Matemática. Matemática Avançada 3 os anos João mar/11. Nome:

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1 Matemática Matemática Avançada 3 os anos João mar/11 Nome:

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18 (GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. De olho no vestibular: Matemática 4: geometria plana, geometria espacial. São Paulo: FTD, 1996.) 18

19 IX - Lei dos Senos e dos Cossenos Lei dos Senos Considere o Triangulo ABC inscrito na circunferência de raio r. A b c B C a A lei dos Senos nos diz que: = = = 2r Lei dos Cossenos Considere o Triangulo de lados a, b e c. b a α c A lei dos Cossenos nos diz que: a² = b² + c² - 2.b.c.cos(α) 19

20 Exercícios 1. (FUVEST 2000) No quadrilátero ABCD da figura a seguir, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo A ˆB E mede 60 e os ângulos E ˆB C e B Ĉ D são retos. Sabe-se ainda que AB = CD = 3 e BC=1. Determine a medida de AD. 2. (UERJ 2002) A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta. Determine: a) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta; b) o comprimento, em cm, do arco AB. 3. (UFF 2002) Uma folha de papel quadrada tem 2 dm de lado (figura I). Dobram-se os lados AB e AD da folha, fazendo-os coincidir com o segmento AG sobre a diagonal AC, formando-se o triângulo AEF (figura II). a) Determine a medida de EF. b) Calcule tg(fâc). 4. (Unicamp 2003) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura adiante. Dados: AB = 6 m, AC = 1,5 m, CD = 4 m. a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados? 20

21 5. (FUVEST 2003) Na figura, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM = (4 3). Calcule: 3 a) O raio da circunferência. b) A medida do ângulo PÔQ, onde O é o centro da circunferência. 6. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3 4 e seny = 3. Deseja-se construir 7 uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. 7. (UFPE 2004) Na figura ilustrada a seguir, os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são congruentes. Determine, em graus, a medida do ângulo CAD. 8. (FUVEST 2004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. 9. (FUVEST 2004) A figura a seguir representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 = 4 cm e R2 = 1 cm, apoiadas em uma superfície plana em P1 e P2, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1 e P2 é 3 3 cm, determinar o comprimento da correia. 21

22 10. (UFG 2005) Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, seguindo a trajetória indicada na figura a seguir. Nessas condições, calcule: a) o ângulo β em função do ângulo θ; b) o valor de x indicado na figura. 11. (UFF 2004) Seja MNPQ um quadrado de lado igual a 2 cm. Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do quadrado e o ponto médio do lado MN (ponto T). Veja a figura a seguir. Determine o raio do círculo C. 12. (FUVEST 2005) Na figura ao lado, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 2 7, determine r. 13. (FUVEST 2005) A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que: a) As retas t1 e t2 são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C. b) A reta t2 é tangente às circunferências no ponto D. Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r. 22

23 14. (Unifesp 2005) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo θ, conforme mostra a figura. a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo θ. b) Calcule tg(θ), dado que a distância de P a O vale 3 metros. 15. (UFCE 2006) Um octógono regular está inscrito em uma circunferência de raio 1. Os vértices A, D e E do octógono são tais que AE é um diâmetro de sua circunferência circunscrita e D e E são adjacentes. Determine o comprimento da diagonal AD. 16. (UFRJ 2006) Os triângulos ABC e ABC da figura são equiláteros e têm o centro O em comum. Sendo L o lado do triângulo maior, determine o lado l do triângulo menor de forma que a área da figura sombreada seja metade da área do triângulo ABC. 17. (UFJF 2007) Considere o paralelogramo ABCD, a seguir, de área 24 cm 2. Sejam M o ponto médio do segmento CD, E o ponto de interseção entre os segmentos AC e BM e AB = 8 cm. a) Calcule a altura do paralelogramo com relação à base CD. b) Encontre a área da figura plana hachurada em cinza. 18. (UFRJ 2008) A, B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1, C2 e D são colineares, como indica a figura ao lado. Se S1 indica a área do triângulo ABC1 e S2, a área do triângulo ABC2, e sabendo que DC1 = 7, C1C2 = 9 e S2 = 4, determine S (UERJ 2008) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espaçadas foi usado em uma aula sobre área de polígonos. A figura a seguir representa o tabuleiro com um elástico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. Considere u a unidade de área equivalente ao menor quadrado que pode ser construído com vértices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo elástico. 23

24 20. (UERJ 2008) Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central θ é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. Sabendo que o ângulo θ satisfaz a igualdade tgθ = 2θ, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ. 21. (UFLA 2008) Dado um quadrado ABCD de área 4 cm2 em que B é o ponto médio do segmento DE, calcule a medida do segmento CE. 22. (Unicamp 2006) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente ( 14 ) m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração a seguir. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45 com a horizontal. Pergunta-se: a) Qual é a distância entre a parede da casa e o muro? b) Qual é o comprimento da escada de Roberto? 23. (UFMG 2006) Nesta figura, os dois círculos são tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD: Sabe-se que o raio do círculo menor e o do círculo maior medem, respectivamente, 2 cm e 4 cm; e o lado AB do retângulo mede 9 cm. a) Calcule o comprimento do lado AD do retângulo. b) Calcule a área da região sombreada na figura. 24. (FUVEST 2006) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se que AD = 3 e DAB = 30. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DAB. a) Calcule AP. b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é

25 25. (FUVEST 2007) Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OAB mede 120, AO = 3 e AB = 2. Sabendose ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3, a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. 26. (FUVEST 2007) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2. a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência. 27. (UFSCar 2007) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe perfeitamente em um parafuso de cabeça hexagonal regular, como indica a figura. a) Calcule as medidas de x e y, admitindo a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a 2 cm. b) Considere λ como um arco de circunferência cujo centro é o ponto médio do segmento de comprimento y, indicado no projeto da ferramenta. Sendo L a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso, e R a medida do raio de λ, determine R em função de L. 28. (Unicamp 2007) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo A tem 90 e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3. a) Determine r. b) Determine AB e AC. c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo. 29. (UFMG 2007) Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O. Sabe-se que os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm; a reta AB tangencia a circunferência no ponto B; o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC; e E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF. Calcule o comprimento do segmento OF. 25

26 30. (UFF 2007) A figura a seguir é uma variante de uma tabuleta matemática em exposição na prefeitura de Saitama (Japão). Sabe-se que: o triângulo ABC da figura é retângulo em A; I e J são pontos médios, respectivamente, dos lados AB e AC ; AB = 8 cm; AC = 6 cm; o quadrilátero IJKL é retângulo; os círculos de raios r1, r2 e r3 são tangentes aos lados dos respectivos triângulos que os circunscrevem. Determine: a) tg (CJK); b) as medidas dos raios r1, r2 e r (UFES 2007) A carroceria de um caminhão tem a forma de um retângulo de dimensões 2,4 m 5,1 m. Deseja-se transportar duas peças circulares de diâmetro 2,4 m e duas peças circulares menores de mesmo diâmetro, sem sobreposição. a) Determine o maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas na carroceria do caminhão e acomodadas conforme a figura 1. b) Sabendo que o motorista do caminhão decidiu rearrumar as peças maiores conforme a figura 2, determine o maior diâmetro das peças menores que podem ser transportadas. 32. (FUVEST 2008) No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = 4 e cos Ĉ = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e BR/BC = 4/7, calcule a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. b) a área do triângulo ABR. 33. (FUVEST 2008) O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo equilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura. Assim, determine a) a razão entre R e r. b) a área do triângulo DEF em função de r. 26

27 34. (FUVEST 2008) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces 1 e 2, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face 2 em pontos R e B, conforme a figura. Nessas condições, a) calcule PR. b) calcule AB. 35. (UFG 2008) O sinal de PARE, pintado horizontalmente na rua, é visto de frente por um motorista a 10 metros de distância sob um ângulo θ, sendo que o comprimento das letras é de 2 metros e o olho do motorista está a 1,2 metros do chão, conforme ilustrado a seguir. Para que uma placa vertical de altura H, também a 10 metros de distância, seja vista sob o mesmo ângulo θ, qual deve ser o valor de H? 36. (UFG 2008) Os Sulbasutras são manuscritos que foram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.c. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que DX = PQ; em seguida, liga-se A e X e constróise o novo quadrado AXFE. Sabendo que PQ = 2 m e AD = 4 m, calcule a área da região sombreada ABGFE. 37. (UFRJ 2009) O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em B. O segmento BD é a altura relativa a AC. Os segmentos AD e DC medem 12 cm e 4 cm, respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = 4EC. Determine o comprimento do segmento DE. 27

28 Gabarito a) 10 cm b) 20 3π cm 3. a) 4 [( 2 ) - 1] b) ( 2 ) a) 1,2m b) 1468,8 litros 5. a) (8 3) 3 b) a) BC = 70 km b) DE = 42 km MN = 11/30 unidades de comprimento 9. 6(π + 3 ) cm 10. a) β = 2θ b) x = 0,5 m cm 12. r = ( 7 )[( 2 ) - 1] 13. R r. R. r a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a bissetriz do ângulo θ, devemos mostrar que os ângulos OPT e OPS são congruentes. De fato, como PS e PT são segmentos tangentes à circunferência de centro O e raio 1, com origem no mesmo ponto (P), PS = PT. Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são congruentes. Logo, α = β = 2 θ e, desse modo, OP é bissetriz do ângulo θ. b) tg θ = (4 2) 7 28

29 15. AD = 2 2 u.c. 16. (2 2) L a) 3 cm b) 10 cm2 18. S1 = Seja S a área do quadrilátero ABCD. Pela fórmula de Pick obtemos S = = 51 2 u cm 22. a) 3 m b) 3 2 m 23. a) 3 (2 + 3 ) cm b) [21( 3) π] cm a) AP = 3 (2 3) b) AB = a) (3 3) 2 u.a. b) OC = 60 u.c. e CD = 40 u.c. 26. a) h = 3 u.c. b) r = 5 u.c. c) S = (5π - 9) u.a. 27. a) x = 3 cm e y = 2 3 cm b) R = L a) r = 2 b) AB = 12 u.c. e AC = 5 u.c. c) (30-4π) u.a cm 30. a) tg (CJK) = 3 4 b) r1 = 1 cm, r2 = 0,8 cm e r3 = 0,6 cm 31. a) 0,6 m b) aproximadamente 0,759 m 29

30 32. a) 55 2 u.c. b) 55 u.a. 33. a) 3. b) 27 3 r a) PR = 5 4. b) AB = ,2 m m Q:\editoracao\2011\Ped2011\Matemática\EM\Fichas\Matemática Avançada Ficha 04-3C.docx 30