Álgebra Linear - Exercícios (Espaços Vectoriais)

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1 Álgebra Linear - Exercícios (Espaços Vectoriais)

2 Índice Espaços Vectoriais 3. DependênciaeIndependênciaLinear SistemasdeGeradoreseBases....3 SubespaçosVectoriais Miscelânea... 9

3 Espaços Vectoriais. Dependência e Independência Linear Exercício Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α R paraoqualosvectoresαu +v e u v são linearmente dependentes. Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β (αu +v)+β (u v) == = (β α + β ) u +(β β ) v = Dado que u e v são linearmente independentes da expressão anterior resulta que: ½ β α + β = β β = Temos portanto um sistema homogéneo de duas equações a duas incógnitas, α β e β,cujamatrizdosistemaédadapora =. Se o sistema for determinado, a única solução será β = β =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja indeterminado, isto é r A <. Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = α L L ³ L α L + α L α+ Tem-se claramente r A = r A B,oquesignifica que o sistema é possível (como já sabíamos por ser um sistema homogéneo). Se α 6= tem-se r A =oque implica um sistema possível e determinado; se α =, tem-ser A =< pelo que teremos um sistema possível e indeterminado. O escalar escolhido deverá portanto ser α =. 3

4 Exercício Sejam u, v e w três vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Determine o escalar α R paraoqualosvectores αu +v +w e u + αv w são linearmente dependentes. Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β (αu +v +w)+β (u + αv w) == = (β α + β ) u +(β + β α) v +(β β ) w = Dado que u, v e w são linearmente independentes, da expressão anterior resulta que: β α + β = β + β α = β β = Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a duas incógnitas, β, β e β 3,cujamatrizdosistemaédadaporA = α α. Seosistema for determinado, a única solução será β = β =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja indeterminado, isto é r A <. Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = α α L L 3 α L L +( ) L L α 3 L 3 + α L α + α+ Se α = ou α = tem-se claramente r A = r A B =,oquesignifica que o sistema é possível (como já sabíamos por ser um sistema homogéneo) e determinando. No entanto, se α 6= α 6= também se obterá um sistema possível e determinado. Concluimos assim que os vectores dados serão sempre linearmente independentes, qualquer que seja α R. 4

5 Exercício 3 Sejam u e v dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real E. Mostre que os vectores u e u + v são linearmente independentes. Construamosacombinaçãolinearnuladestesdoisvectoreseverifiquemos que só é satisfeita com os escalares nulos: β (u)+β (u + v) == = (β + β ) u + β v = Sabendo que u e v são linearmente independentes, teremos: ½ β + β = β = A solução deste sistema é claramente β = β =peloquesepodeconcluir que os vectores u e u + v são linearmente independentes. Exercício 4 Considerem-se 3 vectores de um espaço vectorial: u, v e w. Prove que u v, v w e w u são sempre linearmente dependentes. Construamosacombinaçãolinearnuladestestrêsvectoreseverifiquemos que não é só satisfeita com os escalares nulos: β (u v)+β (v w)+β 3 (w u) == = (β β 3 ) u +( β + β ) v +( β + β 3 ) w = Sabendo que u, v e w são linearmente independentes, teremos: β β 3 = β + β = β + β 3 = Construímos agora a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: 5

6 [A B] = L L + L L 3 L 3 + L Dado que r A = r A B =< 3, o sistema é possível e indeterminado, tendo outras soluções que não a solução β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente dependentes. Exercício 5 Sendo x, y e z vectores linearmente independentes de um espaço vectorial E, mostre que os três vectores x + y, x + z e y + z também são linearmente independentes Construamosacombinaçãolinearnuladestestrêsvectoreseverifiquemos que não é só satisfeita com os escalares nulos: β (x + y)+β (x + z)+β 3 (y + z) == = (β + β ) x +(β + β 3 ) y +(β + β 3 ) z = Sabendo que x, y e z são linearmente independentes, teremos: β + β = β + β 3 = β + β 3 = Construímos agora a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = L L +( ) L L 3 L 3 + L 6

7 Dado que r A = r A B ==3, o sistema é possível e determinado, tendo apenas a solução β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Exercício 6 Sejam v e w dois vectores linearmente independentes de um espaço vectorial E. Mostre que o sistema de vectores {v, w, v + w} élinearmente dependente. Construamosacombinaçãolinearnuladestestrêsvectoreseverifiquemos que não é só satisfeita com os escalares nulos: β v + β w + β 3 (v + w) == = (β + β 3 ) v +(β + β 3 ) w = Sabendo que v e w são linearmente independentes, teremos: ½ β + β 3 = β + β 3 = Construímos agora a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = Dado que r A = r A B =< 3, o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação d = n r A =3 =. Existem portanto outras soluçõesparaosistemaquenãoasoluçãoβ = β = β 3 =. Logo, os vectores {v, w, v + w} são linearmente dependentes. Exercício 7 Identifique as condições sobre a e b de modo a que os vectores, (a,,b), (a +,, ) e (3,b,) sejam linearmente independentes. Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β (a,,b)+β (a +,, ) + β 3 (3,b,) = = = (aβ +(a +)β +3β 3, β +β + bβ 3,bβ + β + β 3 )= 7

8 Da expressão anterior resulta que: aβ +(a +)β +3β 3 = β +β + bβ 3 = bβ + β + β 3 = Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a três incógnitas, β, β e β 3, cuja matriz do sistema é dada por A = a a+ 3 b. Se b o sistema for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja determinado, isto é r A =3. Tal depende no entanto dos valores dos parâmetros a e b. Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = a a+ 3 b L L b b a a+ 3 L b L b a a+ 3 L L +( a) L L b 3 L 3 +( b) L b 6 ab L 3 L 3 +(b ) L b b b 6 ab b +(b ) 6 ab Para que, como se pretende, r A = r A B = 3, é necessário que b (b ) 6 ab 6=. Vejamos então qual a relação entre a e b de modo a que esta condição seja satisfeita. Note-se que b +(b ) 6 ab =é uma equação na variável a. Ésimplesverificar que a = 4 b +6b (b )b. Assim, concluímos que: + b = b = Não existe solução para a, logo r A = r A B =3, o sistema é possível e determinado e, por consequência os três vectores dados são linearmente independentes. 8

9 b 6= b 6= Se a = 4 b +6b (b )b, teremos r A = r A B < 3, o sistema é possível e indeterminado e, por consequência os três vectores dados são linearmente dependentes. Se a 6= 4 b +6b (b )b, teremos r A = r A B =3, o sistema é possível e determinado e, por consequência os três vectores dados são linearmente independentes. Exercício 8 Verifique se os seguintes vectores de R 4 são linearmente independentes? x =(,,, ) ; x =(,,, ) ; x 3 =(,,, 3) Os vectores serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: βx + βx + βx 3 == = β (,,, ) + β (,,, ) + β 3 (,,, 3) = = = (β + β 3, β + β 3, β + β + β 3, β +β +3β 3 )= Da expressão anterior resulta que: β + β 3 = β + β 3 = β + β + β 3 = β +β +3β 3 = Temos portanto um sistema homogéneo de quatro equações aquatro incógnitas, β, β, β 3 e β 4, cuja matriz do sistema é dada por A =. Se o sistema for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja determinado, isto é r A =3. Tal depende no entanto dos valores dos parâmetros a e b. Construímos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: 9

10 [A B] = a a+ 3 b L L b b a a+ 3 L L b b a a+ 3 L L +( a) L L b 3 L 3 +( b) L b 6 ab L 3 L 3 +(b ) L b b b 6 ab b +(b ) 6 ab Para que, como se pretende, r A = r A B = 3, é necessário que b (b ) 6 ab 6=. Vejamos então qual a relação entre a e b de modo a que esta condição seja satisfeita. Note-se que b +(b ) 6 ab =é uma equação na variável a. Ésimplesverificar que a = 4 b +6b (b )b. Assim, concluímos que:. Sistemas de Geradores e Bases Exercício 9 Considere os vectores: + u =(,,a); u =(,, ) ; u 3 =(,,b) com u i R 3,i=,, 3. Que condições devem verificar a e b para {u,u,u 3 } constituírem uma base de R 3. Sabemos que dim R 3 =3. Como o conjunto {u,u,u 3 } é constituído por três vectores de R 3 sabemos que {u,u,u 3 } serão geradores de R 3 se constituirem uma base de R 3. Mas {u,u,u 3 } só constituirá uma base de R 3 se os seus vectores forem linearmente independentes. Os vectores de {u,u,u 3 } serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos:

11 β u + β u + β 3 u 3 == = β (,,a)+β (,, ) + β 3 (,,b)= (β + β 3, β + β, β a + β + β 3 b)= Da expressão anterior resulta que: β + β 3 = β + β = aβ + β + bβ 3 = Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a três incógnitas, β, β e β 3,cujamatrizdosistemaédadaporA =. Seosistema a b for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes eportantoumabaseder 3, como pretendemos. Tal depende no entanto do valor dos parâmetros a e b. Construamos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = L L +( ) L L a b 3 L 3 +( a) L L 3 L 3 +( ) L b a b a + Para que, como se pretende, r A = r A B =3, é necessário que b a + 6=,o que implica b 6= a. Nestas circunstâncias, o sistema é possível e determinado e os vectores dados são linearmente dependentes, constituindo uma base de R 3. Exercício Sejam v =(7, 4, 7) e v =(8, 7, 8) dois vectores de R 3.Determine o valor de t demodoaqueovectorv =(,t,8) pertença ao subespaço de R 3 gerado por v e v.

12 O subespaço gerado pelos vectores v e v sãoosvectoresdaforma:α v + α v.assim,ovectorv pertencerá ao subespaço gerado por v e v se existirem escalares α e α tais que α v + α v = v. α v + α v = v α (7, 4, 7) + α (8, 7, 8) = (,t,8) 7α +8α = 4α +7α = t 7α +8α =8 Vejamos quais as condições para que o sistema seja possível. estudamos o sistema através da sua matriz ampliada: Para isso, t L L L L L 3 + L t 7 7 L 7 7 L t L 3 L 3 +( 6) L t 7 94t O sistema será possível se 7 94t =. Logo, v poderá ser escrito como combinação linear de v e v se t = Exercício Verifique se o conjunto de vectores {(6, 3, 9), (5,, 8), (4,, 7)} constitui uma base de R 3. Exercício Seja v =(, ) R. a) Dê um exemplo de um vector, diferente de v e do vector nulo, que pertença ao subespaço gerado por v. b) Dê um exemplo de um vector que não pertençaaosubespaçogeradopor v.

13 a) O subespaço gerado por v é dado por: w R : w = α v, α R ª O subespaço gerado por v são protanto todos os múltiplos do vector v. Escolhendo α =, obtém-se w =( ) v =( ) (, ) = (, ). conclui-se portanto que (, ) pertence ao subespaço gerado por v. b) Em contraponto com a) serão todos os vectores que não sejam múltiplos de v, por exemplo (, ). Podemos confirmar este resultado, mostrando que a equação (, ) = α (, ) éimpossível: α (, ) = (, ) (α, α) =(, ) Esta expressão é equivalente, matricialmente, ao seguinte sistema de equações: α = Osistemaéobviamenteimpossível.Estudemosasuamatrizampliada: [A B] = L L +( ) L Dado que r A 6= r A B o sistema é impossível, pelo que não existe nenhum escalar α R que satisfaça (, ) = α (, ). Logo, (, ) não pertence ao subespaço gerado por (, ). Exercício 3 Considere o espaço vectorial R 3 e o conjunto de vectores M = {(4, 5, 6), (r, 5, ), (4, 3, )}. Determiner demodoaqueoconjuntogeradopelos vectores de M não seja R 3. Sabemos que dim R 3 =3. Como o conjunto M é constituído por três vectores de R 3 sabemos que M serão geradores de R 3 se constituirem uma base de R 3. Mas M só constituirá uma base de R 3 se os seus vectores forem 3

14 linearmente independentes. Os vectores de M serão linearmente independentes se a única combinação linear nula destes se obtiver com os escalares nulos: β (4, 5, 6) + β (r, 5, ) + β 3 (4, 3, ) = = = (4β + rβ +4β 3, 5β +5β +3β 3, 6β + β +β 3 )= Da expressão anterior resulta que: 4β + rβ +4β 3 = 5β +5β +3β 3 = 6β + β +β 3 = Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a três incógnitas, β, β e β 3, cuja matriz do sistema é dada por A = 4 r Seosistema 6 for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes eportantoumabaseder 3, o que contraria o que nós pretendemos. Pretendese portanto que o sistema seja indeterminado, isto é r A < 3. Tal depende no entantodovalordoparâmetror. Construamos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = 4 r L 4 L 6 r L L +( 5) L L 6 3 L 3 +( 6) L r 4 r 4 L 4 4 r r L 4 4 Para prosseguir a condensação temos de assumir que r 6=. Adiante estudaremos o caso em que r =. r r r 4 4 r 4 8 r r 3 r µ L 3 L r L 4 4

15 Para que, como se pretende, r A = r A B < 3, é necessário que r 3 r =,o que implica r =6. Nestas circunstâncias, o sistema é possível e indeterminado e os vectores dados são linearmente dependentes. regressemos agora ao caso em que r =. Substituindo r na matriz após as três primeiras operações elementares obtém-se: Prosseguindo a condensação, obter-se-á: = L L Tem-se, claramente, r A = r A B =3pelo que o sistema é possível e determinado. consequentemente, os vectores dados serão lineramente independentes. O valor do parâmetro r que nos interessa é portantor =6. Exercício 4 O conjunto, P (R), dos polinómios de grau inferior ou igual a constitui um espaço vectorial real. a) Determine um polinómio b (x) de modo a que o conjunto, +x,b(x) ª constitua uma base de P (R). b) Determine as coordenadas de x 7x nessa base. a) O polinómio b (x) deverá ser tal que o sistema de vectores, +x,b(x) ª seja linearmente independente. Construamos a combinação linear nula destes três vectores e verifiquemos para que polinómios b (x) =ax +bx+c a equação é satisfeita apenas com os escalares nulos: β +β +x + β 3 b (x) == = β +β +x + β 3 ax + bx + c == = (β + β + cβ 3 )+(bβ 3 ) x +(β + aβ 3 ) x = 5

16 Sabendo que um polinómio é nulo se os coeficientes dos termos de todos os graus forem nulos, teremos: β + β + cβ 3 = bβ 3 = β + aβ 3 = Temos portanto um sistema homogéneo de três equações a três incógnitas, β, β e β 3,cujamatrizdosistemaédadaporA = c b. Se o a sistema for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes e portanto uma base de P (R), como se pretende. Tal depende no entanto do valor dos parâmetros a, b e c. Construamos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = c b L L 3 a c a b Para que, como se pretende, r A = r A B =3,énecessárioqueb 6=.Nestas circunstâncias, o sistema é possível e indeterminado, os vectores dados são linearmente dependentes e portanto constituirão uma base de P (R). Escolhemos a alternativa mais simples e escolhamos a = c =e b =. Neste caso b (x) =x. O conjunto de vectores, +x,x ª será portanto uma base de P (R). b) Pretende-se determinar os escalares β, β e β 3 tais que: β +β +x + β 3 x =x 7x β x + β 3 x +(β + β )=x 7x Sabendo que dois polinómios são iguais se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, a igualdade acima é equivalente ao seguinte sistema de equações: 6

17 β = β 3 = 7 β + β = Facilmente se verifica que a solução será dada por β =, β =e β 3 = 7. Assim, as coordenadas de x 7x na base, +x,x ª serão 7 T. Exercício 5 Mostre que o conjunto M = {(,, 3), (, 3, 4), (3, 4, 5)} não é uma base de R 3. Temos duas alternativas para mostrar este facto: a alternativa: Notemos que dim R 3 =3. Se os vectores dados não forem linearmente independentes, então não podem constitur uma base de R 3 uma vez que esta deverá ter 3 elementos. a alternativa: Podemos verificar se os vectores de M geram qualquer vector x R 3.Setal não for verdade, então os vectores não podem constituir uma base de R 3. Exercício 6 Verifique se os seguintes vectores são geradores do espaço vectorial R 3. a) x =(,, ) ; x =(,, ) ; x 3 =(3,, ) b) x =(,, ) ; x =(,, ) ; x 3 =(3,, ).3 Subespaços Vectoriais Exercício 7 Quais dos seguintes subconjuntos de R são subespaços de R? i) W = (x, y) R : x =y ª ii) W = (x, y) R : x =y, x = y ª iii) W 3 = (x, y) R : x =y + ª iv) W 4 = (x, y) R : xy = ª 7

18 i) Vejamos se W.Sex =e y =,teremosx =y pelo que (, ) W. Com efeito, =x. Consideremos agora dois vectores (x, y), (x,y ) W e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que α (x, y)+β (x,y ) W. Faça-se (a, b) =α (x, y) +β (x,y ). Queremos mostrar que (a, b) satisfaz a =b: (a, b) = α (x, y)+β (x,y ) (Porque (x, y), (x,y ) W ) = (αy +βy, αy + βy ) = ((αy + βy ), αy + βy ) Concluímos assim que (a, b) satisfaz a =b, logo, F é um espaço vectorial. ii) O sistema x =y x = y tem como solução única o vector nulo, (, ). Assim, como W = {(, )} conclui-se que W é um subespaço. iii) Vejamos se W 3. É fácil verificar que não: um vector de W 3 tem a forma (y +,y),y R. Este vector poderá ser escrito como: (y +,y)=y (, ) + (, ),y R Vejmos agora se existe algum escalar α tal que (α +, α) =: (α +, α) = α (, ) + (, ) = (, ) α (, ) = (, ) ½ α = α = Este sistema é impossível pelo que / W 3. Portanto, W 3 não constitui um subespaço vectorial. iv) O conjunto W 4 é constituído pelos vectores da forma (x, ),x R e (,y),y R. É obvio que os vectores (, ) e (, ) pertencem ao subespaço vectorial W 4,masasuasoma,(, ) + (, ) = (, ), não. Dado que W 4 não é fechado para a soma, então não pode ser espaço vectorial. Exercício 8 Seja F o espaço vectorial real das funções reais de variável real, diferenciáveis. Determine, entre os seguintes conjuntos, aqueles que são subespaços de F. 8

19 o i) F = nf F : f (x) f (x) =, x R o ii) F = nf F : f (x) =x f (x), x R i) Vejamos se F. Obviamente que não: se f (x) =teremos f (x) =, pelo que f (x) f (x) =6=. Logo, / F,portantoF não é subespaço. ii) Vejamos se F. Se f (x) =teremos f (x) =,peloquef (x) = x f (x) é satisfeita. Com efeito, =x. Consideremos agora duas funções f (x),g(x) F e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αf (x) +βg (x) F. Faça-se p (x) =αf (x) +βg (x). Queremos mostrar que p (x) se pode escrever na forma x p (x): p (x) = αf (x)+βg(x) (Porque f (x),g(x) F ) = αx f (x)+βx g (x) ³ = x αf (x)+βg (x) = x p (x) Concluímos assim que F é um espaço vectorial. Exercício 9 Considere o espaço vectorial S, sobre R, das sucessões reais. Determine, entre os seguintes subconjuntos, aqueles que são subespaços de S: i) O conjunto das progressões aritméticas, P. ii) O conjunto das sucessões com um número infinito de termos nulos, Q. i) As progressões aritméticas reais são sucessões reais do tipo u n = n r, r R. Está claro que se r =,teremosu n =,peloque P. Consideremos agora duas progressões u n,v n P e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αu n + βv n P. Faça-se w n = αu n +βv n. Queremos mostrar que w n éumaprogressãoaritmética. Bastaparaoefeitodeterminaroseu termo: 9

20 w n = αu n + βv n (Porque u n,v n P) = αnr + βnr = n (αr + βr ) Concluímos assim, que w n é uma progressão aritmética de termo (αr + βr ). Exercício Seja E o espaço vectorial real das funções reais de variável real contínuas e diferenciáveis em R, munido das operações habituais de adição de funções e da multiplicação de uma função por um escalar. Seja F oconjunto das funções: αx + β, x < f (x) = ax + bx + c, x γx + δ, x > () Que condições devem verificar as constantes e α, β, γ, δ, a, b e c para que F seja um subespaço de E? f tem de ser contínua Apenas nos precisamos de preocupar com os pontos de abcissa x =e x =: x = α +β = a + b +c β = c x = a + b +c = γ +δ a + b + c = γ + δ f tem de ser diferenciável Apenas nos precisamos de preocupar com os pontos de abcissa x =e x =: df x= = df x= α = a x + b + x= + dx α = b dx df dx x= = df dx a + b = γ x= a x + b + x= = γ

21 As quatro condições anteriores podem ser colocadas em forma de sistema de 4 equações a 7 incógnitas, a saber: Resolvendo o sistema por condensação obtém-se: α β γ δ a b c = L L 3 L L 3 L 4 L 4 +( ) L 3 L 3 L 3 + L 4 Temos r A = r A B =4< 7 pelo que o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação n r A =7 4=3. A solução geral do sistema será dada por: α = b β = c γ =a +b δ = a b + c, a,b,c R

22 Matricialmente, teremos: α β γ δ a b c = b c a +b a b + c a b c = a + b Relativamente às condições para o critério de suespaço: + c Está claro que F. Basta fazer a = b = c =,paraqueα = β = γ = δ =e portanto se tenha a função f (x) =. Consideremos agora duas funções f (x),g(x) F e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αf (x)+βg (x) F. Faça-se p (x) =αf (x)+ βg (x). Queremos mostrar que p (x) se pode escrever na forma da equação (): p (x) = f (x)+g(x) = = = bx + c, x < ax + bx + c, x (a +b) x +( a b + c), x > b x + c, x < + a x + b x + c, x (a +b ) x +( a b + c ), x > (b + b ) x +(c + c ), x < (a + a ) x +(b + b ) x +(c + c ), x ( (a + a )+(b + b )) x +( (a + a ) (b + b )+(c + c )), x > Fazendo a =(a + a ), b =(b + b ) e c =(c + c ), p (x) escrever-se-á na forma: b x + c, x < p (x) = a x + b x + c, x (a +b ) x +( a b + c ), x > Adicionalmente, fazendo,... teremos, α = b β = c γ =a +b δ = a b + c

23 α x + β, x < p (x) = a x + b x + c, x γ x + δ, x >... o que mostra que p (x) F. Exercício Seja M (R) o espaço vectorial real das matrizes quadradas de a b ordem da forma.verifique se os subconjuntos a seguir indicados são c d subespaços de M (R). Nocasoafirmativo apresente um conjunto de geradores linearmente independentes. i) Conjunto das matrizes quadradas de ordem que verificam a = b. ii) Conjunto das matrizes quadradas de ordem que verificam b = c +. a a i) Seja M o conjunto dado, cujas matrizes têm a forma genérica, c d a,c,d R. Se a = c = d =teremos a matriz nula de ordem,. Logo, M. Sejam agora A =,A a a c d a a = c d M e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αa + βa M. Faça-se A = αa + βa. A = αa + βa a a a a = α + β c d c d αa + βa αa + βa = αc + βc αd + βd Note-se que, na matriz A se tem a = a, o que implica que A M. Concluímos assim que M é um subespaço vectorial. Note-se que: a a c d = a + c + d ½ ¾ Assim,,, é uma base de M eportanto um conjunto de geradores de M. 3

24 a c+ ii) Seja M o conjunto dado, cujas matrizes têm a forma genérica c d Note-se que / M. Efectivamente, o sistema c = c+ = éimpossível. Conclui-se assim que M não é subespaço vectorial de M (R)., a,c,d R. Exercício Seja M n (R) o espaço vectorial real das matrizes quadradas de ordem n. Verifique se os subconjuntos a seguir indicados são subespaços de M n (R). Nocasoafirmativo apresente uma base e indique a dimensão. i) Conjunto das matrizes diagonais. ii) Conjunto das matrizes escalares. i) Seja M o conjunto dado, cujas matrizes têm a forma genérica diag {d,d,,d n }, di R. Se d i =teremos a matriz nula de ordem, n. Logo, M. Sejam agora D = diag {d,d,,d n },D = diag {d,d,,d n} M edois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αd + βd M. Faça-se D = αd + βd. D = αd + βd = α diag {d,d,,d n } + β diag {d,d,,d n} = diag {αd + βd, αd + βd,, αd n + βd n} AmatrizD é obviamente diagonal, o que implica que D M. Concluímos assim que M é um subespaço vectorial. Note-se que: diag {d,d,,d n } = = d diag {,,, } + + d n diag {,,, } Assim, {diag {,,, },,diag{,,, }} é uma base de M. Como éconstituídaporn vectores, M tem dimensão n. ii) Seja M o conjunto dado, cujas matrizes têm a forma genérica diag {d, d,,d}, d R. Se d =teremos a matriz nula de ordem, n. Logo, M. Sejam agora D = diag {d, d,,d},d = diag {d,d,,d } M edoisescalares α, β R. Pretende-se verificar que αd + βd M. Faça-se D = αd + βd. 4

25 D = αd + βd = α diag {d, d,,d} + β diag {d,d,,d } = diag {αd + βd, αd + βd,, αd n + βd } AmatrizD é obviamente diagonal, o que implica que D M. Concluímos assim que M é um subespaço vectorial. Note-se que: diag {d, d,,d} = = d diag {,,, } Assim,amatrizidentidadedeordemn é uma base de M. Como é constituída por vector, M tem dimensão. Exercício 3 Seja C o espaço vectorial real das funções reais de variável real, com derivada contínua no intervalo [ a, a], a >. Verifiqueseosseguintes conjuntos são subespaços vectoriais de C. i) V = ª f C : f ( x) =f (x), x [ a,a] ii) V = ª f C : f ( x) = f (x), x [ a,a] i) Vejamos se V. Se f (x) =teremos f ( x) =,peloquef (x) = f ( x) é satisfeita, logo V. Consideremos agora duas funções f (x),g(x) V e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αf (x)+βg (x) F. Faça-se p (x) =αf (x)+βg (x). Queremos mostrar que p (x) =p ( x): p (x) = αf (x)+βg(x) (Porque f (x),g(x) F ) = αf ( x)+βg( x) = p ( x) Concluímos assim que V é um espaço vectorial. 5

26 ii) Vejamos se V.Sef (x) =teremos f (x) =,peloquef (x) =. Logo f ( x) =é satisfeita, pelo que V. Consideremos agora duas funções f (x),g(x) V e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αf (x) +βg (x) V. Faça-se p (x) =αf (x) +βg (x). Queremos mostrar que p (x) =p ( x): p (x) = αf (x)+βg(x) (Porque f (x),g(x) V ) = α [ f ( x)] + β [ g ( x)] = αf ( x) βg ( x) = (αf ( x)+βg( x)) = p ( x) Logo, p (x) = p ( x), pelo que p ( x) = p (x). Concluímos assim que V é um espaço vectorial. Exercício 4 Seja (a,a,,a n ) um vector fixo do espaço vectorial R n.verifiqueseoconjunto, éumsubespaçoder n. ( F = (x,x,,x n ) R n : ) nx a i x i = i= Vejamos se F. Como o vector (x,x,,x n )=(,,, ) satisfaz P obviamente a equação n a i x i =, concluímos que F. Consideremos agora i= dois vectores x, y F e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αx + βy F. Faça-se v = αx + βy. Queremos mostrar que v =(v,v,,v n ) P satisfaz a equação n a i v i =: i= v = αx + βy (v,v,,v n )=α(x,x,,x n )+β(y,y,,y n ) (v,v,,v n )=(αx, αx,, αx n )+(βy, βy,, βy n ) Concluímos que v i = αx i + βy i,i=,,n. Vejamos então se o vector, (v,v,,v n )=(αx + βy,, αx n + βy n ) 6

27 P satisfaz a equação n a i v i =: i= nx nx a i v i = a i (αx i + βy i ) i= i= n = α X n a i x i + β X a i y i i= i= (Porque x, y F ) = α +β = Concluímos assim que F é um espaço vectorial. Exercício 5 Seja E um espaço vectorial real. Sabendo que E e E são subespaços de E, verifiqueseoconjuntof = {x E : x = x 3x,x E,x E } éumsubespaçodee. Vejamos se F.Como E e E então 3 F.Mas 3 =, pelo que 3 F. Consideremos agora dois vectores x, y F e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αx+βy F. Faça-se z = αx+βy. Queremos mostrar que z se pode escrever na forma x = z 3z,z E,z E : z = αx + βy (Porque x, y F, x,y E,x,y E tais que) = α (x 3x )+β(y 3y ) = αx + βy 3(αx + βy ) µ Mas E e E são subespaços vectoriais, logo αx + βy E e αx + βy E. = z 3z... onde z = αx + βy E e z = αx + βy E.Concluímos assim que F é um espaço vectorial. Exercício 6 Quais dos seguintes subconjuntos de R 3 são subespaços de R 3? i) W = (x, y, z) R 3 : x + y = ª ii) W = (x, y, z) R 3 : x = z ª iii) W 3 = (x, y, z) R 3 : x +y + z = ª 7

28 i) Vejamos se W. Obviamente que não uma vez que + 6=. Concluímos assim que W não é um espaço vectorial. ii) Vejamos se W. Dado que, se (x, y, z) =(,, ), entãox z = =, pelo que a condição x = z éverificada e portanto W. Consideremos agora dois vectores u =(u,u,u 3 ),v =(v,v,v 3 ) W e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αu + βv W. Faça-se w = αu + βv. Queremos mostrar que w = w 3: w = αu + βv = α (u,u,u 3 )+β(v,v,v 3 ) = (αu + βv, αu + βv, αu 3 + βv 3 ) w w 3 = (αu + βv ) (αu 3 + βv 3 ) = α u +αβu v + β v α u 3 αβu 3 v 3 β v3 = α u 3 u + β v 3 v +αβ (u v u 3 v 3 ) (Porque u, v W ) = αβ (u v u 3 v 3 ) Logo, w w 3 6=,peloquew 6= w 3. Concluímos assim que W não é um espaço vectorial. iii) Vejamos se W 3.Dadoque,se(x, y, z) =(,, ), entãox+y+z =+ =,peloqueacondiçãox+y+z =éverificada e portanto W 3. Consideremos agora dois vectores u =(u,u,u 3 ),v =(v,v,v 3 ) W 3 e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αu + βv W 3. Faça-se w = αu + βv. Queremos mostrar que w +w + w 3 =: w = αu + βv = α (u,u,u 3 )+β(v,v,v 3 ) = (αu + βv, αu + βv, αu 3 + βv 3 ) w +w + w 3 = αu + βv +(αu + βv )+(αu 3 + βv 3 ) = α (u +u + u 3 )+β(v +v + v 3 ) (Porque u, v W ) = α +β = 8

29 Logo, w +w +w 3 =, pelo que concluímos ue W 3 é um espaço vectorial..4 Miscelânea Exercício 7 Considere o espaço vectorial P n sobre R dos polinómios em x de grau não superior a n. Considere o conjunto P n, subconjunto de P n, dos polinómios p (x) que verificam a seguinte condição: p (x) +p ( x) =. a) Mostre que P n éumsubespaçodep n. b) DetermineumabaseeadimensãodeP n. a) De um modo geral, para mostrar que S é subespaço de um espaço vectorial V temos de mostrar que: i) S. ii) αu + βv S, α,β K, u,v S Se p (x) = ter-se-á p ( x) = pelo que p (x) +p ( x) =. Logo, p (x) = Pn. Consideremos agora dois polinómios p (x),q(x) P n e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αp (x) +βq (x) Pn. Como, por hipótese p (x) = p ( x) e q (x) = q ( x), ter-se-á αp (x) = αp ( x) e βq (x) =βq ( x). Consequentemente, αp (x)+βq (x) =αp ( x)+βq ( x), oquemostraqueαp (x)+βq(x) Pn. b) Estudemos os casos em que n é par ou ímpar: n par Neste caso, os polinómios p (x) P n terão a forma: p (x) =+α x +x + α 3 x α n x n +x n Uma base possível será x, x 3,x 5,,x n ª e a dimensão de P n será n. n ímpar Neste caso, os polinómios p (x) P n terão a forma: p (x) =+α x +x + α 3 x 3 + +x n + α n x n Uma base possível será x, x 3,x 5,,x nª e a dimensão de P n será n+. 9

30 Exercício 8 Seja P n o espaço vectorial sobre R dos polinómios em x de grau não superior a n. Considere o conjunto F, dos polinómios dos polinómios p (x) pertencentes a P n que verificam a seguinte condição: p () =. a) Mostre que F éumsubespaçodep n. b) DetermineumabaseeadimensãodeF. a) Vejamos se F. Se p (x) =teremos p() =, pelo que F. Consideremos agora dois polinómios p (x), q(x) F e dois escalares α, β R. Pretende-se verificar que αp (x)+βq (x) F. Faça-se s (x) =αp (x)+ βq (x). Queremos mostrar que s () = : s () = αp () + βq () (Porque p (x),q(x) F ) = α +β = Logo, s () =. ConcluímosassimqueF é um espaço vectorial. b) Consideremos um vector genérico de P n, digamos p (x), comaseguinte forma: p (x) =a n x n + a n x n + a n x n + + a x + a Paraqueseverifique p () = é necessário que: p () = a n n + a n n + a n n + + a +a = a = Assim, os polinómios p (x) que satisfazem p () = terão de ter termo independente nulo. Concluímos que, se p (x) F, então a forma de p (x) será: p (x) =a n x n + a n x n + a n x n + + a x O subespaço F terá como base o conjunto x n,x n,x n,,x ª easua dimensão será n. 3

31 Exercício 9 Considerem-se os seguintes subconjuntos de R 3 : F = x R 3 ª : x =(x,, ), x R F = y R 3 ª : y =(y + y 3,y,y 3 ), y,y 3 R Mostre que F e F são subespaços de R 3, indicando bases apropriadas e as respectivas dimensões. Exercício 3 Seja M n (R) o espaço vectorial real das matrizes quadradas de ordem n. a) Mostre que o conjunto H n = A M n : A = A T ª éumsubespaçodem n e indique a sua dimensão. b) Fazendo n =3,determineumabaseparaoespaçoH 3. c) Considere duas matrizes A e B de H n. A matriz A B ésimétrica? Justifique. Exercício 3 Considere o espaço vectorial R n e {u,u,,u n } uma base desse espaço. Seja x = x u + x u + + x n u n um vector der n. a) Que condições devem verificar as coordenadas x,x,,x n do vector x para {x, u,,u n } constituir uma nova base do espaço R n? b) Determine a matriz de mudança da antiga para a nova base. a) Os vectores {x, u,,u n } constituirão uma base de R n se: αx + α u + + α n u n = α = α = = α n = Substituamos x na hipótese e estudemos o resultado: 3

32 αx + α u + + α n u n = nx nx α x i u i + α i u i = i= αx u + i= nx (αx i + α i ) u i = i= Sabemos que a única combinação linear nula dos vectores {u,u,,u n } é aquela que se obtém com os escalares todos nulos, uma vez que os vectores {u,u,,u n } são linearmente independentes. Assim, deveremos ter: αx = αx + α = αx n + α n = O sistema acima, nas variáveis {α, α,, α n } deverá ser possível e determinado de modo a que os vectores {x, u,,u n } sejam linearmente independentes. Matricialmente, o sistema pode ser escrito na forma: x x x x n α α α 3. α n = O sistemaa é sempre possível, por ser um sistem homogéneo. será determinado se r A = n, istoé,seamatrizdossistemaforregular. Porseu turno, a matriz do sistema será regular se o seu determinante for não nulo. Aplicando o Teorema de Laplace à primeira linha obtém-se: x x x 3 = x = x. x n conlcuímos portanto que o determinante da matriz do sistema é não nulo, se x 6=e portanto os vectores {x, u,,u n } serão linearmente independentes se x 6= x i R,i=,..., n.. 3

33 b) Comecemos por escrever os vectores da nova base, {x, u,,u n },nabase anterior, {u,u,,u n }: x = x u + x u + + x n u n u = u u n = u n Assim, podemos escrever matricialmente: x u u n = u u u n x x x x n Assim, a matriz B = x x x x n... éamatrizdemudançadebasedabase{x, u,,u n } paraabase {u,u,,u n }. Um vector v R n de coordenadas v v v n T na base {u,u,,u n } terá, na base {x, u,,u n } coordenadas w w w n T dadas por: w w w 3. w n = B v v v 3. v n Calculemos B por condensação, não esquecendo que x 6=: 33

34 x x x 3 L L x x n x x x 3 L i L i +( x i ) L.... (i =, n).... x n x x x 3 x xn x Logo, B = x x x x3 x.... xn x Exercício 3 Seja V um espaço vectorial real de dimensão 3 e x, x, x 3 e x 4 elementos distintos de V. Adicionalmente assuma que {x,x,x 3,x 4 } éum sistema de geradores de V satisfazendo a condição: x + x + x 3 + x 4 = a) Mostre que {x,x,x 3 } éumabasedev. b) Um raciocínio semelhante permite mostrar que {x,x 3,x 4 } éumabasede V. Denotando as duas bases por: α = {x,x,x 3 } e β = {x,x 3,x 4 }... determine a matriz de mudança de base da base α paraabaseβ. 34

35 a) Comecemos por mostrar que {x,x,x 3 } éumsistemadegeradoresdev. Seja então v V. Sabemos que existem escalares α, α, α 3, α 4 R tais que, uma vez que, por hipótese, {x,x,x 3,x 4 } é um sistema de geradores de V : α x + α x + α 3 x 3 + α 4 x 4 = v Dado que x + x + x 3 + x 4 =, então: x 4 = x x x 3 Substituindo na expressão de v, obtém-se: α x + α x + α 3 x 3 + α 4 x 4 = v α x + α x + α 3 x 3 + α 4 ( x x x 3 )=v (α α 4 ) x +(α α 4 ) x +(α 3 α 4 ) x 3 = v Conclui-se assim que é possível escrever o vector v como combinação linear dos vectores {x,x,x 3 }. Com v é um vector genérico de V,conclui-se que {x,x,x 3 } é um sistema de geradores de V. Adicionalmente, como dim (V )=3e {x,x,x 3 } é um sistema de geradores, em número de 3, conclui-se que {x,x,x 3 } tem de ser uma base de V. b) Comecemos por escrever os vectores da nova base, β = {x,x 3,x 4 },na base anterior, α = {x,x,x 3 }: x = x + x + x 3 x 3 = x + x + x 3 x 4 =( ) x +( ) x +( ) x 3 Assim, podemos escrever matricialmente: Assim, a matriz x x 3 x 4 = x x x 3 35

36 B =... é a matriz de mudança de base da base α = {x,x,x 3 } paraabase β = {x,x 3,x 4 }. Um vector v V de coordenadas v v v 3 T na base α = {x,x,x 3 } terá, na base β = {x,x 3,x 4 } coordenadas w w w 3 T dadas por: w w = B v v w 3 v 3 Calculemos B, com recurso à Teoria dos Determinantes: B = =. ˆB = T =. Logo, B = ˆB B = ˆB =. Exercício 33 Seja S um conjunto de vectores linearmente independentes do espaço vectorial V sobre o corpo K e x um elemento de V não pertencente a S. Mostre que S {x} éumconjuntodevectoreslinearmentedependentesseesó se x pertence ao subespaço gerado pelo conjunto S. Seja S = {e,,e p }. (= ) Suponhamos que S {x} éumconjuntodevectoreslinearmentedependentes. Pretende mostrar-se que x pertence ao subespaço gerado pelo conjunto S. Se S {x} é um conjunto de vectores linearmente dependentes então é possível escrever uma combinação nula destes vectores com pelo menos um escalar não nulo, isto é: αi K : α e + α e + α p e p + α p+ x = 36

37 Suponhamos que α p+ =. Então é possível escrever uma combinação linear nula dos vectores de S com pelo menos um escalar não nulo. Consequentemente, os vectores de S serão, por definição, linearmente dependentes, o que é um absurdo. Logo, α p+ 6=. Sendo assim, poderemos escrever: α e + α e + α p e p + α p+ x = x = α e α e α p e p α p+ α p+ α p+ A expressão anterior mostra que x pode ser escrito como combinação linear dosvectoresdes, ou, por outras palavras, x pertence ao subespaço gerado pelo conjunto S. ( =) Suponhmos que x pertence ao subespaço gerado pelo conjunto S. Pretende mostrar-se que S {x} é um conjunto de vectores linearmente dependentes. Se x pertence ao subespaço gerado pelo conjunto S, então x pode ser escrito como combinação linear dos vectores de S: αi K : x = α e + α e + + α p e p Reorganizando os termos da expressão anterior obtemos: αi K : x α e α e α p e p = Obtivemos assim uma combinação linear nula dos vectores do conjunto S {x} com pelo menos um escalar não nulo (precisamente o escalar do vector x que é ). Então os vectores do conjunto S {x} são linearmente dependentes. Exercício 34 Seja A uma matriz real de ordem n. Mostrequeadimensãodo subespaço gerado por I,A,A,A 3, ª éinferiorouigualan. Exercício 35 Se V é um espaço vectorial real de dimensão finita e β = {x,,x m } uma base de V, diga o que entende por coordenadas de um vector x V relativamente à base β. Indique ainda por que razão estas coordenadas se encontram definidas univocamente. 37

38 Exercício 36 VerifiqueseoseguintesubconjuntodeR 4 éumsubespaçoder 4? W = (x, y, z, w) R 4 :3x + y =,x+ y + z = w ª Exercício 37 VerifiqueseoseguintesubconjuntodeR 3 éumsubespaçoder 3? W = {(r, r +, ) : r R} Exercício 38 Determine o escalar k de modo a que os vectores com as seguintes coordenadas sejam linearmente independentes? x = ; x = ; x 3 = ; x 4 = k Exercício 39 Determine o escalar λ de modo a que os seguintes vectores sejam linearmente independentes? x =(λ,, ) ; x =(, λ, ) ; x 3 =(,, λ) 38

39 Pretende-se portanto determinar os valores de λ tais que: α x + α x + α 3 x 3 = α = α = α 3 = α x + α x + α 3 x 3 = α (λ,, ) + α (, λ, ) + α 3 (,, λ) = (α λ α α 3, α + α λ α 3, α α + α 3 λ)= Esta expressão é equivalente, matricialmente, ao seguinte sistema de equações: λ λ λ α α = α 3 Vejamos quais as condições sobre λ para que o sistema seja possível e determinado. É esta a única solução que nos interessa, pois significa que α = α = α 3 =é a única solução do sistema fazendo, consequentemente, com que os vectores dados sejam linearmente independentes. O sistema é possível se a caracterísitca da matriz do sistema é igual à ordem, isto é, se a matriz do sistema é regular. A regularidade da matriz pode ser determinada através do cálculo do seu determinante: λ λ λ λ +λ λ + λ λ ( ) ( ) 3+ λ +λ λ + λ µ L L = = + λl 3 L L +( ) L 3 = (Teorema de Laplace à a coluna) = ( ) h( + λ) ( + λ) +λ i = ( ) ( + λ) +λ + λ Concluímos assim que o determinante da matriz do sistema será nulo se ( + λ) +λ + λ =. A solução é λ = λ =. Deste modo, de modo a que o sistema tenha solução determinada é necessário que λ 6= λ 6=. Estaétambémacondição sobre λ para que os vectores {x,x,x 3 }sejam linearmente independentes. 39

40 Exercício 4 Seja W osubespaçoder 4 gerado pelos vectores? x =(,,, 3) ; x =(, 5, 3, 6) ; x 3 =(,, 4, 7) Verifique se o vector v =(,,, 3) pertence a W. Pretende-se determinar, se existir, um conjunto de escalares {α, α, α 3 } tais que α x + α x + α 3 x 3 = v. α x + α x + α 3 x 3 = v α (,,, 3) + α (, 5, 3, 6) + α 3 (,, 4, 7) = (,,, 3) (α +α +α 3, α 5α α 3, 3α +4α 3, 3α +6α +7α 3 )=(,,, 3) Esta expressão é equivalente, matricialmente, ao seguinte sistema de equações: α α = α 3 Em geral, dever-se-á estudar o sistema de equações acima: se for possível, conclui-se que v W, caso contrário v não pertence ao espaço gerado pelos vectores dados. Nestecasoemparticular,tem-sev = x,pelo que, se fizermos α =e α = α 3 =teremos α x + α x + α 3 x 3 = v eportantov W. 3 Exercício 4 Dê uma caracterização do subespaço W E gerado pelos vectores com as seguintes coordenadas: x = 3 ; x = Vamos construir uma matriz cujas linhas são os transpostos dos vectores dados: A = 3 4

41 Por operações elementares sobre linhas podemos transformar a matriz A numa matriz A. Concluímos que as linhas de A se podem escrever como combinação linear das linhas de A. Consequentemente, as linhas de A podem ser escritas como combinação linear das linhas de A oquesignifica que os vectores associados às linhas de A geram o mesmo subespaço que os vectores associados às linhas de A. condensemos então a matriz A: 3 L L +( ) L 3 L 5 7 L +( ) L Esta operação elementar é suficiente para verificar que W tem dimensão e tem como base os vectores x e x dados ou, de modo equivalente os vectores obtidos por aplicação da operação elementar e que são dados por: x = 3 ; x = 5 7 Em resumo, v pertence ao subespaço gerado por {x,x } se e só pertence ao subespaço gerado por {x,x }. Exercício 4 QualadimensãodosubespaçodeR 5 gerado pelos vectores: x = (,, 3, 5, ) ; x =(,, 3, 5, ) ; x 3 = (5, 3, 8, 4, ) ; x 4 =(,,,, 7) Exercício 43 Determine uma base de R 3 contendo os vectores {(,, 5), (,, )}. Necessitamos de encontrar um vector (a, b, c) tal que: (a, b, c) 6= α (,, 5) + α (,, ), α,α R Porquê? Porque dim R 3 =3eosvectores{(,, 5), (,, )} já são linearmente independentes. Se encontrarmos um terceiro vector, (a, b, c), que não 4

42 possa ser escrito como combinação linear dos vectores {(,, 5), (,, )} determinamos um sistema de vectores {(,, 5), (,, ), (a, b, c)} linearmente independentes. Como são em número de 3, constituem uma base de R 3. Consideremos então a equação: α (,, 5) + α (,, ) = (a, b, c) (α, α + α, 5α +α )=(a, b, c) Esta expressão é equivalente, matricialmente, ao seguinte sistema de equações: α α = a b 5 α 3 c Pretende-se obviamente, que o sistema seja impossível. matriz ampliada: Estudemos a sua [A B] = a b L L +( ) L L 5 c 3 L 3 +( 5) L a b a L 3 L 3 +( ) L c 5a a b a c b a O sistema é impossível se r A 6= r A B.Comor A =pretende-se que r A B =3. Para que tal aconteca é necessário que c b a 6=. Existem muitos vectores (a, b, c) nestas circunstâncias, por exemplo, a =e b = c =. O vector que procuramos é portanto (a, b, c) =(,, ). Exercício 44 Determine as coordenadas do vector (3,, ) na base {(,, ), (,, ), (, 3, 5)} em R 3. Pretende-se determinar escalares β, β, β 3 R tais que: β (,, ) + β (,, ) + β 3 (, 3, 5) = (3,, ) (β +β, β +3β 3, β +5β 3 )=(3,, ) 4

43 A última igualdade é equivalente ao seguinte sistema de 3 equações nas variáveis β, β e β 3 em que a matriz do sistema é dada por 3. 5 β +β =3 β +3β 3 = β +5β 3 = A solução deste sistema fornecerá as coordenadas pretendidas. Sabemos que o sistema será possível e determinado uma vez que um vector se escreve de forma unica numa certa base. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvâ-mo-lo por condensação: [A B] = L 3 L 3 +( ) L L 3 L 3 + L L 3 8 L 3 L L +( 3) L 3 L L +( ) L e β 3 = 3 8.Concluí- A solução do sistema será portanto β = 5 4, β = 7 8 mos assim que: µ 5 (,, ) + 78 µ 4 (,, ) + 3 (, 3, 5) = (3,, ) 8 Exercício 45 Mostre que as soluções do sistema de equações lineares com coeficientes reais, 43

44 3x +y +6z = x y +z = x + y +8z =... constituemumsubespaçoder 3. Indiqueumabaseeadimensãodeste subespaço. Exercício 46 Determine, para cada valor do escalar m R, o subespaço de R 3 que constitui solução do seguinte sistema de equações: 3x +y + mz = mx y +4z = x + y +3z = Exercício 47 Considere o espaço vectorial R 3,umabaseα = {(,, ), (,, ), (,, 3)} e uma base α = {(,, ), (,, ), (,, 3)}. As coordenadas de um vector v R 3 na base α são x y z T, enquanto que na base β são dadas por x y z T. Descreva matricialmente a relação entre estes dois sistemas de coordenadas. Exercício 48 Considere os vectores de R 3 : a =(, 5, 9) ; a =(, 6, ) e b =(4, 8, ) a) Verifique se b pertence ao espaço gerado pelos vectores {a,a }. b) Verifique se {a,a } pode gerar o espaço R 3. c) Verifique se o conjunto de vectores {a,a,b} é linearmente independente. 44

45 a) É necessário verificar se existem escalares β, β R tais que: β a + β a = b β (, 5, 9) + β (, 6, ) = (4, 8, ) (β +β, 5β +6β, 9β +β )=(4, 8, ) A última igualdade é equivalente ao seguinte sistema de3 equações nas variáveis β e β em que a matriz do sistema é dada por β +β =4 5β +6β =8 9β +β = Se este sistema for possível, então b pertence ao espaço gerado pelos vectores {a,a }, caso contrário, a resposta é negativa. Construamos a matriz ampliada e reolvâ-mo-lo por condensação: [A B] = L L +( 5) L L 9 3 L 3 +( 9) L 4 4 L 3 L 3 +( ) L Dado que r A = r A B =, o sistema é possível e determinado, logo o vector b pertence ao espaço gerado pelos vectores {a,a } uma vez que pode ser escrito como combinação linear destes últimos. b) A resposta é imediatamente negativa, uma vez que dim R 3 =3. Tal significa que um sistema de geradores de R 3 deverá ter, no mínimo, 3 vectores, o que não é o caso. Poderemos no entanto recorrer à definição e verificar que, dado um vector genérico de R 3, digamos (x, y, z), nesempre é possível escrever (x, y, z) como combinação dos vectores {a,a }. Verifiquemos assim, se existem escalares β, β R tais que: β a + β a =(x, y, z) β (, 5, 9) + β (, 6, ) = (x, y, z) (β +β, 5β +6β, 9β +β )=(x, y, z) 45

46 A última igualdade é equivalente ao seguinte sistema de3 equações nas variáveis β e β em que a matriz do sistema é dada por β +β = x 5β +6β = y 9β +β = z Se este sistema for possível para qualquer (x, y, z) R 3, então os vectores {a,a } serão geradores de R 3,caso contrário, a resposta é negativa. Construamos a matriz ampliada e reolvâ-mo-lo por condensação: [A B] = x 5 6 y L L +( 5) L L 9 z 3 L 3 +( 9) L x 4 y 5x L 3 L 3 +( ) L 8 z 9x 4 4 z y + x Assim, o sistema será possível se z-y+x=. Qualquer vector (x, y, z) R 3 que não satisfaça esta condição não pode ser escrito como combinação linear dos vectores {a,a }. Concluímos assim que {a,a } não são suficientes para gerar o espaço R 3. c) Tipicamente, construímos uma combinação linear nula destes vectores e verificamos se é satisfeita apenas com os escalares nulos. Se a resposta for afirmativa os vectores são linearmente independentes, caso contrário serão lineramente dependentes. β a + β a + β 3 b = β (, 5, 9) + β (, 6, ) + β 3 (4, 8, ) = (β +β +4β 3, 5β +6β +8β 3, 9β +β +β 3 )=(4, 8, ) A última igualdade é equivalente ao seguinte sistema de 3 equações nas variáveis β, β e β 3 em que a matriz do sistema é dada por

47 β +β +4β 3 = 5β +6β +8β 3 = 9β +β +β 3 = Se o sistema for determinado (possível é sempre, por ser homogéneo), a única solução será β = β = β 3 =, pelo que os vectores dados serão linearmente independentes. Pretende-se portanto que o sistema seja determinado, isto é r A =3. Construamos a matriz ampliada do sistema e estudamos a respectiva característca: [A B] = L L +( 5) L L 9 3 L 3 +( 9) L 4 4 L 3 L 3 +( ) L Dado que r A = r A B =< 3, o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação d = n r A =3 =,oquesignifica que existem outras soluções para o sistema que não a solução β = β = β 3 =,pelo que os vectores dados são linearmente dependentes. 47