Fundamentos da Matemática II

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1 MATEMÁTICA Graduação Fudametos da Matemátca II Ider Jeet Taeja Aldrovado L A Araújo

2 Fudametos da Matemátca II Ider Jeet Taeja Aldrovado L A Araújo ª Edção Floraópols, 00

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4 Govero Federal Presdete da Repúblca: Luz Iáco Lula da Slva Mstro de Educação: Ferado Haddad Secretáro de Eso a Dstâca: Carlos Eduardo Belschowky Coordeador Nacoal da Uversdade Aberta do Brasl: Celso Costa Uversdade Federal de Sata Catara Retor: Alvaro Toubes Prata Vce-Retor: Carlos Alberto Justo da Slva Secretáro de Educação a Dstâca: Cícero Barbosa Pró-Retora de Eso de Graduação: Yara Mara Rauh Müller Pró-Retora de Pesqusa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Retor de Pós-Graduação: Mara Lúca de Barros Camargo Pró-Retor de Desevolvmeto Humao e Socal: Luz Herque Vera Slva Pró-Retor de Ifra-Estrutura: João Batsta Furtuoso Pró-Retor de Assutos Estudats: Cláudo José Amate Cetro de Cêcas da Educação: Wlso Schmdt Cetro de Cêcas Físcas e Matemátcas: Tarcso Atôo Grad Cetro de Flosofa e Cêcas Humaas: Roselae Neckel Curso de Lcecatura em Matemátca a Modaldade à Dstâca Coordeação de Curso: Ner Terezha Both Carvalho Coordeação de Tutora: Jae Crppa Coordeação Pedagógca/CED: Rosel Ze Cery Coordeação de Ambetes Vrtuas/CFM: Nereu Estaslau Bur Comssão Edtoral Atôo Carlos Gardel Letão Alberta Zatell Elsa Zuko Toma Igor Mozolevsk Luz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Slva Ruy Combra Charão

5 Laboratóro de Novas Tecologas - LANTEC/CED Coordeação Pedagógca Coordeação Geral: Adrea Lapa, Rosel Ze Cery Núcleo de Formação: Nlza Godoy Gomes Núcleo de Pesqusa e Avalação: Clauda Rega Flores Núcleo de Cração e Desevolvmeto de Materas Desg Gráfco Coordeação: Laura Marts Rodrgues, Thago Rocha Olvera Projeto Gráfco Orgal: Dogo Herque Ropelato, Marta Crsta Goulart Braga, Natal Aacleto Chcca Juor Redeseho do Projeto Gráfco: Laura Marts Rodrgues, Dagramação: Natála de Gouvêa Slva Ilustrações: Ata de Fretas Btecourt Capa: Thago Felpe Vctoro Desg Istrucoal Coordeação: Julaa Machado Thago Rocha Olvera Desg Istrucoal: Alessadra Zago Dahmer, Elera Olvera Vlela Revsão do Desg Istrucoal: Márca Mara Beral Revsão Gramatcal: Mara Tereza de Queroz Pacet Copyrght 00, Uversdade Federal de Sata Catara/CFM/CED/UFSC Nehuma parte deste materal poderá ser reproduzda, trasmtda e gravada, por qualquer meo eletrôco, por fotocópa e outros, sem a préva autorzação, por escrto, da Coordeação Acadêmca do Curso de Lcecatura em Matemátca a Modaldade à Dstâca Fcha Catalográfca T64f Taeja, Ider Jeet Fudametos de Matemátca II / Ider Jeet Taeja, Aldrovado L A Araújo ed Floraópols : UFSC/EAD/CED/CFM, 009 3p ISBN Matemátca II Araújo, Aldrovado L A III Título CDU 5 Elaborada pela Bblotecára Eleoora M F Vera CRB 4/786

6 Sumáro Fudametos da Matemátca II 7 Iformações Hstórcas 9 Noções Báscas 5 Fatoral de um Número Natural 7 Somatóro e Produtóro Somatóro Produtóro 4 3 Prcípo de Idução 7 Números Bomas 35 Coefcetes Bomas 37 Coefcetes Bomas Complemetares 38 Igualdade Etre Dos Bomas 39 Relação de Stfel 4 3 Trâgulo de Pascal 43 3 Propredades do Trâgulo de Pascal 45 4 Bômo de Newto 54 4 Termo Geral do Bômo 57 4 Propredades 6 3 Aálse Combatóra: Permutações e Combações 67 3 Prcípo Fudametal de Cotagem 70 3 Arrajos 76 3 Arrajos Smples 76 3 Arrajo com Repetção Permutações Permutação Smples Permutações com Elemetos Repetdos Permutações Crculares Combações Combações Smples Combações Completas Combações Completas e Equações Leares com Coefcetes Utáros 94

7 4 Elemetos de Probabldade 0 4 Noções de Probabldade 04 4 Evetos Idepedetes e Probabldade Codcoal4 Resposta dos exercícos 8 Referêca 3

8 Fudametos da Matemátca II Neste trabalho dscutmos um úmero de resultados e métodos, especalmete da área de combatóra e teora elemetar de probabldade A apresetação ão omte provas de resultados mportates, ada que ão seja cetrada elas No etato, meramete expor os fatos sem algum argumeto que os justfque, sera terrvelmete dstate do espírto de um curso superor em matemátca Assm, sempre que possível, damos provas dos resultados mportates desde que seus argumetos ão estejam demasadamete além do escopo da dscpla para a qual foram escrtas estas otas Outro gredete que cosderamos essecal é a resolução de problemas, e este poto é ode ossas otas se cocetram Todos os cocetos e teoremas são exaustvamete explorados os exercícos De fato, dada a tpcdade do assuto, acredtamos que a sua melhor exposção possa ser realzada a forma de resolução de exercícos que exemplfquem argumetos fudametas e outros, os quas o estudate deve explorar os cohecmetos adqurdos o texto e os exercícos resolvdos Mutos detalhes de argumetos ou seus refametos se ecotram os exercícos É mprescdível que o estudate tete fazer todos os exercícos das otas De preferêca, tete resolver os já resolvdos, sem cohecmeto prévo da solução proposta, e em caso de fracasso sm, verfque a resolução Todo o trabalho está dvdo em quatro capítulos Os coteúdos das otas compreedem: regras báscas de cotagem, úmeros fatoras e prcípo de dução, combações, permutações e arrajos smples e com repetção, problemas combatóros com restrções, prcípo da clusão e exclusão, bômo de Newto e trâgulo de Pascal, espaços de probabldade ftos, probabldade codcoal e evetos depedetes Ider Jeet Taeja Aldrovado L A Araújo

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10 9 Iformações Hstórcas O surgmeto e o desevolvmeto da aálse combatóra tem se dado paralelamete ao desevolvmeto de outros ramos da matemátca, tas como a álgebra, a teora dos úmeros e a probabldade Desde a atgudade, Problemas de Combatóra têm atraído a ateção dos matemátcos Por exemplo, o problema dos quadrados mágcos que são matrzes quadradas de úmeros com a propredade de que a soma dos elemetos de qualquer colua, lha ou dagoal é o mesmo valor, aparece em um lvro chês datado de 00 a C Os quadrados mágcos de ordem 3 foram estudados com fs místcos Os coefcetes bomas, que são os coefcetes teros da expasão de (a+b), eram cohecdos o século XII O trâgulo de Pascal, que é uma dsposção tragular dos coefcetes bomas, fo desevolvdo o século XIII Pode-se cosderar que o ocdete a combatóra surgu o século XVII com os trabalhos de Blase Pascal e de Perre Fermat sobre a teora de jogos de azar Estes trabalhos, que formaram os fudametos da teora da probabldade, cotham os prcípos para determar o úmero de combações de elemetos de um cojuto fto, e assm se estabeleceu a tradcoal coexão etre combatóra e probabldade O termo combatóra, tal e qual o usamos atualmete, fo troduzdo por Wlhem Lebz em sua Dssertato de Arte Combatóra De grade mportâca para a cosoldação da combatóra fo o artgo Ars Cojectad (a arte de cojeturar), escrto por J Beroull Este trabalho estava dedcado a estabelecer as oções báscas de probabldade Para sto, fo ecessáro troduzr também um bom úmero de oções báscas de combatóra, que foram usadas fortemete as aplcações ao cálculo de probabldades Pode-se dzer que com os trabalhos de Lebz e Beroull se cam com o estabelecmeto da combatóra como uma ova e depedete área da matemátca O matemátco suíço Leoard Euler fo quem desevolveu, em prcípos do século XVIII, uma autêtca escola de matemátca combatóra Em seus artgos sobre partção e decomposção de teros postvos em somas, estabeleceu as bases de um dos métodos fu-

11 0 dametas para o cálculo de cofgurações combatóras, o método das fuções geradoras Também é cosderado o pa da teora dos grafos pela colocação e solução dos problemas das Potes de Kögsberg, usado pela prmera vez cocetos e métodos da teora dos grafos Dos prmeros problemas de teora dos grafos surgram as tetatvas de solução de algus problemas cotdaos e também da colocação de algus jogos matemátcos, tas como o problema das Potes de Kögsberg, o problema da dsposção de rahas em um tabulero de xadrez com certas restrções, problemas de trasporte, o problema do agete de vagem, etc O problema das quatro cores, formulado os meados do século XIX, (quatro cores são sufcetes para colorr as regões de um mapa de tal maera que regões com frotera teham cores dsttas) dexou de ser um mero jogo matemátco para ser uma fote de mportates problemas e resultados em teora dos grafos, de teresse tato teórco como prátco Este fo um dos problemas teórcos mas desafadores a hstóra da combatóra devdo à smplcdade de seu eucado Na Iglaterra, os fas do século XIX, Arthur Cayley fez mportates cotrbuções à teora de eumeração de grafos Por esta época, o matemátco George Boole usou métodos de combatóra em coexão com o desevolvmeto da lógca smbólca e com as déas e métodos que Her Pocaré desevolveu em relação aos problemas de topologa Um dos fatores mas mportates que cotrbuíram para o grade desevolvmeto que teve a combatóra desde 90 fo a teora dos grafos A mportâca dessa dscpla se apóa o fato de que os grafos podem servr como modelos abstratos para modelar uma grade varedade de relações etre objetos de um cojuto Suas aplcações se estedem a campos tão dversos como a vestgação de operações, químca, mecâca estatístca, físca teórca e problemas sóco-ecoômcos A teora de redes de trasporte pode ser vsta como um capítulo da teora dos grafos A teora da probabldade teve sua cração por Blase Pascal e Perre de Fermat motvada por uma dsputa relatva a jogos de azar em 654 Um obre fracês, Atoe Gombaud, com teresse em jogos de azar, colocou um problema relatvo a um jogo de dados para Pascal, que coduzu a uma extesa correspodêca etre Pascal e Fermat a qual eles estabeleceram pela prmera vez os prcípos

12 fudametas da teora O cetsta Chrsta Huyges, um professor de Lebtz, tomou cohecmeto desta correspodêca e, pouco depos, publcou o prmero lvro em probabldade, ttulado De Ratocs Ludo Alea Em sítese, era um tratado fudado em problemas assocados à teora dos jogos de azar Em fução do forte apelo de tas jogos, a teora da probabldade logo se torou popular, e se desevolveu rapdamete durate o século XVIII As maores cotrbuções, durate este período foram de Jakob Beroull ( ) e Abraham de Movre ( ) Em 8 Perre de Laplace (749-87) troduzu um cojuto ovo de déas e téccas em seu lvro, Théore Aalytque des Probabltés Ates dele, a probabldade estava cocetrada o desevolvmeto de uma teora matemátca dos jogos de azar Laplace, o etato, aplcou as déas da probabldade a mutos outros problemas cetífcos e prátcos Teora de erros, matemátca atural e mecâca estatístca são algus exemplos das aplcações da teora da probabldade desevolvdos o século XIX Etre os matemátcos que cotrbuíram para a teora da probabldade, depos de Laplace, destacam-se Chebyshev, Markov, vo Mses, e Kolmogorov No etato, a axomatzação da teora só se deu o século XX Em 933, o matemátco russo Kolmogorov em uma moografa, desevolveu uma abordagem axomátca que se costtuu a base para a modera teora da probabldade (O trabalho de Kolmogorov está dspoível em glês com o título de Foudatos of Probablty Theory, Chelsea, New York, 950) Desde etão, estas déas tem sdo refadas e a teora da probabldade é hoje parte de uma dscpla mas geral cohecda como Teora da Medda

13 Blase Pascal Flósofo e matemátco fracês (63 66) Aos dezoto aos vetou a prmera máqua dgtal, chamada Pascale, para levar a cabo o processo de adção e subtração Fote: wwwsomatematcacombr/bograf/pascalphp Perre Fermat Advogado e ofcal do govero fracês (60 665) A matemátca era o seu passatempo Em 636, Fermat propôs um sstema de geometra aalítca semelhate àquele que Descartes propora um ao depos Em uma correspodêca com Pascal, fudou a teora matemátca da probabldade Fote: wwwsomatematcacombr/bograf/fermatphp Wlhem Lebz Matemátco e flósofo alemão Gottfred Wlhelm vo Lebz (646 76) J Beroull Jea Beroull ( ) fo dscípulo de Lebz

14 3 Leoard Euler Leohard Euler ( ) fo o matemátco mas prolífco a hstóra Seus 866 lvros e artgos represetam aproxmadamete um terço do corpo tero de pesqusas em matemátca, teoras físcas e egehara mecâca publcadas etre 76 e 800 Fote: wwwsomatematcacombr/bograf/eulerphp Arthur Cayley Matemátco glês (8-895) que fo motvado pelo problema de calcular o úmero de sômeros de hdrocarboetos saturados George Boole O trabalho de Boole (84 864) fo fudametal para a evolução dos computadores A Álgebra Booleaa tem aplcações a estrutura dos computadores moderos e as lgações telefôcas Fote: wwwmeuspbr/~leo/matca/hstora/boole html Her Pocaré Matemátco, físco e flósofo (854 9) No âmbto das matemátcas aplcadas, estudou umerosos problemas de óptca, eletrcdade, telegrafa, caplardade, elastcdade, termodâmca, mecâca quâtca, teora da relatvdade e cosmologa

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16 Capítulo Noções Báscas

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18 7 Capítulo Noções Báscas Neste capítulo apresetaremos algumas oções báscas de matemátca já vstas aterormete o eso médo Apresetaremos cohecmetos de fatoras, somatóros, produtóros, etc Também apresetaremos a oção de prcípo de dução Estes assutos serão utlzados freqüetemete os capítulos posterores Fatoral de um Número Natural Ao produto 3 dcamos 3! e lemos três fatoral ou fatoral de três Assm: 5! = 543 4! = 43 Por coveção: 0! =! = Estas coveções podem parecer estrahas calmete, mas veremos o decorrer do capítulo que são as úcas que oferecem compatbldade com o coceto de fatoral de um úmero atural Defção Seja um úmero atural qualquer Dzemos que se = 0! = ( )! se > 0

19 8 De fato, adotamos 0! = Etão: Se =, ( ) Se! =! = 0! = =, ( ) Se 3! =! =! = = =, ( ) 3! = 3 3! = 3! = 3 = 6 E assm por date: ( )( )! = 3 Observação Algumas vezes adota-se o símbolo para dcar! Desse modo, 3 = 3, =, etc Exemplo 5! = 543 = 0 Exemplo 8! = = 4030 Exemplo 3 3! 3 5! + = 5! + = 5! + = 0 + = 3! 3 Exemplo 4 Smplfque as expressões a) b) c)! ;! ( ) ( ) ( )! ; 3! ( )! +! ;! d) ( + ) ( )! ( )!!! a) b) Solução ( )( ) ( ) ( )! ( )( 3 )! = ( 3 )! ( 3 )!!! ( )! =! ( ) = = É possível smplfcar porque o fatoral é sempre dferete de zero

20 9 c) ( + ) ( + )!!!!! = =!! d) ( ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +!! +!! =!!!! = ( ) ( )! + ( )!( ) + = = Ecotrar o valor da varável (letra, cógta, etc) Equações Igualdade etre duas expressões matemátcas que se verfca para determados valores das varáves Fote: Dcoáro Houass Exemplo 5 Resolva as segutes equações: = ( ) a)! 5! ; b) ( )! = 0 ; c) ( ) ( ) ( ) d) ( x ) e) + 5! + + 4! = !; x! = 30 ;! ( x + ) ( x )! = 56 ;! ( + )!! f) = 8 ; ( )! ( + ) + ( ) g)! ( )!!! = 3 Solução Para resolver equações com fatoral é coveete prmero smplfcar os fatoras, fazer as operações a forma smplfcada e depos buscar as soluções das equações Veja as soluções abaxo: a) ( )! = ( ) 5 = b) ( )! = 5! ( ) = 5 = 6 5! c) ( + 5)( + 4)( + 3 )! + ( + 4)( + 3 )! = ( + ) 35 3!

21 0 ( )( ) ( ) = 35 ( )( ) = = = 0 ' = e '' = Agora, '' = ão é váldo, pos ão é atural, etão a úca solução da equação dada é = d) x( x ) ( x )! = ( x ) 30! Retome a defção e você otará que fatoral é uma operação defda apeas para úmeros aturas x x = 30 x x 30 = 0 ( x )( x ) = 0 x ' = 6 ou x ' = 5 Aqu também, x ' = 5 ão é váldo, pos ão é atural, etão a úca solução da equação dada é x = 6 e) ( x+ ) x( x ) ( x )!! = 56 x + x= 56 x + x 56 = 0 ( x )( x ) = 0 x ' = 8 ou x ' = 7 Da mesma forma, x ' = 8 ão é váldo, pos ão é atural, etão a úca solução da equação dada é x = 7 f) ( + ) ( )! ( )! = 8 ( )! [ + ]( ) ( )!! = 8

22 g) Após a smplfcação obtemos ( ) + = 8 = 8 ( + ) ( ) + ( ) ( )! ( )!! ( ) + + = 3! + + = = 0 7 ' = ou ' = =3 Como é atural, etão ' = é a úca solução da equação Lsta de Exercícos ) Calcule: a) 7! + 5! b) 7! 5! 3!4! ) Smplfque: a)! + ( + )! b) ( + )!!! ( + )! 3) Obteha, tal que: ( + )! a) = 0 b) ( ) ( )! ) Calcule x as equações abaxo: ( ) ( ) x! + ( x )! x! + x+! + x! a) = 7 b) ( x ) ( x+ ) 0!! = 0 x!! +! = 6!

23 Somatóro e Produtóro Nesta seção explcaremos a otação de somatóro e produtóro Daremos algus exemplos para você eteder melhor o assuto Somatóro A otação somatóra ( ) é utlzada para represetar uma forma reduzda a soma de um determado úmero de expressões, fuções, úmeros, etc Por exemplo, ) = ; ; ) ( + ) = ( + ) ) = ; O que é mas smples, escrever ou 5? Escrever ou 3 4? Os símbolos de somatóro e produtóro também smplfcam a otação de expressões como = e = 3579 = ( + ) O símbolo usado é um sgma maúsculo, letra grega Note que o ídce feror deota o íco e o superor, o fal 5 v) 6 5= = 55= 5; 7 ; v) 3 = = 3( ) v) 4 5 = = 45 = 60 ; 4 v) 3 j 3 4 = ( ) j= ( ) ( ) ( ) = = 4 j 3 ; j= v) ( + 3) = ( + 3 ) + ( + 3) 3 3 = ; = + 3

24 3 x) x) 5 + = a = a + a + a + a = a0 + a+ a + a = ; 0 3 = a 0 A oção do somatóro explcada acma possu algumas propredades, dadas a segur: Propredade Propredade é sômo de atrbuto; codção é o mesmo que requsto Fote: LIMA et all (003, p -3) ) Seja k uma costate arbtrára, etão: a) ka = k a ; ) b) k = k ; a b = a b m m ; j j j= j= a + b = a + b ; ) ( ) v) v) p a + a = a ; p+ a = p p 0 p a Exemplo 6 Chamamos expadr como represetação da expressão, 8 por exemplo = + + = a) Expada a expressão b) Escreva a expressão usado a otação de somatóro:

25 4 c) Avale ( a a ) cosderado a 0 = 0 Solução a) Podemos escrever 3 = = = b) Podemos escrever = ( + ) c) Podemos escrever ( a ) a = ( a a0) + ( a a) + ( a3 a) + + ( a a ) = ( a a0) + ( a a) + ( a3 a) + + ( a a ) = a + a 0 = a, pos a 0 = 0 Produtóro A otação produtóro ( ) é utlzada para represetar uma forma reduzda uma expressão, úmeros, fuções, etc, colocados em certa ordem e separados por sal de produto ( ) Por exemplo, O símbolo usado é um p maúsculo, letra grega ) 34 = =! ; ) 3 x x x x x = ; ; ) ( ) = 35 ( )

26 5 s v) x = xr xr+ xs r s; r = v) ( ) ( )( )( ) 4 ( ) = ( ) =! ; v) ( + ) = ( )( 3)( 34)( 45) 5 = ( 34)( 345) 4 4 ( ) ; = + v) 4 = ( 4)( 4)( 43)( 44)( 45) 5 = = 4 ; v) = 4444 = 4 ; x) ( + ) = 3 4 = ( 34) 3 = ( + ) 3 3 A defção do produtóro explcada acma satsfaz algumas propredades, dadas a segur: ) a b = a b ; ) Seja k um úmero atural fxo arbtráro, usualmete chamado de costate, etão: a) k = k ; b) k a = k a ;

27 6 c) k k a = a Exemplo 7 Expada e smplfque a expressão j= 0 Solução Podemos escrever j= 0 ( j + ) ( j + ) 3 ( + ) = 3 3 ( + ) = 3 = + Lsta de Exercícos ) 3) Expada as segutes somas: 6 a) ; 6 b) 0 x Escreva as expressões abaxo, usado a otação de somatóro: a) ; b) ) Expada os segutes produtos: j= ( 3j + 7) a) ; b) 4 3 ( 7+ 3)

28 7 4) Escreva as expressões abaxo usado a otação de produtóro: a) 3579 ; O axoma da dução é o últmo dos axomas de Peao (que defe os úmeros aturas) Ele está presete (pelo meos de forma mplícta) sempre que, ao afrmarmos a veracdade de uma preposção referete aos úmeros aturas, verfcamos que ela é verdadera ( =, =, =3) e dzemos e assm por date ( + )( + )( + ) b) p p p p 3 Prcípo de Idução Vamos aalsar a segute soma: S ( ) 3 5 S = = = + 3= 4= = 9= = 6 = = 5 = 5 Deduzr Coclur (algo) pelo racocío; ferr Fote: Dcoáro Houass Matematcamete, o racocío dedutvo é um poderoso strumeto de se chegar a coclusões a partr de fatos cohecdos e de uma estrutura lógca que os artcule Cosderado os próxmos valores de, podemos deduzr que: ) S = S + ; ) S = A perguta que surge aqu é se realmete sso é verdade para qualquer úmero atural Os cálculos acma ão provaram sso Etão, em vez de fazer deduções arbtráras, podemos apresetar um prcípo cohecdo como prcípo de dução, que garate as afrmações estabelecdas Proposção Seja a um úmero tero Uma proposção ( ) verdadera para todo a se: P é

29 8 ) P( a) é verdadera; ) para todo r a é verdadera, se P( r ) é verdadera, etão ( ) P r+ também Para aplcarmos este prcípo de dução matemátca, devemos segur os segutes passos: Passo (Base de dução): Verfcar se ( ) = a P é verdadera para Passo (Hpótese de dução): Assumr P( k ) verdadera, hpótese da dução, com k fxado arbtraramete 3 Passo (Tese de dução): Provar que P( k+ ) é verdadero Teste se a propredade que está sedo estudada vale para o seu valor cal Descreva o que sgfca esta propredade valer para um valor k qualquer Mostre que utlzado o fato da propredade valer para k sgfca que ela vale para seu sucessor (k + ) Coclusão: Sedo verfcados os três passos, podemos coclur que P é válda para qualquer valor de a ( ) Vamos aplcar este prcípo de dução para resolver algus exemplos Exemplo 8 Prove por dução que Solução Para = tem-se ( + ) =, ( + ) = = (vale) Supomos que o resultado vale para = r, ou seja, ( + ) r r r = Vamos mostrar que vale para = r+, ou seja, precsamos mostrar que Agora, ( r ) ( r+ )( r+ ) r+ + = ( + ) r r r+ ( r+ ) = + r+

30 9 r r = ( + ) + ( r+ ) ( r+ )( r+ ) = Logo, o resultado vale para r + Assm, cocluímos que o resultado vale para todo é um quatfcador uversal que sgfca que qualquer úmero satsfaz esta propredade Exemplo 9 Prove por dução matemátca que 0 x x x x = = ode é o cojuto dos úmeros reas x +, x, x, x Solução Passo: (Base de dução) Para = e 0 x = + x ( x )( x+ ) ( x ) x = = x + x Portato a afrmação é verdadera para = Passo: (Hpótese de dução) Vamos supor que a fórmula é válda para = k, sto é, k k + x x = (hpótese) x 0 3 Passo: (Tese de dução) Devemos mostrar que a afrmação é válda para = k+ Temos k + 0 x = + x+ + x + x k k+ k k x x + (hpótese) 0 = + k+ x = + x x = k+ k+ k+ x + x x ( ) x

31 30 Isso dz que = k x ( k ) + x k x x = (vale para = k+ ) x Logo, se a fórmula vale para k etão também vale para k + Portato, cocluímos pelo prcípo de dução, para qualquer tero, que + x = + x+ x + + x =, 0 x x x, x Exemplo 0 Usado prcípo de dução, prove que 3 =, Solução Vmos o exemplo 8 que ( + ) = Portato, precsamos provar que Passo: = = (verdadera) 3 = ( ) ( + ) = = = 4 4 Passo: Vamos supor que a afrmação vale para = k, sto é, k 3 k = ( k+ ) 4 3 Passo: Vamos provar que a mesma afrmação também vale para = k+, ou seja, Agora, k+ k 3 3 k + 3 = ( ) = + k+ 3 ( k+ ) ( k+ ) 4

32 3 ( k+ ) k = ( k ) ( + ) + 4( + ) k k k 3 = 4 ( k+ ) k + 4( k+ ) = 4 ( k+ ) ( k+ ) = 4 3 Assm, a fórmula vale para k + se for válda para k Logo, pelo prcípo de dução ela é válda para qualquer, sto é, ou seja, 3 = ( + ) 4 ( ) + =, Exemplo Utlzado o prcípo de dução, mostre que a soma dos cubos de três teros cosecutvos é um múltplo de 9, Solução Vamos cosderar ( ) ( ) , Devemos mostrar que a expressão acma é um múltplo de 9 Passo: Para = que é múltplo de = = 36 = 94, Passo: Para = k, supoha que a expressão ( ) ( ) 3 k + k+ 3 + k+ 3 é um múltplo de 9, ou seja, exste um t tal que ( ) ( ) k k k 9t = 3 Passo: Vamos mostrar que = k+, ou seja, ( k ) ( k ) ( k 3) é múltplo de 9

33 3 Podemos escrever ( k+ ) + ( k+ ) + ( k+ 3) ( k ) 3 ( k ) 3 k k( k 3) = ( ) ( ) = k + k + + k k + 7k = 9t k + 7k ( ) = 9 t+ 3+ k + 3k = 9p, ode p = t+ 3+ k + 3k Logo, podemos coclur que a expressão é um múltplo de 9 ( k+ ) + ( k+ ) + ( k+ 3) Coseqüetemete, a afrmação é verdadera Aalogamete, também podemos provar que o resultado é váldo para, pos este caso escrevemos = Exemplo Utlzado o prcípo de dução, prove que Solução m m a = a Passo: Para = m m m a = a = a Passo: Vamos supor que o resultado vale para = k, sto é: k k m m a = a 3 Passo: Vamos provar que o resultado é váldo para = k+, ou seja, Agora, k+ k+ m m a = a k+ k m m m a = a a k+

34 33 k m m a a k + (usado Passo) = k m = aa k + k + m = a (vale) Portato, usado o prcípo de dução cocluímos que a afrmação é verdadera Lsta de Exercícos 3 Prove, utlzado o prcípo da dução: ( + )( + ) ) =, 6 Você otou que este exercíco abru a seção 6? Agora você va resolvê-lo j =, ) ( ) j=

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36 Capítulo Números Bomas

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38 37 Capítulo Números Bomas Neste capítulo apresetaremos o Bômo de Newto e o trâgulo de Pascal Estes dos assutos são mportates as aplcações em aálse combatóra, apresetada o capítulo a segur Coefcetes Coefcetes são úmeros reas, em geral teros, que multplcam as cógtas ou varáves de uma expressão Na seção 4 você perceberá porque chamamos a expressão defda a segur de coefcetes bomas Coefcetes Bomas Defremos como se calculam os coefcetes bomas As fórmulas a segur permtem calcular todos os elemetos do Trâgulo de Pascal sem a ecessdade de calcular os elemetos aterores e permtem o cálculo dos bômos de Newto, que serão estudados a segur Defção Dados dos úmeros aturas, e p, sedo p, chamamos de coefcete bomal ou úmero bomal ou úmero combatóro a expressão defda por, se p = 0 = ( )( p+ ) () p, se p 0 p! ou! =, p,, p () p ( p)! p! Podemos verfcar faclmete que as expressões () e () são equvaletes De fato, multplcado e dvddo () por ( p)!, temos ( )( p+ )( p)! = p ( p)! p!! = p!( p)!

39 38 Notação Há váras formas de deotar a expressão p : por C p,, por por, etc Neste trabalho sempre utlzaremos C, p cp Veja a segur algus exemplos de smplfcação da expressão C, p Exemplo 5! 5! 54 3! 0 a) C 5, = = = = = 0!(5 )!! 3!! 3! 5! 5! 54! b) C 5, = = = = 5!(5 )! 4!!! 4! p C, Às vezes chamamos C,p por coefcete bomal de por p, e este caso é cohecdo como umerador do coefcete bomal e p como deomador do coefcete bomal, mas de qualquer maera C,p ão tem ada ver com úmero racoal, ou seja, p ( Cp, = p ( p c) 7! 7! 76 5! 4 C 7,5 = = = 5!(7 5)! 5!! 5!! = = p! p! d) C = p, p 5 Cp,5 ( p 5)!( p p+ 5)! = ( p 5)! 5! = Observação As segutes relações são mportates e serão utlzadas posterormete:! ( )! ) C, = = = ( )!! ( )!! ( + )! ( + ) ( )! ( + ) ) C+, = = = ( + )!! ( )!!! ( + )! ( + )( + ) ( )! ( + )( + ) ) C+,3 = = = ( + 3)! 3! ( )! 3! 3! Coefcetes Bomas Complemetares Os coefcetes bomas C 7,e C 7,5 têm o mesmo umerador, e a soma de seus deomadores é gual ao umerador O mesmo ocorre com C 6,4e C 6, Coefcetes bomas desse tpo são cohecdos como complemetares Veja defção a segur Defção Coefcetes bomas complemetares são aqueles que têm o mesmo umerador e cuja soma dos deomadores é gual ao ume-

40 39 rador, sto é, dos coefcetes bomas C, p e C, q são complemetares se p+ q= Exemplo a) C 8,3 e C 8,5 são complemetares, pos 3+ 5= 8 b) C 5,3 e C 5, são complemetares, pos 3+ = 5 Igualdade Etre Dos Bomas Os coefcetes bomas complemetares são sempre guas Dos bomas, C, p e C, q, são guas se, e somete se, p = q ou p+ q=, sto é, C = C p= q ou p + q=, p, q Exemplo 3 a) C, x = C,5 x= 5 ou x+ 5 = x= 6 x = 5 ou x = 6 b) C8,4 = C8, x= 4, pos ou x+ 4= 8 x= 4 x Esta coclusão se euca geercamete da segute forma: Proposção É válda a relação C, p= C, p,, p e p, ode é o cojuto de úmeros aturas postvos A demostração segue dreto da propredade de gualdade etre dos bomas e do fato de que p+ p = Observe os exemplos abaxo em que equações cotém cógtas os bômos de Newto Exemplo 4 Obteha tal que C 3, C =,3 4

41 40 Solução Temos C C,,3! 3 ( )!! 3 = = 4! 4 ( 3)! 3! ( 3)! 3! 3 = ( )!! 4 ( 3)! 3! ( ) ( 3)!! 3 3 = 4 3 = 4 = 4 = 6 Exemplo 5 Obteha tal que C,= 5 Solução Podemos escrever! ( )( )! 5 = C, = = ( )!! ( )!! 3 0 = ( ) = 30 0 ( 6)( + 5) = 0 = 6 ou = 5 Como é postvo, etão 5, ou seja, = 6 Lsta de Exercícos ) Efetue as expressões: a) C + C + C ; 3,0 3, 3, b) C + C + C 5,0 5, 5,4

42 4 ) Determe o valor de x em cada uma das segutes expressões: a) C = C ; 6, x+ 6,3x b) C C + = 0, x 5 0, 5x 3) Obteha tal que: Esta otação será dscutda o capítulo segute Por equato, utlze esta fórmula apeas para trear sua habldade de calcular com fatoras e comparar combações a) C,3 = b) C = ;, 36 4) Cosdere A p, x, x, 0! = Obteha x tal que: p! ( ) a) A C = x; b) A x+, Cx, = 4 Relação de Stfel A relação de Stfel é bem cohecda em aálse combatóra e tem suas aplcações em desevolvmeto do Bômo de Newto É dada por C + C = C, p, p+ +, p+ De fato Ateção: estude esta demostração tetado compreeder as déas que estão sedo utlzadas e também aalsado, de cada lha para a segute, a valdade de cada operação C!! + C = + p!( p)! ( p+ )!( p )!, p, p+!! = + p!( p)( p )! ( p+ ) p!( p )!! = + p!( p )! p p+ = =! p + + p p!( p )! ( p)( p+ )!( + ) p!( p )!( p)( p+ )

43 4 ( + )! = ( p)!( p+ )! ( + )! = ( p+ )! + ( p+ )! ( ) = C + +, p Exemplo 6 Calcule a) C + C ; 9,6 9,7 b) C + C 8,5 8,6 Solução a) Aplcado a relação de Stfel, podemos escrever 0! 098 C9,6 + C9,7 = C0,7 = = = 0 7! 3! 3 b) Aplcado a relação de Stfel, podemos escrever 9! 987 C8,5 + C8,6 = C9,6 = = = 84 6!3! 3 Exemplo 7 Resolva a equação Cx+, = Cx, + C4, Solução Comparado-a com a relação de Stfel, C + C = C, temos, p, p+ +, p+ C + C = C + x, 4, x, C4, + C4, = C5, x = 4 Lsta de Exercícos Ao resolver os exercícos, atete para o fato de que matematcamete um problema está resolvdo se for mostrado que ão há solução possível

44 43 ) Complete: C5, + C5, = C, Note que aqu o é tratado como uma costate e a resposta ecotrada será em fução de ) Resolva em x a equação 3) Obteha x tal que C = xc,3,4 C,x = C, x + 9 4) Obteha x e y tal que C0, x + C0,x 5 = C, y 3 Trâgulo de Pascal A segute dsposção de úmeros em termos de coefcetes bomas é cohecda como Trâgulo de Pascal L :0 0 C0, L : C, 0 C, L : C,0 C, C, L :3 3 C3,0 C3, C3, C3,3 L :4 4 C4,0 C4, C4, C4,3 C4,4 L :5 5 C5,0 C5, C5, C5,3 C5,4 C5,5 Tabela

45 44 A tabela acma pode ser represetada equvaletemete como: Tabela A dsposção de úmeros dadas a tabela ou tabela é chamada Trâgulo de Pascal Aplcado a relação de Stfel, podemos observar que a cada dos termos cosecutvos de uma lha, obtemos a lha segute Por exemplo, C3, + C3, = C4,, ou 3+ 3= 6 Para costrur o Trâgulo de Pascal devemos observar os segutes passos: A prmera colua é formada exclusvamete pelo úmero, pos C,0 = A seguda colua é formada pela seqüêca,,3, cado o prmero elemeto da colua a partr da seguda lha da tabela O últmo elemeto de cada lha é sempre, pos C, = Os peúltmos elemetos das lhas formam a seqüêca,, 3, Os outros elemetos da tabela são obtdos aplcado a relação de Stfel

46 45 3 Propredades do Trâgulo de Pascal A segur damos algumas propredades do trâgulo de Pascal Propredade Dos coefcetes eqüdstates dos extremos são guas, ou seja, em uma mesma lha do trâgulo de Pascal, elemetos eqüdstates dos extremos são guas Demostração Cosdere uma lha geérca de umerador de trâgulo de Pascal dada por C,0 C,, C C, p C, p C, C, Podemos observar que C, p e C, p são eqüdstates dos extremos, pos p elemetos procedem C, p e p elemetos sucedem C, p Além dsso, C, p e C, p são complemetares, pos p+ p= Sabemos que elemetos complemetares são guas Portato, C, p = C, p Propredade (Teorema das lhas) A soma dos coefcetes bomas stuados uma mesma lha (de umerador ) de um trâgulo de Pascal é sempre Isto é, Aálse: C, C,0 + C, + + C, = 0 Lha Soma ( L ) = 0 : ou = 0 0 ( L) = : +== ( L ) = : ++=4= ( L ) = 3 : =8= 3 3 ( L ) = 4 : =6= 4 4 e sucessvamete Tabela 3

47 46 Por exemplo, ) 5 C5, 5 = ; 0 ) 3 C3, 3 = 0 ) C C C C C 4 4,0 + 4, + 4, + 4,3 + 4,4 = Demostração Vamos demostrar a propredade usado o prcípo da dução ou dução matemátca Passo: = 0 Lembre-se que vmos este método de demostração o tem 3 Prcípo de Idução desta dscpla 0 C 0,0 = = (vale) Passo: Vamos supor que a afrmação é válda para =, ou seja, C + C + + C =, 0,, 3 Passo: Vamos provar que = +, ou seja, precsamos provar que C C C,0,, = Aplcado a relação de Stfel podemos escrever C + = C + C,, 0, C + = C + C,,, C = C + C +,,, Também sabemos que e Logo, podemos escrever C +,0 = C,0 C =, C + +, C+,0 + C+, + + C+, + = C+,0 + C+, + + C+, + C+, + = C + C + C + C + + C + C,0,0,,,,

48 47 = C + C + + C, 0,, = (utlzado passo hpótese) = + Logo, o resultado vale 0 Exemplo 8 Qual é o valor da soma S = C?, Solução Temos S = C = =,!!( )!! ( )!( )! = ( )! ( )!( ( ))! = C, = C + C + + C =,0,, Propredade 3 (Teorema das coluas) A soma dos elemetos de uma colua do trâgulo de Pascal (começado o prmero elemeto da colua) é gual ao elemeto que está avaçado uma lha e uma colua sobre a últma parcela de soma, sto é, a soma dos prmeros termos da colua p é gual ao termo + da colua p +, ou seja, C + C + + C = C,, +, + p, + p+, + ou p C+, = C, + p+, + 0 0

49 48 Aálse: C0 C C C3 C Etão, a soma dos prmeros três termos da colua C é dada por + + 3= 6, que é o valor do tercero termo da colua C Por exemplo, ) C + C + C = C 4,4 5,4 6,4 7,5 ) C + C + C + C = C 7,7 7,8 7,9 7,0 8, Demostração Vamos demostrar a propredade usado a dução matemátca sobre p Seja um úmero tero fxo Passo: p = 0 C, = C +, + = (vale) Passo: Vamos supor que a afrmação é válda para p =, ou seja, C + C + + C = C, +, +, + +, + 3 Passo: Vamos provar que p = +, ou seja, precsamos provar que C + C + + C = C, +, + +, + +, + Vamos cosderar o lado esquerdo da expressão acma Podemos escrever C + C + + C, +, + +, = C+ +, + + C+ +, (por hpótese, o passo) ( + + )! ( + + )! = + ( + )!!!( + )! ( + + )! =!! + + +

50 49 ( + + )!( + + ) =!!( + )( + ) ( + + )! = ( + )! ( + )! =, C + +, + o que é o lado dreto da expressão Logo, o resultado vale p 0 Vamos aplcar a propredade acma para resolver algus exemplos Exemplo 9 Qual é o valor da soma 30 S = ( + ) ( + )? Solução Utlzado a observação podemos escrever 30 S = ( + ) ( + ) 30 = 3! C +,3 = 6 C + C + + C 3,3 4,3 3,3 = 6 C 33,4 (pela propredade 3) 33! = 6 4!(33 4)! = = 4550 Exemplo 0 Calcule a soma S = Solução Pelo prcípo de dução, sabemos que S ( + )( + ) 6 = = Mas demostraremos o mesmo resultado aplcado a propredade 3

51 50 Pela observação vmos que temos valores de C, do tpo, ( + ), ( + ) ( + ), etc Etão queremos escrever vamos cosderar em termos de, ( + ), A( ) B C = etc Para tal, Após comparação dos coefcetes dos dos lados e smplfcado, obtemos A =, B = e C = 0 Etão podemos escrever = ( + ) Logo S = = + = ( + ) [ ( ) ] = C +,, C (aplcado a observação ) = (pela propredade 3) C +,3 C +, ( + )( + ) ( + ) = 3 + = ( + ) 3 ( + ) ( + ) = 6 Exempo Calcule o valor da soma Solução Temos ( 3 ) S = ( 3 ) 5 83 ( 3 ) S = = Vamos escrever 3 ( 3 ) = 3 em termos de, ( + ), ( + ) ( + ) etc Temos 3 3 ( )( ) ( ) = A B + + C + D

52 5 3 = A + (3 A+ B) + ( A+ B+ C) + Comparado os coefcetes e smplfcado, obtemos Isto mplca em A = 3, B = 0, C = 4 e D = 0 Logo ( )( ) 0 ( ) 4 = S = ( 3 ) = 3 ( + )( + ) 0 ( + ) + 4 = 3 3! C 0! C + 4 C (pela observação ) +,3 +,, = 8 C+ 3,4 0 C+,3 + 4 C+, (pela propredade 3) ( + 3)( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) = ( + )( + 3) 0( + ) = ( + ) ( + )(9 + 5 ) = Portato, ( + )(9 + 5 ) S = (3 ) = Propredade 4 (Teorema das Dagoas) A soma dos elemetos de uma dagoal (sto é, de uma paralela à hpoteusa) do Trâgulo de Pascal (começado o prmero elemeto da dagoal) é gual ao elemeto que está medatamete abaxo da ultma parcela Em outras palavras, podemos dzer que a soma dos p termos da dagoal de ordem é gual ao termo p da colua de ordem +, sto é, p C+, C,0 + C+, + + C+ p, p C + p +, p 0 =

53 5 Aálse: C0 C C C3 C4 C5 C Por exemplo, ) C + C + C = C ; 4,0 5, 6, 7, ) C + C + C + C = C 0,0,, 3,3 4,3 Demostração Utlzado as propredades de combação complemetares, sto é, C, p = C, p, p, podemos escrever p 0 C = C + C + C + + C +,,0 +, +, + p, p = C + C + C + + C, +, +, + p, = (aplcado propredade 3) C + p +, + = C + p +, p Propredade 5 Valem as segutes desgualdades: a) C, p < C, p+ se p< ; b) C, p > C, p+ se p > Iterpretação: Os resultados (a) e (b) afrmam que a prmera metade de cada lha os elemetos estão em ordem crescete (cada termo é meor que o segute, C, p < C, p + ) e que a seguda metade os elemetos estão em ordem decrescete (cada termo é maor que o ateror, C, p > C, p + )

54 53 Demostração Smplfcado, obtemos C!! C = + ( p+ )!( p )! p!( p)!, p, p!( p)!( p+ )!( p ) = = ( p+ )!( p)! ( p+ )!( p)! Como!, ( p + )! e ( p)! são postvos, etão o sal de C C é o mesmo de p, p+, p Logo C > 0, p > 0 C, < 0, p < 0, p+, p ou seja, C C, p+, p > 0, p < < 0, p > Resumdo, até o mometo estudamos os segutes assutos: Relação de Stfel C, p + C, p+ = C+, p+ Teorema das Dagoas C,0 + C+, + + C+ p, p = C+ p+, p Teorema das Lhas C + C + + C =, 0,, Teorema das Coluas C, + C+, + + C+ p, = C+ p+, + Bomas Complemetares C, p = C, p, 0, p 0

55 54 Lsta de Exercícos 3 ) Prove, fazedo as cotas, que C+, p+ = C, p + C, p+ + C, p+ ) Calcule ( + ) C, 0 3) Calcule o valor da soma 75 a) S = ( + ) 5 b) S = ( + ) 4 Bômo de Newto Vamos aalsar o desevolvmeto da expressão para cada valor de : para = 0 : para = : para = : para = 3 : para = 4 : 0 ( a b) + = ; ( a+ b), ( ) a+ b = a+ b= a+ b; ( a b) a ab b + = + + ; ( a b) a 3a b 3ab b = ; ( a b) a 4a b 6a b 4ab b = ; para = 5 : ( a+ b) = a + 5a b+ 0 a b + 0 a b + 5ab + b e assm por date Uma smples aálse as detdades acma verfca que: à medda que o expoete aumeta, o úmero de termos de desevolvmeto também aumeta; o úmero de termos do desevolvmeto da expressão ( a+ b) 3 5 é + Assm, ( a+ b) tem quatro termos, ( a+ b) tem ses termos, etc;

56 55 Você se lembra de que falamos em coefcetes bomas desde o íco? É devdo ao seu uso a expasão da potêca de uma soma que ele recebe este ome as seqüêcas dos coefcetes da expressão ( a+ b) formam o Trâgulo de Pascal Assm, através da relação de Stfel é possível determar qualquer termo da expressão de ( a+ b) Novamete escrevedo o desevolvmeto da expressão ( a+ b em termos de úmeros bomas, temos: ) ( ) 0 a+ b = C0,0 ( ) a+ b = C,0 a+ C, b ( a+ b) = C a + C ab+ C b,0,, ( a+ b) = C a + C a b+ C ab + C b ,0 3, 3, 3,3 ( a+ b) = C a + C a b+ C a b + C ab + C b ,0 4, 4, 4,3 4,4 ( a+ b) = C,0,, a + C a b+ C a b + + C, ab + C, b Podemos, etão, verfcar que: o coefcete de cada termo é da forma C,, ode vara de 0 a ; em qualquer termo o elemeto a é elevado a um expoete ; em qualquer termo o elemeto b é elevado a um expoete De modo geral,, 0 ( a+ b) = C a b (3)

57 56 A expressão (3) é chamada de Bômo de Newto A segur demostraremos a valdade da expressão do Bômo de Newto, dada por (3), pelo prcípo de dução Passo: Para =, ( a b) ( a b) + = +, e C,0 a+ C, b= a+ b= a+ b Logo ( a+ b) = C a+ C b,0, Passo: Vamos supor que a afrmação (3) é válda para = k, ou seja, k k k k, 0 ( a b) C a b k + =, 3 Passo: Vamos provar a afrmação (3) para = k+, ou seja, precsamos verfcar que Podemos escrever k+ ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) k + k+ k+ k+, 0 ( a+ b) = C a b k k k = ( a+ b) Ck, a b ( o passo hpótese de dução) 0 = ( a+ b) C a + C a b+ C a b k k k k,0 k, k, C ab C b k k + + k, k + k, k = C a + ( C + C ) a b+ ( C + C ) a b k + k k k,0 k, k,0 k, k, k k + + ( Ck, k + Ck, k ) ab Ck, k b + + (4) Aplcado a relação de Stfel e utlzado as detdades Ck,0 = C k +,0 e Ck, k = C k +, k +,

58 57 obtemos, da expressão (4), ( a+ b) k = C a k + C a k b + + k+,0 k+, + + C ab + C b + k k+, k k+, k+ k k+ k+ = Ck+, a b, 0 o que prova o resultado para = k+ Logo, pelo prcípo de dução, podemos coclur a valdade da afrmação (3) para qualquer Observação Às vezes, a expressão ( a+ b) é chamada de Bômo, e seu desevolvmeto (3) é cohecdo como Bômo de Newto 4 Termo Geral do Bômo Vamos escrever ode, + 0 0, ( a+ b) = C a b = T T = C, a b, 0 + (5) A expressão (5) é chamada de termo geral do bômo, e o coefcete + - ésmo termo Por exemplo, C é o coefcete bomal do ( ), ) O coefcete de 8 termo da expressão ( a ) C ; 0 + b é 0,7 ) O coefcete de 4 termo da expressão ( a ) C 3 + b é 3,3 Note que essa forma de represetar uma subtração por uma soma com um termo egatvo faclta os cálculos e permte o uso padrão do termo geral do bômo Aqu está sedo utlzada a dstrbutvdade da potêca em relação à multplcação Por que você acha que esta mudaça fo feta? Exemplo Escreva a represetação por somatóro do segute bômo: ( a b) Solução Podemos escrever Como b ( a b) = [ a+ ( b) ] = C, a ( b) 0 ( ) = ( ) b, etão, ( ) 0 ( a b) = C a b ( ) C, a b 0 =

59 58 Exemplo 3 Determe o termo geral do desevolvmeto de ( a b) Solução Sabemos que ode, + 0 0, ( a b) = ( ) C a b = T T = ( + ) C, a b, 0 é o termo geral da expressão ( a b) Exemplo 4 Desevolva o bômo ( x ) 4 + y Solução Aplcado o desevolvmeto do Bômo de Newto, podemos escrever ( ) x+ y = C x + C x y+ C x y + C xy + C y 4,0 4, 4, 4,3 4, = x + 4x y+ 6x y + 4xy + y Exemplo 5 Desevolva o bômo ( x ) 5 y Solução Temos 5 5 5, 5 0 ( x y) = ( ) C x y = ( ) C x + ( ) C x y+ ( ) C x y ,0 5, 5, ( ) C5,3 x y ( ) C5,4 xy ( ) C5,5 y = x 5 x y+ 0 x y 0 x y + 5 x y y Exemplo 6 Calcule o 7 termo do desevolvmeto de ( ) 8 + y Solução Podemos escrever ode 8 8 ( y) T =, 8 T = 8, + C y

60 59 Agora, para = 6, temos T C y 8 7 = 4 y 6 = y = ,6 Exemplo 7 Calcule o 6 termo do desevolvmeto de Solução Temos T 6 = T C ( ) x 3 5+ = 7, = 3 ( ) x 5 = 83( )x = 638 x 7 ( x 3) termo depedete É comum em matemátca fazer referêca em uma equação ao termo em que a cógta ão aparece A este termo chamamos de termo depedete da cógta ou smplesmete termo depedete Exemplo 8 Verfque se exste termo depedete de a o desevolvmeto de Solução Sabemos que 7 a + a 7 + = 7, T C a = a 7 C7, a a = C 7 7, a Para que T + seja depedete de a, é ecessáro que 7 = 0, 7 ou seja, = 7 Como, logo = Portato, ão exste o termo depedete de a Exemplo 9 Calcule o termo depedete de x o desevolvmeto de x x

61 60 Solução Sabemos que 8 T+ = C8, x x = C x x 8, = C8, x + 3 ( ) Para o termo depedete de x, devemos ter o expoete gual a zero, ou seja, 8+ 4 = 0 =, sto é, T = C x + 3 8, 8 8 = C 8, 8 7 = = 8 Exemplo 0 Desevolva ( x 3 ) 4 y Solução Temos a = x, b= 3y e = 4 Logo ( x 3y) = C x ( 3y) 0 4, ( 3 ) ( 3 ) = C x + C x y + C x y 4 3 4,0 4, 4, ( 3 ) ( 3 ) 4,3 4, C x y + C y = x xy+ 54xy 08 xy+ 8y Portato ( ) x 3y x xy 54xy 08 xy 8y = + + Exemplo Determe o 6º termo do desevolvmeto de 9 x + x

62 6 Solução Temos Agora, Assm, temos T C, a b + = a = x, b=, = 9 e = 5 x = 9,5 T C x x = 3 4 x x 4 5/ = 6x 3/ = 6x 4 5/ Exemplo Um dos termos do desevolvmeto de ão depede de x Qual é? x x Solução Sabemos que + =, T C x x ( ) C x x =, 3 ( ) C x =, Para que T + seja depedete de x, devemos ter 3 = 0 ou = 4 Logo ( ) 4 T = C x 5,4 = C =,4! 8! 4! 0 9 = = = 495

63 6 Exemplo 3 Escreva o termo em 6 b da expressão ( ) 9 + b Solução Temos Para obter o termo em T C b ( ) = 9 + 9, 9 = C9, b 6 b, devemos fazer = 6, sto é, = 3 Logo, T C b = , = b = 84 b Exemplo 4 Dê o coefcete do termo em de ( x 3) 0 8 x o desevolvmeto Solução Temos T C x ( ) = 0 0, ( ) C 0, x = 3 Para obter o coefcete do termo em sto é, = 8 x, devemos fazer 0 8 =, Logo ( ) 8 3 T = C x 3 0, 0 9 = 9 x 8 = 405 x Portato, o coefcete do termo em 4 Propredades 8 8 x é 405 A segur apresetaremos duas propredades teressates do bômo de Newto

64 63 Ordem Na fórmula do termo geral do bômo chamamos de ordem ao termo Propredade 6 No desevolvmeto de ( a+ b), a soma dos coefcetes de ordem par é gual a soma dos coefcetes de ordem ímpar Demostração Sabemos que 0 ( ), a+ b = C a b Vamos cosderar a = e b = Obtemos 0, ( ) 0= C ( ) = C C + C C + + C,0,,,3, C, + C,3 + = C,0 + C, +, Por que você acha que o que fo feto demostra a gualdade etre a soma dos termos de ordem par e a soma dos de ordem mpar? o que demostra a propredade Propredade 7 No desevolvmeto de ( a+ b), a soma dos coefcetes é gual a, ou seja, C, = 0 Demostração Sabemos que 0 ( ), Vamos cosderar a = b= Logo a+ b = C a b ou = C, C + C + + C =, 0,, Observe que este resultado já fo demostrado aterormete de uma outra maera, quado foram estudadas as propredades do trâgulo de Pascal Esta propredade é equvalete ao Teorema das lhas, dscutdo o tem Exemplo 5 Determe as somas dos coefcetes do desevolvmeto de ( x + x) 0

65 64 Solução Podemos escrever ( ) 0, ( ) = x x C x x 0 Para obter soma dos coefcetes, devemos cosderar x =, sto é, 0 0 C0, 0 = Observação 3 Cosdere um polômo etão ( ) P x a a x a x a x = , ( ) 0 P = a + a + a + + a A soma dos coefcetes de um polômo em x é o valor umérco do polômo para x = Exemplo 6 Determe o termo máxmo o desevolvmeto de + Solução O termo geral é dado por T + = C, C =, Sabemos que cada termo é maor que o ateror (até certo valor de ), ou seja, T T > + C, > C, Você se lembra em que local demostramos este fato? Se ão, retome o texto e procure o teorema, propredade ou proposção que garate esta afrmação!! >!!! ( ) ( ) ( ) ( )!! ( ) ( ) >!! > > 3 < 3

66 65 Assm, temos Aalogamete, Logo { } T > T + 0,,,,7 { } T < T + 8,, T < T < T < < T < T > T > > T Portato, o termo máxmo é T 8, sto é, T8 = C,7 Alteratvamete, se fzermos o cálculo de cada um desses úmeros veremos que T7 < T8 e, por outro lado, T9 < T8 Logo, o termo máxmo é T 8 Exemplo 7 Calcule a) C, x ; 0 b) C, x ; 0 c) C 0, 7 Solução a) Sabemos que 0 ( ), a+ b = C a b Cosderado a = e b= x, obtemos b) Podemos escrever + x = C x 0 ( ), C, x = C, x 0 pos, para = 0, o valor da expressão é zero

67 66 Portato,! C x x!!, = = ( ) ( ) ( ) ( )! xx!! ( ) ( ) = x ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) = x + x x!( )! c) Fazedo x = em (b) obtemos C, = 0 Observação 4 O desevolvmeto do bômo de Newto 0 ( ), a b C a b + = é váldo ada que ão seja um tero postvo Mas este estudo ão faz parte deste trabalho Lsta de Exercíco 4 ) Determe o termo depedete de x o desevolvmeto de 6 a) x + x ; b) x 3x 8 ) Calcule a soma dos coefcetes dos termos do desevolvmeto de ( x+ y) 0 a) ; b) ( x ) 8 3) Calcule o termo cetral o desevolvmeto de x + x

68 Capítulo 3 Aálse Combatóra: Permutações e Combações

69

70 Capítulo 3 Aálse Combatóra: Permutações e Combações 69 A aálse combatóra vsa desevolver métodos que permtam cotar o úmero de elemetos de um cojuto Por exemplo: mage que você é admstrador do órgão de trâsto e precsa emplacar os veículos, que códgo você crara? Quatas placas dferetes posso fazer com, por exemplo, letras e 4 algarsmos, como era atgamete? Por que quado fo alterado o códgo de emplacamaeto, a decsão fo por aumetar uma letra e ão um algarsmo? A aálse combatóra se ocupa de problemas do da-ada como este Na aálse combatóra cosderamos cojutos cujos elemetos são agrupados sob certas codções Tas codções serão estabelecdas e estudadas o decorrer do curso Por exemplo, A é o cojuto de úmeros de dos algarsmos dsttos formados a partr dos dígtos e, ou seja, A = {,,, }, # A = 4, ode o símbolo # represeta o úmero de elemetos Neste caso, temos 4 elemetos o cojuto A e escrevemos que # 4 A = (cardal de A é quatro) B é o cojuto das seqüêcas de letras que se obtêm mudado-se a ordem das letras da palavra sol, ou seja, { sol, slo, osl, ols, lso, los} B =, # B = 6 Neste caso, o cojuto B tem 6 elemetos C é o cojuto de úmeros de três algarsmos, todos dsttos, formados a partr dos dígtos 0,,, 3 e 4 Etão temos

71 70 C = { 0, 0, 03, 03, 04, 04, } Observe que esse caso há um úmero grade de possbldades Desse modo, é trabalhoso obter todos os elemetos agrupados deste cojuto A segur apresetaremos algumas téccas de agrupameto de determados elemetos Estas téccas são cohecdas como Prcípo Fudametal de Cotagem ou regras geras de Aálse Combatóra 3 Prcípo Fudametal de Cotagem Ates de apresetarmos este prcípo, daremos dos resultados, cohecdos como regra da soma e regra do produto Regra da Soma A regra da soma os dz que se um elemeto pode ser escolhdo de m formas e um outro elemeto pode ser escolhdo de formas, etão a escolha de um ou outro elemeto se realzará de m+ formas, desde que tas escolhas sejam depedetes, sto é, ehuma das escolhas de um elemeto pode cocdr com uma escolha do outro Matematcamete, se A e B são dos cojutos dsjutos com m e elemetos respectvamete, etão A B possu m+ elemetos Regra do Produto A regra do produto dz que se um elemeto a pode ser escolhdo de m formas dferetes, e se depos de cada umas dessas escolhas um outro elemeto b pode ser escolhdo de formas dferetes, a escolha do par ( a, b ), esta ordem, poderá ser realzada de m formas Mas precsamete, se cosderarmos os cojutos A= { a, a,, am} e B= { b, b,, b}, poderemos formar m pares ordeados ( a, b) ode a A e bj B, =,,, m; j =,,, A verfcação deste resultado é bem smples, veja o dagrama a segur:

72 7 b ¹ a ¹ b ² b (a,b ) (a,b ) (a,b ) b ¹ (a,b ) a b ² (a,b ) m pares b (a,b ) b ¹ (a,b ) m a m b ² (a,b ) m b (a,b ) m Fgura 3 Exemplo 3 Temos três cdades X, Y e Z Exstem duas rodovas que lgam X com Y, e quatro que lgam Y com Z Partdo de X e passado por Y, de quatas formas podemos chegar até Z? X b a ¹ ¹ b ² Y b ³ Z a ² b4 Fgura 3 Solução Seja A o cojuto das rodovas que lgam X com Y, etão A= { a, a} Seja B o cojuto das rodovas que lgam Y B= b, b, b, b com Z, etão { } 3 4 Coforme a regra acma, temos 4 = 8 formas de chegar de X até Z Exemplo 3 Uma moça possu 5 blusas e 6 saas dsttas De quatas formas ela pode vestr uma blusa e uma saa? Solução 5 6 = 30 Exemplo 33 Numa festa exstem 40 homes e 50 mulheres Quatos casas dferetes podem ser formados? Solução = 000

73 7 Exemplo 34 Para fazer uma vagem de da e volta de Floraópols a Jovlle, podemos r ou voltar de carro, ôbus ou avão De quatos modos podemos escolher os trasportes? Carro Carro Floraópols Ôbus Jovlle Ôbus Floraópols Avão Avão Fgura 33 Temos três possbldades de da e três de volta Coforme a regra acma, podemos fazer essa vagem de 33 = 9 formas Observação 3 No exemplo 34, se ão desejamos usar a volta o mesmo meo de trasporte usado a da, o úmero de possbldades de volta se reduz de 3 para, etão temos 3 = 6 formas de realzação dessa vagem Veja a segur a regra mas geral desses tpos de stuações Lema 3 O úmero de pares ordeados ( a, a j) tas que a, aj A= { a, a,, am} e a aj ( j), = j =,,, m é m( m ) A demostração do lema acma é óbva Isso pode ser aalsado através da fgura abaxo: ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( m ),,,,,, pares 3 ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( m ) 3 m,,,,,, pares ( a a ) ( a a ) ( a a ) ( m ) m m m m m,,,,,, pares O úmero de pares é ( m ) + ( m ) + + ( m ) = m( m ) m vezes Exemplo 35 Quatos úmeros com dos algarsmos dsttos podemos formar com os dígtos a 9?

74 73 Solução Seja A = {,,,9} Cosdere dos úmeros a e b tas que a, b A, a b, etão cada úmero pode ser cosderado um par de dígtos ( a, b ), a b, ode temos 98 = 7 formas dferetes de dos algarsmos dsttos Exemplo 36 Um edfíco tem 5 portas De quatas formas uma pessoa poderá etrar o edfíco e sar por uma porta dferete da que usou para etrar? r-uplas Esta otação é comum em matemátca para geeralzar a forma do português que fala de dupla, trpla, quádrupla, quítupla, para seqüêcas ordeadas com, 3, 4 e 5 elemetos Para uma seqüêca ordeada com qualquer úmero r de elemetos, dzemos uma r-upla Esta demostração fca como exercíco para você: sga os passos do prcípo de dução e coverse com seu tutor sobre a demostração que você fez Solução 5 4 = 0 A segur daremos um resultado mas geral Proposção 3 Cosderemos r cojutos de elemetos cada: A = { a, a,, a }, =,,, r Etão, o úmero de r uplas ordeadas (seqüêca de r elemetos) do tpo ( x, x,, x r ) é r, r, ode x A, =,,, r A demostração da proposção 3 pode ser feta aplcado o prcípo de dução A segur veremos outros exemplos: Exemplo 37 Uma moeda é laçada 5 vezes Qual é o úmero de seqüêcas possíves de caras e/ou coroas? Solução Sabemos que cada laçameto tem duas possbldades: cara ou coroa Como temos 5 laçametos, etão o resultado procurado é 5 = = 3 seqüêcas possíves de cara e/ou coroa Exemplo 38 De quatas formas podemos respoder um questoáro com 0 pergutas cuja resposta para cada perguta pode ser sm, ão ou ão se? Solução Vamos represetar as pergutas do questoáro por um cojuto A= { a, a,, a0}, ode cada (,,,0) seja a = tem três possbldades de respostas, ou

75 74 { sm, ão, ão se} a Logo, pela proposção 3, temos 33 3 = 3 0 vezes 0 possbldades Exemplo 39 Cco dados são laçados smultaeamete Quatas seqüêcas de resultados são possíves, se cosderarmos cada elemeto de uma seqüêca como o úmero obtdo em cada dado? Solução Sabemos que quado laçamos um dado temos ses possbldades: aparecer um dos ses úmeros,,, 3, 4, 5 e 6 Como cco dados são laçados smultaeamete, etão temos o total = 6, seqüêcas de resultados possíves Proposção 3 Cosderemos um cojuto A com m ( m ) elemetos Etão o úmero de r uplas ordeadas (seqüêcas com r elemetos) formadas com elemetos dsttos, dos a dos, de A é ( ) ( )( ) ( ) m m m m r, ou seja, se A= { a a a } é o cojuto com m ( ),,, m m elemetos aj,, a,, ak com etão o úmero de seqüêcas do tpo ( ) é m( m )( m r ) + { } a A,,,, m a ap, p r elemetos A demostração pode ser feta aplcado o prcípo de dução Exemplo 30 Ses atletas partcpam de uma corrda Quatos resultados possíves exstem para, e 3 lugares? Faça esta demostração como um exercíco para você Solução Na corrda, cada atleta pode chegar em, ou 3 lugar, etão cada resultado costa de uma trpla ordeada ( a, b, c ) ode a = lugar, b = lugar e c = 3 lugar a, b, c pertece ao cojuto de atletas mas a b, b c e a c Logo, o úmero de resultados possíves é = 0 lugar lugar 3 lugar

76 75 Exemplo 3 De quatos modos 5 pessoas podem fcar uma fla daa? Solução Cada modo correspode uma 5 upla ordeada de pessoas ( a, a, a, a, a ) Logo, o resultado procurado é Lsta de Exercícos = 0 ) Um homem va a um restaurate dsposto a comer um só prato de care e uma só sobremesa O cardápo oferece 8 pratos dsttos de care e 5 pratos dferetes de sobremesa De quatas formas pode o homem fazer sua refeção? ) Numa festa exstem 80 homes e 90 mulheres Quatos casas dferetes podem ser formados? 3) Um edfíco tem 8 portas De quatas formas uma pessoa poderá etrar o edfíco e sar por uma porta dferete da que usou para etrar? 4) Um homem possu 0 teros, camsas e 5 sapatos De quatas formas poderá ele vestr um tero, uma camsa e um par de sapatos? 5) De quatas formas podemos respoder a pergutas de um questoáro, cujas respostas para cada perguta são sm ou ão? 6) Uma prova costa de 0 testes tpo verdadero ou falso De quatas formas uma pessoa poderá respoder aos 0 testes? 7) Quatos úmeros de 3 algarsmos (guas ou dsttos) podemos formar com os dígtos,,3,7,8? 8) Quatos úmeros telefôcos com 7 dígtos podem ser formados, se usarmos os dígtos de 0 a 9?

77 76 3 Arrajos Se temos um cojuto A { x,, xm} de arrajos dos m elemetos tomados r a r ( a r m) = de m elemetos, chamamos a quasquer r uplas, (seqüêca de r elemetos) formados com elemetos de A, todos dsttos Os arrajos podem ser smples ou com repetções 3 Arrajos Smples Você já se pergutou de quatas formas é possível preecher um cartão de Mega Sea? Neste caso você deve escolher 6 úmeros detre as 60 dezeas e ão pode escolher duas vezes o mesmo úmero Este é um problema que possu as característcas do arrajo smples O arrajo smples é aquele ode ão ocorre a repetção de qualquer elemeto em cada grupo de r elemetos Seja X = { x, x,, xm} e A S o cojuto dos arrajos smples dos m elemetos tomados r a r Etão, cada arrajo é uma seqüêca de r elemetos, em que cada elemeto pertece a X, e são todos dsttos Pelo prcpo fudametal da cotagem, o úmero de arrajos em A será S ( ) ( ) ( ) A = m m m r = m!, r m! ( m r) Em partcular, se r =, etão AS = m (Às vezes, arrajo smples é cohecdo como arrajo sem repetção) Exemplo 3 Em um cojuto de 5 elemetos são formados agrupametos de elemetos dsttos tomados a Quatas seqüêcas de elemetos é possível obter? Solução Seja X { x, x, x, x, x} = 3 4 5, m = 5 e r = O úmero de arrajos smples desses 5 elemetos tomados a é 5! 5! # A S = = = 54 = 0 5! 3! ( ) S

78 77 Nesse caso o cojuto de arrajos smples tomados a é dado por { A = x x, x x, x x, x x, x x, x x, x x, x x, x x, x x, x x, x x, S Aqu x x x x x x x x x x x x x x x x, # A = 0 4, 4, 4 3, 4 5, 5, 5, 5 3, 5 4} xx j xx j, j, j, =,,3,4 e 5 S Exemplo 33 De um baralho de 5 cartas, cartas são retradas sucessvamete e sem reposção Quatas seqüêcas de cartas é possível obter? Solução Em cada resultado temos um par ordeado de cartas ( x, y) em que x é a prmera e y é a seguda carta extraída Observe que x e y são dsttas e a extração é feta sem reposção Logo, o úmero de arrajos smples é A = 5 5 = 65 S Exemplo 34 Cosderemos os dígtos,, 3 e 4 Quatos úmeros de algarsmos dsttos podem ser formados? Solução Os úmeros de algarsmos têm o algarsmo das udades e o algarsmo das dezeas Logo, exstem posções para serem preechdas Se cosderarmos um dos quatros dígtos a posção, etão temos 3 dígtos a serem colocados a posção (os algarsmos são dsttos) Portato, temos 4 3 = úmeros de algarsmos dferetes que podem ser formados com 4 dígtos Exemplo 35 Dado o cojuto X { x, x, x, x } =, quatos subcojutos de elemetos X possu? 3 4 Solução Para formar uma seqüêca de grupos de elemetos de a, temos 43 = possbldades Mas queremos formar subcojutos ode { x, xj} { xj, x} = (, j =,,3,4) Logo temos 6 = possbldades de formar subcojutos de X com elemetos: {, },{, },{, },{, },{, },{, } x x x x x x x x x x x x

79 78 3 Arrajo com Repetção Neste caso todos os elemetos podem aparecer repetdos em cada grupo de r elemetos Vamos cosderar X = { x, x,, xm} e vamos represetar por A R o úmero de arrajos, com repetção de elemetos, tomados r a r Etão cada arrajo com repetção é uma seqüêca de r elemetos, em que cada elemeto pertece a X Pelo prcpo fudametal da cotagem, o úmero de arrajos A será R Em partcular, quado r =, r AR = m m m m= m, r r vezes AR = m Exemplo 36 Em um cojuto de 4 elemetos são formados agrupametos dos elemetos dos a dos, ode aparecem elemetos repetdos em cada grupo Quatas seqüêcas de elemetos são possíves obter? Solução Temos m = 4 e r = Logo, a resposta será X = x, x, x, x Veja o cojuto abaxo para coferr { } = 44 = 6 A = xx, xx, xx, xx, xx, xx, xx, ( ) { X R xx4, x3x, x3x, x3x3, x3x4, x4x, x4x, x4x3, x4x 4}, # A = 6 Exemplo 37 Numa sorvetera há 5 sabores dferetes de sorvete Cosderado que ão se podem msturar sabores, de quatas maeras 5 pessoas podem fazer seus peddos? ( ) X R Solução Cada pessoa tem 5 escolhas para o seu peddo Como são 5 5 pessoas, etão são = 5 maeras de fazer o peddo Lsta de Exercícos ) Quatas palavras cotedo 3 letras dferetes podem ser formadas com um alfabeto de 6 letras? ) Quatos são os gabartos possíves de um teste de 0 questões de múltpla escolha com cco alteratvas por questão?

80 79 3) 4) 5) De quatos modos dferetes podem ser escolhdos um presdete e um secretáro de um coselho que tem membros? De quatos modos 3 pessoas podem setar-se em 5 caderas em fla? Quatos úmeros de quatro dígtos são maores que 400 e: a) Têm todos os dígtos dferetes b) Não têm dígtos guas a 3,5 ou 6 c) Têm as propredades a) e b) smultaeamete 6) Quatos são os úmeros aturas de 4 dígtos que possuem pelo meos dos dígtos guas? 7) Em uma baca há 5 exemplares guas da revsta A, 6 exemplares guas da revsta B e 0 exemplares guas da revsta C Quatas coleções ão vazas de revstas dessa baca é possível formar? 8) Quatos úmeros dferetes podem ser formados multplcado algus (ou todos) dos úmeros, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? 9) Um vagão de metrô tem 0 bacos dvduas, sedo 5 de frete e 5 de costas De 0 passageros, 4 preferem setar de frete, 3 preferem setar de costas e os demas ão têm preferêca De quatos modos os passageros podem se setar, respetado-se as preferêcas? 0) Fchas podem ser azus, vermelhas ou amarelas; crculares, retagulares ou tragulares, fas ou grossas Quatos tpos de fchas exstem? 33 Permutações Nesta seção apresetaremos dversas formas de permutações, tas como: permutação, permutação com algus elemetos dsttos e permutações smples crculares

81 80 33 Permutação Smples Seja X { x x x } =,,, m um cojuto com m elemetos Chamamos de permutação dos m elemetos todo arrajo em que r = m, ou seja, uma permutação de m objetos dsttos é qualquer agrupameto ordeado desses objetos, de modo que, se P m represeta o úmero das permutações smples dos m objetos, etão ( )( ) P = m m m = m! Em partcular, se m =, etão P = Exemplo 38 Seja X { x, x, x} m = 3, etão as permutações dos elemetos de X são todos os arrajos costtuídos de 3 elemetos Assm, temos 3 = 6 permutações Veja todas as possbldades abaxo: (,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x Exemplo 39 De quatas formas podem fcar 8 pessoas em fla daa? Solução Observe que temos 8 possbldades de uma pessoa fcar o lugar, 7 possbldades de uma pessoa fcar o lugar e assm por date Logo, temos úmero de possbldades P 8 = = 8! Exemplo 30 De quatas maeras 0 moças e 0 rapazes podem formar pares para uma daça? Solução A prmera moça tem 0 possbldades de escolher A seguda moça tem 9 possbldades e assm sucessvamete Como temos 0 moças e 0 rapazes, a últma moça terá uma possbldade Portato, pelo prcípo de multplcação, temos = 0! maeras de formar pares para a daça Exemplo 3 Quatos são os aagramas da palavra LIVROS? Solução Cada aagrama da palavra LIVROS é uma ordeação das letras L, I, V, R, O, S Assm, o úmero de aagramas da palavra LIVROS é P 6 = 6! Aagrama Na lígua portuguesa, aagrama é a trasposção de letras de palavra ou frase para formar outra palavra ou frase dferete (Natérca, de Catera; amor, de Roma; Céla, de Alce, etc) Matematcamete, cosderamos todas as ordes dferetes em que se podem colocar as letras de uma palavra, ada que ão sejam formadas ovas palavras

82 8 Exemplo 3 Quatos são os aagramas da palavra LIVROS que começam e termam por cosoate? Solução A cosoate cal pode ser escolhda de 4 maeras (L, V, R, S), e a fal, de 3 maeras As quatro letras restates podem ser escolhdas de qualquer maera, ou seja, P 4 = 4! modos Logo, a resposta é 4 3 4! = 4 3 = Permutações com Elemetos Repetdos A segur daremos uma fórmula para calcular permutações de elemetos, em todos dsttos Icalmete, vamos cosderar um exemplo com a palavra ARI que tem todos os elemetos dsttos Etão, pela fórmula de permutação smples, podemos formar P 3 = 3! = 6 aagramas da palavra ARI: ARI, RAI, RIA, AIR, IAR, IRA Agora vamos supor que duas dessas três letras são guas, ou seja, vamos cosderar a palavra OVO, etão temos a segute cofguração dos aagramas: OVO, VOO, VOO, OOV, OOV, OVO Observe, este caso, que algus dos elemetos são guas, ou seja, temos apeas 3 aagramas dferetes: OVO, VOO, OOV A segur deduzremos uma fórmula para o cálculo de permutações em que algus elemetos são repetdos Vamos calcular o úmero de permutações que podemos formar quado algus elemetos a serem permutados são guas Icalmete, cosderamos elemetos, dos quas são guas a a e os restates são todos dsttos etre s e dsttos de a Vamos represetar P o úmero de permutações essas codções e calculemos esses úmeros

83 8 Cada permutação de elemetos é uma -upla ordeada em que aparecem elemetos guas a a, e o restate, elemetos dsttos (,,,, ) elemetos Das posções que exstem a permutação, vamos escolher posções para colocar os elemetos dsttos de a Etão exstem C modos de escolher essas posções, Para cada escolha de ( ) posções, exstem ( ) que os ( )! modos em elemetos podem ser permutados Logo, exstem! C, ( )! =,! formas de dspormos os elemetos dsttos de a a permutação Uma vez colocados esses elemetos dsttos, a posção dos elemetos repetdos a fca determada (de uma só forma) pelos lugares! restates Logo, exstem permutações com elemetos guas! a Isto é, a P! =! Em geral, se cosderamos elemetos, dos quas são guas a a são guas a a r são guas a a r, etão podemos calcular o úmero de permutações, essas codções, através da fórmula P,,, r =!!!! r

84 83 Em partcular, quado = = = r =, etão temos a fórmula de permutação smples P = P =!,,,, que é o úmero de permutações de elemetos dsttos Exemplo 33 Quatos aagramas exstem a palavra SIMPLES? Solução Temos S vezes I vez M vez P vez L vez E vez Assm, = 7, =, logo 7! P 7 = = = 730 = 8430 = 50 aagramas! Exemplo 34 Quatos são os aagramas da palavra MATEMÁTICA? Solução Aqu as letras A e Á são cosderadas guas Temos 3 letras A, letras M, letras T, letra C, letra I e letra E Logo, 3,, 0! P 0 = = 500 3!!! aagramas da palavra MATEMÁTICA 333 Permutações Crculares A perguta é de quatos modos podemos colocar objetos dsttos em lugares eqüdstates em toro de um círculo, cosderado equvaletes as dsposções que possam cocdr por rotação Vamos deotar estas permutações por PC Ates de calcular o valor de PC, vamos cosderar um exemplo smples: quado 3 X = x, x, x Utlzado a fórmula de = Seja { } 3

85 84 permutação smples, temos P 3 = 3! = 6 modos de colocar 3 objetos dsttos em 3 lugares Veja as fguras abaxo: x ¹ x ³ x ² x ² x ³ x ¹ x ² x ³ x ¹ x ¹ x ³ x ² x ³ x ² x ² x ¹ x ¹ x ³ Fgura 34 Temos as segutes posções: x, x, x 3, x3, x, x, x, x3, x, x, x3, x, x3, x, x, x, x, x 3 Para facltar, colocamos os objetos o setdo at-horáro Em caso de colocação de objetos uma forma crcular, as colocações x, x, x 3, x3, x, x, x, x3, x são guas, pos estão a mesma ordem Aalogamete, as colocações x, x3, x, x3, x, x, x, x, x3 também são guas, pos estão a mesma ordem Logo, temos apeas x, x, x em círculo, que são duas formas de colocar três objetos { } Portato, este caso, PC 3 = 3 x, x, x3 e x, x3, x Podemos escrever também

86 85 3! PC 3 = = ( 3 )! =! = 3 Em geral, temos a segute fórmula: PC! = = ( )! Vamos aalsar a fórmula dada acma para = 4 Seja X = { x, x, x3, x4} Queremos colocar estes quatro objetos dsttos em círculo De quatos modos podemos fazer sso, etededo que as dsposções que podem cocdr por rotação são cosderadas guas? Pela fórmula de permutação smples, a resposta é P 4 = 4! = 4 PC = = =, e pela fórmula de permutação crcular, é 4 ( 4 )! 3! 6 Vamos coferr esta stuação através das fguras: x ¹ x ² x ³ x 4 x ² x 4 x ³ x ¹ x 4 x ² x ¹ x ³ x 4 x ³ Fgura 35 x ¹ x ² Observemos que as quatro dsposções colocadas em crculo são guas, ou seja, x x x x x x x x x x x x x x x x 3 4 = 3 4 = 3 4 = 4 3 # Aalogamete, podemos coferr gualdade etre as segutes stuações, respectvamete, xx4xx3 = x3xx4x = xx3xx4 = x4xx3x # xxx4x3 = xx4x3x = x4x3xx = x3xxx4 # xx3x4x = x3x4xx = x4xxx3 = xxx3x4 # xx3xx4 = x3xx4x = xx4xx3 = x4xx3x # x x x x x x x x x x x x x x x x 4 3 = 4 3 = 3 4 = 4 3 #

87 86 Logo, a resposta é 4! PC 4 = = ( 4 )! = 3! = 6 4 permutações de 4 objetos dspostos em toro de um círculo Exemplo 35 De quatas maeras podemos colocar 6 craças uma roda? Solução PC 6 = ( 6 )! = 5! = 0 Exemplo 36 De quatos modos podemos formar uma roda de crada com 8 craças, de modo que duas determadas dessas craças ão fquem jutas? Solução No total temos 8 craças X = { x, x, x, x, x, x, x, x} Excludo as duas determadas craças, restam agora 6 craças Podemos formar PC 6 = ( 6 )! = 5! = 0 rodas com essas ses cra- X = x, x, x, x, x, x ças { } x ² x ¹ x 6 x ³ x 4 x 5 Fgura 36 Temos agora 6 maeras dferetes de colocar uma dessas duas craças, e temos 5 maeras dferetes de colocar a seguda craça, x 8, x ² x ¹ x 7 x 6 x ³ x 4 x 5 Fgura 37 que ão pode fcar etre x 6 e x 7, em etre x 7 e x, pos as craças x 7 e x 8 ão podem fcar jutas

88 87 Logo, temos 5! 6 5 = 0 30 = 3600 maeras dferetes de colocar 8 craças uma roda, ode duas determadas craças ão podem fcar jutas Exemplo 37 Temos 5 meas e 5 meos De quatas maeras eles podem formar uma roda, de modo que meos e meas se alterem? Solução Podemos formar PC 5 = 4! rodas somete com as meas Agora se colocarmos os meos etre essas 5 meas, teremos que escolher as posções um por um, ou seja, o meo tem 5 maeras dferetes de fcar etre essas 5 meas Como dos meos ão podem fcar jutos, etão o segudo meo tem 4 maeras dferetes de fcar etre essas 5 meas, e assm por date Logo, temos 4! = 4!5! = 4 0 = 880 formas dferetes de colocar 5 meas e 5 meos de modo que meas e meos fquem de forma alterada Em geral, se temos m meas e m meos, etão temos ( m )! m! formas dferetes de colocar m meas e m meos uma roda, ode meos e meas se alterem Lsta de Exercícos 3 ) Quatos são os aagramas da palavra CAPÍTULO: a) Que começam por cosoate e termam por vogal? b) Que têm as letras C, A, P jutas essa ordem? c) Que têm as letras C, A, P jutas em qualquer ordem? d) Que têm as vogas e as cosoates tercaladas? e) Que têm a letra C o lugar e a letra A o lugar?

89 88 f) Que têm a letra C o lugar ou a letra A o lugar? g) Que têm a letra C o lugar ou a letra A o lugar ou a letra P o 3 lugar? ) Permutam-se de todos os modos possíves os algarsmos,, 4, 6, 7 e escrevem-se os úmeros assm formados em ordem crescete a) Que lugar ocupa o úmero 647? b) Qual é o úmero que ocupa o 66 lugar? c) Qual é o 00 algarsmo escrto? d) Qual é a soma dos úmeros assm formados? 3) De quatos modos é possível setar 7 pessoas em caderas em fla de modo que duas determadas pessoas dessas 7 ão fquem jutas? 4) De quatos modos é possível colocar em uma pratelera 5 lvros de matemátca, 3 de físca e de estatístca, de modo que lvros de um mesmo assuto permaeçam jutos? 5) Quatas são as permutações dos úmeros (,,,0 ) as quas o 5 está stuado à dreta do e à esquerda do 3, embora ão ecessaramete em lugares cosecutvos? 6) De quatos modos podemos dvdr pessoas: a) Em dos grupos de 6? b) Em três grupos de 4? c) Em um grupo de 5 e um grupo de 7? d) Em ses grupos de? e) Em dos grupos de 4 e dos grupos de? 7) Delegados de 0 países devem se setar em 0 caderas em fla De quatos modos sso pode ser feto se os delegados do Brasl e de Portugal devem setar jutos e o do Iraque e o dos Estados Udos ão podem setar jutos?

90 89 8) Um cubo de madera tem uma face de cada cor Quatos dados dferetes podemos formar gravado úmeros de a 6 sobre essas faces? 9) Quatos úmeros de 7 dígtos, maores que , podem ser formados usado apeas os algarsmos, 3, 6, 6, 6, 8, 8? 0) De quatos modos 5 meos e 5 meas podem formar uma roda de crada de modo que pessoas de mesmo sexo ão fquem jutas? 34 Combações Nesta seção apresetaremos a oção de combações em duas formas dferetes Uma, combação smples, e outra, combação completa 34 Combações Smples Image que você é um artsta e tem à sua dsposção matrzes com as três cores prmáras Quatas cores dferetes você pode obter msturado duas matrzes? E 3? As combações smples referem-se a este tpo de problemas, os quas teressa a escolha Veja, tato faz msturar o azul prmero ou o vermelho prmero, o resultado fal será a mesma cor Assm, as combações smples respodem à segute questão: de quatos modos podemos escolher r objetos dsttos etre m objetos dsttos dados? =,,, m um cojuto com m elemetos Chamamos de combação smples dos m objetos ou elemetos, tomados r a r, os subcojutos de X costtuídos de r elemetos Seja X { x x x } = um cojuto com 4 elemetos, etão podemos formar 6 subcojutos de dos elemetos, ou seja, { a, b }, { b, c }, { c, d }, { a, c }, { b, d } e { a, d } quado já etedemos que { a, b} = { b, a} Pela defção, observem que combação é um subcojuto de um cojuto, portato ão depede de ordem dos elemetos Por exemplo, se temos X { a, b, c, d}

91 90 Por outro lado, é mportate otar a dfereça etre uma combação (cojuto) e uma seqüêca, pos uma combação ão mporta a ordem dos elemetos, e uma seqüêca mporta a ordem dos elemetos Cálculo do úmero de combações O úmero de combações smples de ordem r de m objetos é dado por C m, r, ou seja, C mr, Podemos também escrever ou = m! r! m r!, ( ) 0 r m ( )( ) ( + ) m m m m r =, 0 r m r! C m, r = A m, r r! Você se lembra de ter vsto esta fórmula aterormete? Não é por acaso que a otação de úmeros bomas e de combações é a mesma Volte ao íco do capítulo e compare A = r! C, m, r m, r ode A m, r é o úmero de arrajos de m elemetos tomados r a r Em partcular, temos C m, m =, C m,0 = e C 0,0 = Exemplo 38 Queremos formar uma comssão de 4 membros e dspomos de 5 membros Quatas comssões podem ser formadas? Solução Observe que cada comssão é um subcojuto de 4 elemetos Assm, as comssões devem ser combações dos 5 membros tomados 4 a 4 Logo, o úmero de comssões é: C 5,4 5! 5 4 3! = = 4!!! 4 3 = = 365 Exemplo 39 Quatas saladas cotedo exatamete 3 frutas podemos formar se dspomos de frutas dferetes? Solução Para o cálculo do úmero de saladas deve ser usado o coceto de combações Para formar uma salada basta escolher 3 das frutas, o que pode ser feto de

92 9! 0 C,3 = = = 0 modos dferetes 3! 9! 3 Exemplo 330 Vamos cosderar duas retas paralelas Marcamos 4 potos sobre uma reta R e 9 potos sobre outra reta, R Quatos trâgulos exstem com vértces em 3 desses 3 potos? a ¹ a ² a 3 a 4 R ¹ b ¹ b ² b³ b4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 Fgura 38 R ² Solução Para formar um trâgulo ecesstamos três potos Vamos cosderar calmete um poto em a a reta R e dos potos, b e b, a reta R 4C O úmero de trâgulos desse tpo é 9, Aalogamete cosderemos um poto em b a reta R e cosderemos dos potos, a e a, a reta R Assm formamos um trâgulo O 9C 4, úmero de trâgulo desse tpo é Logo, o úmero total de trâgulos é: 9! 4! 4C9, + 9C4, = !!!! = = 98 Você tera certeza de que estas são as úcas formas de se costrur tas trâgulos? Pese sso Exemplo 33 Em um grupo de 8 homes e 5 mulheres, de quatos modos podemos escolher 7 pessoas, cludo pelo meos dos homes? Solução São as segutes alteratvas: 7 homes 0 mulher 6 homes mulher 5 homes mulheres 4 homes 3 mulheres 3 homes 4 mulheres homes 5 mulheres

93 9 A resposta é C C + C C + C C + C C 8,7 5,0 8,6 5, 8,5 5, 8,4 5,3 + C C + C C 8,3 5,4 8, 5,5 8! 5! 8! 5! 8! 5! = + + 7!5! 6!! 4! 5! 3!! 3! 8! 5! 8! 5! 8! 5! ! 4! 3!! 5! 3! 4! 6!!5! = = = 386 Exemplo 33 De quatos modos podemos dvdr 0 pessoas em dos grupos de 5 pessoas cada? Solução O prmero grupo pode ser escolhdo de C modos Escolhdo o prmero grupo, sobram 5 pessoas, e só há modo de for- 0,5 mar o segudo grupo Em cada grupo sabemos que há elemetos dêtcos, ou seja, { a, a, a3, a4, a 5}, { a6, a7, a8, a9, a 0} é dêtco a { a6, a7, a8, a9, a 0}, { a, a, a3, a4, a 5}, o que fo cotado duas vezes Logo a resposta é C0, = = Combações Completas Agora também serão escolhdos elemetos detre os elemetos de um cojuto maor, etretato o mesmo elemeto pode ser escolhdo mas de uma vez Image um sorteo de bgo, o qual a bolha sorteada fosse devolvda ao globo e um mesmo úmero pudesse aparecer mas de uma vez a cartela Esta é uma stuação que pode ser matematcamete represetada por uma combação completa Note que o úmero de cartelas possíves aumeta cosderavelmete

94 93 Dados m elemetos dsttos, chamamos combações completas, de ordem ou classe r dos m elemetos, os agrupametos sem repetção ou com repetção, formados com r dos elemetos dados, de maera que um agrupameto dfere do outro pela atureza de seus elemetos Em geral, C m, r é o úmero de modos de escolher r objetos dsttos etre m objetos dsttos dados, e CR m, r é o úmero de modos de escolher r objetos, dsttos ou ão, etre m objetos dsttos dados Por exemplo, se temos um cojuto X = { x, x, x3, x4} com 4 elemetos e queremos escolher 3 elemetos Neste caso, sabemos 4! que C 4,3 = = 4 maeras de escolher 3 objetos dsttos dos 4 elemetos dados A escolha é a 3! segute: xxx 3, xxx 4, xx3x4 e xx3x 4 Mas o caso de combações completas, a escolha ão é ecessaramete por elemetos dsttos, ou seja, podemos escolher xxx xxx xxx 3 xxx 4 xx4x 3 xxx xxx xxx 3 xxx 4 xx3x 4 xxx 3 x3x3x 3 x3x3x x3x3x x3x3x 4 x4xx 4 x4x4x 4 x4x4x x4x4x xx3x4 Neste caso temos CR 4,3 = 0 A fórmula para o cálculo de combações completas é dada por: CR = P = m, r m, r m+ r ( m+ r ) m! ( r )!! Exemplo 333 De quatos modos podemos comprar 5 refrgerates em um supermercado que vede 3 tpos de refrgerates? Solução Neste problema deve ser aplcada a oção de combação completa Logo, coforme a fórmula acma, temos 5, 7! 7 6 CR5,3 = P7 = = = 5!!

95 94 Exemplo 334 Dspodo de 6 cores dferetes, de quatas maeras dsttas podemos ptar 7 objetos dêtcos? (Cada objeto deve ser ptado com uma úca cor) Solução Precsamos decdr quatas vezes cada cor será utlzada É um problema de combações completas Isto será gual a CR! = P = = = = 94 6!6! ,6 6,7 343 Combações Completas e Equações Leares com Coefcetes Utáros Podemos estudar combações completas através das equações leares com coefcetes utáros Ates, vamos ver algus exemplos () Cosderemos a equação lear x+ x = 7 Etão, as soluções teras ão egatvas são dadas pelos segutes pares ordeados: ( 0, 7 ), (, 6 ), (, 5 ), ( 3, 4 ), ( 4, 3 ), ( 5, ), ( 6, ) e ( 7,0 ) Ao todo, temos 8 soluções teras ão egatvas () Agora, vamos cosderar a equação x+ x + x3 = 7 Etão, para resolver por tetatva, teremos um trabalho muto grade e podemos errar durate o processo da resolução do problema Vamos aalsar da segute maera: o deseho abaxo, os potos estão represetado 7 udades [ ] Vamos dvdr as 7 udades em três partes ordeadas, de modo que em cada parte se teha um úmero maor ou gual a zero Vamos separar os módulos por duas barras, dcado-os por 3 varáves a escolher Abaxo estão algumas possbldades: x 3 [ ] 3 x x

96 95 Assm, temos 9 símbolos: x x [ 3 ] x 4 x 3 [ ] 0 5 x [ 3 ] x x 3 [ ] 3 x x x x x 7 e O úmero de permutações desses símbolos é dado por 7, 9! P 9 = = 36, 7!! que é o úmero de soluções teras ão egatvas da equação x+ x + x3 = 7 Em geral, o úmero de soluções teras ão egatvas da equação x+ x + + xr = m é dado por P m, r m+ r = ( m+ r ) m! ( r )!! ou, equvaletemete, CR = P = C m, r m, r m+ r m+ r, r Logo, m, r CRm, r = Pm+ r = Cm+ r, r

97 96 Assm podemos dzer que a resolução, quado se procuram soluções teras e ão-egatvas, da equação x + x + + x = m r equvale à combação completa de m objetos dsttos, de classe r dos m elemetos, em agrupametos com ou sem repetção Exemplo 335 Quatas são as soluções teras ão egatvas de a+ b+ c+ d = 3? Solução Aqu temos m = 3, r = 4 Logo, 3,4 3,3 6! 654 P = 3 4 P = !3! = 3 = Exemplo 336 Quatas são as soluções teras ão egatvas de a+ b+ c+ d < 5? Solução Neste caso, temos cco possbldades de equações dferetes: 0,3 3! a+ b+ c+ d = 0 P3 = = ; 3!0!,3 4! a+ b+ c+ d = P4 = = 4;!3!,3 5! a+ b+ c+ d = P5 = = 0 ;!3! 3,3 6! a+ b+ c+ d = 3 P6 = = = 0 ; 3!3! 3 4,3 7! a+ b+ c+ d = 4 P7 = = = 35 4! 3! 3 Logo, temos P + P + P + P + P = = 4,3 3,3,3,3 0,

98 97 Alteratvamete, outra resolução possível é a trodução de uma varável extra para ter sal de gualdade, ou seja, exste e tal que a+ b+ c+ d + e= 5 5,4 P 9 e, como estamos trabalhado com o sal de < (estrtamete meor), 5,3 etão as possbldades quado a+ b+ c+ d = 5 ( P 8 ) devem ser excluídas Logo, a resposta é P 9! 8! P = 5! 4! 5!3! 5,4 5, = = 6 56 = 70 Exemplo 337 Ecotre o úmero de soluções teras ão egatvas ão feror a da equação x+ x + x3+ x4 = 7 Solução É dado que x+ x + x3+ x4 = 7 () Como todos estes úmeros devem ser maores que, dremos x > =,,3,4, ou seja, x > 0 Vamos substtur x = y =,, 3 e 4 a equação () Etão, temos y+ y + y3+ y4 = 7 8 = 9 () Para resolver a equação () com codção é equvalete a resolver a equação () Pela fórmula, temos CR 0 = C = = 0 3 9,4,3 Logo, há 0 soluções teras ão egatvas da equação () que respetam a codção posta

99 98 Exemplo 338 Ecotre o úmero de soluções teras ão egatvas da equação x+ x + x3 = 5 com x 3 Solução Vamos substtur y = x 3, y = x e y3 = x3, etão temos y+ y + y3 = O úmero de soluções teras ão egatvas da equação y + y + y = é dada por 3 C 43 = P = = 9,,3 4 Exemplo 339 Ecotre o úmero de soluções teras ão egatvas para a equação 0< x + x + x < 5 3 Solução Neste caso, devemos ecotrar as soluções das equações: x + x + x = P = 3;, 3 3, 4 3 x+ x + x3 = P4 = = 6 ; 3, 5 4 x+ x + x3 = 3 P5 = = 0 ; 4, 6 5 x + x + x3 = 4 C3, = P6 = = 5 Logo, pelo prcípo adtvo, o úmero procurado é = 34 Lsta de Exercícos 4 ) Uma comssão formada por 3 homes e 3 mulheres deve ser escolhda em um grupo de 8 homes e 5 mulheres

100 99 a) Quatas comssões podem ser formadas? b) Qual sera a resposta se um dos homes ão acetasse partcpar de uma comssão, se ela estvesse uma determada mulher? ) Para a seleção braslera foram covocados goleros, 6 zagueros, 7 meos de campo e 4 atacates De quatos modos é possível escalar a seleção com golero, 4 zagueros, 4 meos de campo e atacates? 3) Em um torero o qual cada partcpate efreta todos os demas uma úca vez, 780 partdas são realzadas Quatos são os partcpates? 4) Um homem tem 5 amgas e 7 amgos Sua esposa tem 7 amgas e 5 amgos De quatos modos eles podem covdar 6 amgas e 6 amgos, se cada um deve covdar 6 pessoas? 5) Quatos são os úmeros aturas de 7 dígtos os quas o dígto 4 fgura exatamete 3 vezes e o dígto 8 exatamete vezes? 6) Uma fla de caderas o cema tem 0 poltroas De quatos modos 6 casas podem se setar essas poltroas de modo que ehum mardo se sete separado de sua mulher? 7) Quatas são as soluções teras ão-egatvas de x+ y+ z+ w= 3? 8) Quatas são as soluções teras ão-egatvas de x+ y+ z+ w< 6? 9) Quatas são as soluções teras postvas de x+ y+ z = 0? 0) Quatas são as soluções teras postvas de x+ y+ z < 0?

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102 Capítulo 4 Elemetos de Probabldade

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104 03 Capítulo 4 Elemetos de Probabldade Neste capítulo apresetaremos a oção de probabldade em espaços ftos e provaremos suas propredades Além dsso, dscutremos a oção de depedêca de evetos e a oção de probabldade codcoal A teora da probabldade é a teora matemátca resposável pela descrção dos feômeos classfcados como aleatóros Dzemos que um feômeo é determístco quado, repetdo em codções semelhates, coduz a resultados dêtcos Aqueles expermetos que repetdos sob mesmas codções coduzem a resultados dferetes são deomados aleatóros Por exemplo, quado laçamos um dado, o resultado pode ser qualquer um dos úmeros,, 3, 4, 5 e 6 O laçameto de um dado é um exemplo de um expermeto aleatóro, uma vez que ão podemos determar atecpadamete qual é o resultado que redudará do expermeto Iúmeros feômeos a atureza têm esta característca, e é resposabldade da probabldade descrever e estuda-los Vamos, este trabalho, estudar feômeos aleatóros smples e através deles proporcoar a apresetação de algus cocetos fudametas da teora das probabldades Quado estudamos certo expermeto, devemos começar pela descrção de seus possíves resultados Estes possíves resultados formam um cojuto que deotaremos por S e que usualmete chamamos de espaço amostral Vejamos um exemplo: o laçameto de uma moeda Os possíves resultados são: cara (H) e coroa (T) Logo, osso espaço amostral pode ser represetado pelo cojuto S = { H, T} Cosderemos outro exemplo: o laçameto de um dado Agora os S =,, 3, 4, 5, 6 resultados possíves formam o cojuto { } Vamos assumr esta apresetação que o espaço amostral S é fto Você otará que para este estudo, em espaço amostral fto, você utlzará todo o cohecmeto de Aálse Combatóra vsto os capítulos aterores deste materal Exstem estudos a Matemátca

105 04 de probabldade com espaços amostras ftos, mas este estudo extrapola a teção e o ível de complexdade deste curso Todo subcojuto de S é chamado de eveto Portato, se estamos laçado um dado, o subcojuto E = {, 4, 6} S pode ser pesado como o eveto de ter saído um úmero par A terseção de dos evetos correspode ao eveto o qual ocorreram Dos evetos são dtos exclusvos se uca ocorrem smultaeamete Por exemplo, o eveto O = {, 3, 5 } e o eveto E = {, 4, 6} são exclusvos, pos E O= A cada eveto gostaríamos de atrbur um úmero postvo que determasse Qual é a chace de tal eveto ocorrer Aos evetos que sempre ocorrem, devemos atrbur o valor dcado a chace total de ocorrer O espaço todo sempre ocorre, e portato, ao espaço amostral, atrbuímos o valor Quado laçamos um dado váras vezes, vê-se que a chace de um eveto elemetar, sto é, um eveto formado por um resultado apeas, tem a mesma chace de ocorrer que qualquer outro Portato, sedo equprováves, devemos atrbur para cada eveto elemetar o valor /6 O eveto E = {, 4, 6} ocorre quado sar qualquer um dos úmeros,4,6 Segue que exstem 3 casos em 6 possíves resultados que favorecem o eveto E ocorrer É atural atrbur a probabldade do eveto E ocorrer ao quocete dos resultados favoráves pelos resultados possíves, sto # E 3 é, probabldade de E= # S = = 6 4 Noções de Probabldade Ates de estudarmos oções de probabldade, vamos apresetar, de modo formal, algus cocetos báscos Expermetos Aleatóros São aqueles que, mesmo repetdos váras vezes sob codções semelhates, apresetam resultados mprevsíves A cada expermeto correspodem, em geral, város resultados possíves Estes expermetos também são cohecdos como expermetos ão-determístcos Por exemplo,

106 05 ) Jogue um dado e observe o úmero mostrado a face de cma ) Jogue uma moeda quatro vezes e observe o úmero de caras obtdo ) Em uma lha de produção, fabrque peças em sére e cote o úmero de peças defetuosas produzdas em um período de 4 horas v) Uma lâmpada é fabrcada Em seguda é esaada quato à duração da vda, pela colocação em um soquete e aotação do tempo decorrdo (em horas) até quemar Espaço Amostral Ω (ômega) É o cojuto de todos os possíves resultados de um expermeto aleatóro Cosderado cada um dos expermetos acma, o espaço amostral de cada um deles será: Ω : {,, 3, 4, 5, 6} Ω : {0,,, 3, 4} Ω 3: {0,,,, }, ode é o úmero máxmo de peças que pode ser produzdo em 4 horas Ω 4: {t / t 0} Eveto (E) Chamamos eveto qualquer subcojuto do espaço amostral Ω de um expermeto aleatóro Um eveto é sempre defdo por uma seteça Se E = Ω, etão E é chamado eveto certo Se E =, etão E é chamado eveto mpossível Exemplo 4 No laçameto de um dado, ode Ω = {,, 3, 4, 5, 6},

107 06 a) obter um úmero par a face superor A = {, 4, 6}; b) obter um úmero meor ou gual a ses a face superor B = {,, 3, 4, 5, 6} = Ω ; c) obter um úmero maor do que ses a face superor C = Podemos combar evetos usado as váras operações com cojutos: o eveto A Bocorre se, e somete se, ocorre A ou ocorre B (ou ambos); o eveto A B ocorre se, e somete se, ocorrem A e B ; c o eveto A, complemeto de A, ocorre se, e somete se, ão ocorre A Dos evetos, A e B, são dtos mutuamete exclusvos se são dsjutos, sto é, se A B = Em outras palavras, A e B são mutuamete exclusvos se ão ocorrem smultaeamete Exemplo 4 Vamos cosderar o segute expermeto: laçar um dado e observar o úmero que aparece a face voltada para cma Etão o espaço amostral é Ω = {,, 3, 4, 5, 6} Seja A o eveto ocorrer úmero par, B : ocorrer úmero mpar e C : ocorrer úmero prmo, ou seja, A = {, 4, 6}; B = {, 3, 5} e C = {, 3, 5} Etão A C = {,3, 4,5, 6} é o eveto ocorrer um úmero par ou um úmero prmo B C = { 3, 5} é o eveto ocorrer um úmero prmo mpar ; {, 4, 6 } c C = é o eveto ão ocorrer úmero prmo Observe que A e B são mutuamete exclusvos, sto é, A B = Axomas de Probabldade Dados Ω um espaço amostral, P( A ), probabldade do eveto A, é uma fução defda as partes de Ω que assocam a cada eveto um úmero real, satsfazedo os segutes axomas: Axoma Para todo eveto A, 0 P( A)

108 07 Axoma P( Ω ) = Axoma 3 Se A e B são evetos mutuamete exclusvos, etão P( A B) = P( A) + P( B) Axoma 4 Se A, A, é uma seqüêca de evetos mutuamete exclusvos, etão P( A A ) = P( A ) + P( A ) + Desses axomas, decorrem os segutes resultados Teorema 4 Se é o cojuto vazo, etão P( ) = 0 Demostração Seja A um cojuto qualquer, etão A e são dsjutos e A = A Pelo Axoma 3, temos P( A) = P( A ) = P( A) + P( ) P( A) = P( A) + P( ) Subtrado P( A ) de ambos os membros da gualdade acma, temos P( A) P( A) = P( A) + P( ) P( A) 0 = P( ) Teorema 4 Se c A é o complemeto de um eveto A, etão c P( A ) = P( A) Demostração O espaço amostral Ω pode ser decomposto os c c evetos mutuamete exclusvos A e A, ou seja, Ω= A A Pelos Axomas e 3, temos c c c = P( Ω ) = P( A A ) = P( A) + P( A ) P( A ) = P( A) Teorema 43 Se A Betão P( A) = P( B) P( B A) Demostração Podemos escrever B= A ( B A), que é uma uão dsjuta Agora usamos o tem 3 da defção de probabldade e obtemos P( B) = P( A) + P( B A) e falmete P( A) = P( B) P( B A)

109 08 Teorema 44 Se A B, etão P( A) P( B) Demostração Se A B, etão B pode ser decomposto os evetos mutuamete exclusvos A e B A (como mostra a fgura abaxo), ou seja, B = A+ B A B B A A Fgura 4 Aqu dzemos que B A é o mesmo que B A Assm, B = A ( B A) P( B) = P( A B A) = P( A) + P( B A) (pelo Axoma 3) Como P( B/ A) 0, vem que P( B) P( A) ou P( A) P( B) Observação 4 Esse resultado também segue medatamete do problema ateror: P( A) = P( B) P( B A) P( B), pos P( B A) 0 Teorema 45 Se A e B são dos evetos quasquer, etão P( A B) = P( A) P( A B) Demostração Como o eveto A pode ser decomposto os evetos mutuamete exclusvos A B e A B, da fgura abaxo A= ( A B) ( A B), A B A B B A Fgura 4

110 09 resulta que ou A= ( A B) ( A B) P( A) = P( A B) + P( A B), P( A B) = P( A) P( A B) (pelo axoma 3), Teorema 46 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Demostração Como A= ( A B) ( A B) e B = ( B A) ( A B), ode as uões são dsjutas, temos P( A) = P( A B) + P( A B) P( B) = P( B A) + P( A B) Somado estas gualdades, obtemos P( A) + P( B) = P( A B) + P( A B) + P( B A) + P( A B) = P( A B) + P( B A) + P( A B) Além dsso, podemos escrever A B= ( A B) ( B A) ( A B), que é uma uão dsjuta e, portato, P( A B) = P( A B) + P( B A) + P( A B), que combado com a detdade ateror gera PA ( B) = PA ( B) + PB ( A) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) O teorema 46 pode ser esteddo usado-se o mesmo argumeto do prcípo da clusão e da exclusão para se obter a segute gualdade: P( A A A) = P( A) + P( A) + P( A A) P( A A) + + P( A A A3) ( ) P( A A A )

111 0 Exemplo 43 Três moedas são jogadas smultaeamete Qual é a probabldade de obter caras? Qual é a probabldade de obter pelo meos caras? Solução Começamos exbdo o osso espaço amostral: ( H, H, H),( H, H, T),( H, T, H),( H, T, T),( T, H, H), S = ( T, H, T),( T, T, H),( T, T, T) Segue que os resultados possíves são # S = 8 e os resultados favoráves para a obteção de exatamete duas caras estão o cojuto {(,, ),(,, ),(,, )} E = H H T H T H T H H Logo, a probabldade de obter exatamete caras é: # E 3 p = = # S 8 Para a seguda perguta, os resultados favoráves estão o cojuto {(,, ),(,, ),(,, ),(,, )} A= H H H H H T H T H T H H, e portato, a probabldade procurada é # A 4 p = = = # S 8 Exemplo 44 Dos dados são laçados smultaeamete Qual é a probabldade de que a soma dos úmeros obtdos as faces de cma dos dados seja 6? Solução Precsamos exbr o osso espaço amostral Vamos exb-lo através de uma tabela, (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) ode colocamos, em egrto, os resultados favoráves, sto é, aqueles cuja soma dos úmeros é 6 As possbldades são 5 em um uverso de 36 Logo, a probabldade procurada é 5 p = 36 Exemplo 45 Dos estudates uma sala de aula de 30 estudates asceram o mesmo da do ao Qual é a probabldade de tal eveto ocorrer?

112 Solução O espaço amostral de osso problema é o cojuto dos pares de das de ascmeto dos estudates desta sala Como cada estudate pode ter ascdo em qualquer da dos 365 de um ao, exstem 365 = 7, 4 0 pares de tas datas Para resolver o proble ma de maera mas fácl, vamos calcular a probabldade do eveto complemetar, ou seja, quado ehum dos estudates possua datas de ascmeto guas Temos etão 30 estudates e queremos alocar datas de ascmeto de modo a uca termos duas guas Usado ossa combatóra dos capítulos aterores, temos 365 possbldades para o prmero estudate, 364 para o segudo, pos sua data de ascmeto ão pode cocdr com a do prmero, 363 para o tercero,, 336 para o últmo Logo a probabldade de que todos teham das de ascmeto dferetes é p = = = 0, Logo a probabldade de que ao meos um par de estudates teha das de ascmeto guas é p = 0, 94 = 0,706 Observe que c c este problema usamos a gualdade P( A ) = P( A), ode por A deotamos o complemetar de A em S Exemplo 46 Ses dados são laçados Qual é a probabldade de todos os úmeros serem dferetes? Solução O úmero de resultados possíves de osso expermeto é 6 6 O úmero de resultados favoráves ao eveto em questão é o úmero de permutações de 6 elemetos, que é 6! Portato, a 6! 5 4 probabldade do eveto = = = 0, Exemplo 47 Uma fucoára de correo deve evar 5 passaportes para seus legítmos doos Preocupada com o ecotro que tera esta ote, ela trabalha apressadamete, sem verfcar corretamete a correspodêca Determe a probabldade da fucoára ter evado todos os 5 passaportes para doos errados Solução O espaço amostral este caso pode ser represetado pelas permutações dos úmeros {,,3, 4,5 } Logo o úmero de resultados possíves é 5! Já os favoráves correspodem às permutações que ão dexam ehum elemeto fxo Para calcular este úmero, usemos o prcípo da clusão-exclusão Deotamos por N as permutações que dexam fxo o elemeto, N aquelas dexam fxos e j, j

113 e assm sucessvamete, e falmete por N 0 aquelas que ão fxam ehum elemeto Pelo prcípo da clusão e exclusão, N = N N N N N N + N + + N N3 N, N N345 N345 ode N é o úmero de permutações de 5 elemetos Observe que N = N = = N, e exstem 5 cojutos destes, e smlarmete, 5 N = N3 = = N45, e exstem exatamete C 5, destes cojutos, e assm sucessvamete Isto segue do fato de ser rrelevate quas os algarsmos que são fxados Logo, deotado por N = N, ossa j j j fórmula se tora: , 5, 5,3 5,4 5,5 N = N C N + C N C N + C N C N Temos etão que calcular cada um destes úmeros Mas as permutações de elemetos que dexam k elemetos fxos correspodem às k permutações de k elemetos e, portato, N = ( k)! Falmete obtemos N = 5! C 4! + C 3! C! + C! C = 0 5, 5, 5,3 5,4 5,5 = = 44 Segue que a probabldade procurada é 44 p = 0 Exemplo 48 Dez pessoas são separadas em dos grupos de 5 pessoas cada um Qual é a probabldade de que duas pessoas determadas, A e B, façam parte do mesmo grupo? Solução O úmero de casos possíves é C 0,5 = 5, pos há C 0,5 = 5 modos de escolher o prmero grupo e, depos dsso, há apeas um modo possível para escolher o segudo grupo O úmero de casos favoráves é C8,3 =, pos há C 8,3 = 56 modos de dstrbur as pessoas A e B o prmero grupo e há outro tato com A e B o segudo grupo A probabldade procurada é

114 3 4 P = = 5 9 Exemplo 49 Há 8 carros estacoados em vagas em fla a) Qual é a probabldade das vagas vazas serem cosecutvas? b) Qual é a probabldade de ão haver duas vagas vazas cosecutvas? Solução a) Há C,4 = 495 modos de selecoar as 4 vagas que ão serão ocupadas e 9 modos de escolher 4 vagas cosecutvas ( 3 4, ,, 9 0 ) A resposta é = b)há C,4 = 495 modos de selecoar as 4 vagas vazas Cosderemos a escolha das vagas que fcarão vazas uma dsposção de 8 carros Restam para a escolha das 4 vagas vazas, que ão podem ser cosecutvas, 9 espaços possíves - C C C3 C4 C5 C6 C7 C8 Segue que exstem C 9,4 = 6 escolhas de vagas vazas sem que haja cosecutvas Portato 6 4 p = = Exemplo 40 Um toreo é dsputado por 4 tmes A, B, C e D É 3 vezes mas provável que A veça o toreo do que B, vezes mas provável que B veça do que C e é 3 vezes mas provável que C veça do que D Quas as probabldades de vtóra para cada um dos tmes? Solução Vamos dcar por S { s, s, s, s } = A B C D o espaço amostral em que sa deota o eveto A vece o toreo, e assm sucessvamete Seja p = P({ s D }) a probabldade de D gahar o toreo Segue do eucado que P({ s }) = 3 p; P({ s }) = P({ s }) = 6 p; P({ s }) = 3 P({ s }) = 8 p C B C A B Como a soma das probabldades tem que ser gual a, temos: p+ 3p+ 6 p+ 8p = 8p = p = 8

115 4 e, portato, P({ sc}) = 3 p = ; P({ sb}) = ; P({ sa}) = ; P({ sd}) = Evetos Idepedetes e Probabldade Codcoal Vamos cosderar agora um expermeto, por exemplo, o laçameto de uma moeda, e repet-lo vezes Podemos cosderar sto como um expermeto úco, e este caso o espaço amostral será costtuído de seqüêcas de comprmeto de elemetos de S Assm o espaço amostral correspodete a este expermeto é o cojuto S de tas seqüêcas O úmero de resultados deste expermeto (ovo) é (# S ) Cosderado cada seqüêca equprovável, tem-se P( a, a, a ) = k ode k = # S No exemplo do laçameto de uma moeda vezes, S = { H, T} e o espaço amostral do expermeto repetdo será S = { HH, HT, TH, TT} A probabldade de cada resultado é, portato, /4 Esta defção pretede ser um modelo em que o resultado de cada expermeto repetdo é depedete dos resultados aterores, o setdo cotdao de que ehuma fluêca sobre um expermeto pode ocorrer em fução dos expermetos aterores Supohamos que lacemos duas moedas ão vcadas smultaeamete em lados opostos de um quarto Itutvamete, o modo como uma das moedas ca ão flueca o modo como a outra ca O coceto matemátco que formalza esta tução é chamado de depedêca Geralmete, depedêca é uma hpótese que assummos a modelagem de um feômeo ou gostaríamos que fosse possível assumr realstcamete Mutas fórmulas de probabldade só são váldas se certos evetos forem cosderados depedetes Voltemos ao exemplo do laçameto das duas moedas Seja A o eveto em que a prmera moeda sa CARA, e seja B o eveto da seguda sar CARA Se assummos que A e B são depedetes, etão a probabldade que as duas moedas saam CARA é: P( A B) = = = P( A) P( B) 4

116 5 Por outro lado, seja N o eveto em que amahã será um da ublado e C o eveto em que amahã será um da chuvoso Supohamos que P( N ) = /5e que P( C ) = /0 Se estes evetos fossem depedetes, etão poderíamos coclur que a probabldade de um da chuvoso e ublado sera bem pequea: P( N C) = P( N) P( C) = = No etato, estes evetos são depedetes Em partcular, todo da chuvoso é ublado Assm a probabldade de um da chuvoso e ublado é, de fato, /0 Assm defmos: Defção 4 Dzemos que dos evetos, A e B, são depedetes se P( A B) = P( A) P( B) Vejamos Por um lado, sabemos que P( A B) = 0porque ão cotém eveto algum, A B= Por outro lado, temos P( A) P( B) > 0, exceto os casos degeerados, os quas ou A ou B teham probabldade zero Assm, dsjução e depedêca são cocetos muto dferetes Vejamos uma magem mas adequada pra explcar sto Seja o retâgulo da fgura abaxo um espaço de probabldade ode a área de cada subcojuto é a probabldade do eveto represetado pelo cojuto Se A cobre uma fração a do retâgulo e B cobre uma fração b do mesmo, etão a área da terseção será uma fração a b do retâgulo Em termos de probabldade P( A B) = P( A) P( B) Supohamos que lacemos duas moedas ão vcadas Cosdere os evetos: A = as moedas caem com a mesma face voltada pra cma B = a prmera moeda ca CARA São estes dos evetos depedetes? Itutvamete, a resposta é ão De modo geral, se as moedas caem guas, depede de como ca a prmera moeda Etretato, a defção matemátca de depedêca ão correspode com a oção tutva de ão-relacoados Estes evetos são, de fato, depedetes, como se pode ver

117 6 pelos cálculos: P( A) = P( HH ) + P( TT ) = + = 4 4 P( B) = P( HH ) + PHT ) = + = 4 4 P( A B) = P( HH ) = 4 Cosdere o laçameto de um dado, se A = {, 4, 6} correspode a sar par, e { 3, 6 } Etão A e B são depedetes, pos A B { 6} é o eveto que B = sgfca sar um múltplo de 3 = e, portato, P( A B) = P({6}) = = = P( A) P( B) 6 3 Defção 4 Dzemos que evetos, A, A,, A, são depedetes se, para todo k e j, j, jk com j < j < < jk, vale P ( A A A ) = P ( A ) P ( A ) P ( A ) j j jk j j jk Exemplo 4 (Evetos depedetes dos a dos, mas que ão são depedetes) Cosdere uma bola retrada de uma ura cotedo E =,, F =, 3, G =, 4 quatro bolas, umeradas,, 3, 4 Seja { } { } { } Solução Se todos os quatro resultados possíves são gualmete prováves, temos: P( E F) = P( E) P( F) = 4 P( E G) = P( E) P( G) = 4 P( F G) = P( F) P( G) = 4 Etretato, = P( E F G) P( E) P( F) P( G) = 4 Logo, ada que os evetos E, F, G sejam dos a dos depedetes, eles ão são depedetes Exemplo 4 Supohamos que seja laçado um dado ão vcado Seja E o eveto em que a soma dos úmeros a parte superor dos 3

118 7 dados seja 7 e F o eveto o qual o prmero dado é sorteado o úmero 4 São estes evetos depedetes? Solução Observe que P( E F) = P( { 4,3} ) = 36 equato P( E) P( F) = = = P( E F), provado que eles são, de fato, depedetes Uma outra oção mportate em probabldade é a oção de probabldade codcoal Vamos def-la agora Para tal, cosderemos o segute problema: supoha que temos um espaço de probabldade e que sabamos que um determado eveto ocorreu Como são etão as probabldades dos outros evetos, uma vez que o eveto cosderado já ocorreu? Exemplo 43 Um expermeto cosste em laçar um dado Seja X o resultado, seja F o eveto { X = 6}, e seja E o eveto { X > 4} Como probabldade, assumamos que P( Y ) = para Y =,, 6 6 Assm P( F ) = Agora supohamos que o dado fo laçado e que 6 fomos formados de que o eveto E ocorreu Neste caso, os restam resultados possíves: 5 e 6 Qual, etão, é a probabldade de F ter ocorrdo? Solução Como restam resultados possíves segue que a probabldade procurada é Vamos deotar por P( F E ) e referecá-lo como a probabldade do eveto F dado que o eveto E ocorreu Exemplo 44 Dos dados são laçados Qual é a probabldade de que teha saído 4 em um dos dados, sabedo que a soma dos resultados dos laçametos é 8? Solução Sabemos que a soma dos dos dados fo 8, e portato sabemos que o laçameto dos dos dados deve ter sdo e 6, 3 e 5, 4 e

119 8 4, 5 e 3, 6 e Assm, exste um total de 5 possbldades Etre estes resultados, somete tem 4 como resultado de um dos dados Logo, se deotamos pelo eveto E sau um 4 e pelo eveto F a soma dos dados é 8, temos que P( E F ) = 5 Exemplo 45 Três caddatos, A, B e C, estão cocorredo a um cargo polítco Apeas um caddato pode gahar Supohamos que A e B têm a mesma chace de gahar e que C tem metade das chaces de gahar que tem A Solução Seja A o eveto A vece, B o eveto B vece, e C o eveto C vece Logo as probabldades de cada eveto serão P( A ) =, 5 P( B ) = e P( C ) = 5 5 Supohamos que, ates da eleção acotecer, A dessta Etão quas seram agora as probabldades para os evetos B e C? Solução É atural, a ausêca de outras formações, atrbur probabldades a estes evetos que sejam proporcoas às probabldades orgas Assm teríamos P( B A ) = e P( C A ) = 3 3 Nestes exemplos, temos um dado espaço de probabldade e uma ova formação que determa, de certa maera, um ovo espaço de probabldades Este ovo espaço cosste os resultados que ada são possíves, dada a formação adcoal que temos Nosso objetvo é atrbur probabldades a estes evetos Vamos formalzar etão os procedmetos realzados estes exemplos Seja Ω= {,, r} o espaço amostral orgal com as probabldades P( ) correspodetes Supohamos que o eveto E teha ocorrdo Queremos atrbur ovas probabldades P( E) aos evetos {,, r} que refltam esta formação Claramete, se E, é razoável atrbur P( E) = 0 Além dsso, a ausêca de formação, é razoável assumr que as probabldades para em E deveram ter a mesma magtude relatva

120 9 que estas probabldades tham ates de sabermos que E ocorrera Para sso, exgmos que P( E) = cp( ) para todo E, com c devemos ter uma costate postva Por outro lado, Segue que : E : E = P( E) = c P( ) = cp( E) c = = P( ) P( E) : E Observe que precsamos exgr que P( E ) > 0 Assm defmos: P( ) P( E) =, P( E) para todo E as codções P( E ) > 0 Esta ova dstrbução de probabldades chamamos de probabldade codcoal dado E Para um eveto qualquer F defe-se: P( ) P( F E) P( F E) = P( E) = = P( E) P( E) : E F : E F Chamamos P( F E ) de probabldade codcoal de F dado que E ocorreu, e calcula-se pela fórmula: P( F E) P( F E) = P( E) De outra maera podemos defr: Defção 43 Dados dos evetos, A e B, a probabldade codcoal de B dado A é o úmero P( A B)/ P( A) que se deota por P( A B) P( B A) = P( A) Este úmero só está defdo quado P( A ) > 0

121 0 Exemplo 46 Retoremos ao exemplo do laçameto de um dado (ex 43) Lembre-se que F correspode ao eveto X = 6, e que E é o eveto X > 4 Observe que F E é o eveto F Logo a fórmula acma os dá P( F E) /6 P( F E) = = =, P( E) /3 em cocordâca com ossos cálculos aterores Exemplo 47 Ecotre a probabldade de se trar um 4 de um baralho de 5 cartas, dado que dele já tramos um 7 Solução Dado que um 7 já fo retrado, temos agora apeas 5 cartas dspoíves Portato, a probabldade de trar um 4 agora é 4 P (4 7) = Se usarmos a fórmula, temos: P(4 7) P(4 7) = = = P(7) Exemplo 48 Uma moeda é laçada 3 vezes sucessvas Calcule a probabldade do eveto A ocorrer dado que o eveto B ocorreu, quado os evetos A e B são defdos por: A = { mas caras que coroas aparecem}, { a prmera é cara} B = Solução O espaço amostral cosste as 8 seqüêcas: Ω= { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}, que assummos serem gualmete prováves O eveto B cosste de quatro elemetos, HHH, HHT, HTH, HTT, e, portato, sua probabldade é 4 P( B ) = 8 O eveto A B cosste em três resultados possíves, HHH, HHT, HTH, logo sua probabldade é P( A B) 3/8 3 P( A B) = = = P( B) 4/8 4 Exemplo 49 Uma famíla tem dos flhos Qual é a probabldade codcoal de que ambos os flhos sejam meos, dado que pelo

122 meos um deles é um meo? Assuma que o espaço amostral S é dado por S = {( mo, mo),( mo, ma),( ma, mo),( ma, ma) } e que todos os resultados são gualmete prováves [( mo, m a) dca que o mas velho é um meo e que o mas ovo é uma mea] Solução Seja E o eveto em que ambos os flhos são meos, e F o eveto em que pelo meos um dos flhos é um meo Etão, a probabldade procurada é dada por PE ( F) P( {( mo, mo) }) PE ( F) = = = 4 = PF ( ) P( {( m, ),(, ),(, )}) 3 3 o mo mo ma ma mo 4 Os próxmos lemas resumem as propredades báscas da oção de probabldade codcoal Lema 4 Seja A tal que P( A ) > 0 Etão a) P( A) = 0, P( S A) =, P( B A) P ( B C) B = P( B A) + P( C A), se B C = b) ( ) Em outras palavras, fxado A, a probabldade codcoal é uma probabldade (outra) sobre o espaço amostral S Demostração a) Temos P( A) P( ) P( A) = = = 0 P( A) P( A) e P( S A) P( A) P( S A) = = = P( A) P( A) Como 0 P( A B) P( A), etão P( A B) 0 e, portato, P( A) 0 P( B A) b) Sabemos que P(( B C) A) P(( B A) ( C A)) P(( B C) A) = = P( A) P( A) P( B A) P( C A) = + = P( B A) + P( C A) P( A) P( A)

123 Lema 4 Se P( A A A ), etão, PA A A ( ) = PA ( ) PA ( A) PA ( 3 ( A A) PA ( A A A ) Lema 43 (Le de Bayes) Seja { A A A} =,,, uma partção do espaço de probabldade S Etão se E é um eveto com P( E ) > 0, v+ale P( Aj) P( E Aj) P( A j E) = P( A) P( E A) Exemplo 40 Numa prova há 7 pergutas do tpo verdadero-falso Calcular a probabldade de acertarmos todas as 7 se: a) escolhermos aleatoramete as 7 respostas, b) escolhermos aleatoramete as respostas, mas sabedo que há mas respostas verdaderas do que falsas Solução 7 a) Há = 8 possbldades e, portato, P [ acertar os 7 testes ] = 8 b) Seja A o cojuto de todos os potos com mas respostas V do que F Temos # A= C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = = 64 E, portato, a probabldade buscada é gual a 64 Exemplo 4 Uma moeda é jogada 6 vezes Sabedo-se que o prmero laçameto ocorreu coroa, calcular a probabldade codcoal de que o úmero de caras os ses laçametos supere o úmero de coroas Solução Nos 5 laçametos segutes devemos ter 4 ou 5 caras A probabldade de ter 5 caras é = e a probabldade de ter caras (e coroa) é 5 =, porque a probabldade de ter 4 ca 3 5 ras e coroa a ordem cara-cara-cara-cara-coroa é =, e há 3 5

124 3 5 ordes possíves A resposta é = Exemplo 4 Cosdere duas uras A prmera cotém duas bolas bracas e sete pretas, e a seguda cotém cco bolas bracas e ses pretas Laçamos uma moeda, e se sar cara retramos uma bola da prmera ura, caso cotráro, retramos uma bola da seguda ura Qual é a probabldade codcoal de ter saído cara, dado que uma bola braca fo selecoada? Solução Seja W o eveto em que uma bola braca fo retrada e H o eveto em que a moeda deu cara A probabldade procurada pode ser calculada como segue: P( H W) P( W H) P( H) P( H W) = = = P( W) P( W) P( W H) P( H) = = c c P( W H) P( H) + P( W H ) P( H ) 9 = = Exemplo 43 Uma moeda equlbrada é jogada duas vezes Sejam A e B os evetos: A: cara a prmera jogada; B: cara a seguda jogada Verfque se A e B são depedetes Solução P( A) = P( B) =, pos em cada laçameto há dos resultados possíves que são gualmete prováves (cara e coroa), e em cada laçameto há apeas um resultado favorável (cara) P( A B) =, 4 pos para os dos laçametos há quatro resultados possíves que são gualmete prováves (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa), e apeas um favorável (cara-cara) Como P( A B) = P( A) P( B), os evetos A e Bsão depedetes

125 4 Exemplo 44 Supohamos que haja um teste para dagostcar o câcer que dá postvo em 95% dos casos quado se aplca às pessoas que possuem a efermdade, e dá egatvo em95% dos casos quado se aplca às pessoas que ão a possuem Se a probabldade de que uma pessoa teha realmete câcer é 0,005, qual é a probabldade de que uma pessoa teha realmete câcer quado o teste tver dado postvo? Solução Seja C o eveto o qual uma pessoa examada teha câcer e A o eveto o Qual é o resultado do teste seja postvo para o câcer Aplquemos a le de Bayes: P( A C) P( C) P( C A) = c c P( A C) P( C) + P( A C ) P( C ) (0,95)(0,005) = = 0,087 (0,95)(0,005) + (0,05)(0,995) Exemplo 45 Das 8 peças de um domó, escolhem-se duas aleatoramete Ache a probabldade de que com elas se possa formar uma cadea compatível às regras do jogo Solução P(cadea compatível) = P P a a a ( peça ecaxe dupla) ( dupla) a a a + P( peça ecaxe ão dupla) P( ão dupla) = + = Exemplo 46 Retram-se, sucessvamete e sem reposção, duas cartas de um baralho comum (5 cartas) Calcule a probabldade de a a carta ser uma dama e a a carta ser de copas Solução Há dos casos a cosderar: a) Se a prmera carta é a dama de copas, a probabldade é 5 5 b) Se a prmera carta é uma dama ão de copas, a probabldade é A resposta é 3 3 P = + =

126 5 Exemplo 47 Determe a probabldade de obter: a) b) Ao meos um 6 em quatro laçametos de um dado Ao meos um duplo 6 em 4 laçametos de um par de dados Solução A probabldade de ehum ses em quatro laçametos é 4 5 = 0, A probabldade de pelo meos ses é 5 = 0, 483 = 0,577, o que respode a letra a 6 A probabldade de ehum duplo ses em 4 laçametos de um 4 35 par de dados é = 0,5086 Logo, a probabldade de pelo meos duplo ses é = 0,5086 = 0, Exemplo 48 Mara quer evar uma carta a Verôca A probabldade de que Mara escreva a carta é de 8 A probabldade de 0 que o correo ão a perca é de 9 A probabldade de que o cartero 0 a etregue é de 9 Dado que Verôca ão recebeu a carta, qual é a 0 probabldade codcoal de que Mara ão a teha escrto? Solução Vamos usar aqu a solução um dagrama de árvore Escreve 8/0 /0 9/0 Não perde /0 9/0 Não etrega Etrega /0 Perde Não escreve Fgura 43 P(ão escreve) P(ão escreve ão recebe) = = P(ão recebe) 0 5 =

127 6 Lsta de Exercícos ) Três uras I, II e III cotêm respectvamete bola braca e pretas, bracas e preta e 3 bracas e pretas Uma ura é escolhda ao acaso e dela é retrada uma bola que é braca Qual é a probabldade codcoal de que a ura escolhda fo a II? ) Uma moeda é jogada 4 vezes Sabedo que o prmero resultado fo cara, calcular a probabldade codcoal de obter pelo meos caras 3) A probabldade de um homem ser cahoto é Qual é a probabldade de, em um grupo de 0 homes, haver pelo meos 0 um cahoto? 4) Durate o mês de agosto a probabldade de chuva em um da determado é de 4 O Flumese gaha um jogo em um 0 da com chuva com probabldade 6 e em um da sem chuva 0 com probabldade de 4 Sabedo-se que o Flumese gahou um jogo aquele da de agosto, qual a probabldade 0 de que choveu este da? 5) Num exame há três respostas para cada perguta e apeas uma delas é certa Portato, para cada perguta, um aluo tem probabldade de /3 de escolher a resposta certa se ele está advhado e se sabe a resposta Um estudate sabe 30% das respostas do exame Se ele deu a resposta correta a uma das pergutas, qual é a probabldade de que a advhou? 6) Treze cartas são escolhdas de um baralho comum de 5 cartas Seja A o eveto o ás de copas está etre as 3 cartas e B o eveto as 3 copas são do mesmo ape Provar que A e B são depedetes

128 7 7) Jogue um dado duas vezes Calcule a probabldade codcoal de obter 3 a prmera jogada, sabedo que a soma dos resultados fo 7 8) Em uma cdade, as pessoas falam a verdade com probabldade /3 Supoha que A faz uma afrmação e que D dz que C dz que B dz que A falou a verdade Qual a probabldade de A ter falado a verdade? 9) Um ura cotém 3 bolas vermelhas e 7 bracas A e B sacam alteradamete, sem reposção, bolas dessa ura até que uma bola vermelha seja retrada A saca a a bola Qual a probabldade de A sacar a bola vermelha? 0) Cosdere 4 uras, cada uma delas cotedo 0 bolas umeradas de a 0 Extra-se uma bola de cada ura Calcular a probabldade de que as 4 bolas somem 0 ) Ao respoder uma questão de um teste de múltpla escolha um estudate ou sabe a resposta ou a chuta Seja p a probabldade de que ele saba resposta e p a probabldade de que ele chute Supoha que o estudate quado chuta tem probabldade de m de acertar, ode m é o úmero de alteratvas das questões Qual é a probabldade codcoal de que o estudate saba a resposta da questão dado que ele respodeu acertadamete? ) Nós sabemos que uma determada carta é gualmete provável de estar em um de três escahos Seja a a probabldade de que ós a vamos ecotrar depos de um exame superfcal o escaho se a carta estver de fato o escaho, para =,, 3 (Podemos ter a < ) Supohamos que examemos o escaho e ão ecotremos a carta Qual é a probabldade da carta estar de fato o escaho?

129 8 Resposta dos exercícos CAPÍTULO Lsta Lsta ) a) 43 ) b) 35 ) a) + ) b) ( + ) ( + ) 3) a) = 9 3) b) = 5 4) a) x = 6 4) b) x = 4 ) a) 4 ) a) ) b) 5 6 ( ) ( ) 3) a) ) b) 359 4) a) 4) b) 5 0 ( ) ( p+ ) CAPÍTULO Lsta Lsta ) a) 7 ) 6 ) b) ) 4 x = ( 3) ) a) x = ou x = 4 ) b) x = ou x = 7 3) a) = 3 3) b) = 0 4) a) x = 4 4) b) x = 5 3) x = 9 ou x = 4) x = 6 e y = 7 Lsta 3 ) ( + ) 3) a) ) b) ( + ) ( ) 6

130 9 Lsta 3 Lsta 4 ) ( + ) 3) a) ) b) ( + ) ( ) 6 ) a) 0 ) b) 3) x 6 CAPÍTULO 3 ) 40 Lsta ) 5600 Lsta ) 700 ) ) 56 3) 3 4) 600 5) ) ) 5 8) ) 60 5) a) ) b) 567 5) c) 560 6) ) 46 8) 48 9) ) 8

131 30 Lsta 3 ) a) 50 ) b) 70 ) c) 430 ) d) 5 ) e) 70 ) f) 9360 ) g) 3080 ) a) 560 ) b) 434 ) ) 40 4) ) 960 Lsta 4 ) a) 8º 6) ) b) 467 ) c) ) d) ) ) ) CAPÍTULO 4 6) a) 46 6) b) ) c) 79 6) d) ) e) ) ) 70 9) 89 0) 880 ) 5 ) 7 8 3) 0,653 4) 7 5) 6 7) 6 8) )

132 3 Referêcas HAZZAN, S Fudametos de Matemátca Elemetar 5: Combatóra e Probabldade Atual: São Paulo, 977 NETTO, FAL Lções de Aálse Combatóra Lvrara Nobel: São Paulo, 967 MORGADO, ACO; CARVALO, JBP; CARVALHO, PCP; FERA- NANDEZ, P Aálse Combatóra e Probabldade (Coleção Professor de Matemátca) SBM: Ro de Jaero, 004 SANTOS, JPO; MELLO, MP; MURARI, ITC Itrodução à Aálse Combatóra Ed Ucamp: Campas, 995 HOEL, PG; PORT, SC ; STONE, CJ Itrodução à Teora da Probabldade Itercêca: Ro de Jaero, 978