Equações Diferenciais Matemática Aplicada

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1 Equações Diferenciais Matemática Aplicada Ana Duarte e Luís Rendas Revisto em 2004/2005

2 Conteúdo 1 Introdução Oqueéumaequaçãodiferencial Soluçõesdeumaequaçãodiferencial Interpretação geométrica de uma equação diferencial e das suassoluções Problemasdevaloresiniciais Equações de 1 a ordem para as quais existem soluções exactas Equação linear de 1 a ordem EquaçãodeBernoulli Equaçãodiferencialtotalexacta Equaçãodevariáveisseparáveis Equaçõeshomogéneas Edo s lineares de ordem n, com coeficientes constantes Resoluçãodaequaçãohomogénea Caso particular: edo s lineares de 2 a ordem com coeficientesconstantes Caso geral: edo s lineares de ordem n com coeficientes constantes Soluçãogeraldaequaçãocompleta Obtenção da solução particular da equação completa Casos em que f(x) assume formas especiais Caso geral: Método das Constantes Arbitrárias de Lagrange /Agosto/2005

3 1 Introdução A teoria das equações diferenciais constitui um dos campos mais importantes da matemática dos nossos dias, pois encontra aplicações em todos os ramos da ciência e da técnica. A história das equações diferenciais remonta ao século XVII quando Newton, Leibniz e Bernoulli resolveram algumas equações diferenciais simples surgidas em problemas de geometria e mecânica. Estas primeiras descobertas pareciam sugerir que as soluções de todas as equações diferenciais podiam ser expressas por funções elementares do cálculo. Durante o século XVIII métodos mais sistemáticos de resolução de equações diferenciais foram desenvolvidos por Euler, Lagrange e Laplace, começando a ficar claro que poucas equações diferenciais podiam ser resolvidas por métodos elementares; daí que uma das grandes preocupações passou a ser encontrar condições de existência e unicidade de soluções, 1 e deduzir propriedades da solução através da análise da própria equação diferencial (análise quantitativa). Em 1841, Liouville provou que, em certos casos, não é possível obter a solução de uma equação diferencial por métodos elementares mesmo sabendo que a solução existe e é única. Daí a importância da análise quantitativa e dos métodos numéricos em equações diferenciais. No que se segue, começaremos por introduzir a noção de equação diferencial e fixar alguma da terminologia habitualmente usada. Depois veremos como resolver algumas equações de 1 a ordem e apresentaremos as técnicas para encontrar as soluções de equações lineares de ordem n com coeficientes constantes. 1.1 O que é uma equação diferencial Definição 1 Chama-se equação diferencial aumaequaçãoemque aincógnita é uma função (variável dependente) de uma ou mais variáveis (independentes), envolvendo derivadas da variável dependente em relação a uma ou mais variáveis independentes. Exemplo 1 1. xy +2y +3xy = e x,comy = f(x) d3 x dt 3 + d2 x dt 2 5x 2 =0,comx = g(t). 1 O primeiro teorema de existência de soluções para uma equação diferencial foi estabelecido em 1820 por Cauchy. 2 1/Agosto/2005

4 3. x t + x s = x2,comx = φ(t, s) v +2 2 v +6 2 v x 2 y 2 t 2 =0,comv = ψ(x, y, t). Definição 2 Uma equação diferencial diz-se ordinária 2 se a incógnita é umafunçãodeumasóvariável.casocontrário,aequaçãodiz-secomderivadas parciais. Exemplo 2 No exemplo 1, as equações (a) e (b) são equações diferenciais ordinárias e as equações (c) e (d) são equações com derivadas parciais. Definição 3 Uma equação diferencial diz-se de ordem n se n for a derivada de maior ordem das derivadas nela envolvidas. Exemplo 3 No exemplo 1, (a) e (d) são de 2 a ordem, (b) é de 3 a ordem e (c) de 1 a ordem. Definição 4 Uma equação diferencial ordinária de ordem n diz-se linear se édaforma a 0 (x) dn y dx + a 1(x) dn 1 y n dx a n 1(x) dy n 1 dx + a n(x)y = b(x), onde a 0 (x),a 1 (x),...,a n (x) e b(x) são funções reais de variável real, sendo a 0 (x) não idênticamente nula. Exemplo 4 No exemplo 1, (a) é uma equação diferencial ordinária linear de 2 a ordem e (b) não é uma equação diferencial linear por aparecer x 2 (que é neste caso o quadrado da variável dependente, x = g(t)). Definição 5 Uma equação diferencial linear diz-se de coeficientes constantes, se os coeficientes a 0 (x), a 1 (x),..., a n (x) são funções constantes; caso contrário diz-se de coeficientes variáveis. 1.2 Soluções de uma equação diferencial Definição 6 Considere-se a equação diferencial ordinária de ordem n, onde F é uma função real de n +2 variáveis. F ( x, y, y,y,...y (n)) =0, (1) 2 É costume utilizar a abreviatura edo quando nos referimos a uma equação diferencial ordinária. 3 1/Agosto/2005

5 1. Uma função f definida num intervalo I, com derivadas de ordem n nesse intervalo, diz-se solução da equação diferencial se satisfaz as seguuintes condições: (a) F [ x, f(x),f (x),f (x),..., f (n) (x) ] estádefinidaparatodoox pertencente ao intervalo I. (b) F [ x, f(x),f (x),f (x),..., f (n) (x) ] =0, para todo o x pertencente ao intervalo I. 2. Uma relação g(x, y) =0é chamada uma solução implícita da equação diferencial se define implicitamente uma função f nalgum intervalo I, que seja solução de (1) no sentido atribuido em (a). Exemplo 5 A equação diferencial y =2xédotipo de equações mais simples que existem. Resolver esta equação consiste apenas em determinar uma função y = f(x) cuja derivada seja igual a 2x. Assim, uma família de soluções desta equação será em que C é um parâmetro real. y = x 2 + C, Exemplo 6 Afunçãof(x) =2sinx +3cosx é uma solução da equação d 2 y dx + y =0 2 em todo o IR. De facto, f (x) = 2cosx 3sinx e f (x) = 2sinx 3cosx,donde, substituindo na equação dada y por f (x) e y por f(x), obtém-se 2sinx 3cosx +2sinx +3cosx =0, x R. Exemplo 7 A relação x 2 + y 2 =25define implicitamente uma solução da equação diferencial x+y dy =0no intervalo ] 5, 5[. De facto, neste intervalo dx aquela relação define duas funções que satisfazem a equação dada. Exercício 1 Prove que: f 1 (x) = 25 x 2 e f 2 (x) = 25 x 2 4 1/Agosto/2005

6 1. f(x) = 1 1+x 2 é uma solução da equação diferencial (1 + x 2 ) d2 y dx +4xdy +2y =0 2 dx no intervalo a<x<b; 2. x 3 +3xy 2 =1define uma solução implicita da equação diferencial no intervalo 0 <x<1; 2xy dy dx + x2 + y 2 =0 3. Toda a função f(x) =2+Ce 2x2,ondeC é uma constante arbitrária, é solução da equação diferencial dy +4xy =8x. dx 1.3 Interpretação geométrica de uma equação diferencial e das suas soluções A equação diferencial ordinária de 1 a ordem y = f(x, y) (2) pode ser interpretada geometricamente como definindo um declive f(x, y) em cada ponto (x, y) no qual f está definida. Supondo que (2) admite uma família de soluções y = F (x, C), em que C é uma constante real, esta igualdade corresponde, geometricamente, a uma família de curvas no plano XOY, cujos declives em cada ponto são dados pela equação (2). Estas curvas são designadas habitualmente por curvas integrais da equação (2). Exemplo 8 Consideremos de novo a equação diferencial y = 2x. Esta equação pode ser interpretada como definindo, em cada ponto (x, y), o declive dos gráficos de y = x 2 + C, em que C é uma constante arbitrária. Estas funções são representadas geometricamente por uma família de parábolas, as quais são as curvas integrais da equação diferencial dada (ver figura 1). Exercício 2 Construa as curvas integrais da equação y =1+y /Agosto/2005

7 10 Y X Figura 1: Exemplo de curvas integrais. 1.4 Problemas de valores iniciais A equação diferencial y +4xy =8x admite uma família de soluções y =2+Ce 2x2 (3) em que C uma constante arbitrária.o problema que consiste em determinar afunçãoy(x) tal que { dy +4xy =8x dx, (4) y(0) = 3 diz-se um problema de valores iniciais (ou de condições iniciais). Neste caso tem-se que a função y =2+e 2x2 é solução do problema (4) visto que, fazendo x =0e y =3em (3), vem C =1. Definição 7 Considere-se a equação diferencial de 1 a ordem y = f(x, y), (5) onde f é uma função definida num rectângulo aberto D IR 2 eseja(x 0,y 0 ) D. Oproblema de valores iniciais associado a (5) consiste em determinar uma solução y(x) desta equação (definida num intervalo real que contenha x 0 ) que satisfaça y(x 0 )=y 0. Geralmente este problema escreve-se de forma abreviadadoseguintemodo: { dy = f(x, y) dx. (6) y(x 0 )=y 0 6 1/Agosto/2005

8 De notar que, geometricamente, o problema de valores iniciais consiste na determinação da curva integral da equação que passa pelo ponto (x 0,y 0 ). A questão que naturalmente se coloca é a de saber se,dado um problema de valores iniciais, existe solução e se esta é única. O teorema seguinte, que apresentaremos sem demonstração, estabelece as condições que garantem a existência e a unicidade da solução de um problema de valores iniciais. Teorema 1 (Existência e Unicidade) Considere-se o problema de valores inicias (6) e suponha-se que a função f(x, y) satisfaz as seguintes condições: 1. f é contínua num aberto D IR 2 ; 2. f y contínua em D. Então, para todo o (x 0,y 0 ) D, existe uma única solução y = y(x) da equação diferencial num intervalo [x 0 h, x 0 + h], comh>0, satisfazendo y(x 0 )=y 0. Exemplo 9 Considere-se o seguinte problema de valores iniciais { y +4xy =8x y(0) = 3. Como f(x, y) =8x 4xy tem-se que f(x, y) e f =4x são funções contínuas y em IR 2. Então, existe uma única solução y = y(x) tal que y (0) = 3, definida em [ h, h], comh>0. Como vimos anteriormente, a solução do problema nas condições indicadas é a função y =2+e 2x2, que se encontra definida em IR. 2 Equações de 1 a ordem para as quais existem soluções exactas 2.1 Equação linear de 1 a ordem Definição 8 Uma equação diferencial de 1 a ordem diz-se linear se pode ser escritanaforma dy + A(x)y = B(x) dx em que A e B são funções contínuas num intervalo I. SeB (x) =0em I a equação diz-se homogénea. 7 1/Agosto/2005

9 A expressão anterior diz-se forma canónica de uma edo linear de 1 a ordem. Teorema 2 Sejam A(x) e B(x) funções contínuas num intervalo real I. Então, uma família de soluções da equação y + A(x)y = B(x) édadapor: y = e P [A(x)] { P [ e P [A(x)] B(x) ] + C }, onde C é uma constante arbitrária e P designa primitiva. Dem. Consideremos a equação diferencial y + A(x)y = B(x). Multiplicando ambos os membros por e P [A(x)],obtém-se P [A(x)] dy e dx + A(x)eP [A(x)] y = e P [A(x)] B(x). (7) O primeiro membro é a derivada de e P [A(x)] y. Assim, (7) escreve-se na forma ( e P [A(x)].y ) = e P [A(x)] B(x) donde, primitivando ambos os membros, sai que e P [A(x)] y = P [ e P [A(x)] B(x) ] + C, em que C é uma constante arbitrária. Finalmente, multiplicando ambos os membros desta última igualdade por e P [A(x)], vem como se queria. y = e P [A(x)]. { P [ e P [A(x)] B(x) ] + C }, Exemplo 10 Resolver a equação diferencial dy +2xy. dx =2xe x2 Estamosnapresençadumaequaçãodiferenciallinearde1 a ordem, em que A(x) =2x e B(x) =2xe x2. Logo, pelo teorema anterior, y = e P (2x) {P [ e P (2x) 2xe x2] } + C = e x2. [P (2x)+C] =e x2 (x 2 + C). = e x2 [ P ( e x2 2xe x2) ] + C Exercício 3 Resolver [ o problema de valores iniciais ] y +2xy = e x2 sec 4 x, tal que y(0) = 1. R : y(x) =e x2 (tgx tg3 x +1). Exercício 4 Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: 1. dy dx + y x =2x cos x. [ R : y(x) =2x sin x +4cosx 4 x sin x + C x ]. 8 1/Agosto/2005

10 2. (1 + x)y + y =0. [ R : y(x) = C 1+x]. Exercício 5 Admitindo que o declive de uma curva em qualquer ponto (x, y) é 2x+3y, determine a equação da curva supondo que passa pelo ponto ( 0, 1 3). [ R : y(x) = 5 9 e3x 2 3 x 2 9]. Exercício 6 A taxa de crescimento radioactivo de uma substância é proporcional à massa existente. Supondo que metade da massa se desintegrou ao fim de 1500 anos, determine: 1. que percentagem de massa original restará ao fim de 4500 anos? [R :12, 5%]. 2. ao fim de quantos anos restará 1 da massa original? [ ln 10 R : ]. 10 ln Equação de Bernoulli Definição 9 Chama-se equação de Bernoulli 3 aumaequaçãodaforma dy dx + A(x)y = B(x) ya, em que A e B são funções contínuas num intervalo real I e a éumaconstante real. Teorema 3 Seja a 0e a 1. A mudança de variável v = y 1 a transforma a equação de Bernoulli numa equação linear de 1 a ordem em v. Dem. Multiplicando ambos os membros da equação por y a,obtém-se a dy y dx + A(x) y1 a = B(x). (8) Por outro lado, da mudança de variável v = y 1 a sai que dv dx dy dy =(1 a)y a y a dx dx = 1 1 a dv dx. 3 Porque a sua resolução foi proposta por Jakob Bernoulli ( ), matemático suiço, professor em Basileia, conhecido pelas suas contribuições para as teorias da elasticidade e das probabilidades. O método para resolver a equação de Bernoulli foi descoberto por Leibniz em Entre os discípulos Jakob Bernoulli contavam-se o seu sobrinho Niklaus Bernoulli ( ), conhecido pelos seus contributos para as teorias das probabilidades e das séries, e o seu irmão mais novo Johann Bernoulli ( ), que teve uma influência profunda no desenvolvimento da análise matemática. O filho deste último, Daniel Bernoulli ( ), é conhecido pelos seus trabalhos na teoria cinética dos gases. 9 1/Agosto/2005

11 Substituindo esta última expressão em (8) obtém-se 1 dv dv + A(x)v = B(x) +(1 a)a(x) v =(1 a)b(x), 1 a dx dx ou seja, a equação de Bernoulli foi transformada numa equação linear de 1 a ordem. Observação 1 De notar que, se a =0ou a =1, a equação de Bernoulli é uma equação linear de 1 a ordem. Exemplo 11 Resolver a equação diferencial (1 + x 2 ) dy dx + xy = x3 y 3. Dividindo ambos os membros por 1+x 2, vem dy dx + x 1+x y = x3 2 1+x 2 y3. Trata-se, assim, de uma equação de Bernoulli em que a =3. Multiplicando ambososmembrospory 3 obtém-se 3 dy y dx + x 1+x 2 y 2 = x3 1+x 2 e, fazendo y 2 = v, vem 1 dv 2 dx + x 1+x v = x3 2 1+x, 2 ou seja, dv dx 2x 1+x v = 2x3 2 1+x, 2 atendendo a que v = 2y 3 y. Consequentemente, está-se em presença de uma equação linear de 1 a ordem, ficando a sua resolução ao cuidado do leitor. Exercício 7 Resolver as seguintes equações diferenciais: 1. y cos x + y sen x = y 3. [ R: y (x) = 1 ] (2 sin x + C) e y (x) =0). cos 2 x dx 2. = ax dt bx2. [ R : x (t) =a/(cae at + b),x(t) =0se a 0.Se a =0,x(t) = 1 ]. bt + C 10 1/Agosto/2005

12 2.3 Equação diferencial total exacta Definição 10 A expressão M(x, y)dx + N(x, y)dy é chamada uma forma diferencial total exacta num aberto D IR 2 se existe uma função, F (x, y), tal que o diferencial df (x, y) é igual à expressão dada em todos os pontos de D, istoé, df (x, y) = F F dx + dy = M(x, y)dx + N(x, y)dy x y em que, evidentemente, F x = M(x, y) e F y = N(x, y). Definição 11 Uma equação diferencial da forma y M (x, y) = N (x, y) em que M e N são funções contínuas com derivadas parciais num aberto D IR 2, N 0tal que a forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy é exacta, diz-se uma equação diferencial total exacta ou simplesmente equação total exacta. Exemplo 12 A equação y 2 dx +2xydy =0é uma equação diferencial total exacta pois y 2 dx +2xydy é uma forma diferencial total exacta. Com efeito, se considerarmos F (x, y) =xy 2 temos F = x y2 e f =2xy e, portanto, y Teorema 4 Considere-se a equação df (x, y) =y 2 dx +2xydy. M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 (9) onde M(x, y) e N(x, y) são funções de classe C 1 num rectângulo D =]a, b[ ]c, d[ IR 2. É condição necessária e suficiente para que a equação (9) seja total exacta que M(x, y) y = N(x, y), (x, y) D. (10) x 11 1/Agosto/2005

13 Dem. Comecemos por provar a condição necessária, isto é, se (9) é total exacta, então (10) é válida. Com efeito, se (9) é total exacta, existe uma função F (x, y) definida em D tal que Consequentemente, e F(x, y) x M(x, y) y N(x, y) x = M(x, y) e = y = x F(x, y) y ( ) F(x, y) x ( ) F(x, y) y = N(x, y). = 2 F (x, y) y x (11) = 2 F (x, y). (12) x y Como as derivadas parciais de M e N são contínuas em D, pelo teorema de Schwarz, verifica-se que 2 F (x, y) y x e, portanto, de (11) e (12) sai que M(x, y) y = 2 F (x, y), (x, y) D, x y = N(x, y), (x, y) D. x Provemos agora a condição suficiente isto é, que (10) implica que (9) é total exacta. Pretende-se então determinar uma função F (x, y) definida em D tal que { F(x,y) = M(x, y) x F(x,y), (x, y) D. (13) = N(x, y) y Da primeira equação de (13) conclui-se que F (x, y) deve satisfazer F (x, y) =P x M(x, y)+φ(y) (14) em que P x designa a primitiva em ordem a x e φ é uma qualquer função de y. Então, para que a segunda equação de (13) se verifique é obrigatório que se tenha y [P xm(x, y)+φ(y)] = N(x, y), ou seja, φ (y) =N(x, y) y [P xm(x, y)]. (15) 12 1/Agosto/2005

14 Vejamos que φ (y) é uma função apenas da variável y, para o que basta verificar que a sua derivada parcial em ordem a x énula.defacto, [ N(x, y) ] x y (P N(x, y) xm(x, y)) = 2 x x y (P xm(x, y)) M(x, y) N(x, y) = =0, y x porque, por hipótese, M(x,y) = N(x,y), (x, y) D. y x Então, como φ (y) em é apenas função de y, obtemos por primitivação de (15) em ordem a y, φ(y) =P y [N(x, y) ] y (P xm(x, y)) + C em que C é uma constante real arbitrária. Substituindo esta expressão em (14) obtém-se F (x, y) =P x M(x, y)+p y [N(x, y) ] y (P xm(x, y)) + C oqueprovaqueaequação(9)étotalexactapoisf (x, y) foi construída de modo a verificar (13). Teorema 5 Considere-se a equação M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 (16) onde M(x, y) e N(x, y) são funções de classe C 1 num rectângulo D =]a, b[ ]c, d[ R 2. Então, se F (x, y) é uma função satisfazendo F(x, y) x = M(x, y) e F(x, y) y = N(x, y), (17) uma familia de soluções de (16) é dada por F (x, y) =C, onde C é uma constante arbitrária. Dem. Como a equação (16) é total exacta, existe F (x, y) tal que df (x, y) =M(x, y)dx + N(x, y)dy =0, isto é, df (x, y) =0, ou seja, F (x, y) =C, (x, y) D. 13 1/Agosto/2005

15 Exemplo 13 Resolver a equação diferencial (y 3 +2xy)dx +(x 2 +3xy 2 )dy =0 (18) Sejam M(x, y) =y 3 +2xy e N(x, y) =x 2 +3xy 2. Como M(x,y) = N(x,y),a y x equação diferencial é total exacta, (x, y) IR 2. Procuramos então F (x, y) tal que { F(x,y) = y 3 +2xy x F(x,y) = x 2 +3xy 2. y Da primeira igualdade sai que F (x, y) =P x (y 3 +2xy)+φ(y) =y 3 x + x 2 y + φ(y). Derivando em ordem a y vem F(x,y) F(x,y) y = x 2 +3xy 2,vem y =3y 2 x + x 2 + φ (y) e, atendendo a que 3y 2 x + x 2 + φ (y) =x 2 +3xy 2 φ (y) =0 φ(y) =D, onde D é uma constante arbitrária. Finalmente, substituindo φ(y) em F (x, y), obtém-se F (x, y) =y 3 x + x 2 y + D. Então y 3 x+x 2 y+d = E (E é uma constante arbitrária), ou seja, y 3 x+x 2 y = C (em que C = E D) é uma família de soluções de (18). Exercício 8 Determinar as famílias de soluções de cada uma das seguintes equações diferenciais: 1. sin θ cos φdθ +sinφcos θdφ =0. [R :cosφcos θ = C]. [ 2. (x 2 + y) dx +(x 2y) dy =0. R : x3 3 + xy y2 = C ]. [ 3. (y 3 x) dy R : ]. y4 dx 4 4. (x y 2 x) dx +(y x 2 y) dy =0. [R :(1 x 2 )(1 y 2 )=C]. 2.4 Equação de variáveis separáveis Definição 12 Uma equação da forma dy = A (x) B (y), (19) dx com A e B funções contínuas, diz-se uma equação de variáveis separáveis. 14 1/Agosto/2005

16 Se y 0 é um zero da função B então a recta y = y 0 é uma solução particular de 19. Com efeito, dy 0 dx =0e A (x) B (y 0)=0. Se B (y) 0,então Ora a equação diferencial dy 1 = A (x) B (y) A (x) dx + dy =0. dx B (y) A (x) dx + 1 dy =0 (20) B (y) é total exacta pois [ ] 1 [ A (x)] = =0. y x B (y) Para obter a família de soluções de (20) determina-se uma função U(x, y) tal que { U = A (x) x. (21) U = 1 y B(y) Da primeira igualdade de (21) segue-se imediatamente que U(x, y) =P x ( A (x)) + τ(y). (22) Então, U = τ (y) e combinando esta igualdade com a segunda igualdade de y (21) conclui-se que τ (y) = 1 ( ) 1 B (y) τ(y) =P y. B (y) Consequentemente, atendendo a (22), tem-se ( ) 1 U(x, y) =P x ( A (x)) + P y. B (y) donde, a solução geral da equação (20) é dada por U(x, y) =C. Exemplo 14 Resolver a equação dy dx = (x 4) x 3 y 4 (y 2 3). (23) 15 1/Agosto/2005

17 Trata-se, evidentemente de uma equação de variáveis separáveis. Supondo y 0,obtém-se x 4 dx y2 3 dy =0 (x 2 4x 3 )dx +( y 2 +3y 4 )dy =0. x 3 y 4 Então, a família de soluções desta última equação é em que U(x, y) =C, (24) U(x, y) = P x (x 2 4x 3 )+P y ( y 2 +3y 4 ) = 1 x + 2 x y 1 x 3. Como y =0anula B (y) = y4 afunçãoy =0é uma solução particular do (y 2 3) problema que não é membro da família de soluções (24). é solução de (23) como se comprova facilmente se escrevermos esta equação na forma dy (x 4)y4 = dx x 3 (y 2 3). Tem-se, assim, que esta solução foi perdida no processo de separação das variáveis. Exercício 9 Resolver as seguintes equações diferenciais: [ 1. y = e 2x+y. R : e y ]. e2x = C 2 2. (1 + y 2 ) dx +(1+x 2 ) dy =0. [R : arctg x + arctg y = C]. 3. (y 2)dx + x 2 dy =0. [ R :ln y 2 1 x = C e y =2]. 4. (1 + x 2 )dy 1 y 2 dx =0. [R : arcsin y arctg x = C e y = ±1]. 2.5 Equações homogéneas Definição 13 Uma equação diferencial ordinária de 1 a ordem diz-se homogénea se pode ser escrita na forma dy ( y ) dx = g, (25) x em que g (t) é uma função contínua num intervalo I. 16 1/Agosto/2005

18 De referir que a função g ( y x) é homogénea 4 de grau zero nas variáveis x e y. Teorema 6 A mudança de variável, y = vx, transforma a equação homogénea de 1 a ordem numa equação com variáveis separáveis. Dem. Sendo y = vx, tem-se y = xv + v e v = y. Substituindo na x equação (25), obtém-se x dv 1 + v = g(v) xdv +(v g(v)) = 0 dx dx v g(v) dv 1 dx =0, x que é uma equação com variáveis separáveis, cuja família de soluções é ( ) ( ) 1 1 P v + P x = C. v g(v) x Exemplo 15 Resolver a equação Resolvendo a equação em ordem a dy dx,obtemos (x + y)dx +(x y)dy =0. (26) dy dx = x + y y x dy dx = 1+ y x y 1. x O último membro da 2 a equação é da forma dy = g ( y dx x), logo (26) é homogénea. Fazendo a mudança de variável y = vx obtém-se, atendendo a que y = xv + v, x dv dx + v = 1+v v 1 xdv dx = 1+v v 1 v xdv dx = v2 2v 1, 1 v que é uma equação de variáveis separáveis, cuja resolução fica ao cuidado do leitor. Exercício 10 Resolver as seguintes equações diferenciais: [ 1. (2xy +3y 2 )dx (2xy + x 2 )dy =0. R : = C 2. (x tg y x + y)dx xdy =0. [ R :sen y x = Cx]. y x 2 + y2 x 3 4 Uma função g diz-se homogénea de grau n na variável x se g (λx) =λ n g (x). ]. 17 1/Agosto/2005

19 3 Edo s lineares de ordem n, com coeficientes constantes Nesta secção apresentaremos somente os aspectos práticos essenciais para as aplicações, relativos à resolução de equações lineares de ordem n com coeficientes constantes. Para um tratamento pormenorizado deste tema, o leitor pode consultar, por exemplo, [1], [4] ou [6]. Consideremos a equação a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y = f(x) (27) em que a 0,a 1,..., a n são constantes reais. A equação a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y =0 (28) é chamada a equação homogénea associada à equação (27). Considerando o operador de derivação D que a cada função y faz corresponder a sua derivada y,istoé,talquedy = y,aequação(27)pode escrever-se na forma a 0 D n y + a 1 D n 1 y a n 1 Dy + a n D 0 y = f(x), (29) em que D n,d n 1, D, D 0 têm o seguinte significado: D 0 y = y, Dy = y,...,d n y = y (n). Assim, de (29), segue-se que (27) pode representar-se por (a 0 D n + a 1 D n a n 1 D + a n )y = f(x) ou, equivalentemente, por onde P (D) éopolinómio P (D)y = f(x), P (D) =a 0 D n + a 1 D n a n 1 D + a n. P (D) é designado por polinómio característico da equação (28). A razão da consideração deste polinómio deve-se a que a solução geral (isto é, a família de soluções) de (28) pode ser obtida a partir do conhecimento dos zeros de P (D); encontrada a solução geral de (28), ela possibilita, como veremos, a obtenção da solução geral de (27). Vamos então começar por ver como se resolve a equação homogénea (28), a qual se pode agora escrever na forma P (D)y = /Agosto/2005

20 3.1 Resolução da equação homogénea Caso particular: edo s lineares de 2 a ordem com coeficientes constantes Consideremos a equação ay + by + cy =0 (30) a que corresponde o polinómio característico P (D) =ad 2 + bd + c. Então, três situações distintas podem colocar-se: 1 a Situação P (D) tem 2 zeros reais e distintos, r 1 e r 2. Então, a solução geral de (30) é dada por y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Exemplo 16 Seja a equação y y 6y =0. Como P (D) =D 2 D 6 e D 2 D 6=0 D =3 D = 2 tem-se que a solução geral da equação dada é y = C 1 e 3x + C 2 e 2x, onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. 2 a Situação P (D) tem 1 zero real r de multiplicidade 2. Então, a solução geral de (30) é dada por y = e rx (C 1 x + C 2 ), onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Exemplo 17 Seja y 6y +9y =0. Como P (D) =D 2 6D +9e D 2 6D +9=0 (D 3) 2 =0 D =3, com mult. 2, tem-se que a solução geral da equação dada é y = e 3x (C 1 x + C 2 ), onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. 19 1/Agosto/2005

21 3 a Situação P (D) tem 2 zeros complexos conjugados, α ± βi. Então, a solução geral de (30) é dada por y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sen βx), onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. Exemplo 18 Seja y y + y =0. Como P (D) =D 2 D +1e D 2 D +1=0 D = ± i 2, tem-se que a solução geral da equação dada é ) y = e (C x 1 cos 2 x + C 2 sen 2 x onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias Caso geral: edo s lineares de ordem n com coeficientes constantes Consideremos a equação a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y =0 (31) que tem como polinómio característico P (D) =a 0 D n + a 1 D n a n 1 D + a n. Diferentes situações podem colocar-se relativamente às raízes deste polinómio: 1 a Situação P (D) tem n zeros reais e distintos, r 1,r 2,..., r n. Então, a solução geral de (31) é dada por y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x C n e r nx, onde C 1,C 2,...,C n são constantes arbitrárias. 20 1/Agosto/2005

22 Exemplo 19 A equação diferencial y 7y +6y =0tem como polinómio característico P (D) =D 3 7D +6. Ora P(D) =(D 1)(D 2)(D +3), admitindo, portanto, os zeros 1, 2 e 3 todos reais e distintos. A solução geral da equação dada será então y = C 1 e x + C 2 e 2x + C 3 e 3x, onde C 1,C 2,...,C n são constantes arbitrárias. 2 a Situação P (D) tem m zeros reais e múltiplos, r 1,r 2,...r m (m<n) de multiplicidade k 1,k 2,...,k m, respectivamente. Então a solução geral de (31) é dada por y = e r 1x P k1 1(x)+e r 2x P k2 1(x)+ + e r mx P km 1(x) onde P ki 1(x), i =1,..., m, é um polinómio de grau k i 1 com coeficientes arbitrários. Exemplo 20 Supondo que o polinómio característico de uma equação diferencial é P (D) =(D +3)(D 2) 2, os seus zeros são 2 e 3 de multiplicidade 2 e 1, respectivamente. A solução geral da equação será então y = C 1 e 3x + C 2 e 2x + C 3 xe 2x, onde C 1,C 2 e C 3 são constantes arbitrárias. 3 a Situação P (D) admite zeros complexos. Suponhamos que P (D) admite o zero α + βi com multiplicidade k. Então P (D) admite também o zero α βi com a mesma multiplicidade. A parte da solução geral correspondente a estes zeros α ± βi deve conter 2k constantes arbitrárias e é dada por e αx (P k 1 (x)cosβx + Q k 1 (x)senβx), onde P k 1 (x) e Q k 1 (x) são polinómios de grau k 1 com coeficientes arbitrários. Exemplo 21 Considere-se a equação y 2y +4y 8y =0. O respectivo polinómio característico P (D) =D 3 2D 2 +4D 8 admite como zeros 2, 2i e 2i, todos de multiplicidade 1. Então, a solução geral é y = C 1 e 2x + C 2 cos 2x + C 3 sen 2x, onde C 1,C 2 e C 3 são constantes arbitrárias. 21 1/Agosto/2005

23 3.2 Solução geral da equação completa Até agora referimos apenas a forma de obter as soluções gerais de equações diferenciais lineares homogéneas. Vamos seguidamente relacionar as soluções da equação homogénea (28) com as soluções da equação completa (27). Teorema 7 A solução geral de uma equação diferencial linear completa, y, é dada pela soma da solução geral da equação homogénea associada, y sgh, com uma solução particular da equação completa, y spc,istoé, y = y sgh + y spc. Dem. Uma vez que y spc satisfaz (27), tem-se que P (D)y spc = f(x). (32) Sendo y uma qualquer solução de (27) é igualmente válido que Subtraindo (33) de (32) obtém-se P (D)y = f(x). (33) P (D)(y spc y) =0, oquemostraquey spc y é uma solução da equação homogénea associada (28). Consequentemente, como y é qualquer, conclui-se que y spc y = y sgh, ou seja, y = y sgh + y spc, como se queria. Em seguida serão apresentados alguns métodos para determinar uma solução particular da equação completa (27). 3.3 Obtenção da solução particular da equação completa Casos em que f(x) assume formas especiais 1 o Caso f(x) =e αx Q n (x), em que Q n (x) é um polinómio de grau n. Neste caso uma solução particular de (27) é dada por y spc = { e αx R n (x), se α não é zero de P (D) x k e αx R n (x), se α ézerodep(d) de multiplicidade k, em que R n (x) designa um polinómio de grau n, de coeficientes arbitrários. 22 1/Agosto/2005

24 Exemplo 22 Determinar a solução geral da equação y 3y +2y = e x. O polinómio característico P (D) =D 2 3D +2tem como zeros D =1e D =2.Logo y sgh = C 1 e x + C 2 e 2x. Como f(x) =e x, tem-se que α =1donde, y spc = xae x, atendendo a que 1 é zero do polinómio característico de multiplicidade k =1. Para determinar a constante A, basta substituir y spc,y spc e y spc na equação diferencial dada, obtendo-se então, (2 + x)ae x 3(1 + x)ae x +2xAe x = e x A = 1. Assim, y spc = xe x, donde a solução geral da equação dada é y = C 1 e x + C 2 e 2x xe x, onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias. 2 o caso f(x) =e αx [Q n (x)cosβx + R m (x)senβx],em que Q n (x) e R m (x) são polinómios de graus m e n, respectivamente. Neste caso uma solução particular de (27) é dada por y spc = e αx [S N (x)cosβx + T N (x)senβx], x k e αx [S N (x)cosβx + T N (x)senβx], se α ± βi não é zero de P (D) se α ± βi é zero de P (D) de multiplicidade k, em que S N (x) e T N (x) são polinómios de grau N, com N =max{n, m}. Exemplo 23 Resolver a equação y 2y +10y =cos3x. O polinómio característico terá como zeros D =1± 3i. Logo y sgh = e x (C 1 cos 3x + C 2 sen 3x). Sendo f(x) =cos3x, tem-seα =0,β=3, Q n (x) =1e R m (x) =0. Como 1 ± 3i não são zeros do polinómio característico, a solução particular será dada por y spc = A cos 3x + B sen 3x. Calculando y spc e y spc e substituindo na equação dada, obtém-se A = 1 e 37 B = 6. Consequentemente a solução geral da equação dada é 37 y = e x (C 1 cos 3x + C 2 sen 3x) cos 3x 6 sen 3x /Agosto/2005

25 3.3.2 Caso geral: Método das Constantes Arbitrárias de Lagrange Vamos agora apresentar um método que permite determinar a solução geral da equação diferencial linear completa (27), qualquer que seja o tipo de função f(x) do segundo membro. Suponha-se que a solução geral da equação homogénea (28) é y = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x) C n y n (x) em que C 1,C 2,...,C n, são constantes arbitrárias. O método consiste em considerar estas constantes como funções de x edeterminarc 1 (x),c 2 (x),..., C n (x) de modo que y = C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x) C n (x)y n (x) seja solução da equação completa. Demonstra-sequeasderivadasC 1(x),C 2(x),..., C n(x), devem satisfazer o seguinte sistema de n equações a n incógnitas,queésemprepossívele determinado: C 1(x)y 1 (x)+c 2(x)y 2 (x) C n(x)y n (x) =0 C 1(x)y 1(x)+C 2(x)y 2(x) C n(x)y n(x) =0... C 1(x)y (n 2) 1 (x)+c 2(x)y (n 2) 2 (x) C n(x)y (n 2) n (x) =0 C 1(x)y (n 1) 1 (x)+c 2(x)y (n 1) 2 (x) C n(x)y n (n 1) (x) = f(x) a 0 Exemplo 24 Resolver a equação y 5y +6y = e x. A solução geral da equação homogénea é y = C 1 e 2x + C 2 e 3x. Vamos procurar C 1 (x) e C 2 (x) de modo que y = C 1 (x)e 2x + C 2 (x)e 3x (34) seja solução da equação dada. Com efeito, as derivadas C 1(x) e C 2(x) devem satisfazer { C 1 (x)e 2x + C 2(x)e 3x =0 2C 1(x)e 2x +3C 2(x)e 3x = e x. Resolvendo este sistema e primitivando C 1(x) e C 2(x) obtém-se { C1 (x) =e x + k 1 C 2 (x) = 1. 2 e x + k /Agosto/2005

26 Substituindo estas expressões em (34) tem-se, finalmente, a solução geral da equação dada, y = k 1 e 2x + k 2 e 3x + e x 1 2 ex. Exercício 11 Resolver as seguintes equações diferenciais: 1. y 2y +2y =0. [R : y(x) =e x (A cos x + B sin x)]. [ ] 2. 2y +3y =0, y(0) = 1 e y (0) = 1. R : y = 2 3 e 3x Exercício 12 Determinar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: ] 1. 3y +4y + y = e x. [R : y = Ae x + Be 1 3 x x2 e x. 2. y 7y +15y 9y = x 2. [ R : y = Ae x + Be 3x + Cxe 3x + ( 1 9 x x 4 9)]. Exercício 13 Sabendo que as funções e x e e x +sinx são soluções da equação diferencial y (4) 3y 4y = 6e x, determinar a sua solução geral. Qual a ordem mínima que uma equação diferencial linear de coeficientes constantes pode ter para que as funções anteriores sejam duas soluções? Porquê? [R : y = Ae 2x + Be 2x + C sin x + D cos x + e x ]. Exercício 14 Considere-se a equação diferencial linear de coeficientes constantes y + ay + by =0e suponha-se que e x cos 2x é uma solução. Determinar a e b e indicar a solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 2 e y (0) = 1. [ R : y = 3 2 ex sin 2x +2e x cos 2x ]. Exercício 15 Formar a equação diferencial de segunda ordem completa que admite como polinómio característico (D 3) 2 e como solução particular (3x +1)e x. Determinar a solução que satisfaz as condições y(0) = 1 e y (0) = 2. [R : y = 6xe 3x +(3x +1)e x ]. 25 1/Agosto/2005

27 Referências [1] Apostol, T., Calculus, Vols. 1 e 2, Reverté, [2] Demidovitch, B., Problemas e exercícios de análise matemática, MIR, [3] Goode, S., An introduction to differential equations and linear algebra, Prentice-Hall, Inc.,1991. [4] Piskounov, N., Cálculo diferencial e integral, Vol. 2, Edições Lopes da Silva, [5] Ray Wile, C. e Barret, L. C., Advanced Engineering Mathematics, McGraw-Hill, [6] Sarrico, C., Análise Matemática, leituras e exercícios, Gradiva, [7] Segurado, M. A., Biomatemática, Vol II, Plátano Editora, /Agosto/2005

28 Exercícios propostos Noções básicas (c constante) são so- 1. Verifique que as funções da forma φ (x) = 1 luções da equação y = y 2 em intervalos que não contenham c. x+c 2. Sabe-se que o modelo de crescimento populacional é dado pela equação diferencial y = y. Prove que y = ce x é solução desse modelo. 3. Prove que: (a) y = x 2 é solução da equação xy =2y x IR. (b) y = e x + ax 2 + bx+ c (a, b, c constantes) é solução da equação 4. Mostre que: y = e x (a) x 2 +y 2 =1(y>0) define implicitamente uma solução da equação diferencial x + yy =0. (b) x 2 y 2 = 1 define implicitamente uma solução de uma certa equação diferencial. 5. Construa as curvas integrais da equação y =cosx. 6. Verifique se x 4 + y 4 = C define implicitamente uma família de soluções da equação diferencial x 3 + y 3 y =0. Determine a constante C de forma a que a condição inicial y(0) = 1 seja satisfeita. 27 1/Agosto/2005

29 Equações diferenciais lineares de 1 a ordem 1. Determine a solução geral das seguintes equações: (a) y +2y = e x ; (b) xy 2y = x 3 cos x; (c) y +2xy = e x2 ; (d) y + xe x y = e (1 x)ex. 2. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais: (a) x 2 + xy = y y(1) = 0; (b) y + y cos x =cosx y(0) = Suponha que desliga o aquecimento da sua casa todas noites 2 horas antesdesedeitar(t =0). Admita igualmente que a temperatura T,da casa nesse instante, é 66 F e que quando se deita esta já desceu para 63 F. Qual a temperatura esperada de manhã quando acorda, ao fim de 8 horas de sono, sabendo que a temperatura do ambiente exterior é 32 F e se manteve constante? Note que a taxa de variação da diferença de temperatura entre o quarto e o ambiente exterior é proporcional a esta diferença. 4. Admitindo que o declive de uma curva em qualquer ponto (x, y) é 2x ( +3y. Determine a equação da curva, supondo que passa pelo ponto 0, 1 3). 5. Um trabalhador experimentado consegue produzir um máximo de 30 peças por dia, numa determinada fábrica. A taxa de crescimento do número de peças y produzidas por um novo trabalhador ao fim de t dias éproporcionala(30 y). Determine o número de unidades produzidas pelo novo trabalhador em função de t. 6. Admita que a taxa de crescimento de uma população relativamente ao tempo é proporcional à dimensão dessa população. Sabendo que em 1987 existiam, num certo país, 10 milhões de habitantes e em 2000, 11 milhões, determine a lei de crescimento da população e o número de habitantes que existirão no ano Discuta a validade desta lei de crescimento. 28 1/Agosto/2005

30 7. Suponha que a taxa de crescimento de uma população relativamente ao tempo é proporcional à dimensão dessa população. Admita, no entanto a existência uma taxa temporal C de migração, suposta constante. (a) Determine a solução geral do problema anterior; (b) Supondo que a população em 1969 e 1979 tinha respectivamente 1 milhão e 2 milhões de habitantes, determine o número de habitantes que deverão existir em 2003, admitindo que emigram do país habitantes anualmente. 8. A velocidade v de queda livre de um paraquedista de massa m em queda livre satisfaz a seguinte equação diferencial m dv + cv = mg dt em que g representa a aceleração da gravidade e c>0 a resistência do ar. Admite-se g e c constantes e a utilização de unidades SI. Soluções (a) Determine a solução geral do problema anterior; (b) Qual a velocidade terminal de queda do paraquedista? (c) Suponha que o paraquedista no instante inicial de queda se encontra à velocidade mg. Qual será a sua velocidade passados 2 c segundos? (d) Supondo que c =700 Ns e v m 0 =0represente graficamente a velocidade de queda do paraquedista. Qual a velocidade de queda ao fim de 10 segundos. 1a) y = e x + Ce 2x ;1b)y = x 2 sin x + Cx 2 ;1c)y =(x + C) e x2 ;1d) y = e (1 x)ex (x + C); 2a)y = x x 2 ;2b)y =1;3)T 53, 46 F ; T = e 0.046t ;4)y = 2 3 x e3x ;5)y =30 Ce kt ; EquaçãodeBernoulli Resolva as seguintes equações diferenciais: 1. y + 2xy =2y 2 e x2 ; 2. y y = 1 3 (1 2x) y4 ; 3. y 2ye x =2 ye x ; 4. y y cos x = y 2 cos x. 29 1/Agosto/2005

31 Soluções 1) y = 1 e x2 (C 2x) ;2)y = 1 3 Ce x 2x 1 ;3) y +1=Ce ex ;4) y +1=Ce ex ; Equação diferencial total exacta Resolva as seguintes equações diferenciais: 1. (x 3 + xy 2 ) dx +(x 2 y + y 3 ) dy =0; 2. x (2x 2 + y 2 )+y(x 2 +2y 2 ) y =0; ( ) 3. 2x + x2 +y 2 dx = x2 +y 2 dy; x 2 y xy 2 ( ) ( ) sin 2x 4. + x dx + y sin2 x dy =0. y y 2 Soluções 1) x 4 +2x 2 y 2 + y 4 = C; 2)x 4 + x 2 y 2 + y 4 = C; 3)x 3 y + x 2 y 2 = Cxy; 4) sin 2 x + x2 +y 2 = C. y 2 Equação de variáveis separáveis Resolva as seguintes equações separáveis: 1. yy +25x =0; 2. y = xy ; 2 3. (1 + y 2 ) dx +(1+x 2 ) dy =0; 4. e y (1 + x 2 ) dy 2x (1 + e y ) dx =0; 5. 2x 1 y 2 = y (1 + x 2 ). Soluções 1) 25x 2 + y 2 = C; 2) x 2 +4ln y = C; 3)arctan x + arctan y = C; 4) ln ( 1+e y 1+x 2 ) = C; 4)ln (1 + x 2 ) arcsin y = C. 30 1/Agosto/2005

32 Equações homogéneas Integre as seguintes equações diferenciais: 1. xy = x 2 y 2 + y; 2. xy = y + x cos 2 y x ; 3. xy = y (ln y ln x). Soluções 1) arcsin y x ln x = C; 2)tan y x +ln x = C; 3)ln ln y x 1 x = C. Edo s lineares de ordem n com coeficientes constantes 1. Resolva: (a) y + y 2y =0; (b) y 9y =0; (c) y 4y =0; (d) y 2y + y =0; (e) 3y 2y 8y =0; (f) y + y =0; (g) y 3y +3y y =0; (h) y IV +2y + y =0. 2. Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: (a) 2y + y y =2e x ; (b) y 7y +6y =sinx; (c) y +2y +5y = e x cos (2x). 3. Considere a equação diferencial linear completa, cujo polinómio característico é P (D) = ( D 2 +4 ) (D 1) e que tem como solução partícular y p = 1 (sin x cos x) 6 Determine a equação e a sua solução geral. 31 1/Agosto/2005

33 4. Determine a equação diferencial de 2 a ordem não homogénea com coeficientes constantes tais que y = x2 4 e x seja uma solução particular e y = e x (C 1 + C 2 x) seja a solução geral da homogénea associada, sendo C 1 e C 2 constantes arbitrárias. 5. Determinar a solução particular do seguinte problema de Cauchy: y y =4e x y (0) = 0; y (0) = 1 6. Considere o sistema mecânico não forçado com um grau de liberdade mẍ + kx =0, em que m>0 e k>0 são parâmetros constantes que representam respectivamente a massa e a rigidez do sistema. (a) Determineasoluçãogeraldoproblemaeafrequênciaangularω do movimento; (b) Se a equação diferencial anterior modelar o camportamento vibratório das cordas de uma guitarra clássica, justifique a dependência que se verifica entre a altura do som produzido, a massa de cada corda e a respectiva tensão; (c) Suponha que a posição e velocidades iniciais são respectivamente x (0) = 1 e ẋ (0) = 1. Qual é a solução deste problema de valores iniciais? Se x (0) = 0 e ẋ (0) = 0, qual será a solução correspondente? 7. Considere o sistema mecânico não forçado e amortecido com um grau de liberdade mẍ + cẋ + kx =0, em que m>0, c 0 e k>0 são parâmetros constantes que representam respectivamente a massa, o coeficiente de amortecimento e a rigidez do sistema. (a) Determine e represente graficamente as soluções gerais do sistema supondo que c =0e c cr =2 mk. (b) Determine para que valores do coeficiente de amortecimento a resposta do sistema é oscilatória e determine a correspondente solução geral do problema. Represente-a graficamente. 32 1/Agosto/2005

34 Soluções 1a) y = C 1 e x + C 2 e 2x ;1b)y = C 1 e 3x + C 2 e 3x ;1c)y = C 1 + C 2 e 4x ;1d) y = e x (C 1 x + C 2 ); 1e) y = C 1 e 2x + C 2 e 4 3 x ; 1f) y = C 1 cos x + C 2 sin x; 1g) y = e x (C 1 x 2 + C 2 x + C 3 );1h)y = C 1 + C 2 x + C 3 e x + C 4 xe x ;2a) y = C 1 e 2x + C 2 e x + e x ; 2b) y = C 1 e 6x + C 2 e x 5sinx+7 cos x + ; 2c) y = 74 (C 1 cos 2x + C 2 sin 2x) e x xe x sin 2x; 3) y y +4y 4y = cosx; y sgc = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x + C 3 e x + 1 (sin x cos x); 6 4)y +2y + y = 1 2 e x ; 5) y = 1 2 ex e x +2xe x. 33 1/Agosto/2005