Matemática JOSÉ AUGUSTO DE MELO. Matemática I. Trigonometria... 3 Números Complexos Equações Algébricas Matemática II

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1 Matemática Matemática I Trigonometria... Números Compleos... Equações Algébricas... 8 Matemática II Estudo Analítico da Reta... Estudo Analítico da Circunferência Limite Derivada... 5 A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda, eposição à venda, aluguel, aquisição, ocultamento, empréstimo, troca ou manutenção em depósito sem autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto no Código Penal, Artigo 84, parágrafo e, com multa e pena de reclusão de 0 a 04 anos. JOSÉ AUGUSTO DE MELO M

2 Anotações

3 TRIGONOMETRIA Tecnologia RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado o triângulo retângulo ABC, definimos: Seno de um ângulo agudo Sen α = cateto oposto a hipotenusa α Assim: b Sen B ˆ = e a Sen C ˆ = c a Cosseno de um ângulo agudo Cos α = c Assim: Cos B ˆ = e a cateto adjacente a hipotenusa Cos C ˆ = b a Tangente de um ângulo agudo cateto oposto a α tg α = cateto adjacente a α Assim: b tg B ˆ = c e c tg C ˆ = b α ALGUMAS RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS a) c sen α =, a b cos α = a c b sen α + cos α = + a a c + b sen α + cos α = a sen α + cos α = a = a =, ou seja: b) sen α cos α = c / a b / a ; sen α cos α = c b = tg α sen α tg α = cos α o c) α + β = 90 c sen α = a β = 90 o α c cos β = o sen α = cos( 90 α ) a De modo análogo, prova se que o sen( 90 α ) = cos α Cos ( 90 Sen ( 90 o o α ) = Sen α α ) = Cos α Matemática M

4 UM PEQUENO COMENTÁRIO As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo. Necessidades práticas eigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir. 4 MEDIDA DE ARCOS Chama se arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. B B A A = B A Observação: Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta. A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição: A = B med. AB = Unidades mais usadas compriment o AB compriment o PQ a) Grau: arco unitário equivalente a da circunferência. 60 b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Observação: Para converter uma unidade de medida em outra lembre se que 80 = rad. Comprimento de um arco Seja α a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB). med. AB ( rad ) = Compriment o AB Compriment o do raio r l α = r l = r. α (α em rad.) 5 A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Seja 0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O, tracemos uma circunferência de raio. Consideramos o ponto A como a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos percorridos no sentido anti horário serão considerados como tendo medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de circunferência trigonométrica. 6 ARCO TRIGONOMÉTRICO Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma infinidade de arcos com origem A e etremidade P. Se O α < é a medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao conjunto de valores do tipo α + K, com K inteiro. A α chamaremos de ª determinação positiva de AP. 4 Matemática M

5 Obs.: Se 0 α < 60 o, o arco trigonométrico será representado por o α + K. 60 Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e etremidade P que são obtidos dando se voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar com a ª determinação positiva do arco trigonométrico. 7 SENO E COSSENO Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco. Seja α a primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas, ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR). Definição: a) cos α = OQ (abscissa de P) b) sen α = OR (ordenada de P) Observe que: a) cos α sen α b) Sinal do seno c) Sinal do Cosseno d) O seno é crescente no º e no 4º quadrantes e decrescente no º e º quadrantes. e) O cosseno é crescente no º e no 4º quadrantes e decrescente no º e º quadrantes. f) No triângulo OPQ temos: PQ = sen, OQ = cos e OP = Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos sen + cos =. 8 TANGENTE E COTANGENTE Veja que os triângulos OPP e OAT são semelhantes. Logo, podemos dizer que: tg = AT cotg = BS AT PP tg sen = e substituindo = OA OP cos Com um raciocínio semelhante, você mostra que: cotg = cos sen Matemática M 5

6 Considerações importantes a) A tg e a cotg podem assumir qualquer valor real. b) Sinal da tangente. d) A tangente dos arcos com etremidades em B ou B não eiste ou seja, só eiste tg se + k (ou em graus 90 + k. 80 ). c) Sinal da cotangente. e) A cotangente dos arcos com etremidade em A ou A não eiste ou seja, só eiste cotg se k (ou k. 80 ). 9 SECANTE E COSSECANTE Se é um arco para o qual sen 0 e cos 0, definimos: D.) Secante sec = cos D.) Cossecante cos sec = (obs.: cossec = csc ) sen Representação geométrica sec = OQ Observe que: cossec = OR a) sec ou sec csc ou csc 0 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE b) O sinal da secante coincide com o sinal do cosseno e o sinal da cossecante coincide com o sinal do seno. c) Só eiste sec, se + k, k inteiro. Só eiste csc, se k, k inteiro. As simetrias apresentadas pelas etremidades dos arcos trigonométricos nos permitem calcular as razões trigonométricas de qualquer arco, usando sempre um arco do º quadrante. A) Arcos do º quadrante. Se está no º quadrante, o seu simétrico em relação ao eio Oy está no º quadrante e pode ser achado calculando se 80 ou, conforme seja dado em graus ou radianos. Não é difícil provar que as razões trigonométricas de 80 e têm o mesmo valor absoluto. A determinação do sinal das razões trigonométricas de é feita pelo que já aprendemos anteriormente. 6 Matemática M

7 Eemplos: Reduza ao º quadrante. a) sen 0º 0º está no º quadrante. Seu simétrico será 80º 0º = 70º Como no º quadrante o seno é positivo teremos: sen 0º = sen 70º b) cos 874º 874º 60º 54º Então, cos 874º = cos 54º Simétrico de 54º = 80º 54º = 6º No º quadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º = cos 54º = cos 6º. c) tg = está no º quadrante, seu simétrico é = No º quadrante, a tangente é negativa, logo: tg = tg B) Arcos do º quadrante Se está no º quadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando 80 ou. Eemplo: Reduza ao primeiro quadrante: sec 0 0 está no º quadrante. Seu simétrico será 0 80 = 40. No º quadrante a secante é negativa, logo: sec 0 = sec 40. C) Arcos do 4º quadrante. Eemplo: Reduza ao º quadrante: sen 0. 0 está no 4º quadrante. Seu simétrico é 60 0 = 50. No 4º quadrante o seno é negativo. Logo: sen 0 = sen 50. Matemática M 7

8 ARCOS OPOSTOS cos ( ) = cos sen ( ) = sen tg ( ) = tg cotg ( ) = cotg() sec ( ) = sec cossec ( ) = cossec RELAÇÕES FUNDAMENTAIS As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações independentes, que denominaremos de relações fundamentais. R.) sen tg = cos R.) cotg = cos sen R.) cotg = tg R.4) sec = cos R.7) + tg = sec R.5) cos sec = sen R.8) + cotg = cossec R.6) sen + cos = As relações R., R., R.4 e R.5 são provadas facilmente usando semelhança de triângulos. Como eemplo, provemos R.4. Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois: P B ˆ O = O A ˆ B (retos) P O ˆ B = A O ˆ B (comuns) Logo: OP OB sec = e substituindo, = OB OA cos ou sec = cos A relação R. é conseqüência imediata de R. e R.. Provemos R.6. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen + cos =. Para provar R.7, partimos de sen + cos =. Para cos 0, obtemos: sen cos + = e daí: tg + = sec cos cos cos De modo análogo, prova se R.8. Fique atento às seguintes observações: a) Apenas a relação sen + cos = é válida para todo. As demais possuem restrições. Por eemplo, + tg = sec só vale para + k, pois para esses valores eiste a tg e a sec. Procure achar os valores de para os quais as demais relações são válidas. b) É importante que você saiba que o pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que: sen 50º + cos 50º = + tg a = sec a e assim por diante. c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por eemplo, de sen + cos =, conclui se que sen = cos. 8 Matemática M

9 . (AMAN RJ) Se tg θ = e 0 θ 90, então o valor de sen θ é: a) b) c) d) e) n.r.a. + tg θ = sec θ ; + = sec θ ; sec θ = 4 De sec θ = vem cos θ = e então cos θ = cos θ sec θ 4 Mas, sen θ + cos θ = e então sen θ + = e daí: 4 sen θ =. Como θ está no º quadrante e no º quadrante sen θ > 0, vem sen θ = 4 Resposta: b m. Para que valores de m a equação cos = + é possível? 4 m Como cos, devemos ter: + ; 4 m m 0. (UFU MG) O valor numérico da epressão: sec. cos sec tg y =, para cos = é: cot g 4 a) 6 6 b) 6 c) 6 5 d) 6 e) 6 sec. cossec sec ( tg + ) y = ; cot g sec y =. cossec sec cos sec sec sec (cos sec ) y = ; y = sec ; y = = 6 cos sec cos Resposta: b 4. Demostre a identidade sec. cossecsec = sec + cos sec Seja y = sec + cossec. Então: y = + ; cos sen sen y = cos + cos. sen y = cos. sec ; y =. cos sen = sec. cossec Matemática M 9

10 y = sec. cossec 5. Calcule m para que se tenha simultaneamente sen = m e cos = m. sen + cos = (m ) + (m. ) = m m + + m = 4m m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m = Como ambos satisfazem à condição sen e cos, teremos: Resposta: m = 0 ou m = FÓRMULAS DE ADIÇÃO Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos possibilitar calcular as funções trigonométricas de arcos do tipo a + b e a b. As demonstrações serão omitidas. sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b sen (a b) = cos a. cos b + sen a. sen b tag ( a tg a + b ) = + tg b tg a. tg b tag ( a tg a b ) = + tg b tg a. tg b. Calcule sen 5. y = sen 5 = sen (45 0 ) y = sen 45. cos 0 sen 0. cos 45 y =.. y = 6 4. Sendo a b =, calcule o valor da epressão: y = (sen a + cos b) + (sen b cos a) y = sen a + sen a cos b + cos b + sen b sen b cos a + cos a y = (sen a + cos a) + (sen b + cos b) + (sen a cos b sen b cos a) y = + + sen (a b), e como a b =, y = + sen ; y = +. ; y = + 0 Matemática M

11 . (SANTA CASA SP) Se sen 6º = m, o valor da epressão y = sen 6º + cos 6º é: a) m b) m c) m d) m e) m 6º = 45º + 6º. Portanto, se sen 6º = m, vem: sen (45º + 6º) = m sen 45º cos 6º + sen 6º. cos 45º = m cos 6º + sen 6º = m (cos 6º + sen 6º) = m cos 6º + sen 6º = m y =. m Resposta: c K 4 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM ARCOS DO TIPO K ± X E ± X Com o uso das fórmulas de adição, pode se deduzir algumas regras que nos permitem simplificar epressões K com arcos do tipo K ± ou ± A) Arcos da forma K ± Regra prática: A função é mantida Suponha no º quadrante. Localize o quadrante do arco K ± Eemplos: a) sen ( ). Assim teremos: e dê o sinal conveniente. Como estamos supondo no º quadrante estará no º quadrante, onde o seno é positivo; logo, sen ( ) = sen b) tg ( ) está no º quadrante onde a tangente é negativa. Logo tg ( ) = tg c) Cos ( + ) Se está no º quadrante, + está no º quadrante, onde o cosseno é negativo. Portanto, Cos ( + ) = Cos d) Cotg ( ) será um arco do 4º quadrante, concorda? No 4º quadrante, a cotangente é negativa e então cotg ( ) = cotg Matemática M

12 K B) Arcos da forma ± Regra prática Considere no º quadrante. Troque a função pela sua co função. K Localize o quadrante de ± e dê o sinal conveniente. Eemplos: a) Sen ( ) Como é do º quadrante, o seno é positivo, logo sen ( ) = cos (troque o seno pelo cosseno) b) Cos ( + ) + é do º quadrante, onde o cosseno é negativo, logo: cos ( + ) = sen c) tg ( + ) + está no 4º quadrante, onde a tangente é negativa. tg ( +) = cotg d) Cossec ( ) está no º quadrante onde a cossecante é negativa. Cossec ( ) = sec. Se sen α =, o valor de sen (5 + α ) sen (88 α ) é: a) 0 b) c) d) e) Como uma volta completa na circunferência trigonométrica mede, observe que de em radianos, os valores das funções trigonométricas se repetem. Assim, se f é uma função trigonométrica, f( + k. ) = f(). Assim: sen (5 + α ) = sen (. + + α ) = sen ( + α ) = sen α sen (88 α ) = sen (44. α ) = sen ( α ) = sen α Logo, a epressão dada equivale a: sen (5 + α ) sen (88 α ) = sen α ( sen α ) = sen α + sen α = 0 Resposta: a Matemática M

13 . (FATEC SP) Se S = sen ( ). cos ( ) + tg ( ). cos ( + ). cos ( ) então para todo real, K, K Z, S é igual a: a) b) c) 0 d) e) Observe que: sen ( ) = sen cos ( ) = sen tg ( ) = tg ( ) = cotg cos ( + ) = sen cos ( ) = cos Portanto: S = sen. sen + ( cotg ). ( sen ). cos S = sen cos +. sen. cos sen S = sen + cos ; S = Resposta: d 5 FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO Usando as fórmulas de adição, prova se que: a) sen = sen cos b) cos = cos sen cos = sen cos = cos tg c) tg = tg Como sugestão para você, vamos provar a fórmula sen = sen cos. Para isso, façamos na fórmula sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, a = b =. Obteremos: sen ( + ) = sen. cos + sen. cos sen = sen cos Atenção: Essas fórmulas podem aparecer sob diversas formas. O importante é que o arco que aparece no primeiro membro seja o dobro do arco que aparece no º membro. Assim é correto afirmar que: sen 6 = sen cos cos 4 = cos sen sen = sen cos. Se sen cos =, calcule: 5 a) sen b) sen + cos a) De sen cos =, obtemos: 5 (sen cos ) = ; 5 sen + cos sen cos = 5 4 sen = ; sen = 5 5 b) Seja y = sen + cos. Então: y =sen + cos + sen cos y = + sen y 4 = + ; y = 49 7 ; y = ± Matemática M

14 . (FUVEST SP) O valor de (sen º0 + cos º0 ) é: a) b) + y = (sen º0 + cos º0 ) + c) y = sen º0 + cos º0 + sen º0. cos º0 y = + sen 45º y = + Resposta: c + ; y = d) e) 6 FÓRMULAS DE DIVISÃO Como vimos, cos a = sen a. Logo, fazendo a = /, obtemos: cos = sen e daí: sen cos = ± Para decidir sobre qual sinal usar, localize o quadrante no qual se localiza o arco. De modo semelhante, prova se que: + cos cos = ± e tg = ± cos + cos. Calcule cos 0 Como 0 é um arco do º quadrante, teremos: cos 0 = + + cos 45 o cos 0 = cos 0 = / cos 0 = Em determinados problemas, é muito útil sabermos epressar o seno, o cosseno e a tangente de um arco como função do arco metade. Isso pode ser feito usando se as fórmulas a seguir: + sen = tg + tg tg tg = tg cos = tg + tg 4 Matemática M

15 tg Provemos, como eemplo, a fórmula sen = + tg Demonstração: Sabemos que sen sen =. sen( / ) cos( / ) = sen. cos ( ) cos e daí: sen = tg. cos ; sen = tg. tg tg sen =. ; sen = + tg + tg 7 FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO sec Como vimos: sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a Somando membro a membro estas igualdades obtemos: sen (a + b) + sen (a b) = sen a cos b Se fizermos a + b = p e a b = q, resolvendo o sistema, encontra se a = p + q e b = p q De modo semelhante, prova se que: sen p sen q = sen cos p + cos q = cos cos p cos q = sen tg p + tg q = sen( p + q ) p q cos p. cos q cos p + q cos p + q sen p + q p q p q Portanto: sen p + sen q = sen p + q cos p q tg p tg q = sen( p q ) cos p. cos q. Transforme em produto: a) y = cos b) y = sen + cos a) y = (cos ); y = (cos cos ) 4 + / 4 / 4 y = sen. sen y = 4. sen +. sen 8 8 Como sen ( ) = sen, podemos dizer que: sen = sen 8 8 Portanto, a solução pode também ser dada por: y = 4 sen +. sen 8 8 Matemática M 5

16 b) y = sen + sen ( / ) y = sen + / / + cos y = sen 4 cos 4 e como sen 4 = y = cos 4 Se quisermos transformar um produto em soma, usamos as fórmulas de reversões. a) sen a. sen b = [sen (a + b) + sen (a b)] b) cos a. cos b = [cos (a + b) + cos(a b)] 8 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver uma equação trigonométrica, tente reduzi la a uma das equações fundamentais dadas a seguir. a) Equação do tipo sen = sen a Como se vê no diagrama abaio, todos os arcos com etremidades em a ou a, satisfazem à equação. Logo, a solução procurada é: = a + k ou = a + k b) Equação do tipo cos = cos a A solução é: = a + k ou = a + k a a c) Equação do tipo tg = tg a A solução é: = a + k Observações: Essas equações são as equações fundamentais. Qualquer outra equação para ser resolvida deve ser transformada em uma equivalente a uma das equações fundamentais. Das relações vistas até agora decorre que uma resposta de uma equação pode apresentar várias formas. Não se esqueça de verificar o domínio de validade da equação. 6 Matemática M

17 . Resolva a equação sen = 0 sen = 0; sen = ; sen = sen e então: 6 5 = + k ou = + k, o que dá; = + k Resp.: = + k ou = + k 6 6. Resolva a equação 4 cos + sec = 8, no intervalo 0 4 cos + sec = 8 4 cos + cos 4 cos 8 cos + = 0 = = 6 cos = = 8; 4cos + = 8 cos e daí: 8 ± 4 ; cos = ou cos = 8 se cos =, = se cos =, não eiste, pois cos. Resolva a equação cotg = cotg ( + ) 4 A solução da equação cotg = cotg a é a mesma da equação tg = tg a, ou seja, = a + k. Logo: = + + k ; = + k Resolva a equação sen + cos =, no intervalo (0, ). Da equação dada tiramos que cos = sen. Substituindo na igualdade sen + cos =, obtemos: sen + ( sen ) = sen + 6 sen + sen = 4 sen 6 sen + = 0 ou sen sen + = 0 = 9 8 = sen = ± 4 Se sen =, = ; sen = ou sen = 5 Se sen = ; = ou = 6 6 Resposta: S = {,, 5 } 6 6 Matemática M 7

18 9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Até agora temos falado de seno, cosseno, tangente de um arco (ou ângulo). No entanto, podemos falar de seno, cosseno e tangente de um número real. Veja: a) A função seno É a função f : R R definida por f() = sen, onde sen é o arco de radianos. 0 b) A função cosseno Propriedades Domínio: R Imagem: [, ] y = sen é uma função ímpar (sen ( ) = sen ) Se y = a + b sen (c + d) seu período é p = c É a função f : R R, definida por f() = cos, onde cos é o cosseno do arco de radianos. Gráfico: c) A função tangente Propriedades: Domínio: R Imagem: [, ] y = cos é uma função par (cos ( ) = cos ) Se y = a + b cos (c + d) seu período é p = c É a função f: A R, onde A = { R ; + k }, definida por f() = tg, sendo tg a tangente do arco de radianos. Gráfico: 0 Propriedades 0 Domínio: { R ; + k } Imagem: R y = tg é uma função ímpar (tg ( ) = tg ) Se y = a + b tg (c + d) seu período é p = c Observações: De modo semelhante, podemos definir as funções y = cotg, y = sec e y = cossec. O período de y = a + b cotg (c + d) é p = c O período de y = a + b sec (c + d) e y = a + b cossec (c + d) é p = c Sejam f() e g() funções periódicas de períodos P e P respectivamente, com P P. Se P / P = m/n, onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções f + g e f. g são periódicas e seu período é P = np = mp. 8 Matemática M

19 Eemplo: Ache o período de y = cos 4. tg Período de f() = cos 4; Período de g() = tg ; P P = = 4 = = P P P = =. Portanto, o período procurado é: p = P = P = P 0 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Como você já sabe, uma função só admite inversa se for bijetora, e as funções trigonométricas não são bijetoras. No entanto, se restringirmos seus domínios convenientemente, obteremos funções bijetoras nesses domínios. A) A função arco seno Seja a função f: D A, definida por f() = sen, onde y D =, e A = [, ] Nessas condições f é bijetora, e então tem inversa, que denominaremos de função arco seno e será a função f : AD, para a qual f () = arc sen. Eemplo: Se y = arc sen, então arc sen ( ) é o arco do intervalo, Logo arc sen ( ) =., cujo seno vale. B) A função arco cosseno Seja a função f: D A, definida por f() = cos, com D = [0, ] e A = [, ]. Nessas condições, f é bijetora. Sua inversa, que chamaremos de função arco cosseno é a função f : AD, definida por f () = arc cos, onde arc cos é o arco cujo cosseno é. Eemplo: Seja y = arc cos. Calcule y = arc cos ( ) y 0 y = arc cos ( ) é o arco do intervalo [0, ] cujo cosseno vale. Logo arc cos ( 5 ) = 6 Matemática M 9

20 C) A função arco tangente Seja a função f: DR, definida por f() = tg, com D =,. Então f é bijetora. Sua inversa, que chamaremos de função arco tangente é a função f : R D, definida por f () = arctg onde arctg é o arco cuja tangente vale. Eemplo: Calcule arctg ( ) y arctg ( ) é o arco do intervalo,, cuja tangente vale. Logo, arctg ( ) = 4 0. Ache o domínio da função y = arcsen ( + ) Como o domínio de f() = arcsen é, deveremos ter: + ; 0 ; 0 Resposta: 0. (PUC SP) Um dos valores de sen (arcsen /5 + arcsen /) é: a) b) c) d) e) Observe que se arcsen = a, então sen a =. Então, teremos arcsen ( ) = asen a = e a 5 5 arcsen ( ) = bsen b = e b. O que se pede então é achar y = sen (a + b), logo: y = sen a cos b + sen b cos a (I) Usando a relação sen + cos =, e observando os quadrantes onde estão a e b, você encontra que cos a = e cos b = 5 ; substituindo em (I), você terá: y =. +. y = Resposta : e 0 Matemática M

21 NÚMEROS COMPLEXOS Tecnologia INTRODUÇÃO A impossibilidade da realização de algumas operações levou o matemático a ampliar os conjuntos numéricos. Assim, para que a b eistisse, para a N e b N com a < b foi criado o conjunto Z dos números inteiros. Se a e b são inteiros, a será definido só se b 0 e se for criado o conjunto Q dos números racionais. A etração b de raízes de números positivos levou à criação dos números reais (R). Mas o conjunto R tem ainda uma limitação que nos incomoda desde o momento em que aprendemos a resolver equações do º grau. Nessas equações, se < 0, ao usar a fórmula resolutiva aparece a raiz quadrada de um número negativo, que em R não eiste. O que vamos fazer nesta unidade é ampliar o conjunto R, ou seja, vamos criar um novo conjunto numérico, que contém R, no qual a radiciação será sempre possível. Assim, nesse novo conjunto numérico, as equações de º grau com < 0 também terão solução. CRIANDO UM NOVO TIPO DE NÚMERO Seja a equação: 4 + = 0. Seu discriminante é: = 6 5 = 6. Em R, essa equação não tem solução. Apesar disso, usemos a fórmula de Báskara. = 4 ± 6 4 ± 6.( ) 4 ± 6 ; = ; = ± Se imaginarmos um novo conjunto numérico, no qual eista um número, que representaremos por i, tal que i =, então = i e teremos: = + i e = i. Um tal número será chamado de número compleo. DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO Sejam e y números reais e i um número tal que i =. Chama se número compleo a todo número da forma: Z = + yi. a) A forma Z = + yi é chamada de forma algébrica do número compleo. b) Em Z = + yi, é a parte real e y é a parte imaginária. Representa se por: Re(Z) = Z = + yi Im(Z) = y c) O número i é a unidade imaginária. d) Em z = + yi, temos: se y = 0, então Z é um número real se = 0 e y 0, então Z é imaginário puro. Observe que o conjunto dos reais R está contido no conjunto dos númeroscompleos, que representaremos por C. 4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS a = c a + bi = c + di b = d Devemos ter: = ; = 4 Eemplo: Se ( ) + i = + (y + )i, calcule e y. y + = ; y = 0 Matemática M

22 5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Se a + bi e c + di são dois números compleos, define se: a) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i b) (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i 6 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Se Z = a + bi e Z = c + di define se Z. Z = (a + bi). (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Obs.: proceda como se estivesse multiplicando duas epressões e depois substitua i por. Eemplo: Calcule: ( i)( + i) ( i)( + i) = + i + i i 7 POTÊNCIAS DE i = + 5i + = + 5i Observe que: i 0 = i = i = i = i. i = i A partir daí, i n dará um desses valores, e para calcular seu valor basta achar o resto da divisão de n por 4. Eemplo: Calcule: a) i 9 b) i 6 c) i 507 a) 9 4 i 9 = i = i b) 6 4 i 6 = i = 6 c) Para achar o resto da divisão de 507 por 4, basta dividir o número formado pelos dois últimos algarismos por i 507 = i = i 8 PROPRIEDADES Os números compleos satisfazem às nove propriedades operacionais da álgebra. P.) Comutativa Z + Z = Z + Z e Z. Z = Z. Z P.) Associativa (Z + Z ) + Z = Z +( Z + Z ) (Z. Z ). Z = Z. (Z. Z ) P.) Distributiva Z.( Z + Z ) = Z. Z + Z. Z P.4) Eiste o elemento neutro da adição e da multiplicação. P.5) Eiste o elemento simétrico da adição e o elemento inverso da multiplicação. Matemática M

23 ) Determine e y reais para que se tenha: ( + yi)( + 4i) = 7 + 6i ( + yi)( + 4i) = + 4i + yi + 4yi, e como i =, teremos: ( + yi)( + 4i) = ( 4y) + (4 + y)i. Queremos que: ( 4y) + (4 + y)i = 7 + 6i e então: 4 y = y = 6 que resolvido nos dá = 5 e y =. ) Calcule ( i) 6 Observe inicialmente que: ( i) = i + i = i 9 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Se Z = + yi, seu conjugado é o número Z = yi. Propriedades: P.) (Z) = Z P.) Z + Z = Z + Z P.) Z. Z = Z. Z 0 DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Sejam Z e Z números compleos com Z 0. Define se: Portanto: ( i) 6 = [( i) ] = ( i) = 8i = 8. i. i = 8i Z Z Z. Z = Z. Z Eemplo: Efetue + i i + i ( + i )( + i ) + i + 6 i + i = = i ( i )( + i ) 9 i + 7 i 7 = = + i ) Determine Z C tal que iz + Z = i Seja Z = + yi, com e y reais. Então a equação dada fica: i( + yi) + ( yi) = i e daí vem: ( y) + ( y)i = i. Portanto, devemos ter: y = y = que resolvido dá = e y =. Resposta: Z = + i. Matemática M

24 ) Determine o número compleo cujo produto por 5 + 8i é real e cujo quociente por + i é imaginário puro. Seja Z = + yi o número procurado, queremos que: a) ( + yi) (5 + 8i) = (5 8y) + (8 + 5y)i seja real. Então: 8 + 5y = 0 (I) b) + yi + y y = + i + i Resolvendo o sistema seja imaginário puro. Logo + y = 0 ou + y = 0 (II) e y y = 0 + y = 0 encontra se = 0 e y = 0. Mas para esses valores y = 0 e o quociente + yi + i Resposta: Não eiste tal número. não é imaginário puro. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Um número compleo pode ser representado também como um par ordenado de números reais, bastando para isso fazer a correspondência + yi (, y). Desse modo, a cada número compleo Z = + yi corresponde um ponto P = (, y) no plano cartesiano. Ponto esse que é chamado de afio de Z, e o plano passa a ser denominado plano de Argand Gauss. Observe que: a) Os números reais, Z = + 0i, são representados no eio, que passará a ser chamado de eio real. b) Os números da forma Z = 0 + yi, com y 0, são representados no eio y, que chamaremos de eio imaginário. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Se Z = + yi, chama se módulo de Z ao número representado por Z ou r e definido por: Z = r = + y Obs.: O módulo de um número compleo representa a distância do seu afio à origem. Propriedades a) Z = Z d) Z = Z n b) Z. Z = Z. Z e) Z + Z Z + Z (desiguadade triangular) n c) Z Z Z = (Z Z 0) 4 Matemática M

25 ) Determine o módulo de Z = 5 + i 5 i Z = 5 + i 5 i = 5 + i 5 i 5 + i e 5 i são conjugados, eles têm o mesmo módulo; logo Z =. ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Seja Z = + yi de afio P = (, y). Chama se argumento de Z o ângulo θ formado pelo semi eio positivo O e pelo segmento OP, ângulo esse tomado no sentido anti horário. Para determinar θ observe que: cosθ = r e senθ = y r Eemplos: Determine o argumento dos números: a) Z = + i b) Z = i c) Z = i a) Z = + i ( ) r = + ; r = + ; r = cos θ = sen θ = o θ = 0 ou θ = rd 6 b) Z = i r = + ( ) ; r = cos θ = = sen θ = = θ = 5 o c) Z = i r = 0 + ( ) ; r = cos θ = 0 θ = 70 o sen θ = 4 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO A forma algébrica para cálculo de potências ou raízes de números compleos torna a operação quase impraticável, por isso veremos como representar um número compleo numa outra forma muito mais prática. Seja então Z = + yi, cujo módulo representaremos por r, e cujo argumento representaremos por θ. Então: cosθ = = r cos θ r senθ = y y = r sen θ r Logo, substituindo em Z = + yi, obtém se: Z = r cos θ + i. r sen θ ; Z = r. (cos θ + i sen θ ) que chamamos de forma trigonométrica de Z. Matemática M 5

26 Eemplo: Ache a forma trigonométrica de Z = + i Z = + i Logo: + i = (cos 60º + i sen 60º) r = + = cos θ = sen θ = θ = 60 o Observação: Se Z = r. (cos θ + i sen θ ) e Z = r. (cos θ + i sen θ ) prova se que: a) Z. Z = r. r [cos ( θ + θ ) + i sen ( θ + θ )] b) Z Z r = [cos( θ θ ) + i sen( θ θ )] r 5 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS A fórmula Z. Z = r. r [cos ( θ + θ ) + i sen ( θ + θ )] vale para um número finito de fatores. Desse modo, se Z = r. (cos θ + i sen θ ), teremos: Z n = r. r..... r. [cos ( θ θ ) + i sen ( θ θ )], e então: n fatores n parcelas n parcelas Z n = r n. (cos n θ + i sen n θ ) ª fórmula de De Moivre. Eemplo: Calcule ( + i) 5 Z = + i r = + = cos θ = sen θ = θ = 0 o Logo: Z = (cos 0º + i sen 0º) e então; Z 5 = 5. (cos 50º + i sen 50º) Z 5 =. + 5 i. ; Z = i ) Mostre que, se ( + i) n, com n inteiro, é real, então n é múltiplo de. + = 6 + i cos i sen, concorda? 6 Então: ( i ) n n n n + = cos + i sen 6 6 Como esse número é real, sen n = 0. 6 Matemática M n n n n + = cos + i sen. ou ( i ) Portanto, n K = e daí n = K, K Z e n é múltiplo de.

27 6 RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Tecnologia Seja Z um número compleo e n N*. Chama se raiz enésima de Z e representa se por compleo w tal que w n = Z. Se Z = r (cos θ + i sen θ ) e w = p (cos α + i sen α ) então como w n = Z, obteremos: p n. (cos n α + i sen n α ) = r (cos θ + i sen θ ) e daí: p n n = r p = r n Z ao número cos n α = cos θ n α = θ + K e então: sen n α = sen θ θ α = + K, onde K varia de 0 a n, pois a partir daí obtemos arcos congruos com os arcos já obtidos. n n n n θ + K θ + K Concluímos, então, que: Z = r. cos + i.sen K n n n = 0,,..., Essa é a ª fórmula de De Moivre. Observe que o número de raízes compleas de um número é igual ao índice da raiz. Eemplo: Calcule = 64. (cos + i sen ), concorda? + + Então: 64 = 64. cos K +. sen K i K = 0 Z = 4 cos + i sen = + i ( cos sen ) K = Z = 4 + i = K = Z = 4 cos + i sen = i 7 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA a) As raízes enésimas de Z têm todas o mesmo módulo, por isso a representação dessas raízes no plano de Argand Gauss situa se sobre uma circunferência de raio igual a n r e centro (0, 0). b) As raízes quadradas de um número Z são etremidades de um diâmetro da circunferência descrita em a. c) As raízes de índice n são vértices de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência descrita em a. Assim, as raízes cúbicas de 64 são lados do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência de centro (0, 0) e raio 4. Matemática M 7

28 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS DEFINIÇÃO Equação algébrica, de grau n, é toda sentença do tipo p() = 0, onde p() é um polinômio de grau n. Assim, equação algébrica é uma equação da forma: a n. n + a n. n a. + a o = 0, onde a o, a,..., a n são números compleos, a n 0 RAIZ DE UMA EQUAÇÃO Um númeroé raiz da equação P() = 0, se P( α ) = 0. Assim, se P() = + 8, as raízes da equação P() = 0 são, i, i, como você pode verificar por substituição direta. Nesta unidade, aprenderemos como determinar as raízes de uma equação. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.) T.F.A.: Toda equação algébrica de grau n tem ao menos uma raiz complea. Se P() é, então, um polinômio de grau n, pelo T.F.A., ele tem ao menos uma raiz que chamaremos α. Pelo teorema de D Alembert, segue que P() = ( α ). P (), sendo P () um polinômio de grau n. Se n, o T.F.A. nos permite afirmar que P () = ( α ). P (), o que acarreta: a: P() = ( α )( α ). P () Aplicando sucessivamente o T.F.A., chegaremos a: Este é o teorema da decomposição. P() = ( α ). ( α )... ( α n ) P n () onde P n () = a n. Todo polinômio de grau n pode ser fatorado na forma: P() = a n. ( α ). ( α )... ( α n ), onde α, α, α n são suas raízes. Conseqüência: Toda equação algébrica P() = 0, de grau n, tem eatamente n raízes. Observação: Se uma determinada raiz α aparecer m vezes, diremos que é raiz α de multiplicidade m, o que equivale a dizer que P() = ( a) m. Q() e Q( α )0. ) Resolva a equação + = 0, sabendo que uma de suas raízes é o número, e em seguida decomponha o polinômio do º membro. Se é raiz, então p() = ( + ). Q(). Fazendo a divisão por Briot Ruffini, achamos Q(). 5 0 Q() = 5 + Então P() = 0 equivale a ( + )( 5 + ) = 0. As duas outras raízes são raízes de 5 + = 0, que resolvida nos dá, /. Logo: S = {, /, } e temos: P() = ( + )( )( /) = ( + )( )( ) 8 Matemática M

29 ) Resolver a equação = 0, sendo duas de suas raízes os números e. Como e são raízes, P() = ( )( ). Q(). Dividimos então P() por, obtendo Q (); então dividimos Q () por,obtendo Q() Q() As demais raízes são raízes de + 4 = 0, que dá = ± i. S = {,, i, i} ) Obtenha o polinômio P() de grau, que possui uma raiz igual a, como raiz dupla e P(0) =. Pelos dados, podemos dizer que P ( ) = a ( )( + ). Como P(0) =, vem: a(0 )(0 + ) = ; a =. Portanto, P ( ) = ( )( + ) ; P() = ( ) ( + +) ou P() = +. 4 PESQUISAS DE RAÍZES RACIONAIS E INTEIRAS Teorema das raízes racionais Seja a equação a n. n + a n. n a. + a o = 0, de coeficientes inteiros. Se o número racional p q, com p e q primos entre si, é raiz da equação, então p é divisor de a o e q é divisor de a n. Observe que: O teorema só se aplica a equações com coeficientes inteiros. O teorema não afirma que a equação tem raízes racionais da forma p, mas se elas eistirem, então p q é divisor de a o e q é divisor de a n. Se a equação P() = 0, de coeficientes inteiros, tem uma raiz p, inteira, então p é divisor de a o. Se a n = e a equação P() = 0 admitir raízes racionais, essas serão necessariamente números inteiros. Eemplo: Verifique se a equação + = 0 tem alguma raiz inteira. As possíveis raízes inteiras são,,, (divisores de ). Mas: P( ) = 6; P() = 0; P( ) = 0 e P() = 6. Logo a equação tem uma única raiz inteira, que é o número. 5 PESQUISA DAS RAÍZES COMPLEXAS Teorema das raízes compleas Se o número Z = a + bi é raiz de multiplicidade m de uma equação de coeficientes reais, então o seu conjugado Z = a bi também é raiz de multiplicidade m da equação. Conseqüências: Numa equação algébrica de coeficientes reais, as raízes compleas e não reais ocorrem aos pares. Uma equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Matemática M 9

30 ) Forme uma equação de coeficientes reais e menor grau possível, que tenha como raízes, i e i. Se i e i são raízes, seus conjugados i, i também são. Logo, a equação procurada é: a( )( + i)( i)( i)( + i) = 0 ou a( ) ( +)( + 4) = 0 ) Resolva a equação = 0, sendo + i uma de suas raízes. Se + i é raiz, i também é; portanto: Para achar as outras raízes, resolva a equação + + = 0. Você achará e. S= {,, + i, i} + i i + i 4 + i 4 + i RAÍZES REAIS Teorema de Bolzano Se P() = 0 é uma equação algébrica com coeficientes reais e ] a, b [ é um intervalo real aberto, temos: a) Se P(a) e P(b) têm mesmo sinal, então eiste um número par de raízes reais em ] a, b [ ou não eistem raízes reais em ] a, b [. b) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então eiste um número ímpar de raízes reais da equação em ] a, b [. Eemplos: ) Quantas raízes reais a equação = 0 pode ter no intervalo (0, )? P(0) = 4 > 0 P() = 7 > 0 Conclusão: a equação pode ter duas ou nenhuma raiz real no intervalo (0, ). ) Determine m na equação: (m ) = 0 de modo que ela tenha ao menos uma raiz real compreendida entre 0 e. P(0) = m P() = m + Para que a equação dada tenha ao menos uma raiz real no intervalo dado, P(0) e P() devem ter sinais opostos, ou seja, P(0). P() < 0. Logo: (m )(m + ) < 0, que resolvido dá: < m <. 7 RELAÇÕES DE GIRARD São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica. 7. Relações de Girard para uma equação do º grau. a + b + c = 0; e raízes. b c + =. = a a 0 Matemática M

31 7. Relações de Girard para uma equação do º grau a +b + c + d = 0;, e raízes. b c d + + = =.. = a a a 7. Relações de Girard para uma equação do 4º grau a 4 +b + c + d + e = 0;,,, 4 raízes. b c = = a a d e =... 4 = a a ) Resolva a equação = 0, sabendo que uma raiz é média aritmética das outras duas. a + c Sejam a, b, c as raízes e suponhamos que b = ou seja a + c = b. Pelas relações de Girard, temos a + b + c = 6; b + b = 6; b = Sendo uma de suas raízes, teremos: Logo, as outras raízes são as raízes de 4 5 = 0, que são e 5. ) Sendo a, b, c as raízes da equação = 0 calcule a + b + c. Das relações de Girard, obtemos: a + b + c = 5 (I) ab + ac + bc = 7(II) a. b. c = 4 (III) De I vem: (a + b + c) = ( 5). a + b + c + ab + ac + bc = 5 a + b + c + (ab + ac + bc) = 5 ( a + b + c ) +. ( 7) = 5 a + b + c = 9 Matemática M

32 ESTUDO ANALÍTICO DA RETA COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO Consideremos, sobre um plano, dois eios, e y, perpendiculares, cuja interseção, 0, é tomada como origem dos dois eios. Seja P um ponto qualquer desse plano. A partir de P, trace paralelas aos eios. Essas retas os interceptarão em P e P. As coordenadas de P e P,que representaremos por e y, são as coordenadas cartesianas de P e serão indicadas por P(,y), onde é a abscissa e y é a ordenada. P P Os eios dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes, e que são numerados no sentido anti horário.. Considere o ponto M( K, 5). Ache K para que ele: a) Pertença ao eio y. b) Pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. a) Para que M pertença ao eio y, sua abscissa deve ser nula, concorda? Logo: K = 0; K =. b) Da definição de bissetriz, você sabe que um ponto dela eqüidista dos lados do ângulo. Logo, se M pertence à bissetriz do º e º quadrantes, suas coordenadas serão iguais. Então: K = 5; K = PONTO MÉDIO Dados: P(, y ) e Q(, y ) Achar: M( m, y m ) ponto médio de PQ y PMR e MQS são congruentes. y m Logo: PR = MS m = m m = + y MR = SQ y m y = y y m y m = y Logo: m = + e y m = y + y Matemática M + y m

33 FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados: P(, y ) e Q(, y ) Achar: d, a distância entre P e Q. Tecnologia No triângulo PQR, temos: d = PR + RQ d = ( ) + (y y ) daí y y d = ( ) + (y y ). Dados A( 5, ) e M(4, 7), ache as coordenadas do ponto M simétrico de M em relação a A. M é simétrico de M em relação a A, desde que A seja ponto médio de MM. Façamos M = (,y). Teremos: A = M + y A = y M + y = 7 + y = Resposta: M = ( 4, ) 4 INCLINAÇÃO DE UMA RETA = 4 y = M A M Seja r uma reta não paralela ao eio. Inclinação de r é o menor ângulo segundo o qual devemos girar o eio emtorno de A, no sentido anti horário, para que ele coincida com a reta. Se r for paralela ao eio, sua inclinação é nula. = 5 COEFICIENTE ANGULAR Definição: Seja r uma reta não paralela ao eio Oy. Chama se coeficiente angular de r (ou declive) ao número real m = tg, onde é a inclinação da reta. Observações: Alguns autores usam a palavra inclinação como sinônimo de coeficiente angular. É fácil perceber que se é agudo, m > 0, se é obtuso m < 0, e se = 90, a reta não tem coeficiente angular. Matemática M

34 6 CÁLCULO DE M DADOS DOIS PONTOS DA RETA No triângulo PQR, temos: m RQ = tg θ = = PR y y, ou seja y m = y y 7 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Seja r uma reta não vertical, de coeficiente angular m, e que corta o eio y no ponto N (0, n). Se M(, y) é um ponto genérico da reta, teremos: m = Observações: y n y = m + n (equação reduzida da reta) 0 m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. De acordo com isso, a equação y = + representa uma reta de coeficiente angular, portanto, crescente e que corta o eio y no ponto (0,), pois o coeficiente linear vale. y 8 EQUAÇÃO DE UMA RETA QUE PASSA POR UM PONTO P 0 (X 0, Y 0 ) E TEM COEFICIENTE ANGULAR M Seja uma reta que passa por P 0 ( 0, y 0 ) e tem coeficiente angular m. Se P(, y) é um ponto genérico da reta, teremos: m = y y 0 0 e então: y y 0 = m( 0 ) y y y o P o o Observações: Se a reta for horizontal, m = 0 e sua equação se reduz a y = y 0. Se a reta for vertical, m não eiste. No entanto, se uma reta é vertical e passa por P 0 ( 0, y 0 ), todos os seus pontos têm a mesma abscissa e sua equação será = 0. 4 Matemática M

35 . Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(, 4) e B(5, 9). Inicialmente, determinamos o coeficiente angular de AB. m 9 4 = ; m 5 = 5 Achamos agora a equação da reta de coeficiente angular m = 5/ e que passa por A(, 4). y 5 4 = ( ) e daí: y 8 = 5 5; y 5 7 = Observação: Se usarmos o ponto B ao invés de A, obteremos a mesma equação. Verifique. 9 EQUAÇÃO GERAL DA RETA A) Toda reta pode ser dada por uma equação do tipo a + by + c = 0, com a0 ou b0. Demonstração: Se a reta não é vertical, ela pode ser representada pela equação reduzida y = m + n, o que dá m y + n = 0, que é uma equação do tipo a + by + c = 0. Se a reta for vertical, sua equação é = 0 ou 0y 0 = 0, que também é da forma a + by + c = 0. B) Toda equação do tipo a + by + c = 0, com a0 ou b0 representa uma reta. Demonstração: Suponhamos inicialmente que b0. Então de a + by + c = 0 obtemos y reduzida de uma reta não vertical, de coeficiente angular m onde n c =. Se b = 0, a equação fica a + c = 0 ou b a b c =, que é a equação b a = e que corta o eio OY no ponto (O, n), b c =. a Como a0 (pois b = 0), essa equação representa uma reta vertical. Observação: A equação a + by + c = 0 é chamada equação geral da reta. Dada a equação geral, veja que m a = b Matemática M 5

36 . Determine o coeficiente angular da reta cuja equação é: a) m b) m c) m a) y + = 0 b) y = 0 c) = 0 a = ; m b a = ; m b a = ; m b = ; m 6 Matemática M = 0 = ; m = 0 e então temos uma reta horizontal. = =?. Como m não eiste, a reta é uma reta vertical. 0. Determine os pontos onde a reta y + = 0 intercepta os eios coordenados. A interseção com o eio é obtida fazendo se y = 0. Então 0 + = 0, ponto,0. = e temos o A interseção com o eio y é obtida fazendo se = 0. Logo:. 0 y + = 0; y = e obtemos o ponto (0, ).. Determine a interseção das retas: (r): y + = 0 (s): + y 5 = 0 A interseção das retas, se eistir, será um ponto que pertence a ambas. Basta, então, resolver o sistema formado pelas equações das retas. y = + y = 5 Resposta: 4, 4. Seja a reta (r): 4y + 7 = 0. Determine um ponto de r, cuja distância ao ponto A(8, ) é 4. Da equação dada, tiramos que = 4y 7. Logo um ponto de r é da forma (4y 7, y). Sua distância ao ponto A será: d = (4y 7 8) + (y ) o que dá: d = 7y 04y Como d = 4 vem 7y 04y + 69 = 4 e daí 7y 04y + 69 = 4 e simplificando: y y + 5 = 0, cujas raízes são y = 5 e y = 7. Se y = 5 temos = Se y = 7 temos =. Resolvendo, você encontrará: Resposta: P = (, 5) e P (, 7) 4 = e y =.

37 0 CONDIÇÃO DE PARALELISMO Duas retas (não paralelas ao eio y) são paralelas se e somente se m r = m s. Demonstração: Tecnologia r // s = tg = tg m r = m s CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO Duas retas r e s são perpendiculares se e somente se m r. m s = Demonstração: Pelo teorema do ângulo eterno, temos: = 90º + tg = tg(90º + ) tg = cotg tg = tg m r = m s m r. m s = Uma Observação Interessante: Dada a equação geral de uma reta a + by + c = 0, temos: A equação a + by + k = 0 representa uma reta paralela à reta dada. A equação b ay + k = 0 representa uma reta perpendicular à reta dada.. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(, ) e é paralela à reta y + = 0. º modo: Como a reta r procurada é paralela a y + = 0, seus coeficientes angulares são iguais; logo m r =. Como r passa por P(, ), teremos: y + = ( ); y 5 = 0. º modo: Uma reta paralela a y + = 0 é da forma y + K = 0. Como ela passa por P(, ), temos. ( ) + K = 0, o que dá K = 5. Então a equação pedida é y 5 = 0. Matemática M 7

38 . Ache a equação da reta que passa pelo ponto P(, ) e é perpendicular à reta + y 5 = 0. º modo:coeficiente angular da reta dada: m =. Coeficiente angular da reta pedida: m = m r ; m =. Equação pedida: y + = ( ) y 0 = º modo:uma reta perpendicular a + y 5 = 0 é do tipo y + k = 0. Como P(, ) pertence a essa reta, teremos.. ( ) + k = 0; k =. Portanto, a equação é y = 0. ÂNGULO DE DUAS RETAS Sejam r e s duas retas não perpendiculares, de coeficientes angulares, respectivamente, m e m. Se nenhuma dessas retas é vertical, o ângulo agudo entre as retas r e s é calculado por: tg = m m + m. m Se uma das retas é vertical, seja m o coeficiente angular da outra reta. Prova se que a tangente do ângulo agudo entre elas é: tg = m. Calcule o ângulo agudo formado pelas retas: a) r: y + = 0 e s: + y = 0 b) r: y + = 0 e s: + = 0 a) m r = e m s =. Portanto: tg = ; tg=. Então= 45 + ( ). b) A reta s é vertical e m r =. Logo tg= tg=. Então= 60. Ache a equação da reta que passa por P(, 5) e que forma com + y + = 0 um ângulo de 45º. Seja s a reta procurada e r a reta dada: tg 45 = m s m r + m s. m r ; m s + m s. = Simplificando: m s = Logo: m s + m + m s s = m s = ; m s + m s = m s = 8 Matemática M

39 ª solução: reta que passa por P(, 5) e m = y 5 = ( ) y = 0 ª solução: reta que passa por P(, 5) e m DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA = y 5 = ( ) + y 7 = 0 Dado o ponto P( 0, y 0 ) e a equação geral da reta r a + by + c = 0, a distância de P a r é dada por: d = a + by + c 0 0 a + b. Calcule o perímetro do quadrado que tem o vértice A(, 4) e um lado na reta r: + y + 5 = 0. Inicialmente verifique se A pertence a r = 0 ; 8 = 0 ; A r. Então, o lado do quadrado é dado pela distância de A à reta r. = ; 8 = ; = 4 Logo, o perímetro do quadrado é p = 4. 4 = 6.. Calcule a distância entre as retas y + = 0 e y 5 = 0. Observe inicialmente que esse problema só tem sentido se as retas forem paralelas. Se isso acontecer, a distância entre elas é dada pela distância de um ponto de uma delas até a outra reta. r s Determinemos, pois, um ponto da reta y + = 0. = ;. y + = 0; y = ; P(, ). Calculemos agora a distância de P à outra reta. d = ; d = 6 Matemática M 9

40 ESTUDO ANALÍTICO DA CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA Seja uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, no plano cartesiano. Se P(, y) é um ponto qualquer da circunferência, temos: d PC = r ( a) (y b) + = r (quadrando) ( a) + (y b) = r equação reduzida da circunferência. EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA Seja ( a) + (y b) = r a equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r. Desenvolvendo, obtemos: + y a by + a + b r = 0 equação geral da circunferência. Observação: Seja A + By + Cy + D + Ey + F = 0 uma equação geral de º grau em e y. Para que essa equação represente circunferência, devemos ter: A = B 0; C = 0; D + E 4AF > 0 Satisfeitas essas condições, o centro da circunferência é: C e seu raio r é: r = D + E 4AF. A D = A, E A. Ache a equação da circunferência de centro C(, ) e que passa pelo ponto P(5, 5). A equação reduzida da cincunferência procurada é ( ) + (y ) = r Como o ponto P(5,5) pertence a ela, suas coordenadas devem satisfazer à equação. (5 ) + (5 ) = r r = 5 Portanto, a equação pedida é: ( ) + (y ) = 5 Observação: O raio também poderia ser encontrado calculando se a distância de C a P. 4 0 Matemática M

41 . Ache a equação da circunferência de centro na reta y =, e que passa pelos pontos P (, ) e P (0, 4). Seja C(a, b) o centro da circunferência. Como C pertence à reta y =, teremos b = a. Logo C(a, a) e sua equação será: ( a) + (y a) = r P circunferência ( a) + ( a) = r 5a + a + = r (I) P circunferência (0 a) + ( 4 a) = r 5a + 6a + 6 = r (II) De I e II, concluímos: 5a + a + = 5a + 6a + 6 e daí a =. Pontanto o centro é C(, ). Para achar r, é só substituir o valor de a = em I (ou II). Você achará r = 5. Logo, a equação procurada é: ( + ) + (y + ) = 5. Verifique se as equações abaio representam circunferências. Em caso afirmativo, dê o centro C e o raio r. a) 4 + 4y y + = 0 b) + y + 4 6y 7 = 0 c) + y + 6 8y + y = 0 d) + y + y + = 0 a) Para fazer a verificação pedida, devemos comparar a equação dada com a equação geral. Como os coeficientes de e y na equação geral valem, vamos dividir os termos da equação dada por 4. Teremos: Comparando com a equação geral, obtemos: a = ; a = b = ; b = a + b r = r = 4 r = + y + + y + = 0 4 Temos, portanto, uma circunferência onde C(, ) e r = b) Não representa circunferência, pois os coeficientes de e y são diferentes. c) Não representa circunferência, pois na equação geral da circunferência não eiste termo em y. d) + y + y + = 0 (dividindo por ) + y + y + = 0 e então: a = ; a = b = ; b = 4 a + b r = r = r = 9 6 ; r = 9 6 =?? Portanto, a equação não representa circunferência. Matemática M 4

42 4. Calcule m, p e k para que a equação a seguir represente uma circunferência. Equação: + my + ky + + y + p = 0 Os coeficientes de e y devem ser iguais, m =. Além disso o termo em y deve ter coeficiente nulo, e então k = 0. Substituindo m e k, obtemos: + y + + y + p = 0 (dividindo por ) + y + + y + p a + b r = p r = p e então: r = p Para termos uma circunferência p > 0, o que dá p < Resposta: m =, K = 0, p < = 0 e daí vem: a = ; a = b = ; b = POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA º modo: Calcule a distância do ponto dado P ao centro C da circunferência. Se PC = r, o ponto P pertence à circunferência. Se PC > r, o ponto P é eterior à circunferência. Se PC < r, o ponto P é interior à circunferência. º modo: Usando a equação reduzida. Sejam dados o ponto P( 0, y 0 ) e a circunferência ( a) + (y b) r = 0 Se ( 0 a) + (y 0 b) r = 0, P pertence à circunferência. Se ( 0 a) + (y 0 b) r > 0, P é eterior à circunferência. Se ( 0 a) + (y 0 b) r < 0, P é interior à circunferência. º modo: Usando a equação geral Dados: P( 0, y 0 ) e a circunferência + y a by + a + b r = 0. Se + y a by + a + b r = 0, P pertence à circunferência Se + y a by + a + b r > 0, P é eterior à circunferência Se + y a by + a + b r < 0, P é interior à circunferência Calcule p para que o ponto A(7, 9) seja eterior à circunferência: + y y p = 0 Para que A seja eterior à circunferência dada, devemos ter: p > 0; o que dá p < 98. Além disso, a equação dada deve representar uma circunferência. Logo: a = a = b = b = a + b r = p; + r = p; r = p + ; r = p + e então p + > 0; p > Resposta: < p < 98 4 Matemática M

43 . Considere a circunferência + y + 6y + 6 = 0. Eiste algum ponto de abscissa no interior dessa circunferência? Seja P(, a) o ponto procurado. Então, para que P esteja no interior da circunferência devemos ter: 9 + a + 6 6a + 6 < 0 a 6a + < 0 Mas essa inequação não tem solução. Portanto, não eiste nenhum ponto satisfazendo ao problema. 4 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA º modo: Comparando a distância do centro da circunferência à reta com o raio. Se d é a distância do centro C à reta s, e r é o raio, teremos: * d = r, a reta é tangente à circunferência * d < r, a reta é secante à circunferência * d > r, a reta é eterior à circunferência º modo: Procurando a interseção entre a reta e a circunferência. Para isso, montamos o sistema com as equações da reta e da circunferência. Se a solução for única, a reta e a circunferência são tangentes. Se tivermos duas soluções a reta e a circunferência são secantes. Se o sistema não tiver solução, a reta e a circunferência são eteriores.. Dada a reta + y + c = 0 e a circunferência + y = 0, ache c de modo que a reta seja eterior à circunferência. Inicialmente, verifique se a equação dada representa circunferência. a = ; a = b = 0; b = 0 a + b r = 0; + 0 r = 0; r = Logo, temos uma circunferência de centro (, 0) e raio. Para que a reta seja eterior à circunferência, a distância do centro dessa à reta deve ser maior que o raio. Logo: a) + c > c > ou c > ; + c > o que dá + b) + c < c < Matemática M 4