Potenciação Equação Exponencial Função Exponencial. Prof.: Joni Fusinato 1

Transcrição

1 Potenciação Equação Exponencial Função Exponencial Prof.: Joni Fusinato 1

2 Potenciação ou Exponenciação Operação usada para simplificar a multiplicação de números iguais. Exemplos: 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 = 16 5 x 5 x 5 = 5 3 = 125

3 Definições Todo número elevado à zero é igual a 1 (exceto se a base for zero) 0 0 a 1(com a 0) Exemplo : 2 1 Todo número elevado a 1 será igual a ele mesmo a a Exemplo : 2 2, 0 0 A base 1 elevada a qualquer expoente é igual ao próprio 1 n Exemplo : 1 1

4 Definições Potência com expoente negativo: inverte-se a base e o sinal do expoente. n a com a 0 2 n 3 a 2 8 Potência com expoente fracionário: pode ser transformada em um radical, ou seja, em uma raiz, onde o numerador e o denominador do expoente serão respectivamente o índice e o expoente do radicando. m n n m 2 a a com n 0. Exemplo : 3 3 1

5 Propriedades da Potenciação Multiplicação de potências de mesma base: permanece a base e soma-se os expoentes. a.a a Exemplo : m n m n Divisão de potências de mesma base: permanece a base e subtraise os expoentes. a a m n 5 m n a a 0. Exemplo : Potência de uma potência: multiplica-se os expoentes. (a m ) n a m. n Exemplo : (2 2 )

6 Propriedades da Potenciação Potência de uma divisão: é igual a divisão desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente. m 2 2 m a a b 0. Exemplo : m 2 b b Potência de uma multiplicação: é igual a multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente m m m 3 3 ( Exemplo : (2.5) x a.b) a.b 0 6

7 Resumo das Propriedades e Definições 7

8 Aplique as propriedades para resolver as potências: a) b) c) 5. 5 d) e) f) g) h) 2 2 i) j) k) ( 4 ) l)

9 Calcule as potências: Simplifique as expressões numéricas: 9

10 Equação Exponencial É toda equação que apresenta a variável no expoente com base positiva (a > 0) e a 1. Propriedade para resolver as Equações Exponenciais Se a x = a t então x = t (a > 0 e a 1) 10

11 Resolução: 2 x = 32 3 x - 2 = 81 x x = 2 5 x = 5 3 x - 2 = 3 4 x 2 = 4 x = 6 1 x x x 3 2 x 3 2

12 Atividades Resolva as equações propostas: 12

13 Função onde a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um. ƒ: R R +* / ƒ(x) = a x em que a R, a > 0 e a 1 Exemplos: Função Exponencial a) f (x) 2 x c) y 3.4 x b) y 1 2 x d) f (x) 2 5 x

14 Gráficos da Função Exponencial ƒ(x) = a x é crescente se a >1 ƒ(x) = a x é decrescente se 0 < a < 1

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16 Função é decrescente 16

17 Aplicações das Funções Exponenciais A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza. Vamos estudar algumas dessas aplicações. Na Matemática Financeira: Cálculo dos Juros Compostos. Na Biologia: crescimento de determinados seres vivos microscópicos como as bactérias e vírus. Na Química: decaimento radioativo de alguns elementos químicos.

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19 Fissão Nuclear

20 Aplicações das Funções Exponenciais Mercado Financeiro: Juros Compostos Antônio aplica R$ ,00 sem fazer novos aportes em Títulos do Tesouro Direto Selic a uma taxa anual de 6,50% ao ano. a) Qual será o saldo no final de 12 meses? b) Qual o montante a ser resgatado após 3 anos? M = C.(1+ i) t (Fórmula dos juros compostos) Onde: C = capital M = montante final i = taxa de juros (em decimais) t = tempo de aplicação

21 Aplicações das Funções Exponenciais a) Após 12 meses = 1 ano Resolução M =? C = i = 6,50% a.a = 0,065 (taxa em decimais) t = 12 meses = 1 ano M = C.(1+ i) t M = (1 + 0,065) 1 M = (1,065) 1 M = Saldo após 12 meses = R$ ,00. b) Montante após 3 anos Resolução M =? C = i = 6,50% a.a = 0,065 t = 3 anos M = C.(1+ i) t M = (1+ 0,065) 3 M = (1,065) 3 M = (1,2079) M = ,50 Após 3 anos ele terá um saldo de R$ ,50

22 No dia 5 de agosto de 2010, um desmoronamento bloqueou a saída da mina San José, no norte do Chile. Desde então, 33 homens ficaram presos sob a terra, a 622 m de profundidade, recebendo água e comida por meio de sondas. Os operários bateram recorde de sobrevivência debaixo da terra, foram 69 dias de angústia para as famílias. O resgate, realizado em 14 de outubro de 2010, foi emocionante e comoveu o mundo. Foi aberto um túnel, pelo qual os mineiros foram içados um a um, dentro de uma cápsula metálica.

23 Considere que, após atingir 110 metros de escavação, encontrou-se uma camada diferente de rochas e a perfuradora precisou ser trocada por uma nova máquina, mais adequada ao tipo de trabalho a ser feito. Considere também que a profundidade da escavação do túnel, após a troca da perfuradora, em metros, seja dada pela função P(t) = t, em que t representa o número de semanas de escavação com a nova perfuradora. a) Qual a profundidade do túnel na 5ª semana de escavação com a nova perfuradora? R: 142 metros b) Quantas semanas a nova perfuradora precisou para atingir a profundidade em que estavam os mineiros? R: 9 semanas

24 A estimativa do número de bactérias de uma cultura pode ser calculado pela função: N(t) = ,4t (tempo em horas). Após quantas horas teremos bactérias? N(t) = ,4t N(t) = ,4t = ,4t = / ,4t = ,4t = 2 4 0,4t = 4 t = 4/0,4 t = 10 h A cultura terá bactérias após 10 h.

25 O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de estrôncio ( 90 Sr) radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos. Supondo que esse isótopo fosse a única contaminação radioativa e que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de 90 Sr se reduzir, por desintegração, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser habitado novamente a partir do ano de: a) 2014 b) 2098 c) 2266 d) 2986 A função que relaciona a quantidade de 90 Sr presente em função do tempo é dado por: N(t) N t 28

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27 Conceitos e Propriedades. Equações Exponenciais 27