UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DMAT

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1 UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DMAT APOSTILA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS JONES CORSO Joinville

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3 Sumário 1 INTRODUÇÃO Noções elementares Notação Nomenclatura usual para classificar ED Equações diferenciais lineares Soluções Solução particular e solução geral Problemas de valor inicial e valores no contorno EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Equações com variáveis separáveis Equações Homogêneas Equações Exatas Fator integrante Equação de Bernoulli Equação de Ricatti Aplicações das ED de Primeira Ordem Problemas de variação de temperatura Equação do movimento de um corpo Circuitos em série EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM EDL: Teoria das soluções Dependência linear Independência linear Soluções linearmente independentes. O Wronskiano iii

4 3.2 A equação característica Solução geral - sistema fundamental Solução em termos das raízes Equações lineares não homogêneas Resolução de equações lineares não homogêneas Método Geral Aplicação física EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n Equações de ordem superior Equações de ordem superior usando coeficientes a determinar Equação de Cauchy-Euler SÉRIES NUMÉRICAS Método de Séries O método da Série de Potências Solução em Série de Potências Método de Fröbenius Equação de Bessel Funções de Bessel de segunda espécie A TRANSFORMADA DE LAPLACE Definição da transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace Transformadas inversas de Laplace Método do complemento do quadrado Método das frações parciais (FP) Função Degrau Unitário Função impulso unitário ou função delta de Dirac Convoluções Resolução, pela TL, de EDL com coeficientes constantes Transformadas de Laplace de derivadas Solução do problema de valor inicial iv

5 7 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Redução de equações diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem Cálculo de e At Uso da Transformada de Laplace para o Cálculo de e At Resolução de sist. lineares com coeficientes constantes FÓRMULAS 71 Referências Bibliográficas 74 v

6 vi

7 Capítulo 1 INTRODUÇÃO 1.1 Noções elementares Uma equação da forma F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0, onde a incógnita x é uma função de uma variável, chama-se equação diferencial ordinária. Muitas leis gerais da Física, Biologia e Economia encontram sua espressão natural nestas equações. Por outro lado, inúmeras questões na própria matemática (por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no Cálculo de Variações) são formuladas por equações diferenciais ordinárias ou se reduzem a elas. O estudo das equações diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Esses métodos, na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações diferenciais como um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa disciplina independente. Neste estágio, a procura e análise de soluções tornou-se uma finalidade própria. Também nesta época ficaram conhecidos os métodos elementares de resolução (integração) de vários tipos especiais de equações diferenciais, tais como as de variáveis separáveis (x = f (x) g (t)), as lineares (x = a (t) x + b (t)), as de Bernoulli (x = p (t) x + q (t) x n ), as de Clairaut (f (x ) + tx = x), as de Riccati (x = a 0 (t) + a 1 (t) x + a 2 (t) x 2 ). A natureza daquilo que era considerado solução foi mudando gradualmente, num processo que acompanhou e, às vezes, propiciou o desenvolvimento do próprio conceito de função. Inicialmente buscavam-se soluções expressas em termos de funções elementares, isto é, polinomiais, racionais, trigonométricas e exponenciais. Posteriormente passou-se

8 Noções elementares a considerar satisfatório expressar a solução na forma de uma integral (quadratura) contendo operações elementares envolvendo estas funções, ainda que a mesma não admitisse uma expressão em termos destas. Quando estes dois caminhos deixaram de resolver os problemas focalizados, surgiram as soluções expressas por meio de séries infinitas (ainda sem a preocupação com a análise da convergência das mesmas). Em fins do século XVIII a Teoria das Equações Diferenciais se transformou numa das disciplinas matemáticas mais importantes e o método mais efetivo para a pesquisa científica. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram notavelmente o conhecimento dentro do Cálculo das Variações, Mecânica Celeste, Teoria das Oscilações, Elasticidade, Dinâmica de Fluidos, etc. Nesta época iniciou-se também a descoberta das relações das equações diferenciais com as funções de variável complexa, séries de potências e trigonométricas e funções especiais (conhecidas posteriormente como de Bessel, etc.). O grau que o conhecimento matemático atingiu nesta primeira fase ficou registrado na obra de Euler Institutiones Calculi Integralis em quatro volumes, o último deles publicado em No século XIX os fundamentos da Análise Matemática experimentaram uma revisão e reformulação gerais visando maior rigor e exatidão. Assim, os conceitos de limite, derivada, convergência de séries numéricas e séries de funções e outros processos infinitos foram definidos em termos aritméticos. A integral, que no século anterior era concebida como primitiva, foi definida como limite de uma sequência de somas. Este movimento de fundamentação não deixou de atingir as equações diferenciais. Enquanto no século anterior procurava-se uma solução geral para uma dada equação diferencial, passou-se a considerar como questão prévia em cada problema a existência e unicidade de soluções satisfazendo dados iniciais (este é o problema de Cauchy). Tomava-se então uma classe ampla de equações diferenfciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existência e unicidade das soluções estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas soluções a partir de características das funções que definiam a equação diferencial. Por outro lado, o método de separação de variáveis aplicado a certas equações diferenciais parciais conduziu a equações ordinárias que não admitem soluções em termos de funções elementares conhecidadas, como é o caso das equações de Sturm-Liouville e das equações de Fuchs (lineares com coeficientes analíticos complexos com singularidades isoladas regulares). As primeiras fornecem um exemplo característico de um problema linear de contorno, enquanto que as equações Fuchsianas sistematizam vários tipos de equações especiais surgidas original-

9 1.1. Noções elementares 3 mente no século XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas também por Gauss e Riemann. Incluem equações de relevância da Física-Matemática, como as de Bessel, de Legendre e de Gauss (ou hipergeométrica). Um marco de referência fundamental na evolução das equações diferenciais é o trabalho de Poincaré Mémoire sur les courbes définies par une équation differentielle (1881) no qual são lançadas as bases da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. Esta teoria visa a descrição da configuração global das soluções e o efeito de pequenas perturbações das condições iniciais (estabilidade). O estudo da estabilidade de um sistema, de grande importância na tecnologia contemporânea, teve sua origem em questões de Mecânica Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma pequena perturbação na posição e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma órbita que se afasta ou converge para a órbita original. O problema geral da estabilidade foi simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com Poincaré, é considerado fundador da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. Outro aspecto da Teoria Qualitativa, também estudado por Poincaré, visa descrever o comportamento assintótico das soluções e a estrutura de seus conjuntos limites. O comportamento assintótico de uma solução se obtem quando se faz a variável independente (tempo) tender para infinito. O conjunto limite pode ser um ponto de equilíbrio, uma solução periódica ou outro conjunto mais complicado. A Teoria de Poincaré-Bendixson, responde a este tipo de questões no plano e em superfícies bidimensionais, respectivamente. O estudo de oscilações não lineares de fenômenos elétricos realizado no primeiro quarto do século passado conduziu a equações especiais de segunda ordem tais como as de Van der Pol e Lienard. A introdução do conceito de estabilidade estrutural por Andronov e Pontrjagin (1937) e os trabalhos de Peixoto ( ) relativos à caracterização, abertura e densidade das equações diferenciais estruturalmente estáveis em superfícies constituem um marco fundamental para o desenvolvimento contemporâneo das equações diferenciais. Trata-se de determinar as condições necessárias e suficientes para que o retrato de fase de uma equação diferencial não experimente mudanças qualitativas bruscas por pequenas perturbações das funções que as definem. Ao estudar um fenômeno variável, expresso por uma função y = f (x), é comum acharmos uma lei que o governe dada por uma relação entre a variável independente, a função e suas derivadas ou diferenciais.

10 Nomenclatura usual para classificar ED Definição 1.1 Chama-se equação diferencial a uma equação F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y e suas derivadas y, y,..., y (n), se y = f(x) é a função de uma só variável independente x a equação diferencial diz-se ordinária. Um exemplo simples é dado por uma relação do tipo dy dx 1 = 0. Procura-se então uma função y = f(x) que satisfaça a equação, e que no caso é fácil ver que se trata de f(x) = x, ou também f(x) = x + c, onde c é uma constante qualquer. Vê-se então que a equação dada define uma família de curvas no plano, que são retas todas paralelas, de declividade Notação Usam-se freqüentemente os símbolos y, y, y, y (4),..., y (n) para representar as derivadas de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta,..., enésima de y em relação à variável independente x. Assim, y representa d2 y dx 2 se a variável independente é x, mas representa d2 y dp 2 se a variável independente é p. Se a variável independente é o tempo, usualmente denotada por t, é comum substituírem-se as linhas por pontos. Assim, ẏ, y e y representam dy, d2 y dt dt 2 e d3 y dt 3, respectivamente. Observe-se o uso dos parênteses em y (n) para distinguir da potência y n. 1.3 Nomenclatura usual para classificar ED Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma igualdade que relaciona a variável independente à n-ésima derivada (e em geral também às derivadas de ordem inferior) da variável dependente. Assim como há equações algébricas de vários graus, também há equações diferenciais de diversas ordens, onde por ordem entendemos a mais alta ordem de derivada que comparece na equação. Por exemplo, a equação dada acima é de 1 a ordem, enquanto a equação y + y = 0 é de 2 a ordem. Neste exemplo, vê-se que y = sin x é uma solução, pois y = cos x e y = sin x, e portanto y + y = 0. Aqui outras soluções são y = c sin x, para uma constante qualquer c. No entanto y = sin x + c não é solução. Chama-se grau da equação diferencial o expoente mais elevado com que comparece a derivada ou diferencial que determina sua ordem. Nos exemplos anteriores, ambas são de 1 o grau, enquanto a equação yy 2 y 3 = yy 1+x é de 2o grau e de 2 a ordem.

11 1.3. Nomenclatura usual para classificar ED 5 Uma equação diferencial diz-se parcial se comparecem nelas derivadas parciais, como por exemplo z x + z y = 0. uma: Como outro exemplo consideremos a equação z x = 2x. Analisemos as seguintes equações diferenciais, determinando o grau e a ordem de cada Exemplo 1 dy dx = 5x + 3 Exemplo 2 e y d2 y dx ( dy dx) 2 = 1 Exemplo 3 4 d3 y dx 3 + (sin x) d2 y dx 2 + 5xy = 0 Exemplo 4 ( d 4 y ) 3 ( ) 7 ( dx + 3y d 2 y 4 dx + y 3 dy 2 dx) = 5x 2 Exemplo 5 2 y t y x 2 = 0 Observação 1 Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a função incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depende de mais de uma variável independente, temos uma equação diferencial parcial (E.D.P.), ou equação de derivadas parciais. Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais, (a) ordem, (b) grau (se possível), (c) função incógnita (FI), (d) variável independente (VI). Exercício 1.1 y 5xy = e x + 1 Exercício 1.2 ty + t 2 y (sin t) y = t 2 t + 1 Exercício 1.3 s 2 d2 t ds 2 + st dt ds = s Exercício ( d 4 b ) 5 ( 10 dp + 7 db dp) + b 3 b 5 = p 4 Exercício 1.5 (y ) 2 3yy + xy = 0 Exercício 1.6 dn x dy n = y 2 + 1

12 Soluções 1.4 Equações diferenciais lineares Uma E.D.O. de ordem n na função incógnita y e na variável independente x é linear se tem a forma b n (x) dn y dx n + b n 1(x) dn 1 y dx n b 1(x) dy dx + b 0(x)y = g(x) (1.1) As funções b j (x)(j = 0, 1, 2,..., n)e g(x) supõem-se conhecidas e dependem apenas da variável independente x. As combinações atitivas podem ter multiplicadores (coeficientes) que dependem de x; nenhuma restrição é feita sobre a natureza dessa dependência em x. As equações diferenciais que não podem ser postas sob a forma da equação (1.1) dizem-se não-lineares. Ou seja, uma equação diferencial diz-se linear de ordem n quando os termos contendo a variável dependente e suas derivadas até ordem n são de 1 o grau com relação a esta variável. Por exemplo, y + xy + y = sin x é linear de 2 a ordem, enquanto y + yy + y = sin x é não linear, devido ao termo yy. 1.5 Soluções Introdução O estudo de equações diferenciais tem duas metas principais: descobrir a equação diferencial que descreve uma situação física específica e, achar a solução apropriada dessa equação. Em álgebra tipicamente procuramos números desconhecidos que satisfazem uma equação como x 3 + 7x 2 11x + 41 = 0. No caso de uma equação diferencial, por outro lado, somos desafiados a encontrar funções desconhecidas y = f(x) para as quais uma identidade como y (x) = 2xy(x) - isto é, a equação diferencial dy dx = 2xy - vale em algum intervalo da reta. Geralmente, vamos querer achar, se possível, todas as soluções da equação diferencial. Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, no intervalo I, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para todo x em I. Exemplo 6 Determine se y = x 2 1 é uma solução de (y ) 4 + y 2 = 1.

13 1.5. Soluções 7 Exemplo 7 Mostre que, para qualquer escolha das constantes c 1 e c 2, a função ϕ(x) = c 1 e x + c 2 e 2x é uma solução explicita para a equação linear y y 2y = 0. Exemplo 8 Demonstrar que a função dada sob a forma paramétrica y (x) = x = a sin t é a solução da equação diferencial y = b2 x. a y = b cos t 2 y Exemplo 9 Demonstrar que a função implícita (1 + y 3 ) 2 = (1 + x 2 ) 3 é solução da equação diferencial y = x (1+y 3 ) y 2 (1+x 2 ) Exemplo 10 Mostre que x = y + e xy = 0 é uma solução implicita para a equação não xy dy linear (1 + xe dx yexy = 0. Exemplo 11 Determinar a equação diferencial da família de curvas c 1 x + (y c 2 ) 2 = Solução particular e solução geral Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da mesma. A solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. A solução geral da equação diferencial y + 4y = 0 é y(x) = c 1 sin 2x + c 2 cos 2x. Isto é, toda solução particular da referida equação tem esta forma geral. Algumas soluções particulares são: (a) y = 5 sin 2x 3 cos 2x (com c 1 = 5 e c 2 = 3) (b) y = sin 2x (com c 1 = 1 e c 2 = 0), e (c) y 0 (com c 1 = c 2 = 0). A solução geral de uma equação diferencial nem sempre pode ser expressa mediante uma fórmula única. Como exemplo, consideremos a equação diferencial y + y 2 = 0, que admite duas soluções y = 1/x e y Problemas de valor inicial e valores no contorno Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial, juntamente com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas - tudo dado para um mesmo valor da variável independente. As condições subsidiárias são condições iniciais se as condições subsidiárias se referem a mais de um valor da variável independente,

14 Soluções o problema é um problema de valores de contorno, e as condições dizem-se condições de contorno. Uma solução de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, é uma função y(x) que satisfaz não só a equação diferencial dada, mas também todas as condições subsidiárias. Exemplo 12 Determine se y(x) = 2e x + xe x é solução de y + 2y + y = 0. Exemplo 13 y(x) 1 é solução de y + 2y + y = x? Exemplo 14 Determine c 1 e c 2 de modo que y(x) = c 1 sin 2x + c 2 cos 2x + 1 satisfaça y(π/8) = 0 e y (π/8) = 2. Nos problemas, determine c 1 e c 2 de modo que y(x) = c 1 sin x + c 2 cos x satisfaça as condições dadas. Determine se tais condições são iniciais ou de contorno. Exercício 1.7 y(0) = 1, y (0) = 2 sol. c 1 = 2 e c 2 = 1 Exercício 1.8 y(0) = 1, y (π) = 1 sol. c 1 = 1 e c 2 = 1 Exercício 1.9 y(π/2) = 1, y (π/2) = 2 sol. c 1 = 1 e c 2 = 2 Nos problemas a seguir, determine c 1 e c 2 de modo que as funções dadas satisfaçam as condições inicias prescritas. Exercício 1.10 y(x) = c 1 e x + c 2 e x + 4 sin x; y(0) = 1, y (0) = 1 sol. c 1 = 2 e c 2 = 3 Exercício 1.11 y(x) = c 1 e x + c 2 e 2x + 3e 3x ; y(0) = 0, y (0) = 0 sol. c 1 = 3 e c 2 = 6 Exercício 1.12 y(x) = c 1 sin x + c 2 cos x + 1; y(π) = 0, y (π) = 0 sol. c 1 = 0 e c 2 = 1 Exercício 1.13 y(x) = c 1 e x + c 2 xe x + x 2 e x ; y(1) = 1, y (1) = 1 sol. c 1 = e e c 2 = 2 2 e Exercício 1.14 Demonstrar que a função y = e 5x +c é a solução da equação diferencial y + 5y = 0.

15 1.5. Soluções 9 Exercício 1.15 Mostrar que a função implícita y(x), x 2 + 4xy y 2 = 1 é a solução da equação diferencial (x + 2y) dx + (2x y) dy = 0. Exercício 1.16 Verificar se as funções: a) y = e x ; b) y = xe x e y = 5e 3x, são as soluções da equação diferencial y 2y 3y = 0. sol. a) sim, b) não, c) sim Exercício 1.17 Determinar as equações diferenciais das famílias de curvas: a) y = e cx e b) y = cx 3. sol. a) xy y ln y = 0. b) xy 3y = 0. Exercício 1.18 Determinar a equação diferencial y = (c 1 + c 2 x) e x + c 2. sol. (e x 1) y + (1 2e x ) y + e x y = 0. Exercício 1.19 Determinar a equação diferencial y = c 1 e 2x +c 2 e 3x. sol. y 5y +6y = 0.

16 Soluções

17 Capítulo 2 EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM A forma normal de uma equação diferencial de primeira ordem é M(x, y)dx+n(x, y)dy = 0, onde M(x, y)dx e N(x, y)dy são as funções de x e y. A solução geral da equação diferencial de primeira ordem chama-se a função y = φ(x, c), que é a solução desta equação para todos os valores da constante arbitrária. A solução obtida da solução geral y = φ(x, c) para um valor determinado da constante arbitrária, chama-se solução particular. O gráfico da solução particular da equação diferencial chama-se curva integral da equação diferencial. E a interpretação geométrica da solução geral y = φ(x, c) é a família das curvas integrais. 2.1 Equações com variáveis separáveis Muitas equações diferenciais de primeira ordem, Linear ou não, podem ser reduzidas por manipulações algébricas à forma: h(y)y = g(x) y = dy dx (2.1) h(y)dy = g(x)dx (2.2) A equação (2.2) é chamada equação de variáveis separáveis, ou equação separável, porque as variáveis x e y foram separadas uma da outra, de tal maneira que x aparece unicamente no segundo membro, enquanto y surge no primeiro membro. Integrando

18 Equações com variáveis separáveis ambos os membros de (2.2), obtemos: h(y)dy = g(x)dx + c Exemplo 15 Seja as equações: dy dx = y2 xe 3x+4y e dy dx = y + sin x. Exemplo 16 Seja, y = 2xy, resolva pelo método das equações separáveis. Exemplo 17 Seja, y = 1 + y 2, resolva pelo método das equações separáveis. Exemplo 18 Seja, dy dx = y2 4, resolva pelo método das equações separáveis. Exemplo 19 Resolver o problema de valor inicial y = 3x2 +4x+2 2(y 1), y(0) = 1. Resolver pelo método das equações separáveis: Exercício 2.1 y = x2 2 sol. y = ± y 3 x3 + c Exercício 2.2 y = x2 2 sol. y = ± ln 1 + y(1+x 3 ) 3 x3 + c Exercício 2.3 y + y 2 sin x = 0 sol. y = c 1 cos x ( ) Exercício 2.4 y = 1 + x + y 2 + xy 2 sol. y = tan x + x2 + c 2 Exercício 2.5 y = (cos 2 x).(cos 2 2y) sol. y = 1 arctan ( 1 sin 2x + x + c) 2 2 Exercício 2.6 xy = (1 y 2 ) 1/2 sol. y = sin (ln x + c) Exercício 2.7 dy dx = x e x y+e y sol. y = ± x ( e y + e x ) + c Determine a solução do problema de valor inicial dado, em forma explícita. Exercício 2.8 xdx + ye x dy = 0, y(0) = 1 sol. y 2 = 2e x (1 x) + c c = 1 y = [2e x (1 x) 1] 1 2 Exercício 2.9 y = 2x, y(0) = 2 (y+x 2 y) sol. y 2 = ln x2 + c c = 2 y = [2 (ln 1 + x 2 + 2)] 1 2 Exercício 2.10 y = xy 3 (1 + x 2 ) 1/2, y(0) = 1 sol. 1 2y 2 = (1 + x 2 ) c c = 3 2 y = [ x 2] 1 2 Exercício 2.11 y = 2x 1+2y, y(2) = 0 sol. y + y2 = x 2 + c c = 4 y = x2 15

19 2.2. Equações Homogêneas Equações Homogêneas Iniciemos com a definição de equações homogêneas Definição 2.1 Se o lado direito da equação dy dx = f(x, y) (2.3) puder ser expresso como uma função da razão y/x somente, então dizemos que a equação é homogênea. Um teste para a homogeneidade da Equação (2.3) é dada pela seguinte definição: Definição 2.2 Se uma função f satisfaz f(tx, ty) = t n f(x, y) n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. para algum número real Exemplo 20 f(x, y) = x 2 3xy + 5y 2 Exemplo 21 f(x, y) = 3 x 2 + y 2 Exemplo 22 f(x, y) = x 3 + y Exemplo 23 f(x, y) = x 2y + 4 Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, podemos escrever f(x, y) = x n f ( 1, y ) x e f(x, y) = y n f ( ) x y, 1 (2.4) em que f(1, y ) e x f(x, 1) são ambas homogêneas de grau zero. y Definição 2.3 Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.5) é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas de mesmo grau.

20 Equações Exatas Em outras palavras, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é homogênea se M(tx, ty) = t n M(x, y) e N(tx, ty) = t n N(x, y). Método de Solução Uma equação diferencial homogênea M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou x = vy, em que u e v são as novas variáveis independentes, transformará a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável. Seja y = ux; então, sua diferencial dy = udx + xdu. Substituindo em (2.5), temos M(x, ux)dx + N(x, ux)[udx + xdu] = 0. Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em (2.4), podemos escrever x n M(1, u)dx + x n N(1, u)[udx + xdu] = 0 [M(1, u) + un(1, u)]dx + xn(1, u)du = 0, dx x + N(1,u)du M(1,u)+uN(1,u) = 0. Exemplo 24 Resolva (x 2 + y 2 )dx + (x 2 xy)dy = 0 ou assim Exemplo 25 Resolva o problema de valor inicial x dy dx = y + xey/x, y(1) = 1. Resolva as equações : Exercício x 3 ydx + (x 4 + y 4 )dy = 0 Exercício 2.13 (y 2 + xy)dx + x 2 dy = 0 Exercício 2.14 (x 2 + 2y 2 )dx = xydy para y( 1) = 1 Exercício x 2 dy dx = 3xy + y2 para y(1) = Equações Exatas Definição 2.4 Uma expressão diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x, y). Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Exemplo 26 A equação x 2 y 3 dx+x 3 y 2 dy = 0 é exata, pois d ( 1 3 x3 y 3) = x 2 y 3 dx+x 3 y 2 dy. O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata.

21 2.3. Equações Exatas 15 Teorema 2.1 Sejam M(x, y)dx e N(x, y)dy funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < x < b, condição necessária e suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy exata é Método de solução c < y < d. Então, uma seja uma diferencial M y = N x. (2.6) Dada a equação (2.5) mostre primeiro que Depois suponha que f x = M(x, y) M y relação a x, considerando y constante. Escrevemos, = N x. daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com f(x, y) = M(x, y)dx + g(y), (2.7) em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (2.7) com relação a y e supondo f/ y = N(x, y): M(x, y)dx + g (y) = N(x, y). Assim, f y = y g (y) = N(x, y) y M(x, y)dx. (2.8) Finalmente, integre (2.8) com relação a y e substitua o resultado em (2.7). A solução é f(x, y) = c. Exemplo 27 Resolva 2xydx + (x 2 1)dy = 0. Exemplo 28 Resolva (e 2y y cos xy)dx + (2xe 2y x cos xy + 2y)dy = 0. Exemplo 29 Resolva o problema de valor inicial (cos x sin x xy 2 ) dx+y(1 x 2 )dy = 0, y(0) = 2. Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. Exercício 2.16 (5x + 4y) dx + (4x 8y 3 ) dy = 0 sol. Exercício 2.17 (2y 2 x 3) dx + (2yx 2 + 4) dy = 0 sol. 5 2 x2 + 4xy 2y 4 = c x 2 y 2 3x + 4y = c Exercício 2.18 (y 3 y 2 sin x x) dx + (3xy 2 + 2y cos x) dy = 0 sol. xy 3 + y 2 cos x 1 2 x2 = c

22 Fator integrante ( ) Exercício 2.19 (y ln y e xy 1 ) dx + + x ln y dy = 0 sol. não exata. y Exercício 2.20 x dy dx = 2xex y + 6x 2 sol. xy 2xe x + 2e x 2x 3 = c Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição incial indicada. Exercício 2.21 (x + y) 2 dx+(2xy + x 2 1) dy = 0, 4 3 y (1) = 1 sol. 1 3 x3 +x 2 y+xy 2 y = Exercício 2.22 (y 2 cos x 3x 2 y 2x) dx + (2y sin x x 3 + ln y) dy = 0, y 2 sin x x 3 y x 2 + y ln y y = 0 y (0) = e sol. 2.4 Fator integrante Em geral, a equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.9) não é exata, mas a equação µ(x, y)m(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, que resulta da multiplicação da Equação (2.9) pela função µ(x, y), for exata, então µ(x, y) é chamado de fator integrante da Equação (2.9). Exemplo 30 A equação ydx xdy = 0 não é exata, pois M y = 1 e N x = 1. Definição 2.5 Uma função I(x, y) é um fator integrante de (2.9) se a equação é exata. I(x, y)[m(x, y)dx + N(x, y)dy] = 0 (2.10) Considerando a equação e o fator integrante como dy + p(x)y = g(x) (2.11) dx µ(x) = e p(x)dx, (2.12)

23 2.4. Fator integrante 17 a solução é dada por Passos para resolução y = µ(x)g(x)dx + c. (2.13) µ(x) 1. Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma (2.11); 2. Identifique P (x) e encontre o fator de integração equação (2.12); 3. Multiplique a equação obtida em (2.11) pelo fator integrante; 4. O lado esquerdo da equação em (3) é a derivada do produto do fator de integração e a variável dependente y; 5. Integre ambos os lados da equação encontrada em (4). Exemplo 31 y = 2xy x Exemplo 32 y + 3y = x + e 2x Exemplo 33 Determine a solução do problema de valor inicial y y = 2xe 2x e y(0) = 1. Resolver pelo método do fator integrante: Exercício 2.23 y 2y = x 2 e 2x sol. y = e 2x ( x c ) Exercício 2.24 y + y = xe x + 1 sol. y = 1 + e ( x x2 + c) 2 Exercício 2.25 y + ( ) ( 1 x y = 3 cos 2x sol. y = 3 2 sin 2x + 1 cos 2x) + c 2x x Exercício 2.26 y y = 2.e x sol. y = e x (2x + c) Exercício 2.27 xy + 2y = sin x sol. y = 1 x ( 1 x sin x cos x + c x) Exercício 2.28 y + 2xy = 2xe x2 sol. y = e x2 (x 2 + c) Exercício 2.29 (1 + x 2 )y + 4xy = (1 + x 2 ) 2 sol. y = (arctan x + c) (1 + x 2 ) 2 Exercício 2.30 xy + (x + 1)y = x sol. y = x Determine a solução do problema de valor inicial: ( c e x 1 ) Exercício 2.31 y + 2y = xe 2x, y(1) = 0 sol. y = e x2 2 (x 2 1) Exercício 2.32 xy + 2y = x 2 x + 1, y(1) = 1 y > 0 sol. y = x2 x x 2 ( ) Exercício 2.33 xy + 2y = sin x, y( π) = 1 2 sol. y = x 2 x cos x + sin x + π2 1 4 Exercício 2.34 x 3 y + 4x 2 y = e x, y( 1) = 0 sol. y = x+1 x 4 e x

24 Equação de Ricatti 2.5 Equação de Bernoulli Uma equação de primeira ordem que pode ser escrita na forma dy dx + P (x)y = Q(x)yn, n 1 (2.14) onde P (x) e Q(x) são contínuos em um intervalo (a, b) e n é um número real, é chamado de equação de Bernoulli. Teorema 2.2 A equação diferencial de Bernoulli não-linear dy dx +P (x)y = Q(x)yn, sendo n 0 ou 1, pode ser transformada numa equação diferencial linear através da mudança de variáveis z = y 1 n que resulta numa equação diferencial linear em z. Exemplo 34 Resolver a equação (1 + x 2 ) dy dx + xy = x3 y 3. Exemplo 35 Resolver a equação dy dx = 4 x y + x y. Resolva a equação diferencial de Bernoulli. Exercício 2.35 dy dx y x = y2 x sol. y = x x+c Exercício 2.36 dy dx + y x = xy2 sol. y = 1 cx x 2 Exercício (1 + x 2 ) dy dx = 2xy (y3 1) sol. y = c(1+x 2 ) Exercício 2.38 x 2 dy dx 2xy = 3y4 para y(1) = 1 2 sol. y = 1 ( 9 5 x x 6 ) Equação de Ricatti A equação diferencial não-linear dy dx = P (x) + Q(x)y + R(x)y2 (2.15) é chamada de equação de Ricatti. Se y 1 é uma solução particular para (2.15), então as substituições y = y 1 + u e dy dx = dy 1 dx + du dx em (2.15) produzem a seguinte equação diferencial para u: du dx (Q + 2y 1R)u = Ru 2. (2.16)

25 2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem 19 Como (2.16) é uma equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida à equação linear dz dx + (Q + 2y 1R)z = R (2.17) através da substituição z = u 1. Exemplo 36 Resolva dy dx = x3 (y x) 2 + y x para y = x. Resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação. Exercício 2.39 dy dx = 2 y + y2, y 1 = 2 sol. y = ce 3x 1 3 Exercício 2.40 dy dx = 4 x 2 1 x y + y2, y 1 = 2 x sol. y = 2 x + 1 cx 3 x 4 Exercício 2.41 dy dx = e2x + (1 + 2e x )y + y 2, y 1 = e x sol. y = e x + 1 ce x 1 Exercício 2.42 dy dx = sec2 x (tan x)y + y 2, y 1 = tan x 2.7 Aplicações das ED de Primeira Ordem Problemas de variação de temperatura A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e T m a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo é dt, e a lei de Newton relativa à variação de dt temperatura pode ser formulado como dt dt = k (T T m), ou como dt dt + kt = kt m (2.18) onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton, a fim de tornar dt dt tal processo, T > T m ; assim T T m negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em é positiva. A equação (2.18) é a diferencial linear. A solução geral dessa equação é: T = T m + Ce kt, onde C é a constante arbitrária. Se T t=0 = T 0, então: C = T 0 T m. Assim, a solução tem a forma: T = T m + (T 0 T m ) e kt.

26 Aplicações das ED de Primeira Ordem Resulta dessa fórmula que para t suficientemente grande a temperatura T depende pouco de T Equação do movimento de um corpo Equação do movimento de um corpo para um meio em que a resistência é proporcional à velocidade Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura. Pede-se para estabelecer a lei de variação da velocidade da queda V, se o corpo experimentar uma resistência do ar proporcional à velocidade (sendo o coeficiente de proporcionalidade k), isto é, encontrar V = f(t). Em virtude da segunda lei de Newton m dv dt = F, em que dv dt é a aceleração do corpo em movimento (a derivada da velocidade em relação ao tempo) e F, a força que age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta força é constituída por duas forças: pela força de gravidade mg e pela resistência do ar kv (toma-se o sinal menos porque esta força é oposta à velocidade). Assim, m dv dt = mg kv. (2.19) Temos uma equação diferencial sobre a função desconhecida V. (É a equação do movimento de certos tipos de para-quedas). A solução geral da equação diferencial (2.19) é: V = Ce k m t + mg k. (2.20) Para encontrar a constante arbitrária C, vamos supor uma condição suplementar: uma velocidade inicial V 0 (que, em especial, pode ser nula) foi comunicada ao corpo na partida; suporemos que esta velocidade incial é conhecida. Então, a função procurada V = f(t) deve ser tal que se tenha para t = 0 (no começo do movimento) V = V 0. Substituindo t = 0, V = V 0 na equação (2.20), temos: V 0 = C + mg k, de onde C = V 0 mg k Assim, a dependência entre V e t é: ( V = V 0 mg k ) e k m t + mg k. (2.21) Resulta desta fórmula que para t suficientemente grande a velocidade V depende

27 2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem 21 pouco de V Circuitos em série A equação básica que rege a quantidade de corrente i em um circuíto simples do tipo RL consistindo de uma resistência R, um indutor L e uma força eletromotriz E é: onde i(0) = i 0. L di + Ri = E(t), (2.22) dt Esta equação é linear; sua solução é: R i(t) = i 0 e L t + E R ( 1 e L t = i 0 E ) R e L t + E R R R. A quantidade ( i 0 E ) R e L t R E a zero quando t. A quantidade R t, a corrente i tende para a corrente estacionária. na solução é chamada corrente transitória, pois tende é chamada corrente estacionária. Quando Para um circuíto do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C, uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q no capacitor é A relação entre q e i é i = dq dt. R dq dt + 1 q = E(t). (2.23) C A solução desta equação diferencial é q(t) = q 0 (t)e RC t + CE. 1 Exemplo 37 Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutâ ncia é de 1 henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial 2 é zero. Exemplo 38 Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300 o F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200 o F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70 o F?

28 Aplicações das ED de Primeira Ordem Exercício 2.43 Uma força eletromatriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L R no qual a indutância é de 0, 5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quando t. Sol. i = 3 ( 5 1 e 100t ). Para t, temos i = 3 5. Exercício 2.44 Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R C em série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10 4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). Sol. q (t) = 1 ( e 50t ) e, i = dq dt temos i (t) = 1 2 e 50t. Exercício 2.45 Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5 o C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20 o C; após 5 minutos, 10 o C. Qual a temperatura da sala? Sol. T = 24, 7411 que é a temperatura da sala.

29 Capítulo 3 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 3.1 EDL: Teoria das soluções Dependência linear Um conjunto de funções {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} é linearmente dependente em a x b se existem constantes c 1, c 2,..., c n, não todas nulas, tais que c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) c n y n (x) 0, em a x b (3.1) Exemplo 39 O conjunto {x, 5x, 1, sin x} é linearmente dependente em [ 5, 1] pois existem constantes c 1 = 5, c 2 = 1, c 3 = 0 e c 4 = 0, não todas nulas, tais que (3.1) se verifica. Em particular, 5x + 1 5x sin x 0 Note que c 1 = c 2 =... = c n = 0 é um conjunto de constantes que sempre satisfaz (3.1). Um conjunto de funções é linearmente dependente se existe outro conjunto de constantes, não todas nulas, tais que (3.1) se verifica Independência linear Um conjunto de funções {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} é linearmente independente em a x b se não é linearmente dependente aí; isto é, se as únicas constantes que satisfazem (3.1) em a x b são c 1 = c 2 =... = c n = 0.

30 EDL: Teoria das soluções Soluções linearmente independentes. O Wronskiano Teorema 3.1 A equação diferencial linear homogênea de ordem n L(y) = 0 sempre tem n soluções linearmente independentes. Se {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} representam essas soluções, então a solução geral de L(y) = 0 é y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) c n y n (x) (3.2) onde c 1, c 2,..., c n são constantes arbitrárias. O teorema (3.1) acima realça a importância de podermos determinar se um conjunto de soluções de L(y) = 0 é linearmente independente ou não. Em geral, o problema não pode ser resolvido diretamente a partir de (3.1); não se pode experimentar todos os valores possíveis dos c s. Existe, entretanto, um outro método para abordar o problema. Seja {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} um conjunto de funções no intervalo I, cada uma das quais possui n 1 derivadas. Então o determinante na forma seguinte W (y 1,..., y n ) = y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n y (n 1) 1 y (n 1) 2 y n (n 1) (3.3) é chamado o determinante de Wronskiano do dado conjunto de funções. Se um conjunto de funções {y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)} é linearmente dependente no intervalo I então Wronskiano de W (y 1, y 2,..., y n ) 0 neste intervalo. Exemplo 40 As funções y 1 = e x, y 2 = e x, y 3 = e 2x são soluções da equação y 2y y + 2y = 0. Mostrar que as funções dadas formam um sistema fundamental das equações diferenciais correspondentes. Exercício 3.1 e x, e 2x, e 3x, y 6y + 11y 6y = 0 Sol. 2e 6x 0 Exercício 3.2 e x, e x, xe x, y y y + y = 0 Sol. 4e x 0 Exercício 3.3 x 1/2, x 1/2, 1, x 2 y + 3xy y = 0 Sol. 1 4 x 3 0 Exercício 3.4 e x, xe x, x 2 e x, x 3 e x, y (4) 4y + 6y 4y + y = 0 Sol. 12e 4x 0

31 3.2. A equação característica A equação característica Iniciemos considerando as equações homogêneas, isto é, as equações da forma: y + ay + by = 0 (3.4) onde a e b são constantes. Suponhamos que a e b são reais e que o intervalo de variação de x é o eixo dos x. Lembremos que a solução da equação homogênea linear de 1 a ordem com coeficientes constantes y + ky = 0 é uma função exponencial, a saber, y = ce kx (3.5) de onde temos y = e λx, possa ser uma solução de (3.4) se λ for escolhido adequadamente. Substituindo (3.5) e suas derivadas y = λe λx e y = λ 2 e λx, na equação (3.4). Então (3.5) será uma solução de (3.4) se λ for uma solução da equação do 2 o grau. λ 2 + aλ + b = 0 (3.6) Esta equação é chamada a equação característica (ou equação auxiliar) de (3.4). Suas raízes são: (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = 0 ou λ 1 = 1 2 ( a + ) a 2 4b, λ 2 = 1 ( a ) a 2 2 4b, (3.7) Em vista da dedução segue-se que as funções y 1 = e λ 1x e y 2 = e λ 2x (3.8) são soluções de (3.4). Da álgebra elementar decorre, pelo fato de a e b serem reais, que a equação característica (3.6) pode possuir: duas raízes reais distintas; duas raízes complexas conjugadas ou, uma raiz dupla real. Determinar as soluções das equações: Exemplo 41 y + y 2y = 0 Exemplo 42 y + y = 0

32 Solução geral - sistema fundamental Exemplo 43 y 2y + y = 0 Determinar as soluções das equações diferenciais seguintes: Exercício 3.5 y 9y = 0 Exercício 3.6 y + 2y = 0 Exercício 3.7 y 3y + 2y = 0 Exercício 3.8 y + w 2 y = 0 Exercício 3.9 y + 4y + 5y = 0 Exercício 3.10 y + 2y + 5y = 0 Determinar uma equação diferencial da forma (3.4) da qual as seguintes funções são soluções. Exercício 3.11 e x, e 2x sol. y + 3y + 2y = 0 Exercício , e 2x sol. y 2y = 0 Exercício 3.13 e 3ix, e 3ix sol. y + 9y = 0 Exercício 3.14 e ( 3+4i)x, e ( 3 4i)x sol. y + 6y + 25y = Solução geral - sistema fundamental Uma solução de uma E.D.O. de segunda ordem (linear ou não) é chamada uma solução geral se ela contém duas constantes arbitrárias independentes (o intervalo de variação das constantes pode ser restrito em alguns casos a fim de evitar expressões imaginárias e outras degenerações). Aqui, independência significa que a mesma solução não pode ser reduzida a uma forma contendo somente uma constante arbitrária ou nenhuma. Quando atribuímos valores definidos a estas duas constantes, então a solução obtida é chamada uma solução particular. Consideremos a equação linear homogênea y + f(x)y + g(x)y = 0 (3.9)

33 3.3. Solução geral - sistema fundamental 27 e desejamos mostrar que uma solução geral de tal equação pode ser facilmente obtida se duas soluções adequadas y 1 e y 2 são conhecidas. Se y 1 (x) e y 2 (x) são soluções de (3.9) em um dado intervalo I, então, temos: y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) (3.10) onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias, será uma solução de (3.9) no intervalo I. De vez que ela encerra duas constantes arbitrárias, ela será uma solução geral de (3.9), desde que não possa ser reduzida a uma expressão contendo menos que duas constantes arbitrárias Solução em termos das raízes A solução de (3.4) se obtém diretamente a partir das raízes de (3.7). Há três casos a considerar. caso 1. λ 1 e λ 2 são ambas reais e distintas. e λ 1x e e λ 2x são duas soluções linearmente independentes. A solução geral é y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) ou y(x) = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x (3.11) caso 2. λ 1 = p+iq, complexo. Como, em (3.4) e (3.6), a e b supõem-se reais, as raízes de (3.5) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz é λ 2 = p iq. Duas soluções linearmente independentes são e (p+iq)x e e (p iq)x. O que nos interessa agora é obter soluções reais a partir destas soluções complexas. Isto será feito aplicando as relações de Euler. e iqx = cos qx + i sin qx e e iqx = cos qx i sin qx De onde nós obtemos y(x) = c 1 e px cos qx + c 2 e px sin qx ou y(x) = e px (c 1 cos qx + c 2 sin qx) (3.12) onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias reais.

34 Solução geral - sistema fundamental caso 3. λ 1 = λ 2. e λ 1x e xe λ 1x são duas soluções LI; a solução geral é y(x) = c 1 e λ 1x + c 2 xe λ 1x (3.13) Observação 2 As soluções acima não são válidas se a equação diferencial não é linear ou se não tem coeficientes constantes. Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais: Exemplo 44 y + y 2y = 0 sol. y(x) = c 1 e x + c 2 e 2x Exemplo 45 y 2y + 10y = 0 sol. y(x) = e x (c 1 cos 3x + c 2 sin 3x) Exemplo 46 y + 8y + 16y = 0 sol. y(x) = (c 1 + c 2 x) e 4x Resolver o problema de valor inicial: Exemplo 47 y 4y + 13y = 0 y(0) = 4, y (0) = 1 Exemplo 48 y + 4y 21y = 0 y(0) = 3, y (0) = 0 Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais: Exercício 3.15 y y 12y = 0 sol. y(x) = c 1 e 4x + c 2 e 3x Exercício 3.16 y + 4y + 5y = 0 sol. y(x) = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) ( Exercício 3.17 y + 0, 2y + 0, 26y = 0 sol. y(x) = e x 10 c1 cos x + c 2 2 sin 2) x Exercício y + 17y + 4y = 0 sol. y(x) = c 1 e x 4 + c 2 e 4x Exercício 3.19 y + 5y + 12, 5y = 0 sol. y(x) = e 5x 2 ( c1 cos 5x 2 + c 2 sin 5x 2 ) ( Exercício y + 2y + y = 0 sol. y(x) = e x 2 c1 cos x + c 2 2 sin 2) x Exercício y 20y + 4y = 0 sol. y(x) = (c 1 + c 2 x) e 2 5 x Exercício 3.22 y + 0, 25y = 0 sol. y(x) = c 1 cos x 2 + c 2 sin x 2 Exercício 3.23 y + 2αy + (α 2 + 1)y = 0 sol. y(x) = e αx (c 1 cos x + c 2 sin x)

35 3.4. Equações lineares não homogêneas 29 Exercício y 4y 3y = 0 sol. y(x) = c 1 e x 2 + c 2 e 3 2 x Resolver o problema de valor inicial proposto. Exercício 3.25 y + 2y + 10y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3 sol. y(x) = e x sin 3x Exercício y 12y + 4y = 0, y(0) = 2, y (0) = 1 sol. y(x) = ( x) e 2 3 x Exercício 3.27 y 6y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2 sol. y(x) = 2xe 3x Exercício y + 6y + 82y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2 sol. y(x) = ( e x 3 cos 3x + 5 sin 3x) 9 Exercício 3.29 y 3y + 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 sol. y(x) = e 2x e x sin 3x Exercício 3.30 y +4y +5y = 0, y(0) = 1, y (0) = 3 sol. y(x) = e 2x (cos x sin x) Exercício 3.31 y +4y +4y = 0, y( 1) = 2, y ( 1) = 1 sol. y(x) = (7 + 5x) e 2(x+1) 3.4 Equações lineares não homogêneas Temos y + f(x)y + g(x)y = r(x) (3.14) y + f(x)y + g(x)y = 0 (3.15) Teorema 3.2 Uma solução geral y (x) da equação diferencial linear (3.14) é a soma de uma solução geral y h (x) da equação homogênea correspondente (3.15) e de uma solução particular arbitrária y p (x) de (3.14). y(x) = y h (x) + y p (x) (3.16) Em cada caso verificar que y p (x) é uma solução particular da equação diferencial dada e determinar uma solução geral. Exemplo 49 y + y = 2e x y p (x) = e x Exemplo 50 y + y = 2 cos x y p (x) = x sin x

36 Equações lineares não homogêneas Em cada caso verificar que y p (x) é uma solução particular da equação diferencial dada e determinar uma solução geral. Exercício 3.32 y y = 2e x, y p (x) = xe x sol y (x) = c 1 e x + c 2 e x + xe x Exercício 3.33 y 3y +2y = 2x 2 6x+2, y p (x) = x 2 sol y (x) = c 1 e 2x +c 2 e x +x 2 Exercício 3.34 y + 4y = 12 sin 2x, y p (x) = 3x cos 2x sol y (x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 3x cos 2x Exercício 3.35 y + 9y = 18x, y p (x) = 2x sol y (x) = c 1 cos 3x + c 2 sin 3x + 2x Exercício 3.36 y +y = 2 sin x, y p (x) = x cos x sol y (x) = (c 1 x) cos x+c 2 sin x Resolução de equações lineares não homogêneas O método a ser utilizado é dos coeficientes a determinar. Este método é adequado para equações com coeficientes constantes y + ay + by = r(x) (3.17) onde r(x) é tal que a forma de uma solução particular y p (x) de (3.17) pode ser prognosticada; por exemplo, r pode ser uma potência única de x, um polinômio, uma função exponencial, um seno, um coseno, ou uma soma de tais funções. O método consiste em imaginar para y p (x) uma expressão semelhante à de r(x), contendo coeficientes incógnitas que são determinados substituindo y p (x) e suas derivadas em (3.17). Resolver as equações não homogênea. Exemplo 51 y + 4y = 8x 2 Exemplo 52 y y 2y = 10 cos x Termo em r (x) Escolha para y p (x) Kx n (n = 0, 1,...) K n x n +K n 1 x n K 1 x + K 0 Ke px K cos qx K sin qx ce px K 1 cos qx + K 2 sin qx

37 3.4. Equações lineares não homogêneas 31 Observação 3 Se r (x) é uma soma de funções da primeira coluna, escolhemos para y p (x) a soma das funções nas linhas correspondentes. sin βx P n (x) = e αx cos βx Caso em que a solução homogênea é igual ao valor da função r (x), conforme (3.14) x s [(A 0 x n + A 1 x n A n )e α cos βx + (B 0 x n + B 1 x n B n )e α sin βx] s é o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2,...) que assegura não haver nenhum termo em y i (x) que seja solução homogênea correspondente. Exemplo 53 y 3y + 2y = 4x + e 3x Exemplo 54 y y = e x cos x Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais. Exercício 3.37 y + y = x 2 + x sol y (x) = x 2 + x 2 + c 1 cos + c 2 sin x Exercício 3.38 y + 5y + 6y = 9x 4 x sol y (x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x x4 5x x2 11x + 6 Exercício 3.39 y y 2y = sin x sol y (x) = c 1 e 2x + c 2 e x cos x 3 10 sin x Exercício 3.40 y + y 6y = 52 cos 2x sol y (x) = c 1 e 2x + c 2 e 3x 5 cos 2x + sin 2x Exercício 3.41 y + y 2y = 3e x sol y (x) = c 1 e x + c 2 e 2x + xe x Exercício 3.42 y + y = 2 sin x sol y (x) = c 1 cos x + c 2 sin x x cos x Exercício 3.43 y 2y + 2y = 2e x cos x sol y (x) = e x (c 1 cos x + c 2 sin x + x sin x) Exercício 3.44 y + y = x x 2 sol c 1 cos x + c 2 sin x x 2 x + 2 Exercício 3.45 y + y = sin x sol c 1 cos x + c 2 sin x 1 2 x cos x Exercício 3.46 y + 4y = e x sol c 1 cos 2x + c 2 sin 2x e x Exercício 3.47 y y 2y = 4 sin x sol c 1 e 2x + c 2 e x cos x 4 3 sin x Resolver os seguintes problemas de valor inicial

38 Equações lineares não homogêneas Exercício 3.48 y 2y +y = 2x 2 8x+4; y(0) = 3, y (0) = 3 sol y (x) = 3e x +2x 2 Exercício 3.49 y y 2y = 10 sin x; y(0) = 2, y (0) = 3 sol y (x) = 1 3 e2x e x + cos x 3 sin x Exercício 3.50 y y 2y = 3e 2x ; y(0) = 0, y (0) = 2 sol y (x) = e x e 2x +xe 2x Exercício 3.51 y + 2y + 2y = 2 cos 2x 4 sin 2x; y(0) = 1, y (0) = 1 sol y (x) = e x sin x + cos 2x Exercício 3.52 y + 4y + 8y = 4 cos x + 7 sin x; y(0) = 1, y (0) = 1 sol y (x) = e 2x cos 2x + sin x Método Geral Para resolver equações diferenciais lineares de 2 a ordem com coeficientes constantes nãohomogêneas pelo método dos coeficientes a determinar nos deparamos com uma limitação que é o tipo da função r(x). Se esta não for um polinômio, uma função trigonométrica ou uma exponencial necessitamos de um método geral que supere esta deficiência. Há um método geral para resolver tais equações, no qual r(x) pode ser uma das funções já citadas, bem como ln x, tan, sec x, 1, etc. Esse método é conhecido como variação de x parâmetros. Consideremos a equação y + f(x)y + g(x)y = r(x) (3.18) Supondo que f, g e r são funções contínuas sobre um intervalo I. Sabemos que a equação homogênea corresponde y + f(x)y + g(x)y = 0 possui uma solução geral y h (x) sobre I, que apresenta a formaua solução geral será: y = y h + y p. A solução da equação homogênea correspondente será dada por y h (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x). (3.19) A idéia do método é trocar c 1 e c 2 em (3.19) por funções u(x) e v (x) de tal maneira que a substituição resulte em uma solução particular da equação dada (3.18). Assim, teremos y p (x) = u (x) y 1 (x) + v (x) y 2 (x), (3.20)

39 3.4. Equações lineares não homogêneas 33 seja uma solução particular de (3.18) sobre I. Derivando vem y p = u y 1 + uy 1 + v y 2 + vy 2. (3.21) Suponhamos que u y 1 +v y 2 = 0, pois é uma solução para a homogênea correspondente. Isso reduz (3.21) a: y p = uy 1 + vy 2. (3.22) Derivando novamente, vem: y p = u y 1 + uy 1 + v y 2 + vy 2. (3.23) Substituindo (3.20), (3.22) e (3.23) em (3.18), vem: u y 1 + uy 1 + v y 2 + vy 2 + f(x)(uy 1 + vy 2) + g(x)(uy 1 + vy 2 ) = r(x) u y 1 + uy 1 + v y 2 + vy 2 + fuy 1 + fvy 2 + guy 1 + gvy 2 = r(x) u(y 1 + fy 1 + gy 1 ) + v(y 2 + fy 2 + gy 2 ) + u y 1 + v y 2 = r(x) As expressões entre parênteses na última linha são nulas, pois são soluções da equação homogênea correspondente a (3.18). Então só resta: u y 1 + v y 2 = r(x). (3.24) Anteriormente, foi suposto que u y 1 + v y 2 = 0. Tomemos esta expressão, juntamente u y com (3.24), e formemos um sistema de equações em u e v 1 + v y 2 = 0 : u y 1 + v y 2 = r(x) Resolvendo pela regra de Cramer, teremos: y D = 1 y 2 y 1 y 2 = W (y 1, y 2) = y 1 y 2 y 1y 2 0 y D u = 2 r(x) y 2 = r(x)y 2 y D v = 1 0 r(x) = r(x)y 1 y 1 Então, u = D u W = r(x)y 2 W e v = D v com y 1 e y 2 ). = r(x)y 1 W W Integrando, vem: u = r(x)y 2 dx e v = r(x)y 1 dx. W W. (Repare que D é o wronskiano formado Logo, uma solução particular para (3.18), pode ser escrita: y p = y 1 r(x)y2 W dx +