MATEMÁTICA 1 VOLUME 3 RESOLUÇÕES - EXERCITANDO EM CASA

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1 018/APOSTILA 3 ANO EXTENSIVO/RESOLUÇÃO MATEMÁTICA 1 VOL. 3 DIÓGENES\\Carol MATEMÁTICA 1 VOLUME 3 RESOLUÇÕES - EXERCITANDO EM CASA AULA B Sejam v e d, respectivamente o número de vacas e a duração, em dias, da ração. Tem-se que d= k 1, com k sendo a constante de v idade. Desse modo, após 14 dias, vem 1 48 = k k = Se ele vende 4 vacas, então a duração, d', em dias, da ração será tal que 1 d' = = Em consequência, a resposta é = 8 dias. 0. D Se com o computador os cálculos demorariam cinco minutos, e cada cálculo do computador demoraria 30 segundos, temos que seria realizado dois cálculos por minuto, isto é: 60 segundos cálculos. 30 segundos = Logo: cálculos 5 minutos = 10 cálculos. Multiplicando por 1 horas: 10 1 = 10 horas. 03. B Quantidade de latinhas e o valor recebido por elas são grandezas diretamente proporcionais, o que nos permite escrever que: 5 = 4,50 Portanto, = B O enunciado descreve uma função = k, sendo k uma constante. Ou seja: = k, o que confere com a informação do enunciado de que e são inversamente proporcionais. Ainda de acordo com o informado, quando = 6, é igual a 5, logo: k k = 6 = k = Portanto, a função descrita será: = 150. Logo, quando = 15, terá valor igual a B minutos 9minutos = minutos 06. C 5 horas π horas π 14 Logo, = 0 horas. 0. B Lembrando que o comprimento do arco é diretamente ao ângulo central, ao dobrarmos a medida do ângulo, a medida do arco também dobra. Portanto, o resultado pedido é igual a 10 cm. 08. A Se o viajante percorreu 60 km/h em 4 horas, temse que ele percorreu 40 km e dessa maneira, se um viajante percorrer os mesmo 40 km a 40 km/h, teremos que ele demorará: 40km tempo = = 6h 40km / h 09. E Admita que a variação da área alagada seja à variação altura da cota, temos; = 1 0,5 1,3 0, = 0,5 0,8 = 400km 8 = 4 10 m. 10. D Se d é a distância do observador à televisão e é o tamanho da tela, então d= k, com k sendo a constante de idade. Assim, teremos 1, 8 = k 3 k = Portanto, se ' = 60, então a distância pedida, d é 9 d' = 60 = 3, AULA 01. A Considere a situação de regra de três composta: Horas Garrafas Dias Notando que a variável Dias e Horas são inversamente proporcionais, temos: = = 3 horas

2 0. D Resolvendo uma regra de três composta, temos: = 48 = 88 = 6h C 5h 0% de 5h = 5 1 = 4h (diárias) 04. D = = = 5, Logo, no último dia o tempo total utilizado foi 0,5 do tempo diário, ou seja, 0,5 de 4h = 3h = 180 minutos. operários horas/dia Número de dias D D 4 8 =. D = 64 dias C Fazendo os cálculos: h 150 6h = 9h A Alunos dias horas Alimento (kg) 0. D g = = kg Total arrecadado = = 90 kg semanas horas/dia gravetos =. = 1000 gravetos B O número de dias n é diretamente ao número de provas p e inversamente ao número de professores t. Logo, 09. C 10. B n = k. p, t no qual, k é a constante de idade. Substituindo os valores dados, obtemos = k k = De posse do valor de k, o resultado pedido segue de imediato n = 9,53 dias Peso diretamente Distância Diretamente Preço P P =. P = P = = digitadores horas/dia Trabalho diretamente Número de dias 8 6 3/ /5 T T 8 6 =.. T = 16 dias AULA B Seja o número de metros de tecidos fabricados e vendidos. Daí, devemos ter: ,0 > ,0 > 0 1,8 > > 1 388,89 1,8 = m mínimo 0. D Note que: Aplicação = A 0%A = A 0, A = 0, 8A Reaplicação = 0, 8A 1, = 0, 96A Logo, Bartola tem: 0,96A A = 0,04A = 4% Perdeu 4%.

3 03. D Considere que o valor do telefone é dado por, temos que: Logo, o valor de compra mais o valor do frete é dado por: 15 + (15%) = + = + 0, 15 = 1, Como o consumidor teve que pagar os mesmos 15% para devolução, temos: 15 1, 15 + (15%) = 1, 15 + = 1, , 15 = 1, Note que: 1,30 = + 0,30 = + (30%) Logo, o prejuízo total é de 30%. 04. D 10 (1 0,40) + 0 (1 0,30) = + 49 = B Sendo, d a distância percorrida e seguindo as orientações do enunciado, obtemos a seguinte equação:,50 + d 0,0 = 15, 50 + d = 5 d =, 50 d = 36,5 km Portanto, aproimadamente, 36 km. 06. E Para obter o aumento percentual (), basta calcular a razão entre os dois. Ou seja:,85 = = 1,9 1,5 Logo, o produto teve um aumento de 90%, pois, 9 1,9 = 1+ 0,9, em que 0,9 = = 90% C O gasto do consumidor X, no plano A, seria de 9, ,4 = R$ 45,90. Logo, ele deve optar pelo plano B. O gasto do consumidor Y, no plano B, seria de 34, ,1 = R$ 54,90 e, portanto, esta deve ser sua escolha. O gasto do consumidor Z, no plano B, seria de 34, ,1 = R$ 98,90 e, no plano C, seria de 59, ,1 = R$ 98,90. Por conseguinte, sua escolha deve recair no plano D. 08. A Se n é o número de quilômetros rodados, então 0,9 n + 50 = 0, n , n = 30 n = 150 km. Ademais, cada um pagou 0, = R$ 185, B Para evitar prejuízo, deve-se ter 3,8 (0,4 3,8+ 50) > 0,8 > 50 > 50. Portanto, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos é igual a 51. Daí segue que 51 [48, 60]. 10. E C = custo produção em reais R = preço venda em reais Cnormal = = R = 1, 4 84 = 11, 60 normal , 8 Crecessão = = , 8 R = R = 11, 60 recessão normal 11,60 90 = 0,306 31% 90 AULA C Aplicando R$ 1 000,00 no dia 1 o abril a uma taa mensal de i%, Paulo terá, em 1 o de maio, 1 000(1 + i) reais. Depositando mais R$ 1 000,00 em 1 o de maio na mesma aplicação, ele terá [1 000(1 + i) ](1 + i) reais em 1 o de junho. Desse modo, [1000(1 + i) ](1 + i) = (1 + i) + 100(1 + i) 31 = ± ( 31) 1+ i= ± i= 00 i = 0,1 = 10% a.m. Portanto, a taa mensal de juros dessa aplicação era de 10%. 0. C Valor aplicado em milhares de reais no investimento A: Valor aplicado em milhares de reais no investimento B: (00 ) Temos, então, a equação: 0, , 0 = 36 0, , = 36 = 40 e 00 = 160 Logo, a diferença entre os valores aplicados será de = C Valor emprestado com juros: = 648 reais. 100 Desconto concedido pelo sorteio: ,64 = 45,36 reais. 45,36 Em porcentagem: = 0,0, 648 desconto de %. ou seja, um

4 04. C Seja i a taa de juros no terceiro mês. Logo, , 0 1, 05 (1 + i) > i > 140 i > 1, 0 1 i > 0, 0. Portanto, a taa mínima no terceiro mês deve ser, de aproimadamente, 3%. 05. D Diferença do valor após 30 dias: = R$ 1 00,00. Em porcentagem: 100/10000 = 0,1%. 06. B Valor à vista = Parcela = Ato da compra pagou, devendo - Após 3 meses 100 = ( ) 1,06 = = = = A Como ambas as situações estão sob juros simples, temos um juros de R$ 30,00 reais em quatro meses na primeira situação: Aplicando a fórmula de juros simples, temos: J = c i t 30 = 1000 i 4 i = 0,08 = 8% Na segunda situação, temos: J = c i t 600 = 100 i 5 i = 0,1 = 10% 08. A O saldo devedor de Bruno após dois meses era de 1000 (1 + 0,1 ) = R$ 100,00. Efetuado o pagamento de R$ 00,00, seu saldo devedor passou a ser de = R$ 500,00. Logo, no mês seguinte, seu saldo devedor passou a ser de 500(1 + 0,1) = R$ 550,00, que é o resultado procurado. 09. C A primeira parcela de R$ 460,00 será paga à vista, portanto não há incidência de juros. A segunda parcela, caso não houvesse incidência de juros, seria de R$ 400,00, pois o preço do fogão à vista é de R$ 860,00 ( = 400). No entanto, há um acréscimo de R$ 60,00 na segunda parcela, os quais representam os juros após 30 dias. Logo, os juros são: 60 = 0, 15 15% A Juros depois do primeiro mês 5% de R$ 600,00 = R$ 30,00. Dívida depois do primeiro mês: R$ 630,00 R$ 330,00 = R$ 300,00. Juros do segundo mês: % de R$ 300,00 = R$ 6,00 Portanto, o total de juros acumulados é de R$ 6,00 + R$ 30,00 = R$ 36,00, que representa 6% de R$ 600,00. Resposta: 6%. AULA D Após o pagamento da nona parcela, o saldo devedor ficou reduzido a = R$ ,00. Portanto, o valor da décima prestação é igual a , = R$.55, C , (primeiro mês) , (segundo mês) ,0 1.4 (terceiro mês) Portanto, no terceiro mês ele comprará o carro e ainda lhe sobrará aproimadamente 5 reais. 03. E Seja C o capital aplicado. Logo, sabendo que o montante resgatado foi de R$ ,00, temos = C (1,01) (1,0) C = 1,030 4 C = 1, C 3,94. Por conseguinte, podemos afirmar que o capital aplicado, em reais, foi aproimadamente igual a 3, B 1 ano e 6 meses = 18 meses. Sendo, o capital aplicado por Patrícia, temos: 18 1, 08 = , 99 = 11960, 99 = = 4000 Portanto, o capital empregado é de R$ 4 000, A O montante obtido com o presente dos pais é (1 + 0,005) ,35 = R$ 6.50,00. O montante obtido com as aplicações mensais é dado por = 1, (1,005 1,005 1) 100 1, ,005 0, ,005 4 R$.000,

5 06. C Do enunciado, sendo i a taa anual de juros compostos, temos: = C ( 1 + i ), em que C é o capital aplicado há 8 anos. Ainda do enunciado, sendo um capital aplicado à mesma taa i por um período de sete anos, temos: = 1 + i 1+ i = 1+ i = 1 + i = Substituindo (1 + i) 8 = 16 na equação = C ( 1 + i ) 8, = C 16 C = 1565 A soma dos algarismos de C é dada por: = B 10/jan = /fev , = /mar 100 1, = /abr , 10 = B Valor da dívida após meses: ,03 = Valor da primeira prestação: Valor da segunda prestação ( ) 1,03. Como as prestações são iguais, podemos escrever: = (10609 ) 1,03. Resolvendo a equação acima, concluímos que é, aproimadamente, R$ 5 383, E O montante da dívida após meses é 800 (1 + 0,05) = R$ 88,00. Pagando R$ 400,00, o saldo devedor fica em = R$ 48,00. Portanto, o valor do último pagamento é igual a 48 (1+ 0,05) = R$ 506, C Preço com juros compostos: 000 1,06 = R$83 Preço com juros simples: 000 ( ,05) = R$600 Total de juros pagos: R$ 600,00. Total de desconto obtido: = R$ 3. AULA B I : número de ingressos F : número de filhos 4F + 5 = I 6F 5 = I 4F + 5 = 6F 5 F = = I I = 5 0. B : número de mesas de lugares : número de mesas de 4 lugares + = = (1 ) = 38 4 = = C Sejam, e z, respectivamente, os números de embalagens de 0 L, 10 L e L. Do enunciado e da tabela, obtemos: z = z = z = z = 65 = = 60 3z = z = 65. = Adicionando as duas primeiras equações do último sistema, vem: 38 = 6 =. Logo, da segunda equação do sistema, encontramos 3z = 65 3z = 65 z =. Portanto, como z = n = e = 11, segue que n é um divisor de. 04. C Sejam a e f, respectivamente, os números de porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser ingeridas. De acordo com o enunciado, obtemos o sistema + = + = = 1,5a f 1,5 6a 8f 49 a 3,5. a + 3f = 10 6a 9f = 30 f = 1 Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, respectivamente, 3,5 100 = 350 g e = 100 g. 05. E Considere as iniciais dos veículos como as variáveis. Do fato de que a quantidade de rodas dos carros era o quádruplo do número de rodas das motos, temos que o número de carros é o dobro do número de motos e assim temos o seguinte sistema: c + m + t = 50 m + m + t = 50 ( 3) 3m + t = 50 4c + m + 3t = 165 8m + m + 3t = m + 3t = 165 c = m 9m 3t = m + 3t = 165 m = 15

6 Logo, o número de carros é: c = m c = 30 e o número de triciclos é de: c+ m+ t = 50 t = 5 Dessa maneira, o número de motos é igual ao triplo de triciclos. 06. E Considere a seguinte situação onde as variáveis são representadas pelas letras iniciais de cada nome: k+ b+ z = 30 3 b+ z = 0 b + z = 40 k = 50 b = 0 z = 0 k = b C Sendo o valor de cada hambúrguer, de cada suco e z de cada sobremesa, pode-se escrever: z = = z = 35 (I) z = 15 Substituindo (I) em (III) : = = = 4 = 3 = = 10 z = 5 Gastos: Carlos = 3 Paulo = 1 José = [C] Para o mínimo de carne: Carne 40 g 180 g 600 = 450 calorias Torta 84 cal 450 cal = 34 cal Para o máimo de carne: Carne 40 g 0 g 50 g 600 = 550 calorias Torta 84 cal 550 cal = 4 cal 40 g g 34 = g 4 = 09. D Como ainda seria necessário um valor de R$ 4 100,00 para pagar a entrada no valor de R$ 1 000,00 e, Renata (r) possui R$ 500,00 a mais que Carlos (c), temos: r + c = 1000 r = c Daí, temos: r + c = 1000 r + c = 900 r = c r c = 500 Somando as equações, temos: r = 8400 r = 400 Como Renata possui R$ 500,00 a mais que Carlos, temos: = E X + Y + N = Y + N = 95 N = X = 10Y Se = 1 N = = 4 95 Se = N = = Se = 8 N = = 3, Se = 9 N = = AULA 01. B P : Patos M : Marrecos G : Galinhas P + M + G = 50 1P + 15M + 5G = 440 1P + 15M + 5(50 M P) = M 10(19 M) P + 10M = 190 P = = Como P é um número natural, M deve ser múltiplo de e 10. Isto é, de 0. Os múltiplos de 0 possíveis são 0 para M = 1 ou 140 com M = 5. Os valores de P, G e M apresentam as possibilidades: Patos (P) (5) P = = (1) P = = 10 Galinhas (G) Marrecos (M) G = 50 (0 + 5) = 5 5 G = 50 (10 + 1) = 8 1 O número de patos é maior que o número de marrecos (P > M). Logo a única possibilidade é M = 5. Foram comprados 0 patos pelo comerciante. 0. C Seja a memória ocupada por um minuto de vídeo e a memória ocupada por uma foto. Logo, temos = = 8. Portanto, a capacidade total do disco é = 0 e, assim, o resultado é C + z = z = = 3m mz = m Caso 1) D 0 3m 39 0 m 13 SPD Caso ) D = 0 3m 39 = 0 m = 13 SPI admite soluções diferentes da trivial.

7 04. E Considerando que: Márcia pesa kg, Marta pesa kg e Mônica pesa z kg, temos o seguinte sistema: + = z = z = 108 Somando as equações, obtemos: + + z = 336 Portanto, + + z = 168 kg. 05. C O sistema possui uma única solução se, e 3 5 somente se, β 5. Ademais, o sistema 3 β possui infinitas soluções se, e somente se, β = 5. Finalmente, como os termos independentes das duas equações são iguais, podemos concluir que o sistema possui ao menos uma solução, qualquer que seja o real β. 06. C Somando todas as equações, temos a + b + c + d + e = R$ 100, B Considerando que o asno carregava volumes e mulo carregava volumes, podemos escrever, partindo das observações do mulo, o seguinte sistema. + 1 = ( 1) = 3 3 = + 1= + 1 = + = 5 e = Portanto, o produto das quantidades de sacos é 35 (múltiplo de ). 08. E Considerando as equações em cada um dos vértices, temos: E : + 90 = E : + 60 = E : + 10 = E : = Somando as 4 equações temos a indeterminação 0 = 0, portanto este modelo matemático tem infinitas soluções. 09. D Sejam, e z, respectivamente, o preço de um par de meias, o preço de uma calça e o preço de uma camisa. Logo, vem + + 3z = z = z = z = 00 Portanto, sendo + + 3z = + + z + (+ z), temos + + z = = R$ 158, C De acordo com o teto, temos: a + b = 1 ou a + b = 19 ou a + b = 3 ou a + b = 9. Sabemos que a + b = 30, ou seja, b = 30 a. Logo, a + b = a + 30 a a + b = 30 a. Então, 30 a = 1 a = 13 e b = 4 30 a = 19 a = 11 e b = 8 30 a = 3 a = e b = a = 9 a = 1 e b = 8 Portanto, temos quatro resultados possíveis para o par ordenado (a,b). (13, 4), (11, 8), (, 16) e (1, 8). AULA C 0. D 03. A = = 3 + = 5 ( + ) ( ) = + + ( + ) a b a b a ab b a ab b = 4ab. ( + ) ( ) = D De + + z, temos: ( + + z) = + + z + ( + z + z ) Como + + z = + z + z = 6, + + z = z = z = 18 ou + + z = 18 Então, + + z = 3 ou + + z = B + = 13 ( + ) = = 169 Como = 1, temos: = = A Da forma como foi apresentada é impossível resolver, pois: + Com Logo, Mas, 1,4 4,8 4,8,19

8 0. D 08. C Assim, 0, 19 Corrigindo o último termo, nota-se que é possível a simplificação de produtos notáveis para chegar até a resposta desejada: Produto notável: = + = + = 4 = = Lembrando que a b = (a + b)(a b), temos (3 + 5 ) (3 5 ) M = (3 5 ) ( )( ) = = =. 5 M= + = + + = + + = + + = D Aplicando a fórmula do quadrado perfeito, temos: 10. C (3 + ) = (3) () (3 + ) = Sabendo que = 5 e =. (3 + ) = = 49 A B ( + ) ( ) = = C = = = = 4 = = 4 AULA B Sendo a área do quadrado o produto dos seus lados, temos que: Área terreno 1 = a a Área terreno 1 = a 0. A Área terreno = b b Área terreno = b Logo, como a > b, a diferença entre as áreas é dada por: Área terreno 1 Área terreno = a b a b = (a + b) (a b) (01 1) 018 u = = = então, < < 1 < u < D Tem-se que 04. D + + = 8 ( + + ) = 8 + = 64. Logo, sendo = 15, vem + 15 = 64 = = (68 + 3) (68 3) = = = = 10 6 = D 1 Se + = 14, 06. A = + + = 14 + = Daí, + = 4 com > 0, então e, portanto, = 4 = ( 1) ( + + 1) ( + 1) = = + ( 1) ( + 1) = = = 0. A m n = 1 (m + n).(m n) = 1.1 Como 1 é primo, temos o seguinte sistema: m + n = 1 m n = 1 Resolvendo o sistema, temos m = 9 e n = 8. Assim, 9.8 =. 5

9 08. A ( + 1) ( + 1) + = = = 1 ( 1) ( 1).( 1) 09. C 10. B ( + 1).( 1) ( + 1) = =..( 1) ( 4) 4.( 4) = = = ( ) ( 4) ( 4) ( 4) ( + ) ( ) = = = ( + ). ( ) ( 4) ( ) = 000.( ) = 000.( ).( ) = = Logo, = = AULA A Se a idade da pessoa, em dias terrestres, é igual a 0. C , então sua idade em Vênus é anos. Pedreiro Horas Dias = 3 5 Notando que de trabalho são grandezas inversamente proporcionais, isto é, quanto menos dias, mais pedreiros, temos, aplicando a regra de três composta, 8 5 = = 6, Logo, é necessário o mínimo de pedreiros é de. 03. E Para obter o valor do empréstimo, deve-se calcular quanto 30% representa de R$ 1 368,00. Ou seja: 1368 X 0,3 = 410,40 reais. Sabendo o valor do empréstimo, basta aplicar a fórmula de juros compostos: M = C (1 + i) t Em que M representa o montante final, C representa o capital inicial, i representa a taa de juros, t representa o tempo de aplicação. Sabendo que o valor do empréstimo representa capital inicial, temos: M = C (1 + i) M = (410,4) (1 + %) M = (410,4) (1 + 0,0) = (410,4) (1,0) M = 46, 98 reais t 04. A Considere o seguinte sistema, de acordo com a situação descrita: 5b + 15t = 10,5 ( 3) 5b 45t = 3,5 + 0b + 45t = 185 0b + 45t = b = 13,5 b =,5 Logo, o valor das trufas será de: 0b + 45t = (,5) + 45t = 185 t = 3 O gasto do aluno foi de: 4b + 3t = 4, = 19 reais. 05. A z = z = z = = = = z = z = = = = = 540 = 80 = 1610 z = 1950 z = = 1130m 06. B 4A + 3B + C = 54 A = colares modelo A 1A + 1B + 3C = 36 B = 10 colares modelo B + + = 3A B C 4 C = 8colares modelo C Portanto, B = A + C. 0. B O sistema é possível e determinado se, e somente a se,, ou seja, a 4. Se a = 4, temos = e, portanto, o sistema é impossível. 1 1 Logo, o sistema não é indeterminado para nenhum valor real de a. Desse modo, segue o resultado. 08. E Considerando a e b distintos a epressão a ab + b = (a b) > 0 para todo real a e b distintos. Portanto, ela não muda de sinal.

10 09. C Temos 10. E = ( + ) 8( + ) = ( + )( 8) =. Por inspeção, concluímos que (, ) = (3, 4) e, portanto, = 1. Temos que 1 = 4 = 4 = 4. Portanto, sabendo que a + b = (a + b) ab, encontramos = ( + ) = 4 = 41.