Estrutura de uma avião

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1 Etrutura de uma avião 1. Etrutura celulare de grande rigide ujeita a fleão, corte, torção e carregamento aiai. Fuelagem de ecçõe monocelulare fechada Aa e cauda multicelulare. Etrutura cuja ecçõe ervem para aumentar a rigide do revetimento fino, do componente celulare Perfi em T, Z,, Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 1

2 Etrutura de uma avião 1. Etrutura chamada de viga de ecção aberta. Etrutura chamada de viga de ecção fechada. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina

3 Fleão de viga aberta e fechada Numa viga ujeita à fleão, o valor da tenão normal num ponto depende: Da poição dee memo ponto Do carregamento aplicado Da propriedade geométrica da referida ecção. Logo deenvolvee a teoria para uma viga de ecção tranveral arbitrária. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 3

4 Fleão de viga aberta e fechada Convenção e notação de inai Momento Flectore poitivo e cauam tracção no primeiro quadrante Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 4

5 Fleão de viga aberta e fechada Decompoição de Momento Flectore A) Componente M Poitiva B) Componente M Negativa Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 5

6 Fleão de viga aberta e fechada Ditribuição da tenão normal devido á fleão Tenão num Ponto: Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 6 Ee Viga é flectida com um raio de curvatura r e r

7 Fleão de viga aberta e fechada Ditribuição da tenão normal devido á fleão Tenão num Ponto: E r Momento flectore puro da À A A da Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 7

8 Fleão de viga aberta e fechada nclinação da linha neutra relativamente a C é a a + a E a + a r M M A A da Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 8

9 Fleão de viga aberta e fechada Finalmente obtéme M M ou, na forma matricial ÑM Ò ÓM E E á â ã ina r ina r + + E Î Ï r Ð E E coa r coa r Þ ß Ñ ina á Ò âã à Ó coa, Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 9

10 Fleão de viga aberta e fechada Reformulando E Ñin a á Ò â r Ócoa ã Î Ð Ï Þ ß à 1 ÑM Ò ÓM á â ã Ë Ì M E ( in a + co a ) r M Û Ü Ý M M + Ì Ì Í Ë Ì Í Ü Û Ý Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 10

11 Fleão de viga aberta e fechada A última epreão evidencia a dependência com e. Podee evidenciar a dependência com M e M ( ) ( ) M + M Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 11

12 Fleão de viga aberta e fechada Poição da linha neutra Na Linha Neutra o eforço aial é nulo 0 Ë Ì Ì Í M M Û Ü Ü Ý LN + Ë Ì Ì Í M M Û Ü Ü Ý LN tana LN LN M M M M Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 1

13 Fleão de viga aberta e fechada Uma viga com uma ecção tranveral como a repreentada na é ujeita a um momento flector de 1500 Nm num plano vertical. Calcule a tenão normal máima devido á fleão e o repectivo ponto (,). Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 13

14 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 14 ntenidade do carregamento, relaçõe entre momento flector e eforço tranvero, cao geral S w S w S S F 0 0 d d à + Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + à Ê

15 ntenidade do carregamento, relaçõe entre momento flector e eforço tranvero, cao geral Do omatório do momento em torno do ponto à direita ficae com Ë Ì Í M M Û d + d Ü Ý ( S ) d + w ( d ) ( ) M 0 Depreando o termo de egunda ordem S M Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 15

16 ntenidade do carregamento, relaçõe entre momento flector e eforço tranvero, cao geral Podee combinar a epreõe anteriore em uma única epreão S M w Do memo modo podereia obter: w Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 16 M S

17 Defleão devido à fleão Numa ecção da viga aimétrica a defleão normal à linha neutra é Da aproimação uual para a curvatura teme 1 r Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 17 d d

18 Defleão devido à fleão A componente u e v de etão na direcçõe negativa do eio e repectivamente: u in a, v coa Diferenciando dua vee em relação a e depoi ubtituindo ina r d d u, coa r d d v Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 18

19 Relembrando que: Podee obter Defleão devido à fleão E Ñin a á Ò â r Ócoa ã Î Ð Ï Ñu á Ò â Óv ã 1 E Î Ï Ð Þ ß à Þ ß à 1 1 ÑM Ò ÓM ÑM Ò ÓM á â ã á â ã Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 19

20 Defleão devido à fleão Reolvendo em ordem ao momento: ÑM E u E v Ò ÓÔ M E u E v Se M0, M produ defleõe no plano e ou eja uma viga aimétrica deflecte verticalmente e horiontalmente memo que o carregamento eja omente vertical. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 0

21 Defleão devido à fleão Determine a componente horiontal e vertical da defleão na ponta da viga encatrada O egundo momento de área da ua ecção aimétrica ão,,. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 1

22 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina A epeura t da parede fina é aumida com endo pequena comparada com a dimenõe da ecção tranveral. A tenõe podem er vita com contante ao longo da epeura. Depreae t, t 3... no cálculo da propriedade da ecção. Repreentae a ecção atravé da ua linha central. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina

23 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina X>eio de imetria, pelo que 0 [ ( h t / )] 3 Ë bt Û Ì + bth Ü + t Í 1 Ý 1 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 3 3

24 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina Epandindo a epreão anterior: 3 bt t bth h h t h t Ë + t 3 Û Ì Í Ý Ü + Î Ë 3 3 Ï Ì Í Ð 4 8 ÛÞ Üß Ýà Pode er reduida, depreando o termo de egunda e terceira ordem de t 3 Seguireia o memo bth + ( ) h t 1 proceo para Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 4

25 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina a t in b 1 3 a / em relação ao eio horiontal em torno do centróide: a / ( ) in d t d t b 0 E podee obter Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina a t co b 1

26 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina O produto de inércia é dado por: a / a / 0 0 ( cob )( in )d td t b 3 a t in b 4 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 6

27 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina p 0 t pr 0 t d ( r coq ) rdq p r t 3 0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 7

28 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina Determine a ditribuição tenão normal na ecção Z de parede fina produida por um momento flector poitivo M Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 8

29 Aproimaçõe a ecçõe de parede fina Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 9

30 Aplicação da teoria de fleão A epreõe obtido na teoria decrita ão baeada na hipótee: A viga é uniforme Secção tranveral homogénea Secçõe plana permanecem plana e perpendiculare apó a fleão Só válida quando o momento flectore M e M ão contante ao longo da viga. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 30

31 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina Neta ecção etabelecee a equaçõe e epreõe para uma análie: Viga de ecção aberta com carga de corte Viga de ecção fechada com carga de corte e momento torionai. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 31

32 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina Aumireá que : O efeito do contrangimento aiai ão depreávei; A tenõe de corte normai à uperfície da viga ão depreávei vito erem nula em cada face e a parede ão fina; Tenõe de corte e normai actuando em plano normai à uperfície da viga ão contante ao longo da epeura; A viga ão de ecçõe uniforme. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 3

33 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina São depreado o termo de egunda ordem relacionado com a epeura t no cálculo da contante da ecçõe O parâmetro é a ditância medida de uma origem conveniente da ecção tranveral. A variação de t ao longo de é pequena t é contante ao longo do comprimento d. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 33

34 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina devido a um momento flector ou pela acção de carga tangenciai. t devido a carga de corte ou de torção. devido a preõe interna. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 34

35 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina fluo de corte ( q ), repreentando força de corte por unidade de comprimento q t t Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 35

36 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 36 Equaçõe de equilíbrio reultante depreando força volúmica; Segundo a direcção Segundo a direcção Ã Ã Ü Ý Û Ì Í Ë + + Ü Ý Û Ì Í Ë + t q q q q t t d d d d d d 0 + t q Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina

37 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina v t é o delocamento tangencial no plano e é poitivo no entido do crecimento de v n é o delocamento normal no plano e é poitivo no entido de. w é o delocamento aial e é poitivo na entido de. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 37

38 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina Da equaçõe da elaticidade teme : w e É poível derivar igualmente uma epreão para a etenão e em termo do delocamento tangenciai e radiai bem como da curvatura 1/ da parede da viga. Porém uma epreão implificada poderá er vt vn e + r Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 38

39 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 39 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina v w v w t t + Ã + + g d d d d f f g que no limite 1

40 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina Simplificação: Durante qualquer delocamento a forma da ecção tranveral da viga é mantida por um itema de diafragma epaçado entre i, rígido no eu plano ma fleívei no plano normal. Sendo aim não haverá reitência ao delocamento aial w e a ecção movee como um corpo rígido no eu plano. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 40

41 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina O delocamento em cada ponto definido pela tranlaçõe u e v e uma rotação q Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 41

42 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina Simplificaçõe: nereme dentro dum conteto fora do qual não ão válida, conteto ete que e inere na etrutura normal de um avião. A etrutura de caca fina caracterítica da aeronave, ão reforçada por nervura ou quadro poicionado em intervalo frequente ao longo de todo o comprimento deta. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 4

43 Epreõe gerai para,, e w para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina O delocamento v t de qualquer ponto N na parede de qualquer tipo de perfil : v t pq + u co + v in com u, v, q funçõe apena de E podee obter v t dq p d + du d co + dv d in Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 43

44 No cao de torção pura é poivel decrever o delocamento como uma rotação pura em torno de um ponto R( R, R )Centro de Torção. v t p r q p in p co r E podee ecrever v pq q in + t Epreõe gerai para HZ para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina r r r r q co Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 44

45 Obtéme uma egunda equação para v t Epreõe gerai para HZ para viga de ecção unicelular aberta e fechada e parede fina dq p d R dq in + d Da igualdade da dua equaçõe obtéme a coordenada do centro de rotação, centre of twit, ão: dv du R d dq d e R dq co d dq d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 45 R d dv t d

46 Solicitaçõe de corte de viga de ecção aberta Viga de ecção aberta arbitrária, uporta eforço tranvero S e S de modo a não criar torção da ecção tranveral da viga. Para que ito eja válido a carga têm de paar por um ponto particular na ecção tranveral chamado centro de corte. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 46

47 Solicitaçõe de corte de viga de ecção aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 47 A tenão normal para o cao de fleão pura Então derivando obtemo: E abendo que M M M M Z + M M M M Z ß à Þ Ï Ð Î Ü Ý Û Ì Í Ë Ü Ý Û Ì Í Ë + ß à Þ Ï Ð Î Ü Ý Û Ì Í Ë Ü Ý Û Ì Í Ë M S M S e

48 Solicitaçõe de corte de viga de Já foi deduida a equação: q Z + t 0 ecção aberta ( S S ) ( S S ) + Logo Se 0 no ponto de abertura a ecção onde q0 q Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 48 q d t 0 0 ( S S ) ( S S ) td 0 0 td d

49 Solicitaçõe de corte de viga de ecção aberta Para uma ecção onde 0 q S S td 0 0 td Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 49

50 Solicitaçõe de corte de viga de ecção aberta Determine a ditribuição de fluo de corte no perfil em Z devido ao eforço tranvero S aplicado no centro de corte da ecção. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 50

51 Solicitaçõe de corte de viga de ecção aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 51

52 Centro de Corte Definee centro de corte como o ponto da ecção tranveral pelo qual o eforço tranverai devem paar de maneira a que não eita momento de torção. O centro de corte é o centro de torção para ecçõe ujeita à torção Podee empre repreentar a carga de corte por uma carga aplicada no centro de corte e um momento torçor A tenõe produida eparadamente pelo movimento de torção e de corte ão omada por obrepoição Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 5

53 Centro de Corte Dete modo tornae muito determinação do centro de corte importante a Localiação do centro de corte: Sempre a viga etá ujeita à torção, o centro de corte coincide com o centro de torção Secçõe com eio de imetria o centro de corte etá ituado no eio de imetria Secção anguloa ou cruciforme o centro de corte etá ituado no eio de imetria Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 53

54 Calcular a poição de centro de corte da ecção de canal de parede fina da. A epeura t da parede é contante. Centro de Corte Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 54

55 Solicitaçõe de corte de viga de ecção fechada Na olução de uma viga de ecção fechada carregada tranveralmente eitem dua diferença importante O eforço tranvero podem er aplicado em ponto da ecção que não o centro de corte. Segundo, geralmente não é poível ecolher uma origem para para o qual o fluo de corte eja bem determinado. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 55

56 0 Solicitaçõe de corte de viga de ecção fechada S e S ão aplicado num ponto qualquer da ecção tranveral e cauam tenõe normai e fluo de corte q + t 0 De uma maneira emelhante ao já etudado: q d ( S S ) ( S S ) 0 td 0 td Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 56

57 Solicitaçõe de corte de viga de ecção fechada q(0) terá um certo valor q,0 logo q ( ) S S ( S S ) q, 0 td td Fluo de corte numa viga de ecção aberta, carregada no eu centro de corte Se q b for o fluo de corte numa viga aberta q qb + q, o q b é obtido efectuando um corte num itio conveniente, criandoe aim uma viga aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 57

58 Solicitaçõe de corte de viga de ecção fechada Para determinar q,0 efectuae o balanço de momento num ponto qualquer S h 0 S 0 pqd pq b d + q,0 pd Notee que o integral é calculado ao longo do contorno de toda a ecção tranveral da viga 1 1 da dp à da pd à pd A Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 58

59 Solicitaçõe de corte de viga de ecção fechada Logo obtéme S h S pq d + Aq 0 0 b,0 Se o ponto utiliado coincidir com a linha de acção de S e S : 0 pq bd + Aq,0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 59

60 Solicitaçõe de corte de viga de ecção fechada Ao cortar a viga etamo a aplicar S e S no centro de corte, da viga aberta reultante, mai um momento T q,0 correponde a ee momento como e verá mai tarde Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 60

61 Torção e empenagem de viga de ecção fechada carregada tranveralmente Se o eforço não ão aplicado no o centro de corte de uma ecção fechada, cauarão torçõe na ecçõe tranverai bem como uma ditorção no plano aial deta, ou eja além de rotaçõe eta ofrem delocamento aiai q t t Ggt em que g q Ë GtÌ Í w v w v Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 61 + t Û Ü Ý + t

62 Torção e empenagem de viga de ecção fechada carregada tranveralmente Utiliando a epreão já obtida anteriormente podee ecrever q Gt w dq du dv + p + co + in d d d E integrando: q w dq d d + 0 Gt 0 d q w À d d + 0 Gt 0 du pd + 0 d dq pd + d 0 0 du d co d 0 d + dv + d dv d 0 0 d in d À Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 6

63 Torção e empenagem de viga de ecção fechada carregada tranveralmente Obtereá aim, 0 q d Gt ( w w ) + A + ( ) + ( ) E continuando a integração ao logo de toda a ecção: E faendo a ubtituição w 0 o dq d du d q dq dq 1 q d A Ã d Gt d d A Gt q A w Gt A q du d 0 dv d ( ) ( ) o 0 d d Gt dv d 0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 63

64 w Torção e empenagem de viga de ecção fechada carregada tranveralmente Ou utiliando a epreão derivada para o centro de torção R: q Ao q dq dq w0 d d R ( 0 ) + R ( 0 ) 0 Gt A Gt E e a origem coincidir com ee memo centro R: w d q Ao q w0 d d Gt A Gt 0 d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 64

65 Torção e empenagem de viga de ecção fechada carregada tranveralmente Em ecçõe imétrica a empenagem é nula no ponto de interecção do eio de imetria com a ecção Se a origem de S for um dee ponto w 0 0 Para ecçõe aimétrica toda a ditribuição fica definida em relação à empenagem em 0: w 0 Determinação de w 0 : Partindo do principio que a empenagem é proporcional a tenõe normai aplicada na ecção tranveral ~w Sabendo que não e etava a aplicar carga aiai: ( ) wtd td0 wtd À 0 w wo td à w0 td Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 65

66 Centro de corte de ecçõe fechada Aplicae uma carga de corte arbitrária S em S, calculae a ditribuição de fluo de corte q devido a S e de eguida eecutae um balanço entre momento interno e eterno. No entanto, agora, uma dificuldade aparece na determinação de q,0 já que é impoível equacionar o momento eterno e interno (a poição de S é perfeitamente deconhecida) Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 66

67 Centro de corte de ecçõe fechada Contudo abee que a carga aplicada no centro de corte não produem torção: dq 1 q 0 à d 0 d A Gt Então podee ecrever: q 1 d À 0 ( q + q ) b,0 d à q, Gt Gt 0 0 q b Gt 1 Gt d d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 67

68 Centro de corte de ecçõe fechada Uma viga de parede fina de ecção fechada tem uma ecção com um único eio de imetria Cada parede da ecção é plana a tem a mema epeura t e módulo de elaticidade tranveral G. Calcular a ditância do centro de corte ao ponto 4. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 68

69 Torção de viga de ecção fechada Uma viga de ecção fechada ujeita a um momento torçor puro T, não produ um itema de tenõe normai. Logo a equaçõe do fluo de corte: q Redueme a : q + t 0 e + t q q 0 e 0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 69 0

70 Torção de viga de ecção fechada A relaçõe anteriore ó podem er atifeita imultaneamente por uma contante de valor q. Dedue aim, que a aplicação de um momento torçor puro reulta num fluo de corte contante na parede da viga. A tenão de corte t pode variar na ecção tranveral dado que a epeura da parede t pode er função de. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 70

71 Torção de viga de ecção fechada O momento torçor produido pelo fluo de corte actuando no elemento d da parede da viga é pqd. T pqd e dado q er contante T q pd Aq fórmula de BredtBatho Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 71

72 Torção de viga de ecção fechada Se o movimento do fim do vector p egundo a tangente a qualquer ponto na direcção poitiva de condu a uma rotação de p no entido contrário ao ponteiro do relógio em relação á origem do eio, p é poitivo A geratri AO, rodando obre O, irá inicialmente varrer uma área negativa vito p A er negativo. Em B, p B é poitivo vito que a área varrida mudou de inal (no ponto onde a tangente paa por O e p 0). Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 7

73 Já foi etabelecida a relação entre q e a ditorção de corte de onde e pode obter: Diferenciando a epreão anterior em relação a e abendo que q é contante Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 73 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho Ü Ý Û Ì Í Ë + v w Gt q t 0 0 Ü + Ý Û Ì Í Ë Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + v w v w Gt q t t

74 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho Na auência de tenõe normai a etenão longitudinal w/ ( e ) é ero logo: E da relação já etabelecida anteriormente obtéme p d d q d u d v + co + in d d Para a equação anterior er válida para qualquer valor de : d q d 0 d u d v, 0, d d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 74 v t 0 0 0

75 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho Teme aim: qa+b uc+d ve+f A,B,C,D,E, e F ão contante deconhecida. q, u e v ão funçõe lineare de. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 75

76 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho Já e tinha encontrado a epreão que relaciona a taa de torção e o fluo de corte e abendo que q é contante: dq d E ubtituindo q da epreão que o relaciona com T: dq d q A 4A Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 76 T d Gt d Gt

77 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho A ditribuição da empenagem produida por um fluo de corte variável como definido é também aplicável para o cao de fluo de corte contante. w Ë d AO d Td d O A w0 q q Ì 0 Gt A Gt A Í d A d d e d O Gt 0 d Gt O Û Ü Ý Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 77

78 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho O inal do delocamento de empenagem é influenciada pelo inal do momento torçor aplicado T e do inai do parâmetro do e AO. Notoue que a etenão longitudinal e é ero numa viga de ecção fechada ujeita a um momento torçor puro. to ignifica que toda a ecçõe da viga têm de pouir ditribuiçõe de empenagen idêntica. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 78

79 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho Determine a ditribuição da empenagem na viga rectangular de ecção fechada duplamente imétrica quando ujeita a um momento torçor T poitivo (antihorário). Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 79

80 Delocamento aociado com o fluo de corte de BredtBatho Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 80

81 Condição de empenagem nula numa ecção Relembrando a epreão para a empenagem de uma viga fechada ujeita a torção Td Ë do AO Û w w0 Ì Ü A Í d A Ý A geometria da ecção tranveral ujeita a torção pode er tal que não haja empenagem na ecção d O d A O A Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 81

82 ou então Condição de empenagem nula numa d Gt ecção Diferenciando anterior em relação a dá 1 dgt p R A 1 d ou 1 A 0 0 Uma viga de ecção fechada com prgt contante não empena e é conhecida como a viga de Neuber Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 8 p R Gt p R d A d contante

83 Torção de viga de ecção uniforme Revião: Conideree uma viga de ecção uniforme ujeita a momento torore iguai ma de entido opoto na ua etremidade. 0 e e e e Admitee também que o momento torçor provoca apena tenõe de corte na ecção tranveral o que implica: t 0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 83 0

84 Torção de viga de ecção uniforme Retante tenõe têm que atifaer a equaçõe de equilíbrio e compatibilidade: Equilibrio: t t t t + t + t + t 0 Ã 0 t 0 Ã 0 t t 0 Ã + 0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 84

85 Compatibilidade: Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 85 Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + g g g e Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + g g g e Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + + g g g e Torção de viga de ecção uniforme

86 Eta última redueme a Definee uma função XQção de tenão de Prandtl): E abendo que Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 86 Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + g g 0 Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë g g 0 t j t j, ij Gg ij t Torção de viga de ecção uniforme

87 Obtéme Ou eja é contante em qualquer ecção da barra Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 87 Ô Ô Ó Ô Ô Ò Ñ Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë j j j j Ô Ó Ô Ò Ñ 0 0 j j j Torção de viga de ecção uniforme

88 Torção de viga de ecção uniforme Podee provar que cont.0 ao longo do limite da uperfície O momento torçor pode er calculado a partir do momento cauado pela tenõe de corte: T ( t t ) jdd dd j dd ( j) dd + jdd ( j) j dd dd e ( j) d 0 e ( j) d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 88 0

89 A epreão do momento fica: Conideree agora a rotação da ecção tranveral GHYDORU 8PGDGRSRQWRp com coordenada r e vai er delocado de: E podee ecrever Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 89 Torção de viga de ecção uniforme dd T j Ó Ò Ñ r v r u q a q q a q co in Ô Ô Ó Ô Ò Ñ w d d w v G w d d w u G q g t q g t

90 Derivando a dua última equaçõe em relação a e repectivamente: Ou eja Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 90 Torção de viga de ecção uniforme d d G w d d G w d d G q t t q t q t Ô Ô Ó Ô Ô Ò Ñ ã â á Ó Ò Ñ Ã + + d d G cont d d G q j q j j à +

91 Da teoria geral da torção, podee definir a relação: Podee obter Torção de viga de ecção uniforme T dq GJ d Ë j Û 4 jdd GJÌ Ü Ã J jdd Í Ý j Ì G Ü Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 91

92 Torção de viga de ecção uniforme Aplicação: Conideree agora uma parede fina, de epeura t. Aumae que a ecção não varia com, então [ / / d d j G dq d à j G dq d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 9 t + B + C

93 Torção de viga de ecção uniforme Em que a contante ão obtida da condiçõe fronteira j ( ) ( ) t / 0 Ã j G t Þ ßà Da definição de Ñ Ô t Ò Ôt Ó j j dq d A tenõe de corte ão paralela à fronteira Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 93 0 G Î ÏÐ dq d

94 Torção de viga de ecção uniforme O valore máimo da tenõe de corte erão: dq t, ma Gt à t, ma d Já foi vito que a contante J pode er dado por: J 4 jdd j t t Î Ï ÏÐ Ë Ì Í t Û Ü Ý tt J Þ ßdd ßà t 3 3 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 94

95 Torção de viga de ecção uniforme Por outro lado t dq w w dq dq 0 + Ã Ã w + C G d d d Como a ecção tem doi eio de imetria, que e cruam na origem do referencial logo w(0, 0)0 e tirae C0. Finalmente : w dq d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 95

96 Torção de viga de ecção uniforme Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 96

97 Torção de viga de ecção aberta Uma olução aproimada para a torção de viga de ecção aberta pode er encontrada aplicando o reultado obtido para a torção de uma viga fina e rectangular. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 97

98 Teme então Sendo o eu valor máimo: Teme também Torção de viga de ecção aberta t dq Gn, d t 0 t Gt n J, ma Ê ou J dq d ecção Finalmente a taa de variação do ângulo de torção pode er eprea em função do momento torçor t 3 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 98 3 T GJ dq d 1 3 t 3 d

99 Torção de viga de ecção aberta Epreando a ditribuição e o valor máimo da tenão de corte em função de T n t T, t, ma J tt J Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 99

100 Empenagem da ecção tranveral O empeno, w t, de uma viga de ecção aberta de parede fina ao longo da ua epeura pode er epreo por dq w t n A ecção tranveral irá empenar de forma imilar aquela ofrida pela viga de ecção tranveral fechada. g d w + v t Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 100

101 Empenagem da ecção tranveral Em relação ao delocamento tangencial v t com o centro de torção R da ecção tranveral, teme v dq d Subtituindo na equação anterior t p R w dq g + p Ë w dq Û R t GÌ + pr Ü d Í d Ý Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 101

102 Empenagem da ecção tranveral Na linha média da parede da ecção t 0 pelo que, da equação anterior w dq d ntegrando eta epreão em relação a e faendo o limite inferior de integração coincidir com o ponto de empenagem nula obtéme w p R dq d 0 p R d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 10

103 Empenagem da ecção tranveral A empenagem da linha média da viga conhecida por empenagem primária e é aumida contante em toda a epeura. w dq d 0 p R d w A R dq d w A R T GJ Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 103

104 Empenagem da ecção tranveral A empenagem da viga ao longo da ua epeura., é a empenagem ecundária, e é muito menor que a primária e é normalmente ignorada na ecçõe de parede fina. w t n dq d Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 104

105 Torção de viga de ecção aberta Determine a tenão de corte máima e a ditribuição da empenagem na ecção motrada quando ujeita a um momento torçor poitivo de 10 Nm, com G N/mm. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 105

106 Torção de viga de ecção aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 106

107 Análie de Secçõe Fechada e Aberta Até agora vimo apena ecçõe aberta ou fechada obre divera olicitaçõe: Ma em muito cao a ecção tranveral de uma viga de uma etrutura aeroepacial é contituída por ecçõe que ão viga fechada e outra ecçõe que ão viga aberta: Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 107

108 Análie de Secçõe Fechada e Aberta Etudemo então qual o efeito do divero carregamento já etudamo em viga com componente aberto e fechado Fleão A tenão norma devido à fleão é dada pela equaçõe: Ë Ì Í M M Û Ë Ü + Ì Ý Í M M Ü Û Ý M Ì ( ) M ( ) + Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 108

109 Análie de Secçõe Fechada e Aberta Solicitaçõe de Corte São aplicado o método já etudado para a olicitaçõe de corte em viga de ecção aberta e fachada. A carga de corte ão aplicada no centro de corte da ecção combinada. Quando eta ituação não acontece o itema é ubtituído por outro com corte+momento torçor Ambo o cao ão analiado independentemente Aumee que a ecçõe tranverai permanecem plana Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 109

110 Análie de Secçõe Fechada e Determine a ditribuição do fluo de corte na ecção da viga quando eta etá ujeita a um carregamento de corte no eu plano de imetria vertical. A epeura da parede da ecção é de mm. Aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 110

111 Análie de Secçõe Fechada e Aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 111

112 Análie de Secçõe Fechada e Aberta Torção A componente fechada tem uma rigide torcional muito maior do que a componente aberta. gnorae a parte aberta no cálculo da rigide torcional. Devee verificar a tenõe de corte na componente aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 11

113 Análie de Secçõe Fechada e Determine o ângulo de torção por unidade de comprimento quando ujeita a um momento torçor de 10 kn.m. Determine ainda a tenão de corte máima na ecção. A área da célula do nari da aa é de 0000 mm. Aberta Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 113

114 dealiação Etrutural O etudo limitoue a ecçõe etruturai relativamente imple, que na prática podem er contruída atravé de placa fina. No entanto a ecçõe normalmente utiliada terão mai o apecto : Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 114

115 dealiação Etrutural Viga de análie complicada. Terão que er introduida implificaçõe para a ua análie. O nº e naturea da implificaçõe determinam a precião e o grau de compleidade da análie. O grau de implificação introduido etá directamente relacionado com a ituação particular de etudo. Secçõe etruturai de geometria complea podem er idealiada em modelo mecânico mai imple. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 115

116 dealiação Etrutural O bano do tringer e longarina apreentam ecçõe de dimenõe tranverai pequena quando comparada com a ecção completa. a variação de tenão ao longo da ecção de um tringer erá pequena. É pequena diferença entre ditância do centróide do tringer e da caca adjacente da aa. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 116

117 dealiação Etrutural O modelo mecânico é correcto e e coniderar que toda a tenõe normai ão canaliada para o ma boom, enquanto que a caca etá ujeita apena a eforço de corte A capacidade que a caca tem de uportar tenõe normai pode er modelada aumentando a área do boom para uma área equivalente Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 117

118 dealiação Etrutural Suponhae que e quer modelar o painel a) numa combinação de boom uportando tenõe normai e de uma caca uportando apena eforço de corte b) Em a) a tenõe normai ão uportada por uma epeura t D t da caca. No cao b) t0. Suponhae igualmente que a tenõe normai apreentam uma ditribuição linear em a), que varia de 1 para. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 118

119 Como a ditribuição da carga no doi cao a) e b) tem de er a mema, equacioname o momento em relação a um ponto qualquer com o intuito de achar a área do boom, B 1 e B. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 119 dealiação Etrutural ( ) Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + Ã b t B B b b b t b t D D D Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë b t B D

120 dealiação Etrutural Na equaçõe anteriore no cao de não e conhecer o quociente entre 1 e, ete pode er arbitrado. A ditribuição de tenõe aparece como reultado de uma carga aial e de um momento flector. No cao de eitir apena carga aial então 1 / 1 e B 1 B t D b/. No cao de um momento flector puro 1 / 1 e B 1 B t D b/6. Aim diferente modelo para a mema etrutura ão neceário no cao de itema de carga aplicada diferente. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 10

121 dealiação Etrutural Parte de uma ecção de uma aa é da forma bicelular. onde a longarina verticai etão ligado à caca da aa por ecçõe anguloa toda tendo uma área de ecção tranveral de 300 mm. Modelar a ecção numa combinação de ma boom uportando apena tenõe normai e de panei uportando apena tenõe tangenciai apropriado para reitir a momento verticai no plano vertical. Poicionar o boom na junçõe da longarina com a caca da aa. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 11

122 Efeito da idealiação na análie de viga A adição do boom à viga vai modificar a análie feita. Suponhae que uma viga de qualquer tipo etá ujeita a carga de fleão e de corte, e que a idealiação havia ido modelada A análie de ecçõe como eta requer o conhecimento da linha neutra e o cálculo da propriedade da ecção A poição da linha neutra pode er calculada tendo em conta a condição de que a tenõe normai reultante na ecção tranveral têm de er nula É evidente então que o centróide da ecção é o centróide da área que uporta a tenõe normai. A coordenada (,) de ponto da ecção ão referente a eio tendo por origem o referido centróide. gualmente a componente do tenor de inércia ão calculado apena para ea área que uporta a tenõe normai Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 1

123 Efeito da idealiação na análie de viga A ecção de fuelagem apreentada etá ujeita a um momento flector de 100 kn.m aplicado no plano vertical de imetria. Se a ecção for completamente modelada como uma combinação de boom e painéi (tendo em conta a conideraçõe habituai), determinar a tenão normal em cada boom. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 13

124 Efeito da idealiação na análie de viga Eforço tranvero em viga de ecção aberta A ditribuição de fluo de corte na ecção aberta de uma viga é obtida a partir da equação de equilíbrio, em que epeura t referee à epeura da caca que uporta tenõe normai, no noo cao t D. Aim q ( S S ) ( S S ) t D d 0 0 Em que t D t e a caca uporta tenõe normai cao contrário t D 0 cao Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 14 t D d

125 Efeito da idealiação na análie de viga A equação anterior, não tem em conta o efeito de decontinuidade provocado pelo boom na caca e que aim interrompem o fluo de corte Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 15

126 Do equilíbrio do réimo boom Sabendo que Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 16 Efeito da idealiação na análie de viga r r r r B q q q q B B Ã Ã + Ü Ý Û Ì Í Ë + d d d M M M M Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë + Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë

127 Obtéme A equação anterior dá a variação de fluo de corte induido por um boom que etá ele próprio ujeito a uma carga normal ( r B r ). Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 17 Efeito da idealiação na análie de viga ( ) ( ) Ô Ô Ô Ó Ô Ô Ô Ò Ñ À ß ß à Þ Ï Ï Ð Î Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë Ü Ý Û Ì Í Ë ß ß à Þ Ï Ï Ð Î Ü Ý Û Ì Í Ë Ü Ü Ý Û Ì Ì Í Ë r r r r r r r r B S S B S S q q B M M B M M q q 1 1

128 Efeito da idealiação na análie de viga Aim a fluo de corte paará a er dado por: q ( S S ) Ë Ì Í 0 t D d + n Ê r 1 B r r Û Ü Ý ( S S ) Ë Ì Í 0 t D d + n Ê r 1 B r r Û Ü Ý Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 18

129 Efeito da idealiação na análie de Calcular a ditribuição do fluo de corte na ecção em canal produido por uma carga de corte de 4.8 kn actuando no eu centro de corte. Aumee que a parede da ecção apena reitem a tenõe de corte enquanto que o boom, cada um de área de 300 mm, uportam toda a tenõe normai. viga Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 19

130 Efeito da idealiação na análie de viga Uma ecção de uma viga que tenha ido idealiada dá valore contante de fluo de corte na caca entre o boom, a ditribuição real do fluo de corte perdee. S 1 q1 cofd À S q 1 cofd à S q 1 S q ( 1 ) 1 1 d q 1 ( 1 1 ) S S + S q 1 ( 1 ) + ( 1 ) à S q 1 L 1 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 130

131 Efeito da idealiação na análie de viga O momento Mq produido pelo fluo de corte q1 em qualquer ponto no plano da alma é, M q q pd q1 da à M q Aq 1 A Se Aq1 À e q1 à e S A L 1 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 131

132 Efeito da idealiação na análie de viga Eforço tranvero em viga de ecção fechada Seguindo o memo raciocínio podemo chegar à equação: q ( S S ) ( S S ) Ë Ì Í 0 Ë Ì Í t D 0 t D d d + + n Ê r 1 n Ê r 1 B r B r r Û Ü Ý r + Û Ü Ý q,0 Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 13

133 Efeito da idealiação na análie de viga A viga unicelular de parede fina foi modelada numa combinação de boom (tenõe directa) e parede (tenõe de corte). Se a ecção uporta uma carga vertical de 10 kn actuando num plano vertical que paa pelo boom 3 e 6, calcular a ditribuição de fluo de corte ao longo da ecção. Área do boom : B1B800 mm, BB750 mm, B3B6400 mm, B4B5100 mm. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 133

134 Efeito da idealiação na análie de viga Torção de viga de ecção aberta ou fechada Numa viga, qualquer que eja o tipo de ecção que apreente, aberto ou fechado, um momento puro de torção não provoca tenõe normai a não er que eitam contrangimento aiai. Aim a ditribuição de eforço tranvero não é alterada pelo aparecimento do boom e a análie feita na ecçõe anteriore aplicame. Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 134

135 Efeito da idealiação na análie de viga Defleõe de viga de ecçõe aberta e fechada Etrutura Aeroepaciai Fleão, Torção e Corte em Viga com Parede Fina 135