Controlo de Sistemas Não-lineares

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1 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Controlo de Sistemas Não-lineares J. Miranda Lemos Professor Catedrático do IST 0

2 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Sumário.Modelo de estado de sistemas não lineares.linearização 3.Segundo Método de Lyapunov 4.Controlo não linear

3 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 Modelo de estado de Sistemas Não-Lineares Objectivo: Estrutura das equações do modelo de estado não linear.

4 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 4 Os sistemas lineares são muito importantes porque existe uma teoria muito completa sobre o seu funcionamento e projecto. Isto é possível porque os sistemas lineares são definidos a partir de uma propriedade unificadora muito forte: O Princípio de Sobreposição. No entanto, há muitos exemplos de sistemas importantes em engenharia do controlo para os quais não é válido o Princípio de Sobreposição. Para estes sistemas (não lineares), não é possível ter uma teoria tão completa e geral (porque falta uma propriedade unificadora), mas há resultados muito importantes que encontram aplicação crescente.

5 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 5 Exemplos de Sistemas não-lineares Campo de colectores solares Reactor Químico Braço robot Sistema de comunicação por modulação de fase A estes exemplos poderiam ser acrescentados muitos outros, de interesse em Engenharia. De um modo geral, sempre que há variações apreciáveis do ponto de trabalho, todos os sistemas se comportam como não-lineares. Há sistemas cujo comportamento apenas pode ser compreendido tendo em conta o seu carácter não-linear.

6 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 6 Campo de colectores solares Por um tubo situado no foco de um espelho que concentra a luz solar, circula um fluido ( oleo, capaz de se manter no estado líquido até 300ºC). A energia solar é armazenada neste fluído, u=caudal y=temperatura Espelho A dinâmica da relação entre o caudal de fluido e a temperatura à saída depende do caudal. A dinâmica varia consoante consoante o caudal médio, podendo pois variar.

7 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 7 Dinâmica do campo de colectores solares Pode ser aproximada pela equação às derivadas parciais (PDE): Modelo de estado não linear: T( z, t) u( t) T( z, t) R( t) t z dx i u( t) xi ( t) xi ( t ) R( t) i,, n y( t) x ( t) n

8 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 8 Reactor Químico (CSTR) CSTR = Reactor químico contínuo, bem agitado (há homogeneidade no espaço, pelo que o sistema pode ser descrito por equações diferenciais ordinárias) Entrada do reagente A com concentração c Ai Água de refrigeração Motor de agitação Mistura bem agitada Concentração c A dc dt A Fi V c c k e E / RT ( c Ai A) 0 A Fi E / RT ( Ti T) Jkoe ca kq V Dá-se uma reacção exotérmica A B A B+calor Saída de água de refrigeração Saída do reactor

9 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 9 Há múltiplos pontos de equilíbrio no CSTR: Calor extraído pelo refrigerante A T Calor gerado pela reacção B T T' C T3 Temperatura do reactor, T Há três pontos de equilíbrio (A, B, C). Para estes, o calor gerado pela reacção é igual ao calor removidop pela água de refrigeração. Os pontos A e C são estáveis. O ponto B é instável. Partindo do ponto de equilíbrio B,suponhamos que há um ligeiro aumento de temperatura, que passa a ser T. Neste caso, o calor gerado pela reacção é superior ao removido pelo refrigerante. A temperatura vai aumentar cada vez mais, pelo que o ponto B é instável. Algo de análogo sucede se a temperatura diminuir. O que acontece nos pontos A e C?

10 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 0 Braço Robot Forças de Coriolis Forças gravitacionais H( q) q C( q, q ) g( q) T q Matriz dos momentos de inércia do manipuilador Binários externos (entradas do sistema) q Repare-se que o momento de inércia visto pelo troço do braço depende da posição do troço. O sistema é não-linear.

11 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares x q q Equações de estado: x x 3 x x 4 x x 3 4 H H( q) q C( q, q ) g( q) x x3 q ( x) C( x) g( x) T x4 q u u T

12 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Sistema de comunicação por modulação de fase Um sistema de comunicação é constituído por uma Fonte, que gera a mensagem m (t) a transmitir, por um modulador que gera a partir da mensagem o sinal enviado pelo canal que permite a transmissão da mensagem, resultando no sinal recebido y (t) e pelo receptor. O receptor constrói uma estimativa m ˆ ( t) da mensagem dadas observações do sinal recebido. m(t) y(t) Fonte Modulador Canal Receptor m(t) ^ Emissor

13 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 Fonte t m(t) Dado o espectro da mensagem, esta pode ser modelada como a passagem de ruído branco por um filtro linear H (z). Este filtro pode ser representado pelo modelo de estado linear equivalente. x m ( t ) m( t) Cx m Ax ( t) m ( t) Be( t)

14 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 4 A partir da mensagem, o modulador de fase gera um sinal dado por cos( 0 t m( t)) em que 0 é a chamada frequência da portadora. O canal pode ser modelado como a adição de ruído aditivo, (t) (eventualmente poseríamos limitar a banda do canal, complicando o modelo), pelo que y( t) cos( 0t m( t)) ( t)

15 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 5 O sistema de comunicação pode assim ser modelado pelas equações x m ( t ) Ax ( t) Be( t) y( t) cos( 0t Cxm( t)) ( t) A primeira é uma equação de diferenças que modela a evolução de um estado. A segunda é uma equação algébrica que relaciona, em cada instante, as observações com o estado. Um problema típico consiste em estimar recursivamente o estado (e a partir dele a mensagem m (t) m ) dadas observações da saída (observador do estado).

16 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 6 Equações do modelo de estado não linear em tempo contínuo x f ( x, u) (0) x dado y( t) h( x( t), u( t)) Equações do modelo de estado não linear em tempo discreto x( k ) f ( x( k), u( k)) (0) y( k) h( x( k), u( k)) x dado

17 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 7 Diferenças entre sistemas lineares e não lineares Os sistemas não lineares apresentam características próprias que os sistemas lineares não apresentam: Possibilidade de não unicidade de solução; Múltiplos pontos de equilíbrio Dependência crítica dos parâmetros Singularidades na resposta

18 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 8 Unicidade da solução É condição suficiente para que a solução de dx f ( x) x( ) x 0 0 seja única, que f x seja contínua numa vizinhança de x 0. Nos sistemas lineares, a solução existe sempre e é única (Porquê?). Nos sistemas não-lineares é possível encontrar exemplos em que f x não é única num ponto, pelo qual passam duas soluções.

19 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 9 Tem duas soluções: Repare-se que Um exemplo de não unicidade de solução dx x( t) t 3 x 3 x( 0 ) 0 3 e x( t) 0 f dx x x 3 x 3 3 não é contínua para x 0 (e portanto o teorema de unicidade não é violado).

20 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 0 Pontos de equilíbrio Define-se ponto de equilíbrio como um ponto no espaqço de estado tal que, se o estado fôr iniciado nele, permanecerá constante no tempo. Dada a equação dx f ( x) os pontos de equilíbrio correspondem a valores do estado constantes, os quais são por conseguinte dados pelas raízes da equação f ( x) 0

21 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Para um sistema linear Pontos de equilíbrio dos sistemas Lineares dx Ax os pontos de equilíbrio são dados pelas raízes da equação algébrica linear Ax 0 Se a matriz A não é singular, há um único ponto de equilíbrio, dado por x 0. Se a matriz A é singular, há uma infinidade de pontos de equilíbrio, que formam um hiperplano que passa sempre pela origem. Osvectores deste hiperplano são ortogonais ao subespaço gerado pelas linhas de A.

22 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Pontos de equilíbrio múltiplos nos sistemas não-lineares Quais os pontos de equilíbrio do sistema não linear seguinte? dx x x 3 (x escalar) Os pontos de equilíbrio são dados pelas raízes da equação x( x) 0 Os pontos de equilíbrio são por conseguinte x 0 e x.

23 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 Singularidades na solução A solução da equação de estado dos sistemas lineares existe para todo o tempo, entre o instante inicial e. Nos sistemas lineares, a solução pode tender para, mas apenas quando o tempo tende para. Considere-se no entanto a equação não linear: dx x x( 0) x Esta equação pode ser facilmente integrada por separação de variáveis: x( t ) x( t ) dx x dx t t x x 0 0 x 0 x( t) x 0 t y t Simulação com x 0 0. A solução só existe para t x0

24 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 4 Dependência crítica dos parâmetros Nos sistemas não lineares, a estrutura das soluções pode variar de modo drástico com um parâmetro do sistema. Exemplo de dependência dos parâmetros. dx dx x x x x 3 Para cada o carácter das soluções é diferente: Para 0 todas as soluções tendem para zero quando t Para 0 o sistema tem uma única solução periódica e a origem é um nó.

25 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares ,

26 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 6 Dependência crítica das condições iniciais dx dy dz 0( y x) Equações de Lorenz. rx y zx 8 z xy 3 Representam um modelo simples para a dinâmica da atmosfera. Fazendo o parâmetro r=8, a solução apresenta uma forte dependência das condições iniciais As duas soluções ao lado foram obtidas com condiçlões iniciais, respectivamente x(0)=5,000 y(0)=5 z(0)=5 (figura de cima) e x(0)=5,005 y(0)=5 z(0)=5 (figura de baixo) Ao fim de algum tempo as soluções são completamente diferentes. 0-5 No entanto, há uma regularidade: Todas as soluções estão próximas de um conjunto denominado atractor estranho

27 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 7 Na Mecânica Analítica (obra em que não havia figuras mas apenas raciocínios algébricos, como fazia notar o seu autor), Lagrange fez uma síntese monumental da Mecânica Física, seguindo uma metodologia baseada em equações diferenciais. Laplace, um dos grandes matemáticos do séc XVIII, refere que Joseph-Louis Lagrange um ser capaz de conhecer todas as equações que modelam os elementos do universo, e as suas condições iniciais seria como um deus, já que o passado e o futuro lhe seriam perfeitamente conhecidos. A única complexidade adviria neste caso apenas da enorme dimensão do problema. O exemplo anterior de sensibilidade às condições iniciais nas equações de Lorenz, mostra que, mesmo conhecendo todas as equações e condições iniciais, o deus de Lagrange não poderia determinar o futuro com precisão. A partir dos anos 60, mas sobretudo nos últimos 0 anos, multiplicaram-se os exemplos semelhantes, em que sistemas de ordem reduzida, e descritos por equações aparentemente simples, apresentam comportamentos extremamente complexos.

28 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 8 Ciclos limite Dá-se o nome de ciclo limite a uma trajectória fechada no plano de estado. Um ciclo limite estável é tal que, para condições iniciais perto dele, a trajectória de estado tende a aproximar-se do ciclo limite. Caso contrário o ciclo limite diz-se instável. Os ciclos limite estáveis correspondem a oscilações de amplitude e frequência que tendem a manter-se constantes, mesmo na presença de perturbações.

29 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 9 Exemplo: A equação de Van der Pool Um modelo de osciladores electrónicos de diversos tipos: d y dy ( y ) y 0 sendo um parâmetro real. dy Definindo variáveis de fase x y, x obtêm-se as equações de estado não lineares dx dx x ( x ) x x

30 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 30.5 Ciclo limite na equação de Van der Pool para =0..5 O ciclo limite corresponde à trajectória fechada B A Partindo de uma amplitude um pouco superior, por exemplo do estado marcado A, a trajectória do estado tende a aproximar-se do ciclo limite. O mesmo sucede se partirmos de uma trajectória um - pouco inferior (ponto B) Diz-se que o ciclo limite é estável

31 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 O ciclo limite corresponde a oscilações de amplitude e frequência constante Partindo de um ponto sobreo ciclo limite, a amplitude das oscilações mantém-se aproximadamente constante Partindo de um ponto fora do ciclo limite, a amplitude diminui, estabilizando à medida que o estado se aproxima do ciclo limite Partindo de um ponto dentro do ciclo limite, a amplitude aumenta, estabilizando à medida que o estado se aproxima do ciclo limite

32 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 Recorde-se a equação de Van der Pool d y dy ( y ) y 0 Para =0 esta equação degenera na equação do oscilador linear. Repare-se no entanto que, neste caso, a amplitude das oscilações não é bem determinada. No oscilador linear, por cada ponto do plano de estado passa uma trajectória de estado fechada. É o termo não linear que fixa a amplitude das oscilações.

33 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 33 Quando cresce, as oscilações vão-se afastando cada vez mais da forma sinusoidal

34 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 34.Linearização Objectivo: Introdução à análise e projecto baseados na linearização Jacobiana.

35 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 35 Linearização Jacobiana u(t) u(t) u x(t) x(t) x t Sistema t Dadas uma entrada e uma saída nominais, em torno delas: u( t) u( t) u, x( t) x( t) Os incrementos satisfazem o modelo linear: u, y, consideram-se incrementos x dx( t) f f Ax( t) Bu( t) A xx, uu B xx, uu x u

36 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 36 O comportamento do sistema não-linear pode ser muito diferente do comportamento do sistema linearizado. Exemplo: Controlabilidade dx dx x x 3 u x O sistema linearizado em torno da solução nominal x t dx 0 x u 0 0 O sistema linearizado não é controlável pois tem característica. 0 0 ( ) 0 u( t) 0 é 0 É no entanto possível mostrar que, partindo da origem, é possível atingir qualquer ponto numa bola em torno da origem: O sistema não linear é controlável.

37 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 37 Relação entre a estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema não linear e da sua linearização em torno desse ponto Seja x 0 um ponto de equilíbrio de dx f ( x). Se todos os valores próprios do sistema linearizado em torno de x 0 tiverem parte real negativa, este ponto de equilíbrio é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável do sistema não linear. Se o sistema linearizado tiver valores próprios imaginários puros nada se pode dizer. Se o sistema linearizado tiver pelo menos um valor próprio com parte real positiva, então o ponto de equilíbrio do sistema não linear é instável.

38 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 38 Exemplo em que não há equivalência de comportamento A) dx dx x x ( x x ) x x ( x x ) B) dx dx x x ( x x ) x x ( x x ) Os comportamentos destes sistemas em torno do ponto de equilíbrio (0,0) são muito diferentes: A é instável e B é estável A B

39 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 39 No entanto, ambos têm a mesma linearização em torno da origem, dada por dx dx x x

40 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 40 Para se perceber como foi construído este exemplo, tenha-se em consideração que, em coordenadas polares r,, as equações são dr d r 3 e dr r d Com base nestas equações, mostre que no primeiro caso a origem é um ponto de equilíbrio instável e, no segundo caso, um ponto de equilíbrio estável. 3

41 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 4 Nota sobre o Teorema da Variedade Central Quando há valores próprios da matriz do sistema linearizado que são imaginários puros, não se pode, dizer nada sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio em torno do qual se fez a linearização. No entanto o Teorema da Variedade Central (Center Manifold Theorem) permite estudar a estabilidade do sistema original (não linear) a partir de um problema mais simples, em que se estuda a estabilidade de um sistema com ordem n-p, sendo n a ordem do sistema original e p o número de valores próprios com parte real nula. O Teorema da Variedade Central não é estudado neste curso. No entanto, é a base de diversos resultados importantes em controlo não linear.

42 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 4 3.Segundo Método de Lyapunov Objectivo: Formular e exemplificar o Segundo Método de Lyapunov para o estudo da estabilidade de sistemas dinâmicos

43 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 43 Estabilidade no sentido de Lyapunov O estado de equilíbrio x=0 diz-se estável (no sentido de Lyapunov) se, para cada R>0 existir r>0 tal que se x( 0) r então xt Caso contrário o ponto de equilíbrio diz-se instável. R para todo o t 0 Quer dizer: para um ponto de equilíbrio estável, se fixarmos um R (que pode ser arbitrariamente pequeno), é sempre possível escolher uma condição inicial suficientemente próxima da origem (equilíbrio) tal que o estado fica sempre dentro da bola de raio R. x(0) x(0) 0 S r S R Estável 0 S r S R Instável

44 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 44 Questão para pensar: O oscilador de Van der Pool dx dx x x x x tem como ponto de equilíbrio (0,0). Será que este ponto de equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov? Repare que as trajectórias ficam contidas dentro do ciclo limite

45 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 45 Recordemos a definição de estabilidade: Para o ponto de equilíbrio ser estável dada uma qualquer bola de raio R em torno da origem, devemos conseguir uma condição inicial suficientemente próximo da origem tal que o estado se mantém dentro dessa bola. É claro que se escolhermos, por exemplo, R=0,5, não há nenhuma vizinhança (de raio não nulo!) da origem que garanta que o estado fica sempre dentro da bola de raio R=0,5. 3 A origem é portanto um ponto de equilíbrio instável no sentido de Lyapunov 0 - V R Repare-se que este exemplo mostra que instabilidade não significa necessariamente escapar para infinito

46 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 46 Estabilidade assimptótica O ponto de equilíbrio x=0 é assimptoticamente estável se fôr estável e se, para além disso existir r>0 tal que x 0 r implica que x( t) 0 quando t. Assimptoticamente estável significa que o equilíbrio é S x(0) 0 r estável e ainda que estados que começam perto da origem convergem para ela quando o tempo tende para infinito S R Assimptiticamente Estável

47 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 47 Estabilidade local e estabilidade global As definições anteriores caracterizam o comportamento local dos sistemas, isto é o comportamento do estado quando é inicializado perto de um dado ponto de equilíbrio. Se a estabilidade assimptótica é válida para qualquer estado inicial, o ponto de equilíbrio diz-se globalmente assimptoticamente estável.

48 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 48 O segundo Método de Lyapunov Num sistema mecânico, a estabilidade está directamente relacionada com a energia: A energia nula corresponde ao ponto de equilíbrio (posição=0, velocidade=0); A estabilidade assimptótica implica convergência da energia mecânica para zero; A instabilidade está relacionada com o crescimento da energia mecânica A generalização deste facto sugere que se estude a estabilidade definindo uma função do estado que deverá ser decrescente para sistemas assimptoticamente estáveis. Esta é a base do Segundo Método de Lyapunov ou Método Directo de Lyapunov. Uma questão que não passará desperrcebida aos espíritos mais atentos é a seguinte: Se este era o segundo método, qual era o primeiro? O primeiro método de Lyapunov estuda a estabilidade de um ponto de equilíbrio a partir da estabilidade do sistema linearizado, usando o teorema já apresentado. De facto, este teorema pode demonstrar-se usando o Segundo Método. Como o segundo Método não recorre ao sistema linearizado, também se chama Método Directo. O Método Directo é uma das ferramentas mais gerais para o estudo da estabilidade de sistemas não lineares. Deve estudar-se cuidadosamente e muitas vezes, com ou sem açúcar.

49 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 49 Aleksandr Mikhailovitch Lyapunov (857-98) escreveu, em 89 a memória O Problema Geral da Estabilidade do Movimento, que constituiu a sua tese de Doutoramento e que ainda hoje merece o interesse de uma reedição (Int. J. Control (99), 55, 3, ). Neste texto, Lyapunov estabeleceu os dois métodos que têm o seu nome e que ainda hoje constituem a base e fonte de inspiração para muitos trabalhos em Controlo. O problema da estabilidade do movimento, sugerido pela estabilidade das órbitas no sistema solar, constituiu desde o sec. XVIII um tema de grande importância na Mecânica Celeste. Em 788, Lagrange enunciou o Princípio que tem o seu nome: Num sistema conservativo um mínimo isolado da energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio. A análise de Lagrange era incompleta e foi colocada em termos mais rigorosos por Dirichlet. Em 84 e 855 Liouville publicou trabalhos relativos ao equilíbrio de corpos em fluídos. Na sua sequência, em 88, Chebyshev sugeriu a Lyapunov o tema da estabilidade em fluidos. Lyapunov não pilotou aviões mas contribuiu significativamente para as asas da nossa imaginação.

50 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 50 Funções definidas positivas Uma função escalar contínua V(x) diz-se localmente definida positiva se V(0)=0 e se, na bola B R, se verificar x 0 V x 0 Se V(0)=0 e esta propriedade se verificar para todo o espaço de estado, então V(x) diz-se globalmente definida positiva. Repare-se que a função V tem um mínimo global isolado na origem x=0. V 0 x x

51 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 5 Uma função escalar do estado contínua V(x) diz-se localmente semidefinida positiva se V(0)=0 e se, na bola B R, se verificar x 0 V x 0 Se V(0)=0 e esta propriedade se verificar para todo o espaço de estado, então V(x) diz-se globalmente semi-definida positiva. Uma função escalar contínua V(x) diz-se (semi-) definida negativa se -V(x) fôr (semi-)definida positiva. V diz-se indefinida se, por muito pequena que seja a bola que se tome em torno da origem, toma sempre nela valores positivos e definidos.

52 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 5 Alguns exemplos a) V ( x) x x definida positiva b) V ( x) x x c) V( x) x x x semidefinida positiva 3 definida negativa d) V( x) xx x indefinida e) x V ( x) x x positiva definida

53 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 53 Formas Quadráticas As formas quadráticas são escritas como em que P p ij V ( x) T x Px é uma matriz simétrica. Esta função é definida positiva se se verificar o critério de Sylvester: p p p p n p p p p pn 0, 0,, 0 p p p p p n n nn Os determinantes ditos menores principais devem ser positivos

54 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 54 Pode ser escrita na forma Formas Quadráticas - Exemplo V ( x) 0x 4x x x x x x 4x x T V ( x) x Px x x x x 4 x x3 A matriz da forma quadrática verifica o critério de Sylvester: 0 0 0, 39 0, pelo que a forma quadrática é definida positiva.

55 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 55 Função de Lyapunov Considere-se um sistema não linear descrito por dx f ( x) x( ) x 0 0 Seja V(x) uma função definida positiva, com derivadas parciais contínuas, definida numa bola em torno da origem x=0 (suposto estado de equilíbrio). A função V diz-se uma função de Lyapunov se a sua derivada em ordem ao tempo ao longo de qualquer trajectória do sistema dentro da bola fôr semidefinida negativa. Quer dizer, se dv 0 ao longo de qualquer trajectória do sistema.

56 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 56 Interpretação da função de Lyapunov Para interpretar o significado da condição imposta para que uma função definida positiva seja uma função de Lyapunov, considere-se uma condição inicial arbitrária x(0) dentro da bola onde está definida a função V. A este estado inicial corresponde o valor V(x(0)). À medida que o tempo passa, o estado x(t) precorre uma trajectória no plano de estado. Correspondentemente, V(x(t)) toma valores na superfície que define a função V. V(x(0)) Para que V seja função de Lyapunov é necessário V(x(t)) que esta sucessão (continua) de valores seja decrescente (em sentido lato). x x x(t) x(0)

57 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 57 Pretende-se calcular Cálculo da derivada da função de Lyapunov dv ( x( t) ao longo das trajectórias de estado da equação dx f ( x) Tendo em conta a derivação da função composta dv V dx V x x n dx n

58 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 58 Tendo em conta que x(t) satisfaz o sistema de equações diferenciais: dv V dx V x x n dx n f ( x ) f n( x) Ou seja, ao longo das trajectórias do sistema, a derivada da função V é: dv V x f x V x f x n ( ) ( ) n

59 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 59 Teorema de Estabilidade Local de Lyapunov Se, numa bola B fôr definida uma função de Lyapunov V(x), então o ponto de equilíbrio x=0 é localmente estável no sentido de Lyapunov. Se a derivada de V(x) ao longo das trajectórias de estado fôr definida negativa dentro da bola B: dv o ao longo das trajectórias de estado, então o equilíbrio x=0 é localmente assimptoticamente estável no sentido de Lyapunov.

60 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 60 Interpretação Geométrica V V(x)=V x V(x)=V V(x)=V V(x)=V V(x)=V 3 V(x)=V 3 0 x x x V >V >V 3 A função de Lyapunov pode ser interpretada como fornecendo uma distância à origem x=0. O que o Teorema de Estabilidade de Lyapunov nos diz é que esta distância generalizada não pode aumentar para que o sistema seja estável.

61 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 6 dx dx Exemplo x x x x x x A origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio (porquê?). Para estudar a sua estabilidade, experimentemos com a candidata a função de Lyapunov V x ( ) x x Esta função é contínua, tem derivadas parciais em ordem às componentes de x contínuas e tem um mínimo para x=0. Para além disso, tem de ser decrescente ao longo das trajectórias do sistema. x

62 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 6 Tem-se: dv dv dv x dx x dx x x x x x x x x ( x x x x ) 0 para x 0 Conclui-se assim que o ponto de equilíbrio x=0 é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável.

63 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 63 Interpretação geométrica No exemplo anterior, a função de Lyapunov é definida por V x ( ) x x Quando V toma o valor constante 0, é definida no espaço de estados o ponto de equilíbrio x=0. Quando V toma valores constantes sucessivamente maiores, C C C as sucessivas equações V ( x, x ) C i definem circunferências de raio sucessivamente maior em torno da origem. x V=C 3 Assim, V(x) pode ser interpretado como uma medida da distância do estado x ao ponto de equilíbrio. Sendo o sistema estável, o Segundo Método de Lyapunov diz-nos que esta distância não pode aumentar. Sendo assimptoticamente estável, diminui sempre. x V=C V aumenta V=C x

64 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares x x Exemplo O campo de vectores e algumas trajectórias de estado.

65 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 65 Exemplo O que pode dizer ácerca da estabilidade da origem de: dx dx x 3 x x x Sugestão: Use como candidata a função de Lyapunov uma função da forma x x V ( x) ax bx Seleccione convenientemente os parâmetros a e b. 3

66 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 66 V 3 ax( x xx bx( x x x V V ax ax Escolhendo a b vem V 4 4 ax x bx x bx 4 a b) 4 4 x x 0 ( x x bx 4 fora da origem Assim, a origem é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. 3 )

67 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares x x Campo vectorial e retrato de fase em torno da origem no Exemplo.

68 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 68 Um teorema de Instabilidade Consideremos o sistema não-linear descrito por dx f ( x) em que a origem é um ponto de equilíbrio, isto é, tal que f ( 0) 0 Este ponto de equilíbrio é instável se existir uma função W(x), contínua e com primeiras derivadas parciais contínuas, tal que: A função W(x) é definida positiva numa região em torno da origem A derivada de W em ordem ao tempo é definida positiva na mesma região.

69 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 69 dx dx Exemplo 3 x x Mostre que se, numa vizinhança da origem, x x f ( x, f ( x f ( x, x) 0 então a origem é assimptoticamente estável f ( x, x) 0 então a origem é instável Sugestão: Considere a candidata a função de Lyapunov V ( x, x) x x, x x ) )

70 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 70 ), ( x x x x V )), ( ( )), ( ( x x f x x x x x f x x x x x x x V ), ( ), ( x x f x x x x x f x x x V ), ( x x f x x V Se 0 f a derivada da função de Lyapunov é definida negativa, e podemos aplicar o teorema de estabilidade de Lyapunov para concluir que a origem é assimptoticamente estável. Caso contrário ( 0 f ) a derivada é definida positiva e aplica-se o teorema de instabilidade.

71 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 7 Teorema de Estabilidade Global de Lyapunov Se existir uma função V do estado x com primeiras derivadas contínuas e tal que V(x) é definida positiva; A derivada em ordem ao tempo de V(x) é definida negativa V( x) quando x então a origem x=0 é um ponto de equilíbrio globalmente assimptoticamente estável.

72 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 7 Interpretação da condição adicional para estabilidade global A condição V( x) quando x é necessária para garantir que as curvas de nível de V correspondem a curvas fechadas. Se assim não fosse, poderia suceder a situação da figura, em que há trajectórias de estado que se afastam cada vez mais do equilíbrio, embora por pontos onde o valor de V é progressivamente menor. x x(t) x

73 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 73 Exemplo 4 Pêndulo não amortecido L m d x x dx dx g L x sin x O que se pode dizer sobre a estabilidade com a seguinte candidata a função de Lyapunov (energia potencial + energia cinética)? V ( x) mgl( cos x) ml x

74 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 74 V V ( x) mgl( cos x) ml x g sin L mgl x x ml x sin x 0 A energia total é constante ao longo das trajectótias do sistema. Como V 0 ao longo das trajectórias do sistema, isto sugere que a origem é estável (pelo menos), mas temos de verificar as outras condições do teorema (será que V é mesmo definida positiva?),

75 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Aspecto da função V perto do ponto (0,0). A função é definida positiva e anula-se na origem, pelo que podemos concluir que a origem é estável.

76 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Aspecto da função V perto do ponto correspondente ao pêndulo invertido. A função V é indefinida, pelo que não podemos concluir nada sobre a estabilidade deste ponto.

77 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 77 Repare-se que, recorrendo à linearização, tínhamos concluído que o ponto de equilíbrio correspondente ao pêndulo invertido é instável. Não tínhamos no entanto podido concluir nada sobre a estabilidade do ponto (0,0). O º Método de Lyapunov permitiu demonstrar que este ponto é estável.

78 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Aspecto geral da função V

79 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares x x Curvas de nível da função V sobrepostas ao campo de vectores.

80 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 80 O suporte da função de Lyapunov construída em torno da origem não pode ser extendido a todo o espaço de estados. A estabilidade da origem é, pois local. Como, se pode ver nas duas figuras anteriores, há múltiplos pontos (infinitos) de equilíbrio estáveis. Correspondem à posição do pêndulo em baixo. Este exemplo mostra que não faz sentido falar em estabilidade de um sistema, mas apenas de um ponto de equilíbrio. No mesmo sistema podem existir diversos pontos de equilíbrio, sendo uns estáveis e outros instáveis.

81 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 8 Conjuntos invariantes Um conjunto G é um conjunto invariante de um sistema dinâmico se qualquer trajectória do sistema que começa num ponto de G permanece em G para todos os instantes futuros. Exemplos: Um ponto de equilíbrio Todo o espaço de estado Um ciclo limite

82 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 8 Teorema Local do Conjunto Invariante Considere-se um sistema da forma dx f ( x) com f contínua e com primeiras derivadas parciais contínuas, e seja V(x) uma função escalar com primeiras derivadas parciais contínuas. Suponha-se que Existe L tal que a região (L) definida por V(x)<(L) é limitada; A função V(x) é tal que para todo o x em (L). Seja R o conjunto dos pontos em que dv dv ( x) 0 ( x) 0 e M o maior conjunto invariante de R. Então, toda a solução x(t) iniciada em (L) tende para M quando t. (L) x(0) R M

83 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 83 No teorema anterior, a expressão maior conjunto invariante em R significa a união de todos os conjuntos invariantes (por exemplo, pontos de equilíbrio ou ciclos limites) em R. Em particular, se o conjunto R fôr ele próprio invariante, isto é, se quando dv 0 para um dado t então dv 0 para todos os instantes futuros, então M=R. É relativamente a esta situação que iremos usar posteriormente este teorema.

84 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 84 Teorema Global do Conjunto Invariante Considere-se um sistema da forma dx f x ( ) com f contínua e com primeiras derivadas parciais contínuas, e seja V(x) uma função escalar com primeiras derivadas parciais contínuas. Suponha-se que V ( x) quando x A função V(x) é tal que dv ( x) 0 em todo o espaço de estado. Seja R o conjunto em que dv ( x) 0 e M o maior conjunto invariante de R. Então, todas as solução convergem globalmente assimptoticamente para M quando t.

85 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 85 Exemplo 5 dx 3 x x dx xx Tomando como candidata a função de Lyapunov V ( x) x x diga o que pode concluir pela aplicação: a) Do Teorema de estabilidade de Lyapunov b) Do Teorema do Conjunto Invariante 3

86 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 86 V x 3 3 x x x x x V x 4 A aplicação do Teorema de Estabilidade de Lyapunov garante que a origem é um ponto de equilíbrio estável, pelo menos. 0 Será que é assimptoticamente estável? Para ter a resposta vamos aplicar o Teorema do conjunto invariante.

87 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 87 O Teorema do conjunto invariante diz que (sob certas condições) todas as trajectórias tendem para o maior conjunto invariante contido no conjunto em que dv 0. Como, neste caso V x 4 o conjunto em que O conjunto em que dv dv é o conjunto em que 0 é pois, neste caso, o eixo x. x. x, ou seja, 0

88 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 88 Para determinar o maior conjunto invariante de dx 3 x x dx xx contido no eixo x, tome-se um ponto arbitrário, por exemplo A. Será que pertence a um conjunto invariante contido no eixo x? x A 3 x

89 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 89 x A x No ponto A, x 0 pelo que, neste ponto, dx dx x 3 x 3 x x x 3 x e x 0. Assim, no ponto A, x fica constante e x aumenta, pelo que o estado se vai deslocar no sentidoi da seta, saindo do conjunto em que x 0 pertencer a um conjunto invariante contido no eixo vertical.. Assim, A não pode

90 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 90 Conclui-se assim que o maior conjunto invariante contido no eixo vertical é a origem (0, 0). Pelo Teorema do Conjunto Invariante, todas trajectórias se aproximam assim de (0,0) (maior conjunto invariante contido no conjunto em que V 0 ). A origem é assim um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável.

91 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares x x Exemplo 4 Campo vectorial e retrato de fase.

92 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 9 dx Análise da estabilidade de SLITs Ax( t) dim x n A não singular Por forma a descobrir uma função de Lyapunov, ensaia-se a forma quadrática Vx T x Px em que P é uma matriz simétrica definida positiva (porquê?). A derivada em ordem ao tempo da candidata a função de Lyapunov V ao longo das trajectórias do sistema é dv ( x) d T x Px dx T Px x P dx T T T T T T x A Px x PAx x A P PA x

93 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 93 dv ( x) T x T A P PAx Para que a função V seja decrescente ao longo das trajectórias de estado do sistema (sendo por conseguinte o sistema assimptoticamente estável), a matriz Q dada por: tem de ser definida positiva. -Q T Q A P PA

94 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 94 A afirmação conversa também é verdadeira: Se o sistema dx Ax é assimptoticamente estável, então, dada Q, simétrica e definida poositiva qualquer, a equação (dita equação de Lyapunov) T Q A P PA admite uma solução P simétrica e definida postiva. Em particular, podemos fazer Q I para simplificar os cálculos. Nota: A demonstração de que se existe solução simétrice e definida positiva para um dado Q então existe para qualquer Q, simétrica e definida positiva, embora simples, não é trivial.

95 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 95 Função de Lyapunov de um SLIT - Exemplo Dado o SLIT dx 0 x t 3 ( ) A 0 3 pretende-se mostrar que é assimptoticamente estável. De acordo com o exposto, o sistema será assimptoticamente estável se a equação de Lyapunov tiver solução definida positiva. T Q A P PA Para resolver a equação de Lyapunov, usa-se o método dos coeficientes indeterminados. A equação de Lyapunov é neste caso p 3 p p p p p p p 0 3

96 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares p 3 p p p p p p p 0 3 Simplificando ambos os membros e igualando os coeficientes correspondentes, obtem-se 4p 0 p p 3p p 6p p p p A matriz P é definida positiva pois (critério de Sylvester) O sistema é portanto assimptoticamente estável. 5 0 P 0 4 4

97 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 97 5.Controladores para sistemas não lineares Objectivo: Introdução a técnicas de projecto para controladores de sistemas não lineares: Control Lyapunov Function. Introdução ao Controlo Adaptativo.

98 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 98 O Método Directo de Lyapunov (ou º Método de Lyapunov) é uma técnica que permite estudar a estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema não linear sem entrada. Pode ser usado para o projecto de controladores da seguinte forma: Admite-se uma estrutura para as equações do controlador, sendo necessário escolher parâmetros (que podem ser funções do tempo). Em conjunto, o sistema e o controlador passam a ser um sistema autónomo (sem entrada externa), dado que o cointrolador impõe a entrada do sistema e o sistema impõe a entrada do controlador (realimentação)

99 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 99 Escolhe-se uma candidata a função de Lyapunov, sendo escolhidos os parâmetros do controlador (ou as suas equações de estado) por forma a que se verifiquem as condições do Teorema de Estabilidade de Lyapunov. A esta função de Lyapunov dá-se o nome de Control Lyapunov Function (CLF). Os examplos seguintes ilustram esta técnica em situações muito simples. No segundo caso, embora usando simplificações, a técnica permite obter um controlador que pode ser aplicado a um sistema real (campo de colectores solares distribuídos).

100 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 00 O primeiro exemplo embora muito simples, pode ser motivado pela optimização da potência consumida num telemóvel quando a sua posição varia em relação à antena emissora. Faz-se no entanto notar que, numa situação real, as equações seriam mais complexas, embora as técnicas ilustradas continuem a ser aplicadas (com mais elementos que não se estudam neste curso).

101 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 0 Controlo Adaptativo Ajuste de um ganho antecipativo r K y y b s+ bkr O parâmetro b é desconhecido. Sabe-se que b 0. Problema: Ajustar o ganho K por forma a que a relação entre r e y (o chamado modelo de referêcia ) seja: y m y m r y

102 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 0 a) Obtenha uma equação (dita equação de erro ) que relaciona o erro de seguimento e : com o erro na estimativa de K definido por: ~ K : y y m * K K K * : b em que * K é o valor do ganho que cumpre a especificação (desconhecido!). Sugestão: Derive e. Observe que * y m ym bk r.

103 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 03 b) Determine uma lei de ajuste de K por forma a que ~ ~ V ( e, K) e K 0 seja uma função de Lyapunov. Sugestão: Sendo b uma constante: ~ K K constante. O estado é formado por duas variáveis ( e e K ~ ). Já temos uma equação diferencial para e. A equação diferencial para K ~ pode ser escolhida por nós (é a lei de ajste de K ). Vamos escolhê-la por forma a que V seja uma função de Lyapunov.

104 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 04 c) O Teorema do Conjunto Invariante diz que o estado tende para o maiort conjunto invariante contido no conjunto em que V é zero. O que pode concluir daqui? d) Será que, no limite controlado (em e e K ~ ). K * K e)desenhe um diagrama de blocos do sistema.? Observe as equações de estado do sistema

105 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 05 Dereivando e y ym obtém-se: e y ym y y bkr y m y m bk * r Subtraindo estas equações: Ou seja, pela definição de * y y m ( y ym) b( K K ) r * e y y ~ K : K K : m e, otém-se a equação de erro: e e ~ bkr

106 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 06 ~ V ( e, K) e K ~ V ee ~~ ~ ~~ KK e e bkr KK e ber K K ~ K ber Escolhe-se K por forma a que o termo entre parêntesis se anule V e 0

107 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 07 K ber V e 0 Como é arbitrário, podemos substituir o produto condição é que b 0. Lei de adaptação: K er b por. A única

108 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 08 s+ y m r K b s+ y + - e (.) Diagrama de blocos do controlador adaptativo

109 K K y y Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 09 y m 0 y m = Tempo [s] = Tempo [s] Simulação com dois valores do ganho de adaptação

110 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 0 V e 0 A aplicação do Teorema do Conjunto Invariante permite concluir que todas as trajectórias se aproximam de um conjunto de estados que corresponde ao maior conjunto invariante em que V 0, ou seja em que e 0 lim e( t) 0 t ou seja y( t) ym( t). Assim:

111 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Repare-se que o maior conjunto invariante contido no conjunto de estados em que V 0 equilíbrio de é não vazio. Possui pelo menos a origem, que é um ponto de ~ e e bkr ~ K er ~ Mas repare-se que pode haver mais pontos. Nestes, e 0 e K 0. Quer dizer: O erro de seguimento e pode aproximar-se de zero sem que a estimativa dos parâmetros esteja correcta. Isto sucede por vezes no Controlo Adaptativo.

112 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares ~ ~ e e bkr K er No conjunto caracterizado por e 0 as equações (sistema+controlador) assumem a forma ~ ~ e bkr K 0 Da segunda equação conclui-se que o erro na estimativa é constante. Assim: ~ t e( t) bk r( ) d 0

113 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 e( t) ~ bk t r( ) d 0 0 A condição t 0 r( ) d 0 (por exemplo se r Const. 0 ) implica um ~ erro de estimação nulo, K 0. Condições deeste tipo, que garantem que a referência excita suficientemente o sistema por forma a garantir que os parâmetros podem ser correctamente estimados, denominam-se condições de excitação persistente. De um modo geral são mais difíceis de deduzir.

114 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 4 Controlo adaptativo de um campo de colectores solares distribuídos Title: TESE\TEXTO\ALMERIA\FIGURAS\CAMPO.eps Creator: JASC, Inc. Preview: This EPS picture was not saved with a preview included in it. Comment: This EPS picture will print to a PostScript printer, but not to other types of printers. Visão geral do campo ACUREX de colectores solares distribuídos.

115 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 5 O campo ACUREX considerado situa-se na Plataforma Solar de Almeria (PSA sul de Espanha). O seu objectivo consiste em recolher energia solar e armazená-la na forma de energia térmica num óleo. Consiste em 0 filas de espelhos parabólicos colecores, orientados na direcção este-oeste, e organizados em 0 laços. A elevação dos espelhos é controlada automaticamente por forma a seguir o sol durante o dia. No foco dos espelhos passa um tubo metálico (no interior de um tubo de vidro para obtrer efeito de estufa), dentro do qual circula o óleo.

116 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 6 O oleo é extraído da base do tanque de armazenamento, passa através dos laços de colectores onded é aquecido e retorna ao topo do tanque. A bomba tem um PID para controlo de caudal, que permite impor a referência de caudal. PUMP THREE WAY VALVE BUFFER COLECTORS - LOOP STORAGE TANK To steam generator or desalination... ACUREX FIELD COLECTORS - LOOP 0

117 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 7 Vista dos colectores com o tubo e os sensors usados para seguir a elevação do sol. O tanque de armazenamento do óleo pode ser visto ao fundo.

118 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 8 Um espelho concentrador na oficina. Podem ver-se os raios solares concentrados aproximadamente num ponto.

119 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 9 A energia é armazenada na forma térmica dentro do tanque. Dado que o coeficiente de difusão do óleo é muito pequeno, as camadas frias e quentes do óleo não se misturam. É assim possível criar um perfil de temperatura dentro do tanque. A energia térmica armazenada dentro do tanque pode ser usada numa instalação de dessalinização. Title: TESE\TEXTO\ALMERIA\FIGURAS\TANQUE.eps Creator: JASC, Inc. Preview: This EPS picture was not saved with a preview included in it. Comment: This EPS picture will print to a PostScript printer, but not to other types of printers.

120 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 0 A instalação de dessalinização. O oleo quente é extraído da base do tanque de armazenamento e usado como fonte de energia. Isto é visto como uma carga (perturbação) aplicada ao campo

121 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Modelo do campo (equação às derivadas parciais): t T( z, t) u( t) T( z, t) R( t) z Deslocamento do óleo T ( z, t) temperature ao longo do tubo u (t) caudal de óleo (variável manipulada) R (t) radiação solar (perturbação acessível) Aquecimento solar

122 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares Tomando como variável manipulada o caudal, este sistema é não linear dado que há uma multiplicação entre a variável manipulada e o estado (função que descreve a temperatura ao longo do espaço e no tempo). A principal fonte de incerteza é o conhecimento do coeficiente de reflexão dos espelhos,. Vamos projectar um controlador que:. Compensa a não linearidade exactamente através de uma transformação da variável manipulada;. Faz uma realimentação linear do estado (que neste caso é a saída apenas) para a nova variável manipulada 3. Adapta a lei de controlo através do ajuste da estimativa de garantindo a estabilidade combase numa função de Lyapunov.

123 Controlo em Espaço de Estados Controlo de Sistemas Não Lineares 3 Aproximação por um modelo de ordem finita Definam-se como variáveis de estado as temperatures nos nós de uma grelha ao longo do tubo: Title: C:\USERS\ACUREX\SOLBARAO\XPIPE.EPS Creator: C:\USERS\ACUREX\SOLBARAO\XPIPE.EPS Preview: This EPS picture was not saved with a preview included in it. Comment: This EPS picture will print to a PostScript printer, but not to other types of printers. dx i u( t) xi ( t) xi ( t ) R( t) i,, n y( t) x ( t) n