Análise Termodinâmica da interacção de uma massa com uma atmosfera

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1 Análs rmodnâmca da ntracção d uma massa com uma atmosfra Rodrgo d Abru Dpartamnto d Físca do IS Rsumo Consdra-s uma massa mrsa numa atmosfra, nfnta, consttuída por um gás dal clássco na prsnça d um campo gravtaconal constant A massa dsloca-s d uma altura ncal m qu stá m rpouso, até uma altura fnal d qulíbro Dtrmna-s a varação d ntropa da atmosfra dvda ao movmnto da massa ntr a altura ncal fnal, por dos métodos: através das rlaçõs qu rsultam d s consdrar qu a nrga da atmosfra é função da altura m qu s ncontra a massa da ntropa, através da statstíca d Maxwll-Boltzmann A varação d ntropa é calculada na transformação rrvrsívl rsultant da varação d posção da massa A ntrprtação do cálculo da varação d ntropa através da statstíca d Maxwll-Boltzmann é comparada com o cálculo fto através do outro método Mostras a consstênca das duas análss ntrprta-s fscamnt Consdra-s, como caso partcular, uma part da atmosfra confnada a um clndro provdo d um êmbolo A analoga ntr st modlo o consdrado antrormnt prmt lustrar, através d um modlo concrto, o tratamnto unfcado da ntracção ntr sub-sstmas m transformaçõs rrvrsívs, orgm d uma controvérsa bm conhcda Introdução Uma massa M, com a forma d um parallpípdo, ncontra-s mrsa numa atmosfra consttuída por um gás dal clássco [], submtdo à acção d um campo gravtaconal d aclração constant, d módulo g (fg): L g h M L H FIG Um parallpípdo d massa M ncontra-s à altura H, mrso num gás na prsnça da aclração g da gravdad à tmpratura

2 A aclração da gravdad actua sobr a massa M sobr as partículas do gás qu nvolv a massa M Plo facto das partículas srm actuadas pla gravdad a dnsdad do gás dcrsc com a altura[] Dst modo a mpulsão a qu fca sujta a massa M dpnd da altura S a mpulsão ncal for dfrnt do pso o parallpípdo rá dslocar-s até uma altura m qu s vrfqu o qulíbro Em I calcula-s sta altura d qulíbro Admtndo qu a nrga da atmosfra é função das varávs d dformação qu para um parallpípdo ndformávl s rduz a uma, a cota z, da ntropa S [], calcula-s a varação d ntropa da atmosfra dvda à dslocação da massa M ntr a posção ncal fnal Est cálculo é fto drctamnt na transformação rrvrsívl A varação d ntropa rsulta do afastamnto da força dnâmca da força státca qu actua sobr a massa M [4] st caso a varação d nrga do gás qu consttu a atmosfra contêm um trmo potncal não s rduz apnas à varação d nrga cnétca como é o caso sm campo gravtaconal [5] sta stuação não há pards a sparar sub-sstmas a stuação consdrada afasta-s do modlo trval d um clndro contndo um gás m contacto com uma font d calor Em II calcula-s a varação d ntropa através do formalsmo da statístca d Maxwll-Boltzmann Assoca-s o formalsmo statístco com o formalsmo macroscópco através da da d qu a varação d ntropa rsulta da varação do numro d mcrostados no spaço d fas Em I o cálculo da varação d ntropa é formalmnt smpls O cálculo m II mostra qu mbora não xstndo varação d volum, dado s star a admtr qu a gomtra do parallpípdo não vara (admt-s qu o parallpípdo é ndformávl) xst, no ntanto, varação d uma grandza dsgnada volum fctvo [5], qu dscrv a varação d ntropa no spaço d posçõs plo facto d xstr campo gravtaconal A varação d ntropa assocada à nrga contêm nst caso um trmo lgado à nrga potncal Em III ntroduzm-s pards no modlo consdrado m I mostra-s como é possvl calcular a varação d ntropa da atmosfra, na transformação rrvrsívl, d forma quvalnt à da ª análs ambém nst caso a atmosfra não pod sr consdrada como font d calor, a ntração ntr os sub-sstmas faz-s através d uma pard móvl Pdagógcamnt o modlo tm ntrss porqu lustra o cálculo da varação d ntropa d um Sstma, d qu dcorr o cálculo da varação d ntropa d sub-sstmas stablc, num modlo concrto, qu prmt ntrprtação físca, uma lgação ntr o formalsmo macroscópco statístco I A abordagm macroscópca Consdrmos uma massa M com uma forma d um parallpípdo d altura L, cuja bas tm ára A d acordo com a fg A nrga da atmosfra é U a tmpratura A aclração da gravdad é constant m módulo drcção sntdo A atmosfra consdrada nfnta (fscamnt grand) tm à cota zro uma prssão p() O parallppdo ncontra-s na posção ncal dfnda por H, altura a qu s ncontra a sua bas nfror Dado qu a dfrnça d forças dvda à varação da prssão com a altura z é (Prncípo d Arqumds) Adp dm g () g m qu A é a ára da bas do parallpípdo, p a prssão á cota z, dmg a massa da atmosfra corrspondnt ao volum A dz [] D () tmos

3 p ( z d p( A n( mgadz () m qu n( é a dnsdad d partículas do gás á cota z, m é a massa d cada partícula do gás D () tndo m atnção qu (k é a constant d Boltzmann), p ( n( k () dp mgdz p (4) m qu Intgrando tmos p mgz ( p() (5) A força qu s xrc sobr o parallpípdo, quando st stá m rpouso, dvda à atmosfra é, d (5) mgz mgl p( z L) p( A p() ( ) A (6) A altura fnal d qulíbro obtm-s gualando (6) a Mg Esta altura dpnd d M d Pod mdr-s s s conhcr M a altura d qulíbro [6] Consdrmos qu U, a nrga da atmosfra, é função d z d S D facto a nrga da atmosfra tm d sr função d S dado qu quando o parallpípdo rgrssa a uma altura ncal a varação d nrga da atmosfra é maor ou gual a zro [] Assm sndo, d U=U(z,S), tmos, dfrncando, U U du dz ds (7) z S S z S ds= U du dz p( z L) p( Adz (8) z S ou sja U z S p( z L) p( A (9)

4 Como [7] tmos qu U S z () du p z L) p( z Adz ds ( ) () ou, d (6), du mgz mgl p( ) ( ) Adz ds () S na altura ncal, H, a mpulsão da atmosfra não for gual ao pso do parallpípdo, st dslocar-s-á para uma altura H, d qulíbro Do prncípo d consrvação d nrga, tmos E pot U () m qu Epot é a varação d nrga potncal gravítca da massa M mos portanto, U E pot Mg( H H) (4) A varação d ntropa da atmosfra pod agora sr calculada D () tmos du p() mgz mgl ds ( ) Adz (5) Intgrando ntr H H, obtmos U S p ) ( ( mgl mgh mgh ) A( )( ) mg (6) Substtundo (4) m (6) tmos Mg( H H) p() mgl mgh mgh S ( ) A( )( ) mg (7) Sgudamnt vamos obtr (7) através da statístca d Maxwll-Boltzmann 4

5 II A abordagm statstíca Consdrmos a statstíca d Maxwll-Boltzmann (EMB) dfnda plo numro d ocupação médo d uma mcrocélula [8], m qu (como rmos dmonstrar m (4)) u (8) k (9) u mgz mv u u pot cn () é dtrmnado pla condção m qu é o numro total d partículas da atmosfra O numro d mcrocélulas d volum h (h é a constant d Planck) xstnt numa macrocélula do spaço d fas d volum d 6 dxdydzdp xdpydp () z é 6 d () h O numro d partículas xstnt numa macrocélula é d 6 6 d () h ou, d (8) () d 6 dado mv dxdydzdv dv dv m mgz y z (4) x p mv (5) x, y, z x, y, z h 5

6 Intgrando m vx,vy,vz dado qu ax dx ( ) a (6) obtmos d (4) mgz dxdydzm d ( ) (7) h mg Intgrando m x, y, z tmos mgz d dxdydz ( ) (8) mg h m mos, d (8), ( ) (9) m m qu mgz dxdydz () é dsgnado volum fctvo [5] Substtundo (9) m (7), tmos ou d mgz () dxdydz n d dxdydz mgz ( () m qu n( é o numro d partículas por undad d volum à cota z Obtvmos um rsultado quvalnt a (5) através da EMB 6

7 A probabldad trmodnâmca d um macrostado [8], o numro d manras d colocar nj partículas m g mcrocélulas da macrocélula j, s as partículas form ndscrnívs não houvr lmtação d numro d partículas m cada mcrocélula (j=g/g dado G sr o numro total d mcrocélulas), é G g ( n j g )! W n j () n!( g )! j j O logartmo d W pod sr scrto na forma ln W ( ) ln( ) ln (4) G S <<, condção qu rá prmtr dfnr a statístca d Maxwll-Boltzmann, ln( ) (5), nsta condção, d (4) tmos lnw ( ln ) (6) G A condção d qulíbro pod obtr-s maxmzando W Esta condção d qulíbro dfn a statstíca d Maxwll-Boltzmann Esta maxmzação é condconada por G, (7) G u U (8) O numro d ocupação médo qu maxmza W é (EMB) u (9) Substtundo (9) m (6), tndo m atnção (7) (8), otmos lnw ( ) U (4) Dfrncando (6) tndo m atnção (9) obtmos d lnw u d (4) 7

8 Dfrncando (8) mpondo a condção d qu a varação d ntropa é dvda à varação d W tmos, comparando com (), qu k S k lnw (4) (4) Dst modo d (4), tmos S k( ) ku (44) Calculmos d (44) a varação d ntropa da atmosfra corrspondnt à dslocação do parallppdo d H para H Dfrncmos S D (44) tmos ds kd kdu (45) D (9) d d (46) D (46) (45) d ds k kdu (47) D () tmos qu n() (48) portanto, (47), pod scrvr-s na forma ds p() d du (49) 8

9 O volum fctvo obtm-s ntgrando para todo o spaço da atmosfra ond não stá o parallppdo, mgz dza Z mgz dza Z L mgz dza (5) m qu A é a ára não cobrta na vrtcal plo parallpípdo d ára d bas A Dfrncando obtmos mgz mgl d A ( ) dz (5) Substtundo (5) m (49) obtm-s (5) portanto (7)Obtvmos o rsultado do º método, d I, através da EMB III O modlo da atmosfra m ntracção com um êmbolo Consdrmos qu ond ncalmnt s ncontrava o parallpípdo, H, confnamos a part nfror da atmosfra através d pards (fg ) Est confnamnto rá mpdr qu haja altração do numro d moléculas na part nfror da massa M Quando o parallpípdo (agora êmbolo) s dslocar, a prssão p na part supror é a prssão da atmosfra qu vamos admtr constant gual a p(), dado nst caso a varação da altura da massa M não dar orgm a altração sgnfcatva da prssão státca sobr o êmbolo, qu é aproxmadamnt a prssão à cota zro a part nfror a prssão va altrar-s, aumntando s o êmbolo dscr A tmpratura fnal d qulíbro é, a tmpratura da atmosfra Do Prncípo d Consrvação d Enrga tmos L g M L H FIG Um parallpípdo d massa M ncontra-sà altura H, mrso num gás na prsnça da aclração g da gravdad à tmpratura, mas agora a part do gás xstnt na part nfror do parallpípstá confnada por pards 9

10 Mg( H U U (5) E pot H) m qu U é a nrga da part da atmosfra qu agora stá confnada plas pards U é a nrga da atmosfra Admtamos qu (C =const) U C (5) mos, d (5) (5) dado a tmpratura no níco no fm sr U Mg( H ) H (54) Dado a nrga sr função da varávl d dformação, nst caso o volum (dado starmos a admtr qu é aproxmadamnt ), da ntropa (dstngumos nst caso a atmosfra do outro sub-sstma, plo ndíc zro) du (55) pd ds du p d ds (56) D (5), (54), (56) (55) tmos S k ln (57) S U p Mg( H H) p( H H) A (58) O caso trval d m vz da atmosfra s tr uma font d calor, calcula-s xactamnt como antrormnt Obtm-s, nst caso, para o gás, confnado no clndro, a msma varação d ntropa (57) a varação d ntropa da font passa a sr U Mg( H H) S (59) dado não xstr varação d volum da Font S não xstr campo gravtaconal, na ntracção ntr dos sub-sstmas através d uma pard móvl, m qu um dos subsstmas é nfnto [9], srá o trmo m U qu s anulará O caso d dos sub-sstmas fntos, m ntracção através d uma pard móvl, tm sdo tratado na ltratura du orgm a uma controvérsa bm conhcda []

11 I Intrprtação Durant a transformação rrvrsívl assocada à dslocação da massa M tmos qu as prssõs qu s xrcm sobr as facs supror nfror não são prssõs d qulíbro São prssõs dnâmcas [4] Subndo a massa M com uma vlocdad dfrnt d zro a prssão dnâmca na bas supror é maor do qu a prssão státca, prssão qu s xrcra s o parallpípdo stvss m rpouso à msma altura z a bas nfror a prssão dnâmca é nfror à prssão státca um ntrvalo dz, a dfrnça d prssõs dnâmcas é p ( z L) p( (6) A componnt da rsultant das forças qu actuam sobr o parallpípdo é F z Mg p( z L) p( A (6) O trabalho dsta força é a varação d nrga cnétca do parallpípdo Fz dz de cn (6) A consrvação d nrga prmt scrvr de cn de pot du, (6) F z dz Mgdz du (64) mos, portanto, substtundo (6) m (64) Mas p( z L) p( Adz, du (65) p( z L) p( Adz ds, du (66) Comparando (65) (64) tmos qu ds (67) A gualdad vrfca-s para a transformação rvrsívl Em ambos os métodos vrfca-s (67) o º, (67) rsulta da dfrnça ntr a força státca a dnâmca o º rsulta do aumnto d W O aumnto nst caso rsulta da

12 altração do volum fctvo da varação da nrga ão há altração do volum da atmosfra dado consdrarmos o parallpípdo ndformávl Quando a massa M s dsloca d H para H a part da atmosfra qu srá ocupada plo parallpípdo (quando á altura H) rá ocupar o volum complmntar Apnas m part as moléculas qu ocupavam o volum agora ocupado plo parallpípdo, rão para o volum ncalmnt ocupado plo parallpípdo, quando s ncontrava à altura H Esta dslocação d posção das moléculas orgna a parcla d varação d ntropa corrspondnt à varação d A outra parcla d varação d ntropa é a corrspondnt à varação d nrga, U, soma das nrgas cnétcas potncal das moléculas O º método é d uma grand smplcdad formal O º complmnta a ntrprtação do º A varação d ntropa rsulta da volução da varávl d dformação não tr compnsação no spaço dos momnta, no º método; tal corrspond ao afastamnto da força státca dnâmca, no º método Podmos afrmar d forma quvalnt qu a massa M s dsloca por havr varação d ntropa, por havr aumnto do númro d mcrostados Conclusão Analsou-s a ntracção ntr uma massa M a atmosfra m qu a massa stá mrsa A atmosfra stá à tmpratura, na prsnça d um campo gravtaconal constant Mostrou-s qu dado a nrga sr função da ntropa d uma varávl d dformação, nst caso a cota z a qu s ncontra a massa M, qu a dslocação spontâna da massa M, orgna uma varação d ntropa rsultant da dfrnça ntr a força státca dnâmca, plo facto da massa M s dslocar ntr as duas alturas com uma vlocdad fnta Mostrou-s qu sta análs é consstnt com a análs statstíca fta plo método d Boltzmann O aumnto d ntropa rsulta do aumnto do numro d mcrostados Est aumnto d mcrostados faz-s nst caso sm aumnto d volum no spaço das posçõs A varação do numro d mcrostados rsulta m part da varação do volum fctvo, grandza qu contém a nformação do campo gravtaconal o numro d mcrostados no spaço das posçõs dpnd da dstrbuçao d partculas nas dvrsas mcrocélulas no spaço das posçõs st numro altra-s à mdda qu a massa s dsloca dvdo à xstênca do campo gravtaconal A outra parcla da varação do numro d mcrostados rsulta da varação da nrga, nrga sta qu nst caso contm um trmo potncal A soma dstas varaçõs é postva ou nula no lmt da transformação rvrsívl Confrotou-s sta análs, da dslocação da massa M na atmosfra, com a dslocação da massa M, m ntracção smultâna com um gás confnado num clndro provdo d um êmbolo com a atmosfra Obtm-s como caso partcular trval a varação d ntropa d uma font d calor A ntração ntr sub-sstmas fntos, através d uma pard móvl, pod sr obtda plo msmo método Rfrêncas Landsbrg, P Am J Phys 9, 695 (96)

13 Fynman, R Lghton, R Sands, M h Fynman Lcturs on Physcs (Addson- Wsly, Radng, Massachussts, 966) vol I, 4- Abru Faro, M Abru, R Sobr um prncípo d nrga-ntropa, Acad das Cêncas d Lsboa, XXXI (99) 4 Abru Faro, M Abru, R A on-dmnsonal modl of rrvrsblty, EPS, rnds n Physscs, 4, Svlha (996); Abru Faro, M Marçal, M H Enrga confnada m cavdad d pard móvl Análs da volução para o qulíbro Intrprtação fsca Mmóras da Acadma das Cêncas d Lsboa, Class d Cêncas, omo XXXIII (998); Abru, R Rsoluton of two ntropy maxmzaton controvrss, EPS rnds n Physcs, Abstracts, p 66, London (999); Abru, R Análs dnâmca da tndênca para o qulíbro num modlo smpls: a ª L d wton f = ma a Sgunda L da rmodnâmca ds=, submtdo à Gazta d Físca 5 Alls and Hrln, rmodynamcs and Statstcal Mchancs (MacGraw-Hll, 95) p 7; Abru, R écnca, 5 (987) 6 Gallo rmomtrs- 7 Lb, E H And Yngvason, J otcs of th AMS, May, 57 (998) 8 Matos Frrra, C rmodnâmca Gral Introdução à Mcânca Estatstíca (AEIS, 978) p5 9 Abru, R écnca, 5 (994) Calln, H hrmodynamcs, John Wly&Sons, w York, p (96); Fynman, R Lghton, R Sands, M h Fynman Lcturs on Physcs, Addson- Wsly, Radng, 9-6 (976); Svoukn, D hrmodynamqu t Physqu Molécular, MIR, Moscovo, p (98); Curzon, A E Am J Phys 7, 44 (969); Lff; H S Am J Phys 8, 546 (97); Curzon, A E Lff, H S Am J Phys 47, 85 (979); Abru, R écnca, 4 (99); Dvrsos autors, écnca (99); Abru, R Pnhro, M EPS 9 rnds n Physcs, Abstracts, Frnz (99); Crawford, F S Am J Phys 6, (99); Abru, R écnca, 5 (994); Lff, H S Am J Phys 6, (994); Brogura, P Das d Dus, J Gazta d Físca, vol 8, Fasc, 9 (995); Abru, R Rlatóro Intrno CEL nº- 98 (998); Gümz, J Folhas, C Folhas, M Fundamntos d rmodnâmca do Equlíbro, Fundação Caloust Gulbnkan, p 8 (998);