Matemática Básica Função Exponencial. = a a a... a n fatores. Quando o expoente for igual a 1, a potência é igual à própria base.

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1 Matemática Básica Função Exponencial 07. Introdução (a) Exponenciação revisão EXPOENTE INTEIRO POSITIVO Se a é um número real e n é um inteiro positivo, a expressão a n representa o produto de n fatores iguais a a, ou seja: a denominado base; n denominado expoente. a n = a a a... a n fatores Exemplos: a) 3 = = 8 b) ( 4) = ( 4) ( 4) = 6 c) ( 4) 3 = ( 4) ( 4) ( 4) = 64 d) 5 = (5 ) = (5 5) = 5 Quando o expoente for igual a, a potência é igual à própria base. EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO Se a é um número real diferente de zero e n é um número inteiro negativo: a = a a n = a n Exemplos: a) 3 = 3 b) 0 = 0 = 00 d) 3 4 = 3 4 = e) ( 4) = ( 4) = 6 c) ( 3 4 ) = 3 4 = 4 3 Matemática Básica - 07 pg. /3 Revisão: 05

2 EXPOENTE REAL FRACIONÁRIO Seja a um número real e m e n dois números inteiros e positivos: m a n = n a m e a m n = a m n = n a m Exemplos: a) 0 = 0 3 = 00 3 b) = = = = EXPOENTE IGUAL A ZERO Um número real elevado ao expoente zero é igual a. Exemplos: a) 0 = b) ( 50 ) 0 = c) ( ) 0 = d) 0 = Matemática Básica - 07 pg. /3 Revisão: 05

3 PROPRIEDADES GERAIS DA EXPONENCIAÇÃO Se m e n são números reais: PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: Repetir a base e somar os expoentes a m a n = a m + n Exemplo: = ( ) (3 3) = = 3 5 QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: Repetir a base e subtrair os expoentes a m a n = am a n = a m n Exemplos: a) 43 4 = 4 3 = 4 c) = 03 6 = 0 3 = 0 3 b) an a n = a n n = a 0 = POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS Uma potência elevada a um expoente é igual à base elevada ao produto dos expoentes: (a m ) n = a m n Exemplos: a) (3 ) = 3 = b) 7 3 = (7 3 ) 3 3 = 7 3 = 7 9 = 7 9 c) ( 3 5 ) 3 = (5 d) 3 3 = ) 3 3 = 5 3 = 5 3 = 5 = 5 6 Matemática Básica - 07 pg. 3/3 Revisão: 05

4 POTÊNCIAS DE PRODUTOS (a b) n = a n b n Exemplos: a) ( x) = x = 4 x b) (7 ) = 7 = 49 4 = 96 c) ( y ) 3 = 3 y 3 = 8 y 6 POTÊNCIAS DE QUOCIENTES ( a b ) n = a n b n ( para b 0) Exemplos: a) ( 6 5) = 6 = b) ( 5 3) = (5) (3) = 3 5 = 5 5 Matemática Básica - 07 pg. 4/3 Revisão: 05

5 (b) Exercícios de fixação. Determinar o valor das expressões: a) 5 4 b) (0 ) 5 c) 0 5 d) (0 ) 0 5 e) (x 4 ) 3 f) 5 5 ( 3 ) g) (3 ) 5 h) i) ( 4 3 ) 5 j) ( 4 ) k) ( 5 8) 4 l) 3 m) ( 3 5 ) 4 4. Calcular o valor das expressões: a) 4 + ( 3) 0 + (0,) 0 (5 ) 0 b) 6 0, ,5 c) d) n +4 + n + + n+ n + n a b (a b ) 4 (a b ) a 3 b (a b ) (a b) 3. Qual o valor da expressão a b (a b ) 4 (a b ) a 3 b (a b ) (a b), quando a = 0 3 e b = 0? Matemática Básica - 07 pg. 5/3 Revisão: 05

6 . Equação Exponencial Toda equação na qual a incógnita se encontra no expoente. A solução de uma equação exponencial consistirá, normalmente, em transformar a equação em uma igualdade de mesma base. Exemplos: ) x = x = 8 como ambos os termos possuema mesma base: x = 8 ) 4 x = 3 ( ) x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 (a) Exercícios de fixação a) x = 6 b) x = 4 3 c) x = 6 d) x = 4 3 e) x = 8 f) 5 x+ = 5 g) 3 x+ = 7 x+ h) 9 x+3 = 7 x i) 3 x = 48 j) x 5 x + 4 = 0 k) 9 x 0 3 x + 9 = 0 l) 3 x + 3 x+ = 90 Matemática Básica - 07 pg. 6/3 Revisão: 05

7 3. Função Exponencial Seja a um número real positivo e diferente de. A função exponencial com base a é definida por: f ( x) = a x Exemplos: a) f (x) = x b) g ( x) = ( ) x Observações importantes:. Todas as propriedades da potenciação vistas anteriormente aplicam-se às funções exponenciais.. Na definição da função exponencial excluímos a = como o valor para a base porque, se tivermos a =, a função será constante: f (x) = x f ( x) = 3. Eliminamos os valores negativos de a porque eles levariam a valores não reais para a função: f ( x) = ( 9) x para x= : f ( ) = ( 9 ) = ( 9) R 4. Eliminamos a = 0 porque 0 x, para qualquer x < 0 levará a uma indeterminação (divisão por zero): f ( x) = 0 x para x= : f ( ) = 0 = 0 indeterminação! Matemática Básica - 07 pg. 7/3 Revisão: 05

8 (a) Gráfico da Função exponencial a) Seja a função f (x) = x (notar que a > ): x f (x) = x - 0,5-0,50 0,00,00 4,00 3 8,00 b) Seja a função f (x) = ( ) x (notar que a < ): x f (x) = ( - 4,00 -,00 0,00 0,50 0,5 3 0,3 ) x Características importantes dos dois gráficos (aplicam-se às funções exponenciais em geral):. Os dois gráficos interceptam o eixo y no ponto (0, );. Nenhum dos gráficos intercepta o eixo x o eixo x é uma assíntota horizontal para ambos. 3. Consequentemente, as curvas não interceptam o eixo x; 4. Domínio das funções: ], [ ; 5. Imagem das funções: ]0, [ ; 6. O gráfico passa pelo ponto (, a) e por (, a ), sendo a a base; 7. Para valores de a > a função é crescente; para valores de a < a função é decrescente. Matemática Básica - 07 pg. 8/3 Revisão: 05

9 Algumas observações adicionais sobre o gráfico da função exponencial:. Notar na família de curvas mostrada na figura abaixo que, quanto mais próxima a base se encontra de, menor a inclinação do gráfico. TRANSFORMAÇÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS: Usando o gráfico de f (x) = x descrevemos as transformações que levam ao gráfico da função g( x), conforme segue: TRANSLAÇÃO HORIZONTAL: g ( x) = x+ - podemos notar que g ( x) = x+ = f (x+), o gráfico de g( x) será obtido movendo-se o gráfico de f (x) uma unidade para a esquerda. Generalizando: a soma algébrica de valores ao expoente (variável independente) provoca a translação (movimento linear) horizontal do gráfico da função, mantida a mesma base ver figura abaixo: ATENÇÃO, pois a adição de constantes positivas ao expoente move o gráfico da função para a ESQUERDA (mantida a mesma base). Matemática Básica - 07 pg. 9/3 Revisão: 05

10 TRANSLAÇÃO VERTICAL: g ( x) = x + - podemos notar que g ( x) = x + = f (x) +, o gráfico de g( x) será obtido movendo-se o gráfico de f (x) uma unidade para cima. Generalizando: a soma algébrica de valores à função provoca a translação (movimento linear) vertical do gráfico da função, mantida a mesma base ver figura abaixo: Esta transformação cria uma nova assíntota para o gráfico da função, assim como um novo ponto de interseção com o eixo y. A imagem de g ( x)= x + será ], [. SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO X: g ( x) = x - neste caso, a função g ( x) é simétrica à f (x), ou seja: g( x) = x = ( f ( x)), assim o gráfico de g( x) será simétrico ao gráfico de f (x), em relação ao eixo x : Matemática Básica - 07 pg. 0/3 Revisão: 05

11 SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y: g ( x) = x - neste caso, temos g ( x) = x = f ( x), assim o gráfico de g ( x) será simétrico ao gráfico de f (x ) em relação ao eixo y : Passo a passo para a construção de gráficos de funções exponenciais: Passo : Construir uma tabela com os valores de x e de f (x ) identificar a faixa de valores de interesse; Passo : Desenhar os eixos x e y numa escala coerente com os valores a serem representados; Passo 3: Marcar o ponto (0, ) corresponde y-intercepto de f (x ) ; Passo 4: Identificar e marcar os pontos correspondes a f ( ) e f () ; Passo 5: Conectar estes três pontos com uma curva suave, com o eixo x como assíntota horizontal (se não existir a soma de uma constante à função dada). Matemática Básica - 07 pg. /3 Revisão: 05

12 SOLUCIONANDO UMA EQUAÇÃO EXPONENCIAL GRAFICAMENTE Dada a equação exponencial ( 4 ) x = 6 x+, podemos determinar o valor de x construindo, no mesmo par de eixos ortogonais, o gráfico de cada um dos termos da equação. O ponto de interseção entre os dois gráficos fornece o valor de x procurado. Usando os processos mostrados até agora, podemos construir o gráfico de f (x) = ( 4) x e de g ( x) = 6 x+ (construa os gráficos, como exercício). O ponto de interseção entre os dois será em (-, 6). A figura a seguir mostra os dois gráficos e o ponto de interseção, determinados no software Geogebra. Matemática Básica - 07 pg. /3 Revisão: 05

13 (b) Exercícios de fixação:. Determinando o valor de uma função exponencial: Sejam as funções f (x ) = 3 x, g ( x) = ( 4 ) x e h( x) = 0 x, determinar: a) f () b) f (π) c) g ( 3 ) d) h(,3) e) f (0) f) g (0). Sejam as funções f (x ) = x. g ( x) = ( 4 ) x e h( x) = 5 x, determinar: avalie o valor exato onde possível e arredonde para 4 (quatro) casas decimais se precisar usar a calculadora. a) f (4) b) f (π) c) g ( 3 ) d) h(,9) 3. Sobre o mesmo par de eixos ordenados, construa os gráficos de f (x)= x+ e g ( x)= x + - determinar o domínio e a imagem de cada uma das funções (sugestões: use o passo a passo descrito acima ou use um software específico para cálculos de álgebra e matemática maple, geogebra, wxmaxima ou graphmatica) 4. Suponha que você paga as aulas de matemática da seguinte forma: centavos para aula assistida, 4 centavos para aulas assistidas, 8 centavos para 3 aulas assistidas, etc. Qual a sua dívida ao término da 30ª aula a que você comparece? Represente a função exponencial geral que expressa a sua dívida. Matemática Básica - 07 pg. 3/3 Revisão: 05

14 (c) A base natural e e número de Euler, número de Naper ou número neperiano. É a base dos logaritmos naturais (ou neperianos); É um número irracional; É um número de base para diversas aplicações. Na sua calculadora existe a tecla e x, que será útil para cálculos com a base natural; O valor de e pode ser determinado por: lim ( + x x ) x ou por lim x 0 Exercício: a) Preencher a tabela, usando f (x) = ( + x ) x : x (+x) : x f ( x) = ( + x ) x x b) Preencher a tabela, usando f (x) = (+ x ) : x x f ( x) = (+ x ) 0, 0,00 0,0000 0, , Matemática Básica - 07 pg. 4/3 Revisão: 05

15 O gráfico que representa a função f (x) = ( + x ) x é mostrado a seguir: lim ( + x x ) x A função exponencial f (x) = e x é chamada de função exponencial natural a tangente a esta função no ponto (0, ) possui coeficiente angular igual a e é dada por y = x +. Exercícios:. Dada a função f (x) = e x, determinar: a) f () b) f ( ) c) f (,) d) f ( 0,47) e) f (0) f) f (π) g) f ( ). No mesmo par de eixos ordenados, representar as funções f (x) = e x e g ( x) = e x. 3. No mesmo par de eixos ordenados, representar as funções (identificar cada uma delas) a) f (x) = e x b) g ( x) = e x + c) v( x) = x + d) u (x) = x + Matemática Básica - 07 pg. 5/3 Revisão: 05

16 (d) O modelo de juros compostos As funções exponenciais são usadas na modelagem matemática de fenômenos como o crescimento de populações, decaimento radioativo, juros compostos, entre outros. A seguir vamos ver algumas destas aplicações, iniciando pelo cálculo de juros compostos. Se P reais são depositados em uma conta com uma taxa de juros simples anuais igual a r, por um período por um período e t anos, a quantia resultante A nesta conta ao fim de t anos pode ser determinada usando: Período Valor A = P + P r A = P( + r) A = P + P r A = P ( + r) 3 A = P + P 3 r A = P ( + 3 r) 4 A = P + P 4r A = P ( + 4r) A = P ( + rt), isto significa que, a cada período (neste caso, a cada ano), há a incidência Ou seja: de juros t sobre o principal (o valor que foi investido inicialmente). Em alguns textos, a taxa aplicada é representada pela letra i. Exemplo: Depósito: R$ 000 Juros simples: 5% aa Períodos: 3 (três anos) Os juros são computados ao final de cada ano º ano A = P + P r = ,05 = 050,00 º ano A = P + P r = ( 0,05) = 00,00 3º ano A = P + P 3 r = (3 0,05) = 50,00 Ao fim dos três anos, o investidor possui R$ 50,00. Matemática Básica - 07 pg. 6/3 Revisão: 05

17 Por outro lado, se considerarmos que, a cada período o valor dos juros aplicado se junta ao principal (base), podemos construir uma nova tabela (o valor inicial é P, a taxa de juros anual é r e o número de períodos é t): Período Valor A = P + P r A = P( + r) A = P(+r) + [ P (+r) r ] = P ( + r) ( + r) A = P (+ r) 3 A = P(+r) + [ P (+r) r ] = P ( + r) ( + r) A = P (+ r) 3 4 A = P(+r) 3 + [ P (+r) 3 r ] = P( + r) 3 ( + r) A = P (+ r) 4 Assim, após o período considerado, o valor disponível ao investidor será: A = P(+r) t. Este desenvolvimento é válido para casos nos quais os juros são computados uma vez no período considerado. Exemplo: Depósito: R$ 000 Juros compostos: 5% aa Períodos: 3 (três anos) os juros são computados ao final de cada ano. º ano A = P( + r) A = 000 (+0,05) = R $ 050,00 º ano A = P( + r) A = 000 (+0,05) = R $ 0,50 3º ano A = P( + r) 3 A = 000 (+0,05) 3 = R$ 57,63 Ao fim dos três anos, o investidor possui R$ 57,63 (compare com a situação de juros simples). Matemática Básica - 07 pg. 7/3 Revisão: 05

18 Exemplo: Suponha que você depositou $ 000,00 num banco que paga 8% de juros compostos, computados semi-anualmente. Quanto você vai ter na sua conta ao final de DOIS anos? Solução: Computados semi-anualmente significa que os juros são depositados em sua conta ao fim de cada semestre (a cada 6 meses!) - com isso, estes juros são agregados ao principal, gerando mais rendimentos no período seguinte. Para determinar a taxa de juros por período, tomamos a taxa anual r de 8% (ou 0,08) e dividimos pelo número n de períodos computados em cada ano (número de anos no investimento: t anos) neste caso: ( semestres por ano) os juros serão computados 4 (ou n t = = 4 ) vezes durante o prazo de dois aos do investimento. Se A representa a quantia de dinheiro na conta ao fim do primeiro período de juros computados (seis meses), então: Principal + 4% do principal: A = ( 0,08 ) = 000 (+0,04) = R $040,00 No segundo período, os juros são computados sobre o valor presente na conta ao início do período: A = A (+0,04) = [000 (+0,04)] + (+0,04) = 000 ( + 0,04) P ( + r n ) A 3 = A (+0,04) = [000 (+0,04) ] + (+0,04) = 000 ( + 0,04) 3 P ( + r n ) 3 A 4 = A 3 (+0,04) = [000 (+0,04) 3 ] + (+0,04) = 000 ( + 0,04) 4 P ( + r n ) 4 Assim, se o principal P é investido a uma taxa anual r computada n vezes por ano, por um tempo total de t anos, então a quantia final A da aplicação, ao final da aplicação será dada por: A = P ( + r n ) n t No exemplo: Logo: t = n = r = 8% = 0,08 P = R$ 000 P ( + r n ) n t = 000 ( + 0,08 ) = R $ 69,86 Matemática Básica - 07 pg. 8/3 Revisão: 05

19 Valores comuns para n são: Anual:...n = Semestral:...n = Quadrimestral:...n = 3 Trimestral:...n = 4 Mensal:...n = Semanal:...n = 5 Diário:...n = 365 EXEMPLO COM SOLUÇÃO GRÁFICA: Se você deposita R$ 5000 numa conta que paga 9% aa, computados diariamente, quanto você terá em sua conta após 5 anos? (determinar o valor com precisão de centavos). Solução algébrica: Usamos a fórmula de juros compostos com P=5000, r=0,09, n=365 e n t=5 365=85 : A = P ( + r n) n t = 5000 ( + 0, ) = R $ 7 84,3 Solução gráfica: Usando um software para a construção de gráficos, usamos a função f (x) = 5000 ( + 0, ) x e determinamos o valor de f (85) : Matemática Básica - 07 pg. 9/3 Revisão: 05

20 (e) Exercícios de fixação:. Achar o valor final de um investimento de R$ 30000,00 aplicados por 6 anos com uma taxa anual de 5,4%, computado diariamente.. Repita o exercício, considerando o cômputo semanal dos juros. 3. Determinar o valor final de um investimento inicial de R$ 000,00 aplicados por 3 anos com uma taxa anual de 6%, computados anualmente. 4. Repita o exercício 3, considerando o cômputo diário dos juros. 5. Determinar o valor final de um investimento que recebe o valor inicial de R$ 000 e são depositadas cotas mensais adicionais de R$ 00, por anos, com uma taxa anual de 5%, computados mensalmente. (f) Cômputo contínuo dos juros Podemos determinar a quantia de resultante de um investimento a juros compostos através de: A = P ( + r n ) n t podemos fazer o termo r n : r n = n r ; multiplicando e dividindo o expoente por r: n t = r r n t = ( n r ) r t ; Substituindo os valores acima na equação dos juros compostos, teremos: A = P( + n r n )( r )rt Fazendo n r = m e substituindo na equação acima: A = P ( + m ) mrt Usando a propriedade da exponenciação: x mrt = ( x m ) r t e substituindo: A = P[( + m ) m] rt Como estamos buscando o cômputo contínuo dos juros, n (número de vezes que os juros serão computados no período) deverá ser MUITO grande (tendendo a ), é fácil perceber que, se n tende a infinito, n r também será máxima, com isso poderemos aplicar: lim m ( + m ) m A = P e rt = e, assim: Matemática Básica - 07 pg. 0/3 Revisão: 05

21 ou seja, na medida em que n se aproxima de, o resultado A = P ( + r n) n t do investimento se aproximará de: A = P e rt Concluindo: se o valor principal P é investido a uma taxa anual r computada continuamente, então o valor do investimento ap fim de t anos será: com a taxa r expressa como um decimal. A = P e rt Exemplo: Se você deposita R$ 5000 numa conta que paga 9% aa, computados continuamente, quanto você terá em sua conta após 5 anos? (determinar o valor com precisão de centavos). Solução: Usamos a fórmula de juros compostos com P=5000, r=0,09 : A = P e r t = 5000 e 0,09 5 = R $ 784,56 notar que o valor encontrado é ligeiramente superior ao valor determinado para o cômputo diário dos juros (exemplo anterior). Exercícios:. Achar o valor final de um investimento de R$ 30000,00 aplicados por 6 anos com uma taxa anual de 5,4%, computado continuamente.. Determinar o valor final de um investimento inicial de R$ 000,00 aplicados por 3 anos com uma taxa anual de 6%, computados continuamente. 3. Determinar o valor presente de uma quantia de R$ a ser resgatada em 0 anos, a uma taxa anual de 7,5% computada continuamente. Matemática Básica - 07 pg. /3 Revisão: 05

22 (g) Modelagem exponencial Um dos motivos para se estudar a modelagem exponencial é o fato de que diversos fenômenos da natureza podem ser representados com uma precisão muito boa através destes modelos. Vejamos um exemplo: MODELANDO O CRESCIMENTO EXPONENCIAL DE UMA POPULAÇÃO Exemplo: Uma determinada espécie de mosca de fruta se reproduz muito rapidamente, com uma nova geração aproximadamente a cada semana. Suponha que a população comece com 00 indivíduos: a) Assumindo que a população aumenta de 50 indivíduos a cada semana, determinar o número de moscas após,, 3, 4 e 5 semanas. b) Agora, suponha que a população aumente 5% a cada semana. Determinar o número de indivíduos após,, 3, 4 e 5 semanas. c) Qual o cenário mais realista? Porque? a) b) Semana População Semana População = = = = = (00 5 %)=50 50+(50 5%)=3 3 3+(3 5%)= (39 5%)= (488 5 %)=60 Podemos, ainda, entender que a população cresce continuamente a uma taxa de 5 % por semana o que é análogo ao estudo que fizemos de juros compostos, computados continuamente. Com isso, adaptamos a expressão que nos dá o valor final de um investimento nas condições descritas: sendo: A a população final; A 0 a população inicial; A = A 0 e rt r a taxa de crescimento da população e t o número de períodos considerados. No exemplo: A = A 0 e rt = 00 e 0,5 5 = 698 moscas Matemática Básica - 07 pg. /3 Revisão: 05

23 O modelo (B) se aproxima mais da realidade, por que na medida em que a população cresce, há mais indivíduos aptos a se reproduzirem. Podemos notar, entretanto, que não ocorre de 5% da população se reproduzir exatamente ao término de período considerado, mas sim, toda a população (apta a ser reproduzir) se reproduz continuamente ao longo do período, o que leva a que o nosso modelo se aproxime mais do descrito para o cálculo de juros compostos computados continuamente, ou seja, a população total ao fim de 5 semanas deverá ser de 698 indivíduos. Um modelo de avaliação de crescimento de populações que é muito usado leva em consideração o tempo em que uma dada população leva para dobrar de tamanho. Para períodos de tempo relativamente curtos (os períodos que estudamos nos nossos problemas), o modelo de tempo para que uma população dobre de tamanho é dado por: onde: A : população no instante t; A 0 : população no instante t 0 = 0 ; A = A 0 d : o tempo para que a população duplique (usando a mesma unidade que t ). t d Quando estudarmos as funções logarítmicas veremos este mesmo problema de forma mais completa. Note que, quando d = t, ou seja, o período decorrido for iguam ao tempo para duplicar a população, teremos: t A = A 0 d t t = A 0 = A 0 A = A 0 a população é o dobro da população inicial, o que confirma a fórmula dada. Matemática Básica - 07 pg. 3/3 Revisão: 05

24 Exemplos:. Se o México tem uma população de 00 milhões de habitantes e estima-se que esta população dobre a cada anos, qual será a população em 5 anos a partir de agora? E a trinta anos a partir de agora? Solução: Usando o modelo dado, teremos: A 0 = 00 e d =, assim: t d A = A 0 A = 00 t a) Com isso, poderemos determinar a população do México daqui a 5 anos, basta fazer t = 5 A = 00 = 00 A = 64 milhões t 5 A = 00 0,743 A = 00,6407 b) e a população daqui a 30 anos é determinada de forma análoga: t 30 A = 00 = 00 A = 69 milhões A = 00,486 A = 00,698 O problema também pode ser resolvido graficamente: Matemática Básica - 07 pg. 4/3 Revisão: 05

25 . A bactéria e. coli é encontrada nos intestinos de muitos mamíferos. Em um experimento em laboratório o tempo de duplicação da população da e. coli encontrado foi de 5 minutos. Se o experimento começou com uma população de 000 bactérias, quantas bactérias estarão presentes em: a) 0 minutos b) 5 horas Solução: Usando o modelo dado, teremos: A 0 = 000 e d = 5 minutos, assim: t d A = A 0 A = 000 t 5 t 0 5 a) A = = 000 A = 39 bactérias A = 000 0,40 A = 000,395 b) 5 horas = 5 60 minutos = 300 minutos A = = 000 A = bactérias t A = 000,00 A = Matemática Básica - 07 pg. 5/3 Revisão: 05

26 Aplicando o mesmo raciocínio usado para a determinação dos juros compostos com cômputo contínuo, podemos chegar à uma fórmula para o crescimento populacional contínuo (ver acima) na forma: onde: A : população final; A 0 k : população inicial; A = A 0 e k t : taxa de crescimento relativo. A taxa de crescimento relativo é escrita como uma porcentagem na forma decimal. Por exemplo, se a população está crescendo a uma taxa de 3% da população atual, o valor de k será 0,03. Exemplo: A bactéria causadora da cólera se multiplica por divisão celular segundo o modelo A = A 0 e,386t, onde A é o número de bactérias presente a t horas e A 0 o número de bactérias presente em t = 0. Se começamos com bactéria, quantas estarão presentes após 5 horas? E após horas? Solução: A = A 0 e,386 t A = e,386t, assim: a) em 5 horas: A=e,386 t = e,386 5 A = 0 bactérias b) em horas: A=e,386 t = e,386 A = bactérias Matemática Básica - 07 pg. 6/3 Revisão: 05

27 MODELAGEM DO DECAIMENTO EXPONENCIAL Um exemplo de decaimento exponencial é o chamado decaimento radioativo. Se começamos com uma quantidade A 0 de uma substância radioativa em particular, com o passar do tempo a quantidade desa substância decai exponencialmente. Uma forma conveniente de medir a taxa de decaimento radioativo de uma substância é a sua meiavida, ou seja, o tempo que leva para que metade do material decaia. Usando o modelo do decaimento à meia-vida: Exemplos: Onde: A = A 0 t h A quantidade no tempo t ; A 0 quantidade inicial, em t=0 ; h meia vida do material;. O isótopo radioativo gálio 67, usado no diagnóstico de tumores malignos tem uma meia-vida biológica de 46,5 horas. Se começamos com 00 miligramas, quantos miligramas existirão após 4 horas? E aós semana? Solução: A = A 0 th = 00 t 46,5 a) em 4 horas: A = 00 t = 00 4 = 00 0,533 A = 69,9 mg b) em semana: 7 dias 4 horas = 68 horas A = 00 t 46,5 = ,5 = 00 3,684 A = 8, mg Matemática Básica - 07 pg. 7/3 Revisão: 05

28 . Suponha que você comprou um carro novo por R$ Conforme pesquisas que você fez no mercado, pode-se saber que em 3 anos este carro vai estar valendo metade do que você pagou, determinar o valor do carro após três anos, após seis anos, após nove anos e após 4 anos (não considere nenhum outro fator, além dos fornecidos no problema para determinação do valor do veículo). Solução: A = A 0 th = t 3 a) A = = = b) A = = = c) A = = = A = $3500 A = $ 650 A = $ 85 d) A = = = A = $ 53,90 3. Em 00, a população de uma dada região era de 7, milhões de habitantes. Espera-se que esta população dobre em 090. Determinar a população em 050. Solução: A = A 0 t h d = = 88 anos A 0 = 7, mihões t = = 48 anos assim: 48 A = 7, = 7, 0,5455 A = 0,4 milhões Matemática Básica - 07 pg. 8/3 Revisão: 05

29 4. Inequações exponenciais (a) Definição Inequações exponenciais são as inequações nas quais a incógnita está no expoente. Exemplos: x > 3 ( 5) x x x Neste ponto, o método usado para solucionar estas equações é a redução dos dois membros à uma base comum a ( 0 < a ). Importante lembrar que f (x) = a x é crescente se a > e decrescente se 0 < a <, logo: Se b e c são números reais: para a >, teremos: a b > a c b > c para 0 < a <, teremos: a b > a c b < c EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:. Analisar e marcar V(verdadeiro) ou F(falso) para cada uma das expressões: a),3 >, b) ( 3),3 > ( 3), c) ( ) 3 < ( ) d) e,7 > e,4 3 e) ( 3) 3 4 > ( 3 3) 3 f) (0,5),4 > (0,5),3 g) ( 5 4 ) 3, < ( 5 4),5 h) 3,7 > i) ( 4 5 ),5 > j) π > k) ( 7 5 ) 0,3 < l) 0,4 > 4 0,3 m) 8, > 4,5 n) 9 3,4 < 3,3 o) ( 3 3) 0,5 < 7 0, p) 8, > 0,5, (b) Exemplos Resolver as inequações:. x > 8 x > 8 x > 7 como a base é maior que, temos: x > 7 S = {x R x > 7} Matemática Básica - 07 pg. 9/3 Revisão: 05

30 . ( 3 5) x 5 7 fatorando 5: 5 3 e fatorando 7: 3 3 assim: ( 3 5) x 5 7 ( 3 5 ) x ( 3 5 ) 3 como a base ( 3 5) S = {x R x 3} 3. ( 3 ) x < 4 8 x ( 3 ) x < 8 4 está entre 0 e, temos: x ( 3) 3 < < como a base () é maior que, temos: S = {x R x < 9 4 } 4. ( ) 3x+ 4 + x x ( 8) x x x 3 4 x 3 < 3 4 x < Exercícios. Resolver as equações: a) ( x ) x = 6 b) (3 x ) x 4 = 7 c) (5 x ) x = 5 x d) (0 x ) x = 0 6 x e) 8 x = 4 f) (4 x ) x = 6 g) (4 x ) x = 56 h) (6 x ) x+ = i) ( 4 ) x = 6 x+ j) x + 7x+ = k) 0 x x = 0 l) 3 x 0 x+7 = 9 m) 3 x+3 = 9 n) 0 x 4 = 30 o) 3 x x = 6 p) x 9 x +8=0 q) 9 x +3=4 3 x r) 5 x +5 x = 30 s) x+ + x = 9 t) 0 x 0 x = 0 u) 5 x x = 30 v) { 3x+ y = x+y = } w) 00 0 x = 4 00 x Matemática Básica - 07 pg. 30/3 Revisão: 05

31 . Simplificar: a) x 3 e x 3 x e x x 6 b) (e x +e x ) + (e x e x ) 3. Um dado investimento deverá possuir o valor de R$ num prazo de 0 anos. Considerando cômputo contínuo de juros e uma taxa anual de 9%, quanto deve ser investido hoje? 4. Qual é mais vantajoso para o investidor, um investimento de $ 0000 a 8,9% computado diariamente por 3 meses ou um outro de $ 0000 a 9% computados trimestralmente? 5. Determinar o valor final de um investimento que recebe o valor inicial de R$ 0000 e são depositadas cotas mensais adicionais de R$ 500 (depósito é realizado antes do computo dos juros), por 3 anos, com uma taxa anual de 4,5%, computados mensalmente. 6. Resolver as inequações: a) ( 3) x > 8 b) 3 x < 7 c) ( 9) x 43 d) ( 5) 5 x < 4 5 e) (0,008) x > 3 5 f) 0,6 x > 5 5,65 g) (0,0) x + (0,00) 3 x h) x x 64 i) 7 5 x 6 < j) x 7 x+ x+ 7 x < As populações de animais não possuem a capacidade de crescimento indefinido, por limitações no habitat e disponibilidade de alimentação. Sob estas condições, a população segue o modelo de crescimento logístico: P (t) = d +k e ct onde c, d e k são constantes positivas. Para uma determinada população de peixes num pequeno lago temos: d = 00, k =, c = 0, e t é medido em anos. Os peixes foram introduzidos no lago no tempo t = 0. a) Quantos peixes foram originalmente colocados no lago? b) Determine a população de peixes em 0, 0 e 30 anos c) Avalie a função para valores muito grandes de t. De qual valor a população se aproxima quando t tende a? 8. A população de uma determinada espécie de pássaros é limitada pelo tipo de habitat necessário para a construção de seu ninhos. A população se comporta conforma o modelo de crescimento logístico: n (t) = ,5 + 7,5 e 0,044 t onde t é medido em anos. a) Determinar a população inicial; b) Quantos pássaros deverão existir após 0 anos? c) Qual o tamanho do qual a população se aproxima na medida em que o tempo cresce? 9. Assuma que a população de coelhos numa ilha se comporta conforme o modelo de crescimento Matemática Básica - 07 pg. 3/3 Revisão: 05

32 logístico: n (t) = 0,05 + ( 300 n ,05 ) e 0,55 t sendo n 0 a população inicial de coelhos e t medido em anos. a) Se a população inicial de coelhos é de 50 indivíduos, qual será a população após anos? b) Se a população inicial de coelhos é de 500 indivíduos, qual será a população após anos? c) Se a população inicial de coelhos é de indivíduos, qual será a população após anos? 0. Uma paraquedista salta de uma altura razoável. A resistência do ar é proporcional à sua velocidade e a constante de proporcionalidade é 0,. Pode ser mostrado que a velocidade de descida da paraquedista num dado instante t é dada por: v(t ) = 80( e 0,t ) onde o tempo t é dado em segundos e v(t) é medida em pés por segundo (ft/s); a) Determine a velocidade inicial da paraquedista; b) Determine a sua velocidade após 5 s e após 0 s; c) Represente o gráfico da função velocidade; d) A velocidade máxima de um objeto em queda sob ação da resistência do ar é chamada velocidade terminal. Pelo gráfico do item (c), ache a velocidade terminal desta paraquedista.. O número V d computadores infectados por um determinado vírus cresce de acordo com o modelo V (t ) = 00 e 4,605 t, onde t é medido em horas. Ache o número de computadores infectados após hora, após,5 horas e após horas. 39. Seja Q a massa de plutônio ( Pu ) em gramas, cuja meia vida é de 400 anos. A quantidade t de plutônio presente após t anos é Q = 6 ( 400. a) determinar a quantidade inicial de plutônio; b) determinar a quantidade presente após anos; ) Matemática Básica - 07 pg. 3/3 Revisão: 05