Análise de Algoritmos
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- Matilde Sanches Tavares
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1 Algoritmos p. 1/39 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina.
2 Algoritmos p. 2/39 Multiplicação de inteiros gigantescos KT cap 5.5
3 Algoritmos p. 3/39 Multiplicação de inteiros gigantescos n := número de algarismos. Problema: Dados dois números inteiros X[1.. n] e Y[1.. n] calcular o produto X Y. Entra: Exemplo com n = X Y
4 Algoritmos p. 3/39 Multiplicação de inteiros gigantescos n := número de algarismos. Problema: Dados dois números inteiros X[1.. n] e Y[1.. n] calcular o produto X Y. Entra: Exemplo com n = X Y Sai: 23 X Y
5 Algoritmos p. 4/39 Algoritmo do ensino fundamental * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * O algoritmo do ensino fundamental é Θ(n 2 ).
6 Algoritmos p. 5/39 Divisão e conquista n2 n 1 X A B Y C D p A D B D A C B C A C A D +B C B D X Y = A C 10 n +(A D+B C) 10 n/2 +B D
7 Algoritmos p. 6/39 Exemplo 4 1 X Y
8 Algoritmos p. 6/39 Exemplo 4 1 X Y A 3 1 B 4 1 C 5 9 D 3 6
9 Algoritmos p. 6/39 Exemplo 4 1 X Y A 3 1 B 4 1 C 5 9 D 3 6 X Y = A C (A D+B C) B D A C = 1829 (A D+B C) = = 3535 B D = 1476 A C (A D +B C) B D X Y =
10 Algoritmo de Multi-DC Algoritmo recebe inteiros X[1..n] e Y[1..n] e devolve X Y. MULT (X, Y, n) 1 se n = 1 devolva X Y 2 q n/2 3 A X[q +1..n] B X[1..q] 4 C Y[q +1..n] D Y[1..q] 5 E MULT(A,C, n/2 ) 6 F MULT(B,D, n/2 ) 7 G MULT(A,D, n/2 ) 8 H MULT(B,C, n/2 ) 9 R E 10 n +(G+H) 10 n/2 +F 10 devolva R T(n) = consumo de tempo do algoritmo para multiplicar dois inteiros com n algarismos. Algoritmos p. 7/39
11 Algoritmos p. 8/39 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(1) 3 = Θ(n) 4 = Θ(n) 5 = T( n/2 ) 6 = T( n/2 ) 7 = T( n/2 ) 8 = T( n/2 ) 9 = Θ(n) 10 = Θ(n) total = T( n/2 )+3T( n/2 )+Θ(n)
12 Algoritmos p. 9/39 Consumo de tempo Sabemos que T(1) = Θ(1) T(n) = T( n/2 )+3T( n/2 )+Θ(n) para n = 2,3,4,.. está na mesma classe Θ que a solução de T (n) = 4T (n/2)+n n T (n)
13 Algoritmos p. 10/39 Conclusões T (n) é Θ(n 2 ). T(n) é Θ(n 2 ). O consumo de tempo do algoritmo MULT é Θ(n 2 ). Tanto trabalho por nada... Será?!?
14 Algoritmos p. 11/39 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y?
15 Algoritmos p. 11/39 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Eis X Y por R$ 4,03: X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad+bc bd X Y = ac (ad+bc) bd
16 Algoritmos p. 11/39 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Eis X Y por R$ 4,03: X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad+bc bd X Y = ac (ad+bc) bd Solução mais barata?
17 Algoritmos p. 11/39 Pensar pequeno Olhar para números com 2 algarismos (n=2). Suponha X = ab e Y = cd. Se cada multiplicação custa R$ 1,00 e cada soma custa R$ 0,01, quanto custa X Y? Eis X Y por R$ 4,03: X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad+bc bd X Y = ac (ad+bc) bd Solução mais barata? Gauss faz por R$ 3,06!
18 Algoritmos p. 12/39 X Y por apenas R$ 3,06 X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad+bc bd
19 Algoritmos p. 12/39 X Y por apenas R$ 3,06 X a b Y c d ac ad bc bd X Y ac ad+bc bd (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd ad+bc = (a+b)(c+d) ac bd g = (a+b)(c+d) e = ac f = bd h = g e f X Y (por R$ 3,06) = e h f
20 Algoritmos p. 13/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =?
21 Algoritmos p. 13/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =?
22 Algoritmos p. 13/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 2 Y = 2 X Y = 4
23 Algoritmos p. 14/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd =? (a+b)(c+d) =?
24 Algoritmos p. 14/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd =? (a+b)(c+d) =? X = 1 Y = 3 X Y = 3
25 Algoritmos p. 15/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd = 3 (a+b)(c+d) =?
26 Algoritmos p. 15/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y =? ac = 4 bd = 3 (a+b)(c+d) =? X = 3 Y = 5 X Y = 15
27 Algoritmos p. 16/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =? X = 21 Y = 23 X Y = 483 ac = 4 bd = 3 (a+b)(c+d) = 15
28 Algoritmos p. 17/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd =? (a+b)(c+d) =?
29 Algoritmos p. 17/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd =? (a+b)(c+d) =? X = 33 Y = 12 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =?
30 Algoritmos p. 17/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd =? (a+b)(c+d) =? X = 33 Y = 12 X Y = 396 ac = 3 bd = 6 (a+b)(c+d) = 18
31 Algoritmos p. 18/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a+b)(c+d) =?
32 Algoritmos p. 18/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a+b)(c+d) =? X = 54 Y = 35 X Y =? ac =? bd =? (a+b)(c+d) =?
33 Algoritmos p. 18/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a+b)(c+d) =? X = 54 Y = 35 X Y = 1890 ac = 15 bd = 20 (a+b)(c+d) = 72
34 Algoritmos p. 19/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y =? ac = 483 bd = 396 (a+b)(c+d) = 1890
35 Algoritmos p. 19/39 Exemplo X = 2133 Y = 2312 X Y = ac = 483 bd = 396 (a+b)(c+d) = 1890
36 Algoritmos p. 20/39 Algoritmo Multi Algoritmo recebe inteiros X[1..n] e Y[1..n] e devolve X Y (Karatsuba e Ofman). KARATSUBA (X, Y, n) 1 se n 3 devolva X Y 2 q n/2 3 A X[q +1..n] B X[1..q] 4 C Y[q +1..n] D Y[1..q] 5 E KARATSUBA(A, C, n/2 ) 6 F KARATSUBA(B, D, n/2 ) 7 G KARATSUBA(A+B,C +D, n/2 +1) 8 H G F E 9 R E 10 n +H 10 n/2 +F 10 devolva R T(n) = consumo de tempo do algoritmo para multiplicar dois inteiros com n algarismos.
37 Algoritmos p. 21/39 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(1) 3 = Θ(n) 4 = Θ(n) 5 = T( n/2 ) 6 = T( n/2 ) 7 = T( n/2 +1) 8 = Θ(n) 9 = Θ(n) 10 = Θ(n) total = T( n/2 )+T( n/2 )+T( n/2 +1)+Θ(n)
38 Algoritmos p. 22/39 Consumo de tempo Sabemos que T(n) = Θ(1) para n = 1,2,3 T(n) = T( n/2 )+T( n/2 )+T( n/2 +1)+Θ(n) n 4 está na mesma classe Θ que a solução de T (n) = 3T (n/2)+n n T (n)
39 Algoritmos p. 23/39 Conclusões T (n) é Θ(n lg3 ). Logo T(n) é Θ(n lg3 ). O consumo de tempo do algoritmo KARATSUBA é Θ(n lg3 ) (1,584 < lg3 < 1,585).
40 Algoritmos p. 24/39 Mais conclusões Consumo de tempo de algoritmos para multiplicação de inteiros: Jardim de infância Θ(n10 n ) Ensino fundamental Θ(n 2 ) Karatsuba e Ofman 60 O(n ) Toom e Cook 63 O(n ) (divisão e conquista; generaliza o acima) Schönhage e Strassen 71 O(n lg n lg lg n) (FFT em aneis de tamanho específico) Fürer 07 O(nlgn2 O(log n) )
41 Algoritmos p. 25/39 Ambiente experimental A plataforma utilizada nos experimentos é um PC rodando Linux Debian?.? com um processador Pentium II de 233 MHz e 128MB de memória RAM. Os códigos estão compilados com o gcc versão e opção de compilação -O2. As implementações comparadas neste experimento são as do algoritmo do ensino fundamental e do algoritmo KARATSUBA. O programa foi escrito por Carl Burch: cburch/251/karat/.
42 Algoritmos p. 26/39 Resultados experimentais n Ensino Fund. KARATSUBA Tempos em 10 3 segundos.
43 Algoritmos p. 27/39 Multiplicação de matrizes Problema: Dadas duas matrizes X[1..n,1..n] e Y[1..n,1..n] calcular o produto X Y. O algoritmo tradicional de multiplicação de matrizes consome tempo Θ(n 3 ). ( ) ( ) ( ) a b e f r s = c d g h t u r = ae+bg s = af +bh t = ce+dg u = cf +dh (1) Solução custa R$ 8,04
44 Algoritmos p. 28/39 Divisão e conquista X Y A B E F R S x = C D G H T U R = AE +BG S = AF +BH T = CE +DG U = CF +DH (2)
45 Algoritmos p. 29/39 Algoritmo de Multi-Mat Algoritmo recebe inteiros X[1..n] e Y[1..n] e devolve X Y. MULTI-M (X,Y,n) 1 se n = 1 devolva X Y 2 (A,B,C,D) PARTICIONE(X,n) 3 (E,F,G,H) PARTICIONE(Y,n) 4 R MULTI-M(A,E,n/2)+MULTI-M(B,G,n/2) 5 S MULTI-M(A,F,n/2)+MULTI-M(B,H,n/2) 6 T MULTI-M(C,E,n/2)+MULTI-M(D,G,n/2) 7 U MULTI-M(C,F,n/2)+MULTI-M(D,H,n/2) 8 P CONSTRÓI-MAT(R,S,T,U) 9 devolva P T(n) = consumo de tempo do algoritmo para multiplicar duas matrizes de n linhas e n colunas.
46 Algoritmos p. 30/39 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2 = Θ(n 2 ) 3 = Θ(n 2 ) 4 = T(n/2)+T(n/2) 5 = T(n/2)+T(n/2) 6 = T(n/2)+T(n/2) 7 = T(n/2)+T(n/2) 8 = Θ(n 2 ) 9 = Θ(n 2 ) total = 8T(n/2)+Θ(n 2 )
47 Algoritmos p. 31/39 Consumo de tempo As dicas no nosso estudo de recorrências sugere que a solução da recorrência T(1) = Θ(1) T(n) = 8T(n/2)+Θ(n 2 ) para n = 2,3,4,.. está na mesma classe Θ que a solução de T (n) = 8T (n/2)+n 2 n T (n)
48 Algoritmos p. 32/39 Conclusões T (n) é Θ(n 3 ). Logo T(n) é Θ(n 3 ). O consumo de tempo do algoritmo MULTI-M é Θ(n 3 ).
49 Algoritmos p. 33/39 Strassen: X Y por apenas R$ 7,18 ( a b c d ) ( e f g h ) = ( r s t u )
50 Algoritmos p. 33/39 Strassen: X Y por apenas R$ 7,18 ( a b c d ) ( e f g h ) = ( r s t u ) p 1 = a(f h) = af ah p 2 = (a+b)h = ah+bh p 3 = (c+d)e = ce+de p 4 = d(g e) = dg de p 5 = (a+d)(e+h) = ae+ah+de+dh p 6 = (b d)(g +h) = bg +bh dg dh p 7 = (a c)(e+f) = ae+af ce cf (4)
51 Algoritmos p. 34/39 Strassen: X Y por apenas R$ 7,18 p 1 = a(f h) = af ah p 2 = (a+b)h = ah+bh p 3 = (c+d)e = ce+de p 4 = d(g e) = dg de p 5 = (a+d)(e+h) = ae+ah+de+dh p 6 = (b d)(g +h) = bg +bh dg dh p 7 = (a c)(e+f) = ae+af ce cfd r = p 5 +p 4 p 2 +p 6 = ae+bg s = p 1 +p 2 = af +bh t = p 3 +p 4 = ce+dg u = p 5 +p 1 p 3 p 7 = cf +dh
52 Algoritmos p. 35/39 Algoritmo de Strassen STRASSEN (X,Y,n) 1 se n = 1 devolva X Y 2 (A,B,C,D) PARTICIONE(X,n) 3 (E,F,G,H) PARTICIONE(Y,n) 4 P 1 STRASSEN(A,F H,n/2) 5 P 2 STRASSEN(A+B,H,n/2) 6 P 3 STRASSEN(C +D,E,n/2) 7 P 4 STRASSEN(D,G E,n/2) 8 P 5 STRASSEN(A+D,E +H,n/2) 9 P 6 STRASSEN(B D,G+H,n/2) 10 P 7 STRASSEN(A C,E +F,n/2) 11 R P 5 +P 4 P 2 +P 6 12 S P 1 +P 2 13 T P 3 +P 4 14 U P 5 +P 1 P 3 P 7 15 devolva P CONSTRÓI-MAT(R,S,T,U)
53 Algoritmos p. 36/39 Consumo de tempo linha todas as execuções da linha 1 = Θ(1) 2-3 = Θ(n 2 ) 4-10 = 7,T(n/2)+Θ(n 2 ) = Θ(n 2 ) 15 = Θ(n 2 ) total = 7T(n/2)+Θ(n 2 )
54 Algoritmos p. 37/39 Consumo de tempo As dicas no nosso estudo de recorrências sugere que a solução da recorrência T(1) = Θ(1) T(n) = 7T(n/2)+Θ(n 2 ) para n = 2,3,4,.. está na mesma classe Θ que a solução de T (n) = 7T (n/2)+n 2 n T (n)
55 Algoritmos p. 38/39 Conclusões T (n) é Θ(n lg7 ). Logo T(n) é Θ(n lg7 ). O consumo de tempo do algoritmo STRASSEN é Θ(n lg7 ) (2,80 < lg7 < 2,81).
56 Algoritmos p. 39/39 Mais conclusões Consumo de tempo de algoritmos para multiplicação de matrizes: Ensino fundamental Θ(n 3 ) Strassen (1969) O(n ).. Coppersmith e Winograd (1987) O(n ) Stothers (2010) O(n ) Williams (2011) O(n ) Le Gall (2014) O(n )
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