log k 1 f(256) log 256 f(256) log 2 f(256) 8 log 64 = 6 k 6 = 64 k = 2 MAT 10A AULA A sequência f(1),f(4),f(16),... fica: A razão é log4.

Transcrição

1 MAT 10A AULA A sequência f(1),f(4),f(16),... fica: log1,log4,log16,... 0,log4,log4,... A razão é log4. ALTERNATIVA B 8.0 Pelo conceito de função inversa (inversão de domínio e imagem), se g(1) = k, então f(k) = 1, assim: log k 1 a k a Logo, g(1) = a. ALTERNATIVA C 8.0 Temos que fazer x = 56. Assim: f(56) log 56 f(56) log f(56) 8 8 ALTERNATIVA C 8.04 log 64 = 6 k 6 = 64 k = k 8.05 S = 5 1 = 5 P = 50

2 x' = 5 e x = 10 R: 10 < x < A 1 = ( ) (log log) A 1 = log = A = (4 ) (log4 log) A = log = 4 A 1 + A = log log 4 A 1 + A = log 4 = log 8.07 C.E x + 1 > 0 x > 1 x > 0 x > log crescente: x + 1 > x x > 8.08 f () = log 1 = 0 b

3 f (5) = log 4 = b b = 4 b = f (19) = log 18 b f (19) = log 7 f (19) = log 0,5 = 1 b b 1 = 1 b = S = log b S = log S = 8.10 x 6 > 0 x > log (x 6) > log 4 x 6 > 16 x > x > 7, 8.11 A (t) = B (t) log ( t) log 4 = log (t + 4)

4 log ( + t) 5 = 4 log (t + 4) ( + t) 5 = (t + 4) 4 ( + t) 5 = 4 (t + ) 4 ( + t) 5 = 16 (t + ) 4 + t = 16 t = log 5 = y ( 5 4 ) y = y = 1 y = 4 f(5) = log log 5 = = S = 1 q p = 0 q p = 0 log p = 1 k = p k log q = q = k q = p k p p 0 = 0 p = 5 p = 4x k + p q = 10 5 = 15

5 8.14 n = log log log n = log ( ) 119 n = log 1 0 > 119 log 1 19 = 119 n > = 16 g () = log 16 a f (g()) = loga 16 a a = C.E x + 5 > x > 5 =,5 x 1 > 0 x > 1 = 0, x 5 log log x 1 x 5 x 1 x 5 6x 0 x 1 4x 7 0 x 1

6 8.17 f(x) = a x a 1 = 1 a = log x = x = A: log (a + ) = a + = 1 10 a = B: log 100 = b b = 10 b =

7 A, B, C alinhados 1, = 0 k 0 1,8 + k + k 98 = 0 k = 94, 1, a) t =0 k 10 Q (0) = log 1 = = 10k k = 1 b) Q (t) = 0 t =? log 10 t 1 = = 10 t 1 t + 1 = 10 t = 9horas 8.0 a) Para a população A, temos: 6 6 A(1) log (1 1) A(1) log A(1) A(1) mil habitantes A(7) log (7 1) A(1) log A(1) A(1) 6 mil habitantes Para a população B, temos: B(1) log (4 1 4) B(1) log B(1) mil habitantes 5 B(7) log (4 7 4) B(7) log B(7) 5 mil habitantes b) Calculando o valor de t no qual as populações se igualam:

8 A(t) B(t) 6 6 log 4t 1 log 1 t log 4t 4 8 log 1 t log 8 6log 1 t log4 logt 1 log 1 t log t 1 log (1t) 1t t anos Pelo item (a), perceba que antes de t =, tem-se B > A e, para t >, tem-se A > B, assim: Para t >, a população de A é maior que a de B. MAT 10A AULA Fonte de som I(W/m²) 14 Turbina 1,0 10² 10 Amplificador de som Triturador de lixo TV 10 1,0, , 10 1) = = 140 db * ) = 10 1 = 10 db * ) = 10 8 = 80 db 4) = 10 j log(, 107) = 10[5 0, + 6] 75 db 9.0 p (15) = in(15 + 1) p (15) = in16 p (15) = in4 p (15) = ,7 p (15) =

9 p (15) = 110 mm 11 cm 9.0 L (x) = 1 (199 [log 10] 651) L (x) = 1 (199, 651) L (x) = 1 (656,7 651) L (x) = 1 5,7 L (x) = 68,4 anos = 10 log i 10 9 = log i = i = 10 log i 10 6 = log i = i i , ,791 logi = log = 0, = t i 100 In = 100 t 0,69 = 100 t

10 t = anos 9.07 log(tgx) log(cotgx) = 0 log(tgx) = log(cotgx) tgx = cotgx tgx = 1 tgx tg x = 1 *tgx > 0 tgx = 1 5 x = ou x = m (t) = y = log y = log log y = 50 0, 11 log y = = 4

11 10 4 = y y = g 9.09 y = log (x + 6) y = x + 1 x = y + 1 y = x 1 x 1 f(x) x1 = 5 10 Log5 x1 = log + log5 + log10 (x 1)log5 = 0,48 + log5 + 1 (x 1) 0,7 = 1,48 + 0,7 0,7x =,88 x = 4,... * log5 = log 10 = 1 0, = 0,7 [4; 5] 9.11 a) 1 = 0,05t 1 = 0,05t t = 0 b) 750 0,05t = 40

12 5 0,05t = log 5 + log 0,05t = 4,6 + 1,6 0,05t = 4, = 0,05t t log (1 cos x) = log 1 cos x = sen x = 1 9 cos = 8 9 1ºQ e ºQ senx = 1 cosx + senx = cos x sen x + senx cosx + senx = = x = 10 0 x = 10 0, + 0 0,47 x = ,1 x = 50, f, f 1

13 y = 1 f f y 1 log y = 1 1 log log y = 1 1 0, = 0,05 log y = log(1,059) y = 1, ,9% Ou seja: 5,9% 9.15 m = t = t 8 log 10 6 = log t 8 6 = t 8 0, 48 = 0,t t = 160 dias 9.16 Q o = Q o l k 1 = i k In 1 = Ini k In = k k = ln 9.17 I VERDADEIRO

14 x log7 x log7 II VERDADEIRO log log7 log7 log7 1 log 7 III VERDADEIRO 4 4 log log 4 log 4log ALTERNATIVA D , = = 10 9 log( 10 9 ) [ 0,48 + 0, 9] (7,6) 9.19 a) 8 4 = log E 7 10 E 1 = log 7 10 E 7 10 = 10 1 Então: E =

15 E = kwh b) 9 = log E' E0 7 = log E' E0 7 E' 10 = 7 10 E1 = E' 7 10 E 7 10 = 10 1,5 9.0 a) m (t) = m o a t 0,m o = m o a , 1 = log a log a = 0, log a = a =

16 m o = mo at 1 = a t log = t log a t = 0, 0, t = t = b) m = m 5 10 o 5 10 a = m o 10 m o m o 10 % 0,001% MAT 10B AULA Não pegar engarrafamento no 1º e º trecho Probabilidade de pegar engarrafamento em pelo menos 1 trecho E1E E1E4 EE5 EE6 (1 0,8)(1 0,5) = 1 1 0,1 = 0,90 (1 0,8)(1 0,) = 0,14 1 0,14 = 0,86 (1 0,7)(1 0,4) = 0,18 1 0,18 = 0,8 (1 0,7)(1 0,6) = 0,1 1 0,1 = 0,88

17 8.0 Total: 1 min 40s 100 s 5s Verde 5s A 70s V P (V) = = Como a probabilidade de comprar C é nula na 1ª. A troca terá que necessariamente pegar A, D ou E, e na segunda pegar C. B 0, A 0, C = 0,06 B 0,1 D 0, C = 0,0 B 0,1 E 0,1 C = 0,01 0,06 + 0,0 + 0,01 = 0, P(B) =

18 1 1 1 = 1 1 = = = Ou Início em 005 = 50 Início 006 = anos

19 1ª ª ª B L _ = 18 B _ L _ B L ªcor repete repete º º º não são insetos A e F

20 ! P 6 6!! x: quantidade de bolas que após as transf. Trocaram de urna após as transf. A: x bolas brancas 10-x bolas azuis B: x bolas azuis 10-x bolas brancas Retirar ao acaso uma bola branca da urna A p = x 10 Retirar ao acaso uma bola azul da urna B q = x I) (V) II) (V) posições

21 4 6 5 = = 1 III) (V) 1 4 = IV) (V) 6 4 ou V) (V) bolas 1B 1V E 1B V E 1B

22 V E 1B 7V E 1B CASO O PÚBLICO GERAL APROVE 1º e º JURADOS APROVAREM p p º e º JURADOS APROVAREM p p º e º JURADOS APROVAREM p p º, º e º JURADOS APROVAREM p p CASO O PÚBLICO GERAL NÃO APROVE 1º e º JURADOS APROVAREM p p º e º JURADOS APROVAREM p p

23 º e º JURADOS APROVAREM p p º, º e º JURADOS APROVAREM p p Somando todas as possibilidades, temos: CASO O PÚBLICO GERAL APROVE = 1 40 CASO O PÚBLICO GERAL NÃO APROVE = A diferença é de 1 0% 40 ALTERNATIVA B 8.19 Tendo como referência as 1 partidas entre eles, concluímos que a probabilidade de uma partida terminar empatada é de 1. Assim, a probabilidade de uma partida não terminar 1 6 empatada é de 5 6. Analisando as possibilidades das partidas, temos: p P ! p 16! 5 p 7 8.0

24 a) Considere a situação limite: lápis de cada cor, ou seja, 9 retiradas. A próxima retirada, com certeza, será 0 4º lápis de uma das cores. Assim, o número mínimo de retiradas para ter certeza de haver 4 lápis de uma das cores é igual a 10. b) p p 95 MAT 10B AULA = 0, , Par =

25 Impar = = 0,5 = 5% 9.08 Se a pessoa escolhida nunca ouviu falar de transgênico, temos três possibilidades Escolheriam alimento transgênico = 15% Escolheriam alimento não transgênico = 70% Não opinaram = 15% Mas como queremos saber a probabilidade de esta pessoa ter escolhido alimento transgênico, apenas nos resta 15% ,75 4 8,5 0,5 45 A AB

26 B B C B C C 9.11 A (,6) (6,) (4,5) (5,4) B (1,4) (4,1) (,) (,) P (D) = 0,06 0, + 0,0 0,5 + 0,05 0, P (D) = 0,01 + 0, ,0105 P (D) = 0,075 P A D = 0,06 0,0 = 0,01 0,01 0,075 = 0, = %

27 9.14 Total 5! = 10 Carlos ª cadeira C Daniel na 4ª cadeira D Carlos e Daniel C D = 0,5 Probabilidade de Carlos na ª cadeira e Daniel na 4ª ,5 = = 0,5 = 65% 9.15 Como a face observada da moeda é coroa, podemos descartar as 5 moedas com duas caras. Então nos resta apenas 5 moedas do tipo coroa e coroa + 10 do tipo cara e coroa total de 5. Destas 5 somente 5 do tipo coroa coroa, então temos: ,68 = 68%

28 % H 0%F 60% m 50%F P (F) = 0, 0,4 + 0,5 0,6 P (F) = 0,1 + 0, P (F) = 0,4 P m F = 0,6 0,5 0,0 0 0, , ) Proficientes 18% 75% classificados ) Não proficientes 8% 7% classificados P (1) = 0,18 0,75 = 0,15 1,5% P () = 0,8 0,07 = 0,0574 5,74% 1,5 1,5 1,5 5, 74 19, 4 0,70 = a) p = (sexo masculino) E (resolver na 1ª) OU (sexo feminino) E (resolver na 1ª) p = p = 57%

29 b) p p F para F (E) F para T = F para T (E) T para T = F para A (E) A para T = 76 Total = 7,6% MAT 10C AULA x 0 0 y 0 ALTERNATIVA A 1 0 y x 0 y x d 0 0 d 1 ALTERNATIVA C 8.0

30 Se o raio é de 1,5 m, a distância de P até a borda da mesa é de 0,5 metros. ALTERNATIVA A 8.04 (F) x y x 4y 4 0 ( ) ().( ) 4.() INTERIOR (V) x y x 4y 4 0 (1) (6).(1) 4.(6) EXTERIOR (F) x y x 4y 4 0 ( 1) ( 1).( 1) 4.(1) INTERIOR (F) x y x 4y 4 0 (5) (0).(5) 4.(0) EXTERIOR (F) x y x 4y 4 0 (0) (1).(0) 4.(1) INTERIOR k = 0 k =

31 1 k 1 > k + k + 1 > 5 k + k > 0 k < ou k > d PC = d PC = d PC = 9 1 1

32 8.10 x + y 4x 8y + 4 = Se a circunferência é tangente ao eixo das abscissas no ponto (,0), para ser tangente também ao eixo das ordenadas, o ponto será (0,) ou (0,-) e, respectivamente, os centros serão (,) ou (, -). Assim, como nas duas possibilidades o raio é, as opções de equações são: x (y ) ou x (y ) ALTERNATIVA D 8.1

33 Se um triângulo retângulo está inscrito em uma circunferência, a hipotenusa do triângulo coincide com o diâmetro da circunferência, ou seja, o raio da circunferência mede 5 e o centro da circunferência é o ponto médio entre (0,6) e (8,0), ou seja, o centro é (4,). A equação da circunferência é: x 4 y 5 ALTERNATIVA A 8.1 Uma circunferência de raio e tangente aos dois eixos coordenados, possui 4 possibilidades de coordenadas do centro, que são: (,), (-,), (-,-) e (,-). As equações, respectivamente, são: x y ou x y ou x y ou x y ALTERNATIVA E 8.14 Se o centro pertence ao primeiro quadrante e à bissetriz ímpar, vamos considerar as coordenadas sendo (k,k) para k > 0. Assim, tendo o valor do raio, podemos generalizar a equação como:

34 x k (y k) ( ) x k (y k) 8 Dentre as possibilidades para os valores de k mostradas nas alternativas, temos: k x y 8 ALTERNATIVA A 8.15 As possibilidades para as coordenadas do centro da circunferência são (k, 0) para k > 0. Assim, generalizando a equação, temos: x k (y 0) 4 x k y 16 Dentre as possibilidades para os valores de k mostradas nas alternativas, temos: k 4 x 4 y 16 ALTERNATIVA A 8.16 Se um triângulo retângulo está inscrito em uma circunferência, a hipotenusa do triângulo coincide com o diâmetro da circunferência, ou seja, o raio da circunferência mede 1 e o centro da circunferência é o ponto médio entre (0,10) e (4,0), ou seja, o centro é (1,5). A equação da circunferência é: x 1 y 5 1 x 1 y ALTERNATIVA A

35 8.17 As extremidades do diâmetro é A(1,1) e B(7,9), então, o centro é o ponto médio entre A e B e o raio é a metade da distância entre A e B. Assim: Centro: (4, 5) Raio = Equação: x 4 y 5 5 x 4 y 5 5 ALTERNATIVA A 8.18 O centro da circunferência também será a origem e o raio será a distância da Origem (0,0) ao vértice (,4), assim: Raio = Equação: x y 5 x 0 y 0 5 ALTERNATIVA B 8.19

36 O quadrado tem lado medindo e, consequentemente, o raio da circunferência é igual a 1. Sendo o centro da circunferência também na origem (0,0), logo: Equação: x y 1 x 0 y Se a reta pedida contém o diâmetro, então, ela passa pelo centro da circunferência que possui coordenadas (-1,). A reta pedida é paralela à reta x + y 1 = 0 que possui coeficiente angular igual a seja, a reta pedida também terá o mesmo coeficiente angular. Assim: y y m(x x ) 0 0 y (x 1) y 9 x x y 7 0, ou ALTERNATIVA C 8.1 Se a reta pedida contém o diâmetro, então, ela passa pelo centro da circunferência que possui coordenadas (-,1). A reta pedida é perpendicular à reta 4x + y 1 = 0 que possui coeficiente angular igual a, ou seja, a reta pedida terá o coeficiente angular igual a 4. Assim: 4

37 y y m(x x ) 0 0 y 1 (x ) 4 4y 4 x 6 x 4y 10 0 ALTERNATIVA D 8. A circunferência possui centro na origem e raio igual a 6,4. Assim, poderemos analisar as seguintes coordenadas inteiras quanto a serem INTERIORES à circunferência: (-,0) / (-,1) / (-,) / (-,-1) / (-,-) (-1,0) / (-1,1) / (-1,) / (-1,-1) / (-1,-) (0,0) / (0,1) / (0,) / (0,-1) / (0,-) (1,0) / (1,1) / (1,) / (1,-1) / (1,-) (,0) / (,1) / (,) / (,-1) / (,-) Ao substituir cada um dos pontos na equação, para ser INTERIOR, o primeiro membro da equação (x + y ) precisa ser MENOR que 6. Assim, teremos como pontos interiores, apenas: (-,0) / (-,1) / (-,-1) (-1,0) / (-1,1) / (-1,) / (-1,-1) / (-1,-) (0,0) / (0,1) / (0,) / (0,-1) / (0,-) (1,0) / (1,1) / (1,) / (1,-1) / (1,-) (,0) / (,1) / (,-1) 1 pontos ALTERNATIVA D 8. O ponto de ordenada máxima de uma circunferência é obtido usando a mesma abscissa do centro e adicionando o valor do raio à ordenada do centro, assim: Centro = (-,-5) Raio: 5 8 R R 1

38 O ponto de ordenada máxima será (-, ) = (-, -4). ALTERNATIVA E 8.4 a) Se a reta pedida representa o diâmetro, então ela passa pelo centro da circunferência cujas coordenadas são (,0). A reta pedida é paralela à reta x + y + 1 = 0 que possui coeficiente angular igual a seja, a reta pedida também possui o mesmo coeficiente angular. Assim: y y m(x x ) 0 0 y 0 x y x 6 x y 6 0 b) Cálculo das coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eixo das abscissas (y = 0):, ou x 0 6x 16 0 x 8 (8,0) x 6x 16 0 x (,0) Cálculo das coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eixo das ordenadas (x = 0): 0 y y 4 (0,4) y 16 0 y 4 (0, 4) Cálculo da área do quadrilátero: S S 8 8 S a) y x região superior da bissetriz ímpar x y 4 região interna de circunferência de raio e centro na origem

39 A interseção entre as regiões é um semicírculo de raio. b) 1 S S MAT 10C AULA Da equação Centro (0,) Raio = x (y ) 9, temos: A reta tem equação geral igual a x y 1 = 0. Julgando cada afirmativa, temos: (V) 0 1 D D R 1 ( 1) Assim, a reta é SECANTE à circunferência, ou seja, possuem entre si dois pontos de intersecção. (V) Os coeficientes angulares das duas retas são iguais, ou seja, são paralelas. Substituindo o centro da circunferência na reta, temos:

40 = 0 + = (V) Monta-se o sistema: y x 1 x y 9 Substituindo, temos: x x 1 9 x x 6x 9 9 x 0 0, 1 x 6x 0 x (,) (V) A equação da reta que possui a bissetriz dos quadrantes ímpares é y = x, ou seja, x y = 0. Calculando a distância da reta ao centro da circunferência, temos: D 0 D 1 ( 1) (V) A corda é determinada pelos pontos de intersecção (0,-1) e (,) e seu comprimento é a distância entre esses pontos. Assim: d 0 1 d 9.0

41 9.0 Da equação Centro (0,) Raio = x (y ) 9, temos: A reta tem equação geral igual a x y 1 = 0. Cálculo da distância: 0 1 D D R 1 ( 1) 9.04 (F) Centro: (,) Raio: ( 4) R R 17 Distância entre o centro e a reta: D. 4. D 4 R 4 SECANTE (V)

42 Centro: (0,0) Raio: R =1 Distância entre o centro e a reta: D 0 D R 1 0 EXTERIOR (F) Centro: (0,0) Raio: R = Distância entre o centro e a reta: D 0 D R 0 1 TANGENTE (F) Centro: (1,0) Raio: R = Equação da reta: x y = 0 Distância entre o centro e a reta: D 1 0 D 1 R 1 ( 1) SECANTE (V) Centro: (,) Raio: R = Equação da reta: x + y = 0 Distância entre o centro e a reta:

43 D D R 1 1 EXTERNA 9.05 Centro: (0,5) Raio: 0 5 ( 5) R R 0 Distância entre o centro e a reta: D 0.5 D 5 R 1 ( ) SECANTE ALTERNATIVA B 9.06 Resolvendo o sistema a seguir, temos: x 1 y 1 9 x y 0 y 1 y y y y y 1 9 y 4y SECANTE a) FALSO b) FALSO c) FALSO - (1,1) não pertence à reta e nem à circunferência d) VERDADEIRO (-1,1) pertence à reta e é o centro da circunferência. ALTERNATIVA D 9.07 Se a reta é tangente, o raio da circunferência é a distância do centro à reta. Assim: R R 8 15

44 Diâmetro = R Diâmetro = 4 ALTERNATIVA D 9.08 Se as duas retas são paralelas e também tangentes à uma circunferência, a distância entre elas é o diâmetro da circunferência. Assim: Raio = 5 Distância = Diâmetro = R = 10. ALTERNATIVA E 9.09 Como a reta é tangente, o raio é a distância do centro à reta, assim: R R 5 1 ALTERNATIVA B 9.10 A(s) reta(s) tem equação geral igual a : x k = 0. Como é tangente á circunferência, a distância do centro da circunferência à reta será igual ao raio (Centro: (,) e Raio: 1), assim: 1 k 1 0 k 1 k 1 k 1 k 1 k ALTERNATIVA D 9.11 Para a reta ser tangente, o raio será a distância do centro á reta. Assim: R R 5 1 ( ) ALTERNATIVA B

45 9.1 ALTERNATIVA D 9.1 A bissetriz ímpar tem equação x y = 0. Em cada alternativa é necessário verificar se a distância da reta ao centro da circunferência é igual ao raio da mesma. a) C(0,0) e R = D 0 0 D 0 R 1 ( 1) b) C(0,0) e R = D 0 0 D 0 R 1 ( 1) c) C(,0) e R = D 0 D R 1 ( 1) d) C(,) e R = D D 0 R 1 ( 1) e) C(,-) e R = D D R 1 ( 1) ALTERNATIVA C

46 9.14 O eixo das abscissas é representado por y = 0. Substituindo na equação da circunferência, temos: x 0 10x x x 10x 16 0 x 8 ALTERNATIVA E 9.15 O eixo das abscissas é representado por y = 0. Substituindo na equação da circunferência, temos: x 0 6x x 7 (7,0) x 6x 7 0 x 1 ( 1,0) O comprimento da corda é a distância entre os pontos encontrados e, por pertencerem ao eixo das abscissas, essa distância é a diferença entre as abscissas dos pontos, ou seja, [7 (-1)] = 8. ALTERNATIVA E 9.16 Cálculo das coordenadas do vértice de y x 6x 8 : ( 6) xv xv.1 yv 6. 8 yv 1 Cálculo dos pontos que a parábola intercepta o eixo das abscissas, ou seja, as raízes da função: x,0 y x 6x 8 x 4 4,0 O vértice é equidistante das raízes, e sendo a circunferência com centro no vértice passando pelas raízes, temos que o raio da circunferência é a distância do vértice a uma das raízes, ou seja: R 1 0 R A equação da circunferência fica:

47 x y 1 x y 1 ALTERNATIVA B 9.17 Temos que: k 1 5 k k k k k 5 ALTERNATIVA C 9.18

48 1 4.1.k 4 ( ) 1 4 k 5 k 4 k 5 4 k 5 k Consideraremos o valor de k = (positivo), assim, a soma das coordenadas do centro será: 1 4 ALTERNATIVA C 9.19 I FALSO x y 6y 7 0 Centro: C (0, ) 0 7 R R II VERDADEIRO x y 6y 7 0 Centro: C (0, ) III VERDADEIRO Sendo o ponto P pertencente à reta e à circunferência, precisamos verificar se a reta é tangente ou secante, assim: D 0 1 D R 1 ( 1)

49 A reta é tangente no ponto P(1,) ALTERNATIVA A 9.0 I VERDADEIRO 1. S S 1 u.a II FALSO Nenhum dos vértices do triângulo (-1,0), (0,) e (0,0) pertence á circunferência. III FALSO x y x 4y 0 C(-1,) ( 1) 0 R R 5 Cálculo da distância entre o centro e a reta:.( 1) 5 D D R ( ) 1 5 SECANTE IV VERDADEIRO Coeficiente angular de y x = 0 é igual a ; Coeficiente angular de y + x +10 =0 é igual a -1/; As retas são perpendiculares. ALTERNATIVA C

50 FALSO A e B estão em semiplanos distintos;. VERDADEIRO Coeficiente angular de r é igual a 4 Coeficiente angular de s é igual a Retas perpendiculares.. VERDADEIRO Pelo gráfico, a reta r é secante à circunferência. 4. FALSO O semiplano que contém o ponto C obedece à x 4y 1 ALTERNATIVA C 9.

51 x y 4x 0 C(,0) 0 R R 1 Como a reta r passa pela origem, podemos dizer que a equação é r: y = kx, ou seja, kx y = 0. A distância do centro (0,) até a reta r é igual a 1, assim: 1 k.0 k ( 1) k 1 k k 4 k 1 Como a reta s tem a mesma proposta de equação s: y = mx, ou seja, mx y = 0 e tem também a mesma distância do centro (0,), os valores encontrados para m serão os mesmos. Logo, podemos dizer que: r: y x s: y x Sendo o coeficiente angular de uma reta a tangente da inclinação da reta, temos que: o r 60 s 10 o ` O ângulo POR solicitado é a diferença entre as inclinações, ou seja:

52 s o o o r ALTERNATIVA D 9. Resolvendo o sistema, temos: x y x y 0 x y 0 y x x (x ) x (x ) 0 x x 4x 4 x x 4 0 x 8x 6 0 x 4x 0 As abscissas dos pontos de intersecção são as soluções da equação quadrática encontrada. Está sendo solicitada a soma dessas abscissas, ou seja, pelas Relações de Girardi, temos que a soma é igual a 4. ALTERNATIVA C 9.4 a) (x 4) (y ) 5 (x 4) (y ) 5 b) O eixo Oy é definido por x = 0. Substituindo, temos: 0 4 (y ) 5 16 (y ) 5 (y ) 9 y y 6 (0,6) ou y y 0 (0,0) c) Toda reta que passa pelo ponto (0,6) tem equação:

53 y y m(x x ) 0 0 y 6 m(x 0) mx y 6 0 Para ser tangente à circunferência, a distância da reta ao centro tem que ser igual ao raio, ou seja: 5 m.4 6 m ( 1) 5 m 1 4m 5 m 1 4m 5 m 1 16m 4m 9 9m 4m m 18 4 m Logo, a reta é: 4 x y 6 0 4x y 18 0 MAT 10D AULA A projeção no solo da trajetória do motociclista no globo da morte será uma reta. 8.0 V cone = R h R Volume de meia esfera. V o = 1 4R R

54 V boia = R R = R + 1 R V boia = R V boia = 7 8 R R = = 100,48 100,48 1 = 4, = 1 + x 169 = x x = 5 x = a) FALSO Há outras circunferências além da máxima. b) FALSO Não necessariamente a circunferência máxima. c) VERDADEIRO d) FALSO Serão concêntricas mas não necessariamente coplanares. e) FALSO Planos secantes mas não necessariamente perpendiculares Pontos equidistantes de P determinam no espaço uma superfície esférica. ALTERNATIVA D

55 8.07 R + 16 = 64 R = 48 R = I VERDADEIRO II VERDADEIRO Será sempre um retângulo podendo ter as particularidades de um quadrado. III VERDADEIRO Condição de tangência. ALTERNATIVA E R = 4 R = 81 R = 9 x + 49 = 65 x = 576 x = I FALSO km km 1 x m 0,005m 5mm 10 m x 00 II VERDADEIRO

56 6 000 km km 1 x m 0,005m 5mm 10 m x 00 III FALSO km km x m 0,00m mm 6 m x IV VERDADEIRO km km x m 0,00m mm 6 m x ALTERNATIVA C 8.11 V T = 4 (4 + 8 ) V T = 4 ( ) V T = 768 V cil = R h = 768 R 1 = 768 R = 64 R = V esfera = V V 1 4 R = r h r h 1 4 R = r (h h 1 ) 4 R = (h 1 + 1, h 1 ) R = 9 1, 4 = 8,1 R 8 R = cm

57 8.1 V cil = 0, 1 = 0,86 V esf = 4 0, = 0,1104 0,9564 m = 95,64 L 8.14 Vesf = 4 4 Vesf = = 1 L x 4 = x = PA: a 1 = R 18 ; r = R 45 ; Sn = R a 1 an n Sn = R R R R = 1 n n 1 4 = n 1 1 n n + 4n 60 = 0

58 n = 4 16 n = 6 e n = x x = x = 18 = = 90 = 8, sen0 o = r 676 r = 188 L = r L = L = 0,5 188 L = sen0 o = r r = 00 A B C = AB:

59 o 60 R o 60 x x = 1 6 R x = R = a) S lr = = 400 cm S lo = 4 = 4 4 = 48 cm b) V R = = cm V E = 4 VE = 4 8 = cm V L = V R 90 V E = = 6 10 cm 8.0 Como o volume da esfera é menor que o do cone, o copo não ficará totalmente cheio. Vcone = Rh = 1 = 9 cm Vbola = 4 R = 4 = 6 cm

60 MAT 10D AULA Cilindro: O retângulo representa a área lateral do cilindro. Os círculos da primeira figura representam as áreas das bases do cilindro. Prisma de base pentagonal: os pentágonos representam as áreas das bases do prisma, a parte retangular dividida em 5 partes, representa a área lateral. Pirâmide. Ao dobrar os triângulos externos, forma-se uma pirâmide de base triangular 9.0 O octaedro regular tem por característica poder ser definido como a junção pelas bases de duas pirâmides quadrangulares regulares iguais de arestas iguais e isso acontece para qualquer posição que for colocado. Assim: 01 VERDADEIRO ABFD é um quadrado. 0 VERDADEIRO BCF é um triângulo equilátero. 04 FALSO ABFD é um quadrado. 08 VERDADEIRO AF é diagonal do quadrado ABFD 16 VERDADEIRO CE é diagonal do quadrado BCDE SOMA = 7

61 9.0 c) a aresta passa: 0,80a V = a V = (0,8a) = 0,51a = 51,% V V 48,8% V ' 9.04 H = a H = 6 cm 9.05 S = 8 8 a 4 = 8 a = 4 a = 9.06 R = H 4

62 = a = a 6 a = a = 4 S = a S = 16 S = a 4 a 9.08 a = 16 a = = I) (V) F = = 9

63 A = = 17 V + F = A + V = V = 10 II) (F) St = 4 4 III)(V) IV) (V) ) (V) V = = 6 0) (F) 04) (F) 08) (V) 16) (V) St = 6 = tg 0º = x a

64 x = a Prisma V = Sb h V = 1 a a a V = a AC = BC = 10 x + 5 = 10 x = 75 x = 5 V = V = ) (F)

65 V 1 = (r) h V 1 = 1r h V = r h V = r h V = 1 r h V 1 = = 4 V = = 40 0) (F) 1,16 4 = 0,005 0,96 40 = 0,004 04) (F) Vt = 4 R Vc = 1 R R 08) (V) 10 V = 1000 V = ) (V) log9 log9 9 9 = Octaedro

66 y = lado do octaedro y = x V = x 1 x 4 x 8 6 St = 8 x 4 = x 4 = x x V 6 1 x cm x 6 St ) (F)

67 H = a 6 H = a 6 H = a 1 H = a 0) (V) a V = a 4 a ) (V) a Sb = a 4 08) (F) St = 6 a St = a 16) (V) 9.16 ( 1 a h a h + 1 a h + 1 a h 4 = 1 a H) 1 a h 1 + h + h + h 4 = H 9.17

68 x = a d = a a 4 4 d a 4 d = a 9.18 Cubo I a Cubo II b S 1 = 6 a d 1 = a S = 6 b d = b = S 1 S = 54 6a 6b = 54 a b = 9 a = 9 a = 1 a = d 1 = d 1 = 6 d = b = b = d1 6 = d 9.19

69 a) x = 5 cm b) V = a cm 9.0 Exercício resolvido no material MAT 10E AULA x 5x + 6 = 0 x = e x = P = 6 1 = 6 unidades cúbicas 8.0 (6 + + ) = unidades de área 8.0 () 8.04 b = 0

70 S = 4 4 S = x + 6x + 8 = = Raízes: x a, x, x + a Soma: x = 6 Subtração na equação: x = (RAIZ) k 10 = 0 k = 6 k =

71 S = = S = 6 = = p + q P = 7 = p q (p + q) = () p + pq + q = 4 p + q = 4 14 = x 4 x 9x x + 7 x + x + 1 Resto = 4x + 1 = 0 x = Quociente: x x 5 p = 5

72 5 () = i outra raiz S = 1 a + i + 1 i + x = 1 x = (ºraiz) P = (1 + i)(1 i) P = (1 + 4) P = x1 + x = 4 x =? S = x = 0 x = 4 (4) 10 (4) + m = 0 m = m = Raízes: x a, x, a + a S = x = 9 x = (raiz) 9 + k + 1 = 0 k = k = 11 log ( 11) log 10 = 10

73 8.14 4ª raiz =? * S = x = 0 x = 6 * P = 6 1 = p p = 6 * (6) + + (6) + (6) = m m = m = 5 m + p = V = produto das raízes V = 0 1 V = 0 cm St = (produto duas a duas) St = 1 1 St = 6 cm 8.16 a b c = = a + b + c = 0 = 15 a b c abc

74 log a b c abc log 15 log 10 = x1 + x = 6 x1 = par e x = ímpar x1 e x nº íntimo e primo x1 = e x = 61 então: x1 x = x 10x x + 0 = 0 a + b + c = 10 a b c = 0 a bc + ab c + abc abc(a + b + c) 0 10 = Raízes: x a, x, x + a S = x = x = 1 a) 1 + m = 0 m = b) x x = 0 x = 4 8 x =

75 x = 1 {1; 1 + ; 1 } 8.0 Raízes: x q, x, x q Soma: x q + x + x q = 7 x( 1 q q) = 7 Produto: x q x xq = x = k Produto a x q x + x q xq + x xq = 8 x ( 1 q q) = 8 x 7 = 8 x = 4 k = (4) = 64

76 MAT 10E AULA As raízes são os pontos que o gráfico do polinômio intercepta o eixo x, assim, as raízes são: - 1, 1, ALTERNATIVA D 9.0 P(x) k(x x )(x x )(x x ) 1 P(x) k(x 1)(x 1)(x ) ALTERNATIVA A 9.0 Se i é raiz, então o conjugado i também é raiz, assim, a equação terá pelo menos as raízes, i e -i. O grau mínimo será. ALTERNATIVA C 9.04 A equação terá pelo menos as raízes: x x 4 i 1 x x 4 i 4 x x i 5 6 x x i 7 8 8º Grau ALTERNATIVA E 9.05 O polinômio terá pelo menos as raízes:

77 x 1i 1 x 1i x 5 Grau Mínimo = ALTERNATIVA B 9.06 Prováveis Raízes Racionais: PRR : 1,,, 5 15 Nas alternativas, a única dessas que é citada é 1 que substituímos para tirar a prova: Comprovado! ALTERNATIVA E 9.07 Como é do quarto grau e duas raízes são imaginárias não conjugadas uma da outra, então, as outras duas raízes são as conjugadas das raízes dadas. Assim: 1 + i e i ALTERNATIVA E 9.08 MÍNIMO = 4 RAÍZES MÁXIMO = 7 RAÍZES 4n 7 ALTERNATIVA B

78 9.09 Como o termo independente é 0, uma das outras raízes será 0. Assim: x 0 x Duas irracionais e uma racional. ALTERNATIVA E 9.10 a) VERDADEIRO Raízes imaginárias são sempre em quantidade par. b) FALSO não procede c) FALSO não procede d) FALSO não procede ALTERNATIVA A 9.11 Raízes: x i 1 x i x 1i x 1i x 4 5 ALTERNATIVA C 9.10 A) Correta. Propriedade: Se uma equação algébrica tem grau ímpar, então ela admite pelo menos uma raiz real. As demais alternativas não satisfazem o teorema das raízes imaginárias nem as propriedades abaixo:

79 Se uma raiz imaginária é de multiplicidade m, sua conjugada também terá o mesmo grau de multiplicidade; O número de raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficientes reais é necessariamente par; 9.11 Do teorema das raízes imaginárias (Se o número z = a + bi, com a equação polinomial de coeficientes reais, então z = a bi também é raiz dessa equação), decorre que i e 1 i também são raízes. Como a equação tem grau ímpar, a outra raiz é real. 9.1 i i + x 1 + x = x 1 + x = i(i) x 1 x = x 1 x = 9.1 P (x) = 1(x 1)(x )(x ) x x 1x + 1 x x i + i + x = 6 x = i + i = a a = 1 (1)(i) + (1)(i) + (i)(i) = b i i + 4 = b b = 4

80 (1) (i)(i) = c 4i = c c = 4 a + b + c + 1 = log a = b = a b 1 log b a,b,a PA (1, b, a) b 1 = a b a b + 1 = 0 b b + 1 = x + x 1 = 0 = = 5 x = 1, x = St = c 7 x a V = d a V = 7 1 = 7

81 9.18 Tendo que x 1.x 1 e utilizando as Relações de Girardi, podemos fazer: (x.x ).x 1 1.x x 4 1 x1 x x 1 x1 x ( ) 5 x1x k x1x x1x xx k 1 x (x1 x ) 5 k 1 k 8 ALTERNATIVA A 9.19 x + x + 1 = 0 1 x 1 ou x Maior raiz real = Pela Relação de Girardi, temos: 11 x x 5 Usando a forma fatorada, encontramos:

82 1(x 1)(x 1)(x 5) 0 (x x 1)(x 5) 0 x 5x x 10x x 5 0 x x 9x 5 0 p 9 e q 5