PORCENTAGEM / EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1 E 2 GRAU

Transcrição

1 1. (Cpcar 016) Um casal que planejou uma viagem de férias para uma ilha, onde há um hotel com acomodações A e B, pagou antecipadamente x reais pelas diárias na acomodação A, que cobrava R$ 110,00 por dia. Ao chegar no hotel eles optaram pela acomodação B, que cobrava R$ 100,00 pela diária, pois perceberam que, assim, eles poderiam ficar mais dias hospedados neste hotel. Sabendo que, além dos x reais já pagos, eles ainda gastaram R$ 150,00 por dia com alimentação e que não houve outras despesas, a quantia que esse casal gastou nesse hotel é um número compreendido entre a) 5100 e 5400 b) 5400 e 5900 c) 5900 e 6300 d) 6300 e (Cpcar 016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parceladamente, dois eletrodomésticos. Após pagar 5 do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodomésticos, ele conseguiu um lucro de 0% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 55,00. A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a a) 5 b) 4 c) 3 d) 3. (Unesp 016) O gráfico da parábola dada pela função 3 f(x) (x 16x 4) 40 indica, para uma determinada população de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a população total no ano seguinte, que seria f(x). Por exemplo, se a população atual de insetos é de 1 milhão (x 1), no ano seguinte será de,95. milhões, já que f(1),95. Dizemos que uma população de insetos está em tamanho sustentável quando a população total do ano seguinte é maior ou igual a população total atual, o que pode ser identificado graficamente com o auxílio da reta em azul (y x). Página 1 de 1

2 Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero (adote 4,7), e determine a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou seja, o valor de x para o qual a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível. 4. (AFA 016) Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$ 00,00, quando são vendidos 00 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo a) [105,15[ b) [15,145[ c) [145,165[ d) [165,185[ 5. (CFTMG 016) Os valores de x e y * que satisfazem ao sistema 8 x y xy, x y xy são tais que a) x y. b) xy 0. c) xy. d) xy (UERJ 016) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a: A 3 B 0 C 0 D 7 Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição: A B C D 0 O mês de nascimento dessa pessoa é: a) agosto b) setembro c) outubro d) novembro 7. (Unesp 016) A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções: 3p 1p 5p 10 D(p) e F(p) 4 p 3 Página de 1

3 Admitindo-se p 1 e sabendo que , determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva. 8. (Cpcar 016) Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente horas e 40 minutos. A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em horas de funcionamento, n dessas peças. É correto afirmar que a máquina B, mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também n dessas peças em a) 40 minutos. b) 10 minutos. c) 160 minutos. d) 40 minutos. 9. (UFP 016) A Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará, Campus de Castanhal, realizou uma pesquisa sobre a variação da cobertura vegetal ao longo do Eixo da BR-316. A pesquisa analisou imagens de satélite de 1999 a 008. Em relação à área estudada, entre os dados levantados, obteve-se:... em 1999, 61% da área era preenchida por floresta, 0% por plantações, 13% por campos abertos, 5% por áreas urbanizadas e 1% por água. Nove anos depois, esses índices são de 46% de florestas, 5% de plantações, 0% de campos abertos, 8% de áreas urbanizadas e apenas a presença de água se mostrou constante, permanecendo em 1%. < Acesso em: Adaptado. De acordo com o texto, de 1999 a 008, a) a variação da área estudada ocupada pela floresta aumentou 15%. b) a variação da área estudada ocupada pela presença de água diminuiu 10%. c) a variação da área estudada ocupada pelas plantações diminuiu em mais de 5%. d) a área ocupada pelos campos abertos aumentou mais de 50%. e) a área ocupada pelas áreas urbanizadas aumentou mais de 80%. 10. (UERJ 016) No ano letivo de 014, em uma turma de 40 alunos, 60% eram meninas. Nessa turma, ao final do ano, todas as meninas foram aprovadas e alguns meninos foram reprovados. Em 015, nenhum aluno novo foi matriculado, e todos os aprovados confirmaram suas matrículas. Com essa nova composição, em 015, a turma passou a ter 0% de meninos. O número de meninos aprovados em 014 foi igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) (UFU 016) Um estudante recorre a uma imobiliária na expectativa de alugar um apartamento. A imobiliária exige de seus locatários o pagamento de um depósito caução, dividido em três parcelas fixas e de iguais valores, a serem pagas junto com as mensalidades do aluguel nos três primeiros meses. Página 3 de 1

4 Essas mensalidades são fixas e de iguais valores. O estudante desembolsará, em um ano de contrato, um total de R$ 8.400,00, de maneira que o desembolso total, após o término do pagamento do depósito caução, será 80% superior àquele correspondente ao desembolso referente aos três primeiros meses. Nas condições apresentadas, o valor do depósito caução é igual a a) R$ 1.400,00. b) R$ 1.00,00. c) R$ 900,00. d) R$ 1.800, (UERJ 016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: - à vista, no valor de R$ 860,00; - em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10% b) 1% c) 15% d) 18% 13. (Fuvest 016) O Sistema Cantareira é constituído por represas que fornecem água para a Região Metropolitana de São Paulo. Chama-se de volume útil do Sistema os 98 bilhões de litros que ficam acima do nível a partir do qual a água pode ser retirada sem bombeamento. Com o uso de técnicas mais elaboradas, é possível retirar e tratar parte da água armazenada abaixo desse nível. A partir de outubro de 014, a Sabesp passou a contabilizar uma parcela de 87 bilhões de litros desse volume adicional, denominada reserva técnica ou volume morto, e chamou de volume total a soma do volume útil com a reserva técnica. A parte do volume total ainda disponível para consumo foi chamada de volume armazenado. O primeiro índice usado pela Sabesp para divulgar o nível do Sistema, após o início do uso da reserva técnica, foi o percentual do volume armazenado em relação ao volume útil (e não ao volume total). Chama-se este percentual de Índice 1. a) Calcule o valor que terá o Índice 1 quando as represas estiverem completamente cheias, supondo que a definição de volume armazenado não tenha mudado. A partir de abril de 015, a Sabesp passou a divulgar outros dois índices, além do Índice 1 (veja o Quadro). Note que o Índice 3 pode assumir valores negativos e valerá 100% quando as represas do Sistema estiverem completamente cheias. b) No momento em que o Índice 1 for 50%, que valores terão os Índices e 3? c) Qual é o valor do Índice no momento em que o Índice 3 é negativo e vale 10%? QUADRO volume armazenado Índice 1 100% volume útil volume armazenado Índice 100% volume total (volume armazenado) (volume da reserva técnica) Índice 3 100% volume útil 14. (UERJ016) No Brasil, o imposto de renda deve ser pago de acordo com o ganho mensal Página 4 de 1

5 dos contribuintes, com base em uma tabela de descontos percentuais. Esses descontos incidem, progressivamente, sobre cada parcela do valor total do ganho, denominadas base de cálculo, de acordo com a tabela a seguir. Base de cálculo aproximada (R$) Desconto (%) até 1.900,00 Isento de 1.900,01 até.800,00 7,5 de.800,01 até 3.750,00 15,0 de 3.750,01 até 4.665,00,5 acima de 4.665,00 7,5 Segundo a tabela, um ganho mensal de R$.100,00 corresponde a R$ 15,00 de imposto. Admita um contribuinte cujo ganho total, em determinado mês, tenha sido de R$ 3.000,00. Para efeito do cálculo progressivo do imposto, deve-se considerar esse valor formado por três parcelas: R$ 1.900,00, R$ 900,00 e R$ 00,00. O imposto de renda, em reais, que deve ser pago nesse mês sobre o ganho total é aproximadamente igual a: a) 55 b) 98 c) 18 d) (UERJ 016) Um índice de inflação de 5% em um determinado período de tempo indica que, em média, os preços aumentaram 5% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y X. Com a inflação de 5%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de: a) 0% b) 30% c) 50% d) 80% 16. (Unesp 016) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C. Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma: - total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos); - R$.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos). O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três Página 5 de 1

6 bancos. Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, indicados no gráfico. Página 6 de 1

7 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Sendo d o número de dias programados inicialmente pelo casal, pode-se escrever: Acomodação A x 110d Acomodação B x 100(d ) 110d 100(d ) 110d 100d 00 10d 00 d 0 dias Logo, o casal programou inicialmente férias de 0 dias, porém ao chegar no hotel optaram por ficar mais dois dias hospedados. Assim, ficaram um total de dias de férias. Considerando os 100 reais da diária e os 150 reais gastos por dia com alimentação, o valor total gasto no hotel foi de ( ) 5500 reais. Resposta da questão : [C] Sejam os eletrodomésticos comprados a e b. Se o comerciante já pagou 5 da compra, então o restante a ser pago, ou seja, 35 do total é igual ao que ainda é devido (600 reais). 3 (a b) 600 a b Ainda pode-se equacionar os valores obtidos com a venda dos eletrodomésticos, ou seja: (1 0%)a (1 10%)b ,a 0,9b 115 Assim, com estas duas equações tem-se um sistema: a b ,a 0,9b 115 a 750 b 50 A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato será, portanto: a b 50 Resposta da questão 3: Para determinar a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero é preciso fazer f(x) igual a zero. Ou seja: 3 f(x) (x 16x 4) 40 f(x) 0 0 x 16x 4 ( 16) 4 1 ( 4) , ,8 x 17,4 milhões x x 1,4 (não convém!) Assim a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero é de 17,4 milhões. Para analisar a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, pode-se escrever: Página 7 de 1

8 g(x) f(x) x g(x) (x 16x 4) x g(x) x x O gráfico de g(x) também será uma parábola. O valor de x para que essa função seja máxima será no seu vértice, ou seja: 1 b 4 x 5 v xv a Resposta da questão 4: [B] Pode-se deduzir duas funções em x: - Função do preço f 1 (x) 00 x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado. - Função do quantidade f (x) 00 5x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado. A função da arrecadação será dada pela multiplicação do preço pela quantidade de casacos vendidos. Assim: f 3(x) 00 x 00 5x f 3(x) x 400x 10x f 3(x) x 60x Logo, percebe-se que a função de arrecadação é uma função do º grau, representada graficamente por uma parábola com concavidade para baixo. O vértice da parábola representa a arrecadação máxima. A coordenada x do vértice da parábola será igual ao número máximo de vezes que o desconto poderá ser concedido para conseguir a arrecadação máxima. Da fórmula para encontrar a coordenada x do vértice, tem-se: b 60 xvértice a ( 1) x 30 vértice Para se descobrir por qual valor será vendido cada casaco na arrecadação máxima, basta substituir o valor de x na função do preço: f 1(x) , que pertence ao intervalo [145,165[. Resposta da questão 5: [D] Fazendo 1 a e x 1 vem b, y a b 8ab a b 8ab 1. a b ab a b ab Somando as duas equações, encontramos 4 4a 9ab a (4 9b) 0 a 0 ou b. 9 Página 8 de 1

9 Como não pode ser a 0, temos a a a b, implicando em 9 Portanto, segue que 7 9 x y Resposta da questão 6: [B] C D 0 (A B) O maior valor possível para a soma dos algarismos do dia de nascimento é A B 9 11 Portanto, C D é maior ou igual a 9, ou seja: Se C D 9, temos A B 11 (possível). Se C D 1 (outubro), temos A B 19 (impossível). Se C D (novembro), temos A B 18 (possível). Resposta da questão 7: Sendo p 1, vem 3p 1p 5p 10 D(p) F(p) 4 p 3 19p 103p 40 0 p 5. Ademais, temos 3p 1p D(p) p p 1 p 1 p(p 7) 0 p p 1 (p 0 ou p 7) e (p 1) p 7. Resposta da questão 8: [D] A produção P das duas máquinas juntas será (considerando o tempo em minutos): n P 160 A produção de n peças da máquina A funcionando sozinha será: Página 9 de 1

10 P A n n 1 n PA A produção de n peças da máquina B funcionando sozinha durante o tempo t será: P B n n 1 n PB t t t Se a velocidade de produção é constante, então pode-se escrever: n PA PB 160 n n n n n (t 10) 1 t 10 80t 1900 t 40 minutos t t t Resposta da questão 9: [D] [A] Falsa. A área de floresta diminuiu. [B] Falsa. A estuda pela presença de água se manteve. [C] Falsa. A área ocupada por plantações aumentou. [D] Verdadeira, pois ,53 53%. 13 [E] Falsa, pois 8 5 0,6 60%. 5 Resposta da questão 10: [C] Na turma de 014 existiam 40 alunos, sendo 60% meninas. Portanto: Meninas 60% 40 4 meninas Meninos meninos Na turma de 015 havia apenas 0% de meninos e, portanto 80% de meninas. Todas as meninas foram aprovadas do ano de 014 para 015, portanto: 80% 4 100% Total015 Total alunos Se a turma de 015 possui no total 30 alunos e 4 são meninas, logo o número de meninos aprovados em 014 foi igual a 6 ( meninos). Resposta da questão 11: [B] x: o valor desembolsado nos primeiros três mês. 1,8x : valor desembolsado nos nove meses finais. Desta forma podemos escrever: x 1,8x 8400,8x 8400 x R$3.000,00 Valor de cada parcela: 1, R$600,00 9 Portanto, o valor do depósito calção será: R$1.00,00. Página 10 de 1

11 Resposta da questão 1: [C] A primeira parcela de R$ 460,00 será paga à vista, portanto não há incidência de juros. A segunda parcela, caso não houvesse incidência de juros, seria de R$ 400,00, pois o preço do fogão à vista é de R$ 860,00 ( ). No entanto, há um acréscimo de R$ 60,00 na segunda parcela, os quais representam os juros após 30 dias. Logo, os juros são: 60 0,15 15% 400 Resposta da questão 13: Considere: o volume útil VU 98, o volume morto VM 87, o volume total VT e o volume armazenado VA. a) Se as represas estiverem completamente cheias, VA será igual a VT. Logo: VA 169 Índice 1 1,93 Índice 1 19,3% VU 98 b) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever: VA VA Índice 1 50% 0,5 0,5 VA 491 VU 98 VA 491 Índice 0,3869 Índice 38,69% VT 169 VA VM Índice 3 0,077 Índice 3 0,77% VU 98 c) Considerando os dados do enunciado, pode-se escrever: VA VM VA 87 Índice 3 0,1 0,1 VA 188,8 VU 98 VA 188,8 Índice 0,1488 Índice 14,88% VT 169 Resposta da questão 14: [B] Considerando-se as três parcelas e seus respectivos percentuais de cálculo, tem-se: R$ 1.900,00 Isento R$ 900,00 7,5% R$ 67,50 R$ 00,00 15% R$ 30,00 Total 67,50 30,00 97,50 R$ 98,00 Resposta da questão 15: [A] X 1,5Y Logo, 1,5Y Y 1 0% 1,5Y 5 Resposta da questão 16: Sabendo-se que foi investido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresentada no gráfico, pode-se escrever: Página 11 de 1

12 Banco A: - baixo risco: 80% ,8 R$ 800,00 - médio risco: 15% ,15 R$ 150,00 - alto risco: 5% ,05 R$ 50,00 Sabe-se ainda que foram aplicados: - R$.700,00 em investimentos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondente a R$ 800,00), R$ 800,00), 0% no banco B e 50% no banco C; - R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondente a R$ 150,00), 70% no banco B e 10% no banco C; - R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco, sendo 5% no banco A (correspondente a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C; Sendo B e C o montante aplicado em cada um dos bancos, respectivamente, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguinte sistema: 50 0,1B 0,4C ,1B 0,4C ,8B 0,5C ,7B 0,1C ,7B 0,1C ,B 0,5C ,B 0,5C 700 0,B 0,5C ,6B 100 B 000 0, ,5C ,5C 1500 C 3000 Assim, os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C. Para calcular os ângulos α, β e γ, indicados no gráfico pode-se utilizar a regra de três: Baixo Risco Médio Risco Alto Risco β β β γ γ γ α α α Página 1 de 1