Colégio Santa Dorotéia

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1 Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Ano: 3º Ensino Médio Professor: Ricardo Matemática Atividades para Estudos Autônomos Data: 4 / 9 / 017 Aluno(a): Nº: Turma: Caro(a) aluno(a), O momento de revisão deve ser visto como oportunidade de reconstruir conhecimentos necessários à continuação do processo de aprendizagem. Naturalmente, a realização dessas atividades exigirá de você um envolvimento maior e mais comprometimento com o ato de aprender. Muitas vezes, a retomada de alguma informação que não esteja bem apreendida poderá ajudá-la(o) a seguir com maior facilidade. Estratégias de Estudo Você deve estudar cada conteúdo proposto no roteiro e fazer os exercícios em anexo. Refaça os exercícios que foram propostos ao longo da etapa, mantenha o seu caderno à mão para consultá-lo sempre que for necessário. Refaça as questões propostas nos módulos e nas parciais. Leve a sério um horário de estudo para que este aprendizado seja bem aproveitado. Identifique os exercícios em que teve maior dificuldade para uma revisão posterior. Reveja os exercícios da apostila da ª Etapa. Se você estiver mesmo empenhado em aprender, não encontrará barreiras. Anote suas dúvidas e traga-as para uma análise em sala entre os dias 0 e 6 de setembro. NÃO TENHA RECEIO DE PERGUNTAR! Procedimentos de avaliação PARA RECUPERAÇÃO da ª etapa DE 017 Uma avaliação individual (35 pontos com 7 questões) - será realizada no dia: 7/09/017. O cálculo de sua nota após a prova será uma média ponderada: SUCESSO! Ricardo Nota final = NotaEtapa 1+ Nota Re cuperação 3 CONTEÚDO DA AVALIAÇÃO: Equações. Funções. Funções do 1º e º graus. Função Modular. Função Exponencial. Função Logarítmica. Geometria espacial (prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas: áreas e volumes). OBS: Toda 3ª feira de 17h15 às 18h haverá na sala 3 (º andar do prédio A) plantões com o monitor Felipe Menezes. Participe! Colégio Santa Dorotéia 1

2 QUEST 1 (UFG 014) Uma escola fez uma campanha para arrecadar alimentos que seriam distribuídos em cestas básicas. Em relação à quantidade de feijão arrecadado, percebeu-se que, quando eram colocados em dois sacos, sobravam 76kg de feijão e, quando eram colocados em três sacos, faltavam 18kg para encher os três sacos. De acordo com essas informações, CALCULE a quantidade de feijão arrecadada nessa campanha. QUEST (UEMA 014) Para arrecadar fundos, uma instituição social realizou um baile beneficente, divulgando as informações, como vemos no convite abaixo: Após a realização do baile, constatou-se que 560 pessoas pagaram ingresso, totalizando uma arrecadação de R$6.70,00. CALCULE o número de senhoras e de senhores que pagaram ingresso para participar do baile. QUEST 3 (UFG 014) Uma loja vende Q caixas de um certo tipo de buchas plásticas por R$ 480,00. Para acabar com o estoque dessas buchas, a loja anuncia um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa, de modo que o preço de Q + caixas dessas buchas ainda é R$ 480,00. Diante do exposto, CALCULE o valor de Q. QUEST 4 (FGV-RJ 01) Em um sítio, há vários cercados para guardar certo número de filhotes de cachorro. Se pusermos 4 cachorros em cada cercado, sobrarão dois cachorros; se pusermos 6 cachorros em cada cercado, dois cercados ficarão vazios. Quantos cachorros e quantos cercados há? QUEST 5 (UFG 01) Um agricultor dispõe de uma certa quantidade de sementes de um cereal e está planejando como distribuí-las na área a ser plantada. Ele calculou que, se plantar 40kg de sementes por hectare, sobram 4 hectares das terras destinadas à plantação. Por outro lado, plantando 35kg por hectare, toda a região destinada ao cultivo é ocupada e sobram 10kg de sementes. Nestas condições, DETERMINE quantos hectares são destinados a essa plantação e de quantos quilogramas de sementes dispõe o agricultor. QUEST 6 (UFPR 013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 0 t t, sendo que 0 t 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) = N. a) ESCREVA o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 300 milhares de reais? Colégio Santa Dorotéia

3 QUEST 7 (PUC RJ 01) Seja x + 1 f(x) =. x + 1 Matemática a) CALCULE f(). b) Para quais valores reais de x temos f(f(x)) = x? c) Para quais valores reais de x temos f(f(f(f(x)))) = 011? QUEST 8 (UFBA 01) DETERMINE x R { }. f 1 (x) 1 R sabendo que 3, função inversa de f : { 3} R, x f(x 1) = 3x 6 para todo QUEST 9 (Unicamp 015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 x, definidas para todo número real x. a) ENCONTRE o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) > 0. b) ENCONTRE o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para todo número real x. QUEST 10 (UEL 015) ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em carros de categoria A. AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$,00 por quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros. a) REPRESENTE, graficamente, em um mesmo plano cartesiano, as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A que percorrem, no máximo, 70 quilômetros. b) DETERMINE a quantidade de quilômetros percorridos para a qual o valor cobrado é o mesmo. JUSTIFIQUE sua resposta apresentando os cálculos realizados. QUEST 11 (UERJ 014) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 1 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. DETERMINE o tempo x 0, em horas, indicado no gráfico. Colégio Santa Dorotéia 3

4 QUEST 1 (Unifesp 015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) = 0,05t + t + 5. Nessa função, considera-se t = 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira. a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez? b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? QUEST 13 (Unicamp 01) Considere a função f(x) = x + x + p, definida para x real. a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. DETERMINE esse valor. b) Supondo, agora, que p = 3, DETERMINE os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 1. QUEST 14 (UFRJ 008) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = 1 - x. DETERMINE os valores de x para os quais f(x) =. QUEST 15 (UFSCar 008) Sejam f e g funções modulares reais definidas por f(x) = x + e g(x) = x -. RESOLVA a equação f(x) = g(x). 4 Colégio Santa Dorotéia

5 QUEST 16 (UERJ 013) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V 0 corresponde ao seu valor atual. ( ) ( ) t V = V 0,64 t 0 Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, CALCULE seu valor de venda daqui a três anos. QUEST 17 (UFPE 01) Em uma aula de Biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por 10 minutos e informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua informação após 1 hora, mas, sabendo que a população de bactérias obedece à P t = P e, Beatriz deduz que encontrará uma potência do valor informado por Antônio. equação ( ) kt 0 Qual é o expoente dessa potência? QUEST 18 (UFPR 01) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de proteção 500 ambiental: P(t) =, sendo t o tempo em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. t 1+ a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos? b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? JUSTIFIQUE sua resposta. QUEST 19 (UFPR 01) Uma quantia inicial de R$ 1 000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log (1,06) 0,084.) QUEST 0 (UFPE 011) Diferentes quantidades de fertilizantes são aplicadas em plantações de cereais com o mesmo número de plantas, e é medido o peso do cereal colhido em cada plantação. Se x kg de fertilizantes são aplicados em uma plantação onde foram colhidas y toneladas (denotadas por t) de cereais, então, r admita que estes valores estejam relacionados por y = k x, com k e r constantes. Se, para x = 1 kg, temos y = 0, t e, para x = 3 kg, temos y = 0,8 t, ENCONTRE o valor de x, em quilogramas, quando y = 1,8 t e ASSINALE a soma dos seus dígitos. QUEST 1 (Unicamp 014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log 3(t + 1), onde o tempo t 0 é dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5m para 1,5m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(3t + ). VERIFIQUE que a diferença g(t) h(t) é uma constante, isto é, não depende de t. Colégio Santa Dorotéia 5

6 QUEST (Unesp 008) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5. log 3 (3.d -0 ' 48 ) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0, e magnitude absoluta - 6,8. DETERMINE a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. QUEST 3 (Unesp 005) CONSIDERE as funções f(x) = log 3 (9x ) e g(x) = log 3 (1/x), definidas para todo x > 0. a) RESOLVA as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = -3. b) MOSTRE que 1 + f(x) + g(x) = 3 + log 3 x. QUEST 4 (Fuvest 015) RESOLVA as inequações: a) 3 x x 6x > 0; 3 b) ( ) log x x 6x. QUEST 5 (UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + )cm. CALCULE o volume do cubo em cm 3. QUEST 6 (Unesp) A figura a seguir mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma medida que as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, traça-se o segmento MN perpendicular à aresta OA. Se 'a' expressa a medida de MN, DETERMINE o volume da pirâmide em função de 'a'. 6 Colégio Santa Dorotéia

7 QUEST 7 (Unicamp) Dado um cubo de aresta a, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo? QUEST 8 (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a seguir gira completamente em torno do eixo 0x. CALCULE o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido. QUEST 9 (Unesp) As arestas dos cubos ABCDEFGH da figura medem 1m. Seja S 1 a parte do cubo que a face AEHD geraria se sofresse uma rotação de 90 em torno do DH até coincidir com DCGH. E seja S a parte do cubo que a face ABFE geraria se sofresse uma rotação de 90 em torno de BF até coincidir com BCGF. Nessas condições: a) DETERMINE o volume de S 1 e o de S. b) DETERMINE o volume de S 1 S. QUEST 30 (UFMT) A região sombreada na figura a seguir sofre uma rotação completa em torno do eixo y. Os pontos O = (0,0); A = (1,1); B = (0,); C = (1,3); D = (0,3) e E = (0,1). OAB é uma semicircunferência com centro em E, conforme mostra a figura a seguir. Sendo V a medida do volume do sólido de revolução gerado, CALCULE o valor de 36/5π.V. Colégio Santa Dorotéia 7

8 GABARITO: Matemática 1) 64kg ) 335 senhores e 5 senhoras 3) Q = 10. 4) 30 cachorros e 7 cercados. 5) n = 34 e s = ) a) C(t) = 30t + 600t + 50 b) 5h. 7) a) 3 b) não existe um valor de x tal que c) ) f 1 ( x) 9x + 1 = 3x 1 x = 1. 9) a) a inequação possui 7 soluções inteiras. b) 10) a) 1 a = 15) S =,6 3 16) R$ 5 600,00 17) 6. 18) a) t = 4 b) ) Aproximadamente 11,9 anos 0) 43kg 1) a) anos b) g(t) h(t) = 1+ h(t) h(t) = 1, para todo t 0. ) 7, km 3) a) Sf = { 3 3 b) 3 + log 3 (x) } e Sg = {7} 4) a) S = { x / < x < 0 ou x > 3} S =, 1 5 1, 0 3, 1+ 5 b) [ [ 5) 64 6) 8a 3 3 7) V = a 3 /6 8) 9 b) 8km 11) 30 horas 9) a) V = V = π/4 m 3 b) ( π/ - 1) m 3 30) 36π/5 =,6 1) a) 1h da segunda-feira. b) 7 horas da terça-feira. 13) a) p = 1 b) 5. 14) ou 6 8 Colégio Santa Dorotéia