d stabilização srão aprsntadas na próxima sção Formulaçõs stabilizadas SPG SGS s formulaçõs SPG (Brooks and Hugs, 98) SGS (Juans and Patzk, 00) para scoamntos imiscívis miscívis são similars. No caso d scoamntos prdominantmnt advctivos sm considrar o fito da gravidad usando lmntos linars tmos: Caso imiscívl: SPG: L * w = v w a v ( ) a sw τ = c (60) 0

23 dd SGS: L * w = vaa ( sw) w ond va a ( sw) = va s w (6) ds D( s ) ( ) w vaa sw τ = c c (6) Caso miscívl: SPG: L * w c = v w SGS: L * w c = v wc c w v τ = c (63) D v τ = c c (64) ond é um parâmtro dpndnt da mala c c são coficints constants. Os opradors d captura d coqu dscontinuidads acrscntados às formulaçõs stabilizadas são muito similars. Em gral sts opradors são dfinidos por: Ω δ ( u w u dω (65) ) ond u é a quantidad transportada, δ é o parâmtro não-linar do oprador. Para a formulação SPG acrscntamos o oprador d captura C, introduzido por Galão do Carmo (988), o qual aprsnta a sguint forma: R( u ) δ = α (66) u ond α é um parâmtro qu dpnd do númro d Pclt na dirção do gradint da solução. É important notar qu no oprador C, o trmo d captura d coqu dscontinuidads é nulo quando u é zro. Para a formulação SGS o parâmtro não-linar tm a forma sguint, τr( u ) δ = Csc vaa ( u ) (67) sc ond C sc é um coficint constant sc é um valor caractrístico da solução próxima das rgiõs d coqu va é dada no caso imiscívl pla quação (3) no caso miscívl va = v, sndo v dada pla quação () Pós-procssamnto da vlocidad Tanto no caso do scoamnto miscívl como imiscívl a vlocidad calculada dirtamnt a partir da li d Darcy aprsnta mnor prcisão qu as outras variávis. Para obtr uma solução com maior ordm d prcisão são usados squmas d pós-procssamnto. Nst trabalo adotamos o squma d pós-procssamnto global d Malta t al. (995). Est squma é basado na combinação da formulação variacional da li d Darcy o rsíduo da quação d consrvação d massa. Dadas a prssão p a saturação s (ou concntração c ) dfinindo { w H ( Ω ) H ( Ω), w n= 0 in Γ } (68) n o pós-procssamnto da vlocidad consist m ncontrar v~ p tal qu w

24 Ω nl ~ ( ) ~ w B v B p B dω σ v q) dω 0 (69) p n 3 = = Ω p ond v~ é a vlocidad pós-procssada o parâmtro σ dpnd da mala. No caso miscívl p B = I dpc, B = K λt, B3 = Kλw sw Kg ( λρ w w λρ n n ) nquanto qu no caso ds w imiscívl B =, B = I, B = 0 3. sando sta técnica as variávis do problma, prssão, vlocidad saturação (concntração) são aproximadas por funçõs da msma ordm d intrpolação lgoritmo d intgração no tmpo s drivadas no tmpo da saturação da concntração para scoamntos imiscívis ou miscívis rspctivamnt são aproximadas pla rgra trapzoidal gnralizada (Hugs, 987). Dsta manira s obtém o sguint algoritmo multi-corrtor bloco-itrativo: Bloco : Rsolv a quação da prssão Bloco : Calcula o campo d vlocidads Bloco 3: Rsolv a quação da saturação ou da concntração tualiza as variávis O procsso itrativo continua até s satisfazr algum critério d convrgência. Nst algoritmo o sistma d quaçõs linars corrspondnt à quação da prssão é rsolvido usando o método do gradint conjugado com prcondicionamnto nquanto qu o sistma corrspondnt à quação da saturação (ou concntração) é rsolvido com o algoritmo GMRES com prcondicionamnto. m prcondicionador Gauss Sidl lmnto por lmnto é usado m ambos casos. Os sistmas d quaçõs corrspondnts ao pós-procssamnto da vlocidad são rsolvidos usando itraçõs simpls d Jacobi. Nst trabalo podmos usar passo d tmpo variávl dvido à fort não-linaridad acoplada ntr as quaçõs da prssão da saturação ou concntração. samos uma stratégia automática d slção d passo d tmpo basada na toria d control como aprsntada m Coutino lvs (996) m Coutino lvs (999). 3.3 Exmplos numéricos 3.3. Problma d cinco poços Est xmplo numérico prtnd comparar ambas formulaçõs stabilizadas rsolvndo um problma d cinco poços dscrito m Durlofsky (993). O domínio computacional é um quadrado Ω = [0,] x [0,] com 0x0 células, cada uma subdividida m triângulos, grando a mala d lmntos finitos mostrada na figura 5a. s propridads matriais do mio poroso são porosidad 0. prmabilidads k x = k y = k xy = 0. s viscosidads do ólo da água são 4 rspctivamnt. Os fitos da gravidad, prssão capilar diprsão/difusão são dsprzados. s condiçõs iniciais d contorno para a quação da prssão são mostradas na figura 5b para a quação da saturação da água na figura 5c. s condiçõs iniciais são P=0 para a quação da prssão rsrvatório d ólo saturado para a quação da saturação. Foram adotados um passo d tmpo fixo d VPI (volum poroso injtado) um tmpo d simulação total d 4 VPI.

25 P = 0 q p = -0.5 P(t=t 0 )=0 Sw(t=t 0 )=0 (a) q i = 0.5 (b) P = 0 Sw = (c) Figura 5: Mala d lmntos finitos (a); Condiçõs iniciais d contorno para a prssão (b) saturação da água (c). Soluçõs numéricas para a saturação da água (a), para os opradors d captura d coqu SPG_C (b) SGS (c) por lmnto são aprsntadas na Figura 6 para vários passos d tmpo. nalisando sts rsultados, pod-s vrificar qu o parâmtro d captura d coqu da formulação SGS acompana muito bm as frnts d saturação nquanto qu no caso da formulação SPG_C s obsrva uma maior disprsão d valors significativos do parâmtro do oprador d captura d coqu ao rdor das frnts d saturação. Por outro lado, a formulação com C aprsnta uma solução suav na rgião d altos gradints, nquanto qu a solução obtida com a formulação SGS s mostra muito similar àqula calculada sm a stabilização do oprador d captura d coqu. Nst xmplo, como a difusão não foi considrada, o parâmtro intrínsco d tmpo da formulação SGS é igual ao parâmtro d stabilização do SPG. Portanto podmos concluir qu o parâmtro d captura d coqu C produz uma solução mais suav na rgião d maior dscontinuidad. Estas obsrvaçõs são confirmadas analisando a Figura 7, a qual aprsnta a saturação no poço produtor m função da unidad d tmpo adimnsional VPI. Tsts smlants comparando difrnts parâmtros d stabilização SPG foram aprsntados no trabalo d Coutino t al. (003), para o msmo problma d cinco poços. É sabido qu na dfinição da formulação SGS xist um parâmtro d control Csc. Quando st parâmtro tm o valor s obtém uma stabilização pobr. No ntanto quando é usado Csc=5 s obsrva uma mlor stabilização, porém não tão suav quanto a solução da stabilização C, como pod sr obsrvado na Figura 7. Considramos qu a ncssidad d tr qu ajustar uma constant torna a aproximação SGS pouco robusta para simulaçõs práticas, o qual não ocorr com o oprador C. Para st xmplo ambas aproximaçõs tm um comportamnto muito smlant no qu diz rspito ao sforço computacional. Not qu ambas soluçõs ncssitam d somnt -3 multicorrçõs por passo d tmpo, conform é mostrado na Figura 8. 3

26 (a) (b) (c) Figura 6: Saturação da água (a); Parâmtro do oprador d captura C (b); Parâmtro do oprador d captura SGS (c), para passos d tmpo, 30, 60,

27 So x VPI So VPI SPG SPG_C SGS (Csc=) SGS (Csc=5) Figura 7: Comparação d métodos para a saturação do ólo no poço produtor. NL itrations 4 NL itr 3 SGS (Csc = ) SPG_C 0 0, 0,4 0,6 0,8 PVI tim Figura 8: Itraçõs não-linars dntro d cada passo d tmpo para VPI Canal omogêno com prfil d viscosidad não monotônico nalisamos um scoamnto miscívl com li d viscosidad não monotônica como foi studado por Manickam and Homsy (994) também por Coutino lvs (996). s quaçõs govrnants rsultants foram adimnsionalizadas da msma forma qu nos trabalos antriors. vlocidad, comprimnto, tmpo viscosidad foram adimnsionalizados com, D/, D/ 5

28 µ, rspctivamnt, ond é a vlocidad d injção constant D é o coficint d difusão. O tnsor d difusão é dfinido como D = DI D é assumido unitário. s xprssõs da li d viscosidad não monotônica são também as msmas aprsntadas nos trabalos d Manickam and Homsy (994) Coutino lvs (996). Nst trabalo foram adotados o msmo domínio computacional, a msma mala, as msmas condiçõs iniciais d contorno. O tmpo d simulação máximo foi d 300 unidads d tmpo para um passo d tmpo fixo d 0.5. Embora tna sido implmntado um passo d tmpo adaptativo basado no algoritmo d control d passo d tmpo PID, foi adotado um passo d tmpo fixo com o motivo d podr comparar as formulaçõs stabilizadas. Figura 9 mostra a volução da solução obtida. concntração concntração concntração Figura 9: Solução numérica para passos d tmpo,

29 Figura 0: Comparação d stabilizaçõs d captura d coqu. Concntration for tim stp 300. Concntration distanc SGS_J SPG_C Figura : Concntração ao longo do canal para passo d tmpo 300, y=0. s soluçõs numéricas para a concntração os parâmtros d captura d coqu para as formulaçõs SPG_C SGS por lmnto são aprsntadas na Figura 0 rspctivamnt para passos d tmpo, Comparando os rsultados para ambos casos s obsrva novamnt qu a formulação SGS com o oprador d captura d coqu por sub-scalas acompana muito bm os frnts d saturação nquanto qu a formulação com C é lvmnt mais disprsiva. Pod-s também s obsrvar qu o valor numérico do parâmtro d captura d dscontinuidads do SGS é mnor qu o C. Isto pod sr ajustado através do parâmtro Csc. Figura mostra a concntração ao longo do canal para passo d tmpo 300. Pod-s obsrvar qu ambas formulaçõs rprsntam satisfatoriamnt os forts gradints xistnts. Também é important notar qu ambas formulaçõs aprsntam uma boa concordância no númro d itraçõs não linars como é aprsntado na figura. Nsta figura o tmpo é mdido m unidads adimnsionalizadas da msma forma qu no trabalo d Manickam and Homsy (994). 7

30 NL itrations 6 5 NL itr 4 3 SPG_C SGS (Csc=) tim Figura : Itraçõs não-linars dntro d cada passo d tmpo até o instant Sumário Nst capítulo, na sção, aprsntamos as quaçõs govrnants qu dscrvm os scoamntos d fluidos bifásicos miscívis imiscívis. Na sção dscrvmos as formulaçõs stabilizadas smi-discrtas d lmntos finitos aplicadas às quaçõs govrnants, sndo qu para a discrtização no tmpo aplicamos o método d difrnças finitas. Sguidamnt, na sção 3, vimos as principais caractrísticas da implmntação do código, dando ênfas ao uso d loops abrtos com objtivo d podr aplicar postriormnt o msmo m computação d alto dsmpno. E finalmnt, na sção 4, mostramos xmplos numéricos clássicos para a validação dsta implmntação. No capítulo sguint vrmos conclusõs obtidas a partir dsts dois studos d lis d consrvação dscritos rspctivamnt nos capítulos 3. 8

31 Capítulo 4 Conclusõs O studo ralizado consistiu d duas tapas: Na primira tapa implmntamos um método d lmntos finitos stabilizados m 3D para rsolvr o problma d fluidos comprssívis não-viscosos. Embora todas as soluçõs fossm obtidas usando um computador PC, algumas técnicas tais como mala colorida foram implmntadas com o objtivo d prparar o código para sr usado m computação d alto dsmpno. implmntação foi validada para problmas clássicos d uma duas dimnsõs. Foi também studado o caso do scoamnto ao rdor d um cilindro foram obtidos rsultados satisfatórios. Na tapa sguint comparamos duas formulaçõs numéricas stabilizadas aplicadas à quação da saturação da água da concntração associadas rspctivamnt ao problma do scoamnto imiscívl bifásico miscívl. Os rsultados numéricos para o caso imiscívl mostram qu os parâmtros d captura d coqu m ambas formulaçõs aprsntam valors significativos na frnt d saturação valors nulos nas outras rgiõs. Foi obsrvado qu o oprador C prmit obtr soluçõs mais robustas, consistnts suavs nas frnts d saturação. E além disto não rqur parâmtros d control para mlorar a stabilização. Também foi obsrvado qu as duas técnicas comparadas rqurm um númro muito similar d itraçõs nãolinars. Para o caso miscívl foram obtidos rsultados smlants. Foi obsrvado qu ambas formulaçõs stabilizadas aprsntam um comportamnto muito próximo a única difrnça rsid na quantidad d stabilização, aprsntando um valor maior no caso do oprador C. lém disto, ambas formulaçõs parcm produzir soluçõs numéricas muito similars. 9

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